你还记得哪些数学名词？

群论是法国数学家伽罗瓦（Galois）的发明。伽罗瓦是一个极具传奇性的人物他用该理论，具体来说是伽罗瓦群，解决了五次方程问题。在此之前柯西（Augustin-Louis Cauchy)，阿贝尔（Niels Henrik Abel）等人也对群论作出了贡献。最先产生的是n个文字的一些置换所构成的置换群，它是在研究当时代数学的中心问题即五次以上的一元多项式方程是否可用根式求解的问题时，经由J.-L.拉格朗日、P.鲁菲尼、N.H.阿贝尔和E.伽罗瓦引入和发展，并有成效地用它彻底解决了这个中心问题。某个数域上一元n次多项式方程，它的根之间的某些置换所构成的置换群被定义作该方程的伽罗瓦群，1832年伽罗瓦证明了：一元 n次多项式方程能用根式求解的一个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群为“可解群”（见有限群）。由于一般的一元n次方程的伽罗瓦群是n个文字的对称群Sn，而当时Sn不是可解群，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。伽罗瓦还引入了置换群的同构、正规子群等重要概念。应当指出，A.-L.柯西早在1815年就发表了有关置换群的第一篇论文，并在1844～1846年间对置换群又做了很多工作。至于置换群的系统知识和伽罗瓦用于方程理论的研究，由于伽罗瓦的原稿是他在决斗致死前夕赶写成的，直到后来才在C.若尔当的名著“置换和代数方程专论”中得到很好的介绍和进一步的发展。置换群是最终产生和形成抽象群的第一个最主要的来源。在数论中，拉格朗日和C.F.高斯研究过由具有同一判别式D的二次型类，即，其中a、b、с为整数，x、y 取整数值，且为固定值，对于两个型的"复合"乘法，构成一个交换群。J.W.R.戴德金于1858年和L.克罗内克于1870年在其代数数论的研究中也引进了有限交换群以至有限群。这些是导致抽象群论产生的第二个主要来源。

　　数学中，伽罗瓦群（Groupe de Galois）是与某个类型的域扩张相伴的群。域扩张源于多项式，通过伽罗瓦群研究域扩张以及多项式称为伽罗瓦理论，以发现者法国天才数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦命名。

设 为伽罗瓦扩张, 为它的伽罗瓦群, 为 的子群 令 ,即 是在H中任一相对F自同构作用下不变的元所组成的子域,显然有 例： 的6个元中, 是恒等映射 它对应的固定子域 故 , 是2阶子群 易知 类似地, 也都是2阶子群故 易知 故 是一个3阶循环群,且 方程 的3个根为 方程的伽罗瓦群 是这3个根的置换群 若用循环置换表示,并1代表 ,2代表 ,3代表 ,则 , , , , 即 中的偶置换群 易知 的固定子域为 定理：若 是伽罗瓦扩张, ,则 证明：定理：设 为伽罗瓦扩张, , ,则 和 互为逆映射,给出了 和 之间的反序一一对应 注：反序指：若 ,则 ,若 ,则 证明：例： 1.令 表示有 个元的有限域,其中q为素数方幂,将 看作它的子域 的n次扩张 是由 相对 的自同构 生成的n阶循环群 其中 G的任一子群 ,r为n的因子 ,故 当且仅当 ,即子群 对应的固定子域是 2.设p为素数,p次本原单位根 在 上的极小多项式为 g为模p的原根, 是由相对 的自同构 生成的p-1阶循环群G的任一子群 ,其中e是p-1的因子 推论：设 , ,则 , 其中 为由 和 生成的G的子群, 表示域 生成的子域 证明：

引理：设p为素数, 为p次本原单位根, 是p次循环扩张,则有 ,使 ,故 是根式扩张 证明：引理：设 为域扩张,则 再K上的伽罗瓦群同构于 在F上的伽罗瓦群的子群 证明：引理：设 为有限可分扩张,N为包含E的F上的最小正规扩张(称为E在F上的正规闭包),若 有根式扩张序列,则 也有根式扩张序列 证明：定理：F的特征为0, 且为首1多项式, ,则 在F上根式可解当且仅当 在F上的伽罗瓦群为可解群 证明：

不会，还没学

伽罗瓦理论比较复杂，这里不做证明，只做一个简单的概述，读者通过这个概述可以明白其大概表达的含义是什么。 首先，伽罗瓦理论是关于高次方程可解性判别的理论，决定高次方程（通常是>=5次）的方程是否有根式解， 伽罗瓦对这个问题给出了完全的解答，结论之一是 一般的高次方程(>=5次） 无根式解； 所谓根式解，是指解的表达式中，只包含 以及开根运算(可以任意次根） 对于一般的2,3,4次方程都有求根公式，但对于5次方程，历史上很长一段时间无人求解，直到阿贝尔和伽罗瓦给出这个问题的解答，证明一般5次方程无根式解 下面简述为何5次方程无根式解，其基本思路如下： 1，首先介绍数域的概念 数域简单来说就是一系列关于 计算封闭的数的集合，举3个例子： 1)有理数域Q ， 任何两个有理数经过 4则运算 仍然是有理数 2)有理复数， 形如 的数，其中 ,容易证明其仍然对4则运算封闭； 2，分裂域 给定一个n次方程，其系数所在的数域记作K，根据代数基本定理，其恰好有n个根，（这里大前提假定存在一个数域M,包含方程的所有根，伽罗瓦并没有证明这一点，只是默认这样的数域存在 ，所谓一个数域包含方程的根，指的是这个数域中存在一个数，我们将这个数代入这个方程，则等式成立，很显然，只有M:K时这个将数代入方程的计算才有意义） 则我们可以找到M的一个子域，这个子域L满足2个条件 1)L包含M中方程的所有根 2)不存在L的真子域也包含M中方程的所有根 （可见简单的理解为L是最小的包含方程所有根的域） 这个L被称为这个方程在系数域K 上的分裂域 （意思就是方程可以在这个域上分裂为线性因子乘积) 3， 方程可根式解蕴含的一个必要条件 方程可以根式解，意味着我们可以进行如下操作： 1)在系数域K的基础上，通过添加K中的某个元素k的n(可假设为素数，因为任意整数可分解为素数乘积) 次根，得到一个更大的域 K"; 2)然后在K"上继续上述操作... 3)最终我们得到一个域L 恰好是方程的分裂域 简单来说，就是如果一个方程可解，那么意味着方程的分裂域 L和系数域K存在如下关系: 并且其中 每个域 是 通过向 中添加其某个元素的n次根得到的 4, 伽罗瓦群 （核心概念） 伽罗瓦主要研究了上面的域塔必须满足什么样的条件，或者说有什么样的性质； 为了描述这个性质，必须引入伽罗瓦群的概念； 给定域扩张 则这个扩张的伽罗瓦群 := L的所有K自同构映射所组成的群 $ 这里首先引入两个，自同构映射的概念，所谓自同构映射，指的是一个数域到自身的映射f（就是普通数学中的映射），这个映射f具备保持 四则运算不变的性质， 也就是说，如果给定L中任意两个元素 , 同时这个映射还必须是一个双射，这样的映射就叫做自同构映射； 举例来说，以有理数域 为例， 就是一个自同构映射,这个被称为平凡自同构，它在自同构中起的作用相当于0在加法中的作用 所谓L的K自同构映射 指的是 除了该映射是L->L上的自同构之外，还有附加条件，就 是 那么L的所有K自同构映射 组成了一个集合 ，这个集合恰好是一个群 这里引入群的概念，我们不给出一般群的定义，只给出映射组成群的定义， 大家都知道映射是可以复合的，比如两个映射 , 我们可以定义复合映射 ,容易证明 如果两个映射都L的K自同构映射，其复合映射也是 L的K自同构映射；把这种复合看成 两个映射之间的一种2元运算 ，也就是把2个映射 映射到 1个映射 的映射； 那么，我们就在L的K自同构映射的集合上添加了一种运算符 ,这个运算满足封闭性（也就是上面所述的），同时存在单位映射（也就是上文的平凡映射），它和任何映射的复合 仍然是 那个映射本身， 以及逆映射 ; 那么只要一个集合上的2元运算满足以上性质，就构成一个群； 不难证明，L的所有K自同构映射 在映射复合的基础上构成了一个群，这个群就是 5, 最后我们给出伽罗瓦理论的描述 我们回到3中提出的问题，给定满足3中条件的域塔: 其满足 每个域 是 通过向 中添加其某个元素的n次根得到 那么如果域塔满足这个条件，伽罗瓦提取出了该域塔必须满足的一个必要条件，那就是： 给定群: 伽罗证明了 (1)这些群，满足以下包含关系: (2)并且 每个群 是 的正规子群 （子群的概念和子域类似，指的是一个群的子集本身关于该群的计算封闭； 正规子群就是一种特殊的子群） (3), 对 的商群（群和其正规子群可以做除法，从而产生商群，具体定义略）是个p次循环群（最简单的一种群，阶数为p） 同时伽罗瓦最大的发现还在于，他证明该条件不但是一个必要条件，也是一个充分条件，也就是说，如果 存在一个降正规列（类似上述的群塔，每一个是右边一个的正规子群，且商群为p次循环群 ，直到只包含一个元素的群{e} ;同时 具备该性质的群Gal(L:K)被称为可解群） 那么我们就可以反过来构建出上述域塔，直到包含方程的所有根； 如此，就得到了一句著名的论断： 一个方程可以根式求解 当且仅当 其分裂域 在系数域 上的扩张 对应的伽罗群 为可解群 ； 当然，这里面省略了很多细节，不过思路是说清楚了，最后利用上述论断，可以把方程是否可根式解的问题转换为伽罗瓦群的可解性问题，而域的话通常包含无穷元素，但伽罗瓦群是有限群，只包含有限个元素，因此理论上一个群是否可以解 一定可以在有限时间内求解出来； 同时伽罗瓦论证了，对于一般的5次方程或者更高次方程来说，其伽罗瓦群恰好不可解，因此一般的5次或更高次方程就无根式解了； 所谓的一般的方程的5次方程，指的是系数都是未知数（用字母表示的那种）方程；不排除某些特殊方程（例如分圆方程 ）可以根式求解； 后记： 伽罗瓦被认为 是人类历史上最具创造力的数学家之一，个人认为他解决该问题主要借鉴了2位大师的研究成果和思路， 一个是拉格朗日（曾系统研究过5次方程解问题，提出了拉格朗日预解式的概念，对于L:K中的L可以给出精确刻画；在伽罗瓦理论推理中起到重要作用，同时也意识到置换（其实就是置换群）对方程根的决定意义，但没有明确提出） 另外一个就是高斯（系统解决了分圆方程的根式求解问题，其中已经蕴含域扩张的思想只不过没有明确提出，同时分圆域和正规扩域有着密切联系，其中一些计算技巧也被伽罗瓦直接借鉴） 不过伽罗华最大的贡献在于提出了群的概念，把域和群结合起来， 伽罗瓦只活了21岁，大概在18-21岁解决了这个问题，被认为是早逝的天才， 同时伽罗瓦理论对域的分析的直接推论也可以解决古希腊三大难题中的两个 三等分已知角 ，倍立方 都是不可能的 （证明思路大概都是说不存在那样的域扩张） 伽罗瓦之后数学渐渐走向抽象的现代数学，因此这是一个值得纪念的里程碑事件

这节 要说的密码学重要人物，是伽罗瓦 如果你有印象，我曾经说过，RSA加密法里用到的数学工具是群论，而伽罗瓦可以说是创造群论最重要的数学家。 虽然称他为数学家，但其实他21岁的时候就在和别人的一场枪战决斗中去世了。 这种离奇的身世，更让群论的诞生批上了浪漫的色彩。我先来说说他的生平。 在他短短21年的生命中，只有最后5年可以算是研究数学。在此之前他还是一个孩子，跟所有孩子们一样，需要上学、放学、写作业、规律生活。但他生活的年代并不太平，想幸福快乐的做学生可不容易。 在他出生前7年；拿破仑称帝； 在他3岁的时候，拿破仑又被赶下台； 他4岁的时候，拿破仑又杀回来了； 5岁时，拿破仑终于被彻底干趴下了，波旁王朝再次复辟； 此后直到他去世，中间15年，法国老百姓一直激烈的反抗波旁王朝的君主专制。 在他19岁的时候，终于爆发了七月革命，永久推翻了法国的专制统治，此后法国改制成了君主立宪制。 在他11岁之前，都是妈妈在家教他读书写字。到了上中学的年纪，家里特地把他送到了一个军事化管理的寄宿制学校。这种学校在动乱年代其实有它的优势，就是能对学生起到保护作用，否则中学生很容易被舆论煽动起来，上街成为炮灰。 当时伽罗瓦在学校成绩非常棒，按说应该可以提前一年毕业，但校长硬是因为觉得他年龄太小，不同意。所以伽罗瓦在这所中学的最后一年，实际等于重新读了第二遍初三。 他也是从这一年开始研究数学的，除了因为闲工夫多，还因为碰上一个好老师维纳（M. Vernier）。 法国的初中生在200年前学什么呢？其实跟我们现在学的内容差不多，像解方程，最高就解到二元一次。 但伽罗瓦早就掌握了，他在维纳的指导下开始沿着解方程这条路继续往远处走，开始看一些研究方程解的性质的著作。而这些内容，就是他作为数学家研究的唯一核心了。不过14岁的他还远算不上数学家，还要继续念高中，高中完了还要考大学。 早早就学会了很多现代数学知识的伽罗瓦，从14岁开始就严重偏科了，所以第一次报考巴黎综合技术学院没考上。 这学校在法国就相当于清华大学之于中国，所以他复读一年重新考。这次因为老师的极力推荐，学院网开一面，对他只进行口试。可伽罗瓦因为面试官提的问题太简单，回答跳过了很多步骤，搞得面试官也听不懂，双方顿生误解，据说当时气得伽罗瓦把擦黑板的抹布扔到了面试官脸上。 自然这第二次也是没考上了，但他再也不能复读了。 因为学校有一个规定——凡是两次以上没考上的，就永不录取。最后，他只能选择考这个学院的附属师范学院。 正是在备考阶段，他做出了第一篇有价值的学术论文，是关于方程正整数根的分析。在这篇文章中，提出了“群”的概念。 这里有个大的学术背景：从1500s开始，欧洲数学重新回到了古希腊年代的巅峰水平，当时一个很热门的问题就是怎么解方程。 在伽罗瓦出生前，二次、三次、四次方程的求根公式都纷纷出炉，也就是只要知道X^4一直到X^0之前的系数分别是什么，就可以用一个通用的公式把所有解都算出来。 像我们初中时要求背诵的x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a，就是二次方程的求根公式。其实对应三次和四次方程都分别有，只不过因为公式太长，也就不要求我们背了。 但所有数学家全都卡在5次和更高次的方程的求根公式上了，而伽罗瓦当年研究的就是这个问题。 他第一步的突破，是证明了五次方程不一定都有求根公式； 第二步的突破，是分析出方程具有哪些特征时存在求根公式。 分析工具就是用他自己发明的“群”（group）这个概念，后来这种群被叫做“伽罗瓦群”。“群”到底是什么，其实正规的讲法应该从定义说起，那就是： 满足这四条元素，可以构成一个群。 虽然这么讲起来很简单，但很难让人体会群的美妙，甚至让人觉得这样的集合并没什么特殊之处。所以我们现在从另外一个角度，感受一下群的魅力，看群能分析什么。 群这种东西属于剥离事物表象，直达本质属性的工具。比如说，有以下3组问题，我们画一个正方体，三个问题分别是： 你可能会觉得这些问题弱弱的，连小学生都知道，但如果你回想一下：刚刚3组问题分别出现了3组数，分别是6和4、12和2、8和3，它们的乘积是不是都是24？ 你觉得这是我故意拼凑出来的巧合吗？其实不是。这个24，它是这个正方体摆放方式的总的可能性。 那么，下一个问题又来了： 我们可以这样算：第一个位置我们可以从4个小球里选任意一个放在那，所以可能性乘以4；第二个位置就只有3个小球里选了，所以可能性要乘以3；第三个位置、第四个位置，以此类推。所以，排列方式的总数是4×3×2×1=24。 那最后一个问题是：正方体的摆放的方式和小球的排列方式都是24，两个24有什么内在关联吗？ 其实是有的。它们的关联就是，它们的数学结构相同。这些内容，就可以通过群论分析出来。感受完群论的魅力，我们再来看伽罗瓦。 他当时那篇论文的命运，极为悲催。 提交给法国科学院之后，还是当时年轻有为的大数学家柯西来审稿的，可是柯西的事情太多，拖了7个月才有回信传出，柯西说自己打算在下次科学院例会上介绍伽罗瓦这篇文章的观点。可到了开会那天，柯西把所有的发言时间全都用来介绍自己的论文，伽罗瓦那篇文章压根一个字没提。 而在这7个月里，伽罗瓦也没有干等，而是把论文优化了再优化，又提交给法国科学院一次，这次审稿的人名气更大了，是傅里叶。结果论文被傅里叶拿走3个月没任何回音，在人们去问的时候才知道，原来老头已经去世了。 整整一年的等待，没有任何结果。 其实这篇文章包含的思想足够重要，但只是因为它是一个18岁的青年人写的东西，所以谁都不重视，于是这个暴躁的青年人也失去了走学术道路的最后机会。从之前高考口试，把抹布扔到考官脸上这件事，我们就感到这年轻人脾气很大。的确如此，他的精力除了用在数学上，就用在闹革命上了。 上中学的时候，他就经常领头挑战校长，比如要求校长允许他们拿着枪在校园里进行军训，还要求校长取消每月只能外出一次的禁令。 在学校已经警告他以后，又在校刊上发表攻击校长的长文，最后真的被开除了。被开除后他马上加入了国民警卫队，后来又因为聚众闹事被拘留了几天。 和被学校开除那次一样，小小的警告非但不能让他收敛，反而会点燃这个暴躁青年的斗志。结果那次拘留刚放出来不久，他就带队参加了庆祝攻占巴士底狱40周年的武装游行。这次游行的口号，就是把当时在位的皇帝路易·飞利浦送上断头台。 这次，他又被抓了。而这次的惩罚就不是拘留几天了，而是6个月的监禁。尽管被关了监狱，他还在经常大肆宣扬把国王活埋之类的观点，所以之后6个月的刑期又加到了15个月。 而实际上，他那次牢狱之灾，只关了2个月就放出来了，剩下的在监外执行。原因不是因为他有门路，而是当时法国霍乱大流行，而且这次霍乱是人类医学史上最严重的一次。为了安全，只能把犯人疏散。伽罗瓦被送去几十公里外的康复之家监外执行。在康复之家，伽罗瓦遇到了他的初恋斯蒂芬妮。这个姑娘是康复之家主人的女儿。 从此开始，伽罗瓦将一步步走向死亡。 这个姑娘对他的态度若即若离，时冷时热，伽罗瓦被弄得时而心灰意冷，时而热情似火。在他最后的数学草稿中，也经常能见到斯蒂芬妮的名字反复出现。而他的初恋其实身份很复杂，可能是个特务，跟伽罗瓦支持的党派有恩怨。 后来的史学家分析，伽罗瓦自己应该当时也知道这种困境，但为情所困不能从中摆脱。在1832年5月28日，他接到了一封挑战书，是以情敌的口吻来邀请伽罗瓦和他枪战的。 伽罗瓦意识到自己时日无多，抓紧了5月28、29、30号这3天的时间，把自己关于群论的内容完善了出来。保留的稿件空白处，还经常能看到“我的时间不够用了”这样的短语。 30号晚上，他又写了3封遗书，其中2封留给他的共和党人，还有1封是关于群论的，留给了他的好朋友奥古斯特。 在第二天早上的枪战中，伽罗瓦输给了那个职业军人，腹部中了3弹，送到医院一天后死亡。 伽罗瓦的一生，就这样了断了。他的那位朋友奥古斯特很负责，用了几年时间整理伽罗瓦的手稿，然后一起寄给了当时法国著名数学家刘维尔（Joseph Liouville）。 刘维尔认识到这份材料的价值，又做了整理和规范化，在1846年代替伽罗瓦发表了群论的思想。 又过了10年，群论思想飞速发展，那个时候法国和德国大部分大学里，数学专业已经开始教授伽罗瓦群论的知识了。 而这个时候，法国政治局势也初步稳定了。可是那一年，伽罗瓦已经去世24年了。伽罗瓦的故事值得思考的地方很多，但是从学界的角度看，我们可以思考： 伽罗瓦的性格如果是安稳的，他一定会顺利进入综合技术学院，拿到学位，获得数学界师承关系。如果是这样的身份，今后写出来的论文从格式到表达，也一定都是学界认可的。 但是他没有这样的性格，也没有走进学术圈，所以他的悲惨命运，其实是性格和时代同时决定的。 下节 ，破译古埃及文字的天才医生、天才物理学家、天才语言学家——托马斯·杨。

伽罗瓦的群论解析：伽罗瓦理论是现代数学的主要发端之一。伽罗瓦理论是用群论的方法来研究代数方程的解的理论。在19世纪末以前，解方程一直是代数学的中心问题。早在古巴比伦时代，人们就会解二次方程。在许多情况下，求解的方法就相当于给出解的公式。

定义：设E是F的扩域, 为域的扩张, 为E的自同构,若 ,有 ,即 在F上是恒等映射,则称 为E相对于F的自同构,所有E相对于F的自同构组成一个群,称为扩张E/F的伽罗瓦群,记作 例： 1.设p为素数,p次本原单位根 在 上的极小多项式为 的所有根为 ,故 是 在 上的分裂域 定义 相对 的自同构 , 在 上为恒等映射,且 在任一 相对 的自同构下, 一定映射为 的某一个根,故 是 的所有相对 的自同构,即 ,故 显然 群 与模p乘法群 同构,后者是循环群,任一模p的原根g是它的生成元,故伽罗瓦群 也是循环群 当g为模p的原根时, 即 的生成元 伽罗瓦群 中任一相对自同构可看作多项式 所有根的一个置换 注：将求解代数方程转化为研究方程所有根的一个置换群(伽罗瓦群) 2.令 表示有 个元的有限域,其中q为素数方幂,将 看作它的子域 的n次扩张 , 是 上的一个n次不可约多项式 的根 的所有根为 ,故 是 的正规扩张 域 相对 的任一自同构必将 映射为 的某一个根 令 为 相对 的自同构 ,有 ,则 是由 生成的n阶循环群,其中 引理：设 为有限扩张,则 证明：定义：域的可分正规扩张称为伽罗瓦扩张,域的有限可分正规扩张称为有限伽罗瓦扩张 注： 为交换群或循环群时, 分别称为交换扩张(阿贝尔扩张)或循环扩张 定理：若 是有限伽罗瓦扩张,则 证明：注：若K为F和E的中间域( ),E/F为伽罗瓦扩张,E为F的可分正规扩张,则E也是K上的可分正规扩张,故E/K也是伽罗瓦扩张,此时K是F上的可分扩张,但不一定是正规扩张 例： 1.设p为素数,p次本原单位根 , 是伽罗瓦扩张 2.令 表示有 个元的有限域,其中q为素数方幂,将 看作它的子域 的n次扩张, 是伽罗瓦扩张 定义：设 为域F上的多项式,E为 在F上的分裂域,则称 为多项式 或方程 在F上的伽罗瓦群 例：设 , ,E为 在 上的分裂域,故 是伽罗瓦扩张 在 上的极小多项式为 , 在 上的极小多项式为 故 又 故 ,以 表示 中6个相对 的自同构, 在 和 上的作用分别为

数学家伽罗瓦 1811年10月25日，伽罗瓦生在巴黎附近的一座小市镇，父亲是本市市长，母亲是当地法官的女儿，她聪明而有教养，是伽罗瓦的启蒙老师。除教授各种基本知识以外，作为古代文化的热烈爱好者，她还把古希腊的英雄主义，浪漫主义灌输到儿子的幼小心灵中，伽罗瓦从小就有强烈的好奇心和求知欲。十二岁那年，他考入当地著名的皇家中学，在老师的眼里，尽管伽罗瓦具有"杰出的才干"，但这位体格柔弱的少年却被认为"为人乖僻、古怪，过分多嘴"。他不满意内容贫乏，编排琐碎的教科书，对老师只注重形式和技巧的的讲课形式也深感失望。他不见重于师长，甚至被说成是笨蛋。他在后来的一封信中曾大为感慨地写道："不幸的年轻人要到什么时候才能不整天听讲或死记听到的东西呢？"十五岁的伽罗瓦毅然抛开教科书，直接向数学大师的专著求教，著名数学家勒让德尔的经典著作《几何原理》，使他领悟到清晰有力的数学思维内在的美。学习拉格朗日的《论数值方程解法》和《解析函数论》，使他的思维日趋严谨。接着，他又一口气读完了欧拉与高斯的著作，这些数学大师的著作使他感到充实，感到自信："我能够做到的，决不会比大师们少！"。 1828年，伽罗瓦17岁，这是他关键的一年，他遇到了数学教师里沙（1795-1849）。里沙不是一个普通的教书匠，他利用业余时间到巴黎大学听课，使自己的水平跟上时代的步伐，并把新的知识传授给学生们。里沙有很高的才能，好心的朋友们劝他从事著作，他却把全部精力倾注在学生身上，十九世纪法国有好几个杰出的数学家，就出自他的门下，这就是对他的最高奖赏。 伽罗瓦在里沙的帮助和鼓励下，在继承前人科学研究成果的基础上，他创立了"群"的思想。写出了第一篇数学论文，寄到法兰西科学院，负责审查这篇论文的是当时法国数学家泰斗柯西和波松。柯西是当时法国首屈一指的数学家。他一向是很干脆和公正的，但偶然的疏忽却带来了损失。第一件事是对阿贝尔没有给予足够的重视。第二件事是伽罗瓦向科学院送交论文时，未能及时作出评价，以致连手稿也给遗失了。第二年十八岁的伽罗瓦又取得了一些重要成果，再次写成论文寄交科学院。主持审查论文的是当时数学界权威人土、科学院院土--傅立叶。然而很不凑巧，傅立叶在举行例会的前几天病世了。人们在傅立叶的遗物中找不到伽罗瓦的数学论文。就这样，伽罗瓦的论文第二次被丢失了。但他并不灰心，又继续研究自己所得的新成果。第三次写成论文，即《关于用根式解方程的可解性条件》。1831年，法兰西科学院第三次审查伽罗瓦的论文，主持这次审查的是科学院院土波松。总算幸运，这一次论文没有丢失。但论文中用了"置换群"这个崭新的数学概念和方法，以致像波松那样赫赫有名的数学家一下子也未能领会，结果，最后一次得到波松草率的评语："不可理解"而被否定了。那时科学界对形式和技巧的崇拜远远超过对创造和开拓的追求。当然也就不会承认伽罗瓦工作的价值。当时，数学新时代的曙光已出现在地平线上。像非欧几何，集合论，群论等科学思想新体系。都是在这个时代孕育的。只有勇敢地面向未来，坚定地追求未来的科学家，才能看到新时代的曙光。无怪乎伽罗瓦在谈到他同时代的数学家时曾痛切地说："他们落后了一百年！"直到伽罗瓦死后十四年，人们研究了保存在他弟弟那里的数学论文，才认识到这些论文是当代重要的数学著作。伽罗瓦所引入的"群"的概念，已发展成为近世代数的一个新的分支--"群论"，而且在其他数学分支和近代物理、理论化学等科学上都是广泛应用的数学工具。这种理论，甚至对于20世纪的结构主义哲学的产生和发展，都发生了巨大影响。因此，伽罗瓦的工作的确是十九世纪数学的最突出的成就之一。 伽罗瓦不仅是一个天才的青年数学家，而且也是一位坚定的革命者，他生活在经历了资产阶级大革命后的法国，生长在压制革命摧残人才的波旁王朝复辟时期。他是个勇敢追求真理的科学家和战士。在法国历史上著名的1830年的"七月革命"中，刚考进法国巴黎师范大学的十九岁的伽罗瓦，积极参加了反对反动政权的斗争。他两次被捕入狱，他的身体由此受到了严重的摧残。但他在狱中仍坚持写了两部科学著作，准备获释后发表.他是一个把科学理想和社会理想结合起来，不论在数学王国还是在现实斗争中始终面向未来的不屈斗士。他说："妨碍我成为科学家的，恰好是我不光是个科学家。"．伽罗瓦出狱不久，反动派便设下了一个圈套，在爱情纠纷的名义下，迫使他参加"决斗"，1832年 5月30日清晨，一个身强力壮的反动军官，在"决斗"的借口下，给了他致命的伤害，而伽罗瓦的手枪却是没有子弹的。在"决斗"的第二天早上，他便与世长辞了。他在临死前曾对自己的一生做了这样的总结："永别了，我已经为公共的幸福献出了自已大部分的生命！" 对伽罗瓦死于决斗，科学史学家们常常感到遗憾。普里林在考察维苏威火山时，被突然爆发的火山灰掩埋；魏格纳考察格陵兰冰川于五十岁生日时丧身，利赫曼为揭开雷电的奥秘，被引下来的电流击毙……这些死，是为了科学，为了人类的幸福。据说马克思也曾受到过决斗的挑战，但马克思对此报以轻蔑的微笑。是的，无论是科学家还是战士，他们的使命和责任，比个人的荣誉和一时的意气和冲动更为重要。 也许伽罗瓦是太年轻了，他不被社会了解和尊重，自己也不珍惜自己的价值。他内心愤怒的激情的浪涛终于冲破了理智的堤坝，把它吞没了。不论怎么说，伽罗瓦参加决斗是犯了一个不可挽回的错误，但他那刻苦钻研、独立思考、不畏权威、勇于创新的精神却永远激励着后来者。

域的正规可分扩张定义为伽罗瓦扩张。 若K/F为伽罗瓦扩张，K上的F-自同构的集合构成一个群，定义为伽罗瓦群，记为Gal(K/F)。 对于H是Gal(K/F)的子群，称K中在H中任意元素作用下不动元的集合为H的不动域，这是一个中间域。 对于伽罗瓦扩张，扩张的中间域和伽罗瓦群的子群有一一对应的关系。 F⊂E⊂K形式的伽罗瓦扩张，E/F是正规扩张当且仅当Gal(K/E)是Gal(K/F)的正规子群。 在特征为0的域上，多项式的根可用根式解当且仅当其分裂域扩张的伽罗瓦群是可解群。 广义上的伽罗瓦理论还包括尺规作图，诺特方程，循环扩张，库默尔理论等内容。

伽罗瓦 将群运用于方程理论 1）首先说明每个方程都有自身的一个伽罗瓦群（代表方程的对称性质） 伽罗瓦群就是方程假定解的最大置换群,它使解的某种组合不变 由代数基本定理知n次方程有n个解 伽罗瓦证明了对于任意次数n,总能找到n次方程,其伽罗瓦群就是 n次置换群Sn 2）定义正规子群,正规子群指子群中任一元素满足母群中一个元素左乘 它,并由其逆元右乘它得出子群的一个元素组成的群 定义指数（母群的阶被最大正规子群的阶所除） 3）伽罗瓦证明了一个方程要有公式解,方程必须有特定类型的伽罗瓦群, 即其有解,若最大正规子群产生的每一个单独的指数是一个素数,则伽 罗瓦群有解（有解表示方程可以降次） 而一般五次及五次以上方程是由于若最大正规子群产生的每一个单独 的指数不是一个素数,则伽罗瓦群不可解 那个一元三次方程应该是成立的 (等式右边括号内=应为+)

很难。伽罗瓦理论是指用群论的方法来研究代数方程的解的理论。解方程一直是代数的一个中心问题。伽罗瓦的主要结论是这个群刻画了所给方程的根的代数特性，当时虽然还没有抽象的群与域的名词，伽罗瓦确实用到了群与域这些概念，因而有人把伽罗瓦看成是近代抽象代数的创始人。

是的。为什么说伽罗瓦理论存在错误，因为，只有部分一元三次方程及一元五次方程适合根式解，谁也举不出三个实根的一元三次方程解出第一个能确定大小实根来（虚数无法比较大小），真正用到了方程系数开立方根式运算，只有一个实根的一元三次方程才用到方程系数开立方根运算。也就是说三个实根的方程开立方根起不到降次的目的。总是要有一次三个解选一个解的问题要解决。根式解定义决定了只允许运用方程系数进行有限次加减乘除和乘方或开根式与括号表示，三角函数被排除在外。

就是群的元素个数

　　群论　　一般说来，群指的是满足以下四个条件的一组元素的集合：（1）封闭性 （2）结合律成立 （3）单位元存在 （4）逆元存在。群论是法国传奇式人物Golois的发明。他用该理论解决了五次方程问题。今天，群论经常应用于物理领域。粗略地说，我们经常用群论来研究对称性，这些对称性能够反映出在某种变化下的某些变化量的性质。　　在物理上，置换群是很重要的一类群。置换群包括S3群，二维旋转群，三维旋转群以及和反应四维时空相对应的洛仑兹群。洛仑兹群加上四维变换就构成了Poincare群。　　在研究群时，使用表象而非群元是较方便的，因为群元一般来说都是抽象的事物。表象可以看成矩阵，而矩阵具有和群元相同的性质。不可约表象和单位表象是表象理论中的重要概念。　　人们在寻找五次方程的解法中，一个新的数学分支--群论诞生了！　　伽罗瓦是第一个使用群的系统地研究群的数学家。他在19岁时，就使用群的思想解次了五次方程的问题。　　伽罗瓦1811年10月26日出生在法国巴黎一个小市镇上，他小时候和高斯正好相反，根本没有人认为他是"神童"。他的教师曾说伽罗瓦"没有智慧，不然就是把智慧藏得太深了，我没法去发现。"有的教师干脆说："伽罗瓦什么也不懂。"其实伽罗瓦在中学时代就对数学表现了非凡的天赋。他从16岁起就致力于五次方程各五次以上方程的根式解法的研究。教科书满足不了人求知的欲望，他就直接深入学习和了解数学专著。前辈数学家勒让德的《几何原理》，拉格朗日的《论方程的代数解法》、《解析函数论》，欧拉和高斯等数学大师的著作使他乐而忘返。尤其是对同辈挪威数学家阿贝尔成果的研究，更直接影响了伽罗瓦群论思想的产生。阿贝尔是一位富于创造才能的数学家，当他还是中学生时就开始着手探讨高次方程的可解性问题。但命运不济，他写的关于椭圆函数的论文被巴黎科学院打入了冷宫，阿贝尔并没有放弃，终于又在不久以后发表论文证明了一般五次以上的代数方程，它们的根式解法是不存在的，只有某些特殊的五次以上的方程，可以用根式解法。阿贝尔的成果轰动了世界，使延续了3个世纪的五次方程难题解决了。但由于过于劳累，年仅278岁的阿贝尔就在贫病交加中逝世了。同时，也留下了问题给世人，究竟哪些方程可用根式解，哪些不能？完成这个艰巨任务的就是伽罗瓦。　　伽罗瓦17岁开始研究方程可解性问题，提出群的用于处理可解性问题，获得了重大成果。但他性格倔强，比阿贝尔更加生不逢时，3次把研究论文交法国科学院审查，都未能得到及时的肯定。不仅如此，由于伽罗致词热烈支持和参与法国"七月革命"，人在进入巴黎高等师范学校的第一年就被开除学籍；之后又两次被抓进监狱，获释后的一个月，1832年5月31日，在和反动军官的决斗中，伽罗瓦被击中要害，第二天--1832年5月31日早晨，一颗数学新星殒落了。死时还不满21岁，决斗前夕，伽罗瓦把他的研究工作写成信件，托朋友转交《百科评论》杂志。　　然而不幸的是，伽罗瓦的群论思想由于超越时代太远而未及时地被人们理解和接受，以致埋没了10年多，幸好手稿保存下来。1843年9月，法国数学家刘维尔重新整理了伽罗瓦的数学手稿，向法国科学院作了报告，并于1846年，在他自己办的数学杂志上发表了它，这才引起了数学界的注意。　　数学家们在伽罗瓦群论思想的基础上，开始追踪、研究和发展，逐渐开创了一个新的数学分支--抽象代数学。它包括群论、环论域论、布尔代数等。　　伽罗瓦是不幸的，生前他没有得到他应有的荣誉和地位。但人那颗被冷遇的倍爱创伤的心，却始终充满着对未来的热情、期待和对追求。

我们知道群论是数学的一个重要分支，它在很多学科都有重要的应用，例如在物理中的应用，群论是量子力学的基础。本课程的目的是为了使学生对群论的基本理论有感性的认识和理性的了解。本课程介绍群论的基本理论及某些应用。 主要内容有：首先介绍群、子群、 群同构的概念及有关性质，这是了解群的第一步。然后较为详细地讨论了两类最常见的群：循环群与置换群，包括一些例题和练习，可以熟悉群的运算和性质， 加深对群的理解。并且介绍置换群的某些应用。 然后对群论中某些重要的概念作专题讨论。首先定义并讨论群的子集的运算；由群的子集的运算，引出并讨论了子群的陪集的概念与性质。定义并讨论了正规子群与商群的概念与性质。借助于商群的概念证明了群同态基本定理， 从而对群的同态象作出了系统的描述。这部分内容是群论中最基本的内容，是任何一个希望学习群论的读者所必须掌握的。并且给出群的直积的概念，这是研究群的结构不可缺少的工具。 最后是群表示论的基本理论及应用，包括矢量空间与函数空间，矩阵的秩与直积，不变子空间与可约表示、shur 引理、正交理论、特征标、正规函数、基函数、表示的直积等的概念。 在群的表示理论之后，就是它在量子力学中的应用，例如从群论的角度解决一些量子力学问题，主要包括哈密顿算符的对称性，距阵元定理和选择定则。从而达到了解群论的基础知识以及有限群的表示理论，为群论在物理学中的应用打下基础的目的。 Group theory is one of the great simplifying and unifying ideas in modern mathematics, and it has important applications in many scientific fields. For example, group theory is the ground of Quantum Mechanics. It was introduced in order to understand the solutions to polynomial equations, but only in the last one hundred years has its full significance, as a mathematical formulation of symmetry, been understood. It plays a role in our understanding of fundamental particles, the structure of crystal lattices and the geometry of molecules. In this unit we will study the simple axioms satisfied by groups and begin to develop basic group theory in an axiomatic way. The aim of the course is to introduce students to the concept of groups, the notion of an axiomatic system through the example of group theory, to investigate elementary properties of groups, to illustrate these with a number of important examples, such as general linear groups and symmetric groups. We give the necessary notations and basic definitions that we use throughout the thesis. First the concept of subclass is defined and discussed, the concept of the coset, the problems group factorization, coset. intersection, and double coset member for the subclass, etc. The content of this part is the most basic content and is necessary to learn for students. An important tool for the study of groups (particularly finite groups and with compact groups) is representation theory. Broadly speaking, this asks for possible ways to view a group as a permutation group or a linear group. A number of attractive areas of representation theory link representations of a group with those of its subgroups, especially normal subgroups, algebraic subgroups, and local subgroups. Representation theory also considers images of groups in the automorphism groups of other abelian groups than simply complex vector spaces; these then are the group modules. (This is a somewhat more flexible setting than abstract group theory, since we move into an additive category); modular representation theory studies the case in which the modules are vector spaces over fields with positive characteristic. At last, the course is on the application of group theory to Quantum Mechanics. We consider a symmetry operation of the system. Symmetry operation transform to the Hamilton operator symmetry, which is associated with the representation matrix. So there is matrix element theorem, and theory choice.方程论是古典代数的中心课题。直到19世纪中叶，代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科，代数方程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是用根式求解方程。所谓方程有根式解（代数可解），就是这个方程的解由该方程的系数经过有限次加减乘除以及开整数次方等运算表示出来的。群论也就是起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果。本文正是从方程论的发展入手，阐述伽罗瓦群论的产生过程，及其伽罗瓦理论的实质。 一. 伽罗瓦群论产生的历史背景 从方程的根式解法发展过程来看，早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，他们就能够用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，给出的解相当于+，，这是对系数函数求平方根。接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程，但没有得到三次方程的一般解法。这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人解决。他们对一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根x= +，其中p=ba2，q=a3，显然它是由系数的函数开三次方所得。同一时期，意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得。 用根式求解四次或四次以下方程的问题在16世纪已获得圆满解决，但是在以后的几个世纪里，探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果。1770年前后，法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法，提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，并利用拉格朗日预解式方法，即利用1的任意n次单位根（n=1）引进了预解式x1+x2+2x3+…+n-1xn，详细分析了二、三、四次方程的根式解法。他的工作有力地促进了代数方程论的进步。但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解，于是他怀疑五次方程无根式解。并且他在寻求一般n次方程的代数解法时也遭失败，从而认识到一般的四次以上代数方程不可能有根式解。他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启示。 1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善。同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在。随后，他又着手探讨高次方程的具体解法。在1801年，他解决了分圆方程xp-1=0（p为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明。 随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。1824年到1826年，阿贝尔着手考察可用根式求解的方程的根具有什么性质，于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明：如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数。并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解。接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题。在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x）的有理函数，并且任意两个根Q1(x)与Q2(x)满足Q1Q2(x)=Q2Q1(x)，Q1，Q2为有理函数。现在称这种方程为阿贝尔方程。其实在对阿贝尔方程的研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果，只是阿贝尔没能意识到，也没有明确地构造方程根的置换集合（因为若方程所有的根都用根x1来表示成有理函数Qj(x1)，j=1,2,3,…,n，当用另一个根xI代替x1时，其中1〈I≤n ，那么Qj(xI)是以不同顺序排列的原方程的根，j=1,2,…,n。实际上应说根xI=Q1(xI),Q2(xI),…,Qn(xI)是根x1,x2,…,xn的一个置换），而仅仅考虑可交换性Q1Q2(x)=Q2Q1(x)来证明方程只要满足这种性质，便可简化为低次的辅助方程，辅助方程可依次用根式求解。 阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题。法国数学家伽罗瓦正是处在这样的背景下，开始接手阿贝尔未竞的事业。二.伽罗瓦创建群理论的工作 伽罗瓦仔细研究了前人的理论，特别是拉格朗日、鲁菲尼、高斯、阿贝尔等人的著作，开始研究多项式方程的可解性理论，他并不急于寻求解高次方程的方法，而是将重心放在判定已知的方程是否有根式解。如果有，也不去追究该方程的根究竟是怎样的，只需证明有根式解存在即可。1.伽罗瓦群论的创建 伽罗瓦在证明不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法时，与拉格朗日相同，也从方程根的置换入手。当他系统地研究了方程根的排列置换性质后，提出了一些确定的准则以判定一个已知方程的解是否能通过根式找到，然而这些方法恰好导致他去考虑一种称之为“群”的元素集合的抽象代数理论。在1831年的论文中，伽罗瓦首次提出了“群”这一术语，把具有封闭性的置换的集合称为群，首次定义了置换群的概念。他认为了解置换群是解决方程理论的关键，方程是一个其对称性可用群的性质描述的系统。他从此开始把方程论问题转化为群论的问题来解决，直接研究群论。他引入了不少有关群论的新概念，从而也产生了他自己的伽罗瓦群论，因此后人都称他为群论的创始人。 对有理系数的n次方程 x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0 （1） ，假设它的n个根x1,x2,…,xn的每一个变换叫做一个置换，n个根共有n!个可能的置换，它们的集合关于置换的乘法构成一个群，是根的置换群。方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映，于是伽罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质的分析问题。现在把与方程联系起的置换群（它表现了方程的对称性质）称为伽罗瓦群，它是在某方程系数域中的群。一个方程的伽罗瓦群是对于每一个其函数值为有理数的关于根的多项式函数都满足这个要求的最大置换群，也可以说成对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数，伽罗瓦群中的每个置换都使这函数的值不变。2.伽罗瓦群论的实质 我们可以从伽罗瓦的工作过程中，逐步领悟伽罗瓦理论的精髓。首先分析一下他是怎样在不知道方程根的情况下，构造伽罗瓦群的。仍然是对方程（1），设它的根x1,x2,…,xn中无重根，他构造了类似于拉格朗日预解式的关于x1,x2,…,xn的一次对称多项式 △1=A1x1+A2x2+…+Anxn，其中AI(I=1,2,3,…,n)不必是单位根，但它必是一些整数且使得n!个形如△1的一次式△1,△2,…,△n!各不相同，接着又构造了一个方程=0 (2) ，该方程的系数必定为有理数（可由对称多项式定理证明），并且能够分解为有理数域上的不可约多项式之积。设F(x)=是 的任意一个给定的m次的不可约因子，则方程(1)的伽罗瓦群是指n!个△I中的这m个排列的全体。同时他又由韦达定理知伽罗瓦群也是一个对称群，它完全体现了此方程的根的对称性。但是计算一个已知方程的伽罗瓦群是有一定困难的，因此伽罗瓦的目的并不在于计算伽罗瓦群，而是证明：恒有这样的n次方程存在，其伽罗瓦群是方程根的可能的最大置换群S(n)，S(n)是由n!个元素集合构成的，S(n)中的元素乘积实际上是指两个置换之积。现在把S(n)中的元素个数称为阶，S(n)的阶是n!。 伽罗瓦找出方程系数域中的伽罗瓦群G后，开始寻找它的最大子群H1，找到H1后用一套仅含有理运算的手续（即寻找预解式）来找到根的一个函数。的系数属于方程的系数域R，并且在H1的置换下不改变值，但在G的所有别的置换下改变值。再用上述方法，依次寻找H1的最大子群H2，H2的最大子群H3，…于是得到H1,H2,…,Hm，直到Hm里的元素恰好是恒等变换（即Hm为单位群I）。在得到一系列子群与逐次的预解式的同时，系数域R也随之一步步扩大为R1,R2,…,Rm，每个RI对应于群HI。当Hm=I时，Rm就是该方程的根域，其余的R1,R2,…,Rm-1是中间域。一个方程可否根式求解与根域的性质密切相关。例如，四次方程 x4+px2+q=0 (3) ，p与q独立，系数域R添加字母或未知数p、q到有理数中而得到的域，先计算出它的伽罗瓦群G，G是S(4)的一个8阶子群，G={E，E1，E2，…E7}，其中E=，E1=，E2=，E3=，E4=，E5=， E6=， E7=。要把R扩充到R1，需在R中构造一个预解式，则预解式的根，添加到R中得到一个新域R1，于是可证明原方程（3）关于域R1的群是H1，H1={E，E1，E2，E3}，并发现预解式的次数等于子群H1在母群G中的指数8÷4=2（即指母群的阶除以子群的阶）。第二步，构造第二个预解式，解出根 ，于是在域R1中添加得到域R2，同样找出方程（3）在R2中的群H2，H2={E，E1}，此时，第二个预解式的次数也等于群H2在H1中的指数4÷2=2。第三步，构造第三个预解式，得它的根 ，把添加到R2中得扩域R3，此时方程（3）在R3中的群为H3，H3={E}，即H3=I，则R3是方程（3）的根域，且该预解式的次数仍等于群H3在H2中的指数2÷1=2。在这个特殊的四次方程中，系数域到根域的扩域过程中每次添加的都是根式，则方程可用根式解。这种可解理论对于一般的高次方程也同样适用，只要满足系数域到根域的扩域过程中每次都是添加根式，那么一般的高次方程也能用根式求解。 现仍以四次方程（3）为例，伽罗瓦从中发现了这些预解式实质上是一个二次的二项方程，既然可解原理对高次方程也适用，那么对于能用根式求解的一般高次方程，它的预解式方程组必定存在，并且所有的预解式都应是一个素数次p的二项方程xp=A。由于高斯早已证明二项方程是可用根式求解的。因此反之，如果任一高次方程所有的逐次预解式都是二项方程，则能用根式求解原方程。于是，伽罗瓦引出了根式求解原理，并且还引入了群论中的一个重要概念“正规子群”。 他是这样给正规子群下定义的：设H是G的一个子群，如果对G中的每个g都有gH=Hg，则称H为G的一个正规子群，其中gH表示先实行置换g，然后再应用H的任一元素，即用G的任意元素g乘H的所有置换而得到的一个新置换集合。定义引入后，伽罗瓦证明了当作为约化方程的群(如由G 约化到H1)的预解式是一个二项方程xp=A (p为素数)时，则H1是G的一个正规子群。反之，若H1是G的正规子群，且指数为素数p，则相应的预解式一定是p次二项方程。他还定义了极大正规子群：如果一个有限群有正规子群，则必有一个子群，其阶为这有限群中所有正规子群中的最大者，这个子群称为有限群的极大正规子群。一个极大正规子群又有它自己的极大正规子群，这种序列可以逐次继续下去。因而任何一个群都可生成一个极大正规子群序列。他还提出把一个群G生成的一个极大正规子群序列标记为G、H、I、J…, 则可以确定一系列的极大正规子群的合成因子[G/H]，[H/I]，[I/G]…。合成因子[G/H]=G的阶数/ H的阶数。对上面的四次方程(3)，H1是G的极大正规子群， H2是H1的极大正规子群，H3又是H2的极大正规子群，即对方程(3)的群G 生成了一个极大正规子群的序列G、H1、H2、H3。 随着理论的不断深入，伽罗瓦发现对于一个给定的方程，寻找它在伽罗瓦群及其极大不变子群序列完全是群论的事。因此，他完全用群论的方法去解决方程的可解性问题。最后，伽罗瓦提出了群论的另一个重要概念“可解群”。他称具有下面条件的群为可解群：如果它所生成的全部极大正规合成因子都是质数。 根据伽罗瓦理论，如果伽罗瓦群生成的全部极大正规合成因子都是质数时，方程可用根式求解。若不全为质数，则不可用根式求解。由于引入了可解群，则可说成当且仅当一个方程系数域上的群是可解群时，该方程才可用根式求解。对上面的特殊四次方程(3)，它的[G/H]=8/4=2，[H1/H2]=2/1=2，2为质数，所以方程(3)是可用根式解的。再看一般的n次方程，当n=3时，有两个二次预解式t2=A和t3=B，合成序列指数为2与3，它们是质数，因此一般三次方程可根式解。同理对n=4，有四个二次预解式，合成序列指数为2，3，2，2，于是一般四次方程也可根式求解。一般n次方程的伽罗瓦群是s(n)，s(n)的极大正规子群是A(n) (实际A(n)是由s(n)中的偶置换构成的一个子群。如果一个置换可表为偶数个这类置换之积，则叫偶置换。)，A(n)的元素个数为s(n)中的一半，且A(n)的极大正规子群是单位群I，因此[s(n)/A(n)]=n!/(n!/2)=2，[A(n)/I]=(n!/2)/1=n!/2， 2是质数，但当n ≥5时，n！/2不是质数，所以一般的高于四次的方程是不能用根式求解的。至此，伽罗瓦完全解决了方程的可解性问题。 顺带提一下，阿贝尔是从交换群入手考虑问题的，他的出发点与伽罗瓦不同，但他们的结果都是相同的，都为了证其为可解群，并且伽罗瓦还把阿贝尔方程进行了推广，构造了一种现在称之为伽罗瓦方程的方程，伽罗瓦方程的每个根都是其中两个根的带有系数域中系数的有理函数。四.伽罗瓦群论的历史贡献 伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，但他并不局限于此，而是把群论进行了推广，作用于其他研究领域。可惜的是，伽罗瓦群论的理论毕竟太深奥，对十九世纪初的人们来说是很难理解的，连当时的数学大师都不能理解他的数学思想和他的工作的实质，以至他的论文得不到发表。更不幸的是伽罗瓦在二十一岁时便因一场愚蠢的决斗而早逝，我们不得不为这位天才感到惋惜。到十九世纪六十年代，他的理论才终于为人们所理解和接受。 伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。参考文献：M·克莱因．古今数学思想．北京大学数学系数学史翻译组译．上海：上海 科学技术出版社，1980．鲁又文编著．数学古今谈．天津：天津科学技术出版社，1984． 中外数学简史编写组．外国数学简史．山东：山东教育出版社，1987． 吴文俊主编．世界著名科学家传记．北京：科学出版社，1994． Tony Rothman：”伽罗瓦传”，《科学》，重庆，科学技术文献出版社重庆分社，1982年第8 期，第81～92页．

伽罗华是现代群论的创始人之一 ；用群论系统化地阐述了五次及五次以上方程不能用公式求解 ；用群论解决了古代三大作图问题中的两个(三等分角和倍立方)。埃瓦里斯特·伽罗瓦，1811年10月25日生，法国数学家。现代数学中的分支学科群论的创立者。用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，人们称之为伽罗瓦理论，并把其创造的“群”叫作伽罗瓦群（Galois Group）。扩展资料：伽罗华的死亡：据说1832年3月他在狱中结识一个医生的女儿并陷入狂恋，因为这段感情，他陷入一场决斗，自知必死的伽罗瓦在决斗前夜将他的所有数学成果狂笔疾书纪录下来。并时不时在一旁写下“我没有时间”，第二天他果然在决斗中身亡，时间是1832年5月31日。这个传说富浪漫主义色彩，为后世史家所质疑。在去世的前一天晚上，伽罗瓦仍然奋笔疾书，总结他的学术思想，整理、概述他的数学工作。他希望有朝一日自己的研究成果能大白于天下。他的朋友 Chevalier 遵照伽罗瓦的遗愿，将他的数学论文寄给卡尔·弗里德里希·高斯与卡尔·雅可比，但是都石沉大海，要一直到1843年，才由刘维尔肯定伽罗瓦结果之正确、独创与深邃，并在1846年将它发表。参考资料来源：百度百科——伽罗华

在高中数学知识的基础上,再学习<<高等代数>>就可以了.

http://baike.baidu.com/view/4678401.htm?fromtitle=%E4%BC%BD%E7%BD%97%E5%8D%8E&fr=aladdin埃瓦里斯特·伽罗瓦，1811年10月25日生，法国数学家。现代数学中的分支学科群论的创立者。用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，人们称之为伽罗瓦群和伽罗瓦理论。在世时在数学上研究成果的重要意义没被人们所认识，曾呈送科学院3篇学术论文，均被退回或遗失。后转向政治，支持共和党，曾两次被捕。21岁时死于一次决斗。http://baike.baidu.com/view/6252314.htm?fromtitle=%E9%98%BF%E8%B4%9D%E5%B0%94&fromid=25394&type=syn尼尔斯·亨利克·阿贝尔编辑 阿贝尔（挪威数学家）一般指尼尔斯·亨利克·阿贝尔 挪威数学家。死后才被认为现代数学之先驱。曾证明五次或更高次代数方程一般不能用根式求解，由此引起可交换群（即阿贝尔群）的概念。研究了二项级数的性质、阿贝尔积分和阿贝尔函数。在与雅可比的竞赛中共同完成了椭圆函数论的基础工作。柏林大学聘任其为教授的通知到时，他已病逝。

伽罗瓦有研究椭圆函数。埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois，1811年10月25日—1832年5月31日），法国数学家。群论的创立者。利用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，并由此发展了一整套关于群和域的理论，人们称之为伽罗瓦理论，并把其创造的“群”叫作伽罗瓦群（Galois Group）。伽罗瓦生前在数学上研究成果的重要意义并没有被人们所认识，他曾呈送科学院3篇学术论文，均被退回或遗失。后转向政治，支持共和党，曾两次被捕。1832年死于一次决斗。埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois，1811年10月25日－1832年5月31日，法语发音evaʀist galwa），法国数学家，与尼尔斯·阿贝尔并称为现代群论的创始人。在一次几近自杀的决斗中英年早逝，引起种种揣测。伽罗瓦的父母都是知识分子，12岁以前，伽罗瓦的教育全部由他的母亲负责，他的父亲在伽罗瓦4岁时被选为Bourg La Reine的市长。12岁，伽罗瓦进入路易皇家中学就读，成绩都很好，却要到16岁才开始跟随范涅尔（H.J. Vernier )老师学习数学，他对数学的热情剧然引爆，对于其他科目再也提不起任何兴趣。校方描述此时的伽罗瓦是“奇特、怪异、有原创力又封闭”。1827年，16岁的伽罗瓦自信满满地投考他理想中的（学术的与政治的）大学：综合工科学校，却因为颟顸无能的主考官而名落孙山。1829年，伽罗瓦将他在代数方程解的结果呈交给法国科学院，由奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy） 负责审阅，柯西却将文章连同摘要都弄丢了（19世纪的两个短命数学天才阿贝尔与伽罗瓦都不约而同地“栽”在柯西手中）。

一般说来，群指的是对于某一种运算*，满足以下四个条件的集合G： （1）封闭性 若a,b∈G,则存在唯一确定的c∈G,使得a*b=c; （2）结合律成立 任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c); （3）单位元存在 存在e∈G,对任意a∈G，满足a*e=e*a=a，称e为单位元，也称幺元; （4）逆元存在 任意a∈G,存在唯一确定的b∈G, a*b=b*a=e（单位元），则称a与b互为逆元素，简称逆元，记作a^(-1)=b. 通常称G上的二元运算*为“乘法”，称a*b为a与b的积，并简写为ab. 若群G中元素个数是有限的，则G称为有限群。否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。 定义运算* 对于g∈G，H包含于G，g*H={gh|h∈H}，简写为gH；H*g={hg|h∈H}，简写为Hg. A，B包含于G，A*B={ab|a∈A,b∈B}，简写为AB. 群的替换定理 G对*是群，则对于任一g∈G，gG=Gg=G. 定义记法 G对*是群，集合H包含于G，记H^(-1)={h^(-1)|h∈H} 子群的定义 如果G对于运算*为一个群，H包含于G并且H对*构成一个群，那么称H为G的子群。 这条定理可以判定G的子集是否为一个子群： HH=H且H^(-1)=H <=> H是G的子群历史 群论是法国传奇式人物伽罗瓦（ Galois，1811~1832年）的发明。他用该理论，具体来说是伽罗瓦群，解决了五次方程问题。在此之后柯西（Augustin-Louis Cauchy,1789~1857年)，阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802~1829年）等人也对群论作出了发展。 最先产生的是n个文字的一些置换所构成的置换群，它是在研究当时代数学的中心问题即五次以上的一元多项式方程是否可用根式求解的问题时,经由J.-L.拉格朗日、P.鲁菲尼、N.H.阿贝尔和E.伽罗瓦引入和发展，并有成效地用它彻底解决了这个中心问题。某个数域上一元n次多项式方程,它的根之间的某些置换所构成的置换群被定义作该方程的伽罗瓦群，1832年伽罗瓦证明了：一元 n次多项式方程能用根式求解的一个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群为“可解群”（见有限群）。由于一般的一元n次方程的伽罗瓦群是n个文字的对称群Sn，而当n≥5时Sn不是可解群，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。伽罗瓦还引入了置换群的同构、正规子群等重要概念。应当指出，A.-L.柯西早在1815年就发表了有关置换群的第一篇论文，并在1844～1846年间对置换群又做了很多工作。至于置换群的系统知识和伽罗瓦用于方程理论的研究，由于伽罗瓦的原稿是他在决斗致死前夕赶写成的，直到后来才在C.若尔当的名著“置换和代数方程专论”中得到很好的介绍和进一步的发展。置换群是最终产生和形成抽象群的第一个最主要的来源。 在数论中，拉格朗日和C.F.高斯研究过由具有同一判别式D的二次型类,即f=ax^2+2bxy+cy^2,其中a、b、с为整数，x、y 取整数值，且D＝b^2-aс为固定值，对于两个型的"复合"乘法,构成一个交换群。J.W.R.戴德金于1858年和L.克罗内克于1870年在其代数数论的研究中也引进了有限交换群以至有限群。这些是导致抽象群论产生的第二个主要来源。 在若尔当的专著影响下，（C.）F.克莱因于1872年在其著名的埃尔朗根纲领中指出，几何的分类可以通过无限连续变换群来进行。克莱因和（J.-）H.庞加莱在对 "自守函数”的研究中曾用到其他类型的无限群（即离散群或不连续群）。在1870年前后，M.S.李开始研究连续变换群即解析变换李群,用来阐明微分方程的解,并将它们分类。这无限变换群的理论成为导致抽象群论产生的第三个主要来源。 A.凯莱于1849年、 1854年和 1878年发表的论文中已然提到接近有限抽象群的概念。F.G.弗罗贝尼乌斯于1879年和E.内托于1882年以及W.F.A.von迪克于 1882～1883年的工作也推进了这方面认识。19世纪80年代，综合上述三个主要来源，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理系统，大约在1890年已得到公认。20世纪初，E.V.亨廷顿，E.H.莫尔，L.E.迪克森等都给出过抽象群的种种独立公理系统，这些公理系统和现代的定义一致。 在1896～1911年期间，W.伯恩赛德的“有限群论”先后两版,颇多增益。G.弗罗贝尼乌斯、W.伯恩赛德、I.舒尔建立起有限群的矩阵表示论后，有限群论已然形成。无限群论在20世纪初，也有专著,如1916年Ο.ю.施米特的著作。群论的发展导致20世纪30年代抽象代数学的兴起。尤其是近30年来,有限群论取得了巨大的进展,1981年初，有限单群分类问题的完全解决是一个突出的成果。与此同时，无限群论也有快速的进展。 时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群、算术群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以至（代数）编码学、自动机理论等方面，都有重要的应用。作为推广“群”的概念的产物：半群和幺半群理论及其近年来对计算机科学和对算子理论的应用，也有很大的发展。群论的计算机方法和程序的研究，已在迅速地发展。 今天，群论经常应用于物理领域。粗略地说，我们经常用群论来研究对称性，这些对称性能够反映出在某种变化下的某些变化量的性质。它也跟物理方程联系在一起。基础物理中常被提到的李群，就类似与伽罗瓦群被用来解代数方程，与微分方程的解密切相关。 在物理上，置换群是很重要的一类群。置换群包括S3群，二维旋转群，三维旋转群以及和反应四维时空相对应的洛仑兹群。洛仑兹群加上四维变换就构成了Poincare群。 另外，晶体学中早期的关于晶体的各种结构的问题中，也是靠群论中的费得洛夫群的研究给出了答案。群论指出，空间中互不相同的晶体结构只有确定的230种。 在研究群时，使用表象而非群元是较方便的，因为群元一般来说都是抽象的事物。表象可以看成矩阵，而矩阵具有和群元相同的性质。不可约表象和单位表象是表象理论中的重要概念。 在许多研究群论的数学家眼中，也即指在抽象群论中，数学家关心的是各元素间的运算关系，也即群的结构，而不管一个群的元素的具体含义是什么。举一个具体的例子，群论研究表明，任何一个群都同构于由群的元素组成的置换群。于是，特别是对研究有限群来说，研究置换群就是一个重要的问题了。群的例子 全体整数的加法构成一个群 全体非零实数的乘法构成一个群 对三个互不相同的有序对象的6种不同顺序间的改变（包括不变的情况）构成一个六阶的群（这是一个有限的置换群的例子） ,它由此被标记为S3

是伽罗瓦。但是伽罗瓦是16岁时候才接触数学，18 岁时，伽罗瓦解决了当时数学界的顶级难题为什么5次及5次以上的多项式方程没有一般的解。他把这一研究成果提交给了法国科学院，由大数学家柯西负责审稿。但都没有准许发表，其中的原因至今不明。伽罗瓦介绍后来伽罗瓦又把论文交给了科学院秘书傅立叶，但没过几天傅立叶就去世了，于是论文被搞丢了。1831年伽罗瓦第3次投稿，当时的审稿人是泊松，他认为伽罗瓦的论文很难理解，拒绝发表。人们把伽罗瓦的整套数学思想总结为了伽罗瓦理论。多项式方程的根、标尺作图的不可能性等一系列代数方程求解问题，都可以用伽罗瓦理论得到一个简洁而完美的解答。伽罗瓦理论对今后代数学的发展，起到了决定性的作用。伽罗瓦，1811年10月25日生，法国数学家。现代数学中的分支学科群论的创立者。用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，人们称之为伽罗瓦群和伽罗瓦理论。在世时在数学上研究成果的重要意义没被人们所认识，曾呈送科学院3篇学术论文，均被退回或遗失。

世界十大数学家1、阿基米德 阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家。阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬起整个地球。”阿基米德确立了静力学和流体静力学的基本原理。给出许多求几何图形重心，包括由一抛物线和其网平行弦线所围成图形的重心的方法。2、卡尔·弗里德里希·高斯 约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss ，1777年4月30日－1855年2月23日，享年77岁），犹太人，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一。高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称。高斯和阿基米德、牛顿、欧拉并列为世界四大数学家。一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。3、艾萨克·牛顿 艾萨克·牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日）爵士，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，百科全书式的“全才”，著有《自然哲学的数学原理》、《光学》。他在1687年发表的论文《自然定律》里，对万有引力和三大运动定律进行了描述。这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点，并成为了现代工程学的基础。他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律；为太阳中心说提供了强有力的理论支持，并推动了科学革命。4、莱昂哈德·欧拉 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。5、欧几里得 欧几里得（英文：Euclid；希腊文：Ευκλειδης ，公元前330年—公元前275年），古希腊人，数学家。他活跃于托勒密一世（公元前364年－公元前283年）时期的亚历山大里亚，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。6、亨利·庞加莱 亨利·庞加莱(Jules Henri Poincaré)是法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家，1854年4月29日生于法国南锡，1912年7月17日卒于巴黎。庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学、天体力学、数学物理、多复变函数论、科学哲学等许多领域。他被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人。7、波恩哈德·黎曼 波恩哈德·黎曼(公元1826—1866年)，是德国著名的数学家，他在数学分析和微分几何方面作出过重要贡献，他开创了黎曼几何，并且给后来爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。2018年9月，迈克尔·阿蒂亚声明证明黎曼猜想，9月24日，迈克尔·阿蒂亚贴出了他证明黎曼假设（猜想）的预印本。8、艾伦·麦席森·图灵 艾伦·麦席森·图灵（Alan Mathison Turing，1912年6月23日－1954年6月7日），英国数学家、逻辑学家，被称为计算机科学之父，人工智能之父。图灵对于人工智能的发展有诸多贡献，提出了一种用于判定机器是否具有智能的试验方法，即图灵试验，至今，每年都有试验的比赛。此外，图灵提出的著名的图灵机模型为现代计算机的逻辑工作方式奠定了基础。9、埃瓦里斯特·伽罗瓦 埃瓦里斯特·伽罗瓦，1811年10月25日生，法国数学家。现代数学中的分支学科群论的创立者。用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，人们称之为伽罗瓦群和伽罗瓦理论。在世时在数学上研究成果的重要意义没被人们所认识，曾呈送科学院3篇学术论文，均被退回或遗失。后转向政治，支持共和党，曾两次被捕。21岁时死于一次决斗。10、格奥尔格·康托尔 格奥尔格·康托尔（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6）德国数学家，集合论的创始人。生于俄国列宁格勒（今俄罗斯圣彼得堡）。父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家。1856年全家迁居德国的法兰克福。先在一所中学，后在威斯巴登的一所大学预科学校学习。康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级数并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——集合论和超穷数理论的建立。除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理哲学问题.1888-1893年康托尔任柏林数学会第一任会长，1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。

两个人都是极有才华的天才，都是英年早逝。个人感觉，伽罗华的成就，更加有开创性。1阿贝尔跟欧拉一样，是一个多产的数学家。阿贝尔积分、阿贝尔函数、阿贝尔积分方程、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔基本定理、阿贝尔极限定理、阿贝尔可和性，等等。只有很少几个数学家能使自己的名字同近代数学中这么多的概念和定理联系在一起。阿贝尔是公认的椭圆函数论的奠基者。他还证明了：一般的一个代数方程，如果方程的次数n≥5 ，那么此方程的根不可能由方程的系数组成的根式来表示。这是一个划时代的结论，它宣告了寻找方程求根公式时代的结束。阿贝尔在数学方面的成就是多方面的。除了五次方程之外，他还研究了更广的一类代数方程，后人发现这是具有交换的伽罗瓦群的方程。为了纪念他，后人称交换群为阿贝尔群。2伽罗瓦 提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论。正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程。正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具—群论。它对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始。 他研究数学才五年，就有如此成就，是个绝顶的天才。伽罗华理论是一种普遍性的理论，用这种理论能够推出阿贝尔曾经得到过的五次及五次以上一般的代数方程不可根式解的结论，而且能指出一些特殊方程可解的条件，这是一种比阿贝尔前进得远得多的代数理论。

伽罗瓦工作的核心部分是可解性判别准则：当且仅当多项式方程的群是可解群（伽罗瓦群），这个方程可用代数的方法求解。当方程的次数大于 4 时，它的合成指数列中的项不全为素数。那么根据伽罗瓦可解性定理，该方程所对应的伽罗瓦群不是可解群，因而由伽罗瓦可解性判定准则可知五次及以上方程【没有根式解】。迄今，伽罗瓦理论已近二百年，华罗庚的论文也发表了整整 80 年，其间国内未见有学者再对一元五次方程求解有异议。最近国内的一本书在平静的池塘中，投下了一块石头， 书名赫然写着《一元五次方程破解》！古老的问题迎来了新的挑战。《一元五次方程破解》的两位作者讨论了一般的一元五次方程的根的求解x +a5x +b5x +c5x +d 5x +e5 = 0 (e5 ≠ 0)将上述的一般形式的一元五次方程，按其某些项系数是否为 0 分为 16 种类型（任意实系数、实系数≤1、复系数），以及包括性质 1～性质 17 的各种方程。（具体分类参见该书）。按照作者的解题思路、解题步骤的要求，采用作者书中的解法 1～解法 8，则求解一般的一元五次方程（任一的）的实根和复根也就迎刃而解了。作者的主要思路可以归纳为：先找出一元五次方程的一个根 x1 ，然后将一元五次方程降为一元四次方程，这样问题就简单了。毕竟，一元四次方程的求解是一个已经解决的问题。关键问题是如何求解 x1 ！作者采用了分解系数、考察 x1 的取值范围等方法来求出 x1 。作者在前言中说：“我们这里解开所有一元五次方程成立与否及其每个例题都是经过检验确定其正确与否，这就等同对此审核其对、错成为定局，不存在什么偏、差、错、漏问题，也不存在什么权威问题。” 全书虽然只有 180 页，但这180 页几乎全是计算，对 16 类一元五次方程逐一求解，辅以验证，这种工作在国内是属于开创性的。作者的刻苦钻研精神和探索精神，实在是值得学习！但问 题是：这样做就是“破解”一元五次方程了吗？前已详述，无论是阿贝尔还是伽罗瓦，他们所要证明的都是一般的五次及以 上方程没有根式解，也就是说，五次及以上代数方程不能像二次、三次、四次方 程那样，有一个由其各项系数通过有限次加减乘除或开方运算来得到方程的所有的解。也就是阿贝尔定理所指出的：n 次一般多项式当n ≥5 时，不能用根号解出。这里虽然指的是一般多项式，但是对于 4 次以上的多项式即使系数是整数的，也不一定都能够用根号解出。对于一些特殊的一元五次方程的根，通过其它方法还是可以求解的。当然，如果人类永远限制自己用一种特定的方式并且用特定的工具，那么数学就无从发展。如果我们不限制只用复数域中的运算及根的开方，那么存在一个求解一元五次方程根的方法是相当有可能的。事实上，我们可以用牛顿法来求任意一个多项式 f (x )∈ R [x]的实根：若r为 f ( x )的一个实根且h0 是r 的一个“好”的近似值，则r = lim hn ，其中规定hn +1 = hn − f ( hn ) f ′( hn )。此外还有利用椭圆n→∞模函数求五次方程根的埃尔米特法。科隆内克（Kronecker）在给埃尔米特（Hermite）的一封信及后来的一篇文章中提到，可以用椭圆模函数解出一般五次方程。通常说一般一元五次方程没有根式解。但是，没有根式解不代表完全不能解。如果能找到一元五次方程一个解或者近似解，那么很明显就可以把一元五次方程降幂为一元四次方程，这样方程就是可解的了。该书作者正是沿着这种思路，去求解一元五次方程的。将一个复杂的问题转化为相对简单的问题，将一个高次方程转化为低次方程，这是数学研究中常见的思路。

弗罗贝尼乌斯的论文数量很多，其中相当一部分非常重要．他有几篇文章是与其他著名学者合作的，尤其与L．施蒂克尔贝格(Stickelberger)和I．舒尔(Schur)的合作最为成功．舒尔是弗罗贝尼乌斯的学生，被认为是抽象群表示论的初创者之一，他发展和简化了弗罗贝尼乌斯的一些结果．弗罗贝尼乌斯生前没有专著出版，1968年，他的论文以论文集的形式重新出版，共3卷。弗罗贝尼乌斯在θ函数、行列式、矩阵、双线性型以及代数结构方面都有出色的工作。1874年，他给出有正则奇点的任意次齐次线性微分方程的一种无穷级数解，后被称为“弗罗贝尼乌斯方法”。关于这一问题的系统研究是由魏尔斯特拉斯的学生I．L．富克斯(Fiuchs)开创的。1878年，弗罗贝尼乌斯发表了正交矩阵的正式定义，并对合同矩阵进行了研究。1879年，他联系行列式引入矩阵秩的概念。弗罗贝尼乌斯还扩展了魏尔斯特拉斯在不变因子和初等因子方面的工作，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子理论，这对线性微分方程理论具有重要意义。1880年，弗罗贝尼乌斯提出发散级数的一种可和性定义，他的结果后来被O．L．赫尔德(H1der)推广，成为(H，r)求和法。弗罗贝尼乌斯的主要数学贡献在群论方面，尤其是群的表示理论。群的思想萌芽虽然在数学史上出现得很早，但其概念直至19世纪后半叶才正式出现．19世纪70，80年代，数学家们通过联系群的三个主要历史根源创造了抽象群的概念。这三个根源是：代数方程的求解理论，包括伽罗瓦群、置换群；几何，包括有限和无限变换群、李群；数论，包括二次型的组合、加法群．抽象群是现代意义下第一个抽象的数学结构．弗罗贝尼乌斯对抽象群概念的形成做出奠基性的贡献。在与施蒂克尔贝格合作的“关于可换元素群”(Ueber Gruppenvon vertauschbaren Elementen，1879)中，他指出抽象群的概念应当包含同余、高斯二次型组合以及。伽罗瓦(Galois)的置换群，他还提到了无限群．发表于1895年的“有限群”(ber endliche Gruppen)也是关于抽象群概念的一篇重要文章．群的抽象概念完成之后，弗罗贝尼乌斯开始研究抽象群理论中的具体问题．1887年，他证明了有限抽象群的叙洛夫(Sylow)定理，即如果一个有限群的阶(有限群的阶指它包含的元素的个数)能被一个素数p的方幂pn整除，则它恒包含一个pn阶子群．19世纪90年代，弗罗贝尼乌斯研究可解群，发现阶不能被一个素数的平方整除的群全都是可解的．研究什么样的群可解，对于确定群的结构很重要。19世纪末20世纪初，受J．W．R．戴德金(Dedekind)来信的鼓舞，弗罗贝尼乌斯开始创立和发展群论中最系统和最本质的部分——有限群的表示理论。作为群表示论的开端，他对于有限群中n个变量的线性代换理论产生重大影响，这一理论的所有重要方面最终由弗罗贝尼乌斯和舒尔共同完成。群表示论就是用具体的线性群(矩阵群)来描述群的理论．其核心是群特征标理论。弗罗贝尼乌斯发表的与这一论题相联系的论文有“群特征标”(ber die Gruppencharaktere，1896)，“论有限群线性代换”(ber die Darstellungder endlichen Gruppen durch lineareSubstitutionen，1897，1899)，“关于群特征的结构”(ber dieKomposition der Charaktere einer Gruppe，1899)，以及与舒尔合作的“论实有限群”(ber die reellen Darstellungen der end-lichen Gruppen，1906)等。在发表于1896年的三篇文章“可交换矩阵”(ber vertausch-bare Matrizen)、“群特征标”和“群行列式的素因子”(ber diePrimfaktoren der Gruppendeterminante)中，弗罗贝尼乌斯建立了有限群特征论的基础，解决了戴德金提出的非阿贝尔群的群行列式分解问题。在“论有限群线性代换”中，弗罗贝尼乌斯首次介绍了有限群的表示这一概念。设G是有限群，C是复数域，他定义一个表示是一个同态T∶G→GLd(C)，这里GLd(C)是C上可逆的d×d矩阵群，d还对有限群引进可约表示和完全可约表示的概念，证明了一个正则表示包含所有不可约表示．在这篇文章中，他定义在一般情形下，表示T和T"∶G→GLd"(C)是等价的，如果它们有相同的度数，即d=d"，X=T"(g)。特别地，对g∈G，矩阵r(g)和r′(g′)是相似的，因此它们有相同的关于相似性的数值不变量：相同的特征值集合，相同的特征多项式，迹和行列式．表示论的重要不变量是迹函数，弗罗贝尼乌斯称X(g)=T(g)，g∈G的迹为表示的特征。这个定义比较简单，成为今天的标准定义。在“群特征标”一文中，他曾给出一个叙述颇为复杂的定义。特征实际上确定了表示，可以证明：两个表示等价，当且仅当他们的特征等价．可见研究有限群的特征有重要意义。群的特征的概念后来又被弗罗贝尼乌斯及其他人应用到无限群上。在“群与其子群特征之间的关系”(ber Relationen zwischenden Charakteren einer Gruppe und denen iher Untergruppen，1898)一文中，弗罗贝尼乌斯对群G的特征和G的子群H的特征之间的关系进行了深刻的分析，他正确地认识到了解这一关系对于表示和特征的实际计算非常重要．在这篇文章中，弗罗贝尼乌斯给出诱导类函数的定义：φg(g)=他还证明了一个现在称为弗罗贝尼乌斯互反律的基本结果：即若ρ与φ分别是G与H的不可约表示，则φ在ρH(即ρ限制到H上)的完全分解中出现的重数等于ρ在诱导表示φg要工具．弗罗贝尼乌斯关于诱导特征的推广称为例外特征理论。从1896年至1907年间，弗罗贝尼乌斯发表了20多篇论文，从各方面扩展了特征论和表示论，专门论述了对称群的特征、变换群的特征等。他还得出仅存在少数几个不可约表示、其他所有表示都是由它们组合而成的重要结果。与弗罗贝尼乌斯同时，英国数学家W．伯恩赛德(Burnside)也独立发展了表示论和特征的方法。他的《有限阶群论》(Theoryof groups of finite order，1897)的第二版(1911)是群论的经典著作之一，在这本书中他表达了对弗罗贝尼乌斯的感谢：“有限阶群作为线性变换的表示论主要由弗罗贝尼乌斯教授创立，而同源的群特征理论完全由他创立”。20世纪20年代，A．E．诺特(No-ether)强调了“模”这一代数结构的重要性，她将代数结构和群表示论融合为一，推进了这两个分支的发展．后来，R．D．布劳尔(Brauer)深化群表示论的研究，引进模表示论。有限群的表示论已推广到无限群，特别是局部紧拓扑群，这成为近代分析的一个主要领域，推广了经典傅里叶(Fourier)分析。群表示论不仅应用在群的一些比较困难的问题中，在理论物理和量子力学中也有奇妙而重要的应用。

Galois（1811～1832）生於 BourgLa Reine（巴黎近郊），卒於巴黎，法国代数学家。发明 Galois 理论，与 Abel 并称为现代群论的创始人。他们俩的早殇，是十九世纪数学界的悲剧。 Galois 的父母都是知识分子，12岁以前，Galois 的教育全部由他的母亲负责，他的父亲在 Galois 4 岁时被选为 Bourg La Reine 的市长。 12岁，Galois 进入路易皇家中学就读，成绩都很好，却要到16岁才开始跟随 Vernier 老师学习数学，他对数学的热情剧然引爆，对於其他科目再也提不起任何兴趣。校方描述此时的 Galois 是「奇特、怪异、有原创力又封闭」。 1827年，16岁的 Galois 自信满满地投考他理想中的（学术的与政治的）大学：综合工科学校 (Ecole Polytechnique)，却因为颟顸无能的主考官而名落孙山。 1829年，Galois 将他在代数方程解的结果呈交给法国科学院，由 Cauchy 负责审阅，Cauchy 却将文章连同摘要都弄丢了（19世纪的两个短命数学天才 Abel 与 Galois 不约而同地都「栽」在 Cauchy 手中）。 更糟糕的是，当 Galois 第二次要报考综合工科大学时，他的父亲却因为被人在选举时恶意中伤而自杀。正直父亲的冤死，影响他考试失败，也导致他的政治观与人生观更趋向极端。 Galois 进入高等师范学院 (Ecole Normale Supérieure) 就读，次年他再次将方程式论的结果，写成三篇论文，争取当年科学院的数学大奖，但是文章在送到 Fourier 手中後，却因 Fourier 过世又遭蒙尘，Galois 只能眼睁睁看著大奖落入 Abel 与 Jacobi 的手中。 1830年七月革命发生，保皇势力出亡，高等师范校长将学生锁在高墙内，引起 Galois 强烈不满，十二月 Galois 在校报上抨击校长的作法，因此被学校退学。由於强烈支持共和主义，从1831年五月後，Galois 两度因政治原因下狱，也曾企图自杀。 1832年三月他在狱中结识一个医生的女儿并陷入狂恋，接下来是他那传奇的死亡：因为这段感情，他陷入一场决斗，自知必死的 Galois 在决斗前夜将他的所有数学成果狂笔疾书纪录下来，第二天他果然在决斗中死亡。 他的朋友 Chevalier 遵照 Galois 的遗愿，将他的数学论文寄给高斯与 Jacobi，但是都石沉大海，要一直到1843年，才由 Liouville 肯定 Galois 结果之正确、独创与深邃，并在1846年将它发表。 Galois 使用群论的想法去讨论方程式的可解性，整套想法现称为 Galois 理论，是当代代数与数论的基本支柱之一。它直接推论的结果十分丰富： (1) 它系统化地阐释了为何五次以上之方程式不可解，而四次以下可解。 (2) 他漂亮地证明高斯的论断：若用尺规作图能作出正 p 边形，p 为质数 n=22k+1（所以正十七边形可做图）。 (3) 他解决了古代三大作图问题中的两个：「不能任意三等分角」，「体倍增不可能」。

我国著名数学家、数学方法论的倡导者和带头人徐利治先生指出：“方法沦(methodology)就是把某种共同的发展规律和研究方法作为讨论对象的一门学问……。数学方法对于数学的发展起着关键性的推动作用，许多比较困难的重大问题的解决，往往取决于数学概念和数学方法上的突破，如历史上古希腊三大尺规作图难题，就是笛卡尔创立解析几何之后，数学家们借助解析几何，采用了RMI(关系——映射——反演)方法，才得到彻底的解决；这又启发了后来的数学家们采用类似的办法解决了欧氏几何与实数理论的相对相容性问题。又如，代数方程的根式解的问题，也是在伽罗瓦群论思想方法的指导下，才得以圆满解决；不仅如此，群论的思想方法还使得代数学的研究发生了巨大的变革，从古典的局部性研究转向了近代的系统结构整体性的研究。

多做题，整理一套适合自己的解题方法。多理解，认真听课。。。（其实最好的方法是有学好数学的信念，要看自己。）

elfranger 不要误人子弟了。

域的正规可分扩张定义为伽罗瓦扩张。 若K/F为伽罗瓦扩张，K上的F-自同构的集合构成一个群，定义为伽罗瓦群，记为Gal(K/F)。 对于H是Gal(K/F)的子群，称K中在H中任意元素作用下不动元的集合为H的不动域，这是一个中间域。 对于伽罗瓦扩张，扩张的中间域和伽罗瓦群的子群有一一对应的关系。 F⊂E⊂K形式的伽罗瓦扩张，E/F是正规扩张当且仅当Gal(K/E)是Gal(K/F)的正规子群。 在特征为0的域上，多项式的根可用根式解当且仅当其分裂域扩张的伽罗瓦群是可解群。 广义上的伽罗瓦理论还包括尺规作图，诺特方程，循环扩张，库默尔理论等内容。

群论是法国数学家伽罗瓦（Galois）的发明。他用该理论，具体来说是伽罗瓦群，解决了五次方程问题。在此之前柯西（Augustin-Louis Cauchy)，阿贝尔（Niels Henrik Abel）等人也对群论作出了贡献。最先产生的是n个文字的一些置换所构成的置换群，它是在研究当时代数学的中心问题即五次以上的一元多项式方程是否可用根式求解的问题时，经由J.-L.拉格朗日、P.鲁菲尼、N.H.阿贝尔和E.伽罗瓦引入和发展，并有成效地用它彻底解决了这个中心问题。某个数域上一元n次多项式方程，它的根之间的某些置换所构成的置换群被定义作该方程的伽罗瓦群，1832年伽罗瓦证明了：一元 n次多项式方程能用根式求解的一个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群为“可解群”（见有限群）。由于一般的一元n次方程的伽罗瓦群是n个文字的对称群Sn，而当n≥5时Sn不是可解群，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。伽罗瓦还引入了置换群的同构、正规子群等重要概念。应当指出，A.-L.柯西早在1815年就发表了有关置换群的第一篇论文，并在1844～1846年间对置换群又做了很多工作。至于置换群的系统知识和伽罗瓦用于方程理论的研究，由于伽罗瓦的原稿是他在决斗致死前夕赶写成的，直到后来才在C.若尔当的名著“置换和代数方程专论”中得到很好的介绍和进一步的发展。置换群是最终产生和形成抽象群的第一个最主要的来源。在数论中，拉格朗日和C.F.高斯研究过由具有同一判别式D的二次型类，即f=ax^2+2bxy+cy^2，其中a、b、с为整数，x、y 取整数值，且D=b^2-aс为固定值，对于两个型的"复合"乘法，构成一个交换群。J.W.R.戴德金于1858年和L.克罗内克于1870年在其代数数论的研究中也引进了有限交换群以至有限群。这些是导致抽象群论产生的第二个主要来源。在若尔当的专著影响下，（C.）F.克莱因于1872年在其著名的埃尔朗根纲领中指出，几何的分类可以通过无限连续变换群来进行。克莱因和（J.-）H.庞加莱在对 "自守函数”的研究中曾用到其他类型的无限群（即离散群或不连续群）。在1870年前后，索菲斯·李开始研究连续变换群即解析变换李群，用来阐明微分方程的解，并将它们分类。这无限变换群的理论成为导致抽象群论产生的第三个主要来源。A.凯莱于1849年、 1854年和 1878年发表的论文中已然提到接近有限抽象群的概念。F.G.弗罗贝尼乌斯于1879年和E.内托于1882年以及W.F.A.von迪克于 1882～1883年的工作也推进了这方面认识。19世纪80年代，综合上述三个主要来源，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理系统，大约在1890年已得到公认。20世纪初，E.V.亨廷顿，E.H.莫尔，L.E.迪克森等都给出过抽象群的种种独立公理系统，这些公理系统和现代的定义一致。在1896～1911年期间，W.伯恩赛德的“有限群论”先后两版，颇多增益。G.弗罗贝尼乌斯、W.伯恩赛德、I.舒尔建立起有限群的矩阵表示论后，有限群论已然形成。无限群论在20世纪初，也有专著，如1916年Ο.ю.施米特的著作。群论的发展导致20世纪30年代抽象代数学的兴起。尤其是近30年来，有限群论取得了巨大的进展，1981年初，有限单群分类问题的完全解决是一个突出的成果。与此同时，无限群论也有快速的进展。时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群、算术群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以至（代数）编码学、自动机理论等方面，都有重要的应用。作为推广“群”的概念的产物：半群和幺半群理论及对计算机科学和对算子理论的应用，也有很大的发展。群论的计算机方法和程序的研究，已在迅速地发展。就科学内容而言，群论属于数学范畴，在许多数学分支中都有它的应用。它还被广泛用于物理、化学及工程科学等许多领域，尤其是物理学成为受惠最多的学科。从经典物理中对称性和守恒律的研究到量子力学中角动量理论及动力学对称性的探索再到同位旋、超荷和SU（3）对称性在现代基本粒子物理中的应用等无不闪耀着群论思想的光辉。 粗略地说，我们经常用群论来研究对称性，这些对称性能够反映出在某种变化下的某些变化量的性质。它也跟物理方程联系在一起。基础物理中常被提到的李群，就类似与伽罗瓦群被用来解代数方程，与微分方程的解密切相关。在物理上，置换群是很重要的一类群。置换群包括S3群，二维旋转群，三维旋转群以及和四维时空相对应的洛仑兹群。洛仑兹群加上四维变换就构成了Poincare群。另外，晶体学中早期的关于晶体的各种结构的问题中，也是靠群论中的费得洛夫群的研究给出了答案。群论指出，空间中互不相同的晶体结构只有确定的230种。在研究群时，使用表象而非群元是较方便的，因为群元一般来说都是抽象的事物。表象可以看成矩阵，而矩阵具有和群元相同的性质。不可约表象和单位表象是表象理论中的重要概念。在许多研究群论的数学家眼中，也即指在抽象群论中，数学家关心的是各元素间的运算关系，也即群的结构，而不管一个群的元素的具体含义是什么。举一个具体的例子，根据凯莱定理，任何一个群都同构于由群的元素组成的置换群。于是，特别是对研究有限群来说，研究置换群就是一个重要的问题了。

最初来源于解高次代数方程，后来挪威数学家阿贝尔最初提出群的思想，并且经过法国数学家伽罗瓦的创造性工作，近世代数就诞生了

伽罗瓦读音读jia。伽罗华拼音是：jiāluó huá埃瓦里斯特·伽罗瓦，法国数学家。现代数学中的分支学科群论的创立者。用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，人们称之为伽罗瓦理论，并把其创造的“群”叫作伽罗瓦群。伽罗伽（jiā）、罗（luó）。伽罗，是手游《王者荣耀》中的女性射手型英雄角色。她于2018年9月24日抢先服上线，于2018年9月27日正式服上线，也是王者荣耀正式服的第85位英雄。原型是隋文帝皇后独孤伽罗。用猜想代替证明。错误地理解牛顿对称性多项式定理。站在实数的角度解释问题。忽视方程换元配方可漏解的情况。

伽罗瓦仔细研究了前人的理论，特别是拉格朗日、鲁菲尼、高斯、阿贝尔等人的著作，开始研究多项式方程的可解性理论，他并不急于寻求解高次方程的方法，而是将重心放在判定已知的方程是否有根式解。如果有，也不去追究该方程的根究竟是怎样的，只需证明有根式解存在即可。峰 1.伽罗瓦群论的创建 伽罗瓦在证明不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法时，与拉格朗日相同，也从方程根的置换入手。当他系统地研究了方程根的排列置换性质后，提出了一些确定的准则以判定一个已知方程的解是否能通过根式找到，然而这些方法恰好导致他去考虑一种称之为“群”的元素集合的抽象代数理论。在1831年的论文中，伽罗瓦首次提出了“群”这一术语，把具有封闭性的置换的集合称为群，首次定义了置换群的概念。他认为了解置换群是解决方程理论的关键，方程是一个其对称性可用群的性质描述的系统。他从此开始把方程论问题转化为群论的问题来解决，直接研究群论。他引入了不少有关群论的新概念，从而也产生了他自己的伽罗瓦群论，因此后人都称他为群论的创始人。 对有理系数的n次方程 x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0 （1） 假设它的n个根x1,x2,…,xn的每一个变换叫做一个置换，n个根共有n!个可能的置换，它们的集合关于置换的乘法构成一个群，是根的置换群。方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映，于是伽罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质的分析问题。现在把与方程联系起的置换群（它表现了方程的对称性质）称为伽罗瓦群，它是在某方程系数域中的群。一个方程的伽罗瓦群是对于每一个其函数值为有理数的关于根的多项式函数都满足这个要求的最大置换群，也可以说成对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数，伽罗瓦群中的每个置换都使这函数的值不变。 2.伽罗瓦群论的实质 我们可以从伽罗瓦的工作过程中，逐步领悟伽罗瓦理论的精髓。首先分析一下他是怎样在不知道方程根的情况下，构造伽罗瓦群的。仍然是对方程（1），设它的根x1,x2,…,xn中无重根，他构造了类似于拉格朗日预解式的关于x1,x2,…,xn的一次对称多项式 △1=a1x1+a2x2+…+anxn，其中ai(i=1,2,3,…,n)不必是单位根，但它必是一些整数且使得n!个形如△1的一次式△1,△2,…,△n!各不相同，接着又构造了一个方程 =0 (2) 该方程的系数必定为有理数（可由对称多项式定理证明），并且能够分解为有理数域上的不可约多项式之积。设f(x)=是的任意一个给定的m次的不可约因子，则方程(1)的伽罗瓦群是指n!个△i中的这m个排列的全体。同时他又由韦达定理知伽罗瓦群也是一个对称群，它完全体现了此方程的根的对称性。但是计算一个已知方程的伽罗瓦群是有一定困难的，因此伽罗瓦的目的并不在于计算伽罗瓦群，而是证明：恒有这样的n次方程存在，其伽罗瓦群是方程根的可能的最大置换群s(n)，s(n)是由n!个元素集合构成的，s(n)中的元素乘积实际上是指两个置换之积。现在把s(n)中的元素个数称为阶，s(n)的阶是n!。 伽罗瓦找出方程系数域中的伽罗瓦群g后，开始寻找它的最大子群h1，找到h1后用一套仅含有理运算的手续（即寻找预解式）来找到根的一个函数。的系数属于方程的系数域r，并且在h1的置换下不改变值，但在g的所有别的置换下改变值。再用上述方法，依次寻找h1的最大子群h2，h2的最大子群h3，…于是得到h1,h2,…,hm，直到hm里的元素恰好是恒等变换（即hm为单位群i）。在得到一系列子群与逐次的预解式的同时，系数域r也随之一步步扩大为r1,r2,…,rm，每个ri对应于群hi。当hm=i时，rm就是该方程的根域，其余的r1,r2,…,rm-1是中间域。一个方程可否根式求解与根域的性质密切相关。例如，四次方程 x4+px2+q=0 (3) p与q独立，系数域r添加字母或未知数p、q到有理数中而得到的域，先计算出它的伽罗瓦群g，g是s(4)的一个8阶子群，g={e，e1，e2，…e7}，其中e=，e1=，e2=，e3=，e4=，e5=， e6=， e7=。 要把r扩充到r1，需在r中构造一个预解式，则预解式的根，添加到r中得到一个新域r1，于是可证明原方程（3）关于域r1的群是h1，h1={e，e1，e2，e3}，并发现预解式的次数等于子群h1在母群g中的指数8÷4=2（即指母群的阶除以子群的阶）。第二步，构造第二个预解式，解出根 ，于是在域r1中添加得到域r2，同样找出方程（3）在r2中的群h2，h2={e，e1}，此时，第二个预解式的次数也等于群h2在h1中的指数4÷2=2。第三步，构造第三个预解式，得它的根 ，把添加到r2中得扩域r3，此时方程（3）在r3中的群为h3，h3={e}，即h3=i，则r3是方程（3）的根域，且该预解式的次数仍等于群h3在h2中的指数2÷1=2。在这个特殊的四次方程中，系数域到根域的扩域过程中每次添加的都是根式，则方程可用根式解。这种可解理论对于一般的高次方程也同样适用，只要满足系数域到根域的扩域过程中每次都是添加根式，那么一般的高次方程也能用根式求解。 现仍以四次方程（3）为例，伽罗瓦从中发现了这些预解式实质上是一个二次的二项方程，既然可解原理对高次方程也适用，那么对于能用根式求解的一般高次方程，它的预解式方程组必定存在，并且所有的预解式都应是一个素数次p的二项方程xp=a。由于高斯早已证明二项方程是可用根式求解的。因此反之，如果任一高次方程所有的逐次预解式都是二项方程，则能用根式求解原方程。于是，伽罗瓦引出了根式求解原理，并且还引入了群论中的一个重要概念“正规子群”。 他是这样给正规子群下定义的：设h是g的一个子群，如果对g中的每个g都有gh=hg，则称h为g的一个正规子群，其中gh表示先实行置换g，然后再应用h的任一元素，即用g的任意元素g乘h的所有置换而得到的一个新置换集合。定义引入后，伽罗瓦证明了当作为约化方程的群(如由g 约化到h1)的预解式是一个二项方程xp=a (p为素数)时，则h1是g的一个正规子群。反之，若h1是g的正规子群，且指数为素数p，则相应的预解式一定是p次二项方程。他还定义了极大正规子群：如果一个有限群有正规子群，则必有一个子群，其阶为这有限群中所有正规子群中的最大者，这个子群称为有限群的极大正规子群。一个极大正规子群又有它自己的极大正规子群，这种序列可以逐次继续下去。因而任何一个群都可生成一个极大正规子群序列。他还提出把一个群g生成的一个极大正规子群序列标记为g、h、i、j…, 则可以确定一系列的极大正规子群的合成因子[g/h]，[h/i]，[i/g]…。合成因子[g/h]=g的阶数/ h的阶数。对上面的四次方程(3)，h1是g的极大正规子群， h2是h1的极大正规子群，h3又是h2的极大正规子群，即对方程(3)的群g 生成了一个极大正规子群的序列g、h1、h2、h3。 随着理论的不断深入，伽罗瓦发现对于一个给定的方程，寻找它在伽罗瓦群及其极大不变子群序列完全是群论的事。因此，他完全用群论的方法去解决方程的可解性问题。最后，伽罗瓦提出了群论的另一个重要概念“可解群”。他称具有下面条件的群为可解群：如果它所生成的全部极大正规合成因子都是质数。 根据伽罗瓦理论，如果伽罗瓦群生成的全部极大正规合成因子都是质数时，方程可用根式求解。若不全为质数，则不可用根式求解。由于引入了可解群，则可说成当且仅当一个方程系数域上的群是可解群时，该方程才可用根式求解。对上面的特殊四次方程(3)，它的[g/h]=8/4=2，[h1/h2]=2/1=2，2为质数，所以方程(3)是可用根式解的。再看一般的n次方程，当n=3时，有两个二次预解式t2=a和t3=b，合成序列指数为2与3，它们是质数，因此一般三次方程可根式解。同理对n=4，有四个二次预解式，合成序列指数为2，3，2，2，于是一般四次方程也可根式求解。一般n次方程的伽罗瓦群是s(n)，s(n)的极大正规子群是a(n) (实际a(n)是由s(n)中的偶置换构成的一个子群。如果一个置换可表为偶数个这类置换之积，则叫偶置换。)，a(n)的元素个数为s(n)中的一半，且a(n)的极大正规子群是单位群i，因此[s(n)/a(n)]=n!/(n!/2)=2，[a(n)/i]=(n!/2)/1=n!/2， 2是质数，但当n ≥5时，n！/2不是质数，所以一般的高于四次的方程是不能用根式求解的。至此，伽罗瓦完全解决了方程的可解性问题。 顺带提一下，阿贝尔是从交换群入手考虑问题的，他的出发点与伽罗瓦不同，但他们的结果都是相同的，都为了证其为可解群，并且伽罗瓦还把阿贝尔方程进行了推广，构造了一种现在称之为伽罗瓦方程的方程，伽罗瓦方程的每个根都是其中两个根的带有系数域中系数的有理函数。

抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。 抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。 由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。 抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。 抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。 被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。 他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。 伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。 他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。 伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。 最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。 哈密顿发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。 第二年，Gras *** ann推演出更有一般性的几类代数。 1857年，凯莱设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。 他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。 实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定(与其余假定是兼容的)，就能研究出许多种代数体系。 1870年，克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义；狄德金开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体；1910年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；狄德金和克隆尼克创立了环论；1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象代数学。 有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为代数女皇，她就是诺特, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。 诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响。 1907-1919年，她主要研究代数不变式及微分不变式。 她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组。 还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题。 对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明。 她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式，在格丁根大学的就职论文中，讨论连续群(李群)下不变式问题，给出诺特定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起。 1920~1927年间她主要研究交换代数与「交换算术」。 1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。 1920年，她已引入「左模」、「右模」的概念。 1921年写出的<<整环的理想理论>>是交换代数发展的里程碑。 建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理。 1926年发表<<代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造>>，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。 诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。 诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。 1927－1935年，诺特研究非交换代数与「非交换算术」。 她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上。 后又引进交叉积的概念并用决定有限维枷罗瓦扩张的布饶尔群。 最后导致代数的主定理的证明，代数数域上的中心可除代数是循环代数。 通过她的学生范．德．瓦尔登的名著<<近世代数学>>得到广泛的传播。 她的主要论文收在<<诺特全集>>(1982)中。 1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派；1955年，嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论。 数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子。 这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映。 中国数学家在抽象代数学的研究始于30年代。 当中已在许多方面取得了有意义和重要的成果，其中尤以曾炯之、华罗庚和周炜良的工作更为显著。

我们知道群论是数学的一个重要分支，它在很多学科都有重要的应用，例如在物理中的应用，群论是量子力学的基础。本课程的目的是为了使学生对群论的基本理论有感性的认识和理性的了解。本课程介绍群论的基本理论及某些应用。 主要内容有：首先介绍群、子群、 群同构的概念及有关性质，这是了解群的第一步。然后较为详细地讨论了两类最常见的群：循环群与置换群，包括一些例题和练习，可以熟悉群的运算和性质， 加深对群的理解。并且介绍置换群的某些应用。然后对群论中某些重要的概念作专题讨论。首先定义并讨论群的子集的运算；由群的子集的运算，引出并讨论了子群的陪集的概念与性质。定义并讨论了正规子群与商群的概念与性质。借助于商群的概念证明了群同态基本定理， 从而对群的同态象作出了系统的描述。这部分内容是群论中最基本的内容，是任何一个希望学习群论的读者所必须掌握的。并且给出群的直积的概念，这是研究群的结构不可缺少的工具。最后是群表示论的基本理论及应用，包括矢量空间与函数空间，矩阵的秩与直积，不变子空间与可约表示、shur 引理、正交理论、特征标、正规函数、基函数、表示的直积等的概念。在群的表示理论之后，就是它在量子力学中的应用，例如从群论的角度解决一些量子力学问题，主要包括哈密顿算符的对称性，距阵元定理和选择定则。从而达到了解群论的基础知识以及有限群的表示理论，为群论在物理学中的应用打下基础的目的。Group theory is one of the great simplifying and unifying ideas in modern mathematics, and it has important applications in many scientific fields. For example, group theory is the ground of Quantum Mechanics. It was introduced in order to understand the solutions to polynomial equations, but only in the last one hundred years has its full significance, as a mathematical formulation of symmetry, been understood. It plays a role in our understanding of fundamental particles, the structure of crystal lattices and the geometry of molecules. In this unit we will study the simple axioms satisfied by groups and begin to develop basic group theory in an axiomatic way. The aim of the course is to introduce students to the concept of groups, the notion of an axiomatic system through the example of group theory, to investigate elementary properties of groups, to illustrate these with a number of important examples, such as general linear groups and symmetric groups. We give the necessary notations and basic definitions that we use throughout the thesis. First the concept of subclass is defined and discussed, the concept of the coset, the problems group factorization, coset. intersection, and double coset member for the subclass, etc. The content of this part is the most basic content and is necessary to learn for students.An important tool for the study of groups (particularly finite groups and with compact groups) is representation theory. Broadly speaking, this asks for possible ways to view a group as a permutation group or a linear group. A number of attractive areas of representation theory link representations of a group with those of its subgroups, especially normal subgroups, algebraic subgroups, and local subgroups. Representation theory also considers images of groups in the automorphism groups of other abelian groups than simply complex vector spaces; these then are the group modules. (This is a somewhat more flexible setting than abstract group theory, since we move into an additive category); modular representation theory studies the case in which the modules are vector spaces over fields with positive characteristic. At last, the course is on the application of group theory to Quantum Mechanics. We consider a symmetry operation of the system. Symmetry operation transform to the Hamilton operator symmetry, which is associated with the representation matrix. So there is matrix element theorem, and theory choice.方程论是古典代数的中心课题。直到19世纪中叶，代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科，代数方程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是用根式求解方程。所谓方程有根式解（代数可解），就是这个方程的解由该方程的系数经过有限次加减乘除以及开整数次方等运算表示出来的。群论也就是起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果。本文正是从方程论的发展入手，阐述伽罗瓦群论的产生过程，及其伽罗瓦理论的实质。 一. 伽罗瓦群论产生的历史背景从方程的根式解法发展过程来看，早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，他们就能够用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，给出的解相当于+，，这是对系数函数求平方根。接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程，但没有得到三次方程的一般解法。这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人解决。他们对一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根x= +，其中p=ba2，q=a3，显然它是由系数的函数开三次方所得。同一时期，意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得。用根式求解四次或四次以下方程的问题在16世纪已获得圆满解决，但是在以后的几个世纪里，探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果。1770年前后，法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法，提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，并利用拉格朗日预解式方法，即利用1的任意n次单位根（n=1）引进了预解式x1+x2+2x3+…+n-1xn，详细分析了二、三、四次方程的根式解法。他的工作有力地促进了代数方程论的进步。但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解，于是他怀疑五次方程无根式解。并且他在寻求一般n次方程的代数解法时也遭失败，从而认识到一般的四次以上代数方程不可能有根式解。他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启示。1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善。同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在。随后，他又着手探讨高次方程的具体解法。在1801年，他解决了分圆方程xp-1=0（p为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明。随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。1824年到1826年，阿贝尔着手考察可用根式求解的方程的根具有什么性质，于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明：如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数。并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解。接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题。在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x）的有理函数，并且任意两个根Q1(x)与Q2(x)满足Q1Q2(x)=Q2Q1(x)，Q1，Q2为有理函数。现在称这种方程为阿贝尔方程。其实在对阿贝尔方程的研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果，只是阿贝尔没能意识到，也没有明确地构造方程根的置换集合（因为若方程所有的根都用根x1来表示成有理函数Qj(x1)，j=1,2,3,…,n，当用另一个根xI代替x1时，其中1〈I≤n ，那么Qj(xI)是以不同顺序排列的原方程的根，j=1,2,…,n。实际上应说根xI=Q1(xI),Q2(xI),…,Qn(xI)是根x1,x2,…,xn的一个置换），而仅仅考虑可交换性Q1Q2(x)=Q2Q1(x)来证明方程只要满足这种性质，便可简化为低次的辅助方程，辅助方程可依次用根式求解。阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题。法国数学家伽罗瓦正是处在这样的背景下，开始接手阿贝尔未竞的事业。二.伽罗瓦创建群理论的工作伽罗瓦仔细研究了前人的理论，特别是拉格朗日、鲁菲尼、高斯、阿贝尔等人的著作，开始研究多项式方程的可解性理论，他并不急于寻求解高次方程的方法，而是将重心放在判定已知的方程是否有根式解。如果有，也不去追究该方程的根究竟是怎样的，只需证明有根式解存在即可。1.伽罗瓦群论的创建伽罗瓦在证明不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法时，与拉格朗日相同，也从方程根的置换入手。当他系统地研究了方程根的排列置换性质后，提出了一些确定的准则以判定一个已知方程的解是否能通过根式找到，然而这些方法恰好导致他去考虑一种称之为“群”的元素集合的抽象代数理论。在1831年的论文中，伽罗瓦首次提出了“群”这一术语，把具有封闭性的置换的集合称为群，首次定义了置换群的概念。他认为了解置换群是解决方程理论的关键，方程是一个其对称性可用群的性质描述的系统。他从此开始把方程论问题转化为群论的问题来解决，直接研究群论。他引入了不少有关群论的新概念，从而也产生了他自己的伽罗瓦群论，因此后人都称他为群论的创始人。对有理系数的n次方程x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0 （1） ，假设它的n个根x1,x2,…,xn的每一个变换叫做一个置换，n个根共有n!个可能的置换，它们的集合关于置换的乘法构成一个群，是根的置换群。方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映，于是伽罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质的分析问题。现在把与方程联系起的置换群（它表现了方程的对称性质）称为伽罗瓦群，它是在某方程系数域中的群。一个方程的伽罗瓦群是对于每一个其函数值为有理数的关于根的多项式函数都满足这个要求的最大置换群，也可以说成对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数，伽罗瓦群中的每个置换都使这函数的值不变。2.伽罗瓦群论的实质我们可以从伽罗瓦的工作过程中，逐步领悟伽罗瓦理论的精髓。首先分析一下他是怎样在不知道方程根的情况下，构造伽罗瓦群的。仍然是对方程（1），设它的根x1,x2,…,xn中无重根，他构造了类似于拉格朗日预解式的关于x1,x2,…,xn的一次对称多项式 △1=A1x1+A2x2+…+Anxn，其中AI(I=1,2,3,…,n)不必是单位根，但它必是一些整数且使得n!个形如△1的一次式△1,△2,…,△n!各不相同，接着又构造了一个方程=0 (2) ，该方程的系数必定为有理数（可由对称多项式定理证明），并且能够分解为有理数域上的不可约多项式之积。设F(x)=是 的任意一个给定的m次的不可约因子，则方程(1)的伽罗瓦群是指n!个△I中的这m个排列的全体。同时他又由韦达定理知伽罗瓦群也是一个对称群，它完全体现了此方程的根的对称性。但是计算一个已知方程的伽罗瓦群是有一定困难的，因此伽罗瓦的目的并不在于计算伽罗瓦群，而是证明：恒有这样的n次方程存在，其伽罗瓦群是方程根的可能的最大置换群S(n)，S(n)是由n!个元素集合构成的，S(n)中的元素乘积实际上是指两个置换之积。现在把S(n)中的元素个数称为阶，S(n)的阶是n!。伽罗瓦找出方程系数域中的伽罗瓦群G后，开始寻找它的最大子群H1，找到H1后用一套仅含有理运算的手续（即寻找预解式）来找到根的一个函数。的系数属于方程的系数域R，并且在H1的置换下不改变值，但在G的所有别的置换下改变值。再用上述方法，依次寻找H1的最大子群H2，H2的最大子群H3，…于是得到H1,H2,…,Hm，直到Hm里的元素恰好是恒等变换（即Hm为单位群I）。在得到一系列子群与逐次的预解式的同时，系数域R也随之一步步扩大为R1,R2,…,Rm，每个RI对应于群HI。当Hm=I时，Rm就是该方程的根域，其余的R1,R2,…,Rm-1是中间域。一个方程可否根式求解与根域的性质密切相关。例如，四次方程x4+px2+q=0 (3) ，p与q独立，系数域R添加字母或未知数p、q到有理数中而得到的域，先计算出它的伽罗瓦群G，G是S(4)的一个8阶子群，G={E，E1，E2，…E7}，其中E=，E1=，E2=，E3=，E4=，E5=， E6=， E7=。要把R扩充到R1，需在R中构造一个预解式，则预解式的根，添加到R中得到一个新域R1，于是可证明原方程（3）关于域R1的群是H1，H1={E，E1，E2，E3}，并发现预解式的次数等于子群H1在母群G中的指数8÷4=2（即指母群的阶除以子群的阶）。第二步，构造第二个预解式，解出根 ，于是在域R1中添加得到域R2，同样找出方程（3）在R2中的群H2，H2={E，E1}，此时，第二个预解式的次数也等于群H2在H1中的指数4÷2=2。第三步，构造第三个预解式，得它的根 ，把添加到R2中得扩域R3，此时方程（3）在R3中的群为H3，H3={E}，即H3=I，则R3是方程（3）的根域，且该预解式的次数仍等于群H3在H2中的指数2÷1=2。在这个特殊的四次方程中，系数域到根域的扩域过程中每次添加的都是根式，则方程可用根式解。这种可解理论对于一般的高次方程也同样适用，只要满足系数域到根域的扩域过程中每次都是添加根式，那么一般的高次方程也能用根式求解。现仍以四次方程（3）为例，伽罗瓦从中发现了这些预解式实质上是一个二次的二项方程，既然可解原理对高次方程也适用，那么对于能用根式求解的一般高次方程，它的预解式方程组必定存在，并且所有的预解式都应是一个素数次p的二项方程xp=A。由于高斯早已证明二项方程是可用根式求解的。因此反之，如果任一高次方程所有的逐次预解式都是二项方程，则能用根式求解原方程。于是，伽罗瓦引出了根式求解原理，并且还引入了群论中的一个重要概念“正规子群”。他是这样给正规子群下定义的：设H是G的一个子群，如果对G中的每个g都有gH=Hg，则称H为G的一个正规子群，其中gH表示先实行置换g，然后再应用H的任一元素，即用G的任意元素g乘H的所有置换而得到的一个新置换集合。定义引入后，伽罗瓦证明了当作为约化方程的群(如由G 约化到H1)的预解式是一个二项方程xp=A (p为素数)时，则H1是G的一个正规子群。反之，若H1是G的正规子群，且指数为素数p，则相应的预解式一定是p次二项方程。他还定义了极大正规子群：如果一个有限群有正规子群，则必有一个子群，其阶为这有限群中所有正规子群中的最大者，这个子群称为有限群的极大正规子群。一个极大正规子群又有它自己的极大正规子群，这种序列可以逐次继续下去。因而任何一个群都可生成一个极大正规子群序列。他还提出把一个群G生成的一个极大正规子群序列标记为G、H、I、J…, 则可以确定一系列的极大正规子群的合成因子[G/H]，[H/I]，[I/G]…。合成因子[G/H]=G的阶数/ H的阶数。对上面的四次方程(3)，H1是G的极大正规子群， H2是H1的极大正规子群，H3又是H2的极大正规子群，即对方程(3)的群G 生成了一个极大正规子群的序列G、H1、H2、H3。 随着理论的不断深入，伽罗瓦发现对于一个给定的方程，寻找它在伽罗瓦群及其极大不变子群序列完全是群论的事。因此，他完全用群论的方法去解决方程的可解性问题。最后，伽罗瓦提出了群论的另一个重要概念“可解群”。他称具有下面条件的群为可解群：如果它所生成的全部极大正规合成因子都是质数。根据伽罗瓦理论，如果伽罗瓦群生成的全部极大正规合成因子都是质数时，方程可用根式求解。若不全为质数，则不可用根式求解。由于引入了可解群，则可说成当且仅当一个方程系数域上的群是可解群时，该方程才可用根式求解。对上面的特殊四次方程(3)，它的[G/H]=8/4=2，[H1/H2]=2/1=2，2为质数，所以方程(3)是可用根式解的。再看一般的n次方程，当n=3时，有两个二次预解式t2=A和t3=B，合成序列指数为2与3，它们是质数，因此一般三次方程可根式解。同理对n=4，有四个二次预解式，合成序列指数为2，3，2，2，于是一般四次方程也可根式求解。一般n次方程的伽罗瓦群是s(n)，s(n)的极大正规子群是A(n) (实际A(n)是由s(n)中的偶置换构成的一个子群。如果一个置换可表为偶数个这类置换之积，则叫偶置换。)，A(n)的元素个数为s(n)中的一半，且A(n)的极大正规子群是单位群I，因此[s(n)/A(n)]=n!/(n!/2)=2，[A(n)/I]=(n!/2)/1=n!/2， 2是质数，但当n ≥5时，n！/2不是质数，所以一般的高于四次的方程是不能用根式求解的。至此，伽罗瓦完全解决了方程的可解性问题。顺带提一下，阿贝尔是从交换群入手考虑问题的，他的出发点与伽罗瓦不同，但他们的结果都是相同的，都为了证其为可解群，并且伽罗瓦还把阿贝尔方程进行了推广，构造了一种现在称之为伽罗瓦方程的方程，伽罗瓦方程的每个根都是其中两个根的带有系数域中系数的有理函数。四.伽罗瓦群论的历史贡献伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，但他并不局限于此，而是把群论进行了推广，作用于其他研究领域。可惜的是，伽罗瓦群论的理论毕竟太深奥，对十九世纪初的人们来说是很难理解的，连当时的数学大师都不能理解他的数学思想和他的工作的实质，以至他的论文得不到发表。更不幸的是伽罗瓦在二十一岁时便因一场愚蠢的决斗而早逝，我们不得不为这位天才感到惋惜。到十九世纪六十年代，他的理论才终于为人们所理解和接受。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。参考文献：M·克莱因．古今数学思想．北京大学数学系数学史翻译组译．上海：上海 科学技术出版社，1980．鲁又文编著．数学古今谈．天津：天津科学技术出版社，1984． 中外数学简史编写组．外国数学简史．山东：山东教育出版社，1987． 吴文俊主编．世界著名科学家传记．北京：科学出版社，1994． Tony Rothman：”伽罗瓦传”，《科学》，重庆，科学技术文献出版社重庆分社，1982年第8 期，第81～92页．

群论研究的是集合的对称性。任意一个抽象群都对应一个置换群。群论最早是数学天才伽罗瓦解决高次方程不可解问题创立的。

不懂

一元五次方程被证明没有根式解　　从方程的根式解法发展过程来看，早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，他们就能够用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，给出的解相当于+，，这是对系数函数求平方根。接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程，但没有得到三次方程的一般解法。这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人解决。他们对一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根 x= + ，其中p = ba2，q = a3，显然它是由系数的函数开三次方所得。同一时期，意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得。　　用根式求解四次或四次以下方程的问题在16世纪已获得圆满解决，但是在以后的几个世纪里，探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果。1770年前后，法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法，提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，并利用拉格朗日预解式方法，即利用1的任意n次单位根 （ n =1）引进了预解式x1+ x2+ 2x3+…+ n-1xn，详细分析了二、三、四次方程的根式解法。他的工作有力地促进了代数方程论的进步。但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解，于是他怀疑五次方程无根式解。并且他在寻求一般n次方程的代数解法时也遭失败，从而认识到一般的四次以上代数方程不可能有根式解。他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启示。　　1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善。同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在。随后，他又着手探讨高次方程的具体解法。在1801年，他解决了分圆方程xp-1=0（p为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明。　　随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。1824年到1826年，阿贝尔着手考察可用根式求解的方程的根具有什么性质，于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明：如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数。并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解。接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题。在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x）的有理函数，并且任意两个根q1(x)与q2(x)满足q1q2(x)=q2q1(x)，q1，q2为有理函数。现在称这种方程为阿贝尔方程。其实在对阿贝尔方程的研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果，只是阿贝尔没能意识到，也没有明确地构造方程根的置换集合（因为若方程所有的根都用根x1来表示成有理函数qj(x1)，j=1,2,3,…，n，当用另一个根xi代替x1时，其中1〈i≤n ，那么qj(xi)是以不同顺序排列的原方程的根，j=1,2,…，n。实际上应说根xi=q1(xi),q2(xi),…，qn(xi)是根x1,x2,…，xn的一个置换），而仅仅考虑可交换性q1q2(x)=q2q1(x)来证明方程只要满足这种性质，便可简化为低次的辅助方程，辅助方程可依次用根式求解。　　阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题。法国数学家伽罗瓦正是处在这样的背景下，开始接手阿贝尔未竞的事业。　　伽罗瓦在证明不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法时，与拉格朗日相同，也从方程根的置换入手。当他系统地研究了方程根的排列置换性质后，提出了一些确定的准则以判定一个已知方程的解是否能通过根式找到，然而这些方法恰好导致他去考虑一种称之为“群”的元素集合的抽象代数理论。在1831年的论文中，伽罗瓦首次提出了“群”这一术语，把具有封闭性的置换的集合称为群，首次定义了置换群的概念。他认为了解置换群是解决方程理论的关键，方程是一个其对称性可用群的性质描述的系统。他从此开始把方程论问题转化为群论的问题来解决，直接研究群论。他引入了不少有关群论的新概念，从而也产生了他自己的伽罗瓦群论，因此后人都称他为群论的创始人。　　对有理系数的n次方程 x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0 （1）　　假设它的n个根x1,x2,…，xn的每一个变换叫做一个置换，n个根共有n!个可能的置换，它们的集合关于置换的乘法构成一个群，是根的置换群。方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映，于是伽罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质的分析问题。现在把与方程联系起的置换群（它表现了方程的对称性质）称为伽罗瓦群，它是在某方程系数域中的群。一个方程的伽罗瓦群是对于每一个其函数值为有理数的关于根的多项式函数都满足这个要求的最大置换群，也可以说成对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数，伽罗瓦群中的每个置换都使这函数的值不变。伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，但他并不局限于此，而是把群论进行了推广，作用于其他研究领域。可惜的是，伽罗瓦群论的理论毕竟太深奥，对十九世纪初的人们来说是很难理解的，连当时的数学大师都不能理解他的数学思想和他的工作的实质，以至他的论文得不到发表。更不幸的是伽罗瓦在二十一岁时便因一场愚蠢的决斗而早逝，我们不得不为这位天才感到惋惜。到十九世纪六十年代，他的理论才终于为人们所理解和接受。　　伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。

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5次以上代数方程无求根公式的定理，是Lagrange猜想出来的，后来Abel最先证明之。 ——伽罗华的早逝和群论的命运 埃．伽罗华（E.Galois，1811－1832）创立了具有划时代意义的数学分支——群论 在数学发展史上作出了重大贡献。但是，他在还不到21岁的时候就与世长辞了。剖析伽 罗华短促而坎坷的一生，对于我们如何对待人才，怎样发展科学，具有一定的启发作用 。 伽罗华是法国巴黎郊区布尔—拉—林镇镇长的儿子。12岁之前受他母亲教育的，在 这时期他学习了希腊语、拉丁文和通常的算术课。1923年他离开了双亲，考入巴黎预科 学校路易—勒—格兰学院（皇家中学），从而开始接受正规学校的教育。在第三年，他 报名选学了第一门数学课。由于他的老师深刻地讲授，伽罗华对数学产生了浓厚的兴趣 ，他很快地学完了通常规定的课程，并求教于当时的数学大师。他如饥似渴地阅读了A． M．勒让德的著作《几何原理》和T．L．拉格朗日的《代数方程的解法》、《解析函数论 》、《微积分学教程》。由于他刻苦学习，能着重领会和掌握其中的数学思维方法，因 引，这些功课的学习，使他思路开阔，科学创造的思维能力得到了训练和提高。他的中 学数学专业班的老师里查说“伽罗华只宜在数学的尖端领域工作”。1829年3月他在《纯 粹与应用数学年报》上发表了他的第一篇论文——《周期连分数的一个定理的证明》。 这时他还是一位中学生。他曾先后两次参加综合技术大学的入学考试，结果都落第了。 1829年7月2日，正当他准备入学考试的时候，他父亲由于受不了牧师的攻击、诽谤、自 杀了。这些遭遇都给伽罗华带来了不幸。1829年10月25日，他只被师范大学录取为预备 生。 当伽罗华17岁时，就着手研究数学中最困难的问题之一一般π次方程求解问题。我 们知道，一般的二次方程的解，要求对系数的一个函数求平方根。要得出三次方程的一 般解，要求对系数的函数开立方。一般的四次方程的解，要求开四次方。一般的五次方 程的解是否也能用加减乘除开方这五种运算的代数方法从方程的系数得出呢？许多人为 之耗去许多精力，但都失败了。直到1770年，法国数学家拉格朗日对上述问题的研究才 算迈出重要的一步。他精心分析了二次、三次、四次方程根式解结构之后，提出了方程 的预解式概念，并且进一步看出预解式和诸根排列置换下形式不变性有关，这时他认识 到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。此后，挪威数学家阿贝尔利用置换群的理 论给出了高于四次的一般代数方程的代数求解公式不存在的严格证明。伽罗华在前人研 究成果的基础上，利用群论的方法，从系统结构的整体上彻底解决了根式解的难题。他 从拉格朗日那里学习和继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来， 并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化成或者归结为置换 群及其子群结构的分析上。高斯早就预见到代数方程的根式解的问题终归为二项方程的 求解问题。伽罗华仔细分析了具有根式解的二项方程作为“预解方程”时所对应的置换 子群的特征。结果他发现，如果一个群可以生成一系列极大正规子群，而它们的合成因 子是质数，则该群是可解的。当大于四次的代数方程所对应的群的合成因子就不全是质 数，因而五次及高于五次的代数方程有些是不能用代数方法解出的。 1829年，伽罗华在他中学最后一年快要结束时，他把关于群论研究所初步结果的第 一批论文提交给法国科学院。科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的 鉴定人。在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见 听取会。他在一封信中写道：“今天我应当向科学院提交一份关于年轻的伽罗华的工作 报告……但因病在家。我很贵憾未能出席今天的会议，希望你安排我参加下次会议以讨 论已指明的议题。”然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍 伽罗华的著作。为什么会发生这样的事情？这是值得研究的一个问题。1830年2月，伽罗 华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了。以参加科学院的数学大奖评选，论文 寄给当时科学院终身秘书J．B．傅立叶，但傅立叶在当年5月就去世了，在他的遗物中未 能发现伽罗华的手稿。就这样，伽罗华递交的两次数学论文都被遗失了。 人们由于受已有经验、旧传统观念和偏见的束缚，往往产生出一种墨守陈规的倾向 和不愿接受新鲜事物的惰性。我们认为：柯西之所以原先打算讨论伽罗华所提供的报告 ，以后又不了了之，很可能是他思想的偏见所致，领会不了伽罗华在数学上具有革命性 的新思想。在伽罗华之前人们考虑方程求解问题，基本是一个方法一个方法孤立地去解 决，解次数不同的方程，用不同的方法。直到拉格朗日开始，才注意到解各种代数方程 的方法之间的联系，并用根的置换理论看清了以前各种解法之间的统一性。拉格朗日这 种从整体上考虑问题的新的思想萌芽被伽罗华接受过来，并大大发展了，产生出新的思 想——系统结构的整体思想。把孤立地考虑方程求解的问题归结为数学新的对象——群 及其子群的结构性质分析上去，这就从局部考虑问题上升到整体考虑问题。这是以前数 学家考虑问题不曾有的一种具有革命性的新思想，从而开拓出群论这个新的数学研究领 域。 1831年1月，伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成 论文提交给法国科学院。这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作。当时的数学家S．K． 泊松为了理解这篇论文绞尽了脑汁。尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽 罗华所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它。 对事业必胜和信念激励着年轻的伽罗华。虽然他的论文一再被丢失，得不到应有的 支持，但他并没有灰心，他坚信他的科研成果，不仅一次又一次地想办法传播出去，还 进一步向更广的领域探索。伽罗华诞生在拿破仑帝国时代，经历了波旁王朝的复辟时期 ，又赶上路易．腓力浦朝代初期。他是当时最先进的革命政治集团——共和党的成员。 这时法国激烈的政治斗争吸引了年轻热情的伽罗华，他先后两次被捕入狱，并且被学校 开除了。第二次被捕是1831年7月14日，直到1832年4月29日才出狱。不久，由于参加无 意义的决斗受重伤，于5月31日离开了人间。在他临死的前一夜还把他的重大科研成果匆 忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶保存下来，从而使他的劳动结晶流传后世，造福人类 。 伽罗华的重大创作在生前始终没有机会发表。直到1846年，也就是他死后14年，法 国数学家刘维尔才着手整理后，首次发表于刘维尔主编的《数学杂志》上，自此，伽罗 华的重大贡献才逐渐为人们所了解。1870年法国数学家约当根据伽罗华的思想，写了《 论置换与代数方程》一书，在这本书里伽罗华的思想得到了进一步的阐述。今天由伽罗 华开创的群论，不仅对近代数学的各个方面，而且对物理学、化学的许多分支都产生了 重大的影响。 伽罗华及其所创立的群论蒙难的历史事实深刻地告诉我们：作为在学术上有杰出贡 献的老一辈科学家，一定要积极热情地鼓励和支持年青一代的科学研究成果。要发扬“ 甘当梯子”的精神，让年青科学工作者“踩着自己的肩膀”攀登到科学的顶峰。就是说 ，对于创造活力的青年人，作为老一代的科学家就应该像园丁培育芳草一样去精心浇灌 ，对于他们在创造过程中出现的这样或那样的问题应该耐心地予以指教，有的问题应与 他们一块去思考，共同去完善提高它。不要怕青年人超过自己，要欢迎他们超过自己。 同时青年人也要尊重老一代科学家，虚心学习他的长处，主动取得他们的支持和帮助。 只有这样，才能各自发挥所长，共同攻关，携手前进，为迅速发展科学事业做出更大的 贡献。 ------------------ http://www.baidu.com/s?cl=3&wd=%D6%A4%C3%F75%B4%CE%D2%D4%C9%CF%B6%E0%CF%EE%CA%BD%B2%BB%B4%E6%D4%DA%C7%F3%B8%F9%B9%AB%CA%BD

从方程的根式解法发展过程来看，早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，他们就能够用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，给出的解相当于+，，这是对系数函数求平方根。接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程，但没有得到三次方程的一般解法。这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人解决。他们对一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根 x= + ，其中p = ba2，q = a3，显然它是由系数的函数开三次方所得。同一时期，意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得。 用根式求解四次或四次以下方程的问题在16世纪已获得圆满解决，但是在以后的几个世纪里，探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果。1770年前后，法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法，提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，并利用拉格朗日预解式方法，即利用1的任意n次单位根 （ n =1）引进了预解式x1+ x2+ 2x3+…+ n-1xn，详细分析了二、三、四次方程的根式解法。他的工作有力地促进了代数方程论的进步。但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解，于是他怀疑五次方程无根式解。并且他在寻求一般n次方程的代数解法时也遭失败，从而认识到一般的四次以上代数方程不可能有根式解。他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启示。 1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善。同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在。随后，他又着手探讨高次方程的具体解法。在1801年，他解决了分圆方程xp-1=0（p为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明。 随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。1824年到1826年，阿贝尔着手考察可用根式求解的方程的根具有什么性质，于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明：如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数。并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解。接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题。在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x）的有理函数，并且任意两个根q1(x)与q2(x)满足q1q2(x)=q2q1(x)，q1，q2为有理函数。现在称这种方程为阿贝尔方程。其实在对阿贝尔方程的研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果，只是阿贝尔没能意识到，也没有明确地构造方程根的置换集合（因为若方程所有的根都用根x1来表示成有理函数qj(x1)，j=1,2,3,…,n，当用另一个根xi代替x1时，其中1〈i≤n ，那么qj(xi)是以不同顺序排列的原方程的根，j=1,2,…,n。实际上应说根xi=q1(xi),q2(xi),…,qn(xi)是根x1,x2,…,xn的一个置换），而仅仅考虑可交换性q1q2(x)=q2q1(x)来证明方程只要满足这种性质，便可简化为低次的辅助方程，辅助方程可依次用根式求解。 阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题。法国数学家伽罗瓦正是处在这样的背景下，开始接手阿贝尔未竞的事业。伽罗瓦在证明不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法时，与拉格朗日相同，也从方程根的置换入手。当他系统地研究了方程根的排列置换性质后，提出了一些确定的准则以判定一个已知方程的解是否能通过根式找到，然而这些方法恰好导致他去考虑一种称之为“群”的元素集合的抽象代数理论。在1831年的论文中，伽罗瓦首次提出了“群”这一术语，把具有封闭性的置换的集合称为群，首次定义了置换群的概念。他认为了解置换群是解决方程理论的关键，方程是一个其对称性可用群的性质描述的系统。他从此开始把方程论问题转化为群论的问题来解决，直接研究群论。他引入了不少有关群论的新概念，从而也产生了他自己的伽罗瓦群论，因此后人都称他为群论的创始人。 对有理系数的n次方程 x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0 （1） 假设它的n个根x1,x2,…,xn的每一个变换叫做一个置换，n个根共有n!个可能的置换，它们的集合关于置换的乘法构成一个群，是根的置换群。方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映，于是伽罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质的分析问题。现在把与方程联系起的置换群（它表现了方程的对称性质）称为伽罗瓦群，它是在某方程系数域中的群。一个方程的伽罗瓦群是对于每一个其函数值为有理数的关于根的多项式函数都满足这个要求的最大置换群，也可以说成对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数，伽罗瓦群中的每个置换都使这函数的值不变。伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，但他并不局限于此，而是把群论进行了推广，作用于其他研究领域。可惜的是，伽罗瓦群论的理论毕竟太深奥，对十九世纪初的人们来说是很难理解的，连当时的数学大师都不能理解他的数学思想和他的工作的实质，以至他的论文得不到发表。更不幸的是伽罗瓦在二十一岁时便因一场愚蠢的决斗而早逝，我们不得不为这位天才感到惋惜。到十九世纪六十年代，他的理论才终于为人们所理解和接受。 伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响

方程两边同时除以最高次项的系数可得 x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 (1) 移项可得 x^4+bx^3=-cx^2-dx-e (2) 两边同时加上(1/2bx)^2 ，可将（2）式左边配成完全平方，方程成为 (x^2+1/2bx)^2=(1/4b^2-c)x^2-dx-e (3) 在（3）式两边同时加上(x^2+1/2bx)y+1/4y^2 可得 [(x^2+1/2bx)+1/2y]^2= (1/4b^2-c+y)x^2+(1/2by-d)x+1/4y^2-e (4) （4）式中的y是一个参数。当（4）式中的x为原方程的根时，不论y取什么值，（4）式都应成立。特别，如果所取的y值使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，则对（4）对两边同时开方可以得到次数较低的方程。 为了使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，只需使它的判别式变成0，即 (1/2by-d)^2-4(1/4b^2-c+y)(1/4y^2-e)=0 (5) 这是关于y的一元三次方程，可以通过塔塔利亚公式来求出y应取的实数值。 把由（5）式求出的y值代入（4）式后，（4）式的两边都成为完全平方，两边开方，可以得到两个关于x的一元二次方程。解这两个一元二次方程，就可以得出原方程的四个根。 费拉里发现的上述解法的创造性及巧妙之处在于：第一次配方得到（3）式后引进参数y，并再次配方把（3）式的左边配成含有参数y的完全平方，即得到（4）式，再利用（5）式使（4）的右边也成为完全平方，从而把一个一元四次方程的求解问题化成了一个一元三次方程及两个一元二次方程的求解问题。 五次方程无求根公式的证明过程 很复杂 一般人看不懂 如下：从方程的根式解法发展过程来看，早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，他们就能够用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，给出的解相当于+，，这是对系数函数求平方根。接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程，但没有得到三次方程的一般解法。这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人解决。他们对一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根 x= + ，其中p = ba2，q = a3，显然它是由系数的函数开三次方所得。同一时期，意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得。 用根式求解四次或四次以下方程的问题在16世纪已获得圆满解决，但是在以后的几个世纪里，探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果。1770年前后，法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法，提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，并利用拉格朗日预解式方法，即利用1的任意n次单位根 （ n =1）引进了预解式x1+ x2+ 2x3+…+ n-1xn，详细分析了二、三、四次方程的根式解法。他的工作有力地促进了代数方程论的进步。但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解，于是他怀疑五次方程无根式解。并且他在寻求一般n次方程的代数解法时也遭失败，从而认识到一般的四次以上代数方程不可能有根式解。他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启示。 1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善。同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在。随后，他又着手探讨高次方程的具体解法。在1801年，他解决了分圆方程xp-1=0（p为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明。 随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。1824年到1826年，阿贝尔着手考察可用根式求解的方程的根具有什么性质，于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明：如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数。并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解。接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题。在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x）的有理函数，并且任意两个根q1(x)与q2(x)满足q1q2(x)=q2q1(x)，q1，q2为有理函数。现在称这种方程为阿贝尔方程。其实在对阿贝尔方程的研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果，只是阿贝尔没能意识到，也没有明确地构造方程根的置换集合（因为若方程所有的根都用根x1来表示成有理函数qj(x1)，j=1,2,3,…,n，当用另一个根xi代替x1时，其中1〈i≤n ，那么qj(xi)是以不同顺序排列的原方程的根，j=1,2,…,n。实际上应说根xi=q1(xi),q2(xi),…,qn(xi)是根x1,x2,…,xn的一个置换），而仅仅考虑可交换性q1q2(x)=q2q1(x)来证明方程只要满足这种性质，便可简化为低次的辅助方程，辅助方程可依次用根式求解。 阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题。法国数学家伽罗瓦正是处在这样的背景下，开始接手阿贝尔未竞的事业。伽罗瓦在证明不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法时，与拉格朗日相同，也从方程根的置换入手。当他系统地研究了方程根的排列置换性质后，提出了一些确定的准则以判定一个已知方程的解是否能通过根式找到，然而这些方法恰好导致他去考虑一种称之为“群”的元素集合的抽象代数理论。在1831年的论文中，伽罗瓦首次提出了“群”这一术语，把具有封闭性的置换的集合称为群，首次定义了置换群的概念。他认为了解置换群是解决方程理论的关键，方程是一个其对称性可用群的性质描述的系统。他从此开始把方程论问题转化为群论的问题来解决，直接研究群论。他引入了不少有关群论的新概念，从而也产生了他自己的伽罗瓦群论，因此后人都称他为群论的创始人。 对有理系数的n次方程 x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0 （1） 假设它的n个根x1,x2,…,xn的每一个变换叫做一个置换，n个根共有n!个可能的置换，它们的集合关于置换的乘法构成一个群，是根的置换群。方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映，于是伽罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质的分析问题。现在把与方程联系起的置换群（它表现了方程的对称性质）称为伽罗瓦群，它是在某方程系数域中的群。一个方程的伽罗瓦群是对于每一个其函数值为有理数的关于根的多项式函数都满足这个要求的最大置换群，也可以说成对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数，伽罗瓦群中的每个置换都使这函数的值不变。伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，但他并不局限于此，而是把群论进行了推广，作用于其他研究领域。可惜的是，伽罗瓦群论的理论毕竟太深奥，对十九世纪初的人们来说是很难理解的，连当时的数学大师都不能理解他的数学思想和他的工作的实质，以至他的论文得不到发表。更不幸的是伽罗瓦在二十一岁时便因一场愚蠢的决斗而早逝，我们不得不为这位天才感到惋惜。到十九世纪六十年代，他的理论才终于为人们所理解和接受。 伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响

用反证法

笨,有了计算机还用你去算吗?你是学数学的吗?学数学的也不会去算的哦~~

从方程的根式解法发展过程来看，早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，他们就能够用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，给出的解相当于+，，这是对系数函数求平方根。接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程，但没有得到三次方程的一般解法。这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人解决。他们对一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根 x= + ，其中p = ba2，q = a3，显然它是由系数的函数开三次方所得。同一时期，意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得。 用根式求解四次或四次以下方程的问题在16世纪已获得圆满解决，但是在以后的几个世纪里，探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果。1770年前后，法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法，提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，并利用拉格朗日预解式方法，即利用1的任意n次单位根 （ n =1）引进了预解式x1+ x2+ 2x3+…+ n-1xn，详细分析了二、三、四次方程的根式解法。他的工作有力地促进了代数方程论的进步。但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解，于是他怀疑五次方程无根式解。并且他在寻求一般n次方程的代数解法时也遭失败，从而认识到一般的四次以上代数方程不可能有根式解。他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启示。 1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善。同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在。随后，他又着手探讨高次方程的具体解法。在1801年，他解决了分圆方程xp-1=0（p为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明。 随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。1824年到1826年，阿贝尔着手考察可用根式求解的方程的根具有什么性质，于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明：如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数。并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解。接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题。在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x）的有理函数，并且任意两个根q1(x)与q2(x)满足q1q2(x)=q2q1(x)，q1，q2为有理函数。现在称这种方程为阿贝尔方程。其实在对阿贝尔方程的研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果，只是阿贝尔没能意识到，也没有明确地构造方程根的置换集合（因为若方程所有的根都用根x1来表示成有理函数qj(x1)，j=1,2,3,…,n，当用另一个根xi代替x1时，其中1〈i≤n ，那么qj(xi)是以不同顺序排列的原方程的根，j=1,2,…,n。实际上应说根xi=q1(xi),q2(xi),…,qn(xi)是根x1,x2,…,xn的一个置换），而仅仅考虑可交换性q1q2(x)=q2q1(x)来证明方程只要满足这种性质，便可简化为低次的辅助方程，辅助方程可依次用根式求解。 阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题。法国数学家伽罗瓦正是处在这样的背景下，开始接手阿贝尔未竞的事业。 伽罗瓦在证明不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法时，与拉格朗日相同，也从方程根的置换入手。当他系统地研究了方程根的排列置换性质后，提出了一些确定的准则以判定一个已知方程的解是否能通过根式找到，然而这些方法恰好导致他去考虑一种称之为“群”的元素集合的抽象代数理论。在1831年的论文中，伽罗瓦首次提出了“群”这一术语，把具有封闭性的置换的集合称为群，首次定义了置换群的概念。他认为了解置换群是解决方程理论的关键，方程是一个其对称性可用群的性质描述的系统。他从此开始把方程论问题转化为群论的问题来解决，直接研究群论。他引入了不少有关群论的新概念，从而也产生了他自己的伽罗瓦群论，因此后人都称他为群论的创始人。 对有理系数的n次方程 x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0 （1） 假设它的n个根x1,x2,…,xn的每一个变换叫做一个置换，n个根共有n!个可能的置换，它们的集合关于置换的乘法构成一个群，是根的置换群。方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映，于是伽罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质的分析问题。现在把与方程联系起的置换群（它表现了方程的对称性质）称为伽罗瓦群，它是在某方程系数域中的群。一个方程的伽罗瓦群是对于每一个其函数值为有理数的关于根的多项式函数都满足这个要求的最大置换群，也可以说成对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数，伽罗瓦群中的每个置换都使这函数的值不变。伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，但他并不局限于此，而是把群论进行了推广，作用于其他研究领域。可惜的是，伽罗瓦群论的理论毕竟太深奥，对十九世纪初的人们来说是很难理解的，连当时的数学大师都不能理解他的数学思想和他的工作的实质，以至他的论文得不到发表。更不幸的是伽罗瓦在二十一岁时便因一场愚蠢的决斗而早逝，我们不得不为这位天才感到惋惜。到十九世纪六十年代，他的理论才终于为人们所理解和接受。 伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。 http://www.nhyz.org/psz/%CA%FD%D1%A7%CA%B7/buer.html

在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。[群]在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和向量空间等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。线性代数群（linear algebraic groups）和李群（Lie groups）作为群论的分支，在经历了重大的发展之后，已经形成相对独立的研究领域。群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。 群论在数学上被广泛地运用，通常以自同构群的形式体现某些结构的内部对称性。结构的内部对称性常常和一种不变式性质同时存在。如果在一类操作中存在不变式，那这些操作转换的组合和不变式统称为一个对称群。阿贝尔群概括了另外几种抽象集合研究的结构，例如环、域、模。在代数拓扑中，群用于描述拓扑空间转换中不变的性质，例如基本群和透射群。李群的概念在微分方程和流形中都有很重要的角色，因其结合了群论和分析数学，李群能很好的描述分析数学结构中的对称性。对这类群的分析又叫调和分析。在组合数学中，交换群和群作用常用来简化在某些集合内的元素的计算。后来群论广泛应用于各个科学领域。凡是有对称性出现的地方，就会有它的影子，例如物理学的超弦理论。希望对你有帮助哦，亲~