初等数论的初等数论内容

设 为任一整数,则 与 是他的因数,称为平凡因数 若 只有平凡因数,则称p为素数,否则称为合数 定理：设p为素数,则 ,有 或 证明：推论：设 , 为素数,且 ,则p整除某个 证明：定理：任一大于1的整数一定能表成素数的乘积,且该表示法除了次序外是唯一的,即若 ,则有 ,其中 为素数,且若又有 ,其中 为素数,则 ,且适当调整次序后,对任意的 都有 证明：推论： (1)任一大于1的正整数a都可唯一写成a的标准分解式其中 为素数 (2) 且 则 其中 定义：设 ,记集合 中与a互素的整数个数为 , 是一个定义在全体正整数集合上的一个函数,称为欧拉函数 例：设p为素数,则集合 中,与p互素的元为 ,因此 注： ,有 集合 中有 个元,对于该集合中任一元a, ,故与 不互素的元有 个,从而与 互素的元有 个

算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。而以下是用现代的陈述方式去证明。 待证命题：大于1的自然数必可写成质数的乘积。用反证法：假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积，把最小的那个称为n。非零自然数可以根据其可除性（是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积）分成3类：质数、合数和1。首先，按照定义，n大于1。其次，n不是质数，因为质数p可以写成质数乘积：p=p，这与假设不相符合。因此n只能是合数，但每个合数都可以分解成两个小于自身而大于1的自然数的积。设其中a和b都是介于1和n之间的自然数，因此，按照n的定义，a和b都可以写成质数的乘积。从而n也可以写成质数的乘积。由此产生矛盾。因此大于1的自然数必可写成质数的乘积。 欧几里得引理：若质数p|ab，则p|a或p|b。证明：若p|a则证明完毕。若否，p和a的最大公约数为1。根据裴蜀定理，存在整数对(m,n)使得ma+np=1。于是b=b(ma+np) =abm+bnp。由于p|ab，上式右边两项都可以被p整除。所以p|b。再用反证法：假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积，那么假设n是最小的一个。首先不是质数。将n用两种方法写出：根据引理，质数所以中有一个能被整除，即中有一个能被整除。不妨设为。但也是质数，因此。假设，则。那麽，按照之前类似的论证，有一个能被整除，但。所以不能有，同理，也不能有，因此。两边相除得，於是一个存在比小的正整数，可以用多于一种的方式写成多个质数的乘积。这与的最小性矛盾。因此唯一性得证。

质数又称素数。指整数在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。素数在数论中有着很重要的作用。

具体的证明过程我记不太清楚了大概是这样的（1）素数（质数），显然成立（2）然后证存在性，这一点很好证的，根据合数的定义即可比如说x是合数，那么x的最小非1的因子一定是一个质数，否则可以再分然后继续分下去，便可以证明存在（3）然后证唯一性用反证，例如x是合数，那么假设存在x=ab=cd（ac都是质数），然后用余数法证明ab一定等于cd然后再往下除，有点类似无穷递降的方法即可证明

由算术基本定理知，a=r1*r2*……*rnb=s1*s2*……*snm=t1*t2*……*tn其中r,s,t都是素数，若a和b均与m互素则r,t与s,t都是互质的r与s的任意乘积组合也与t互质，所以ab与m互素

任何一个大于1的自然数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积，这里均为质数，其诸指数是正整数。这样的分解称为的标准分解式。

我同意这种证明方法：设√10为有理数，不妨设√10=n/m(n,m之间互质)则n^2=10m^2可见n^2是10的倍数按原理n是10的倍数设n=10k代入得m^2=10k^2可见m^2是10的倍数按原理m是10的倍数但这与m,n互质矛盾所以√10不是有理数

由算术基本定理，可设a=p1^a1*p2^a2*......*pn^an......b=p1^b1*p2^b2*......*pn^bn......c=p1^c1*p2^c2*......*pn^cn......(p1,p2,.....,pn,.......为素数)则[b,c]=p1^max{b1,c1}*p2^max{b2,c2}*......(a,[b,c])=p1^min{a1,max{b1,c1}}*p2^min{a2,max{b2,c2}}*......同理：[(a,b),(a,c)]=p1^max{min{a1,b1},min{a1,c1}}*p2^max{min{a2,b2},min{a2,c2}}*......所以只需证明：min{a,max{b,c}}=max{min{a,b},min{a,c}}然后可用两种方法证明：1.对a,b,c分类讨论，有2^3=8种情况2.min{x,y}=(x+y-|x-y|)/2 max{x,y}=(x+y+|x-y|)/2我比较懒，都没仔细计算，不过应该差不多了吧

只能被本身各1整除的整数 如3，5 ，7 ，11……

34不是质数，质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

2本来就是一个素数

对给定的任意正整数n>1，下述n个连续的自然数都是合数(n+1)!+2,(n+1)!+3,......,(n+1)!+n+1证明：任取第k个数(n+1)!+(k+1),1≤k≤n因为(n+1)!=1*2*3*...(k+1)...*(n+1)所以(n+1)!+(k+1)至少有一个因子k+1。因此对任意给定的正整数n>1,存在n个连续的合数。

若√5是有理数则√5=a/b（ab互质，且ab为正整数）那么5=a^2/b^25b^2=a^2所以a^2能被5整除所以a是5的倍数设a=5x则5b^2=(5x)^25b^2=25x^2b^2=5x^2显然b也是五的倍数与ab互质矛盾所以根号5是无理数

分类: 教育/科学 >> 科学技术 问题描述: 为什么素数会用在密码学中，希望有详细的解释。 解析: 素数被利用在 密码学 上，所谓的 公钥 就是将想要传递的信息在编码时加入砠数，编码之后传送给收信人，任何人栶到此信息后，若没有此收信人所拥有砄 密钥 ，则解密的过程中（实为寻找素数的蠇程），将会因为找素数的过程（ 分解质因数 ）过久而无法解读信息。 哪些数是素数 人们很难捕捉到素数的分布规律。素数之间的间隔要多大有多大，对于无论多大的自然数n，总是存在两个素数，它们之间的距离大于n而且其间没有素数。理由很简单，对于n，以下n个整数是相继排列的，而且都是合数：（n+1）！+2，（n+1）！+3，…（n+1）！+（n+1）。可见在（n+1）！+1和（n+1）！+（n+2）之间没有素数。几千年来，历代数学家都希望能找到一个数学公式，把全部素数都表示出来。欧拉找到公式N=n2+n+41，当n=－40，－39，…0，1，…39时，N都是素数，只有80个素数。后来有人证明，N=n2+n+72491，当n=0，1，2，…11000时都是素数，也只有一万多个。可以证明，整系数多项式是不可能用来表示全部的素数，而不表示合数的。 十七世纪费马猜测，2的2n次方+1，n=0，1，2…时是素数，这样的数叫费马素数，可惜当n=5时，232+1就不是素数，至今也没有找到第六个费马素数。 18世纪发现的最大素数是231-1，19世纪发现的最大素数是2127-1，20世纪末人类已知的最大素数是2859433-1，用十进制表示，这是一个258715位的数字。 素数与密码 本世纪七十年代，几位美国数学家提出一种编码方法，这种方法可以把通讯双方的约定公开，然而却无法破译密码，这种奇迹般的密码就与素数有关。 人们知道，任何一个自然数都可以分解为素数的乘积，如果不计因数的次序，分解形式是唯一的。这叫做算术基本定理，欧几里得早已证明了的。可是将一个大整数分解却没有一个简单通行的办法，只能用较小的素数一个一个去试除，耗时极大。如果用电子计算机来分解一个100位的数字，所花的时间要以万年计。可是将两个100位的数字相乘，对计算机却十分容易。美国数学家就利用了这一点发明了编制容易而破译难的密码方式。这种编码方式以三位发明者姓氏的首字母命名为RSA码。 例如，A、B两位通讯者约定两个数字N和e，A想要将数字M发给B，他不是直接将M发出，而是将M连乘e次，然后除以N，将余数K发给B。B有一个秘密的数字d，连A也不知道，他将K连乘d次，然后除以N，得到的余数就是原来的数M。 数字是这样选择的，N=p×q，p、q是选定的两个大的素数，选取e、d，使ed-1是(p-1)×(q-1)的倍数，而且使e和p-1、q-1没有公因数，这是容易做到的。根据这个方法，编码规则可以公开，可是由于N太大，分解得到p、q几乎是不可能的，他人也就无从知道d，不可能破译密码了。 RSA提出后，三位发明家曾经公布了一条密码，悬赏100美元破译，他们预言，人们至少需要20000年，才能破译，即使计算机性能提高百倍，也需要200年。但只过了不到18年，这个密码就被人破译，意思是：“The magic words are squeamish ossifrage”。这个密码如此快的破解，是因为全世界二十多个国家的六百多位工作者自发联合起来，利用计算机网络，同时进行因式分解，并不断交流信息，汇总计算结果，用了不到一年的时间，就将129位的N分解成64位和65位的两个素数的积。计算机网络将分解效率提高了近万倍，这是发明者当初没有预想到的。但是，如果提高位数到200或300位，工作量将会大的不可思议，即使计算机技术有重大突破，破译也几乎不可能。 祝你好运！

从本文开始，我们将正式开始介绍有关初等数论的相关知识与概念，我们争取用通俗的语言去把握和描述理论的精髓所在。而不拘泥于具体概念的束缚，以窥探初等数论巧妙的一些思想方法。从这里开始你的行囊里不需要太多的东西，只要会整数的加减乘除即可。东西多了不仅帮不了你，反而会成为前进的负担。你需要首先抛开一切固有思维，清空大脑，带着孩童般的好奇心重新认识这个世界。由于数论经常出现于奥数和智力题中，它往往被当成一种锻炼思维的智力游戏，但随着研究的深入，我们需要建立一套理论才能看清本质。我们可以从最简单的定义出发，利用理性思维建立这些理论。但通过做题与不断地思考是学习数论的必经途径，这样才能有更深刻的理解，这一部分笔者不能代劳，这里只能力图尽力而为，将其中的思想和方法展现在各位面前。 数论研究整数本身（或自然数，语境自明），初等数论主要研究整数之间的关系。整数的运算中，加减是最平凡的，得不出什么深入的结论，从而乘除法是唯一可以着手的地方。考虑一个简单的等式 ma=b（以后若不作特殊说明，所有符号表示整数），任何两个整数之间都可以有像 m,a 这样的乘法运算，但却并不是所有整数都有等式中类似a与b这样的关系。为此，当 a≠0 时，定义满足等式的 a 能整除 b，或b被a整除，a称为b的约数，b称为a的倍数，记作a∣b，否则记为a∤b。 仅从定义出发可以得到整除的许多基本性质，这里就不一一列举了，只给出一个最具代表性的：式子（1），即 a 的倍数的线性组合仍是 a 的倍数。整数集线性组合的这一性质体现了元素之间的共性，后面还会继续深究，这里先举一例来感受其意义。若a∣n,b∣n，则有 ab∣nb,ab∣na，进而有 ab∣n(ax+by)，所以如果有 ax+by=1，则有 ab∣n。 考虑n的所有 倍数 的集合 kn，它的元素有无穷多个，且性质是 平凡的 ，不多阐述。现在来考虑 n 的所有 约数 ，显然它们是有限的，但我们似乎还得不出更多的结论。不妨先考察一类特殊的数：如果 p>1 除了±1和±p外没有其它约数，p称为 质数 或 素数 ，反之叫合数，今后我们会约定俗成地用 p, q 表示素数。直观上素数是不能再分解的数，它们是整数的 基本因子 ，任何整数都可以通过有限步分解为素数的乘积。 一个自然的问题是，这样的分解唯一吗？你固有的知识可能使你对这个问题相当地自信，但如果冷静思考地一番，就会发现这种自信其实是没有根据的。它的证明并不十分显然，这里通过反证法来推导。假设有某些 整数的素数分解不唯一，则存在最小的这样的数，并设它有两个分解式a=p1p2⋯pn=q1q2⋯qm，其中m,n>1，并且素数按大小排列。由a的最小性知pi≠qj，假设p1>q1，考察式（2）。容易证明后一分解式中不含q1，从而b<a有两个不同的分解式。这与a的最小性矛盾，故所有整数都存在唯一的的素数分解式，即表达式（3）唯一,此方法被叫做无穷递降法。这个证明最早由高斯给出，被称为 算术基本定理 ，它使得整数可以被完全解析。 现在来看数a的所有约数，容易知道它们的分解式必定是式子（4）。若记a共有 个约数，且它们的和为 ，则有公式（5）（6）。 这里可以尝试来思考如下几个问题： 　 　　• 求满足 的最小整数； 　　• 求 的值。 有了 算术基本定理 ，整数之间的倍数关系就基本清楚了。而对于两个任意的整数（不一定有倍数关系），只能通过它们共同的 约数 或 倍数 来取得联系。两个数a,b共同的约数称为它们的 公约数 ，最大的那个叫 最大公约数 ，记作(a,b)，类似还有公倍数和 最小公倍数 [a,b]的概念，最大公约数为1的两个数称为 互素 或 既约 的。这些概念都有一些比较简单的性质，可以通过算术基本定理去证明，后面会罗列。公约（倍）数为研究 整数之间的关系 提供了便利，但它们的定义并不依赖于算术基本定理，你完全可以仅从定义出发得到那些常用结论，算术基本定理只是提供了一种方法而已。 公约数一定程度上体现了整数之间的相关程度， 互素 则表现了整数之间的 无关性 。这个观念为我们分析整数集的结构提供了一个好的思想，不大于m的所有数可以按照和m的相关程度分类，这个话题我们会在后面展开。现在来考虑一下 与 m 无关的（互素）数的个数 <font color=red> φ(m)（欧拉函数） ，对素数 p 显然有 和 ，利用 容斥原理 排除掉不互素的数之后可以得到公式（7）。 　　 关于这个计算式的证明可参见： 欧拉函数的计算式 算术基本定理虽然很强大，但用它来求公约数或进行整数关系分析的代价太大，并且也很难得到进一步的结论，这时必须引入别的工具。在不做素数分解的情况下，分析整数关系最直观的方法就是带余除法，对任意整数 a≠0, b，存在唯一数对 m, r 满足式子（8）。由 知 a,b 的公约数必定是 r 的约数，并且 r 更小。如果继续对 a, r 做这样的运算，我们一定可以得到a,b的最大公约数。这便是辗转相除法的基本思想，早在欧几里得的《几何原本》中就有记载（故又称Euclid算法），熟悉算法的你一定也不陌生，这里就不展开细节了。 带余除法 为整数的分析提供了一个简单有效的方法。比如我们再回头考虑一下式（1）中的所有线性组合，首先(b1,b2,⋯,bn)显然也是每个线性组合的约数。考察线性组合中的最小正数 c，如果它不是 bk 的约数，使用带余除法 也是线性组合但却更小。所以c是b1,b2,⋯,bn的公约数，结合刚才的结论可知c=(b1,b2,⋯,bn)。 最大公约数 可以看做是整数间的一个 基本代数运算 ，我们已经看到有很多不同的途径来得到它，而这些途径并不依赖于最大公约数的定义。这就让我们想到，其实可以将它们看成是最大公约数的等价定义，在不同的场合灵活使用，可以得到更简洁的方法。以下便列举了这些等价定义，你可以尝试证明它们的等价性。   （1）原始定义：最大的公约数； 　　（2）约数的公倍数：是所有公约数的最小公倍数； 　　（3）素数基本定理：素数分解式的公共部分； 　　（4）线性组合：线性组合的最小正数； 　　（5）辗转相除法：辗转相除法得到的最小正数。 作为一个 基本运算 ，需要稍微研究一下 最大公约数的基本性质 ，你可以尝试通过不同途径证明下面的基本性质：   （1） 　　（2） 　　（3）若 ，则有 　　（4）若 则 　　（5）若 则 　　（6） 公约数虽然定义简单，但却变化多端，当和其它知识结合起来时，问题会变得很困难。你需要熟练掌握初等数学中各种变形技巧，并需要足够的想象力和创造力。必要的练习是最好的锻炼场所，你不能绕过那一步，如下只列几例供参考。    • 已知 求证 　　• a为奇数，则必有 使得 设这样数最小为 ，则 成立的充要条件是 　　• 证明梅森（Mersenne）数 两两互素； 　　• 求证 不是整数；（提示：构造一个整数与之相乘后不为整数） 　　• 若(a,b)=1，则对任意 中有无数个与m互质的数。（提示：无穷递降） 话说素数的确非常重要，后面我们还会看到它更多的性质，这里再多说两句。首先，欧几里得在《几何原本》回答了素数的个数问题，假设仅有有限个素数 ，考察表达式 。它不以任何 为约数，从而它也是素数，与假设矛盾，这就证明了素数有无穷多个。该证明使用了 构造法和反证法 ，它的美妙是数学史上惊艳的一笔，你不妨可以用同样的方法解决以下问题。 　   • 相邻素数之间的间隔可以有任意大； 　　• 证明费马数 的素因子互不相同，从而素数有无穷多个； 　　• 使用数列 ，证明素数有无穷多个； 　　• 求证形如 的素数有无穷多个； 　　• 如果 则n必为素数。 根据算术基本原理，并使用 级数 理论，容易有以下著名的 欧拉公式 （式子（9））。这个神奇的公式将 调和级数 与 所有素数 扯上了关系，这也成为了研究素数的一个突破口，巍峨耸立的 黎曼猜想 就是对它的扩展研究。顺便提一句，因为 调和级数是发散的，故由此此也可以证明素数有无穷多个。 　　 关于素数，还有一些自然的问题是：如何判定一个数是否为素数？如何找出一定范围内的所有素数？它们的分布是怎样的？是否有素数的通项公式？这些问题是很难回答的，它们也是数论的难点，很多问题都还没有被解决。古希腊时期的 Eratosthenes筛法 是目前仍在使用的筛选素数的方法，它逐步划去每个素数的倍数，从而仅余下素数，这在一般的算法教材里都有介绍。另外一般用 π(x) 表示不大于x的素数的个数，公式（10）是就是著名的 素数定理 ，它表明了素数的平均密度。该定理最早由勒让德和高斯作为猜想提出，将近一百年后才被人用复变函数的理论所证明，再过了50年才有了初等证法。关于素数的问题我们就不深究了，它们也不是这里能回答得了的。 　　 公约数 是我们要讨论的主要 整数关系 ，对整数m而言，其它整数与它的关系以 m 为周期出现着重复，具体讲就是 任何整数 和 带余除法中的余数 是等价的。为此我们可以在整数中建立另一种 等价关系 ，如果 即 ，则称 a, b 在模 m 下<font color=red> 同余 </font> 或 a 同余于 b 模 m, b 是 a 对模 m 的剩余，记做 ，该关系式称为模 m 的同余式。比较容易证明同余关系是一个等价关系， 它将整数限定在一个有限的空间里 ，大大方便了讨论。<font color=purple> 同余理论由高斯提出，它是数论的基础语言 </font>。由于 同余继承自整除 的概念，它的性质一般还是用整除来证明，但作为一个强大的语言，它有着自己简洁清晰的特点。以下是一些同余的基础性质，各位可以自行证明或者查看网络资料，这些都是较常用的基本性质（重要）：   （1）若 ，则有 和 ； 　　（2）若 ，则 ； 　　（3） 等价于 　　（4）若 ，则 ； 　　（5） 等价于 。 性质（1）比较平凡，（2）（3）是对操作数进行缩放时的性质，（3）中包含了两种极端情况 d∣m 和(d,m)=1 的性质。（4）（5）是对模数进行缩放时的性质，性质（5）可以将问题互相转化，把大模数分解为几个小模数，或者反过来将多个等式合并为一个。性质（2）中没有除法，那是因为“倒数”还没有被定义。当(a,m)=1时，使用线性组合的定义容易证明，一定存在d使得 ， 称为a的 逆 。有了逆就可以两边同时“除以”一个数了，但需要注意逆仅对与 模互素的数 存在。 既然同余是个等价关系，那它的等价类就可以看做是一个整体，所有满足 的整数组成的集合称为一个 剩余类 ，记作 ，模m的所有剩余类组成的集合记作 。当 (r,m)=1 时，即与 m 互素的数 r ， 又称为 既约剩余类 ，模m的所有既约剩余类的个数显然共有 φ(m) 个，φ(m) 又称为欧拉函数。在一个只有加减乘除的同余式里，任何数都可以等价地看成它的同余类，故以上性质对同余类也是成立的。同余类中同样可以定义 逆 ，容易证明逆存在则必是唯一的，且有 。 下面有一个思考题，你可以尝试利用同余的性质来解决： • 求 的末两位数。 主要区分上面在同余理论下的 剩余类 与我们这里要讨论的 剩余系 。 虽然剩余类和它的元素是等价的，但元素本身更容易被直接讨论。于是从每个剩余类中取一个元素组成的 集合 称为一个 完全剩余系 ，它的 定义 是：一组数 称为模 m 的完全剩余系，如果对任意的 a 有且仅有一个 是 a 对模 m 的剩余，即 a 同余于 模 m 。同时还应注意类似 称为模 m 的 最小非负（完全）剩余系 ； 为 绝对最小（完全）剩余系 ； 最大非正（完全）剩余系 。 相应地还有 既约剩余系 的概念。定义是：一组数 称为模 m 的既约（互素）剩余系，如果 ,以及对任意的 a, (a, m)=1, 有且仅有一个 是 a 对模 m 的剩余，即 a 同余于 模 m 。剩余系的元素可以根据需求来选取，而且它们有以下基本性质(关于具体证明可参考推荐书籍) : （1）若 是一个完全剩余系，则对任何整数c， 仍然是一个完全剩余系； （2）若 是一个完全（既约）剩余系，且 ，则 仍然是一个完全（既约）剩余系。 性质（2）告诉我们，如果 是n的既约剩余系，且 ，则 也是既约剩余系。那它们的乘积应该是模n同余的，即式子（1），这样就得到了著名的 欧拉定理 （公式（2））。取n为素数 p 时，则又有了 费马小定理 （公式（3））。欧拉定理给出了一个求元素逆的方法，即 。另外，欧拉定理还给出了既约剩余系的元素与“单位元”的关系，这里是我们首次讨论既约剩余系元素之间的关系，后面还会继续研究。 简单考虑一个的习题： • 求m的 最小正既约剩余系的所有元素之和。 剩余系的提出，最终还是为了研究同余意义下的整数空间，在这里就是要弄清完全（既约）剩余系的 结构 。既然整数 m 可以进行素数分解，想必把模m的剩余系按其素数分解分割会是个不错的想法。具体来说，对于 m 的互质分解 ，我们想看到的是 m 的剩余系和 的剩余系之间的关系。 先从简单的 看起，参考进制数的方法并考察 ，其中 是 的完全剩余系， 是 的完全剩余系。容易证明当 遍历 的完全剩余系，则 遍历m的完全剩余系。使用归纳法可以将这个结论推广到 的情形，但由于其形式不对称，推广的结论并无太大理论价值。由于 ，可知将上式中的 换成 结论任然成立。 另外，当 遍历 的既约剩余系时，首先由刚才的结论， 两两不同余，其次也容易证明它们与 m 互素。综合起来我们就有结论：当 遍历 的既约剩余系时， 正好遍历m的既约剩余系。使用对应的证明方法（两类剩余系方法不同），这个结论可以轻易地推广到 的情景，甚至为每一项再乘上任意与 互素的数，结论任然成立。即当 两两互素，且有 ，则当 遍历 的完全（既约）剩余系时，表达式（4）和（5）都正好遍历 m 的完全（既约）剩余系。 　 　　表达式中的 就像 x 的坐标一样，剩余系被分解到了个互相独立的维度，各个维度可以被单独地研究。值得提醒的是，以上表达式的每一项其实刚好是 的剩余系，它们可以相加得到m的剩余系 。有一个自然的问题是，有没有表示为乘法的表达式 ，同样满足这样的要求呢？结合前面结论，容易构造出公式（6）中的分解（ 的 意义同上 ），它的每一项是 的剩余系，各项相乘后是m的剩余系。有趣的是，表达式中各项之和任然遍历完全剩余系，而这对既约剩余系是不成立的（见下面练习）。 尝试解决以下问题：   • 求13的一个完全剩余系 ，满足 和 ； 　　• 若 是m的既约剩余系，则对任何满足 的整数， 都不可能是既约剩余系。 　　• 不可能有 的既约剩余系 ，使得 和 都是m的既约剩余系； 以上分解方法从另一方面给出了欧拉函数的性质：如果 ，则 。利用这个性质可以得到公式（7），另外，这个公式还可以这样解释：将 按照与n的最大公约数d划分为不同的集合，容易知道每个集合有 个元素，所以共有 个元素，这样就得到公式（8）。换句话说，一个完全剩余系被划分成了若干个既约剩余系，不得不说是一个很新颖的划分方法。 剩余系分解 的一个典型应用就是 解一次同余方程组 ，下篇我们会专门研究同余方程，这里只介绍这类方程组（式子（9）的左侧）。当 两两互素时，根据前面的分解定理可知，在模 下方程有且仅有一解 。该结论历史上称为 孙子定理 （又称 中国剩余定理 ），因为《孙子算经》中“物不知数”的问题其实就是一次同余方程组。 以上定理限定 两两互素，且x系数为1，对于不满足条件的方程组，可以通过前面的结论进行等价变换。其中 意义同上 , 是 对模 的逆。即 。关于中国剩余定理其实还有很多中方法求解，更多解法，可参见， 中国剩余定理的五种解法 　 　你可以尝试如下练习： 　 • 求解“物不知数”问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ 　　• 求的7一个完全剩余系，每个数模2,3,5的余数都是1； 　　• 解方程 ； 　　• 解方程组　 虽然我们还没有完全弄清既约剩余系的结构，但还是可以再做一些有趣的讨论的。既约剩余系中的任何数都有逆，尝试将它们两两配对，所有这样的数的乘积为 1，如果再将那些逆为自身的数单独研究，也许可以得到既约剩余系的整体性质。先从模 p 看起，对逆为自身的数有 ，从而，满足条件的只有两个数 ±1。这样便有了著名的 威尔逊（Wilson）定理 （公式（10）），它给出了既约剩余系 积的整体性质。 以上讨论过程对奇素数的幂 仍然成立，对 独立讨论也可知模为 1,2,4 时结果为 −1，其它模 的结果为 1。对一般的模 ，考虑公式（6）表示的既约剩余系的积 ，因为除了 外都有 ，故除了模为 外都有 。总结以上可以有威尔逊定理的扩展定理：模为 （p为奇素数）的既约剩余系的乘积模m余为 −1，其它形式模的既约剩余数之积模m余为1。这个既约剩余系的整体性质在一些问题中很有作用，你可以尝试者解决以下问题： • 若 和 是奇素数p的两个完全剩余系，证明 一定不是完全剩余系。再证明该结论对任意模m也成立； • 求证 。 　　 以上证明中的配对思想非常重要，请考虑以下问题： • 求证存在 的充要条件是 ，并由此证明格式为 ，的素数有无穷多个。

质数就是除了数字“1”和其本身之外再也没有其他的因数的数字。质数基本上全部都是单数，除了有一个比较特殊的偶数，就是数字“2”，因为数字“2”除了其本身和数字“1”以外，再无其他因数。以下列举100以内的所有质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。合数就是除了数字“1”和其本身之外还有其他因数的数字。即自然数里除去质数外，其他都是合数。扩展资料：质数的性质：1、质数p的约数只有两个：1和p。2、初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。3、质数的个数是无限的。4、质数的个数公式：  ，是不减函数。5、若n为正整数，在  到  之间至少有一个质数。6、若n为大于或等于2的正整数，在n到  之间至少有一个质数。7、若质数p为不超过n（  ）的最大质数，则  。8、所有大于10的质数中，个位数只有1,3,7,9合数的性质：1、所有大于2的偶数都是合数。2、所有大于5的奇数中，个位为5的都是合数。3、除0以外，所有个位为0的自然数都是合数。4、所有个位为4，6，8的自然数都是合数。5、最小的（偶）合数为4，最小的奇合数为9。6、每一个合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积，即分解质因数。(算术基本定理)7、对任一大于5的合数(威尔逊定理)参考资料：质数-百度百科、合数-百度百科

　任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an) , 这里P_1<P_2<...<P_n是质数，其诸方幂 ai 是正整数。 　　这样的分解称为N 的标准分解式。对于素数特殊情况这里n=1,所以素数表示成n=n形式，不用找两个数乘积，不然也个分解式后面都可加个1相乘，没有意思。

100以内的合数共74个，具体如下：4. 6 .8 .9 .10 .12 .14 .15 .16 .18 .20 .21 .22 .24 .25 .26 .27 .28 .30. 32. 33. 34. 35. 36. 38. 39. 40. 42. 44. 45. 46. 48. 49. 50. 51. 52.54 .55 .56 .57 .58. 60. 62. 63. 64. 65. 66. 68. 69. 70. 72. 74. 75. 76. 77. 78.  80. 81. 82. 84. 85. 86. 87. 88. 90. 91. 92. 93. 94. 95.96. 98. 99. 100。合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。其中，完全数与相亲数是以它为基础的。扩展资料：所有大于2的偶数都是合数。所有大于5的奇数中，个位为5的都是合数。除0以外，所有个位为0的自然数都是合数。所有个位为4，6，8的自然数都是合数。最小的（偶）合数为4，最小的奇合数为9。每一个合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积，即分解质因数。(算术基本定理)对任一大于5的合数(威尔逊定理):参考资料：百度百科——合数

任何整数n≥2都可以分解成若干质数的乘积，即n=p1p2···pr且这些质数的组成是唯一的。在我们开始证明计算基本定理之前，先要做一些必要的解释。首先，如果n本身就是个质数，那么我们只能写成n=n，并且把它认定成一个独立数字的乘积。第二，当我们写出n=p1p2···pr时，并不意味着p1，p2，...，pr这些数都是不同的质数。比如，300=2×2×3×5×5。第三，所说的那个“唯一”指的是那些质数的组成是唯一的，而不是指排列顺序。如，12=2×2×3，12=2×3×2，12=3×2×2，但这些都视为同一种组成方式。

质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。因为合数是由若干个质数相乘而得来的，所以，没有质数就没有合数，由此可见素数在数论中有着很重要的地位。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。质数是与合数相对立的两个概念，二者构成了数论当中最基础的定义之一。基于质数定义的基础之上而建立的问题有很多世界级的难题，如哥德巴赫猜想等。算术基本定理每一个比1大的数（即每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数的在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。这个定理的重要一点是，将1排斥在素数集合以外。如果1被认为是素数，那么这些严格的阐述就不得不加上一些限制条件。

奇数个位上是13579偶数个位上是02468

不是。合数，指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除（不包括0)的数。与之相对的是质数（因数只有1和它本身，如2，3，5，7，11，13等等，也称素数），而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。性质：所有大于2的偶数都是合数。所有大于5的奇数中，个位是5的都是合数。最小的合数为4，所以天不属于合数。每一合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积。(算术基本定理)对任一大于5的合数。(威尔逊定理)

信息安全的数学基础理论主要是数论、代数和椭圆曲线论等数学理论。其中包括欧几里得除法、模同余、欧拉定理、中国剩余定理、二次同余、原根、有限群、有限域、椭圆曲线等。

是合数，因为9=1×9=3×3，合数是除了1和它本身以外还有大于0的约数的数；9是奇数中最小的合数。

7、20、28骚扰他的事，…

一百以内的质数顺口溜如下：一位质数偶打头，2、3、5、7要记熟；两位质数不用愁，可以编成顺口溜。十位若是4和1，个位准有1、3、7；十位若是2、5、8，个位3、9往上加；十位若是3和6，个位1、7跟在后；十位若是被7占，个位1、9准出现；19、97最后算。质数指在大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有1与该数本身两个正因数的数）。大于1的自然数若不是素数，则称之为合数（也称为合成数）。算术基本定理确立了素数于数论里的核心地位：任何大于1的整数均可被表示成一串唯一素数之乘积。质数顺口溜的作用质数与合数记忆口诀：分清质数与合数，关键就是看约数。1的约数只一个，不是质数也非合数；如果约数只两个，肯定无疑是质数；3个约数或更多，那就一定是合数。质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。质数被利用在密码学上，所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中（实为寻找素数的过程），将会因为找质数的过程（分解质因数）过久，使即使取得信息也会无意义。

因数也叫约数，指可以被这个数整除的数，如4可以被2整除，那么2就是4的因数。质数是除了1和它本身没有其他因数的数，如3只有1和本身3两个因数，所以3是质数，9除了1和本身9以外还有一个因数3，所以9不是质数

未知数打X2357G的手两未知数不用愁可以变成一个六

所谓的合数呢是最后一个数字是偶数，这样的话才算为合数，3961不是合数，它是质数。比如说二四，五十六，58，这些数字是合数的，因为后面是偶数，可以被二整除的数目才是为合数。以下是题外话，关于健康养生小常识，仅供参考。热水泡双手可治偏头痛。把双手浸入热水中，水量以浸过手腕为宜，并不断地加热水，以保持水温。半小时后，痛感即可减轻，甚至完全消失忌食鲜黄花菜！因为鲜黄花菜内含秋水仙碱有毒物质，食用后会导致恶心、腹泻等。而加工后的干黄花菜已将秋水仙碱溶出，食用则不会中毒。风油精的妙用:在点燃的蚊香上洒几滴风油精，蚊香放出的烟气不会呛，而且清香扑鼻，驱蚊效果也会更佳。在洗碗水中放几片柠檬皮和橘子皮，或滴几滴醋，能消除碗碟等餐具上的异味。同时，它还能使硬水软化，同时增加瓷器的光泽感。巧洗带鱼:带鱼身上的腥味和油腻较大，用清水很难洗净，可把带鱼先放在碱水中泡一下，再用清水洗，就会很容易洗净，而且无腥味。以上说了一些关于养生的一些小常识，希望这些在生活中能够帮助到你，祝你生活愉快，有一个好心情。

您好 一个（＞0）数 的因数只有1和该数本身 我们称之为质数 反之则是合数

在11、24、29、41、57、79、87这些数中，质数有（11、29、41、79），合数有（24、57、87）。拓展资料：一、质数一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不再有其他因数的数叫做质数，又叫做素数。最小的质数是2，没有最大的质数，质数的个数是无穷的。100以内的质数表二、合数一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还有其他因数（0除外）的数叫做合数。最小的合数是4，没有最大的合数，合数的个数是无穷的。在一、十一、二十四、二十九、四十一、五十七、七十九、八十七这些数中质数有1、11、29、41、79；合数有24、57、63、87。 拓展资料 质数(prime number)又称素数，有无限个。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数。根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。目前为止，人们未找到一个公式可求出所有质数。2016年1月，发现世界上迄今为止最大的质数，长达2233万位，如果用普通字号将它打印出来长度将超过65公里。合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数。两个或两个以上素数的乘积，可以组成一个合数，并且只可以组成一个合数。反之，一个合数可以拆分为一组素数的乘积，并且只可以拆分为一组素数的乘积。也就是说：由三个以上素数的乘积组成的合数，不可以视为两个素数的乘积！(也可以说除了1和它本身以外还有别的因数）有比如24和874 6 8 12是质数质数有11,29,41,79,87合数有24,57

1、质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数叫做质数；否则称为合数。例如2、3、5、7、11、13等能被1整除的，就是质数。2、质数的定义可以用例子说明，如：（1）、在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间（a, 2a]中）必存在至少一个素数。（2）、存在任意长度的素数等差数列。（3）、一个偶数可以写成两个合数之和，其中每一个合数都最多只有9个质因数。（4）、一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中合数的因子个数有上界。（瑞尼，1948年）（5）、一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为 （1 + 5）。（6）、一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为 （1 + 2）。3、合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数，如4、6、8、9、10。4、合数定义例子：（1）、所有大于2的偶数都是合数。（2）、所有大于5的奇数中，个位为5的都是合数。（3）、除0以外，所有个位为0的自然数都是合数。（4）、所有个位为4，6，8的自然数都是合数。（5）、最小的（偶）合数为4，最小的奇合数为9。（6）、每一个合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积，即分解质因数。(算术基本定理)。（7）、对任一大于5的合数(威尔逊定理)。扩展资料：1、合数的一种方法为计算其质因数的个数。一个有两个质因数的合数称为半质数，有三个质因数的合数则称为楔形数。在一些的应用中，亦可以将合数分为有奇数的质因数的合数及有偶数的质因数的合数。2、质数被利用在密码学上，所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中（实为寻找素数的过程），将会因为找质数的过程（分解质因数）过久，使即使取得信息也会无意义。参考资料：百度百科-合数、百度百科-质数

答案：43 和 47 1 和 2021

质数(prime number)又称素数，有无限个。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数。根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。目前为止，人们未找到一个公式可求出所有质数。2016年1月，发现世界上迄今为止最大的素数，长达2233万位，如果用普通字号将它打印出来长度将超过65公里。

质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）。

算术基本定理可表述为：任何一个大于1的自然数N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P1a1P2a2P3a3......Pnan，这里P1<P2<P3......<Pn均为质数，其中指数ai是正整数。这样的分解称为N的标准分解式。最早证明是由欧几里得给出的，由陈述证明。此定理可推广至更一般的交换代数和代数数论。算术基本定理是初等数论中一条非常基本和重要的定理，它把对自然数的研究转化为对其最基本的元素——素数的研究。它所体现的唯一因子分解的思想，在现代交换环理论中起着非常重要的作用。唯一因子分解的思想从本质上讲是指以下两种性质： “存在性和唯一性”。所谓“存在性”就是指一个元素可以分解为有限多个不可约因子的乘积；“唯一性”是指这种分解表示在某种意义上来说是唯一的。唯一因子分解的思想最初作为一个自然数的性质而出现，这个性质就是通常所说的算术基本定理。

算术基本定理是初等数论中一条非常基本和重要的定理，它把对自然数的研究转化为对其最基本的元素——素数的研究。它所体现的唯一因子分解的思想，在现代交换环理论中起着非常重要的作用。唯一因子分解的思想从本质上讲是指以下两种性质： “存在性和唯一性”。所谓“存在性”就是指一个元素可以分解为有限多个不可约因子的乘积。“唯一性”是指这种分解表示在某种意义上来说是唯一的。唯一因子分解的思想最初作为一个自然数的性质而出现，这个性质就是通常所说的算术基本定理。算术基本定理：任何一个大于 1 的自然数可以分解成一些素数的乘积；并且在不计次序的情况下，这种分解方式是唯一的。算术基本定理起源很早，但将其提炼、明确表述成一条定理，使其在初等数论中获得基础性的地位，却经历了一段较长的时间。设 为任一整数,则 与 是他的因数,称为平凡因数若 只有平凡因数,则称p为素数,否则称为合数定理：设p为素数,则 ,有 或证明：推论：设 , 为素数,且 ,则p整除某个证明：定理：任一大于1的整数一定能表成素数的乘积,且该表示法除了次序外是唯一的,即若 ,则有 ,其中 为素数,且若又有 ,其中 为素数,则 ,且适当调整次序后,对任意的 都有证明：推论：(1)任一大于1的正整数a都可唯一写成a的标准分解式其中 为素数(2) 且则其中定义：设 ,记集合 中与a互素的整数个数为 , 是一个定义在全体正整数集合上的一个函数,称为欧拉函数例：设p为素数,则集合 中,与p互素的元为 ,因此注： ,有集合 中有 个元,对于该集合中任一元a, ,故与 不互素的元有 个,从而与 互素的元有 个

术基本定理，又称为正整数的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数，若不是本身就是质数，就是可写为2个以上的质数的积，而且这些质因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。例如:{displaystyle 6936=2^{3} imes 3 imes 17^{2}}6936=2^{3} imes 3 imes 17^{2}，{displaystyle 1200=2^{4} imes 3 imes 5^{2}}1200=2^{4} imes 3 imes 5^{2}

10以内的质数是2，3，5，7所以10以内的质数和就是2+3+5+7=17

成立，1不是素数，但2是最小的素数因为2只有本身和1才能相乘

一不是质数也不是合数

合数，数学用语，英文名为Compositenumber，指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除（不包括0)的数。与之相对的是质数（因数只有1和它本身，如2,3,5,7,11,13等等，也称素数）,而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。

100以内的合数共74个，具体如下：4. 6 .8 .9 .10 .12 .14 .15 .16 .18 .20 .21 .22 .24 .25 .26 .27 .28 .30. 32. 33. 34. 35. 36. 38. 39. 40. 42. 44. 45. 46. 48. 49. 50. 51. 52.54 .55 .56 .57 .58. 60. 62. 63. 64. 65. 66. 68. 69. 70. 72. 74. 75. 76. 77. 78.  80. 81. 82. 84. 85. 86. 87. 88. 90. 91. 92. 93. 94. 95.96. 98. 99. 100。合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。其中，完全数与相亲数是以它为基础的。扩展资料：所有大于2的偶数都是合数。所有大于5的奇数中，个位为5的都是合数。除0以外，所有个位为0的自然数都是合数。所有个位为4，6，8的自然数都是合数。最小的（偶）合数为4，最小的奇合数为9。每一个合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积，即分解质因数。(算术基本定理)对任一大于5的合数(威尔逊定理):参考资料：百度百科——合数

100以内的合数共74个，具体如下：4. 6 .8 .9 .10 .12 .14 .15 .16 .18 .20 .21 .22 .24 .25 .26 .27 .28 .30. 32. 33. 34. 35. 36. 38. 39. 40. 42. 44. 45. 46. 48. 49. 50. 51. 52.54 .55 .56 .57 .58. 60. 62. 63. 64. 65. 66. 68. 69. 70. 72. 74. 75. 76. 77. 78.  80. 81. 82. 84. 85. 86. 87. 88. 90. 91. 92. 93. 94. 95.96. 98. 99. 100。合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。其中，完全数与相亲数是以它为基础的。扩展资料：所有大于2的偶数都是合数。所有大于5的奇数中，个位为5的都是合数。除0以外，所有个位为0的自然数都是合数。所有个位为4，6，8的自然数都是合数。最小的（偶）合数为4，最小的奇合数为9。每一个合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积，即分解质因数。(算术基本定理)对任一大于5的合数(威尔逊定理):参考资料：百度百科——合数

因数假如a*b=c（a、b、c都是整数)，那么我们称a和b就是c的因数。 需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立。 反过来说，我们称c为a、b的倍数。在研究因数和倍数时，不考虑0。倍数①一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。 ②一个数除以另一数所得的商。如a÷b=c，就是说，a是b的倍数。例如：A÷B=C，就可以说A是B的C倍。 ③一个数的倍数有无数个，也就是说一个数的倍数的集合为无限集。 注意：不能把一个数单独叫做倍数，只能说谁是谁的倍数。合数定义:一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。质数（prime number）又称素数，有无限个。除了1和它本身以外不再有其他的除数整除。根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积，最小的质数是2。（如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的因数只有1和它本身2这两个约数，所以2就是质数。与之相对立的是合数：“除了1和它本身两个因数外，还有其它因数的数，叫合数。”如：4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很显然，4的因数除了1和它本身4这两个因数以外，还有因数2，所以4是合数。）公因数指定两个或两个以上的整数，如果有一个整数是它们共同的因数，那么这个数就叫做它们的公因数，也可以说成“公约数”。公因数中最大一个的称为最大公因数，又称作最大公约数。计算方法1.倍数关系若较大数是较小数的倍数，那么较小数是这两个数的最大公因数。2.互质关系公因数只有±1的两个数，叫互质数。例如，5和7是互质数。注1是任何整数的因数。题目只会让你求最大公因数，最小必定是1（0与负数除外）公倍数公倍数(common multiple)指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数。公倍数举例A和B A/B=C　如果A能被B整除，则A为B和C的公倍数　两个数A和B，它们的公倍数就是既是A的倍数又是B的倍数的数，即能同时被A、B整除的数 　比如说：12和15，它们的公倍数是60，120，180，等等 　在这些公倍数中最小的那一个就叫最小公倍数，就是60。如何求最小公倍数1.分解质因数法首先把两个数的质因数写出来，最小公倍数等于这两个数全部共有的质因数的代表与各自独有的质因数的乘积。2.倍数关系如果较大数是较小数的倍数，较大数就是它们的最小公倍数。注意事项小数是不存在最大公因数和最小公倍数的，最大公因数（最大公约数）和最小公倍数只存在于自然数中。质因数质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。除了1以外，两个没有其他共同质因子的正整数称为互质。因为1没有质因子，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以指数表示。根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。只有一个质因子的正整数为质数。每个合数都可以写成几个质数（也可称为素数）相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。而这个因数一定是一个质数。互质数互质数为数学中的一种概念，即两个或多个整数的公因数只有1的非零自然数。公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。定义及定理1.两个数的公因数只有1的两个非零自然数,叫做互质数。举例：2和3，公因数只有1，为互质数。2.多个数的若干个最大公因数只有1的正整数，叫做互质数。3.任何两个质数，为互质数。4、1和任何自然数互质。相邻的两个自然数互质。两个不同的质数互质。一个质数和一个合数，这两个数不是倍数关系时互质。不含相同质因数的两个合数互质。5、任何相邻的两个数互质。6、任取出两个正整数他们互质的概率（最大公约数为一）为6/π^2计算判定（1）两个数都是合数（两数相差较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。（2）两个数都是合数（两数相差较小），这两个数的差的所有质因数都不是小数的约数，这两个数是互质数。（3）两个数都是合数，大数除以小数的余数（不为“0”且大于“ 1”）的所有质因数，都不是小数的约数，这两个数是互质数。分解质因数把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数只针对合数。（分解质因数也称分解素因数）求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式叫短除法，和除法的性质差不多，还可以用来求多个个数的公因式。

四平方和定理说明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。可整除xj的最大公因子，否m0^2可整除m0p，则得m0是p的因子，但1 < m0 < p且p为质数，矛盾。 故存在不全为零、绝对值小m0/2（注意m0是奇数在此的重要性）整数的y1,y2,y3,y4使得 yyj= xj(mod m0)。0<∑yi^2<4(m0/2)^2=m0^2∑yi^2≡∑xi^2≡0(modm0)可得∑yi^2=m0m1，其中m0是正整数且小于m0。下面证明m1p可以表示成四个整数的平方和，从而推翻假设。 用四平方和恒等式令∑zi^2=∑yi^2*∑xi^2，可知zj是m0的倍数，令zj= m0tj,∑zi^2=∑yi^2*∑xi^2m0^2∑ti^2=m0m1m0p∑ti^2=m1p<m0p矛盾。根据上面的四平方和恒等式及算术基本定理，可知只需证明质数可以表示成四个整数的平方和即可。，因此只需证明奇质数可以表示成四个整数的平方和。显然，奇质数p必有正倍数可以表示成四个整数的平方和（如4p^2)。

只有1

下面的答案都有问题,已知条件中有a属于N*,k属于N*, 3*1+1=4 3*2+1=7 3*3+1=10 所以a^2+3a=10 （显然x^4=10无整数解） a^2+3a-10=0 (a+5)(a-2)=0 a=-5（舍,因为a属于N*,） 那么a=2 3*k+1=4或者7或者10 或者16 因为k属于N*, 所以k=1或者2 或者3或者5 但当k=1或者2 或者3,A={1,2,3,1},A={1,2,3,2},A={1,2,3,3},集合里面有重复,所以舍掉,所以k＝5是唯一答案 a=2 k=5 A={1,2,3,5}, B={4,7,16,10},

质因数是什么意思 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数。 如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 就是一个数的约数，并且是质数，比如8=2乘2乘2，2就是8的质因数。12＝2×2×3，2和3就是12的质因数。把一个式子以12＝2×2×3的形式表示，叫做分解质因数。16=2×2×2×2,2就是16的质因数，把一个合数写成几个质数相乘的形式表示，叫做分解质因数。 质因数是什么？ 质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：把30分解质因数。 解：30＝2×3×5。 其中2、3、5叫做30的质因数。 又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。 什么是质因数？ 每个合棱都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。而这个因数一定是一个质数。 质因数就是一个数的约数，并且是质数，比如8=2乘2乘2，2就是8的质因数。12＝2×2×3，2和3就是12的质因数。把一个式子以12＝2×2×3的形式表示，叫做分解质因数。16=2×2×2×2,2就是16的质因数，把一个合数写成几个质数相乘的形式表示，叫做分解质因数。 质因数是什么 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 就是一个数的约数，并且是质数，比如8=2乘2乘2，2就是8的质因数。12＝2×2×3，2和3就是12的质因数。把一个式子锭12＝2×2×3的形式表示，叫做分解质因数。16=2×2×2×2,2就是16的质因数，把一个合数写成几个质数相乘的形式表示，叫做分解质因数。 分解质因数的方法是先用一个合数的最小质因数去除这个合数，得出的数若是一个质数，就写成这个合数相乘形式；若是一个合数就继续按原来的方法，直至最后是一个质数 。 分解质因数的有两种表示方法，除了大家最常用知道的“短除分解形式”之外，还有一种方法就是“塔形分解形式”。 分解质因数对解决一些自然数和乘积的问题有很大的帮助，同时又为求最大公约数和最小公倍数做了重要的铺垫。 2的质因数分别是？ 2的质因数：2 质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。除了1以外，两个没有其他共同质因子的正整数称为互质。因为1没有质因子，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以指数表示。根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。只有一个质因子的正整数为质数。 每个合数都可以写成几个质数（也可称为素数）相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。而这个因数一定是一个质数（1除外）。 64的质因数是什么 64=2×2×2×2×2×2 质因数： 质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。除了1以外，两个没有其他共同质因子的正整数称为互质。因为1没有质因子，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以指数表示。根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。只有一个质因子的正整数为质数。 什么是质因数连乘 质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。质因数就是一个数的约数，并且是质数，比如8=2×2×2，2就是8的质因数。12=2×2×3，2和3就是12的质因数。把一个式子以12=2×2×3的形式表示，叫做分解质因数。16=2×2×2×2,2就是16的质因数，把一个合数写成几个质数相乘的形式表示，这也是分解质因数。 什么叫做质因数？ 20分 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。而这个因数一定是一个质数。 质因数的分析 就是一个数的约数，并且是质数，比如8=2×2×2，2就是8的质因数。12=2×2×3，2和3就是12的质因数。把一个式子以12=2×2×3的形式表示，叫做分解质因数。16=2×2×2×2,触就是16的质因数，把一个合数写成几个质数相乘的形式表示，这也是分解质因数。

60的素因数有2、3、5。60=2×2×3×5，而2、3、5都是素数。素因数一般指质因数。质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以用指数表示。根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。只有一个质因子的正整数为质数。