CarieVinne -
有要求，必须是恒等。
matlab做三次拉格朗日插值多项式_科学计算第二讲（插值理论：拉格朗日插值和牛顿插值）...
插值理论
插值是啥？我们先来看这样一个例子，中学阶段我们都会计算三角函数值，如
这些我们都能够求出具体的数值，但是如果我们想知道
的值怎么办呢？也许你是个巨佬，可以通过各种倍角公式、和差化积、对称性质来求出它的精确表达式，但那样不仅费时费力，而且如果稍微变换下角度，就又得推翻重来，这个时候插值就站出来帮忙了。
插值的基本思路就是，已知一些点，以及目标函数在该点的函数值，通过找到某个简单的函数，使得它在这些点上的函数值恰好与目标函数在这些点的函数值相同。进而，求目标函数在给定点之外的函数值就可以将其代入简单函数得到一个近似值。而怎样的函数才算得上简单呢？对了，多项式函数！在这门课程中，我们也只研究多项式函数的插值方法，下面给出问题的一般提法：
给出
个点上的一张函数表，要构造一个多项式
满足下面两个条件
的次数不超过
次
在给定的点
上与
取值相同
我们称这样的多项式
为
插值函数，点
为
插值节点并且假定它们是 互异的.
我们的目的是求目标函数在给定点之外的函数值，现在我们面临着一个很大的问题：我们求出的插值多项式可以是近乎笔直地通过平面上的这些点，也可以是“振荡”地通过，如果我们分别求出两个插值多项式，我们应该用哪个作为目标函数值得近似呢？同时如果对于特定的点，这样的多项式我们根本就求不出来呢？不不，先等下，下面这个定理告诉我们求出两个是不可能的，并且这样的多项式一定存在！
定理 对于给定
个点的函数表，
存在唯一多项式满足上面两个条件.
证明 利用待定系数法假设所求插值多项式为
该多项式要经过
个点，因此有
这个方程组有
个方程和
个未知量，存在唯一解等价于系数行列式不为0，而系数行列式为
这是范德蒙（Vandermonde）行列式，由于插值节点
互异，所以其不为0，进而得到定理的结论.
这个定理给我们打了一针强心剂，让我们对于任意给定的函数表都可以不加思索地上手求插值多项式，可是具体我们该如何求呢？我们线性代数课上学过可以利用克莱姆法则来求解线性方程组，即
其中
但我们知道，计算一个行列式的时间复杂度是阶乘级别的，而且范德蒙行列式通常是病态的，舍入误差会造成很大影响，因此很少会使用这样的公式！下面给出拉格朗日插值法的思路：
※拉格朗日插值
基本思路是构造
次多项式基函数
使得
为了使
通过
个点，基函数应该满足下面的条件
如何求基函数呢？首先我们利用它的非常多的零点，待定系数如下
然后利用它所满足的
可以解出待定系数并得到
这个形式可以这样记忆：分子为
减去插值节点的连乘，分母为
减去插值节点的连乘，并且分子分母都不减
，这是因为如果分子有减
，那么就有
就为0了，如果分母有减
，那么分母就为0了.
但这个基函数的形式上还是比较长的，为了简便，我们记
项连乘为
这个式子求导之后有很多项，但是在插值节点上的导数值很漂亮
这样一来，基函数就可以表示成
进而
通过一些计算可以得到
最后一个式子得出需要注意到
是节点函数值全为1的插值多项式，因此该插值多项式也恒等于1，利用这个式子计算可以
减小相近数相减的风险.
我们已经通过构造出插值多项式来得到了函数值的近似，那么这个近似的效果如何呢？要研究近似的效果，就免不了扯上误差，下面给出多项式插值的余项以及误差估计：
定理 设
为
在区间
上的
次插值多项式，那么对每个
，存在
使得
证明
首先给出一个巧妙的构造，对
，令
可以验证
都是
的零点，反复利用罗尔定理，得到
阶导数至少有一个零点
进而得到定理结论.顺便提一句：利用这个误差估计式也能够证明插值多项式的唯一性。具体来说，如果存在两个插值多项式，那么可以将其中一个看成是另外一个的插值多项式(因为插值条件是相同的)，进而误差估计式中的导数项恒为0，即二者相等.
例1 设
，求证
在数学分析中大家应该有见过类似的题目，但这里我们用插值的误差估计式可以给出更为简单的证明.
解
0多项式显然是一个插值多项式，而存在即唯一，进而
而利用基本不等式有
可知结论成立.
例2 求函数
在节点
的三次插值多项式.
我们可以按定义来计算，但我们也可以结合多项式插值的线性性质：
插值满足线性 若
的插值多项式为
则
的插值多项式为
解
函数
在节点处函数值均为0，因此其插值多项式为0多项式.
记
的三次插值多项式为
，利用误差估计式有
注意到
，进而可得
最后所求
.
学习完拉格朗日插值法，你应该会觉得拉格朗日的基函数形式比较有规律性，适合记忆，这实际上也是拉格朗日法的一个优点；但是，你应该也能发现，如果我们要新增加一个节点，那么得到插值多项式可不是多添一项那么简单，而是要把所有基函数重写一遍，这也是它的不足之处。而我们接下来要介绍的牛顿插值法，就很好地弥补了这一不足。
※牛顿插值法
牛顿插值本质上也是构造基函数，只不过它要构造的基函数有着如下特定的形式：
这其实也是我们之前定义过的
，利用待定系数法设出插值多项式的形式为
将已知的函数表中的点代入可以得到系数
你会发现，这些系数有着类似的形式，就是先两个差，再作商，因此我们有必要先将这个形式弄明白，下面给出它的定义:
差商（均差）
对于函数
，将其
次插值多项式的
首项系数定义为
的
阶差商，记为
它可以递推的表示成
这个递推形式需要记忆，其实也就是后
个节点的差商减前
个节点的差商，再除以最后的数减最前的数，可以看看自己写出的式子有没有下面方框中的形式
进而根据类比递推得到牛顿插值多项式为
差商有三个重要的性质：
线性性质
若
，则对任意正整数
有
可以表示成函数值得线性组合
根据插值多项式的唯一性，牛顿插值法得到的多项式与拉格朗日得到的应该是相同的，考察两者的最高次项系数就可以得到
对称性：将其中的节点顺序改变，不影响差商的，即
牛顿插值的一个很大的好处就是，如果我们增加一个节点，那么只需要在原形式上添一项即可。即如果我们求出了
，增加节点
后只需要在后面增加
就可以得到
，对于一个具体的问题，如果要求出牛顿插值多项式，可以通过构建如下差商表得出基函数前面的系数：
差商表
通过
个函数值算出
个一阶差商，再通过
个一阶差商算出
个二阶差商，不断下去最后得到
阶差商.
现在我们通过估计牛顿插值多项式的误差，来得到差商与导数之间的关系。首先由插值多项式的唯一性可以得到余项的唯一性，而牛顿法的余项可以用差商表示：
定理 牛顿插值余项可以表示为
证明 思路是通过增加一个节点，然后利用插值条件
在定义域中任取与插值节点不同的
，则新增节点
后插值多项式变成
根据插值条件有
由于
的任意性，将其换成
即得定理结论.
而前面已经求得拉格朗日插值的余项为
利用两个余项相等，可以得到差商与导数的关系1：
这里再补充差商与导数的关系2，即
证明思路与拉格朗日误差估计类似，也是通过构造一个具有比较多零点的函数，然后反复利用罗尔定理，这里构造的函数就是余项：
利用罗尔定理可以得到
的
阶导数，而
的
阶导数刚好就是差商
老师给出了三个多项式
A-B=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2C-A=a^2-b^2=(a+b)(a-b)2023-07-20 14:26:172
给出三个多项式
(1)X＝2a2＋3ab＋b2，Y＝3a2＋3abX-Y=2a2＋3ab＋b2-(3a2＋3ab) =-a2+b2X-Y+Y=-a2+b2+3a2＋3ab =2a2＋3ab＋b2(2)Y＝3a2＋3ab，Z＝a2＋abY+Z=3a2＋3ab+a2＋ab =4a2＋4abY+Z-Z=4a2＋4ab-(a2＋ab) =3a2＋3ab2023-07-20 14:26:241
给出三个多项式： 1 2 x 3 +2 x 2 -x ， 1 2 x 3 +4 x 2 +x ， 1
∵ 1 2 x 3 +2 x 2 -x + 1 2 x 3 +4 x 2 +x =x 3 +6x 2 =x 2 （x+6）；或 1 2 x 3 +2 x 2 -x + 1 2 x 3 -2 x 2 =x 3 -x=x（x 2 -1）=x（x+1）（x-1）；或 1 2 x 3 +4 x 2 +x + 1 2 x 3 -2 x 2 =x 3 +2x 2 +x=x（x 2 +2x+1）=x（x+1） 2 ．2023-07-20 14:26:381
给出三个多项式:【1】x的平方+2y的平方,【2】3【x的平方+y的平方】。【3】2【x的平方+2y的平方】。
1-2=13-1=142023-07-20 14:27:121
给出三个多项式： x 2 -x, x 2 +x-1, x 2 +3x+1,请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解
答案见解析. 试题分析：因式分解的一般步骤是:1.提公因式;2.公式法(平方差公式的逆用a 2 - b 2 =(a+b)(a-b)和完全平方公式的逆用a 2 ±2ab+b 2 = (a±b) 2 );3.十字相乘法,如选择： x 2 +x-1, x 2 +3x+1,则: x 2 +x-1+ x 2 +3x+1=x 2 +4x=x（x+4）;如选择： x 2 -x, x 2 +x-1,则： x 2 -x+ x 2 +x-1= x 2 -1=(x+1)(x-1);如选择： x 2 -x , x 2 +3x+1,则： x 2 -x + x 2 +3x+1= x 2 +2x+1=(x+1) 2 .试题解析：如选择： x 2 +x-1, x 2 +3x+1,则: x 2 +x-1+ x 2 +3x+1=x 2 +4x=x（x+4）;如选择： x 2 -x, x 2 +x-1,则： x 2 -x+ x 2 +x-1= x 2 -1=(x+1)(x-1);如选择： x 2 -x , x 2 +3x+1,则： x 2 -x + x 2 +3x+1= x 2 +2x+1=(x+1) 2 .2023-07-20 14:27:191
给出三个多项式
(2分之1x^2+x-1)+(2分之1x^2+3x+1)=x^2+4x=x(x+4)(2分之1x^2+3x+1)+(2分之1x^2-x)=x^2+2x+1=(x+1)^2(2分之1x^2+x-1)+(2分之1x^2-x)=x^2-1=(x+1)(x-1)2023-07-20 14:29:401
给出三个多项式x2+x-1，x2-x+1，x2-x，请你选择其中两个进行加法运算，再与第三个进行乘法运算
[（x2+x-1）+（x2-x+1）]?（x2-x）=（x2+x-1+x2-x+1）]?（x2-x）=2x2?（x2-x）=2x4-2x3．2023-07-20 14:30:081
初中数学 给出三个多项式2a^2+3ab+b^2,3a^2+3ab，a^2+ab，请你任选两个进行加（减）法运算，再将结果化简
第二个 第三个。2023-07-20 14:30:184
给出三个多项式 2a2+3ab+b2，3a2+3ab，a2+ab，请你任选两个进行加或减运算 再将结果分解因式
选第一个和第三个，原式得：a2+2ab+b2=(a+b)2第一和第二：原式得：-a2+b2=(b+a)(b-a)2023-07-20 14:30:361
给出三个多项式1/2x^2+2x-1, 1/2x^2+4x+1,1/2x^2-2x请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算把结果因式分
(1/2x^2+2x-1)+(1/2x^2+4x+1)=x^2+6x=x(x+6)(1/2x^2+4x+1)+(1/2x^2-2x)=x^2+2x+1=(x+1)^2(1/2x^2+2x-1)+(1/2x^2-2x)=x^2-1=(x+1)(x-1)2023-07-20 14:30:551
给出三个多项式;X=2A平方+3ab+b的平方，Y=3a的平方，Z=A的平方=ab，请你任选俩个进行加减法运算
给出三个多项式;X=3A平方+3ab+b的平方，Y=2a的平方+3ab，Z=2A的平方+ab，请你任选俩个进行加减法运算，再将结果分解因式2023-07-20 14:31:041
给出三个多项式1/2x^2+x,1/3x^2+1，1/2x^2+3y，请你选择其中两个进行加法或减
1/2x^2+xuff0c1/3x^2+1(1/2x^2+x)+(1/3x^2+1)=5/6x^2+x+1=5/6-1+1=5/62023-07-20 14:31:371
（1）计算： （2）给出三个多项式： 请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解。
（1）解：原式＝ （2）解：如选择多项式： 则： （1）根据算术平方根、幂得性质计算。（2）先选择其中两个多项式相加．然后进行合并同类项，最后进行因式分解得到结果2023-07-20 14:31:441
数学题 给出三个多项式2a方+4ab+b方，3a方+2ab，a方-ab，
3a方+2ab-（a方-ab）=2a方+3ab=a（2a+3b）a是最小的正整数，所以a=1，b是最大的负整数，所以b=-1a（2a+3b）=1*（2*1+3*（-1））=-12023-07-20 14:32:112
给出三个多项式：① ，② ，③ 请你选择其中的两个进行加法运算
如：①+③= 1（答案不唯一）2023-07-20 14:32:321
给出三个多项式2a^2+3ab^2,3a^2+3ab,a^2+ab，请你任选两个进行加法或者减法的运算
(2a^2+3ab^2)+(3a^2+3ab)=2a^2+3ab^2+3a^2+3ab=(2+3)a^2+3ab^2+3ab=5a^2+3ab^2+3ab2023-07-20 14:32:511
给出三个多项式X=2a的二次方+3ab+b的二次方，Y=3a的二次方+3ab，Z=a二次方+ab
随便选两个做做嘛x-yy+z2023-07-20 14:33:092
给出三个多项式2a方+3ab+b方，3a方+3ab，a方+ab，请你任选两个进行加（或减）法运算再将结果分解
用第一和第三相减，得到：a2+2ab+b2，分解后就可得到：（a+b）22023-07-20 14:33:261
给出三个多项式2a方+4ab+b方，3a方+2ab，a方-ab，请你任选两个进行加（或减）法运算，并在化简后求当 a
前两项加=5A平方+6AB+B平方因为A=1，B=-1则原式=5+(-6)+1=02023-07-20 14:33:332
给出三个多项式：2分之1x^2+x-1，2分之1x^2+3x+1，2分之1x^2-x，
1/2X^2+X-1+1/2X^2-X=X^2-1=(X+1)(X-1)1/2X^2+X-1+1/2X^2+3X+1=X^2+4X=X(X+4)1/2X^2+3X+1+1/2X^2-X=X^2+2X+1=(X+1)^22023-07-20 14:34:122
给出三个多项式 X＝2a的平方+3ab+b的平方，Y＝3a的平方+3ab，Z＝a的平方+ab，
2a平方+3ab+b等于a平方+aba平方+2ab+b等于0（a+b）的平方等于0a+b等于0a等于负b2023-07-20 14:34:201
给出三个多项式：二分之一X的平方＋2X－1 二分之一X的平方＋4X＋1 二分之一X的平方－2X选择你
第一个式子和第二个式子相加：x^2+6x=x(x+6)第一个式子和第三个式子相加：x^2-1=(x+1)(x-1)第二个式子和第三个式子相加：x^2+2x+1=(x+1)^22023-07-20 14:35:121
给出三个多项式X＝2a＋3ab＋b，Y＝3a＋3ab，Z＝a＋ab，请你任选两个进行加减法
Y-X=（a+b）(a-b)2023-07-20 14:35:282
给出三个多项式:2/1x2+3x+1,2/1x2+3x+1,2/1x2-x,请你选择其中两个进行加法运算,并把结果进行因式分解.
弱弱的问下这个2/1x2+3x+1是神马意思2023-07-20 14:36:111
给出三个多项式： x 2 +2x-1， x 2 +4x+1， x 2 -2x，请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把
解： x 2 +2x-1+ x 2 +4x+1=x 2 +6x=x（x+6）。（答案不唯一）2023-07-20 14:36:181
初中数学 给出三个多项式二分之一x的2次方+x-1，二分之一x的2次方+3x+1，二分之一x的二次方-x
2023-07-20 14:37:121
（1）计算： ；（2）给出三个多项式： ，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解。
解：（1）原式= ；（2）如选择多项式： 则： 。2023-07-20 14:37:591
解答：（1）已知x-y=-1，xy=3，求x 3 y-2x 2 y 2 +xy 3 的值。 （2）给出三个多项式：A=2a 3 +3a 2 b+ab
（1）原式=xy(x-y) 2 ，当xy=3，(x-y)=-1时，原式=3 （2）A-B=a(b+a)(b-a)（答案不唯一）（3）2023-07-20 14:38:261
（1）计算：(?1)4?(3)0+(?12)?3（2）给出三个多项式：12x2+x?1，12x2+3x+1，12x2?x，请你选择其中两个进
（1）原式=1-1-8=-8；（2）选择12x2+3x+1与12x2-x，则12x2+3x+1+12x2-x=x2+2x+1=（x+1）2．2023-07-20 14:38:421
现给出下列三个多项式;1/4x的平方+x-1/4,1/4x的平方+3/4,1/4x的平方-x-1/4,请你选择其中两个进行加法运
2x^2-x=12x^2-x-1=0(2x+1)(x-1)=0则 x=-1/2或x=12023-07-20 14:38:501
写出3个多项要求每个多项式的次数不小于3，项数不少于4，其中至少有两项是同类项
3x的4次方+2.5x的4次方-2y+52y的5次方+2.5x的4次方-y的5次方-94x的4次方-1.1x的4次方+5y-5求采纳2023-07-20 14:39:011
三个多项式连乘公式
多项式乘多项式法则是：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。 多项式乘以多项式就是利用乘法分配律法则得出的，表达公式为：（a+b)×(c+d)=ac+ad+bc+bd。 多项式乘多项式符号变化一般看每个数字或者字母前边的符号，简单来说同号为正、异号为负。例如：（-a+b）×（a+b）=-a2-ab+ab+b22023-07-20 14:39:111
三个多项式相乘怎么做？
笨办法，逐一展开=（ma+mb+na+nb)*(e+f)=mae+maf+mbe+mbf+nae+naf+nbe+nbf2023-07-20 14:39:311
三个多项式相乘，急求！！！
（2x-1）（2x+1）（x＾2+x+1）=(4x＾2-1)(x＾2+x+1）=4x＾2*(x＾2+x+1）-(x＾2+x+1)=4x＾4+4x＾3+4x＾2-x＾2-x-1=4x＾4+4x＾3+3x＾2-x-1方法是先每项相乘，再来合并同类项。2023-07-20 14:39:511
三次多项式求大神给个详细解法
设a2q=b则b^3+2b-12=0b^3-2b^2+2b^2-4b+6b-12=0b^2(b-2)+2b(b-2)+6(b-2)=0(b-2)(b^2+2b+6)=0因为b^2+2b+6=0无实根所以b=2，即a2q=22023-07-20 14:40:013
三次多项式的基本表达形式是什么？怎样用行列式表达出来？
三次多项式，即a3x^3+a2x^2+a1x+a0用矩阵行列式表示,不唯一。2023-07-20 14:40:231
分别写出一个一次、二次、三次多项式，并写出他们的各项
一次的： x+2 一次项是x，常数项是2二次的： x的平方+2x+3 二次项是x的平方，一次项是2x，常数项是3三次的： x的3次方+4x的平方－5x+8 三次项是x的3次方，二次项是4x的平方，一次项是－5x，常数项是82023-07-20 14:42:091
三次多项式有几个根
有三个，根据代数基本定理：一元n次方程又n个复数解，如果是实数解，且系数也是实数，则有1个或3个，其中三个解包括又两个或三个相同的解。在多项式中，次数最高项的次数是3，就叫做三次多项式。每一项的次数是这一项中所有字母的指数和。 三次函数性态的五个要点 ⒈三次函数y=f(x）在（-∞，+∞）上的极值点的个数 ⒉三次函数y=f（x）的图象与x轴交点个数 ⒊单调性问题 ⒋三次函数f（x）图象的切线条数 ⒌融合三次函数和不等式，创设情境求参数的范围2023-07-20 14:42:441
用一个三次多项式在区间[0,2π],求出三次多项式的表达式
3/7*x^3+(-1)*x^2+4/7*x+22023-07-20 14:42:511
分别写出一个一次、二次、三次多项式，并写出他们的各项
x-4 一次二项式 x -4x^2+6x-7 二次三项式 x^2 6x -7x^2y-6xy+6x 三次三项式 x^2y -6xy 6x祝你好运2023-07-20 14:42:591
给出三个单项式：a2，b2，2ab．（1）在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解；（2）当a=2010，b
（1）a2-b2=（a+b）（a-b），b2-a2=（b+a）（b-a），a2-2ab=a（a-2b），2ab-a2=a（2b-a），b2-2ab+b（b-2a），2ab-b2=b（2a-b）；（写对任何一个式子给五分）（2）a2+b2-2ab=（a-b）2，当a=2010，b=2009时，原式=（a-b）2=（2010-2009）2=1．2023-07-20 14:43:181
求一个3次多项式f(x),其根为-7和1 i
请把试题拍照发下2023-07-20 14:43:423
matlab用三次多项式拟合，求出表达式的值，画出拟合示意图，并测算x为11、12时的y值
x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9]; y=[10.2 14.1 13.9 12.3 10.5 11 12.4 13.5 16]; y0=polyfit(y,x,3)%得到拟合多项式系数x1=11; x2=12;f = polyval(y0,y); plot(y,x,"o",y,y0,"-r") f1 = polyval(y0,x1))%得到x1的y值f2= polyval(y0,x2))%得到x2的y值2023-07-20 14:43:521
给出三个整式a2，b2和2ab．（1）当a=3，b=4时，求a2+b2+2ab的值；（2）在上面的三个整式中任意选择两个整
（1）当a=3，b=4时，a2+b2+2ab=（a+b）2=49．（3分）（2）答案不唯一，式子写对给（1分），因式分解正确给（2分）．例如，若选a2，b2，则a2-b2=（a+b）（a-b）．（3分）若选a2，2ab，则a2±2ab=a（a±2b）．（3分）2023-07-20 14:43:581
给出下面四个多项式：①3x2-xy-2y2；②x2+x-y2-y；③x7-xy6；④x3+y3，其中以代数式x-y为因式的多项式的
①3x2-xy-2y2=（3x+2y）（x-y）；②x2+x-y2-y=（x+y）（x-y）+（x-y）=（x+y+1）（x-y）；③x7-xy6=x（x6-y6）=x（x3+y3）（x3-y3）=x（x+y）（x2-xy+y2） （x-y）（x2+xy+y2）；④x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）．故有因式x-y的多项式有3个．故选C．2023-07-20 14:44:071
请你写出一个次数是3的多项式______．
由题意可写出：b 3 -b 2 +b+1． 故答案为：b 3 -b 2 +b+1答案不惟一．2023-07-20 14:44:331
写出一个多项式，使它至少含有三项，且合并同类项后的结果为-4x的3次方y的2次方
x的3次方y的2次方-2x的3次方y的2次方-x的3次方y的2次方2023-07-20 14:44:401