质数是什么意思?

质数的规律

什么是质数？就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的约数，这种整数叫做质数，质数又叫做素数。这终规只是文字上的解释而已。能不能有一个代数式，规定用字母表示的那个数为规定的任何值时，所代入的代数式的值都是质数呢？

质数的分布是没有规律的，往往让人莫明其妙。如：101、401、601、701都是质数，但上下面的301和901却是合数。

有人做过这样的验算：1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……于是就可以有这样一个公式：设一正数为n，则n^2+n+41的值一定是一个质数。这个式子一直到n=39时，都是成立的。但n=40时，其式子就不成立了，因为40^2+40+41=1681=41*41。

被称为“17世纪最伟大的法国数学家”费尔马，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=14292967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。但是，就是在F5上出了问题！费尔马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5=14292967297=641*6700417，并非质数，而是合数。

更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495。这可是个超级天文数字，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。质数和费尔马开了个大玩笑！

17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1代数式，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。

还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721*761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得这样杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。

现在，数学家找到的最大的梅森数是一个有378632位的数：2^1257787-1。数学虽然可以找到很大的质数，但质数的规律还是无法循通。

头五千万个质数

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【摘要】不按牌理出牌 数学家也拿他没办法

质数怎样分布？古今中外，不论是专业的数学家或业余的嗜好者，都曾被这问题所深深吸引。

质数是个比1大的自然数，除了自身和1以外，没有其他自然数可以除尽他。质数的分布有两个互相矛盾的特点。下面我会列举一些事实，使你永远相信这两个特点。

第一点，尽管质数的定义极为简单，又是自然数的建构砖石（任何自然数都可表为质因数的幂次的连乘积，且表法唯一），它却是数学家研究的对象中最不驯的一种；质数在自然数中，像杂草似地乱长，似乎除了机会律以外，不遵守其他的规律，没人敢说下一个会从那里冒出来。

第二点更令人惊讶，因?T篕P第一点相反，质数表现出惊人的规律性。也就是说，确有规律限制质数的行为，他们像军人一样绝对服从这些规律。

为了支持第一点，我把100以下的质数和合数写出来（除了2以外，不列偶数）：

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再把1千万加减一百以内的质数列出：在9,999,900与10,000,000之间的质数

9,999,901

9,999,907

9,999,929

9,999,931

9,999,937

9,999,943

9,999,971

9,999,973

9,999,991

在10,000,000与10,000,100之间的质数

10,000,019

10,000,079

你看！没有什麼理由可以说这个数是质数，那个数不是质数。当你看到这些数字时，是否联想到宇宙的奥秘，像天边那闪烁的星星一样神秘不可测？甚至数学家都无法揭开此一奥秘，如果他们能够，他们就不会劳神苦思去计算下一个更大的质数是多少了。（没有人会想去找比前一个平方数更大的平方数，或2的幂次数——通常一个好学生只记到210=1024）。

1876年，Lucas证明2127-1为质数，这纪录维持了75年。这也难怪，因为

2127-1

=1701411834604469231731687303715884105727

直到1951年，电子计算机的新纪元，更大的质数陆续发现（见下表历次记录）。目前的记录是6002位的219937-1，不信的话，你可以去查Guiness世界记录。（编者注：根据合众国际社1978年11月15日报导，这记录已被两个18岁的加州大学学生打破。）

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质数的规律

更有趣的，还是关於质数的规律。前面已提到过100以下的质数，现在用图表示，其中π(x)表示所有不大於x的质数的个数。

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就这麼简单的一个图，我们已经可以看出，除了一些小的扰动以外，π(x)大致上增加得很有规律。

若把x值从一百增到五万，则此规律性变得更为明显。见下图：

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当某种规律自然出现时，科学家就得设法去解释它，质数分布的规律性也不例外。关於质数分布，我们不难找到一个良好的经验规律。请看下表：（这表看来平凡无奇，却代表上千小时的艰苦计算。）

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注意：x每增10倍，x与π(x)的比就增加约2.3。机警的数学家立刻联想到10取自然对数的近似值是2.3。所以x/π(x)～logx，亦即π(x)～x/logx（用log x表示x的自然对数，～表示当x接近无穷大时，π(x)与x/logx的比趋近於1；如果用≈，则表示接近的程度更好。）

质数定理

这个关系叫做质数定理，是高斯1791年发现的，但直到1896年才得到证明。高斯（1777～1855年，关於高斯与质数定理，请参阅凡异出版社，伟大数学家的一生——高斯）14岁那年收到一本对数的书；次年，研究书上所附的质数表，发现了这个定理。终其一生，高斯一直很注意质数分布，并且花了很多功夫去计算。高斯写信给他学生安克（Encke）说他「时常花费零星的片刻计算1000个连续整数（如18001到19000）中有多少质数」，最后他竟能列出三百万以下的所有质数，并且拿来和他的推测公式比较。

质数定理说π(x)是渐近地，即相对误差趋近於0，等於x/logx。但是如果拿x/logx与π(x)的图形加以比较，则可看出，虽然x/logx反映了π(x)行为的本质，却还不足以说明π(x)的平滑性。

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所以，我们希望找到更佳的近似函数。如果我们再仔细看看前面那个表，会发现x/π(x)差不多恰为logx-1。经过更小心地计算，并和π(x)的更精密数据相较，乐强何（Legendre）在1808年找到特佳的近似。即

π(x)≈x/(log-1.08366)

另有一种π(x)的近似函数也不错，是高斯与质数定理同时提出的。从经验得知，当x很大时，在x附近出现质数的或然率差不多恰为1/logx。因此，π(x)差不多应为

对数和：Ls(x)=1/log2+1/log3+…+1/logx或实值上相同的

对数积分：【浏览原件】

现在再比较Li(x)与π(x)的图形，把座标轴的尺度取到这麼大时，两者完全重合。

没有必要再把乐强何的近似图形列出来给大家看，因为在0到5万之间，他的近似比Li(x)更加接近π(x)。

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质数的幂次

再提一个π(x)的近似函数。从黎曼（Riemann）研究质数的结果显示，如果我们在计算质数以外，还计算质数的幂次（质数的平方算半个质数，质数的立方算1/3个质数，依此类推），则一个很大的数x为质数的或然率将更接近1/logx。从此导出

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或

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第二式右边的函数定名为R(x)以纪念黎曼。从下表可以看出它与π(x)有惊人的吻合。

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R(x)可以表为

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在这里要强调一点，高斯和乐强何的近似都是由经验归纳而来的，不是由逻辑证明得到的。甚至黎曼函数也是如此，虽然他的R(x)有理论的解释，他从未证明出质数定理。Hadamard以及de la Vall"eePoussin根据黎曼的工作，继续研究，终於在1896年首度完成证明。

孪生质数

关於质数的规律性，我们再来看一些数值的例子。前面说过，在x附近的一个数其为质数的或然率为1/logx。换句话说，假使取一以x为中心，长度为a的区间，这区间长得足以使统计成为有意义，而与x相较，又足够小时，其中质数的个数，应该约为a/logx。例如，在壹亿至壹亿零壹拾伍万之间，预计有8142个质数，因为

150,000/log(100,000,000)=150,000/18.427… ≈8142

根据同样的想法，在x附近的任意两数同时为质数的或然率应约为1/(logx)2。所以如果有人问在x到x＋a之间有多少孪生质数（连续两个奇数都是质数，如11,13或59,61），则我们可以预计有a/(logx)2个。事实上，我们可以预计多些，因为n已是质数，使n＋2为质数的可能性稍稍加大。（例如n＋2必为奇数）。用一个容易的直观的论点，可以得到在〔x,x＋a〕中，孪生质数的对数为C．a/(logx)2，此处C＝1.3203236316…。

所以在壹亿至壹亿零壹拾伍万之间应有(1.32…)．150,000/(18.427)2≈584对孪生质数。下表列出一些同长区间中质数及孪生质数的预测值及真值。由下表可以看出，理论和实际有极佳的吻合。对於孪生质数而言，这种吻合更令人惊讶。因为孪生质数是否为无穷，这问题直到现在尚无定论，遑论他的分布定律了。

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质数的距离

关於质数分布的规律性，最后一个例子就是相邻两质数的距离。若有人去查质数表，会注意到有时距离相当大。例如113和127之间无其他质数。令g（x）表x以下，所有相邻质数的最大距离。则g（200）＝127-113＝14。当然，g（x）增加得极不规则。但是用一个直觉的论点可以得到下列渐近公式，g(x)～(logx)2。从下图可以看出，像g（x）这样极不规则的函数，其行为和预测能符合的程度。

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到现在为止，质数的规律性说得较多，不规律性说得很少。而本文标题「头五千万个质数」，我也只提到前几千个而已。所以现在先列一表，比较π(x)，乐强何，高斯，黎曼四函数在x小於一千万范围内的差异。因为这四种函数在图上分辨不出差异，如前面所列π(x)与Li的比较图，所以现在这图只表示这三种函数与π(x)的差。我想从这图足以看出，一个有志研究数论的人可能遇到的麻烦有多大。当x很小时（小於一百万），x/logx-1.08366比Li（x）近似π(x)，但是五百万以后，Li（x）变得较近似，而且可以证明当x更增加时，Li（x）总是较近似π(x)。

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就算我们讨论到一千万，其中也只有60万多个质数。要达到应许的五千万个质数，x必须为十亿。下图表示十亿以内R(x)-π(x)的图形。R(x)-π(x)的振动变得愈来愈大，但即使到十亿这麼大，振动仍在几百以内。

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顺便提另一个π(x)的趣事。从图上可以看出，在一千万以内，Li（x）总是大於π(x)，10亿以内仍然如此。见下图（此图以对数尺寸绘出）。

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上图给我们一个印象，当x继续增加时，Li（x）-π(x)会稳定地无限增加。但是上述推测错了！事实上，立特伍（Littlewood）可以证明有某x值，而π(x)会大於Li（x）。但到目前为止，并未真正找到一个确数，使此事成立，而且恐怕永远不会找到。但是立特伍的证明不可能有误，而且Skewes更证明在【浏览原件】以内就有一个这样的数。英国名数学家Hardy有一次说，这可能是数学上有确定目的的数字中最大的了。总而言之，此例说明了，在质数理论里，仅仅依赖数据就想要导出结论的作法是多麼不智啊！

〔本文节译自“The First 50 million Prime Numbers”，原文刊登在The New Mathematical Intelligencer, Vol. 0, Aug. 1977，为原作者Don Zagier就任德国波昂大学教授的就任演说稿。〕

质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。质数是与合数相对立的两个概念，二者构成了数论当中最基础的定义之一。基于质数定义的基础之上而建立的问题有很多世界级的难题，如哥德巴赫猜想等。截至2012年6月底，质数尚未完全找到通项公式。 质数的无穷性的证明 　　质数的个数是无穷的。最经典的证明由欧几里得证得，在他的《几何原本》中就有记载。它使用了现在证明常用的方法：反证法。具体的证明如下： 　　●假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设 N = p1 × p2 × …… × pn，那么，N+1是素数或者不是素数。 　　●如果N+1为素数，则N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。 　　●如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。 　　●因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。 　　●对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集合中的结论。 　　●所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。 　　其他数学家也给出了他们自己的证明。欧拉利用黎曼ζ函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，Hillel Furstenberg则用拓扑学加以了证明。 对于一定范围内的素数数目的计算 　　尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100000以下有多少个素数?”，“一个随机的100位数多大可能是素数?”。素数定理可以回答此问题。 编辑本段著名问题哥德巴赫猜想 　　在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。　今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。 　　从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。 　　若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。弱哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”，数学家认为弱哥德巴赫猜想已基本解决。 黎曼猜想 　　黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼（1826--1866）于1859年提出。德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。黎曼猜想提出：黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点（在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值）的实数部份是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti（“临界线”（critical line））上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。至今尚无人给出一个令人信服的关于黎曼猜想的合理证明。 　　在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。 运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。 　　黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。 孪生质数猜想 　　1849年，波林那克提出孪生质数猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生质数。 　　猜想中的“孪生质数”是指一对质数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生质数。 　　100以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，在100内共有25个质数。 费马数2^(2^n)+1 　　被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)+1，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=4294967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。这便是费马数。费马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5是一个合数。 　　以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。 梅森质数 　　17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1 ，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。 p=2，3，5，7时，2^p-1都是素数，但p=11时，所得2047=23×89却不是素数。 　　还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721×761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。 　　现在，数学家找到的最大的梅森质数是2^43112609－1。 编辑本段相关定理素数定理 　　素数定理描述素数素数的大致分布情况。 素数的出现规律一直困惑著数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数x，定义π(x)为不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。 π(x)≈x/ln x 其中ln x为x的自然对数。上式的意思是当x趋近∞，π(x) 和x/ln x的比趋 近1（注：该结果为高斯所发现）。但这不表示它们的数值随着x增大而接近。 下面是对π(x)更好的估计： π(x)=Li (x) + O (x e^(-(ln x)^(1/2)/15)，当 x 趋近∞。 其中 Li(x) = ∫(dt/ln x2,x)，而关系式右边第二项是误差估计。　 　　素数定理可以给出第n个素数p(n)的渐近估计：p(n)～n/ln n. 它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。 这定理的式子於1798年法国数学家勒让德提出。1896年法国数学家哈达玛(Jacques Hadamard)和比利时数学家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。 因为黎曼ζ函数与π(x)关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家Helge von Koch证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的估计可改进为 :π(x)=Li (x) + O (x^(1/2) ln x) 至於大O项的常数则还未知道。　素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明於1949年由匈牙利数学家保罗·艾狄胥（“爱尔多斯”，或“爱尔多希”）和挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。 在此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的「深度」。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。这是凭感觉说出来的，觉得一些方法比别的更高等也更厉害，而素数定理的初等证明动摇了这论调。Selberg－艾狄胥的证明正好表示，看似初等的组合数学，威力也可以很大。 但是，有必要指出的是，虽然该初等证明只用到初等的办法，其难度甚至要比用到复分析的证明远为困难。 算术基本定理 　　任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an) , 这里P_1<P_2<...<P_n是质数，其诸方幂 ai 是正整数。　 　　这样的分解称为N 的标准分解式。 　　算术基本定理的内容由两部分构成：分解的存在性、分解的唯一性（即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的）。 　　算术基本定理是初等数论中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。 　　此定理可推广至更一般的交换代数和代数数论。高斯证明复整数环Z[i]也有唯一分解定理。它也诱导了诸如唯一分解整环，欧几里得整环等等概念。 更一般的还有戴德金理想分解定理。 素数等差数列 　　等差数列是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。类似7、37、67、97、107、137、167、197。这样由素数组成的数列叫做等差素数数列。2004年，格林和陶哲轩证明存在任意长的素数等差数列。2004年4月18日，两人宣布：他们证明了“存在任意长度的素数等差数列”，也就是说，对于任意值K，存在K个成等差级数的素数。例如 K=3，有素数序列3, 5, 7 （每两个差2）……K=10，有素数序列 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089 （每两个差210）[1]。 参考资料 1． 格林和陶哲轩的成果-证明存在任意长的素数等差数列

质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。质数是与合数相对立的两个概念，二者构成了数论当中最基础的定义之一。基于质数定义的基础之上而建立的问题有很多世界级的难题，如哥德巴赫猜想等。截至2012年6月底，质数尚未完全找到通项公式。

质数的无穷性的证明

　　质数的个数是无穷的。最经典的证明由欧几里得证得，在他的《几何原本》中就有记载。它使用了现在证明常用的方法：反证法。具体的证明如下：

　　●假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设 N = p1 × p2 × …… × pn，那么，N+1是素数或者不是素数。

　　●如果N+1为素数，则N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。

　　●如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。

　　●因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。

　　●对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集合中的结论。

　　●所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。

　　其他数学家也给出了他们自己的证明。欧拉利用黎曼ζ函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，Hillel Furstenberg则用拓扑学加以了证明。

对于一定范围内的素数数目的计算

　　尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100000以下有多少个素数?”，“一个随机的100位数多大可能是素数?”。素数定理可以回答此问题。

编辑本段著名问题哥德巴赫猜想

　　在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。　今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。

　　从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。

　　若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。弱哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”，数学家认为弱哥德巴赫猜想已基本解决。

黎曼猜想

　　黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼（1826--1866）于1859年提出。德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。黎曼猜想提出：黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点（在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值）的实数部份是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti（“临界线”（critical line））上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。至今尚无人给出一个令人信服的关于黎曼猜想的合理证明。

　　在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。 运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。

　　黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。

孪生质数猜想

　　1849年，波林那克提出孪生质数猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生质数。

　　猜想中的“孪生质数”是指一对质数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生质数。

　　100以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，在100内共有25个质数。

费马数2^(2^n)+1

　　被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)+1，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=4294967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。这便是费马数。费马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5是一个合数。

　　以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。

梅森质数

　　17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1 ，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。 p=2，3，5，7时，2^p-1都是素数，但p=11时，所得2047=23×89却不是素数。

　　还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721×761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。

　　现在，数学家找到的最大的梅森质数是2^43112609－1。

编辑本段相关定理素数定理

　　素数定理描述素数素数的大致分布情况。 素数的出现规律一直困惑著数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数x，定义π(x)为不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。 π(x)≈x/ln x 其中ln x为x的自然对数。上式的意思是当x趋近∞，π(x) 和x/ln x的比趋 近1（注：该结果为高斯所发现）。但这不表示它们的数值随着x增大而接近。 下面是对π(x)更好的估计： π(x)=Li (x) + O (x e^(-(ln x)^(1/2)/15)，当 x 趋近∞。 其中 Li(x) = ∫(dt/ln x2,x)，而关系式右边第二项是误差估计。　

　　素数定理可以给出第n个素数p(n)的渐近估计：p(n)～n/ln n. 它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。 这定理的式子於1798年法国数学家勒让德提出。1896年法国数学家哈达玛(Jacques Hadamard)和比利时数学家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。 因为黎曼ζ函数与π(x)关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家Helge von Koch证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的估计可改进为 :π(x)=Li (x) + O (x^(1/2) ln x) 至於大O项的常数则还未知道。　素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明於1949年由匈牙利数学家保罗·艾狄胥（“爱尔多斯”，或“爱尔多希”）和挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。 在此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的「深度」。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。这是凭感觉说出来的，觉得一些方法比别的更高等也更厉害，而素数定理的初等证明动摇了这论调。Selberg－艾狄胥的证明正好表示，看似初等的组合数学，威力也可以很大。 但是，有必要指出的是，虽然该初等证明只用到初等的办法，其难度甚至要比用到复分析的证明远为困难。

算术基本定理

　　任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an) , 这里P_1<P_2<...<P_n是质数，其诸方幂 ai 是正整数。　

　　这样的分解称为N 的标准分解式。

　　算术基本定理的内容由两部分构成：分解的存在性、分解的唯一性（即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的）。

　　算术基本定理是初等数论中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。

　　此定理可推广至更一般的交换代数和代数数论。高斯证明复整数环Z[i]也有唯一分解定理。它也诱导了诸如唯一分解整环，欧几里得整环等等概念。 更一般的还有戴德金理想分解定理。

素数等差数列

　　等差数列是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。类似7、37、67、97、107、137、167、197。这样由素数组成的数列叫做等差素数数列。2004年，格林和陶哲轩证明存在任意长的素数等差数列。2004年4月18日，两人宣布：他们证明了“存在任意长度的素数等差数列”，也就是说，对于任意值K，存在K个成等差级数的素数。例如 K=3，有素数序列3, 5, 7 （每两个差2）……K=10，有素数序列 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089 （每两个差210）[1]。

参考资料

1． 格林和陶哲轩的成果-证明存在任意长的素数等差数列 论文作者：Green, B. and Tao, T. ； 论文题目：The primes contain arbitrarily long and arithmetic progression, ； 投稿日期：2004年4月9日； 接受日期：2005年9月12日； 发表杂志：Annals