相交弦定理怎么证明

圆的相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），数学术语，是指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。相交弦定理为圆幂定理之一，其他两条定理为：切割线定理、切线长定理。切割线定理和切线长定理相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求线段长度。当P点在圆内时称为相交弦定理，当P点在圆上时称为切割线定理，当P点在圆外时称为割线定理。三条定理统称为圆幂定理。其中|OP²-R²|称为P点对圆O的幂。（R为圆O的半径）

内容交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等几何语言：∵弦AB、CD交于点P∴PA·PB=PC·PD（相交弦定理）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项几何语言：∵AB是直径，CD⊥AB于点P∴PC2=PA·PB（相交弦定理推论）

圆的相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等。 设圆O中,弦AB、CD交于点P,则有PA*PB=PC*PD

嗯。这很简单。就是：连结圆上任意两点的线段叫做圆的弦，在同一圆中，除端点外有一公共点的两条弦叫相交弦。

若弦AB、CD交于点P则 PA·PB=PC·PD

修杰（修：形容身材修长高大）千兰、新波、

相交弦定理是指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等

这个书上有的吧圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等。

圆的相交弦定理：两弦相交，各弦自交点分割的两段长度的乘积相等。

相交弦定理是指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 相交弦定理证明 证明：连结AC，BD 由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.） ∴△PAC∽△PDB ∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD 注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。 相关定理 定理 是指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 相关定理 相交弦定理为圆幂定理之一，其他两条定理为：切割线定理、切线长定理。 相交弦定理例题 圆内有相交两弦，一弦长为8cm，并被交点平分，另一弦被交点分成1 :4两部分，求另一弦的长。 解: 设另一弦被交点分成的两部分的长分别为a和4a。 依据相交弦定理，得a·4a=16。 解得 a=±2 (舍负)。 所以另一弦的长为(a+4a)=5a=5×2=10(cm)。

现在的课本没了，都是相似，很容易证出来的。

其一：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆。 其二：平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。【有关圆的基本性质与定理】 ⑴圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆。 圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。 ⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。 ⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理 ①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等； ②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。 ③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长） ④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线） ⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 （4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。 （5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 （6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 （7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 （8）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。 （9）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。 【有关切线的性质和定理】 圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。 切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。 〖有关圆的计算公式〗 1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr�0�5; 3.扇形弧长l=nπr/180 4.扇形面积S=(nπr�0�5)/360=lr/2(l为扇形的弧长）5.圆锥侧面积S=πrl 6.圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长) 切割线定理 圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于A B两点 ， 则有pC�0�5=pA�6�1pB 割线定理 与切割线定理相似 两条割线交于p点，割线m交圆于A1 B1两点，割线n交圆于A2 B2两点 则pA1�6�1pB1=pA2�6�1pB2 【圆的解析几何方程】 圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)�0�5+(y-b)�0�5=r�0�5。 圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x�0�5+y�0�5+Dx+Ey+F=0(其中D�0�5+E�0�5-4F＞0）。其中和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a�0�5+b�0�5-r�0�5。该圆圆心坐标为（-D/2,-E/2)，半径r=0.5√D�0�5+E�0�5-4F。 圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数) 圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0 圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。 经过圆 x�0�5+y�0�5=r�0�5上一点M（a0，b0）的切线方程为 a0*x+b0*y=r�0�5 在圆(x�0�5+y�0�5=r�0�5)外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0*x+b0*y=r�0�5 【圆与直线的位置关系判断】 平面内，直线Ax+By+C=0与圆x�0�5+y�0�5+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是： 1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x�0�5+y�0�5+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b�0�5-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下： 如果b�0�5-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。 如果b�0�5-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。 如果b�0�5-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。 2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x�0�5+y�0�5+Dx+Ey+F=0化为(x-a)�0�5+(y-b)�0�5=r�0�5。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么： 当x=-C／A<x1或x=-C／A>x2时，直线与圆相离； 当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交； 半径r，直径d 在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)�0�5+(y-b)�0�5=r�0�5 x�0�5+y�0�5+Dx+Ey+F=0 => (x+D/2)�0�5+(y+E/2)�0�5=D�0�5/4+E�0�5/4-F => 圆心坐标为(-D/2,-E/2) 其实只要保证X方Y方前系数都是1 就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2) 这可以作为一个结论运用的 且r=根号（圆心坐标的平方和-F）

是圆幂定理中的两条详见http://baike.baidu.com/view/378963.htm

还有三角形的角平线定理：三角形内角平分线内分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例；三角形外角平分线外分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成例

这里有 很简便

相交弦定理是指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等

http://www.sxbyc.net/sk/skcz/skc3s/200512/226.asp

【相交弦定理】圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）。证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.） ∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD。扩展资料：证明：连结AC，BD由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）∴△PAC∽△PDB∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。比较：相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求线段长度。当P点在圆内时称为相交弦定理，当P点在圆上时称为切割线定理，当P点在圆外时称为割线定理。三条定理统称为圆幂定理。其中|OP²-R²|称为P点对圆O的幂。（R为圆O的半径）参考资料来源：百度百科-相交弦定理

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）已知：弦AB、CD交于点P求证：PA·PB=PC·PD证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。（圆周角推论2:同(等)弧所对圆周角相等.）∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，即PA·PB＝PC·PD

证明：连结AC，BD由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）∴△PAC∽△PDB∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。

　相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等　　几何语言：　　若弦AB、CD交于点P　　则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）　　推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项　　几何语言：　　若AB是直径，CD垂直AB于点P，　　则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）

1．圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；围绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的重合．2．顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距．圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理）切线长定理垂径定理圆周角定理弦切角定理四圆定理3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．5．把整个圆周等分成360份，每一份弧是1°的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．6.圆是中心对称图形，即圆绕其对称中心(圆心)旋转180°后能够与原来图形重合，这一性质不难理解．圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合．7.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧8.（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧9.圆的两条平行弦所夹的弧相等10.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(2)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.(3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.(4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.11.(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.(2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.(3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.(4)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦.(5)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.(6)圆的两条平行弦所夹的弧度数相等.12.圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．13.平分弦(不是直径)的直径垂直与弦,并且平分弦所对的两条弧.14.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,所对的弦的弦心距也相等.15.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角相等,所对的弦的弦心距也相等.16.同一个弧有无数个相对的圆周角.17.弧的比等于弧所对的圆心角的比.18.圆的内接四边形的对角互补或相等.19.不在同一条直线上的三个点能确定一个圆.20.直径是圆中最长的弦.21.一条弦把一个圆分成一个优弧和一个劣弧3.1两圆的位置关系在平面内,不重合的两圆.它们的位置关系,有以下五种情况：外离、外切、相交、内切、外切经过两个圆的圆心的直线,叫做两圆的连心线,两个圆心之间的距离叫做圆心距定理两圆的连心线是两圆的对称轴,并且两圆相切时,它们切点在连心线上(1)两圆外离d>R+r(2)两圆外切d=R+r(3)两圆相交R-rr)(4)两圆内切d=R-r(R>r)(5)两圆内含dr)特殊情况,两圆是同心圆d=03.2两圆的公切线定理两圆的两条外公切线的长相等;两圆的两条内公切线的长也相等

1、圆心角定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所推论3： 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。推论1： ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等4、切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。7、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。9、割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1 ：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2： 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心11、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等12、定理： 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦13、定理： 把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形14、定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆15、定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆16、定理： 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形17、定理： 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。18、(d是圆心距，R、r是半径)①两圆外离 d>R+r②两圆外切 d=R+r③两圆相交 R-r<dr)④两圆内切 d=R-r(R>r)⑤两圆内含dr)

相交弦定理指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等.几何语言：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

1．圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；围绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的重合．2．顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距．圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理）切线长定理垂径定理圆周角定理弦切角定理四圆定理3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．5．把整个圆周等分成360份，每一份弧是1°的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．6.圆是中心对称图形，即圆绕其对称中心(圆心)旋转180°后能够与原来图形重合，这一性质不难理解．圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合．7.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧8.（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧9.圆的两条平行弦所夹的弧相等10.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(2)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.(3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.(4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.11.(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.(2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.(3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.(4)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦.(5)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.(6)圆的两条平行弦所夹的弧度数相等.12.圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．13.平分弦(不是直径)的直径垂直与弦,并且平分弦所对的两条弧.14.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,所对的弦的弦心距也相等.15.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角相等,所对的弦的弦心距也相等.16.同一个弧有无数个相对的圆周角.17.弧的比等于弧所对的圆心角的比.18.圆的内接四边形的对角互补或相等.19.不在同一条直线上的三个点能确定一个圆.20.直径是圆中最长的弦.21.一条弦把一个圆分成一个优弧和一个劣弧3.1两圆的位置关系在平面内,不重合的两圆.它们的位置关系,有以下五种情况：外离、外切、相交、内切、外切经过两个圆的圆心的直线,叫做两圆的连心线,两个圆心之间的距离叫做圆心距定理两圆的连心线是两圆的对称轴,并且两圆相切时,它们切点在连心线上(1)两圆外离d>R+r(2)两圆外切d=R+r(3)两圆相交R-rr)(4)两圆内切d=R-r(R>r)(5)两圆内含dr)特殊情况,两圆是同心圆d=03.2两圆的公切线定理两圆的两条外公切线的长相等;两圆的两条内公切线的长也相等

相交弦把各弦分成两段,一条弦两段的乘积等于另一条两段的乘积.

设AB、CD相交于P, 连接AD、BC, ∵∠A=∠C,∠D=∠B, ∴ΔPAD∽ΔPCB, ∴PA/PC=PD/PB, 即PA*PB=PC*PD.

不一定圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等

由AP*BP＝CP*DP得AP/CP＝DP/PB,加上∠APD＝∠BPC所以△APD∽△CPB所以∠A＝∠BCD下面用反证法证明四点共圆以A、D、B三点作圆O　，只需证明C在圆O上即可假设C不在圆O上，则C在E处或F处下面以C在E处时为例作证明连结DE交圆O于C′，连结DC′则∠DC′B＝∠A＝∠E这与∠DC′B＞∠E相矛盾（△的一个外角＞与它不相邻的内角）所以C在圆O外的E处是不可能的。同理C在圆O内的F处也是不可能的。

相交弦定理和切割线定理：相交弦定理：设AB和CD是圆内的两条相交弦，交点为P，则PA×PB=PC×PD；切割线定理：过圆外一点P，作圆的切线PT和割线PAB，切点为T，割线与圆的交点为A、B，则PT²=PA×PB。相交弦定理：数学术语，是指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。几何语言：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）。相交弦定理相交弦定理为圆幂定理之一，其他两条定理为：切割线定理、切线长定理。相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求线段长度。当P点在圆内时称为相交弦定理，当P点在圆上时称为切割线定理，当P点在圆外时称为割线定理。三条定理统称为圆幂定理。其中|OP²-R²|称为P点对圆O的幂。（R为圆O的半径）。切割线定理：是指从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。与圆相交的直线是圆的割线。切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系。这是一个重要的定理，在解题中经常用到。推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 ①两圆外离 d﹥R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r) ④两圆内切 d=R-r(R﹥r) ⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r)

如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等。 四点共圆怎么判定 判定1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆周上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆． 推论：证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．即连成的四边形三边中垂线有交点，可肯定这四点共圆． 判定2 1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆. 2：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。 判定3 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．（割线定理的逆定理） 判定4 四边形ABCD中，若有AB*CD+AD*BC=AC*BD，即两对边乘积之和等于对角线乘积，则ABCD四点共圆。该方法可以由托勒密定理逆定理得到。 托勒密定理逆定理：对于任意一个凸四边形ABCD，总有AB*CD+AD*BC≥AC*BD,等号成立的条件是ABCD四点共圆。 判定5 西姆松定理逆定理：若一点在一三角形三边上的射影共线，则该点在三角形外接圆上。 四点共圆性质 若A、B、C、D四点共圆，圆心为O，延长AB至E，AC、BD交于P 性质一：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° 性质二：∠ABC=∠ADC（同弧所对的圆周角相等） 性质三：∠CBE=∠D（外角等于内对角） 性质四：△ABP∽△DCP（三个内角对应相等） 性质五：AP×CP=BP×DP（相交弦定理） 性质六：AB×CD+AD×CB=AC×BD（托勒密定理）

相交弦定理，经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。几何语言：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）。 相交弦定理证明 证明：连结AC，BD 由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 在同圆或等圆中，同(等)弧所对圆周角相等.） ∴△PAC∽△PDB ∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD 注：其逆定理可作为证明四边形是圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。 相交弦定理什么时候学 现在不论是人教版还是北师大版的初中教科书中，都取消了相交弦定理。在早期的人教版本中，在直线和圆的位置关系中会找的到相交弦定理。

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则 =PA·PB（相交弦定理推论）

设P为圆O内一点，过O作直线L1分别交圆O于A，B，L2交圆O于C，D，则PA·PB=PC·PD证明：连AC，BD，证明三角形ACP相似于三角形BDP得到AP/CP=DP/BP所以PA·PB=PC·PD

相交弦定理是指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。证明：连结AC，BD由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）∴△PAC∽△PDB∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。

相交弦定理是指：“圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等”1、几何：几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。2、几何的由来：几何这个词最早来自于希腊语“γεωμετρ?α”，由“γ?α”（土地）和“μετρε ?ν”（测量）两个词合成而来，指土地 几何的测量，即测地术。后来拉丁语化为“geometria”。中文中的“几何”一词，最早是在明代利玛窦、徐光启合译《几何原本》时，由徐光启所创。当时并未给出所依根据，后世多认为一方面几何可能是拉丁化的希腊语GEO的音译，另一方面由于《几何原本》中也有利用几何方式来阐述 数论的内容，也可能是magnitude（多少）的意译，所以一般认为几何是geometria的音、意并译。3、“相交弦定理”的几何语言：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P 则A·PB=PC·PD（相交弦定理） 4、证明方法： 连结AC，BD 由 圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（ 圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）∴△PAC∽△PDB ∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD 注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明 四点共圆。

证明：连结AC，BD由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 在同圆或等圆中，同(等)弧所对圆周角相等。）∴△PAC∽△PDB∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD注：其逆定理可作为证明四边形是圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PA·PB（相交弦定理推论）

相交弦定理指的是圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 相交弦定理，是一种数学术语，相交弦定理为圆幂定理之一，相交弦定理、切割线定理及割线定理以及推论统称为圆幂定理，一般用于求线段长度。 定理说明： 假设有一个圆和一个p点，当P点在圆内时称为相交线定理，当P点在圆上时称为切割线定理，当P点在圆外时称为割线定理。

【相交弦定理】圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）。证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.） ∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD。扩展资料：证明：连结AC，BD由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）∴△PAC∽△PDB∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。比较：相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求线段长度。当P点在圆内时称为相交弦定理，当P点在圆上时称为切割线定理，当P点在圆外时称为割线定理。三条定理统称为圆幂定理。其中|OP²-R²|称为P点对圆O的幂。（R为圆O的半径）参考资料来源：百度百科-相交弦定理

圆的相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等. 设圆O中,弦AB、CD交于点P,则有PA*PB=PC*PD

相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），数学术语，经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。证明：连结AC，BD由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 在同圆或等圆中，同(等)弧所对圆周角相等。）∴△PAC∽△PDB/∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD注：其逆定理可作为证明四边形是圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。比较：相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求线段长度。当P点在圆内时称为相交弦定理，当P点在圆上时称为切割线定理，当P点在圆外时称为割线定理。三条定理统称为圆幂定理。其中|OP²-R²|称为P点对圆O的幂。（R为圆O的半径）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC²=PA·PB（相交弦定理推论）。

证明：连结AC,BD,由圆周角定理的推论,得∠A＝∠D,∠C＝∠B.（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.） ∴△PAC∽△PDB,∴PA∶PD＝PC∶PB,PA·PB＝PC·PD

【相交弦定理】圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）。证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.） ∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD。扩展资料：证明：连结AC，BD由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）∴△PAC∽△PDB∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。比较：相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求线段长度。当P点在圆内时称为相交弦定理，当P点在圆上时称为切割线定理，当P点在圆外时称为割线定理。三条定理统称为圆幂定理。其中|OP²-R²|称为P点对圆O的幂。（R为圆O的半径）参考资料来源：百度百科-相交弦定理

相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等 几何语言： 若弦AB、CD交于点P 则PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 几何语言： 若AB是直径,CD垂直AB于点P, 则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）

　相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等） 　　几何语言： 　　若弦AB、CD交于点P 　　则PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 　　推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 　　几何语言： 　　若AB是直径，CD垂直AB于点P， 　　则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）如何证明　　证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.） ∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD 　　注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法.

相交弦定理是指：“圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等”1、几何：几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。2、几何的由来：几何这个词最早来自于希腊语“γεωμετρ?α”，由“γ?α”（土地）和“μετρε ?ν”（测量）两个词合成而来，指土地  几何的测量，即测地术。后来拉丁语化为“geometria”。中文中的“几何”一词，最早是在明代利玛窦、徐光启合译《几何原本》时，由徐光启所创。当时并未给出所依根据，后世多认为一方面几何可能是拉丁化的希腊语GEO的音译，另一方面由于《几何原本》中也有利用几何方式来阐述 数论的内容，也可能是magnitude（多少）的意译，所以一般认为几何是geometria的音、意并译。3、“相交弦定理”的几何语言：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P 则A·PB=PC·PD（相交弦定理） 4、证明方法：  连结AC，BD 由 圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（ 圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）∴△PAC∽△PDB ∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD 注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明 四点共圆。 

圆内两弦AB、CD交于圆内一点P,则有PA×PB=PC×PD. 可推广到交点P在圆外的情况：若AB、CD的延长线交于圆外的点P,则仍有此结论成立,即有：PA×PB=PC×PD.

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）