线性代数中内积的概念

向量内积公式如下所示：已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2。扩展资料：数量积的性质：设a、b为非零向量，则：①设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a=a·e=|a|cosθ。②a⊥b=a·b=0。③当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·a=|a|2=a2或|a|=√a·a。④|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a与b共线时，即a∥b时等号成立。

向量的内积（点乘／数量积），是对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作。内积（点乘）的几何意义包括：表征或计算两个向量之间的夹角；向量在a向量方向上的投影。介绍：点乘两个向量在数学中可以表示为A·B，两个向量的点乘会得到一个数，我们在这里讨论的都是实数范围内的向量乘法，点乘是让每个向量的各个部分分别求积后再加起来，叉乘同样也是对两个向量进行操作。与点乘不一样的是，相较于点乘的结果是个数字，叉乘的结果是一个向量，并且，得到的这个向量同时垂直于参与进行叉乘的两个向量。

向量内积就是向量的数量积，又称为向量的"点积"。内积的结果是"标量"(数量)，向量内积数向量数学的一种重要类别，在解决向量问题时，非常有用。例如利用向量内积公式判断向量的平行或垂直问题，利用向量内积公式wiu两个向量的夹角等。点积的值：u的大小、v的大小、u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下，点积如果为负，则u,v形成的角大于90度；如果为零，那么u,v垂直；如果为正，那么u,v形成的角为锐角。两个单位向量的点积得到两个向量的夹角的cos值，通过它可以知道两个向量的相似性，利用点积可判断一个多边形是面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物体离光照的轴线越近，光照越强。

向量的内积即为向量的的数量积，相对应的是向量的外积，也就是向量的向量积。向量积（或称“叉积”）的结果是一个向量，点积或称“内积”的结果是“数量”，又称“标量”。在数学中，数量积（dot product; scalar product，也称为点积）是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。向量的内积的公式是a*b=|a|·|b|·Sin(a和b所成的夹角度数)。向量是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念，指一个同时具有大小和方向，且满足平行四边形法则的几何对象。在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。

向量的内积是一个数量，其大小为：︱a︱︱b︱cosα在证明某些命题时，用向量的内积特别方便。更多关于内积的奥秘不是一两句话可以说得清。

把学过的数学知识整理一下，虽然一时用不到，但相信将来的某个时间点，会有用武之地的。 向量的积有2种： 数量积（也叫内积，点积）， 是数量，是实数 向量积（也叫外积，差积）， 是向量 别名这么多，烦它，特此整理一下。 向量是有方向的线段。 向量的表示有2种： 数量积的几何意义是： 可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及b向量在a向量方向上的投影。 PS：向量a的模长： 向量积的几何意义是： 两个不共线的非零向量所在平面的一组法向量。 用法向向量的模长来表示向量积： 用坐标来表示向量积： 行列式表示法，不好理解，但好计算。 关于行列式的计算，在下面的章节里进行了详细介绍。 学习行列式之前，必须先了解逆序数。 逆序数：某数前比它大的数的个数之和。 例如：3 2 5 1 4 的逆序数是5。 计算过程： 3之前没有比3大的数，个数是0 2之前比2大的数有3，个数是1 5之前没有比5大的数，个数是0 1之前比1大的数有3，2，5，个数是3 4之前比4大的数有5，个数是1 个数总和是：0+1+0+3+1 = 5， 所以3 2 5 1 4 的逆序数是5。 行列式的计算有2种方法，推荐方法2。 2行2列行列式的计算方式： 对角线元素相乘再相减。 关于向量积（外积，差积）的行列式表示法，至此介绍完了。 终于说完【1.4.1.3 行列式表示法】的行列式计算方式了。

内积就是点积在数学中又称数量积如果两个向量写成了a =(a1, a2,…, an)和b=(b1, b2,…, bn)内积就得到a·b=a1b1+a2b2+……+anbn而在二元或者三元向量里也可以a·b=|a||b|cos<a,b>

向量内积a.b代表两个向量对应坐标值相乘后相加，得到的是一个数。数值上等于两向量长度积乘以夹角的余弦几何上的应用：可以求两向量夹角；如果两向量内积为零，说明两向量垂直；一个向量对自己内积开方后是该向量长度向量外积a×b得到的是一个向量，一个行列式，以三维向量为例，等于|i   j   k ||a1  a2  a3||b1  b2  b3|长度数值上等于两向量长度积乘以夹角的正弦，方向用右手螺旋定则确定。物理上经常应用于求电磁力几何上的应用：两向量外积等于以两向量为邻边的平行四边形面积，方向为两向量所在平面的法线方向；外积为0，说明两向量平行。向量积性质：叉积的长度 |a×b| 可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。 代数规则：1.反交换律：a×b= -b×a。2.加法的分配律：a× (b+c) =a×b+a×c。3.与标量乘法兼容：(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)。4.不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0。5.分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。6.两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。 拉格朗日公式：这是一个著名的公式，而且非常有用：(a×b)×c=b(a·c) -a(b·c)。a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b)。

[α1,β2]=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4，也就是两个向量的内积（点乘），代入相应的向量即可求出，例如求β2的时候，把β1和α2代入上式，运算即可算出。标准化其实就是单位化，将求出的β1β2β3向量除以他们的范数，也就是根号下b1²+b2²+b3²+b4²。由于把一个正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，所以，上述问题的关键是如何由一个线性无关向量组来构造出一个正交向量组，我们以3个向量组成的线性无关组为例来说明这个方法。施密特正交化括号里算法：施密特正交化中单位化中双括号里的东西是指的向量的模长吧, 如果是向量的模长的话,应该是把向量的各个分量先平方再相加,然后再开算数平方根,就是模长了。而如果施密特正交化中单位化中双括号里的东西是指的向量的内积,那就是把两个向量对应分量相乘再相加,就是内积了。

内积是什么：“内积”即为“点积”，我们通常还称他为数量积。出处：欧几里得空间的标准内积。数学解释：两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。通俗理解：使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1 矩阵，点积还可以写为a·b=a^T*b，这里的a^T指示矩阵a的转置。属于二元运算类型，点积的三个值为u、v、u,v夹角的余弦。

向量内积（点乘） a.b=x1*y1+x2*y2 其中a（x1,x2） b(y1,y2) 结果是标量 一个数值向量外积（叉乘） a×b=|a|*|b|*sin<a,b> 结果是一个向量（矢量）

内积就是两个向量对应点相乘然后相加。

定义：设有n维向量 向量内积(1张) 向量α与β的内积,内积（inner product）,又称数量积（scalar product）、点积（dot product） 他是一种矢量运算,但其结果为某一数值,并非向量. 设矢量A=[a1,a2,...an],B=[b1,b2...bn] 则矢量A和B的内积表示为: A·B＝a1×b1＋a2×b2＋……＋an×bn A·B = |A| × |B| × cosθ |A|=(a1^2+a2^2+...+an^2)^(1/2); |B|=(b1^2+b2^2+...+bn^2)^(1/2). 其中,|A| 和 |B| 分别是向量A和B的模,是θ向量A和向量B的夹角（一般情况下,θ∈[0,π/2]）.

按以下公式求：cos s=向量a和向量b的内积/（向量a的长度与向量b的长度的积），s为向量a、b之间的夹角。如果是坐标形式；a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，a*b=x1x2+y1y2，|a|=√(x1^2+y1^2)，|b|=√(x2^2+y2^2)，cos<a,b>=[x1y1+x2y2] / [√(x1^2+y1^2)√(x2^2+y2^2)]知识拓展：在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中称标量）。 向量的记法：印刷体记作粗体的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。 [1]  如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。 在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。 几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

向量内积的运算：(x·y)=(y·x)；(x+y)·z=(x·z)+(y·z)；(kx·y)=k(x·y)；(x·x)=x1^2+......+xn^2>=0等号成立当且仅当x=0。 运算法则

向量的内积,又称向量的数学积或点积,可以用来判断空间中的二面角是不是直角 空间中的两个面是不是垂直! 有什么不明白的可以继续追问,

向量内积设有n维向量 向量内积(1张) 向量α与β的内积，内积（inner product），又称数量积（scalar product）、点积（dot product） 他是一种矢量运算，但其结果为某一数值，并非向量。设矢量A=[a1,a2,...an]，B=[b1,b2...bn] 则矢量A和B的内积表示为: A·B＝a1×b1＋a2×b2＋……＋an×bn A·B = |A| × |B| × cosθ|A|=(a1^2+a2^2+...+an^2)^(1/2); |B|=(b1^2+b2^2+...+bn^2)^(1/2). 其中，|A| 和 |B| 分别是向量A和B的模，是θ向量A和向量B的夹角（一般情况下，θ∈[0,π/2]）。

向量外积 　　把向量外积定义为： 　　|a × b| = |a|?|b|?Sin. 　　方向根据右手法则确定,就是手掌立在a、b所在平面的向量a上,掌心向b,那么大拇指方向就是垂直于该平面的方向,被规定为外积的方向. 　　向量外积的代数运算形式为： 　　| e(i) e(j) e(k) | 　　a × b=| x(a) y(a) z(a) | 　　| x(b) y(b) z(b) | 　　这个行列式,按照第一行展开.e表示标准单位基. 　　分配律的几何证明方法很繁琐,大意是用作图的方法验证.有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明. 　　下面给出代数方法.我们假定已经知道了： 　　1）外积的反对称性： 　　a × b = - b × a. 　　这由外积的定义是显然的. 　　2）内积（即数积、点积）的分配律： (b + c) = b + c, 　　(a + b)?c = c + c. 　　这由内积的定义a?b = |a|?|b|?Cos,用投影的方法不难得到证明. 　　3）混合积的性质： 　　定义(a×b)?c为向量a,b,c的混合积,容易证明： 　　i) (a×b)?c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积,其正负号由a,b,c的定向决定（右手系为正,左手系为负）. 　　从而就推出： 　　ii) (a×b)?c = (b×c) 　　所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c) 　　由i)还可以推出： 　　iii) (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b) 　　我们还有下面的一条显然的结论： 　　iv) 若一个向量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3,则a必为零向量. 　　下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律. 　　设r为空间任意向量,在r?[a×(b + c)]里,交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2),就有 [a×(b + c)] 　　= (r×a)?(b + c) 　　= (r×a)?b + (r×a)?c 　　= (a×b) + (a×c) 　　= (a×b + a×c) 　　移项,再利用数积分配律,得 [a×(b + c) - (a×b + a×c)] = 0 　　这说明向量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直于任意一个向量.按3)的iv),这个向量必为零向量,即 　　a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0 　　所以有 　　a×(b + c) = a×b + a×c. 　　证毕.

向量a*b=绝对值里面的向量a*绝对值里面的向量b*cos(两个向量的夹角)=两个向量的模*两个向量夹角的余弦

矩阵内积：两个矩阵A、B对应分量乘积之和，结果为一个标量，记作（与向量的内积/点积/数量积的定义相似）。 所以A、B的行数列数都应相同，且有结论=tr(A^T* B)。内积空间是线性代数理论中重要的组成部分，而想要理解它，最好先问自己两个问题：一是我们为什么需要这个东西（即引入内积空间的motivation）；二是内积空间能为我们带来什么（即关注其意义和应用）。矩阵内积的意义首先说一下引入内积空间的动机，简要概括就是希望对几何空间中的向量进行度量，我们知道在线性空间中，线性结构使得我们可以进行加法和标量乘法的运算，然而向量的其他特性也是很重要的，比如长度和角度。这里有一点需要注意，这里向量的概念不局限于数组向量，还可以是矩阵、多项式等更抽象更广义层面上的“向量”。接下来我们可以看到，定义了内积之后，就会多很多数学工具，比如范数，比如内积空间最重要的特点：正交性，当然内积空间可以继续拓展，比如加入完备性成为Hilbert空间，这一部分将在泛函分析中讨论。

解：a*b=a*b*cos(a和b的夹角) 这是从物理实践中来，在物理计算中，经常会用到一个向量投影到另一个向量的方向，然后再乘以另一个向量的模。而且这样的算法表示固定的物理意义。 由于经常会遇到这种问题，于是有人就这样定义了内积，是为了便于书写和直观辨认。一个式子太长或太复杂就会给计算带来很多的不便，定义了简便的式子有助有从数学上理解物理。

两个向量内积为零，可以得到这两个向量是相互垂直的。由内积的定义可知，两个向量的内积等于这两个向量的模，再乘以两个向量夹角的余弦值。如果该结果等于零，那么证明余弦值等于0。即两向量的夹角为90度，说明两向量垂直。这是一个非常实用性的结论，在线性代数中经常使用。

一个向量a和一个单位向量e的内积的几何意义是a在e方向的投影向量.

不对。举反例：（1 ，0）（ 1 ，1）线性无关，但内积不等于0（2， 2) (0，0)内积为0，但线性相关（1 ，3 ) (-3 ，1)内积为0，线性无关线性独立一般是指向量的线性独立，指一组向量中任意一个向量都不能由其它几个向量线性表示。中文名  ：       线性无关外文名  ：    linearly independent所属学科 ： 数理科学相关概念 ：    线性表示、线性相关、线性相依等

向量积（或称“叉积”）的结果是一个向量，点积或称“内积”的结果是“数量”，又称“标量”。

向量α与β的内积,内积（inner product）,又称数量积（scalar product）、点积（dot product） 　　他是一种矢量运算,但其结果为某一数值,并非向量. 　　设矢量A=[a1,a2,...an],B=[b1,b2...bn] 　　则矢量A和B的内积表示为: 　　A·B＝a1×b1＋a2×b2＋……＋an×bn 　　A·B = |A| × |B| × cosθ 　　|A|=(a1^2+a2^2+...+an^2)^(1/2); 　　|B|=(b1^2+b2^2+...+bn^2)^(1/2). 　　其中,|A| 和 |B| 分别是向量A和B的模,是θ向量A和向量B的夹角（一般情况下,θ∈[0,π/2]）.

内积（inner product），又称数量积、点积，它是一种向量运算，但其结果为某一数值，并非向量。指这个向量组的每个向量都与a正交吗？是的。

内积和“行列”向量是在两种不同前提条件下定义的运算内积定义在同一个向量空间上的运算,行,列向量属于不同向量空间因此内积运算不适用于行列向量

矩阵的内积参照向量的内积的定义是 两个向量对应分量乘积之和.比如: α=(1,2,3), β=(4,5,6)则 α, β的内积等于 1*4 +2*5 + 3*6 = 32α与α 的内积 = 1*1+2*2+3*3 = 14.拓展资料：内积（inner product），又称数量积（scalar product）、点积（dot product）是一种向量运算，但其结果为某一数值，并非向量。其物理意义是质点在F的作用下产生位移S，力F所做的功，W=|F||S|cosθ。在数学中，数量积（dot product; scalar product，也称为点积）是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。 两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为： a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。 使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1 矩阵，点积还可以写为： a·b=a*b^T，这里的b^T指示矩阵b的转置。

向量的内积：对应位置元素相乘，再相加。两个向量的内积是一个数。eg：V1={x1,x2,x3}, V2={y1,y2,y3}那么，V1*V2=x1*y1+x2*y2+x3*y3;

向量α与β的内积,内积（inner product）,又称数量积（scalar product）、点积（dot product） 　　他是一种矢量运算,但其结果为某一数值,并非向量. 　　设矢量A=[a1,a2,...an],B=[b1,b2...bn] 　　则矢量A和B的内积表示为: 　　A·B＝a1×b1＋a2×b2＋……＋an×bn 　　A·B = |A| × |B| × cosθ 　　|A|=(a1^2+a2^2+...+an^2)^(1/2); 　　|B|=(b1^2+b2^2+...+bn^2)^(1/2). 　　其中,|A| 和 |B| 分别是向量A和B的模,是θ向量A和向量B的夹角（一般情况下,θ∈[0,π/2]）.

矩阵的内积参照向量的内积的定义是：两个向量对应分量乘积之和。比如: α=(1,2,3), β=(4,5,6)则 α, β的内积等于 1*4 +2*5 + 3*6 = 32α与α 的内积 = 1*1+2*2+3*3 = 14设Ann=[aij](其中1<=i,j<=n)，Bnn=[bij](其中1<=i,j<=n)；则矩阵A和B的内积为C1n=[∑(i=1到n求和)aij*bij](其中1<=i,j<=n)。他别注意，此时内积C1n为1行，n列的矩阵。举例子矩阵A和B分别为：[1 2 3][4 5 6][7 8 9]和[9 8 7][6 5 4][3 2 1]则内积为：[1*9+4*6+7*3 2*8+5*5+8*2 3*7+6*4+1*9] = [54 57 54]扩展资料：在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。一个n×n矩阵的行列式等于其任意行（或列）的元素与对应的代数余子式乘积之和，即：假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶实数对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解 。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。

矩阵的内积参照向量的内积的定义是：两个向量对应分量乘积之和。比如: α=(1,2,3), β=(4,5,6)。则 α, β的内积等于 1*4 +2*5 + 3*6 = 32。α与α 的内积 = 1*1+2*2+3*3 = 14。设Ann=[aij](其中1<=i,j<=n)，Bnn=[bij](其中1<=i,j<=n)。则矩阵A和B的内积为C1n=[∑(i=1到n求和)aij*bij](其中1<=i,j<=n)。此时内积C1n为1行，n列的矩阵。简介 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考《矩阵理论》。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

矩阵的内积参照向量的内积的定义是：两个向量对应分量乘积之和。比如: α=(1,2,3), β=(4,5,6)则 α, β的内积等于 1*4 +2*5 + 3*6 = 32α与α 的内积 = 1*1+2*2+3*3 = 14设Ann=[aij](其中1<=i,j<=n)，Bnn=[bij](其中1<=i,j<=n)；则矩阵A和B的内积为C1n=[∑(i=1到n求和)aij*bij](其中1<=i,j<=n)。此时内积C1n为1行，n列的矩阵。举例子矩阵A和B分别为：[1 2 3][4 5 6][7 8 9]和[9 8 7][6 5 4][3 2 1]则内积为：[1*9+4*6+7*3 2*8+5*5+8*2 3*7+6*4+1*9] = [54 57 54]扩展资料在线性代数中，三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。设λ1，λ2，…，λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1，2，…，m)，则x1，x2，…，xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。

向量的内积的几何意义就是投影，可以理解为A线投影在B线的长度与B线长度的乘积。向量内积代表两个向量对应坐标值相乘后相加，得到的是一个数，数值上等于两向量长度积乘以夹角的余弦。几何上的应用：两向量外积等于以两向量为邻边的平行四边形面积，方向为两向量所在平面的法线方向；外积为0，说明两向量平行。

比如向量a坐标（X，Y）向量b坐标（M，N）那么这两个向量内积为MX+NY

向量内积公式如下所示：已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2。扩展资料：数量积的性质：设a、b为非零向量，则：①设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a=a·e=|a|cosθ。②a⊥b=a·b=0。③当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·a=|a|2=a2或|a|=√a·a。④|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a与b共线时，即a∥b时等号成立。

向量内积公式如下所示：已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2。扩展资料：数量积的性质：设a、b为非零向量，则：①设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a=a·e=|a|cosθ。②a⊥b=a·b=0。③当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·a=|a|2=a2或|a|=√a·a。④|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a与b共线时，即a∥b时等号成立。

向量的内积（点乘／数量积），是对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作。内积（点乘）的几何意义包括：表征或计算两个向量之间的夹角；向量在a向量方向上的投影。点积的值：u的大小、v的大小、u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下，点积如果为负，则u,v形成的角大于90度；如果为零，那么u,v垂直；如果为正，那么u,v形成的角为锐角。两个单位向量的点积得到两个向量的夹角的cos值，通过它可以知道两个向量的相似性，利用点积可判断一个多边形是面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物体离光照的轴线越近，光照越强。

向量数量积的几何意义：一个向量在另一个向量上的投影。向量内积一般指点积，点积在数学中，又称数量积，是指接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。点积的值：u的大小、v的大小、u，v夹角的余弦。在u，v非零的前提下，点积如果为负，则u，v形成的角大于90度；如果为零，那么u，v垂直；如果为正，那么u,v形成的角为锐角。两个单位向量的点积得到两个向量的夹角的cos值，通过它可以知道两个向量的相似性，利用点积可判断一个多边形是面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物体离光照的轴线越近，光照越强。点积的应用：在生产生活中，点积同样应用广泛。利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。物理中，点积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量，则点积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。计算机图形学常用来进行方向性判断，如两矢量点积大于0，则它们的方向朝向相近；如果小于0，则方向相反。矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一，此方法还被用于动画渲染。

[α1,β2]=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4，也就是两个向量的内积（点乘），代入相应的向量即可求出，例如求β2的时候，把β1和α2代入上式，运算即可算出。标准化其实就是单位化，将求出的β1β2β3向量除以他们的范数，也就是根号下b1²+b2²+b3²+b4²。由于把一个正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，所以，上述问题的关键是如何由一个线性无关向量组来构造出一个正交向量组，我们以3个向量组成的线性无关组为例来说明这个方法。施密特正交化括号里算法：施密特正交化中单位化中双括号里的东西是指的向量的模长吧, 如果是向量的模长的话,应该是把向量的各个分量先平方再相加,然后再开算数平方根,就是模长了。而如果施密特正交化中单位化中双括号里的东西是指的向量的内积,那就是把两个向量对应分量相乘再相加,就是内积了。

向量α与β的内积,内积又称数量,积点积 他是一种矢量运算,但其结果为某一数值,并非向量.

1.向量的内积即向量的的数量积定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。2.向量的外积即向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

按以下公式求：cos s=向量a和向量b的内积/（向量a的长度与向量b的长度的积），s为向量a、b之间的夹角。如果是坐标形式；a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，a*b=x1x2+y1y2，|a|=√(x1^2+y1^2)，|b|=√(x2^2+y2^2)，cos<a,b>=[x1y1+x2y2] / [√(x1^2+y1^2)√(x2^2+y2^2)]知识拓展：在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中称标量）。 向量的记法：印刷体记作粗体的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。 [1]  如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。 在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。 几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

向量内积a.b代表两个向量对应坐标值相乘后相加,得到的是一个数,数值上等于两向量长度积乘以夹角的余弦 几何上的应用：可以求两向量夹角；如果两向量内积为零,说明两向量垂直；一个向量对自己内积开方后是该向量长度 向量外积a×b得到的是一个向量,一个行列式,以三维向量为例,等于 |i j k | |a1 a2 a3| |b1 b2 b3| 长度数值上等于两向量长度积乘以夹角的正弦,方向用右手螺旋定则确定,物理上经常应用于求电磁力 几何上的应用：两向量外积等于以两向量为邻边的平行四边形面积,方向为两向量所在平面的法线方向；外积为0,说明两向量平行

向量内积公式如下所示：已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2。扩展资料：数量积的性质：设a、b为非零向量，则：①设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a=a·e=|a|cosθ。②a⊥b=a·b=0。③当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·a=|a|2=a2或|a|=√a·a。④|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a与b共线时，即a∥b时等号成立。

向量的内积公式（a，b）：ab=｜a｜｜b｜cosα。在向量内积中，|a|和|b|分别是向量a和b的模，是α向量a和向量b的夹角，一般情况下，α∈【0，π/2】。ab的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则∣a×b∣=|a|*|b|（此处与数量积不同），若a×b=0，则a、b平行。向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。

内积（innerproduct），又称数量积（scalarproduct）、点积（dotproduct）是一种向量运算，但其结果为某一数值，并非向量。其物理意义是质点在F的作用下产生位移S，力F所做的功，W=|F||S|cosθ。在数学中，数量积（dotproduct;scalarproduct，也称为点积）是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。两个向量a=[a1,a2,…,an]和b=[b1,b2,…,bn]的点积定义为：a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1矩阵，点积还可以写为：a·b=a*b^T，这里的b^T指示矩阵b的转置。在数学里面，内积空间就是增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做内积，或标量积，或点积。这个增添的结构允许我们谈论向量的角度和长度。内积空间由欧几里得空间抽象而来，这是泛函分析讨论的课题。内积空间有时也叫做准希尔伯特空间，因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词现在已经被淘汰了。在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数/不可数）的欧几里德空间。在生产生活中，内积同样应用广泛。利用内积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。向量的内积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据内积来得到光照效果，如果内积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越。物理中，内积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量，则内积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的内积。计算机图形学常用来进行方向性判断，如两矢量点积大于0，则它们的方向朝向相近；如果小于0，则方向相反。矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一，此方法还被用于动画渲染（Animation-Rendering）。线性变换中点积的意义：根据点积的代数公式：a·b=a1b1+a2b2+……+anbn，假设a为给定权重向量，b为特征向量，则a·b其实为一种线性组合，函数F（a·b）则可以构建一个基于a·b+c=0（c为偏移）的某一超平面的线性分类器，F是个简单函数，会将超过一定阈值的值对应到第一类，其它的值对应到第二类。

二个向量的数积有二种表达形式1、设向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)向量a•向量b =|向量a|*|向量b|*cos<向量a,向量b >|向量a|=√(x1^2+y1^2)|向量b|=√(x2^2+y2^2)<向量a,向量b >为二向量的夹角2，坐标形式：向量a•向量b= x1x2+y1y2

设两个向量是：α、β则：α×β/|α×β|就是与这两个向量都垂直的单位向量例如：α=(a,b,c)、β=(d,e,f)则：α×β/|α×β|=行列式A/行列式B行列式A=i　　　j　　　ka　　　b　　　cd　　　e　　　f行列式B=1　　　1　　　1a　　　b　　　cd　　　e　　　f