关于圆的定理（相交弦定理）（切割线定理）（两圆公切线定理）

其一：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆。

其二：平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。

【有关圆的基本性质与定理】

⑴圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆。

圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理

①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；

②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）

④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）

⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。

（5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

（6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

（7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

（8）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

（9）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

【有关切线的性质和定理】

圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。

〖有关圆的计算公式〗

1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr�0�5; 3.扇形弧长l=nπr/180

4.扇形面积S=(nπr�0�5)/360=lr/2(l为扇形的弧长）5.圆锥侧面积S=πrl 6.圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长)

切割线定理 圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于A B两点 ， 则有pC�0�5=pA�6�1pB

割线定理 与切割线定理相似 两条割线交于p点，割线m交圆于A1 B1两点，割线n交圆于A2 B2两点

则pA1�6�1pB1=pA2�6�1pB2

【圆的解析几何方程】

圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)�0�5+(y-b)�0�5=r�0�5。

圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x�0�5+y�0�5+Dx+Ey+F=0(其中D�0�5+E�0�5-4F＞0）。其中和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a�0�5+b�0�5-r�0�5。该圆圆心坐标为（-D/2,-E/2)，半径r=0.5√D�0�5+E�0�5-4F。

圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数)

圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0

圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆 x�0�5+y�0�5=r�0�5上一点M（a0，b0）的切线方程为 a0*x+b0*y=r�0�5

在圆(x�0�5+y�0�5=r�0�5)外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0*x+b0*y=r�0�5

【圆与直线的位置关系判断】

平面内，直线Ax+By+C=0与圆x�0�5+y�0�5+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x�0�5+y�0�5+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b�0�5-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：

如果b�0�5-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b�0�5-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b�0�5-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x�0�5+y�0�5+Dx+Ey+F=0化为(x-a)�0�5+(y-b)�0�5=r�0�5。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：

当x=-C／A<x1或x=-C／A>x2时，直线与圆相离；

当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交；

半径r，直径d

在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)�0�5+(y-b)�0�5=r�0�5

x�0�5+y�0�5+Dx+Ey+F=0

=> (x+D/2)�0�5+(y+E/2)�0�5=D�0�5/4+E�0�5/4-F

=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)

其实只要保证X方Y方前系数都是1

就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)

这可以作为一个结论运用的

且r=根号（圆心坐标的平方和-F）