什么是特征值和特征向量?

求特征向量：Ax=cx，矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值。一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。“特征”一词来自德语的eigen。1904年希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。eigen一词可翻译为”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“个体的”，这显示了特征值对于定义特定的线性变换的重要性。

特征根：特征根法也可用于通过数列的递推公式（即差分方程，必须为线性）求通项公式，其本质与微分方程相同。 称为二阶齐次线性差分方程：  加权的特征方程。特征向量：A为n阶矩阵，若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx，那么数λ称为A的特征值，x称为A的对应于特征值λ的特征向量。Ax=λx也可写成( A-λE)x=0，并且|λE-A|叫做A 的特征多项式。当特征多项式等于0的时候，称为A的特征方程，特征方程是一个齐次线性方程组，求解特征值的过程其实就是求解特征方程的解。令|A-λE|=0，求出λ值。A是n阶矩阵，Ax=λx，则x为特征向量，λ为特征值。扩展资料：特征向量方程从数学上看，如果向量v与变换A满足Av=λv，则称向量v是变换A的一个特征向量，λ是相应的特征值。这一等式被称作“特征值方程”。假设它是一个线性变换，那么v可以由其所在向量空间的一组基表示为：其中vi是向量在基向量上的投影（即坐标），这里假设向量空间为n 维。由此，可以直接以坐标向量表示。利用基向量，线性变换也可以用一个简单的矩阵乘法表示。上述的特征值方程可以表示为：但是，有时候用矩阵形式写下特征值方程是不自然甚或不可能的。例如在向量空间是无穷维的时候，上述的弦的情况就是一例。取决于变换和它所作用的空间的性质，有时将特征值方程表示为一组微分方程更好。若是一个微分算子，其特征向量通常称为该微分算子的特征函数。例如，微分本身是一个线性变换因为（若M和N是可微函数，而a和b是常数）。考虑对于时间t的微分。其特征函数满足如下特征值方程：其中λ是该函数所对应的特征值。这样一个时间的函数，如果λ = 0，它就不变，如果λ为正，它就按比例增长，如果λ是负的，它就按比例衰减。例如，理想化的兔子的总数在兔子更多的地方繁殖更快，从而满足一个正λ的特征值方程。参考资料来源：百度百科--特征根法参考资料来源：百度百科--特征向量

特征向量矩阵可将A变换为对角阵Λ，亦即A~Λ，对角线为特征值。特征值有重根时有A~J，J为若当块对角阵。苏尔法中Q是正交矩阵，Δ是上三角阵，相似变换等式是 Q⁻¹AQ＝Δ，特征值位于Δ的对角线。Q与特征向量无瓜葛，但利用Δ的特征值能求出特征向量矩阵P。

将两向量做内积，得出结果为0则两特征向量正交。例子：设向量m=(x1,x2,x3),n=(y1,y2,y3)那么m*n=x1y1+x2y2+x3y3如果m*n=0,那么称m和n正交。矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。扩展资料：求特征值描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式，λ是A的特征值等价于线性方程组(A – λI) v = 0 （其中I是单位矩阵）有非零解v (一个特征向量)，因此等价于行列式|A – λI|=0 [1]  。函数p(λ) = det(A – λI)是λ的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和，这就是A的特征多项式。矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ) = 0来得到。 若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。 反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。求特征向量一旦找到两两互不相同的特征值λ，相应的特征向量可以通过求解方程(A – λI) v = 0 得到，其中v为待求特征向量，I为单位阵。当特征值出现重根时，如λ1=λ2，此时，特征向量v1的求解方法为(A-λ1I)v1=0，v2为(A-λ2I)v2=v1，依次递推。没有实特征值的一个矩阵的例子是顺时针旋转90度。数值计算在实践中，大型矩阵的特征值无法通过特征多项式计算，计算该多项式本身相当费资源，而精确的“符号式”的根对于高次的多项式来说很难计算和表达：阿贝尔－鲁费尼定理显示高次（5次或更高）多项式的根无法用n次方根来简单表达。对于估算多项式的根的有效算法是有的，但特征值的小误差可以导致特征向量的巨大误差。求特征多项式的零点，即特征值的一般算法，是迭代法。最简单的方法是幂法：取一个随机向量v，然后计算一系列单位向量。这个序列几乎总是收敛于绝对值最大的特征值所对应的特征向量。这个算法很简单，但是本身不是很有用。但是，象QR算法这样的算法正是以此为基础的。参考资料：百度百科-特征向量

特征向量的性质如下：第一性质线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。例如，三维空间中的旋转变换的特征向量是沿着旋转轴的一个向量，相应的特征值是1，相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。该特征空间是一个一维空间，因而特征值1的几何重次是1。特征值1是旋转变换的谱中唯一的实特征值。第二性质A的一个特征值λ的代数重次是λ作为A的特征多项式的零点的次数;换句话说，若λ是一个该多项式的根，它是因子(t − λ)在特征多项式中在因式分解后中出现的次数。一个n×n矩阵有n个特征值，如果将代数重次计算在内的话，因为其特征多项式次数为n。一个代数重次1的特征值为"单特征值"。在关于矩阵理论的条目中，可能会遇到如下的命题:"一个矩阵A的特征值为4,4,3,3,3,2,2,1,"表示4的代数重次为二，3的是三，2的是二，而1的是1。这样的风格因为代数重次对于矩阵理论中的很多数学证明很重要而被大量使用。回想一下，我们定义特征向量的几何重次为相应特征空间的维数，也就是λI − A的零空间。代数重次也可以视为一种维数:它是相应广义特征空间 (第一种意义)的维数，也就是矩阵(λI − A)^k对于任何足够大的k的零空间。也就是说，它是"广义特征向量"(第一种意义)的空间，其中一个广义特征向量是任何一个如果 λI − A作用连续作用足够多次就"最终"会变0的向量。任何特征向量是一个广义特征向量，以此任一特征空间被包含于相应的广义特征空间。这给了一个几何重次总是小于代数重次的简单证明。这里的第一种意义不可和下面所说的广义特征值问题混淆。

抱歉，自己学业不精，网上找的答案，希望有帮助特征向量的几何意义特征向量确实有很明确的几何意义，矩阵(既然讨论特征向量的问题，当然是方阵，这里不讨论

问题一：什么是特征向量？特征值？ 25分 特征值就是使得λE-A的行列式为0的λ值，而特征向量是对应某一特征值来说满足值，(λE-A)a=0的解向量 来自UC浏览器 问题二：特征值和特征向量的几何意义是什么？ 特征向量的几何意义 特征向量确实有很明确的几何意义，矩阵(既然讨论特征向量的问题，当然是方阵，这里不讨论广义特征向量的概念，就是一般的特征向量)乘以一个向量的结果仍 是同维数的一个向量，因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切关系，比如可 以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度，这时我们可以问一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？可以想 一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意：特征向量不能 是零向量)，所以一个变换的特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax= cx,你就恍然大悟了,看到了吗？cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，但显然cx和x的方向相同)，而且x是特征向量的话，ax也是特征向量(a是标 量且不为零)，所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族， 另外，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值不是那么重要，虽然我们求这两个量时 先求出特征值，但特征向量才是更本质的东西！ 比如平面上的一个变换，把一个向量关于横轴做镜像对称变换，即保持一个向量的横坐标不变，但纵坐标取相反数，把这个变换表示为矩阵就是[1 0;0 -1]，其中分号表示换行，显然[1 0;0 -1]*[a b]"=[a -b]",其中上标"表示取转置，这正是我们想要的效果，那么现在可以猜一下了，这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变，显 然，横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换，那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)，所以可以直接猜测其特征向量是 [a 0]"(a不为0)，还有其他的吗？有，那就是纵轴上的向量，这时经过变换后，其方向反向，但仍在同一条轴上，所以也被认为是方向没有变化，所以[0 b]"(b不为0)也是其特征向量，去求求矩阵[1 0;0 -1]的特征向量就知道对不对了! zz quentan blog 问题三：什么是左右特征向量 5分 A=[2 4 6;8 10 12;16 20 10] A = 2 4 6 8 10 12 16 20 10 >> [x,y]=eig(A) %x为右特征向量，s为左特征向量，v为规格化的左特征向量 x = -0.25057066610473 -0.75728611172496 -0.37026452747123 -0.57316596105677 0.64832528567130 -0.41252239696521 -0.78018915807239 -0.07868970039160 0.83230370160091 y = 29.83166481964299 0 0 0 -0.80100599693287 0 阀 0 0 -7.03065882271013 >> [s,t]=eig(A") s = -0.50784386176239 -0.84327293428122 -0.55495915239562 -0.66034030426232 0.52505980762843 -0.57529769964573 -0.55321360669909 -0.11490411969091 0.60087677268694 t = 29.83166481964298 0 0 0 -0.80100599693287 0 0 0 -7.03065882271013 >> v=inv(x)" v = -0.54178875996860 -0.85347174923880 -0.58855577812648 -0.70447824920440 0.53141005035764 -0.61012559898821 -0.59019107355381 -0.11629380718941 0.63725320139379 >> v(:,1)"*x(:,1) ans = 1 问题四：什么是左右特征向量？ 对于矩阵A，若AX = rX存在特征向量R，则称R为右特征向量；YA=rY存在特征向量L，则称L为左特征向量。 [211；020；0-11] 设A的特征值为λ 则|A-λE|= 2-λ 1 1 0 2-λ 0 0 -1 1-λ =(2-λ)(2-λ)(1-λ)=0 所以λ=1或2 当λ=1 A-E= 1 1 1 0 1 0 0 -1 0 第1行减去第2行，第3行加上第2行 ～ 1 0 1 0 1 0 0 0 0 得到特征向量为(1,0,-1)^T 当λ=2 A-2E= 0 1 1 0 0 0 0 -1 -1 第3行加上第1行 ～ 0 1 1 0 0 0 0 0 0 得到特征向量为(0,1,-1)^T和(1,0,0)^T 问题五：向量，特征向量，特征值是什么关系 特征向量是一个线性变换或方阵某个特征值对应的特征向量，其满足的条件是AX=λX 问题六：模式识别中的特征向量和矩阵的特征向量有什么关系 昨天就看到这个问题，到现在竟然没有人回答，那我就稍微解答一下，具体深入理解请自行分析； 特征向量是个什么东西？学过矩阵论的人都知道，一个可逆的矩阵可以分解为特征值和特征向量的乘积，即AV=lambaV,其中V是特征向量矩阵；这个的好处是可以把一个矩阵换基；即将一个矩阵基底转换为以另一组以特征向量为基的矩阵；好处呢，显而易见，可以抛弃太小的特征值对应的基，他没意义嘛，从而起到降维的效果，这就是PCA降维，可以百度一下； 那么模式识别讲的特征向量是什么呢，这个是一个截然不同的概念，模式识别重在分类，分类用什么数据呢，当然是特征向量，这个特征指的是，你分类物体的特征，如人脸，指纹，那你就可以从这些图片上面提取；那提取的这些数据就构成了你物体的一个特征，这就是特征向量；当然，可能你提取的特征向量太多维，那么这个时候，为了计算简便，你就需要降维，就可以通过上面所讲的PCA算法；通过降维后的数据进行计算。 所以，这是两种截然不同的概念

求解矩阵特征值的问题经过数学家长期的研究探索终于获得解决，有两种方法求矩阵特征值。①求特征值的经典方法。将矩阵转化为特征方程，求出特征方程的根即为矩阵特征值。②求特征值的矩阵方法(苏尔法)。直接取矩阵A做为研究对角，对它实施一系列正交相似变换，最终A收敛于上△阵，对角元素就是A的特征值。苏尔法适用于所有的中小型矩阵。

正交化会，单位化就是把这个向量化为单位向量。比如向量(1，2，3)单位化就是：[1/根号下(1^2+2^2+3^2)，2/根号下(1^2+2^2+3^2)，3/根号下(1^2+2^2+3^2)]=(1/根号14，2/根号14，3/根号14)线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。扩展资料：假设它是一个线性变换，那么v可以由其所在向量空间的一组基表示为：其中vi是向量在基向量上的投影（即坐标），这里假设向量空间为n 维。由此，可以直接以坐标向量表示。利用基向量，线性变换也可以用一个简单的矩阵乘法表示。其特征函数满足如下特征值方程：其中λ是该函数所对应的特征值。这样一个时间的函数，如果λ = 0，它就不变，如果λ为正，它就按比例增长，如果λ是负的，它就按比例衰减。例如，理想化的兔子的总数在兔子更多的地方繁殖更快，从而满足一个正λ的特征值方程。若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。 反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。参考资料来源：百度百科--特征向量

设置方程：将A分别作用在u和v上，也就是计算Au和Av：画个图就是：Av=2v，A对v的作用，仅仅是将v延长了，这个系数2就叫特征值；而被矩阵A延长的向量(2,1)，就是特征向量。下面给出数学定义。A为nxn矩阵，x为非零向量。若存在数λ，使Ax=λx成立，则称λ为A的特征值，x称为对应于λ的特征向量。特征值有两个很特别的规律，分别是：1、特征值的和，等于矩阵对角线的和（迹）。2、特征值的积，等于矩阵的行列式。扩展资料：定理谱定理在有限维的情况，将所有可对角化的矩阵作了分类：它显示一个矩阵是可对角化的，当且仅当它是一个正规矩阵。注意这包括自共轭（厄尔米特）的情况。这很有用，因为对角化矩阵T的函数f(T)（譬如波莱尔函数f）的概念是清楚的。在采用更一般的矩阵的函数的时候谱定理的作用就更明显了。例如，若f是解析的，则它的形式幂级数，若用T取代x，可以看作在矩阵的巴拿赫空间中绝对收敛。谱定理也允许方便地定义正算子的唯一的平方根。谱定理可以推广到希尔伯特空间上的有界正规算子，或者无界自共轭算子的情况。求特征值，描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式，λ是A的特征值等价于线性方程组(A – λI) v = 0 （其中I是单位矩阵）有非零解v (一个特征向量)，因此等价于行列式|A – λI|=0  。函数p(λ) = det(A – λI)是λ的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和，这就是A的特征多项式。矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ) = 0来得到。 若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。求特征向量，一旦找到特征值λ，相应的特征向量可以通过求解特征方程(A – λI) v = 0 得到，其中v为待求特征向量，I为单位阵。没有实特征值的一个矩阵的例子是顺时针旋转90度。参考资料：百度百科-特征向量

数学上,线性变换的特征向量（本征向量）是一个非退化的向量,其方向在该变换下不变.该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）.一个变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述.特征空间是相同特征值的特征向...

令|A-λE|=0，求出λ值。A是n阶矩阵，Ax=λx，则x为特征向量，λ为特征值扩展资料：特征值和特征向量（characteristicvalueandcharacteristicvector）数学概念。若σ是线性空间V的线性变换，σ对V中某非零向量x的作用是伸缩：σ（x）=aζ，则称x是σ的属于a的特征向量，a称为σ的特征值。位似变换σk（即对V中所有a，有σk（a）=kα）使V中非零向量均为特征向量，它们同属特征值k；而旋转角θ（0<θ<π）的变换没有特征向量。可以通过矩阵表示求线性变换的特征值、特征向量。若A是n阶方阵，I是n阶单位矩阵，则称xI－A为A的特征方阵，xI-A的行列式|xI－A|展开为x的n次多项式fA（x）=xn－（a11+…+ann）xn-1+…+（－1）n|A|，称为A的特征多项式，它的根称为A的特征值。若λ0是A的一个特征值，则以λ0I－A为系数方阵的齐次方程组的非零解x称为A的属于λ的特征向量：Ax=λ0x。L.欧拉在化三元二次型到主轴的著作里隐含出现了特征方程概念，J.L.拉格朗日为处理六大行星运动的微分方程组首先明确给出特征方程概念。特征方程也称永年方程，特征值也称本征值、固有值。固有值问题在物理学许多部门是重要问题。线性变换或矩阵的对角化、二次型化到主轴都归为求特征值特征向量问题。每个实对称方阵的特征根均为实数。A.凯莱于19世纪中期通过对三阶方阵验证，宣告凯莱-哈密顿定理成立，即每个方阵A满足它的特征方程，fA(A)=An－(a11+…+ann)An-1+…+(－1)n|A|I=0参考资料：特征值和特征向量

不知道

特征向量是一个非简并的向量，在这种变换下其方向保持不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。特征值是线性代数中的一个重要概念。线性变换通常可以用其特征值和特征向量来完全描述。特征空间是一组特征值相同的特征向量。“特征”一词来自德语的eigen。求矩阵的全部特征值和特征向量的方法第一步：计算的特征多项式；第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）。

特征值跟特征向量的关系就是，先有特征向量你才可以求特征值，没有特征向量就没办法去求特征值，所以说特征向量是求解特征值的一个介质。

1、从定义出发，Ax=cx：A为矩阵，c为特征值，x为特征向量。 2、矩阵A乘以x表示，对向量x进行一次转换（旋转或拉伸）（是一种线性转换），而该转换的效果为常数c乘以向量x（即只进行拉伸）。 3、通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使哪些向量（当然是特征向量）只发生拉伸，使其发生拉伸的程度如何（特征值大小）。这样做的意义在于看清一个矩阵在那些方面能产生最大的效果（power），并根据所产生的每个特征向量（一般研究特征值最大的那几个）进行分类讨论与研究。

特征向量是一个非简并的向量，在这种变换下其方向保持不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。特征值是线性代数中的一个重要概念。线性变换通常可以用其特征值和特征向量来完全描述。特征空间是一组特征值相同的特征向量。“特征”一词来自德语的eigen。希尔伯特在1904年第一次用这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。eigen一词可翻译为”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“个体的”，这显示了特征值对于定义特定的线性变换的重要性。扩展资料：求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算的特征多项式；第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）。参考资料来源：搜狗百科-特征值参考资料来源：搜狗百科-特征向量

代第一行就知道相应的特征值为5，再代进去解一下就知道a=15,b=-8。接下来只要算出行列式和迹，用vieta定理看一下就知道没有重特征值，所以a可对角化。

设A的特征值为λ则|A-λE|=2-λ 1 1 0 2-λ 0 0 -1 1-λ=(2-λ)(2-λ)(1-λ)=0所以λ=1或2当λ=1A-E=1 1 10 1 00 -1 0 第1行减去第2行，第3行加上第2行～1 0 10 1 00 0 0得到特征向量为(1,0,-1)^T当λ=2A-2E=0 1 10 0 00 -1 -1 第3行加上第1行～0 1 10 0 00 0 0得到特征向量为(0,1,-1)^T和(1,0,0)^T

一个共轭特征向量或者说共特征向量是一个在变换下成为其共轭乘以一个标量的向量，其中那个标量称为该线性变换的共轭特征值或者说共特征值。共轭特征向量和共轭特征值代表了和常规特征向量和特征值相同的信息和含义，但只在使用交替坐标系统的时候出现。例如，在相干电磁散射理论中，线性变换A代表散射物体施行的作用，而特征向量表示电磁波的极化状态。在光学中，坐标系统按照波的观点定义，称为前向散射对齐 (FSA)，从而导致了常规的特征值方程，而在雷达中，坐标系统按照雷达的观点定义，称为后向散射对齐 (BSA)，从而给出了共轭特征值方程。

把特征值代入特征方程，运用初等行变换法，将矩阵化到最简，然后可得到基础解系。求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算的特征多项式；第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则可求出属于特征值的全部特征向量。扩展资料求特征向量：设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。判断矩阵可对角化的充要条件：矩阵可对角化有两个充要条件：1、矩阵有n个不同的特征向量；2、特征向量重根的重数等于基础解系的个数。对于第二个充要条件，则需要出现二重以上的重特征值可验证（一重相当于没有重根）。若矩阵A可对角化，则其对角矩阵Λ的主对角线元素全部为A的特征值，其余元素全部为0。（一个矩阵的对角阵不唯一，其特征值可以换序，但都存在由对应特征向量顺序组成的可逆矩阵P使P⁻¹AP=Λ）。求矩阵特征值的方法如下：任意一个矩阵A可以分解成如下两个矩阵表达的形式： 其中矩阵Q为正交矩阵，矩阵R为上三角矩阵，至于QR分解到底是怎么回事，矩阵Q和矩阵R是怎么得到的，你们还是看矩阵论吧，如果我把这些都介绍了，感觉这篇文章要写崩，或者你可以先认可我是正确的，然后往下看。由式（22）可知，A1和A2相似，相似矩阵具有相同的特征值，说明A1和A2的特征值相同，我们就可以通过求取A2的特征值来间接求取A1的特征值。

n阶方阵A，行列式|λE-A| [E是n阶单位矩阵，λ是变量。这是λ的n次多项式，首项系数是1] 叫做A的特征多项式，[f（λ）＝|λE-A|].f（λ）＝0的根（n个），都叫A的特征值。如果λ0是A的一个特征值，|λ0E-A|＝0，（λ0E-A）为降秩矩阵，线性方程组（λ0E-A）X＝0 [X＝（x1,x2,……xn）′是未知的n维列向量] 必有非零解，每个非零解就叫矩阵A的关于特征值λ0的一个特征向量。旋转矩阵（Rotation matrix）是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。旋转矩阵的原理在数学上涉及到的是一种组合设计：覆盖设计。而覆盖设计，填装设计，斯坦纳系，t-设计都是离散数学中的组合优化问题。它们解决的是如何组合集合中的元素以达到某种特定的要求。

这个简单嘛，只要把三特征向量构成矩阵pp＝(x1,x2,x3)因为p^-1ap等于三个特征值对应的对角矩阵，记为b10000000-1则p^-1ap＝b可得a＝pbp^-1既然问这题，我相信这些符号是可以看懂的吧．算就自己动手喽，不懂再讨论卖鞋的：q1054721246旺＂：占廖诚888

求特征向量：Ax=cx，矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值。一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。“特征”一词来自德语的eigen。1904年希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。eigen一词可翻译为”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“个体的”，这显示了特征值对于定义特定的线性变换的重要性。

有三个特征值就会有三个特征向量啊，这样解是正确的

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算的特征多项式；第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是其中是不全为零的任意实数。若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。扩展资料求特征向量设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。判断相似矩阵的必要条件设有n阶矩阵A和B，若A和B相似（A∽B），则有：1、A的特征值与B的特征值相同——λ(A)=λ(B)，特别地，λ(A)=λ(Λ)，Λ为A的对角矩阵；2、A的特征多项式与B的特征多项式相同——|λE-A|=|λE-B|。参考资料来源：百度百科-特征值

令|A-λE|=0，求出λ值。A是n阶矩阵，Ax=λx，则x为特征向量，λ为特征值。设矩阵为A，特征向量是t，特征值是x，At=x*t，移项得（A-x*I）t=0，∵t不是零向量∴A-x*I=0，（2-x）（1-x）（-x）-4（2-x）=0，化简得（x-2）（x^2-x-4）=0，∴矩阵有三个特征值：2，（1±根号17）/2。把特征值分别代入方程，设x=（a，b，c），可得到对于x=2，b=0，a+c=0，对应x=2的特征向量为（-1，0，1）（未归一化），其它x的一样做。求矩阵的全部特征值和特征向量：1、计算的特征多项式；2、求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；3、对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。以上内容参考：百度百科-特征值

1、设x是矩阵A的特征向量，先计算Ax；2、发现得出的向量是x的某个倍数；3、计算出倍数，这个倍数就是要求的特征值。求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算的特征多项式；第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则可求出属于特征值的全部特征向量。扩展资料：特征向量的性质：特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。例如，三维空间中的旋转变换的特征向量是沿着旋转轴的一个向量，相应的特征值是1，相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。该特征空间是一个一维空间，因而特征值1的几何重次是1。特征值1是旋转变换的谱中唯一的实特征值。

矩阵的特征多项式是：λE-A的行列式。λI-A称为A的特征矩阵；|λI-A|称为A的特征多项式；|λI-A|=0称为A的特征矩阵，而由些求出的全部根,即为A的全部特征值。对每一个求出特征值λ，求出齐次方程组(λI-A)x=o的基础解是&1，&2，&3...&s，则k1&1+k2&2+...ks&s即是A对应于 λ的全部特征向量（其中,k1...ks不全为零）。设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量：系数行列式|A-λE|称为A的特征多项式，记¦(λ)=|λE-A|，是一个P上的关于λ的n次多项式，E是单位矩阵。¦(λ)=|λE-A|=λn+a1λn-1+…+an= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程¦(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)称为A的特征根(或特征值)。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。以A的特征值λ0代入(λE-A)X=0，得方程组(λ0E-A)X=0，是一个齐次方程组，称为A的关于λ0的特征方程组。因为|λ0E-A|=0，(λ0E-A)X=0必存在非零解，称为A的属于λ0的特征向量。所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。

通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使哪些向量（当然是特征向量）只发生拉伸，使其发生拉伸的程度如何（特征值大小）。这样做的意义在于看清一个矩阵在那些方面能产生最大的效果，并根据所产生的每个特征向量（一般研究特征值最大的那几个）进行分类讨论与研究。 怎么求特征向量 求特征向量： 一旦找到特征值λ，相应的特征向量可以通过求解特征方程(A – λI) v = 0 得到，其中v为待求特征向量，I为单位阵。 没有实特征值的一个矩阵的例子是顺时针旋转90度。 数值计算： 在实践中，大型矩阵的特征值无法通过特征多项式计算，计算该多项式本身相当费资源，而精确的“符号式”的根对于高次的多项式来说很难计算和表达：阿贝尔－鲁费尼定理显示高次（5次或更高）多项式的根无法用n次方根来简单表达。对于估算多项式的根的有效算法是有的，但特征值的小误差可以导致特征向量的巨大误差。求特征多项式的零点，即特征值的一般算法，是迭代法。最简单的方法是幂法：取一个随机向量v，然后计算一系列单位向量。 这个序列几乎总是收敛于绝对值最大的特征值所对应的特征向量。这个算法很简单，但是本身不是很有用。但是，象QR算法这样的算法正是以此为基础的。 特征向量简介 特征向量是一个非简并的向量，在这种变换下其方向保持不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。特征值是线性代数中的一个重要概念。 线性变换通常可以用其特征值和特征向量来完全描述。特征空间是一组特征值相同的特征向量。“特征”一词来自德语的eigen。 希尔伯特在1904年第一次用这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。eigen一词可翻译为”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“个体的”，这显示了特征值对于定义特定的线性变换的重要性。

一个特征值只能有一个特征向量,（非重根）又一个重根,那么有可能有两个线性无关的特征向量,也有可能没有两个线性无关的特征向量（只有一个）.不

题：矩阵A=0001001001001000求矩阵A的特征值与特征向量。解：特征矩阵tE-A=t00-10t-100-1t0-100t|tE-A|=(tt-1)^2注：这个可以用第一列进行代数余子式展开，看容易看出解来。也可以用第二三行用二阶子式及其余子式的乘积来计算，也很方便。于是其特征值有四个，分别是1,1,-1,-1特征矩阵tE-A的四个解向量，就是相应的特征向量。略。

不管满秩非满秩，特征值要加1，对应特征向量不变。

是特征向量，只是模（长度）为 1 而已。

Aa=0求出来的

问题一：什么是特征向量？特征值？ 25分 特征值就是使得λE-A的行列式为0的λ值，而特征向量是对应某一特征值来说满足值，(λE-A)a=0的解向量 来自UC浏览器 问题二：特征值和特征向量的几何意义是什么？ 特征向量的几何意义 特征向量确实有很明确的几何意义，矩阵(既然讨论特征向量的问题，当然是方阵，这里不讨论广义特征向量的概念，就是一般的特征向量)乘以一个向量的结果仍 是同维数的一个向量，因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切关系，比如可 以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度，这时我们可以问一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？可以想 一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意：特征向量不能 是零向量)，所以一个变换的特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax= cx,你就恍然大悟了,看到了吗？cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，但显然cx和x的方向相同)，而且x是特征向量的话，ax也是特征向量(a是标 量且不为零)，所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族， 另外，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值不是那么重要，虽然我们求这两个量时 先求出特征值，但特征向量才是更本质的东西！ 比如平面上的一个变换，把一个向量关于横轴做镜像对称变换，即保持一个向量的横坐标不变，但纵坐标取相反数，把这个变换表示为矩阵就是[1 0;0 -1]，其中分号表示换行，显然[1 0;0 -1]*[a b]"=[a -b]",其中上标"表示取转置，这正是我们想要的效果，那么现在可以猜一下了，这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变，显 然，横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换，那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)，所以可以直接猜测其特征向量是 [a 0]"(a不为0)，还有其他的吗？有，那就是纵轴上的向量，这时经过变换后，其方向反向，但仍在同一条轴上，所以也被认为是方向没有变化，所以[0 b]"(b不为0)也是其特征向量，去求求矩阵[1 0;0 -1]的特征向量就知道对不对了! zz quentan blog 问题三：什么是左右特征向量 5分 A=[2 4 6;8 10 12;16 20 10] A = 2 4 6 8 10 12 16 20 10 >> [x,y]=eig(A) %x为右特征向量，s为左特征向量，v为规格化的左特征向量 x = -0.25057066610473 -0.75728611172496 -0.37026452747123 -0.57316596105677 0.64832528567130 -0.41252239696521 -0.78018915807239 -0.07868970039160 0.83230370160091 y = 29.83166481964299 0 0 0 -0.80100599693287 0 阀 0 0 -7.03065882271013 >> [s,t]=eig(A") s = -0.50784386176239 -0.84327293428122 -0.55495915239562 -0.66034030426232 0.52505980762843 -0.57529769964573 -0.55321360669909 -0.11490411969091 0.60087677268694 t = 29.83166481964298 0 0 0 -0.80100599693287 0 0 0 -7.03065882271013 >> v=inv(x)" v = -0.54178875996860 -0.85347174923880 -0.58855577812648 -0.70447824920440 0.53141005035764 -0.61012559898821 -0.59019107355381 -0.11629380718941 0.63725320139379 >> v(:,1)"*x(:,1) ans = 1 问题四：什么是左右特征向量？ 对于矩阵A，若AX = rX存在特征向量R，则称R为右特征向量；YA=rY存在特征向量L，则称L为左特征向量。 [211；020；0-11] 设A的特征值为λ 则|A-λE|= 2-λ 1 1 0 2-λ 0 0 -1 1-λ =(2-λ)(2-λ)(1-λ)=0 所以λ=1或2 当λ=1 A-E= 1 1 1 0 1 0 0 -1 0 第1行减去第2行，第3行加上第2行 ～ 1 0 1 0 1 0 0 0 0 得到特征向量为(1,0,-1)^T 当λ=2 A-2E= 0 1 1 0 0 0 0 -1 -1 第3行加上第1行 ～ 0 1 1 0 0 0 0 0 0 得到特征向量为(0,1,-1)^T和(1,0,0)^T 问题五：向量，特征向量，特征值是什么关系 特征向量是一个线性变换或方阵某个特征值对应的特征向量，其满足的条件是AX=λX 问题六：模式识别中的特征向量和矩阵的特征向量有什么关系 昨天就看到这个问题，到现在竟然没有人回答，那我就稍微解答一下，具体深入理解请自行分析； 特征向量是个什么东西？学过矩阵论的人都知道，一个可逆的矩阵可以分解为特征值和特征向量的乘积，即AV=lambaV,其中V是特征向量矩阵；这个的好处是可以把一个矩阵换基；即将一个矩阵基底转换为以另一组以特征向量为基的矩阵；好处呢，显而易见，可以抛弃太小的特征值对应的基，他没意义嘛，从而起到降维的效果，这就是PCA降维，可以百度一下； 那么模式识别讲的特征向量是什么呢，这个是一个截然不同的概念，模式识别重在分类，分类用什么数据呢，当然是特征向量，这个特征指的是，你分类物体的特征，如人脸，指纹，那你就可以从这些图片上面提取；那提取的这些数据就构成了你物体的一个特征，这就是特征向量；当然，可能你提取的特征向量太多维，那么这个时候，为了计算简便，你就需要降维，就可以通过上面所讲的PCA算法；通过降维后的数据进行计算。 所以，这是两种截然不同的概念

属于不同特征值的特征向量线性无关，实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交。特征值是 线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维 列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或 本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为 矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

特征向量可以为零向量。可以为0的，但每一个特征值都对应这无穷个特征向量，线性代数中规定特征向量不可以为零向量。共轭特征向量：一个共轭特征向量或者说共特征向量是一个在变换下成为其共轭乘以一个标量的向量，其中那个标量称为该线性变换的共轭特征值或者说共特征值。共轭特征向量和共轭特征值代表了和常规特征向量和特征值相同的信息和含义，但只在使用交替坐标系统的时候出现。例如，在相干电磁散射理论中，线性变换A代表散射物体施行的作用，而特征向量表示电磁波的极化状态。在光学中，坐标系统按照波的观点定义，称为前向散射对齐 (FSA)，从而导致了常规的特征值方程，而在雷达中，坐标系统按照雷达的观点定义，称为后向散射对齐 (BSA)，从而给出了共轭特征值方程。

|λE-A| =|λ-1/3 -2/3||-1/2 λ-1/2|= λ^2 - (5/6)λ + 1/6 - 2/6 = λ^2 - (5/6)λ - 1/6 = （λ-1)(λ+1/6)得特征值 λ = 1， -1/6.对于 λ = 1， λE-A =[ 2/3 -2/3][-1/2 1/2]初等行变换为 [ 1 -1][ 0 0]得 (λE-A)x = 0 的基础解系即 A 的特征向量 (1, 1)^T;对于 λ = -1/6， λE-A =[-1/2 -2/3][-1/2 -2/3]初等行变换为 [ 3 4][ 0 0]得 (λE-A)x = 0 的基础解系即 A 的特征向量 (4, -3)^T.

不可能。如果c是矩阵A的特征方程的一个单根，则A-cE的秩为(n-1)。于是，齐次线性方程组(A-cE)X=0的解空间是一维的。而每个c的特征向量都是该方程组的解，所以它们张成的空间也是一维的，不可能有两个线性无关。一般地，特征值的重数等于特征空间的维数

从定义出发，Ax=cx：A为矩阵，c为特征值，x为特征向量。 矩阵A乘以x表示，对向量x进行一次转换（旋转或拉伸）（是一种线性转换），而该转换的效果为常数c乘以向量x（即只进行拉伸）。 通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使哪些向量（当然是特征向量）只发生拉伸，使其发生拉伸的程度如何（特征值大小）。数值计算的原则：在实践中，大型矩阵的特征值无法通过特征多项式计算，计算该多项式本身相当费资源，而精确的“符号式”的根对于高次的多项式来说很难计算和表达：阿贝尔－鲁费尼定理显示高次（5次或更高）多项式的根无法用n次方根来简单表达。对于估算多项式的根的有效算法是有的，但特征值的小误差可以导致特征向量的巨大误差。求特征多项式的零点，即特征值的一般算法，是迭代法。最简单的方法是幂法：取一个随机向量v，然后计算一系列单位向量。

特征根：特征根法也可用于通过数列的递推公式（即差分方程，必须为线性）求通项公式，其本质与微分方程相同。 称为二阶齐次线性差分方程：  加权的特征方程。特征向量：A为n阶矩阵，若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx，那么数λ称为A的特征值，x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)x=0，并且|λE-A|叫做A 的特征多项式。当特征多项式等于0的时候，称为A的特征方程，特征方程是一个齐次线性方程组，求解特征值的过程其实就是求解特征方程的解。令|A-λE|=0，求出λ值。A是n阶矩阵，Ax=λx，则x为特征向量，λ为特征值。一旦找到两两互不相同的特征值λ，相应的特征向量可以通过求解方程(A – λI) v = 0 得到，其中v为待求特征向量，I为单位阵。当特征值出现重根时，如λ1=λ2，此时，特征向量v1的求解方法为(A-λ1I)v1=0，v2为(A-λ2I)v2=v1，依次递推。没有实特征值的一个矩阵的例子是顺时针旋转90度。扩展资料：矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。“特征”一词来自德语的eigen。1904年希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。eigen一词可翻译为”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“个体的”，这显示了特征值对于定义特定的线性变换的重要性。从数学上看，如果向量v与变换A满足Av=λv，则称向量v是变换A的一个特征向量，λ是相应的特征值。这一等式被称作“特征值方程”。假设它是一个线性变换，那么v可以由其所在向量空间的一组基表示为：其中vi是向量在基向量上的投影（即坐标），这里假设向量空间为n 维。由此，可以直接以坐标向量表示。利用基向量，线性变换也可以用一个简单的矩阵乘法表示。上述的特征值方程可以表示为：但是，有时候用矩阵形式写下特征值方程是不自然甚或不可能的。例如在向量空间是无穷维的时候，上述的弦的情况就是一例。取决于变换和它所作用的空间的性质，有时将特征值方程表示为一组微分方程更好。若是一个微分算子，其特征向量通常称为该微分算子的特征函数。例如，微分本身是一个线性变换因为（若M和N是可微函数，而a和b是常数）考虑对于时间t的微分。其特征函数满足如下特征值方程：其中λ是该函数所对应的特征值。这样一个时间的函数，如果λ = 0，它就不变，如果λ为正，它就按比例增长，如果λ是负的，它就按比例衰减。例如，理想化的兔子的总数在兔子更多的地方繁殖更快，从而满足一个正λ的特征值方程。特征根法是数学中解常系数线性微分方程的一种通用方法。特征根法也可用于通过数列的递推公式（即差分方程，必须为线性）求通项公式，其本质与微分方程相同。例如 称为二阶齐次线性差分方程： 加权的特征方程。参考资料：百度百科-特征根法 百度百科-特征向量

对于任意方阵A,首先求出方程|λE-A|=0的解,这些解就是A的特征值,再将其分别代入方程（λE-A）X=0中,求得它们所对应的基础解系,则对于某一个λ,以它所对应的基础解系为基形成的线性空间中的任意一个向量,均为λ所对应的特征向量.

从定义出发，Ax=cx，A为矩阵，c为特征值，x为特征向量。矩阵A乘以x表示，对向量x进行一次转换（旋转或拉伸）（是一种线性转换），而该转换的效果为常数c乘以向量x（即只进行拉伸）。通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使哪些向量（当然是特征向量）只发生拉伸，使其发生拉伸的程度如何（特征值大小）。这样做的意义在于看清一个矩阵在那些方面能产生最大的效果，并根据所产生的每个特征向量（一般研究特征值最大的那几个）进行分类讨论与研究。 当在计算中微子振荡概率时发现，特征向量和特征值的几何本质，其实就是空间矢量的旋转和缩放。而中微子的三个（电子，μ子，τ子），就相当于空间中的三个向量之间的变换。 用户只需要列一个简单的方程式，特征向量便可迎刃而解。公式表示只需要通过删除原始矩阵的行和列，创建子矩阵。再将子矩阵和原始矩阵的特征值组合在一起，就可以计算原始矩阵的特征向量。 传统的求解特征向量思路，是通过计算特征多项式，然后去求解特征值，再求解齐次线性方程组，最终得出特征向量。

特征值与特征向量之间关系：1、属于不同特征值的特征向量一定线性无关。2、相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。3、设x是矩阵a的属于特征值1的特征向量，且a~b，即存在满秩矩阵p使b=p(-1)ap，则y=p(-1)x是矩阵b的属于特征值1的特征向量。4、n阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：矩阵有n个线性无关的分别属于特征值1，2，3...的特征向量（1，2，3...中可以有相同的值）。特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得Ax=mx成立。扩展资料：求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算的特征多项式；第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组。若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。参考资料来源：搜狗百科——特征值参考资料来源：搜狗百科——特征向量

特征值与特征向量求法介绍如下：从定义出发，Ax=cx：A为矩阵，c为特征值，x为特征向量。矩阵A乘以x表示，对向量x进行一次转换(旋转或拉伸)(是一种线性转换)，而该转换的效果为常数c乘以向量x(即只进行拉伸)。通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使哪些向量(当然是特征向量)只发生拉伸使其发生拉伸的程度如何(特征值大小)。这样做的意义在于看清一个矩阵在那些方面能产生最大的效果(power)，并根据所产生的每个特征向量(一般研究特征值最大的那几个)进行分类讨论与研究。

给了一个例子

1.属于不同特征值的特征向量一定线性无关.2.相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值.3.设x是矩阵a的属于特征值1的特征向量,且a~b,即存在满秩矩阵p使b=p(-1)ap,则y=p(-1)x是矩阵b的属于特征值1的特征向量．4.n阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：矩阵有n个线性无关的分别属于特征值1,2,3...的特征向量（1,2,3...中可以有相同的值）．

如下：n阶方阵A，行列式|λE-A| [E是n阶单位矩阵，λ是变量。这是λ的n次多项式，首项系数是1] 叫做A的特征多项式，[f（λ）＝|λE-A|].f（λ）＝0的根（n个），都叫A的特征值。如果λ0是A的一个特征值，|λ0E-A|＝0，（λ0E-A）为降秩矩阵，线性方程组（λ0E-A）X＝0 [X＝（x1,x2,……xn）′是未知的n维列向量] 必有非零解，每个非零解就叫矩阵A的关于特征值λ0的一个特征向量。在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位1的实特征值。旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转(欧拉旋转定理)。如果旋转角是 θ，则旋转矩阵的另外两个(复数)特征值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。从而得出 3 维旋转的迹数等于 1 + 2 cos(θ)，这可用来快速的计算任何 3 维旋转的旋转角。特征向量是在矩阵变换下只进行“规则”变换的向量，这个“规则”就是特征值。特征向量反映了线性变换的方向，这这几个方向上线性变换只导致伸缩，没有旋转；特征值反映线性变换在这几个方向上导致的伸缩的大小。