余弦定理是什么？

余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。余弦定理，欧氏平面几何学基本定理。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。在实际生活中，余弦定理是在计算机应有技术中的智能推荐系统，新闻分类中的基本算法之一。从吴军的《数学之美》那本书上知道余弦公式是可以对新闻进行分类的，当然就可以用来对用户进行分类了。引用《数学之美》文章中的话:"向量实际上是多维空间中有方向的线段。如果两个向量的方向一致，即夹角接近零，那么这两个向量就相近。而要确定两个向量方向是否一致，这就要用到余弦定理计算向量的夹角了。当夹角的余弦接近于一时，两条新闻相似，从而可以归成一类;夹角的余弦越小，两条新闻越不相关。

正弦定理：a/SinA=b/SinB=C/Sinc余弦定理：cosA=b2+c2-a2/2

余弦定理公式：cosA=（b²+c²-a²）/2bc，cosA=邻边比斜边。三角形余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。余弦定理可以理解为是勾股定理在一般三角形中的扩展。勾股定理解决直角三角形的边关系问题，余弦定理则解决所有三角形的边角关系问题。所以余弦定理公式也是在勾股定理的基础上，增加了角度要素而成。余弦定理中角条件是唯一的，所以角的对边在等式左边，两邻边及角的余弦在等式右边。等式右边除夹角余弦值外的部分，可以看作是差的完全平方公式，可以辅助我们记忆。

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活． 对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质 a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc 证明： ∵a=b-c ∴a^2=(b-c)^2 （证明中前面所写的a,b,c皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+c^2-2bc 再拆开，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA 同理可证其他，而下面的CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是将CosA移到右边表示一下。 平面几何证法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 从余弦定理和余弦函数的性质可以看出, 如果一个三角形两边的平方和等于第三 边的平方,那么第三边所对的角一定是直 角,如果小于第三边的平方,那么第三边所 对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边 所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。 同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。 注：a^2；b^2；c^2就是a的2次方;b的2次方；c的2次方

余弦定理，欧氏平面几何学基本定理。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 基本介绍 中文名 ：余弦定理 外文名 ：The Law of Cosines 别称 ：cosine law 表达式 ：cos A=(b2+c2-a2)/2bc 提出者 ：欧几里得 提出时间 ：公元三世纪前 套用学科 ：数学 物理 适用领域范围 ：平面几何，立体几何，数形结合 适用领域范围 ：平面三角形解析 公式含义,余弦定理表达式1,验证推导,《钦定四库全书》上的证明,无字证明,平面几何法证明一,平面几何法证明二,利用正弦定理证法,平面向量证法,定理套用,求边,求角,求面积,判定定理,判定定理一 两根判别法,判定定理二 角边判别法,套用例题,例如：,再如：, 公式含义 对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 若三边为a，b，c 三角为A（ ），B（ ），C（ ），则如下图所示，在△ABC中， 三角形 余弦定理表达式1 同理，也可描述为： 勾股定理是余弦定理的特例，当 为90°时， ，余弦定理可简化为 ，即勾股定理。 余弦定理表达式2 余弦定理表达式3（角元形式） 验证推导 余弦定理的历史可追溯至西元三世纪前欧几里得的几何原本，在书中将三角形分为钝角和锐角来解释，这同时对应现代数学中余弦值的正负。 《钦定四库全书》上的证明 和《几何原本》上勾股定理的证明类似。 余弦定理 无字证明 勾股定理可以推广到余弦定理。余弦定理和勾股定理一样，都有着很多不同的证明。下图就是余弦定理的一个无字证明。 余弦定理的无字证明 平面几何法证明一 平面几何法证明 如上图所示，△ABC，在c上做高，将c边写： 将等式同乘以c得到： 如下图所示：以AB边为边长，以垂直于面ABC作向里的正方形AA`BB`辅助线，然后作平行于AA`边的CC`等，则，上述公式相当于辅助正方形的面积等于长方形AA`C`C和BB`C`C在正方形AA`BB`中的投影面积（分别为 与 ）之和。 立体几何辅助说明 对另外两边分别作高，运用同样的方法可以得到： 将两式相加： 平面几何法证明二 如图所示，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，作AD⊥BC于D，则AD=c*sinB，DC=a-BD=a-c*cosB 在Rt△ACD中， b 2 =AD 2 +DC 2 =（c*sinB） 2 +（a-c*cosB） 2 =c 2 sin 2 B+a 2 -2ac*cosB+c 2 cos 2 B =c 2 （sin 2 B+cos 2 B）+a 2 -2ac*cosB =c 2 +a 2 -2ac*cosB 平面几何法证明二 利用正弦定理证法 在△ABC中， sin 2 A+sin 2 B-sin 2 C =[1-cos（2A）]/2+[1-cos（2B）]/2-[1-cos（2C）]/2（降幂公式） =-[cos（2A）+cos（2B）]/2+1/2+1/2-1/2+[cos（2C）]/2 =-cos（A+B）cos（A-B）+[1+cos（2C）]/2（和差化积） =-cos（A+B）cos（A-B）+cos 2 C（降幂公式） =cosC*cos（A-B）-cosC*cos（A+B）（∠A+∠B=180°-∠C以及诱导公式） =cosC[cos（A-B）- cos（A+B）] =2cosC*sinA*cinB（和差化积）（ 由此证明余弦定理角元形式 ） 设△ABC的外接圆半径为R ∴（RsinA） 2 +（RsinB） 2 -（RsinC） 2 =（RsinA）*（RsinB）*cosC ∴a 2 +b 2 -c 2 =2ab*cosC（正弦定理） ∴c 2 =a 2 +b 2 -2ab*cosC 平面向量证法 ∵如图，有 a + b = c （平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小） ∴ c· c =（ a + b ）·（ a + b ） ∴ c 2 = a · a +2 a · b + b · b ∴ c 2 = a 2 + b 2 +2| a || b | cos （π-θ） （以上粗体字元表示向量） 又∵ cos （π-θ）=- cos θ（诱导公式） ∴ c 2 = a 2 + b 2 -2| a || b | cos θ 此即c 2 =a 2 +b 2 -2ab c o s C 即 cos C=（a 2 +b 2 -c 2 ）/2*a*b 同理可证其他，而下面的 c os C=（a 2 +b 2 -c 2 ）/2ab就是将 c osC 移到左边表示一下。 平面向量证法 定理套用 余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可套用于以下三种需求： 当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。 当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。 当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的面积。 求边 余弦定理公式可变换为以下形式： 因此，如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。 求角 因为余弦函式在 上的单调性，可以得到： 因此，如果已知三角形的三条边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。 求面积 由面积公式 知如果已知三角形的三条边，可以由余弦定理求出一个内角，从而得到三角形的面积。 判定定理 判定定理一 两根判别法 若记m（c1,c2）为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取 减号的值。 ①若m（c1,c2）=2,则有两解； ②若m（c1,c2）=1,则有一解； ③若m（c1,c2）=0,则有零解（即无解）。 注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。 判定定理二 角边判别法 一、当a>bsinA时： ①当b>a且cosA>0（即A为锐角）时，则有两解； ②当b>a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时,则有零解（即无解）； ③当b=a且cosA>0（即A为锐角）时，则有一解； ④当b=a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时,则有零解（即无解）； ⑤当b<a时，则有一解。 二、当a=bsinA时： ①当cosA>0（即A为锐角）时,则有一解； ②当cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）。 三、当a<bsinA时,则有零解（即无解）。 套用例题 例如： 已知△ABC的三边之比为5：4：3，求最大的内角。 解：设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3. 由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角。 由余弦定理： cosA=0 所以∠A=90°。 再如： △ABC中,AB=2，AC=3，角A为60度，求BC之长。 解：由余弦定理可知： =4+9-2×2×3×cos60 =13-12x0.5 =7 所以 （cos60°=½） 以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。

平面几何证法　　在任意△ABC中　　做AD⊥BC.　　∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a　　则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c　　根据勾股定理可得：　　AC2=AD2+DC2　　b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2　　b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2　　b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2　　b2=c2+a2-2ac*cosB　　cosB=(c2+a2-b2)/2ac

三角形余弦定理公式：a^2=b^2+c^2-2bccosA。三角形余弦定理：一条边的平方，等于另两条边的平方和，减去另两条边与夹角余弦成绩的2倍。左边是一条边a，右边的余弦是a对应的角A，右边的边都是b和c，这样记可能容易点。比如一个三角形ABC中，∠C＝90°。则AB叫做斜边，AC叫做∠A的邻边，BC叫做∠A的对边，所以cosA＝AC/AB，sinA=BC/AB，同理cosB＝BC/AB，sinB=AC/AB。cos公式的其他资料：它是周期函数，其最小正周期为2π。在自变量为2kπ（k为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为（2k+1）π时，该函数有极小值-1，余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角。（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

高中数学余弦定理公式是a²=b²+c²-2abcosA。正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题。正弦定理是用于已知三角形的两角与一边，解三角形，或是已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。余弦定理余弦定理，欧氏平面几何学基本定理。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边的问题。余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下三种需求：当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。 当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的面积。以上内容参考：百度百科——余弦定理

空间余弦定理公式：a*sinA+b*cosA=d。余弦（余弦函数），三角函数的一种。在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°，∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为cosa=AC/AB。余弦函数：f（x）=cosx（x∈R）。三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

正弦：A/sina=B/sinb=C/sinc=2R(A B C为角a b c所对的三边，R为三角形外切圆半径）余弦：cosα＝(B^2+C^2-A^2)/2BCcosb=(A^2+C^2-B^2)/2ACcosc=(A^2+B^2-C^2)/2AB正弦定理是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即a/sinA=b/sinB=c/sinC= 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。定理意义：正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。以上内容参考 百度百科—正弦定理

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余弦定理公式：cosA=（b²+c²-a²）/2bc，cosA=邻边比斜边。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。余弦定理性质：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c三角为A，B，C，则满足性质：a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosAb^2=a^2+c^2-2·a·c·cosBc^2=a^2+b^2-2·a·b·cosCcosC=（a^2+b^2-c^2）/（2·a·b）cosB=（a^2+c^2-b^2）/（2·a·c）cosA=（c^2+b^2-a^2）/（2·b·c）

余弦定理公式：cosA=（b²+c²-a²）/2bc，cosA=邻边比斜边。三角形余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。余弦定理可以理解为是勾股定理在一般三角形中的扩展。勾股定理解决直角三角形的边关系问题，余弦定理则解决所有三角形的边角关系问题。所以余弦定理公式也是在勾股定理的基础上，增加了角度要素而成。余弦定理中角条件是唯一的，所以角的对边在等式左边，两邻边及角的余弦在等式右边。等式右边除夹角余弦值外的部分，可以看作是差的完全平方公式，可以辅助我们记忆。

公式：a^2=b^2+c^2-2bccosA一条边的平方，等于另两条边的平方和，减去另两条边与夹角余弦成绩的2倍。左边是一条边a，右边的余弦是a对应的角A，右边的边都是b和c，这样记可能容易点。比如一个三角形ABC中，∠C＝90°。则AB叫做斜边，AC叫做∠A的邻边，BC叫做∠A的对边，所以cosA＝AC/AB，sinA=BC/AB，同理cosB＝BC/AB，sinB=AC/AB。判定定理一两根判别法若记m（c1,c2）为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值。1、若m（c1,c2）=2,则有两解；2、若m（c1,c2）=1,则有一解；3、若m（c1,c2）=0,则有零解（即无解）。注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。

正余弦定理公式大全如下：正弦定理推论公式：1、（1）a=2RsinA；（2）b=2RsinB；（3）c=2RsinC。2、（1）a:b=sinA:sinB；（2）a:c=sinA:sinC；（3）b:c=sinB:sinC；（4）a:b:c=sinA:sinB:sinC。3、由“a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R”可得：（1）(a+b)/(sinA+sinB)=2R；（2）(a+c)/(sinA+sinC)=2R；（3）(b+c)/(sinB+sinC)=2R；（4）(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R。余弦定理公式：1、（1）a^2=b^2+c^2-2bccosA；（2）b^2=a^2+c^2-2accosB；（3）c^2=a^2+b^2-2abcosC。2、(1)cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc；(2)cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac；(3)cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。

余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。余弦定理证明方法如图所示：平面向量证法：∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）。∴c·c=(a+b)·(a+b)。∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|Cos(π-θ)。（以上粗体字符表示向量）。又∵Cos(π-θ)=-Cosθ。∴c²=a²+b²-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c²=a²+b²-2abcosC。即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b。同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。

数学正弦定理公式：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R；余弦定理公式：cos A=(b²+c²-a²)/2bc。正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。一、正弦定理推论公式1、a=2RsinA；b=2RsinB；c=2RsinC。2、a:b=sinA:sinB；a:c=sinA:sinC；b:c=sinB:sinC；a:b:c=sinA:sinB:sinC。二、余弦定理推论公式1、cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc；2、cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac；3、cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。三、正弦定理的运用：1、已知三角形的两角与一边，解三角形。2、已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。3、运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系。四、余弦定理的运用：1、当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。2、当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。3、当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的面积。

余弦定理有三个公式，三角形ABC中，如果∠A，∠B，∠C的对边分别用a、b、c来表示那么就有如下关系：a²＝b²＋c²－2bccosA。b²＝a²＋c²－2accosB。c²＝a²＋b²－2abcosC。cos公式的其他资料：它是周期函数，其最小正周期为2π。在自变量为2kπ（k为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为（2k+1）π时，该函数有极小值-1，余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角。（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

正弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为A B C，外接圆半径为r，则称关系式a/sinA=b/sinB=c/sinC为正弦定理。余弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为A B C，则称关系式a^2=b^2+c^2-2bc*cosAb^2=c^2+a^2-2ac*cosBc^2=a^2+b^2-2ab*cosC

余弦定理公式：cosA=（b²+c²-a²）/2bc，cosA=邻边比斜边。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。余弦定理性质：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c三角为A，B，C，则满足性质：a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosAb^2=a^2+c^2-2·a·c·cosBc^2=a^2+b^2-2·a·b·cosCcosC=（a^2+b^2-c^2）/（2·a·b）cosB=（a^2+c^2-b^2）/（2·a·c）cosA=（c^2+b^2-a^2）/（2·b·c）

在直角三角形中,一个锐角的余弦＝它的邻边 / 斜边,一个锐角的正弦＝它的对边 / 斜边比如一个三角形ABC中,∠C＝90°.则AB叫做斜边,AC叫做∠A的邻边,BC叫做∠A的对边.所以,cosA＝AC/AB,sinA=BC/AB.同理cosB＝BC/AB,sinB=AC/AB余弦定理是针对任意三角形的.比如三角形ABC中,如果∠A,∠B,∠C的对边分别用a、b、c来表示那么就有如下关系：a²＝b²＋c²－2bccosAb²＝a²＋c²－2accosBc²＝a²＋b²－2abcosC扩展资料：判定定理一 两根判别法：若记m（c1,c2）为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值。①若m（c1,c2）=2,则有两解；②若m（c1,c2）=1,则有一解；③若m（c1,c2）=0,则有零解（即无解）。注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。参考资料来源：百度百科—余弦定理

正余弦定理公式如下：正弦定理公式：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R余弦定理公式：（1）a^2=b^2+c^2-2bccosA（2）b^2=a^2+c^2-2accosB（3）c^2=a^2+b^2-2abcosC（4）cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc（5）cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac（6）cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

一条边的平方，等于另两条边的平方和，减去另两条边与夹角余弦成绩的2倍a^2=b^2+c^2-2bccosA左边是一条边a，右边的余弦是a对应的角A，右边的边都是b和c，这样记可能容易点

余弦公式：cos A=(b2+c2-a2)/2bc。正余弦定理指正弦定理和余弦定理，具体是解决揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题。若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。扩展资料实际应用：在实际生活中，余弦定理在计算机应有技术中的智能推荐系统，新闻分类中的基本算法之一。从吴军的《数学之美》那本书上知道余弦公式是可以对新闻进行分类的，当然就可以用来对用户进行分类。引用《数学之美》文章中的话，向量实际上是多维空间中有方向的线段。如果两个向量的方向一致，即夹角接近零，那么这两个向量就相近。而要确定两个向量方向一致，这就要用到余弦定理计算向量的夹角了。

正弦定理、三角形面积公式 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R. 面积公式：S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB. 1.正弦定理的变形及应用 变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC (2)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c (3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R. 应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题： a.已知两角和任一边，求其他两边和一角. b.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角. 一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解. (2)正弦定理，可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替. 2.余弦定理 在△ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC; 变形公式：cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2-b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab 在三角形中，我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便可以求出其余的三个未知元素(可能有两解、一解、无解)，这个过程叫做解三角形，余弦定理的主要作用是解斜三角形. 3.解三角形问题时，须注意的三角关系式：A+B+C=π 0<a，b，c<Π sinA+B/2=sinπ-c/2=cosC/2 sin(A+B)=sinC 特别地，在锐角三角形中，sinA<cosb,sinb<cosc,sinc<cosa. 正弦定理热点考题解析

正余弦定理公式大全如下：正弦定理推论公式：1、（1）a=2RsinA；（2）b=2RsinB；（3）c=2RsinC。2、（1）a:b=sinA:sinB；（2）a:c=sinA:sinC；（3）b:c=sinB:sinC；（4）a:b:c=sinA:sinB:sinC。3、由“a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R”可得：（1）(a+b)/(sinA+sinB)=2R；（2）(a+c)/(sinA+sinC)=2R；（3）(b+c)/(sinB+sinC)=2R；（4）(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R。余弦定理公式：1、（1）a^2=b^2+c^2-2bccosA；（2）b^2=a^2+c^2-2accosB；（3）c^2=a^2+b^2-2abcosC。2、(1)cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc；(2)cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac；(3)cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。

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cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)

定义：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍公式：应用：1.当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。2.当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。   因为余弦函数在【0，Π】上的单调性，据此得出3.当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的面积。即知如果已知三角形的三条边，可以由余弦定理求出一个内角，从而得到三角形的面积。

余弦定理有三个公式，三角形ABC中，如果∠A，∠B，∠C的对边分别用a、b、c来表示那么就有如下关系：a²＝b²＋c²－2bccosA。b²＝a²＋c²－2accosB。c²＝a²＋b²－2abcosC。余弦定理应用例题：例如：已知△ABC的三边之比为5：4：3，求最大的内角。解：设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3。由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角。由余弦定理：cosA=0。所以∠A=90°。

c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

三角形余弦定理公式是cosA=（b²+c²-a²）/2bc，cosA=邻边比斜边。对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余弦定理，欧氏平面几何学基本定理。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理。拓展知识判定定理，两根判别法。若记m，c1,c2为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值。①若m（c1,c2）=2,则有两解。②若m（c1,c2）=1,则有一解。③若m（c1,c2）=0,则有零解即无解。注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍余弦定理证明平面向量证法：∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)（以上粗体字符表示向量）又∵Cos(π-θ)=-CosC∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。平面几何证法：在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosBb^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac余弦定理的作用(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.例如：已知△ABC的三边之比为：2：1，求最大的内角.解设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=:2:1.由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角.由余弦定理cosA==-所以∠A=120°.再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=π3,求BC之长.解由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA=4+9-2×2×3×=7，所以BC=7.以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用.其他从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

1、正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。2、余弦定理：cos A=(b²+c²-a²)/2bc。正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。余弦定理的运用：1、当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。2、当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。3、当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的面积。

在直角三角形中,一个锐角的余弦＝它的邻边 / 斜边,一个锐角的正弦＝它的对边 / 斜边比如一个三角形ABC中,∠C＝90°.则AB叫做斜边,AC叫做∠A的邻边,BC叫做∠A的对边.所以,cosA＝AC/AB,sinA=BC/AB.同理cosB＝BC/AB,sinB=AC/AB余弦定理是针对任意三角形的.比如三角形ABC中,如果∠A,∠B,∠C的对边分别用a、b、c来表示那么就有如下关系：a²＝b²＋c²－2bccosAb²＝a²＋c²－2accosBc²＝a²＋b²－2abcosC扩展资料：判定定理一 两根判别法：若记m（c1,c2）为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值。①若m（c1,c2）=2,则有两解；②若m（c1,c2）=1,则有一解；③若m（c1,c2）=0,则有零解（即无解）。注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。参考资料来源：百度百科—余弦定理

余弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为A B C，则称关系式a^2=b^2 c^2-2bc*cosAb^2=c^2 a^2-2ac*cosBc^2=a^2 b^2-2ab*cosC正弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为A B C，外接圆半径为r，则称关系式a/sinA=b/sinB=c/sinC为正弦定理。

两向量夹角的余弦公式：cos=ab/|a|*|b|，余弦是三角函数的一种。在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°，∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为cosa=AC/AB。余弦函数：f(x)=cosx（x∈R）。三角形任一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。相关信息：实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且|λa|=|λ|*|a|。当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当 |λ| >1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的|λ|倍当|λ|<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上缩短为原来的 |λ|倍。

1、余弦定理，欧氏平面几何学基本定理。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。2、对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

余弦定理有三个公式，三角形ABC中，如果∠A，∠B，∠C的对边分别用a、b、c来表示那么就有如下关系：a²＝b²＋c²－2bccosA。b²＝a²＋c²－2accosB。c²＝a²＋b²－2abcosC。余弦定理应用例题：例如：已知△ABC的三边之比为5：4：3，求最大的内角。解：设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3。由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角。由余弦定理：cosA=0。所以∠A=90°。

1–cosx的a次方等价无穷小1/2ax^2。1-cos(ax)～1/2(ax)^2。1-cos^a(x)～a/2×(x^2)。所以得证。具体回答如图：cos公式的其他资料：它是周期函数，其最小正周期为2π。在自变量为2kπ（k为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为（2k+1）π时，该函数有极小值-1，余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角。（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

三余弦定理如下：三角形余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。勾股定理在一般三角形中的扩展余弦定理可以理解为是勾股定理在一般三角形中的扩展。勾股定理解决直角三角形的边关系问题，余弦定理则解决所有三角形的边角关系问题。所以余弦定理公式也是在勾股定理的基础上，增加了角度要素而成。余弦定理中角条件是唯一的，所以角的对边在等式左边，两邻边及角的余弦在等式右边。等式右边除夹角余弦值外的部分，可以看作是差的完全平方公式，可以辅助我们记忆。

正弦定理和余弦定理公式大全：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.面积公式：S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB.余弦定理：在△ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;变形公式：cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2-b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab在三角形中，我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便可以求出其余的三个未知元素(可能有两解、一解、无解)，这个过程叫做解三角形，余弦定理的主要作用是解斜三角形。正弦定理的变形及应用。变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c(3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R.应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：a.已知两角和任一边，求其他两边和一角。b.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。一般地，已知两边和其中一边的.对角解三角形，有两解、一解。正弦定理，可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替。

余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广。余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下两种需求：当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角

已知三角形的三边长，求cos值的公式：cos A=(b²+c²-a²)/2bc。余弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为A B C，则称关系式：a^2=b^2+c^2-2bc*cosAb^2=c^2+a^2-2ac*cosBc^2=a^2+b^2-2ab*cosC余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题。扩展资料：在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R，直径为D。则有：一个三角形中，各边和所对角的正弦之比相等，且该比值等于该三角形外接圆的直径（半径的2倍）长度。△ABC中，若角A，B，C所对的边为a，b，c，三角形外接圆半径为R，直径为D，正弦定理进行变形有1. 2.  ,  , 3. 4.  （等比，不变）5.  （三角形面积公式）参考资料：余弦定理_百度百科

　余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。　　对于任意三角形三边为a,b,c三角为A,B,C满足性质　　(注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c。a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。)　　a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA　　b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB　　c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC　　CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab　　CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac　　CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc　　证明：　　∵如图，有a+b=c　　∴c·c=(a+b)·(a+b)　　∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)　　整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）　　再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC　　同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。　　---------------------------------------------------------------------------------------------------------------　　平面几何证法：　　在任意△ABC中　　做AD⊥BC.　　∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a　　则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c　　根据勾股定理可得：　　AC^2=AD^2+DC^2　　b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2　　b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB　　b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2　　b^2=c^2+a^2-2ac*cosB　　cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac　　从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

余弦定理推导，因为向量AB=向量CB-向量CA,两边平方得AB模^2=cB^2+CA^2-2CB点CA=CB^2+CA^2-2CB*BAcos<CB,CA>即c^2=a^2+b^2-2abcosC,正弦定理推导S△ABC=1/2*acsinB=1/2*absinC=1/2*bcsinA得*acsinB=absinC=bcsinA同除abc得sinB/b=sinC/c=sinA/a即a/sinA=b/sinB=c/sinC

三角形中角A B C 所对的边分别为 a b c则cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)

余弦定理公式：cosA=（b²+c²-a²）/2bc，cosA=邻边比斜边。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。余弦定理性质：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c三角为A，B，C，则满足性质：a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosAb^2=a^2+c^2-2·a·c·cosBc^2=a^2+b^2-2·a·b·cosCcosC=（a^2+b^2-c^2）/（2·a·b）cosB=（a^2+c^2-b^2）/（2·a·c）cosA=（c^2+b^2-a^2）/（2·b·c）

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c 三角为A,B,C ，则满足性质—— (注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。) a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是说已知三边长和一角度中任意三个就能求剩下的一个量