两个向量共线的公式

两个向量共线是指表示它们的有向线段互相平行，通俗的说就是同向或反向的向量叫共线向量，又叫平行向量。有一个特殊情况，就是规定：零向量可以与任何向量共线。定理：向量a、b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ使a=λb。所以，要证明两个向量共线，只须证明它们之间有一个倍数关系即可。例：已知e1、e2是不共线的单位向量，向量a=e1+2e2，b=-2e1+e2，c=4e1+3e2，求证明：a与b+c共线。证明：因为b+c=(-2e1+e2)+(4e1+3e2)=2e1+4e2=2(e1+2e2)=2a，所以a与b+c共线。

向量共线的条件包括方向相同或相反；向量a=k向量b；a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a//b等价于x1y2-x2y1=0。零向量与任何向量共线。对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。如果 b=λa=μa，那么(λ-μ)a=0。但因a≠0，所以λ=μ。 扩展资料 向量共线的条件包括方向相同或相反；向量a=k向量b；a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a//b等价于x1y2-x2y1=0。零向量与任何向量共线。对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由实数与向量的"积的定义知，向量a与b共线。

向量平行和向量共线是一回事情.方向相同或相反的非零向量叫平行向量。表示为a‖b 任意一组平行向量都可移到同一直线上，因此平行向量也叫共线向量。 规定：0向量与任意向量平行。　　若向量a与向量b（b为非零向量）共线，则a=λb（λ为实数）。　　向量a与向量b共线的充要条件是，a与b线性相关，即存在不全为0的两个实数λ和μ，使λa+μb=0　　更一般的，平面内若a=(p1,p2）b=(q1,q2)，a‖b的充要条件是p1·q2=p2·q1

向量共线强调a为非零向量还真是笨笨

郭敦顒回答： 向量a与向量b共线,则向量a∥向量b,说明向量a与向量b同向或反向,它们的和或差仍在这条直线上. 向量a与向量b的夹角为θ=0,cosθ= cos0=1,点积有最大值；而sinθ=sin0=0,叉积最小.

可以的出来他们线性相关,存在k1*e1+k2*e2=0；因为0向量和任意共线,所以不能得到更强的结论一个向量可以被另外一个表示!

在数学中,我们把既有大小,又有方向的量叫做向量,所谓共线和不共线,当然是指是否在同一条直线上的向量.当两个向量共线时平行四边形法则就不适用.亲,选我,我自己打出来的.

已知空间任意一点O和不共线的三点A.B.C，则点P位于平面ABC内的充要条件是：存在x.y.z∈R，满足x+y+z=1 使OP=xOA+yOB+zOC。 证明：（充分性） ∵x+y+z=1 ∴ z=1-x-y 又∵OP=xOA+yOB+zOC ∴ OP =xOA+yOB+（1-x-y）OC OP=x（OA-OC）+y（OB-OC）+OC OP-OC=x（OA-OC）+y（OB-OC） ∴ CP=xCA+yCB 又由已知条件A、B、C三点不共线可得CA、CB是不共线向量 ∴ 根据平面向量的基本定理可知，点P位于平面ABC内 ∴ 充分性成立（必要性） ∵点P位于平面ABC内 又由已知条件A、B、C三点不共线可得CA、CB是不共线向量 ∴ 根据平面向量的基本定理可知，存在实数x，y使得 CP=xCA+yCB ∴ OP-OC=x（OA-OC）+y（OB-OC） OP=x（OA-OC）+y（OB-OC）+OC OP =xOA+yOB+（1-x-y）OC 令z=1-x-y 则x+y+z=1 且 OP=xOA+yOB+zOC 即，存在实数x、y、z满足x+y+z=1，使得OP=xOA+yOB+zOC ∴ 必要性成立

首先，直线重合说明是同一条直线，共面说明两条在同一平面上，而直线还有一个关系是异面。而向量却不一样，向量，通常称的是自由向量，即方向不变，起点不点，所以所有的向量都是共面的（因为可以把起点放在同一点），而共线则说明方向相同或相反，即可以把起点放在同一点，在同一条直线上。

嗯啊，就是这样

C中，由于 0 向量可以与任何向量共线，所以当 a=0 ，而 b ≠ 0 时，这样的实数 λ 就不存在了。C 只是 a、b 共线的充分条件。D 选项的条件是 λ1*a+λ2*b=0 吧？？充分性：不妨设 λ1 ≠ 0 ，则 a= -λ2/λ1*b ，令 λ= -λ2/λ1 ，则 a=λb ，因此 a//b 。必要性：因为 a//b ，所以（1）若 a=0 向量，则 1a+0b=0 ，取 λ1=1 ，λ2=0 ；（2）若 a ≠ 0 向量，则 存在实数 λ 使 b=λa ，此时 λa+(-1)b=0 ，取 λ1=λ ，λ2= -1 ，可以看出，总存在不全为 0 的两个实数 λ1、λ2 使 λ1*a+λ2*b=0 向量。答案选 D 。

意思是两条向量所在的直线不平行也不重合。1、设向量a,b,a,b不共线即a,b不平行（a,b是自由向量,平行即共线）,因平行的条件是存在常数k,使b=ka,故不共线的条件是b=ka不成立,即两向量不成比例。2、向量共线的特点：1）充分性：对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由实数与向量的积的定义 知，向量a与b共线。2）必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即_b_=m_a_。那么当向量a与b同方向时，令λ=m，有 b =λa，当向量a与b反方向时，令λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那么λ=0。3）唯一性：如果 b=λa=μa，那么(λ-μ)a=0。但因a≠0，所以λ=μ。扩展资料向量的分类：1、负向量如果向量AB与向量CD的模相等且方向相反，那么我们把向量AB叫做向量CD的负向量，也称为相反向量。 2、零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0。零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。3、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b。规定：所有的零向量都相等，当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取。任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示同一向量。参考资料：百度百科-向量

通俗的讲就是他们两方向一致或相反，两向量又不等于0！ c≠0，那么向量b与c共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λc。c=0,那么对于任何向量b都与c共线，没什么条件。

向量共线和向量平行是一样的。两个向量共线就是两个向量平行。简言之，共线向量就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。

郭敦顒回答： 向量a与向量b共线,则向量a∥向量b,说明向量a与向量b同向或反向,它们的和或差仍在这条直线上. 向量a与向量b的夹角为θ=0,cosθ= cos0=1,点积有最大值；而sinθ=sin0=0,叉积最小.

方向相同或相反的非零向量叫平行向量。表示为a∥b　　任意一组平行向量都可移到同一直线上，　　因此平行向量也叫共线向量。　　规定：0向量与任意向量平行。　　向量共线的充要条件：　　若向量a与向量b（b为非零向量）共线，则a=λb（λ为实数）。　　向量a与向量b共线的充要条件是，a与b线性相关，即存在不全为0的两个实数λ和μ，使 λa+μb=0　　更一般的，平面内若a =(p1,p2） b =(q1,q2)，a∥b 的充要条件是p1·q2=p2·q1

解答：①向量共线的条件：向量a，向量b共线（向量a≠0）等价于：存在唯一的实数λ，使得向量b=λ向量a②向量共线的坐标表示：设向量a=（x1,y1），向量b=（x2,y2），则有：向量a，向量b共线等价于：x1y2-x2y1=0【希望我的回答对您有所帮助！】

两向量X,Y轴座标为有理数倍

因为两向量共线，所以可把a,b两向量当作基底，所以a+λb与-(b-2a)的坐标分别为(1,λ)和(2,-1)由向量共线的坐标表示可知2λ=-1所以λ=-1/2

向量共线是两向量所在直线平行或共线三点共线是三点可连成一条直线

向量共线的条件，可能是两个向量只要相等的话，那么这两个向量一定是共线的。

向量a（x1，y1），向量b（x2，y2)向量a点乘向量b等于x1x2＋y1y2扩展资料实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且|λa|=|λ|*|a|。当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当|λ|>1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的|λ|倍当|λ|<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上缩短为原来的|λ|倍。实数p和向量a的点乘乘积是一个数。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。需要注意的是：向量的加减乘（向量没有除法）运算满足实数加减乘运算法则。

坐标向量相乘：各对应元素相乘，然后相加。比如已知向量AB＝（2，3）与向量SD（5，8），求向量AB×向量SD，则向量AB×向量SD＝2×5+3×8＝34。在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x，y），使得a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量a的坐标,记作a=（x，y）。这就是向量a的坐标表示。其中（x，y）就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。

a与b的数量积:a·b=|a||b|cosθa与b的数量积坐标运算:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2

a=(x1,y1),b=(x2,y2)a*b=x1*x2+y1*y2这就是坐标公式哪里不清欢迎追问，满意谢谢采纳！

分为数乘、点乘和叉乘，计算方法如下：1、向量的数乘，也叫向量的数量积或标量积，是一个向量和一个数相乘的运算，结果是一个向量。如果向量a的坐标为（x1,y1,z1），数k为一个常数，则向量a与数k的数乘为：k·a=(kx1,ky1,kz1)。数乘的结果是改变向量的长度，但不改变向量的方向。2、向量的点乘，也叫向量的内积或数量积，是两个向量相乘的运算，结果是一个数。如果向量a的坐标为（x1,y1,z1），向量b的坐标为（x2,y2,z2），则向量a与向量b的点乘为：a·b=x1x2+y1y2+z1z2。3、向量的叉乘，也叫向量的外积或矢量积，是两个向量相乘的运算，结果是一个向量。如果向量a的坐标为（x1,y1,z1），向量b的坐标为（x2,y2,z2），则向量a与向量b的叉乘为：a×b=(y1z2-z1y2,z1x2-x1z2,x1y2-y1x2)。

如果是坐标系内点与点的坐标之间就不可以相乘了,但如果是两个向量的坐标就可以,例如（A,B）（C,D）= AC + BD 详情参见高二数学必修4 向量部分的内容

设P(x1,y1) Q(x2,y2) 则PQ=(x2-x1,y2-y1) P*Q=x1*x2+y1*y2

x1乘x2再加上y1乘y2就可以了

就是写成这样，尤其记住不能写成（a，b）×（c，d），它代表的不是向量相乘了，而是一个向量积，结果仍为向量，而不是数字。你的结果结果为：ac+bd。

两向量平行，坐标交叉相乘积相等、、定理

向量相乘结果是数,根据公式结果为两个模长乘以夹角的余弦,这些都是数字没有方向,结果自然也不带方向了

空间向量都是用坐标表示的，向量相乘就是两个向量的横坐标的积加上纵坐标的积再加上z轴坐标的积，比如AB向量坐标是（a1,b1,c1)CD向量坐标是（a2,b2,c2)那么向量AB乘以向量CD等于a1a2+b1b2+c1c2向量的模就是根号下横坐标。纵坐标，z轴坐标平凡的和，比如向量AB坐标轴是(a,b,c)AB的模就是根号下a2+b2+c2，模没有方向只有大小，摸相乘就相当于小学的数字相乘，直接乘就行了。

解应为一个数。根据向量乘法原则，向量与向量相乘得到一个数，数与向量相乘仍为向量，向量相加减也为向量，最后向量与向量相乘为数。

点乘是对应坐标相乘再求和『比如A(1,1)B(2,1)则他们的点乘为1*2+1*1=3』

向量的模指的是该向量的长度或者大小，用符号||v||表示。求一个向量的模可以通过计算向量坐标相乘再开根号来实现。假设一个向量v的坐标为(v1, v2, …, vn)，那么它的模为：||v|| = sqrt(v1^2 + v2^2 + ... + vn^2)。向量坐标相乘是将两个向量对应分量的乘积相加，这个结果可以是一个标量，也可以是一个矩阵，具体取决于向量的定义和具体运算的规则。

标识（LOGO）作为一种独特的传媒符号，以自己特有的方式传播着特殊的信息，是一种比文字更直观有效的视觉文化语言。网站LOGO在一定程度上代表着网站的形象，应尽量简洁明快，在最短时间内给人留下最深刻的印象。本例我们将练习模仿绘制国外一个网站的LOGO，该LOGO以几何抽象图形构图，运用单纯的一个正六边形为主体，进行复制、移动等变换处理，辅以右侧的网站名称及宣传语，采用红黑两色，构图简洁，颜色明快，是图形类LOGO的典型范例。具体操作步骤如下：1.启动Illustrator CS2中文版，按Ctrl+N打开【新建文档】对话框，输入名称“网站LOGO”，设置画板大小为A4，【取向】为横向，【颜色模式】为【RGB颜色】，具体设置如图2所示。设置完毕单击【确定】按钮。2.按住工具箱中的【矩形工具】不放显示隐藏的工具，然后从中选择【多边形工具】，在画板上单击左键，然后在【多边形】对话框中的【半径】文本框输入10mm，并将【边数】设置为6，如图3所示。设置完毕单击【确定】按钮，得到如图4所示的正六边形。图4 得到正六边形3.如果没有显示【色板】调板，选择菜单命令【窗口】→【色板】使【色板】调板显示在最前端。确认工具箱中现在地填色图标在上，单击【色板】调板中如图5所示的色板“美洲南瓜”，将正六边形的填色设置为红色。4.单击工具箱下方的描边图标，然后单击其下方的【无】按钮，将正六边形设置为无描边。5.选择菜单命令【对象】→【变换】→【旋转】，然后在【旋转】对话框中将【角度】设置为30度，如图6所示。设置完毕单击【确定】按钮。6.如果没有显示【变换】调板，选择菜单命令【窗口】→【变换】使其显示在最前端，查看现在正六边形的宽度，在W右侧的数值便是，如图7所示。因为接下来要将这个图形向右移动并复制出一个副本，使两个图形之间的距离为1mm，所以记下这个数值17.32。7.选择菜单命令【对象】→【变换】→【移动】，在【移动】对话框中的【位置】区域输入【水平】移动距离为18.31mm，其它设置如图8所示，然后单击【复制】按钮，在原来图形的右侧复制出一个副本，使两个图形之间的距离为1mm。使用【选择工具】单击画板空白处取消选择对象可以看到如图9所示的结果。图9 复制出一个图形8.使用【选择工具】重新选中右侧复制出的正六边形。按Ctrl+D键两次重复刚才的移动并复制操作，复制出另外两个正六边形。取消选择对象后的结果如图10所示。9.使用【选择工具】框选这四个正六边形，将它们同时选中。选择菜单命令【对象】→【变换】→【旋转】，在【旋转】对话框中将【角度】设置为-30度，选中【预览】复选框可以看到图形旋转的角度变化，如图11所示。单击【确定】按钮完成旋转。10.下面在这四个正六边形的下方复制出同样的四个正六边形，使其与上方四个正六边形的间距为1mm。保持四个正六边形的选中状态，选择菜单命令【对象】→【变换】→【移动】，然后在【移动】对话框中作如图12所示的设置。将【垂直】设置为-18.32mm是因为每个正六边形的高度是17.32mm（在【变换】调板中的H右侧显示的数值便是），再加上间距 1mm，就能够实现复制出的每个正六边形在原来图形的下方并使间距为1mm。单击【复制】按钮，得到如图13所示的结果。图13 复制得到另外四个正六边形#p#副标题#e#11.保持复制出四个图形的选中状态，按Ctrl+D两次，重复刚才的变换操作，得到如图14所示的结果。12.使用【选择工具】选择不需要的正六边形，按Delete键将其删除，直到得到如图15所示的结构。图16 选中这三个正六边形13.选中如图16所示的三个正六边形，在【色板】调板中单击黑色色板，将其填色改为黑色，结果如图17所示。14.选中所有图形，选择菜单命令【对象】→【编组】，将这些图形编为一组，方便以后的操作。15.在图形编组右侧输入文本，并选择合适的字体，这里使用的是Impact字体，适当调整文本的大小和位置，可以得到最终的LOGO效果，如图18所示。.ai原文件下载#p#副标题#e#

可以从矢量叠加原理和库伦定律推导出高斯定理。矢量叠加原理指的是，多个矢量的合成等于这些矢量分别作用时的效果之和。库伦定律则是描述电荷间相互作用力的定律。在电学中，高斯定理是描述电场与电荷分布之间关系的重要定理。通过矢量叠加原理和库伦定律，可以推导出高斯定理。具体来说，可以将电场看作一个矢量场，然后利用矢量叠加原理将电场分解为许多微小的电场矢量，再利用库伦定律计算每个微小电场矢量对某一点的贡献，最后将所有微小电场矢量的贡献相加，得到该点的总电场强度。这个过程就是高斯定理的基本思想。高斯定理是电学中非常重要的定理，它不仅可以用于计算电场强度，还可以用于计算电通量、电势等。

附录一 矢量分析与场论概念 一．标量场和矢量场 1.1 概念 标量：只有大小而没有方向的量。如电压U 、电荷量Q 、磁通ψ、面积S 等。 矢量：具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。 标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。 矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。 1.2 矢量描述 矢量A 可采用有向线段、文字、单位矢量、分量表示等多种方式来描述。单位矢量用a 表示，其绝对值（大小或长度）为1。在矢量A 方向上的单位矢量可用下式确定： a A = A |A | 用笛卡儿坐标系x 、y 、z 轴的单位矢量i 、j 、k ，可以将任意一个矢量表示为分量形式： A =A X i +A Y j +A z k 根据各分量含义，矢量的绝对值定义为： A = 22A x +A y +A z 2 1.3 场的" 场图" 表示 研究标量和矢量场时，用“场图”表示场变量在空间逐点演变的情况具有很大的意义。 对标量场Ф(r ) ，用等值面图表示。空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面，例如气象图上的等压线，地图上的等高线等。显然，等值面的方程式为Ф(r )=常数值 。 对矢量场F (r ) ，则用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布，称为力线或流线。 力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同，即d l ⨯F (r )=0, 称为力线的微分方程式。式中d l 为力线切向的一段矢量。 在直角坐标内，力线的微分方程式可写成： dx dy dz == F x (r)F y (r)F z (r)按统一规则，绘制出力线，则既能根据力线确定矢量场中各点矢量的方向，又可根据各处力线的疏密程度，判别出各处矢量的大小及变化趋势。 1.4 矢量代数 1.4-1 加减运算 作图法：遵循平行四边形法则 分量法： 附图1 力线图 A ± B =(A x ±B x )i +(A y ±B y )j +(A z ±B z )k 1.4-2 点积运算（标量积、内积） 公式： A ∙B =A x B x +A y B y +A z B z =ABcos θ 特点： A ∙B =B ∙A , |A |= A ∙A 0≤θ≤1800 n 0 1.4-3 求矢量积 （叉积、外积） 公式： A ⨯B =(A B s i )n 0 θn 用行列式表示为 θ A i A ⨯B =A x B x j A y B y k A z B z 附图2 矢量积图示（按右手螺旋关系） =(A y B z -A z B y )i +(A z B x -A x B z )j +(A x B y -A y B x )k 特点： A ⨯B =-B ⨯A 1．4-4 矢量运算满足结合律、分配律和交换律 A ±(B ±C )=(A ±B )±C m (A ±B )=m A ±m B , (m 1±m 2) A =m 1A ±m 2A A ±B =B ±A 二．坐标系 2.1-1 概念 空间中任一点与有序数u 1、u 2、u 3一一对应，则称 u 1、u 2、u 3为空间点的曲线坐标。 特点：坐标曲线相互正交，且符合右手定则，即 e u 1⨯e u 2=e u 3, e u 2⨯e u 3=e u 1, e u 3⨯e u 1=e u 2 其中：e 表示为某一空间点的曲线坐标上的单位矢量。 2.1-2 三种常用的坐标系 常用的正交坐标系有三种：直角坐标系(x 、y 、z ；i 、j 、k ) ，圆柱坐标系(r、α、z ；r 0、α0、k 0) 及球坐标系(r、θ、α；r 0、θ 0、α0) 。 如附图3所示。 在以上三种坐标系中，一个矢量可以用三个相互正交的分量表示为 A =A x i +A y j +A z k 直角坐标系 A =A r r 0+A αα0+A z k 圆柱坐标系 A =A r r 0+A θθ0+A αα0 圆球坐标系 附图3 圆柱坐标系和球坐标系 2.1-3 微分体积元、微分面积元和微分线元 在三个坐标系中微分体积元dv 的表达式由附图4给出 x (a ) 直角坐标系 z y (b ) 圆柱坐标系 附图4 (c ) 圆球坐标系 dv =dxdydz 直角坐标系 dv =rdrd αdz 圆柱坐标系 dv =r 2sin θdrd θd α 圆球坐标系 由附图4也可求出包围微分体积的各面积元的面积，如在球坐标系中，垂直于r 0的微分面积元为 dS =(rd θ)(rsin θd α)=r 2sin θd θd α 微分线元d l 是通过Q 点处增量长方体对角线长度，有 dl = 直角坐标系 dl = 圆柱坐标系 dl 圆球坐标系 三．矢量的通量、散度 3.1 矢量的通量 面元矢量：有两种情况 d S 为一个开表面上的面元，其方向与围成该开表面的闭合回路的方向呈右螺旋关系。 d S 为一个闭合面上的面元，其方向为该闭合面的外法线方向，如附图5所示。 n (a ) 开表面 (b ) 闭合表面 附图5面元矢量 通量定义：矢量A 沿某一有向曲面S 的面积分为A 通过S 的通量，即 ψ= A ⋅d S S 物理意义：矢量通过闭合面的通量反映了闭合面内源的性质。 3.2 矢量的散度 目的：研究闭合面内每一点附近的通量。 定义：在矢量场A 中，围绕Q 点做一闭合面，所围体积为∆v ，若垂直穿过闭合面的通量与∆ v之比的极限存在，则该极限称为矢量场A 在Q 点的散度，即 div A =lim A ⋅d S S ∆v →0 ∆v 物理意义：矢量的散度是通量体密度，即通过包围单位体积闭合面的通量。 计算公式：在附图6所示的直角坐标系中，我们以所研究的点(x,y,z ) 为顶点作一个平行六面体，其三个边分别为∆x ，∆y 和∆z ，分别计算三对表面穿出的A 的通量。 从左，右一对表面穿出的净通量等于 ∂A y ∂A y ⎛⎫ ⎪-A ∆x ∆z +A +∆y ∆x ∆z =∆x ∆y ∆z y y ⎪∂y ∂y ⎝⎭ 附图6 在直角坐标系中计算散度图示 从上，下一对表面穿出的净通量等于 ∂A z ∂A z ⎛⎫ -A z ∆x ∆y + A z +∆z ⎪∆x ∆y =∆x ∆y ∆z ∂z ∂z ⎝⎭从前，后一对表面穿出的净通量等于 ∂A x ∂A x ⎛⎫ -A x ∆y ∆z + A x +∆x ⎪∆y ∆z =∆x ∆y ∆z ∂x ∂x ⎝⎭故从六面体穿出的净通量等于 ⎛∂A x ∂A y ∂A z ⎫⎛∂A x ∂A y ∂A z ⎫ ⎪⎪++∆x ∆y ∆z = ++ ψ=A ⋅d S = ⎪ ⎪∆v ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ⎝⎭⎝⎭S 令∆ v→0，则 div A =lim 引入哈密尔顿算符 ∇=所以 A ⋅d S S ∆v →0 ∆v = ∂A x ∂A y ∂A z ++ ∂x ∂y ∂z ∂∂∂ i +j +k ∂x ∂y ∂z ∂A x ∂A y ∂A z ++=∇⋅A div A =∂x ∂y ∂z 3.3 （高斯）散度定理 考虑由任意曲面发出的通量，则有 A ⋅d S =⎰⎰⎰div A dv =⎰⎰⎰∇⋅A dv S v v 上式为散度定理表达式，等式左边表示通过S 面发出的总通量，等式右边则表示S 所包围的体积V 内向外发出的总通量，显然两边应该相等。 证明：将闭合面S 所围的体积dv 分成许多体积元，计算包围每个体积元的小闭合面上穿出的A 的通量，然后叠加。 由散度的定义式 div A =∇⋅A =lim A ⋅d S S ∆v →0 ∆v 得 A ⋅d S S i i =∇⋅A dv i 由于相邻两体积元有一个公共表面，这个公共表面上的通量对这两个体积元来说恰好等值异号，求和时就相互抵消了。除了邻近S 面的那些体积元外，所有体积元都是由几个与相邻体积元的公共表面包围而成的，这些体积元的通量总和为零。而邻近S 面的那些体积元，它们有部分表面是S 面上 的面元，这部分表面的通量没有被抵消，其总和刚好等于从闭合面S 穿出的通量。故得到 A ⋅d S =∑A ⋅d S S i S i i =⎰⎰⎰∇⋅A dv v 四．矢量的环流、旋度 4.1 矢量的环流 定义：矢量A 沿某一有向闭合曲线 l 的线积分为A 沿l 的环流，即 A ⋅d l l 物理意义：矢量沿闭合曲线的环流反映了闭合曲线内源的性质。 4.2 矢量的旋度 目的：研究闭合曲线内每一点处的环流。 定义：在矢量场A 中，围绕Q 点做一闭合回路，所围面积为∆S ，A 的旋度是矢量，其大小为∆S →0 时环流面密度的最大值，其方向为使环流面密度取最大值时面元的法线方向，即 rot A =Curl A =∇⨯A =lim A ⋅d l l ∆S →0 ∆S max n 0 物理意义：矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。 4.3 旋度计算公式： 如附图8示，以M 为顶点，取一个平行于yz 平面的矩形面元，则面元矢量与x 轴平行，其模用 ∆S x 表示。则M 点的矢量A 为 A =A x i +A y j +A z k A 沿图示矩形回路l 的积分为 S 附图7 矢量的旋度在面元矢量上的投影 ∂A z dy y + ∂A y ∂z dz ⎛⎫∂A z ⎪A ⋅d l =A ∆y +A +∆y ∆z y z ⎪∂y ⎝⎭l ∂A y ⎛⎫ ⎪-A +∆z ∆y -A z ∆z y ⎪∂z ⎝⎭⎛∂A z ∂A y ⎫= ∂y -∂z ⎪⎪∆y ∆z ⎝⎭ 故， A y 附图8 在直角坐标系中计算旋度 ∆S x →0 lim A ⋅d l l ∆S x = ∂A z ∂A y - ∂y ∂z 由上所述，此极限是rot A 在i ∆S x 上的投影，也即rot A 在x 轴上的投影。相似地，取面元∆S y , ∆S z 分别平行于y 轴和z 轴，用与上面相同的运算得到rot A 在y 轴和z 轴上的投影。所以 i j k ⎛∂A z ∂A y ⎫⎛∂A x ∂A z ⎫⎛∂A y ∂A x ⎫∂∂∂ ⎪ ⎪rot A =∇⨯A == -i +-j +-k ⎪ ⎪ ⎪∂x ∂y ∂z ∂z ⎭⎝∂z ∂x ⎭∂y ⎭⎝∂y ⎝∂x A x A y A z 推论：任一矢量的旋度的散度恒为零，即 ∇⋅(∇⨯A )=0 4.4 斯托克斯定理 考虑沿任一闭合曲面的环量，可得 l A ⋅d l =⎰⎰(rot A )⋅d S l S 证明：将闭合回路 l 所围的面积S 分成许多面元，计算沿包围每个面积元的小闭合回路d l i 上的A 的环流，然后叠加。应用旋度矢量的定义式可得 A ⋅d l l i i =∇⨯A ⋅d S i 附图9 沿大回路的环流的计算 可以看出，将上式所有环流相加时，各个小回路在公共边上的那部分积分相互抵消（因为相邻小回路在公共边界上积分方向一定相反），仅在没有公共边的部分没有抵消，故所有小回路环流的总和等于沿大回路l 的环流，即 ∑A ⋅d l i l i i =A ⋅d l l 该式左边当无限多个无限小的面元相加时，可以写为 ∑∇⨯A ⋅d S S i i =⎰⎰∇⨯A ⋅d S S 从而证明了斯托克斯定理。 五．标量的梯度 5.1概念 由求等值面的最大变化率引出标量的梯度概念。 定义：标量场u 在某点的梯度是一个矢量，其方向为u 增加最大的方向，即等值面法线方向；其大小等于u 在该方向上的增加率，即最大增加率，如附图10所示。 物理意义：标量的梯度表示了标量u 增加率的最大值及方向。 计算公式： ∂u 0 grad u =∇u =grad u n 0=n ∂n u +du u r r +dl (a ) 标量场 (b ) u 沿不同方向的变化率 附图10 标量场与梯度 5.2 梯度与方向导数的关系： 标量沿某一方向的方向导数等于标量的梯度在该方向上的投影，即 du du dl n ==∇u cos θ=∇u ⋅n 0 dl dl n dl 特点：∇u 是矢量，与坐标系无关，∇u 与u 的等位面正交。 推论：任一标量的梯度的旋度恒为零，即 ∇⨯(∇u )=0 六．亥姆霍兹定理 6.1 亥姆霍兹定理： 位于空间有限区域内的矢量场，当它的散度，旋度以及它在区域边界上的场分布给定之后，该矢量场就被唯一确定；对于无限大空间，如果矢量在无限远处减少至零，则该矢量由其散度和旋度唯一确定。 6.2 几个场的名称和性质 6.2-1保守场 ∇u 沿线积分与路径无关，沿闭合回路的积分为零。即 p 2 p 1 ⎰∇u ⋅d l =u (p 2 ) -u (p 1) 则∇u 称为保守场，u 称为保守位场。 6.2-2 无旋场 旋度为零的矢量场叫做无旋场。 标量函数的梯度是无旋场，如静电场。 无旋场的散度不能处处为零。 6.2-3 无散场 散度为零的矢量场叫做无散场。 矢量的旋度是无散场，如恒定磁场。 无散场的旋度不能处处为零。 6.2-4 一般场 既有旋度，又有散度的矢量场。 这个矢量场可以表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和，即 F (r ) =F 1(r ) +F 2(r ) 其中F 1(r ) 为无旋度分量，其散度不为0，设为ρ (r ) ，F 2(r ) 为无散度分量，而它的旋度不为0，设为J (r ) ，因此有: ∇⋅F (r ) =∇⋅(F 1(r ) +F 2(r ) )=∇⋅F 1(r ) =ρ(r ) 和 ∇⨯F (r ) =∇⨯(F 1(r ) +F 2(r ) )=∇⨯F 2(r ) =J (r ) 如上可见，F (r ) 的散度代表着形成矢量场的一种“源”ρ (r ) ，而的旋度则代表着形成的另一种“源”J (r ) 。一般当这两类源在空间的分布确定时，矢量场本身也就唯一的确定了。这一规律即为亥姆霍兹定理。由亥姆霍兹定理可知，对矢量场的研究应从散度和旋度两方面进行。散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本微分方程，通量方程和环流方程组成了矢量场的基本积分方程。 七．常用矢量分析公式 设u 、v 为标量（数量），A 、B 为矢量，则有 ∇(uv ) =u ∇v +v ∇u ∇⋅(u A ) =∇u ⋅A +u ∇⋅A ∇⨯(u A ) =∇u ⨯A +u ∇⨯A ∇(A ⋅B ) =(A ⋅∇)B +(B ⋅∇)A +A ⨯(∇⨯B )+B ⨯(∇⨯A )∇⋅(A ⨯B ) =B ⋅(∇⨯A )-A ⋅(∇⨯B ) ∇⨯(A ⨯B ) =A (∇⋅B )-(A ⋅∇)B +(B ⋅∇)A -(∇⋅A )B ∇⨯(∇⨯A ) =∇(∇⋅A )-∇2A ∇⨯(∇u ) =0∇⋅(∇⨯A ) =0 ⎰⎰⎰∇udV =ud S v s ⎰⎰⎰(∇⋅A )dV =A ⋅d S v s ⎰⎰⎰(∇⨯A )dV =(n v s ⨯A d S ) ⎰⎰(n s s ⨯∇u d S =ud l l l ) ⎰⎰(∇⨯A )⋅d S =A ⋅d l 2 u ∇v ⋅d S =u ∇⎰⎰⎰v +∇u ∇v dV s v () ∂u ⎫⎛∂v 22u -v dS =u ∇v -v ∇u dV ⎪⎰⎰⎰∂n ∂n ⎭s ⎝v () 八．梯度、散度、旋度及∇ 算符在柱坐标和球坐标系的表达式 8.1 柱坐标系 ∇U = ∂U r 0+∂U α0+∂U k ∂r ∂α∂z ∇⋅A =1∂ r ∂r (rA 1∂A α∂A z r ) +r ∂α+ ∂z 10r r α01∂ ∂r k ∂∇⨯A =∂r ∂α∂z A r rA α A z 2 1∂∂U 1∂2U ∂2∇U =r ∂r (r U ∂r ) +r 2∂α2 +∂z 2 ∇2A =r 0⎛ 2∂A A r ⎫⎛ 2∂A A ε⎫⎝∇2A αr -r 2∂α-r 2⎪⎭+α0 ⎝ ∇2A r α+r 2∂α-r 2⎪⎭+k (∇2A z ) 8.2 球坐标系 ∇U =∂U 01∂U 01∂U ∂r r +r ∂θθ+rsin θ∂αα0 ∇⋅A =1∂21∂ r 2∂r (r A r ) +rsin θ∂θ(A θsin θ)+1∂A α rsin θ∂α 1 r 2sin r 01θ010 ∂θrsin ∂θr α ∂ ∇⨯A =∂r ∂θ∂α A r rA θr s i θn A α 2U =1∂2∂U 1∂⎛∂U ⎫1∂2∇U r 2∂r (r ∂r ) +r 2s i n θ∂θ ⎝s i n θ∂θ⎪⎭+r 2s i n 2θ∂α2∇2A =r 0⎛ ∇2A ⎫ ⎝r -2⎛ r 2 ⎝A ∂A α∂A θ r +A θc t g θ+c s θc ∂α+∂θ⎪⎫ ⎭⎪⎪⎭ +θ0⎛ ⎝∇2A θ-1⎛ r 2 ⎝A θc s c 2θ-2∂A α ∂θ+2c t g θ⋅c s θc ∂A ε⎫⎫ ∂α⎪⎭⎪⎪⎭ +α0⎛ 21⎛2∂A r ∂A θ⎫⎫ ⎝∇A α-r 2 ⎝A αc s c θ-2c s θc ∂α-2c t g θ⋅c s θc ∂α⎪⎭⎪⎪⎭ 11

高中物理八大矢量有：力、速度、加速度、位移、冲量、动量、电场强度、磁感应强度等。直观上，矢量通常被标示为一个带箭头的线段。线段的长度可以表示矢量的大小，而矢量的方向也就是箭头所指的方向。物理学中的位移、速度、力、动量、磁矩、电流密度等，都是矢量。矢量的大小比较一般来说，矢量只有在同方向上才可比较大小，不同方向上的矢量一般不能比较大小。矢量规律的总结，基于人们对空间广义的对称性的理解。矢量所根据的对平移与转动的对称性（不变性）。对迄今发现的所有规律均有效。使用矢量分析方法，叫数学分析，相当于知道结论推过程，十分方便。这种方法具有极大的创造性，对物理研究或许有所启发。

千万别放弃 一个过来人给你的忠告，不懂的可以问我！！！千万别放弃

9 随后我们给这个图形也上色，同样使 G radient 面板，在这里我采用的圆行渐变模式。10．这一步我们准备为这个“面板”增加一些高光。先复制一个同样的图形填充为白色置于此“面板”下方。11．随后再复制一个同样的图形置此“面板”上方，并适当缩小一些，采用黑白两色线性渐变填充。12．随后同时选中此黑白渐变图形以及下面的“面板”图形，打开 Transparncy 面板，点击面板右下方的小箭头在弹出菜单中使 用 Make Opacity Mask13．同时取消 Clip 选中状态，并勾选 Invert Mask 选项，这样我们就为这个“面板”图形增加了一个透明蔗遮罩，在这种状态下，黑白渐变图形（已被作为 Opacity Mask 中的图形）黑色部分表示了被遮物体（面板）的透明部分，所以刚才我们为“面板”下方添加的同样大小的白色图形是为了怕背景是有色的或是下方还会有其他物体从透明的“面板”透出。编辑 Opacity Mask 中的物体需要点击 Transparency 面板中的 Opacity Mask 区域再进行编辑。14．下面开始为这个面板添加一个屏幕。复制一个图形置于“面板”上方，大小如图，也采用线性渐变，因为光照方向原因。注意深色和浅色的方向和“面板”方面：我们在这里做个凹槽效果。15．如果理解了透明遮罩的原理，这一步对你非常简单，和上面给“面板”加高光一样首先复制白色底色以及蓝色面板，随后用黑白色渐变图形制作透明遮罩效果，各图形层次如图所示。16．蓝色面板的色彩填充我采用的圆形填充，如图所示。17．下面为这个基本成型的平板电脑增加更多细节，左边的图形，以及右边的三个凹槽，这里需要注意的是所有图形我都复制了两遍，下面的图形填充白色并向右下方位移若干像素，是为了体现凹槽的高光。18．下面我们来制作凹槽上面的按钮，虽然面积很小，也要体现出高光的渐变，我在这里采用了 Blend 混合来制作着两个按钮。双击 Blend Tool 图标可以调出 Blend 混合参数面板。选取工具栏目中的 Blend Tool ，单击混合的第一个图形，随后点击第二个图形完成混合。19．用钢笔工具以及各种标准图形的组合完成下面的图形，使之组合成为电脑上的其他各个元素（绿色按钮同样采用 Blend 混合完成）

 

这两个是同一个概念，彼此没有差别，指的是同一个东西

没错啊，楼主再找老师确认下。因为任意两个不平行的向量都可以表示其他的向量。

我也是额！不过老师说向量最简单额！空间向量学了没

必修1 第一章 集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算3.1 交集与并集3.2 全集与补集第二章 函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识2.1 函数概念2.2 函数的表示法2.3 映射 §3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究4.1 二次函数的图像4.2 二次函数的性质§5 简单的幂函数课题学习 个人所得税的计算第三章 指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质2.1 指数概念的扩充2.2 指数运算的性质§3指数函数3.1 指数函数的概念3.2 指数函数 和 的图像和性质3.3 指数函数的图像和性质§4 对数4.1 对数及其运算4.2 换底公式§5 对数函数5.1 对数函数的概念5.2 y=log2x的图像和性质5.3 对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章 函数应用§1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在1.2 利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模2.1 实际问题的函数刻画2.2 用函数模型解决实际问题2.3 函数建模案例必修2第一章 立体几何初步§1 简单几何体 1.1 简单旋转体1.2 简单多面体§2 直观图§3 三视图3.1 简单组合体的三视图3.2 由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理4.1 空间图形基本关系的认识4.2 空间图形的公理§5 平行关系5.1 平型关系的判定5.2 平行关系的性质§6 垂直关系6.1 垂直关系的判定6.2 垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积7.1 简单几何体的侧面积7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课题学习 正方体截面的形状第二章 解析几何初步§1 直线与直线的方程1.1 直线的倾斜角和斜率1.2 直线的方程1.3 两条直线的位置关系1.4 两条直线的交点1.5 平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程2.2 圆的一般方程2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系3.1 空间直角坐标系的建立3.2 空间直角坐标系中点的坐标3.3 空间两点间的距离公式必修3第一章 统计§1 从普查到抽样§2 抽样方法2.1 简单随机抽样2.2 分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的数字特征4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差4.2 标准差§5 用样本估计总体5.1 估计总体的分布5.2 估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计第二章 算法初步§1 算法的基本思想 1.1 算法案例分析1.2 排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计2.1 顺序结构与选择结构2.2变量与赋值2.3 循环结构§3 几种基本语句3.1 条件语句3.2 循环语句第三章 概率§1 随机事件的概率 1.1 频率与概率1.2 生活中的概率§2 古典概型2.1 古典概型的特征和概率计算公式2.2 建立概率模型2.3 互斥事件§3 模拟方法—概率的应用必修4第一章 三角函数§1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2 单位圆与周期性4.3 单位圆与诱导公式§5 正弦函数的性质与图像 5.1 从单位圆看正弦函数的性质5.2 正弦函数的图像5.3正弦函数的性质§6 余弦函数的性质与图像6.1正弦函数的图像6.2 正弦函数的性质§7 正切函数7.1 正切函数的定义7.2 正切函数的图像与性质7.2 正切函数的诱导公式§8 函数y=Asin 的图像§9 三角函数的简单应用第二章 平面向量§1 从位移、速度、力到向量1.1 位移、速度、和力1.2 向量的概念§2 从位移的合成到向量的加法2.1 向量的加法2.2 向量的减法§3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量3.2 平面向量基本定理 §4 平面向量的坐标 4.1 平面向量的坐标表示4.2 平面向量线性运算的坐标表示4.3 向量平行的坐标表示§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例 7.1 点到直线的距离公式7.2 向量的应用举例第三章 三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数2.1 两角差的余弦函数2.2 两角和与差的正弦、余弦函数2.3 两角和与差的正切函数§3 二倍角的三角函数必修5第一章 数列§1 数列1.1 数列的概念1.2 数列的函数特征§2 等差数列2.1 等差数列2.2 等差数列的前n项和§3 等比数列3.1 等比数列3.2 等比数列的前n项和§4 数列在日常经济生活中的应用第二章 解三角形§1 正弦定理与余弦定理1.1 正弦定理 1.2 余弦定理§2 三角形中的几何计算§3 解三角形的实际应用举例第三章 不等式§1 不等关系1.1 不等关系1.2 比较大小§2 一元二次不等式2.1 一元二次不等式的解法2.2 一元二次不等式的应用§3 基本不等式3.1 基本不等式3.2 基本不等式与最大（小）值§4 简单线性规划4.1 二元一次不等式（组）与平面区域4.2 简单线性规划4.3 简单线性规划的应用选修1-1第一章 常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件2.1 充分条件2.2 必要条件2.3 充要条件§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题3.3 全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”或“非”4.1 逻辑联结词“且”4.2 逻辑联结词“或”4.3 逻辑联结词“非”第二章 圆锥曲线与方程§1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程1.2 椭圆的简单性质§2 抛物线2.1 抛物线及其标准方程2.2 抛物线的简单性质§3 双曲线3.1双曲线及其标准方程3.2双曲线的简单性质第三章 变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念2.2 导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则4.1 导数的加法与减法法则4.2 导数的乘法与除法法则第四章 导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性1.2 函数的极值§2 导数在实际问题中的应用2.1 实际问题中的导数的意义2.2 最大值、最小值问题选修1-2第一章 统计案例§1 回归分析1.1 回归分析1.2 相关系数1.3 可线性化的回归分析§2 独立性检验2.1 条件概率与独立事件2.2 独立性检验2.3 独立性检验的基本思想2.4 独立性检验的应用第二章 框图§1 流程图§2 结构图第三章 推理与证明§1 归纳与类比1.1 归纳推理1.2 类比推理§2 数学证明§3 综合法与分析法3.1 综合法3.2 分析法§4 反证法第四章 数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入1.1 数的概念的扩展1.2 复数的有关概念§2 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法选修2-1第一章 常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件 2.1 充分条件2.2 必要条件2.3 充要条件§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题3.3 全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”“或”“非” 4.1 逻辑联结词“且”4.2 逻辑联结词“或”4.3 逻辑联结词“非”第二章 空间向量与立体几何 §1 从平面向量到空间向量§2 空间向量的运算§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2 空间向量基本定理3.3 空间向量运算的坐标表示§4 用向量讨论垂直与平行§5 夹角的计算5.1 直线间的夹角5.2 平面间的夹角5.3 直线与平面的夹角§6 距离的计算第三章 圆锥曲线与方程§1 椭圆 1.1 椭圆及其标准方程1.2 椭圆的简单性质§2 抛物线2.1 抛物线及其标准方程2.2 抛物线的简单性质§3 双曲线3.1双曲线及其标准方程3.2双曲线的简单性质§4 曲线与方程4.1 曲线与方程4.2 圆锥曲线的共同性质4.3 直线与圆锥曲线的交点选修2-2第一章 推理与证明§1 归纳与类比1.1 归纳推理1.2 类比推理§2综合法与分析法2.1 综合法2.2 分析法§3 反证法§4 数学归纳法第二章 变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念2.2 导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则4.1 导数的加法与减法法则4.2 导数的乘法与除法法则§5 简单复合函数的求导法则第三章 导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性1.2 函数的极值§2 导数在实际问题中的应用2.1 实际问题中的导数的意义2.2 最大值、最小值问题第四章 定积分§1 定积分的概念1.1 定积分的背景—面积和路程问题1.2 定积分§2 微积分基本定理§3 定积分的简单应用3.1 平面图形的面积3.2 简单几何体的体积第五章 数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入1.1 数的概念的扩展1.2 复数的有关概念§2 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法选修2-3第一章 计数原理§1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.1 分类加法计数原理1.2 分步乘法计数原理§2 排列§3 组合§4 简单计数问题§5 二项式定理5.1 二项式定理5.2 二项式系数的性质第二章概率§1 离散型随机变量及其分布列§2 超几何分布§3 条件概率与独立事件§4 二项分布§5 离散型随机变量的均值与方差§6 正态分布6.1 连续型随机变量6.2 正态分布第三章统计案例§1 回归分析 1.1 回归分析1.2 相关系数1.3 可线性化的回归分析 §2 独立性检验2.1独立性检验2.2独立性检验的基本思想2.3独立性检验的应用选修3-1数学史选讲第一章 数学发展概述§1 从数学的起源、早期发展到初等数学形成§2 从变量数学到现代数学第二章 数与符号 §1 数的表示与十进制§2 数的扩充§3 数学符号第三章 几何学发展史§1 从经验几何到演绎几何§2 投影画与射影几何§3 解析几何第四章 数学史上的丰碑——微积分§1 积分思想的渊源§2 圆周率§3 微积分第五章 无限§1 初识无限§2 实数集的基数第六章 明题赏析§1 费马大定理§2 哥尼斯堡七桥问题§3 高次方程§4 中国剩余定理§5 哥德巴赫猜想选修3-3 球面上的几何2007年5月第2版 2009年5月第5次印刷第一章 球面的基本性质§1 直线、平面与球面的位置关系§2 球面直线与球面距离第二章 球面上的三角形§1 球面三角形1.1 球面上两直线的交角1.2 球面上的对称性1.3 球面三角形1.4 球面三角形的基本性质1.5 球面极三角形§2 球面三角形的全等§3 球面三角形的边角关系3.1 平面三角形的余弦定理和正弦定理3.2 球面三角形边的余弦定理3.3 球面三角形角的余弦定理和正弦定理§4 球面三角形的面积4.1 球面二角形4.2 球面三角形的面积第三章 欧拉公式与非欧几何§1 球面上的欧拉公式1.1 球面三角部分1.2 球面上的欧拉公式1.3球面上欧拉公式证明§2 简单多面体的欧拉公式2.1 凸多面体和简单多面体2.2 简单多面体的欧拉公式的证明§3 欧氏几何与球面几何的比较3.1 欧氏几何与球面几何的区别与联系3.2 另一种非欧几何选修4-1几何证明选讲2008年5月第3版 2009年5月第3次印刷第一章 直线、多边形、圆§1 全等与相似 1.1 图形变化的不变形 1.2 平移、旋转、反射 1.3 相似与位似 1.4 平行线分线段成比例定理1.5 直角三角形的射影定理§2 圆与直线2.1 圆周角定理2.2 圆的切线的判定和性质2.3 弦切角定理2.4 切割线定理2.5 相交弦定理§3 圆与四边形 3.1 圆内接四边形3.2 托勒密定理第二章 圆锥曲线§1 截面欣赏§2 直线与球、平面与球的位置关系 2.1 直线与球的位置关系 2.2 平面与球的关系§3 柱面与平面的截面 3.1 柱面、旋转面 3.2 垂直截面 3.3 一般截面§4 平面截圆锥面 4.1 圆锥面 4.2 垂直截面 4.3 一般截面§5 圆锥曲线的几何性质选修4-22008年6月第3版 2009年5月第3次印刷第一章 平面向量与二阶方阵§1 平面向量及向量的运算§2 向量的坐标表示及直线的向量方程§3 二阶方阵与平面向量的乘法第二章 几何变换与矩阵§1 几种特殊的矩阵变换§2 矩阵变换的性质第三章 变换的合成与矩阵乘法§1变换的合成与矩阵乘法§2 矩阵乘法的性质第四章 逆变换与逆矩阵§1 逆变换与逆矩阵§2 初等变换与逆矩阵§3 二阶行列式与逆矩阵§4 可逆矩阵与线性方程组第五章 矩阵的特征值与特征向量§1 矩阵变换的特征值与特征向量§2 特征向量在生态模型中的简单应用选修4-4坐标系与参数方程2007年5月第2版 2009年5月第5次印刷第一章 坐标系§1 平面直角坐标系 1.1 平面直角坐标系与曲线方程 1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换§2 极坐标系 2.1 极坐标系的概念2.2 点的极坐标与直角坐标的互化2.3 直线与圆的极坐标方程2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程§3 柱坐标系和球坐标系第二章 参数方程§1 参数方程的概念§2 直线和圆锥曲线的参数方程2.1 直线的参数方程2.2 圆的参数方程2.3 椭圆的参数方程2.4 双曲线的参数方程§3 参数方程化成普通方程§4 平摆线和渐开线4.1 平摆线4.2 渐开线选修4-5【不等式选讲】2007年5月第2版 2009年5月第5次印刷第一章 不等关系与基本不等式§1 不等式的性质§2 含有绝对值的等式§3 平均值不等式§4 不等式的证明§5 不等式的应用第二章 几个重要的不等式§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 数学归纳法与贝努利等式

请问整数的加法是不是“定义”出来的？要真的从数学上明确定义“加法”和“乘法”，必须用到群论。从一般的角度来讲，任何一个理论体系的公理，定义都是不能证明的。比如欧几里得几何“两点之间有且仅有一条直线”，甚至“直线”和“圆”的存在在欧式几何里都是必须先假定其存在而不能证明其存在的。 平面向量理论在数学上是可以从一套公理体系导出的，在数学上来说是自洽的。因此作为一种数学理论，它是正确的。至于他是否能描述我们这个世界，这是物理学家的事。而你也知道它能很好的描述低速的经典物理，那它就是有用的。数学家找到所有可能的宇宙，而物理学家则是寻找我们这个宇宙的规律。 今天正好听到一句名言。“几何学是不真实的，但它是有用的”------亨利 庞加莱（被称为数学史上最后一个通才，即通晓所在时代所有数学的最后一人）

| b |*cosΘ。向量a·向量b=| a |*| b |*cosΘ，Θ为两向量夹角，| b |*cosΘ叫做向量b在向量a上的投影，| a |*cosΘ叫做向量a在向量b上的投影。相关信息：一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数量。当θ为锐角时，它是正值；当θ为直角时，它是0；当θ为钝角时，它是负值；当θ=0°时，它等于|b|；当θ=180°时，它等于-|b|。设单位向量e是直线m的方向向量，向量AB=a，作点A在直线m上的射影A"，作点B在直线m上的射影B"，则向量A"B"叫做AB在直线m上或在向量e方向上的正射影，简称射影。

去百度知道帮人家做做题就好啦。。。