反比例函数的意义与性质

反比例图像的性质图像是在一个坐标轴上有两根相互对称的曲线而组成，性质分别为：单调性、面积、图想表达、对称性，以上就是反比函数的图象和性质。单调性：反比函数是具有单调性的，当函数内容k大于零的时候，图像分别位于第一三象限，而在每一个象限的内部，从左往右来数，y是随着x的增大而减少，如果K小于零的时候，图像分别位于第二四象限，在每一个象限的内部，y随着x的增大而增大。当K大于零的时候，函数在x小于零上是一个减函数，而在x大于零的时候，也是为减函数。在k小于零的时候，函数在x小于零上为增函数，在x大于零的时候同为增函数。面积：在一个反比例函数上面取两个点，这两个点可以随意的取，然后过点分别做一个x轴和一个y轴的平行线，而这个平行线是可以和坐标轴围成一个矩形，而这一个矩形的面积为绝对值得K。而在反比例函数上，找到一个点，向X/Y轴分别做一个垂线，设置一个围好的矩形，而这个矩形则为QOWM，这个垂线分别位于y轴和x轴，则围成形状的这个面积为绝对值得K，则连接这个矩形的对角线为OM，则满足RT△OMQ的面积等于二分之一绝对值得K。图像表达：对于反比例函数的图像来说的话，不和x轴或者是y轴的相交渐近线为x轴和y轴，K值相等的反比例函数图像是相互重合的，k值不相等的反比例函数图像是永远都不会相交的，而绝对值得K越大的话，反比例函数距离坐标轴就会越来越远。对称性：反比例函数是一种中心对称的图形，对称中心是原点，而正是这样的一个反比例函数的图像也是轴对称图形，随意反比例函数上的点是关于原点坐标对称的，图像关于原点对称。

反比例函数 形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数,叫做反比例函数. 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 反比例函数的图像为双曲线. 如图,上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像. 当K＞0时,反比例函数图象经过一,三象限,是减函数 当K＜0时,反比例函数图象经过二,四象限,是增函数

（1）反比例函数的图象是双曲线，反比例函数图象的两个分支关于原点对称．（2）当k>0时，反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限内，且在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每个象限内，y随x的增大而增大．注意：不能说成“当k＞0时，反比例函数y随x的增大而减小，当k＜0时，反比例函数y随x的增大而增大.”因为，当x由负数经过0变为正数时，上述说法不成立.(3)反比例函数解析式的确定：反比例函数的解析式y=(k≠0)中只有一个待定系数k，因而只要有一组x、y的对应值或函数图象上一点的坐标，代入函数解析式求得k的值，就可得到反比例函数解析式.5．反比例函数解析式的确定在反比例函数y=(k≠0)定义中，只有一个常数，所以求反比例函数的解析式只需确定一个待定系数k，反比例函数即可确定.所以只要将图象上一点的坐标代入y=中即可求出k值.

性质是周期性

1.反比例函数Y=x/k(k≠0）的图象是双曲线. 2.（1)k>时,图像是位于一、三象限,在每个象限双曲线内,Y随X的增大而减小. （2）k<0时,图像是位于二、四象限,在每个象限的双曲线内,Y随X的增大而增大. （3）注：a.y=x/k中,x≠0,故双曲线的两支是不相连的. b.由于函数中x,y的值均不为0,所以双曲线的两个分支都无限的接近坐标轴,但永远不能和x轴、y轴相交.

一、正比例函数　　解析式：y＝kx。　　图像是过原点的直线。　　①当k＞0时，y随x的增大而增大，此时图像是过第一、第三象限及原点的直线；　　②当k＜0时，y随x的增大而减小，此时图像是过第二、第四象限及原点的直线。二、反比例函数　　解析式：y＝k/x。　　图像是以坐标轴为渐近线的双曲线。　　①当k＞0时，y随x的增大而减小，此时图像在第一、第三象限；　　②当k＜0时，y随x的增大而增大，此时图像在第二、第四象限。三、一次函数　　解析式：y＝kx＋b　　①当b＝0时，为正比例函数，其图像与性质见前面所述；　　②当k＞0，且b＞0时，y随x的增大而增大，此时图像是与x轴负半轴、y轴正半轴相交的直线；　　③当k＞0，且b＜0时，y随x的增大而增大，此时图像是与x轴正半轴、y轴负半轴相交的直线；　　④当k＜0，且b＞0时，y随x的增大而减小，此时图像是与x轴正半轴、y轴正半轴相交的直线；　　⑤当k＜0，且b＜0时，y随x的增大而减小，此时图像是与x轴负半轴、y轴负半轴相交的直线。四、二次函数　　解析式：y＝ax^2＋bx＋c，其中a≠0。对称轴是x＝－b/（2a）。　　①当a＞0，且b^2－4ac＞0时，图像是开口向上、与x轴相交的抛物线；　　②当a＞0，且b^2－4ac＝0时，图像是开口向上、与x轴相切的抛物线；　　③当a＞0，且b^2－4ac＜0时，图像是开口向上、与x轴相离的抛物线；　　④当a＜0，且b^2－4ac＞0时，图像是开口向下、与x轴相交的抛物线；　　⑤当a＜0，且b^2－4ac＝0时，图像是开口向下、与x轴相切的抛物线；　　⑥当a＜0，且b^2－4ac＜0时，图像是开口向下、与x轴相离的抛物线。

一、正比例函数　　解析式：y＝kx.　　图像是过原点的直线.　　①当k＞0时,y随x的增大而增大,此时图像是过第一、第三象限及原点的直线；　　②当k＜0时,y随x的增大而减小,此时图像是过第二、第四象限及原点的直线.二、反比例函数　　解析式：y＝k/x.　　图像是以坐标轴为渐近线的双曲线.　　①当k＞0时,y随x的增大而减小,此时图像在第一、第三象限；　　②当k＜0时,y随x的增大而增大,此时图像在第二、第四象限.三、一次函数　　解析式：y＝kx＋b　　①当b＝0时,为正比例函数,其图像与性质见前面所述；　　②当k＞0,且b＞0时,y随x的增大而增大,此时图像是与x轴负半轴、y轴正半轴相交的直线；　　③当k＞0,且b＜0时,y随x的增大而增大,此时图像是与x轴正半轴、y轴负半轴相交的直线；　　④当k＜0,且b＞0时,y随x的增大而减小,此时图像是与x轴正半轴、y轴正半轴相交的直线；　　⑤当k＜0,且b＜0时,y随x的增大而减小,此时图像是与x轴负半轴、y轴负半轴相交的直线.四、二次函数　　解析式：y＝ax^2＋bx＋c,其中a≠0.对称轴是x＝－b/（2a）.　　①当a＞0,且b^2－4ac＞0时,图像是开口向上、与x轴相交的抛物线；　　②当a＞0,且b^2－4ac＝0时,图像是开口向上、与x轴相切的抛物线；　　③当a＞0,且b^2－4ac＜0时,图像是开口向上、与x轴相离的抛物线；　　④当a＜0,且b^2－4ac＞0时,图像是开口向下、与x轴相交的抛物线；　　⑤当a＜0,且b^2－4ac＝0时,图像是开口向下、与x轴相切的抛物线；　　⑥当a＜0,且b^2－4ac＜0时,图像是开口向下、与x轴相离的抛物线.

反比例函数是y=a/x，图像为双曲线（可以用特殊点画出图像）在了解以上知识后画个草图就能判断了

点P在函数图像上。16*-1/2=-8

正比例函数的图象是经过原点的一条直线，是一次函数的特殊形式。当k为正时，函数单调递增，反之单调递减。反比例函数的图象是双曲线。当k为正时，在每个区间里，函数单调递减，反之单调递增。正比例函数和反比例函数均为奇函数，即其图象均关于原点中心对称。

m<0,n>0a<m<b<d<n<c

反比例函数的图像和性质教案（精选8篇） 　　在教学工作者实际的教学活动中，时常要开展教案准备工作，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。那么问题来了，教案应该怎么写？以下是我收集整理的反比例函数的图像和性质教案，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。 　　反比例函数的图像和性质教案 篇1 　　一、教材依据 　　人教版八年级第十七章《反比例函数》 　　二、设计思路 　　(一)教材分析 　　本节课讲述内容是在理解反比例函数的意义和概念、掌握了反比例函数的画法的基础上学习的，反比例函数的图象与性质的探索是对函数概念的深化，同时也是下一节反比例函数应用的基础，有了本节课的知识储备，便于学生利用函数的观点、数形结合的思想来处理问题和解释问题。 　　(二)教学方法 　　鉴于教材特点及初二学生的年龄特点、心理特征和认知水平，设想通过教师引导，学生积极“探究——讨论——交流——总结”，同时在教学中通过演示，操作，观察，练习等师生的共同活动，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生观察能力、直觉思维能力。 　　(三)学法指导 　　本堂课立足于学生的“学”，要求学生多动手，多观察，从而可以帮助学生形成分析、对比、归纳的思想，体会数形结合的思想。在对比和讨论中让学生在“做中学”，提高学生利用已学知识去主动获取新知识的能力。 　　三、教学目标 　　(一)知识目标 　　探索并掌握反比例函数的主要性质，逐步提高从函数图象获取信息的能力，体会数形结合的思想 　　(二)能力目标 　　通过观察图象，概括反比例函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力 　　(三)情感与价值观 　　让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲 　　四、教学重点 　　探索反比例函数的性质，体会数形结合的思想 　　五、教学难点 　　反比例函数的图象特点及性质的探索 　　六、教学准备 　　学生课前将函数图象画在黑板上(两个) 　　七、教学过程 　　反比例函数的图象与性质(二)教学案 　　(一)学习目标： 　　1、探究反比例函数的性质 　　2、体验数形结合的数学思想 　　(二)自学及学法指导： 　　1、用列表法画函数y=和的图象(学生课前板画在黑板上) 　　2、结合P41函数和的图象和黑板所画图象思考下列问题(小组讨论完成) 　　(1)所画的图象是什么形状? 　　(2)每个函数的图象分别位于哪几个象限? 　　(3)在每个象限内y随x的变化是如何变化的? 　　(4)图象与x轴、y轴能相交吗?为什么? 　　3、归纳总结：反比例函数的性质(小组轮流回答) 　　(1)反比例函数(k为常数，k≠0)的图象是 　　(2)当k>0时，双曲线的两分支分别位于象限__在每个象限内，y值随x值的增大而___ 　　(3)当k<0时，双曲线的两分支分别位于象限___，在每个象限内，y值随x值的增大而___ 　　八、教学反思 　　通过本节课教学，我认为满意的地方有： 　　1、课堂中，我营造了宽松的学习氛围，让学生参与到学习过程中，同时注重了学生的合作交流，在学生尝试探索反比例函数的性质前和后都安排了同桌交流、小组合作交流，之后又鼓励学生上讲台交流，让学生在不断交流中掌握反比例函数的性质，体会树形结合的思想。 　　2、在处理课堂练习时，让学生选择自己喜欢的问题来回答，照顾了学生的个体差异，关注了学生的个性发展;让学生充当老师讲解自己的观点，使我看到学生的智慧，听到了富有思想的回答，让人忍不住为他们鼓掌。在学习的过程中让学生觉得数学的简单，不仅是一种技巧，更是一种智慧，只有这样，才能极大地释放孩子的潜能。 　　今后应注意以下几个方面： 　　1、教学观念还要不断更新，更大限度地把时间还给学生，把课堂还给学生，实现——人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。 　　2、对数学学习的评价不仅要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程，帮助学生认识自我，建立信心。 　　3、这节课如果能利用多媒体课件，例题的展示将会更快，整节课将会更加丰满。 　　反比例函数的图像和性质教案 篇2 　　一、教材分析： 　　本节课学习的主要内容是画反比例函数的图象，让学生经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，初步认识具体的反比例函数图象的特征。反比例函数的图象是在学生已经知道了研究函数图象的一般方法，以及一次函数的图象是一条直线的基础之上进一步去研究的。同时，反比例函数的图象也与众不同。针对教材及学生的实际情况，本节课的设计是让学生多动手去探索规律。 　　二、教学目标： 　　知识与技能： 　　(1)作反比例函数的图象。 　　(2)掌握反比例函数的图象与性质。 　　过程与方法： 　　逐步提高从函数图象中获取信息的能力，和数形结合的能力。 　　情感、态度与价值观: 　　培养学生积极参与，乐于探究，善于交流的意识和习惯。 　　三、教学重难点 　　教学重点：学习反比例函数图象的画法，概括反比例函数图象的共同特征。 　　教学难点：从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质。 　　四、教学过程： 　　(一)创设情境、提出问题 　　我们已经知道一次函数的图象是一条直线，那么反比例函数(k为常数，k≠0)的图象是什么呢?猜猜看，应该怎么画呢?(让学生根据已有的知识经验，回忆画函数图象的一般方法与步骤，类比一次函数的图象进行猜想) 　　(二)动手实践、解决问题 　　1、画图:画出反比例函数的图象在教师的引导下，让学生通过亲自动脑、动手实践去科学地验证自己的猜想，培养学生科学的态度与精神。 　　师：画函数图象的第一个步骤是什么? 　　生：列表。 　　师：(大屏幕投影：表格)根据前面学习一次函数的经验，列表时应注意什么? 　　生：应注意自变量x的取值范围，本题当中x≠0。 　　师：是不是把所有的x不等于零的值全都列举出来? 　　生：不是。 　　师：那怎么取值呢?(学生讨论) 　　生：为了便于计算和描点，我们通常取x>0和x<0的一些整数值。 　　师：(大屏幕投影)那么，对应的y值分别是多少呢?(学生填表、口答答案。) 　　目的:让学生回忆、类比，注意比较与画一次函数的图象时列表的相同点与不同点。 　　师：列表之后，我们得到了几组x、y的对应值，即几组有序实数对，如何用直角坐标系中的点把它们表示出来呢?也就是如何描点? 　　生：以表中x的值作为点的横坐标，y的值作为点的纵坐标依次描点。 　　①学生描点 　　②教师利用多媒体课件演示描点的动画过程。 　　友情提醒：描点可要细心哦! 　　目的:让学生独立描点，观察描出的点的位置。培养学生细心的良好品质。 　　师：如何把描出的点连接起来，从而画出它的图象呢? 　　①学生连接。 　　②教师利用实物投影仪展示学生成果。 　　师：这里有同学们画的一些反比例函数的图象，我从中选出了四幅图象，请同学们仔细观察并进行讨论这四幅图象画得对还是不对?如果不对，它们分别错在哪里?为什么?(学生分析讨论) 　　生：第一幅图象是对的;第二、三、四幅图象都是错误的，错误的原因是：没有注意到自变量x的取值范围是x≠0的全体实数师：一位同学有这样一种想法：“在相邻的两点之间用线段来连接。”这种想法对吗?如果不对，错在哪里?为什么?学生分组讨论。学生相互讨论生：除了线段两个端点的坐标满足函数解析式之外，线段上其余各点的坐标都不满足函数解析式。所以用线段连接的方法是错误的。 　　师：除了已描好的点之外，你还能不能找到其它坐标满足函数解析式的点，比如横坐标在大于1小于2之间? 　　师：那么，应当用什么样的线来连接呢? 　　生：应当用平滑的曲线顺次连接。 　　目的:师生互动、生生互动，让学生充分参与、经历画图的过程，体会知识的形成过程;通过对学生画图个案的评析、多媒体课件填充点的过程演示、以及学生的认真观察、思考，探索得出重要的结论：应当用平滑的曲线顺次连接。学生自发的为自己发现的结论鼓掌，让学生品尝到成功的喜悦，增强学生的自信心。教师利用多媒体课件演示连接的过程：用平滑的曲线先顺次连接第一象限内的各点，得到图象的一个分支;然后再顺次连接第三象限内的各点，得到图象的另一个分支。把两个分支组合在一起就得到了反比例函数的图象。 　　2、猜想：反比例函数的图象在什么象限?请你在下面的平面直角坐标系内画出它的图象。 　　师：刚才，我们画出了k=6时，反比例函数的图象。请同学们猜想一下，k=-6时，反比例函数的图象在什么象限?为什么? 　　生：图象分布在二、四象限。由k=-6得xy=-6所以x、y异号所以反比例函数的图象分布在二、四象限。 　　3、师：请同学们画图验证自己的猜想。 　　4、①学生画图验证 　　②相互交流成果检验自己的猜想是否正确。 　　目的:让学生先类比k=6时，反比例函数的图象的位置，猜想k=-6时，反比例函数的图象的位置;然后，再独立画图验证自己的猜想。培养学生类比、猜想、说理、独立画图验证的能力。 　　师：(大屏幕投影：显示画图象的全过程)请同学们观察反比例函数的图象，注意比较与一次函数图象有哪些不同?讨论反比例函数的图象具有那些特征(学生分组讨论) 　　生：①一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是由两个分支组成的，而且都是曲线; 　　②一次函数的图象与x、y轴有交点，反比例函数的图象与x、y轴没有交点; 　　③反比例函数的图象的两个分支关于原点成中心对称。 　　④反比例函数的图象的两个分支被坐标轴隔开，它们可以无限地靠近x、y轴，但是永远不能与x、y轴有交点; 　　师：反比例函数的图象有许多的特征，在今后的学习当中，我们会逐步地去认识它。 　　设计目的:通过观察图象并比较与一次函数图象的不同点，让学生初步认识具体的反比例函数图象的特征。) 　　五、本节课你学到了什么?有哪些收获? 　　生：①画反比例函数的图象的方法 　　②知道了反比例函数的图象是双曲线 　　③反比例函数的图象不与坐标轴有交点 　　④反比例函数的图象是中心对称图形 　　反比例函数的图像和性质教案 篇3 　　教学目标： 　　1.能运用反比例函数的相关知识分析和解决一些简单的实际问题。 　　2.在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型。 　　教学重点 　　运用反比例函数解决实际问题 　　教学难点 　　运用反比例函数解决实际问题 　　教学过程： 　　一、情景创设 　　引例：小丽是一个近视眼，整天眼镜不离鼻子，但自己一直不理解自己的眼镜配制的原理，很是苦闷，近来她了解到近视眼镜的度数y(度)与镜片的焦距为x(m)成反比例，并请教师傅了解到自己400度的近视眼镜镜片的焦距为0.2m，可惜她不知道反比例函数的概念，所以她写不出y与x的函数关系式，我们大家正好学过反比例函数了，谁能帮助她解决这个问题呢? 　　反比例函数在生活、生产实际中也有着广泛的应用。 　　例如：在矩形中S一定，a和b之间的关系?你能举例吗? 　　二、例题精析 　　例1、见课本73页 　　例2、见课本74页 　　例3、某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(千帕)是气球体积V(米3)的反比例函数(1)写出这个函数解析式(2)当气球的体积为0.8m3时，气球的气压是多少千帕?(3)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积不小于多少立方米? 　　三、课堂练习 　　课本P74练习1、2题 　　四、课堂小结 　　反比例函数的应用 　　五、课堂作业 　　课本P75习题9.3第1、2题 　　反比例函数的图像和性质教案 篇4 　　一、教学目标 　　1.使学生理解并掌握反比例函数的概念 　　2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 　　3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想 　　二、重、难点 　　1.重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 　　2.难点：理解反比例函数的概念 　　3.难点的突破方法： 　　(1)在引入反比例函数的概念时，可适当复习一下第11章的正比例函数、一次函数等相关知识，这样以旧带新，相互对比，能加深对反比例函数概念的理解 　　(2)注意引导学生对反比例函数概念的理解，看形式，等号左边是函数y，等号右边是一个分式，自变量x在分母上，且x的指数是1，分子是不为0的常数k;看自变量x的取值范围，由于x在分母上，故取x0的一切实数;看函数y的取值范围，因为k0，且x0，所以函数值y也不可能为0。讲解时可对照正比例函数y=kx(k0)，比较二者解析式的相同点和不同点。 　　(3)(k0)还可以写成(k0)或xy=k(k0)的形式 　　三、例题的意图分析 　　教材第46页的思考题是为引入反比例函数的概念而设置的，目的是让学生从实际问题出发，探索其中的数量关系和变化规律，通过观察、讨论、归纳，最后得出反比例函数的概念，体会函数的模型思想。 　　教材第47页的例1是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题，此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解，掌握求函数解析式的方法;二是让学生进一步体会函数所蕴含的变化与对应的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。 　　补充例1、例2都是常见的题型，能帮助学生更好地理解反比例函数的概念。补充例3是一道综合题，此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式，有一定难度，但能提高学生分析、解决问题的能力。 　　反比例函数的图像和性质教案 篇5 　　教学设计思想 　　本节课是在学习了反比例函数的概念，反比例函数的图像和性质等相关知识的基础上引入的。首先创设问题情境，展示反比例函数在实际生活中的应用情况，激发学生的求知欲和浓厚的学习兴趣。接下来主要讨论了反比例函数在体积、面积这样的实际问题中的应用。分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题。 　　教学目标 　　知识与技能 　　1.能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题。 　　2.能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问题。 　　过程与方法 　　1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题。 　　2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。 　　情感态度与价值观 　　体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具。 　　教学重难点 　　重点： 掌握从实际问题中建构反比例函数模型。 　　难点： 从实际问题中寻找变量之间的关系。关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想。 　　教学方法 　　启发引导、合作探究 　　教学媒体 　　课件 　　教学过程设计 　　(一)创设问题情境，引入新课 　　[师]有关反比例函数的表达式，图像的特征我们都研究过了，那么，我们学习它们的目的是什么呢? 　　[生]是为了应用。 　　[师]很好。学习的目的是为了用学到的知识解决实际问题。究竟反比例函数能解决一些什么问题呢?本节课我们就来学一学。 　　问题：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境。 　　反比例函数的图像和性质教案 篇6 　　一、教学设计思路 　　1．本节课讲述内容为北师大版教材九年级下册第五章《反比例函数》的第二节，也这一章的重点。本节课是在理解反比例函数的意义和概念的基础上，进一步熟悉其图象和性质的"过程。 　　2．对教材的分析 　　（1）教学目标：进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象；体会函数三种方式的相互转换，对函数进行认识上的整和；逐步提高从函数图象中获取知识的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质。 　　（2）重点：会作反比例函数的图象；探索并掌握反比例函数的主要性质。 　　（3）难点：探索并掌握反比例函数的主要性质。 　　二、教学过程 　　（一）作图象，试比较 　　1、提问： 　　（1）=4/x是什么函数？你会作反比例函数的图象吗？ 　　（2）作图的步骤是怎样的（3）填写电脑上的表格，开始在坐标纸上描点连线。 　　2、按照上述方法作=—4/x的图象3、对照你所作的两个函数图象，找一下它们的相同点和不同点。 　　（二）细观察，找规律 　　1、让学生观察函数=/x的图象，按下动画按钮，在运动中观察值的变化与函数图象变化之间的关系，并与同学充分讨论有何规律。 　　2、演示反比例函数中心对称的性质以及轴对称性质，显示反比例函数的两条对称轴。 　　3、让学生观察函数=/x的图象，观察过反比例函数上任意一点作x轴和轴的垂线，观察其围成矩形的面积变化情况。 　　（1）拖动，使变化，观察不断变化过程中，矩形面积的变化情况，讨论得出结论。 　　（2）拖动函数上的点，观察矩形面积的变化情况，讨论得出结论。 　　（三）用规律，练一练 　　1、给出两个反比例函数的图象，判断哪一个是=2/x和=—2/x的图象。 　　2、判断一位同学画的反比例函数的图象是否正确。 　　3、下列函数中，其图象位于第一、三象限 　　的有哪几个？在其图象所在象限内，的值随x的增大而增 　　大的有哪几个？ 　　（四）想一想，作小结 　　（五）作业 ： 　　课本137页第1题、141页第2题 　　反比例函数的图像和性质教案 篇7 　　一、教学目标 　　1.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题 　　2.渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力 　　二、重点、难点 　　1.重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题 　　2.难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式 　　三、例题的意图分析 　　教材第57页的例1，数量关系比较简单，学生根据基本公式很容易写出函数关系式，此题实际上是利用了反比例函数的定义，同时也是要让学生学会分析问题的方法。 　　教材第58页的例2是一道利用反比例函数的定义和性质来解决的实际问题，此题的实际背景较例1稍复杂些，目的是为了提高学生将实际问题抽象成数学问题的能力，掌握用函数观点去分析和解决问题的思路。 　　补充例题一是为了巩固反比例函数的有关知识，二是为了提高学生从图象中读取信息的能力，掌握数形结合的思想方法，以便更好地解决实际问题 　　四、课堂引入 　　寒假到了，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰出现了裂痕，小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区。你能解释一下小明这样做的道理吗? 　　反比例函数的图像和性质教案 篇8 　　教学目标： 　　1、能利用反比例函数的相关的知识分析和解决一些简单的实际问题 　　2、能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式。 　　3、在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型。 　　教学重点、难点： 　　重点：能利用反比例函数的相关的知识分析和解决一些简单的实际问题 　　难点：根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式 　　教学过程： 　　一、情景创设： 　　为了预防“非典”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量(g)与时间x(in)成正比例。药物燃烧后，与x成反比例(如图所示)，现测得药物8in燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6g，请根据题中所提供的信息，解答下列问题: 　　(1)药物燃烧时，关于x的函数关系式为:________，自变量x的取值范围是:_______，药物燃烧后关于x的函数关系式为_______。 　　(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6g时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室; 　　(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3g且持续时间不低于10in时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么? 　　二、新授： 　　例1、小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑，打印成文。 　　（1）如果小明以每分种120字的速度录入，他需要多少时间才能完成录入任务？ 　　（2）录入文字的速度v（字/in）与完成录入的时间t(in)有怎样的函数关系？ 　　（3）小明希望能在3h内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？ 　　例2某自来水公司计划新建一个容积为的长方形蓄水池。 　　（1）蓄水池的底部S与其深度有怎样的函数关系？ 　　（2）如果蓄水池的深度设计为5，那么蓄水池的底面积应为多少平方米？ 　　（3）由于绿化以及辅助用地的需要，经过实地测量，蓄水池的长与宽最多只能设计为100和60，那么蓄水池的深度至少达到多少才能满足要求？（保留两位小数） 　　三、课堂练习 　　1、一定质量的氧气，它的密度(g/3)是它的体积V(3)的反比例函数，当V=103时，=1.43g/3 　　(1)求与V的函数关系式； 　　(2)求当V=23时求氧气的密度 　　2、某地上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55元至0.75元之间。经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量(亿度)与(x－0.4)(元)成反比例，当x=0.65时，等于-0.8。 　　(1)求与x之间的函数关系式； 　　(2)若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%?[收益=(实际电价－成本价)×(用电量)] 　　3、如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在BC边上移动(不与点B、C重合)，设PA=x，点D到PA的距离DE，求与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围。 　　四、 作业 　　30.3——1、2、3 ;

图象完全重合所以m+2=-mm=-1m+2=1所以反比例函数是y=1/xp的横坐标与纵坐标互为倒数,则xy=1,y=1/x所以p一定在上述的图像上q的横坐标与纵坐标互为相反数则x+y=0y=-xx的系数小于0，所以y=-x过第二四象限而y=1/x图像在第一三象限，所以两个函数没有交点所以q一定不在上述函数图像上

双曲线 k＞0 一三象限 k＜0 二四象限

反比例是相对于正比例来说的，就是Y=K/X（k不等于0），性质是在一个定数（K）的基础上两个变化的数在坐标轴中做背离运动。当K>0,X无限大时Y会无限趋向0，X无限小时Y趋向0，同理....

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。 因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k性质：当k＞0时，双曲线分布在一，三象限。在每一象限内，y随x的增大而减小 当k＜0时，双曲线分布在二，四象限。在每一象限内。y随x的增大而增大。 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴 围 成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K| 意义：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。 因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k取值范围:① k ≠ 0; ②在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是 不等于0的任意实数 ; ③函数 y 的取值范围也是任意非零实数。

y=ax^2+bx+ca>0开口向上a<0开口向下a,b同号，对称轴在y轴左侧，反之，再y轴右侧|x1-x2|=根号下b^2-4ac除以|a|与y轴交点为(0,c)b^2-4ac>0，ax^2+bx+c=0有两个不相等的实根b^2-4ac<0，ax^2+bx+c=0无实根b^2-4ac=0，ax^2+bx+c=0有两个相等的实根对称轴x=-b/2a顶点(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)顶点式y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a函数向左移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a+d)^2+(4ac-b^2)/4a,向右就是减函数向上移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a+d,向下就是减正比例函数与反比例函数形如y=kx(k为常数，且k不等于0），y就叫做x的正比例函数.图象做法:1.带定系数 2.描点 3.连线图象是一条直线,一定经过坐标轴的原点性质:当k>0时,图象经过一,三象限,y随x的增大而增大当k<0时,图象经过二,四象限,y随x的增大而减小形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。反比例函数的图像为双曲线。它可以无限地接近坐标轴,但永不相交.性质:当k>0时,图象在一,三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小,当k<0时,图象在二,四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大.

反比例函数知识点汇总关于函数的知识，相信同学们早已不陌生，之前小编已经带大家学习过一次函数和二次函数的内容了，今天要接触的部分是反比例函数，顺便再来回顾下平面直角坐标系的内容。作为中考的拉分大题，初三的娃娃们要抓紧时间练起来啦～平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。2、各个象限内点的特征：第一象限：（+，+），点P（x，y），则x>0，y>0；第二象限：（-，+），点P（x，y），则x<0，y>0;第三象限：（-，- ），点P（x，y），则x<0，y<0;第四象限：（+，-）， 点P（x，y），则x>0，y<0;3、坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0，0）。两坐标轴的点不属于任何象限。4、点的对称特征：已知点P（m, n）,关于x轴的对称点坐标是（m，-n），横坐标相同，纵坐标相反;关于y轴的对称点坐标是（-m, n），纵坐标相同，横坐标相反;关于原点的对称点坐标是（-m, -n），横、纵坐标都相反。5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。6、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。7、点P（x,y）的几何意义：点P（x，y）到 x 轴的距离为 |y| ，点P（x，y）到 y 轴的距离为 |x|。点P（x，y）到坐标原点的距离为8、两点之间的距离：9、中点坐标公式：已知A（ x, y ）、B（ x, y ），M为AB的中点，则：10、点的平移特征：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右平移 a 个单位长度，可以得到对应点（ x+a，y）;将点（x，y）向左平移 a 个单位长度，可以得到对应点（x-a，y）；将点（x，y）向上平移 b 个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）；将点（x，y）向下平移 b 个单位长度，可以得到对应点（x，y-b）。注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。反比例函数图像与性质1. 定义：一般地，形如 y=k/x (k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数。y=k/x 还可以写出 y=kx。2. 解析式：y=k/x ( k为常数 )注：反比例函数解析式的特征：① 等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量 x，且指数为1。② 比例系数k不等于0。③ 自变量 x 的取值为一切非零实数。（反比例函数有意义的条件：分母≠0）。④ 函数 y 的取值是一切非零实数。3、增减性（单调性）：k>0，y随x的增大而减小（单调减）；k<0，y随x增大而增大（单调增)。4、反比例函数的图象：双曲线（1）图像的画法：描点法① 列表（应以o为中心，沿o的两边分别取三对或以上互为相反的数）② 描点（有小到大的顺序）③ 连线（从左到右光滑的曲线）（2）对称性：① 是中心对称图形，对称中心是原点② 是轴对称图形，对称轴是直线 y=x 和 y=-x（3）反比例函数 y=k/x （k为常数，k≠0）中自变量 x 不等于0，函数值 y 不等于0，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支（称为左、右支），延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。（4）比例系数 k 的几何含义：反比例函数 y=k/x (k≠0) 中比例系数的几何意义，即过双曲线 y=k/x（k≠0）上任意一点 P， 作x轴、y轴垂线。设交点分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积（阴影面积）为 |k| . (由 y=k/x 变形可得：k=xy. 因为面积为正数，所以 k 取绝对值。)5. 反比例函数性质如下表：

关于原点对称在正负两个区间分别为增函数图不太方便，你不会画我再补充再看看别人怎么说的。

y=k/x 其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线， 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。 　　k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 　　反比例函数图像不与x轴和y轴相交。y=k/x的渐近线：x轴与y轴。 　　k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。 　　|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

k>0时在一三象限

(1)n=(-4)*2/(-4)=2 m=(-4)*2=-8 把（-4，2），（2，-4）代入一次函数y=kx+b求解，k=-1,b=-2 即y=-x-2,y=-8/x(2)-x-2=y1<y2=(-8)/x 解得x属于（-4，0）并（2，+无穷）时间比较紧，稍有不细，请勿见怪 汗。。。比我快的人这么多。。。

k>0,y随x增大而减小，k<0，y随x增大而减大

m=0

形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣当Ｋ＞０时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数（即y随x的增大而减小）当Ｋ＜０时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数（即y随x的增大而增大）由于反比例函数的自变量和因变量都不能为0，所以图像只能无限向坐标轴靠近，无法和坐标轴相交。 定义与定义式 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b （k为任意不为零实数，b为任意实数） 则此时称y是x的一次函数。 特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx （k为任意不为零实数）一次函数的性质 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数） 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。一次函数的图像及性质　　1．作法与图形：通过如下３个步骤（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道２点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）　　2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。　　3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。 4．k，b与函数图像所在象限： 当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b＞0时，直线必通过一、二象限； 当b=0时，直线必通过原点。 当b＜0时，直线必通过三、四象限。 y=kx+b时： 当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。 当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。 当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。 当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。 特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。 4、特殊位置关系 当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

那么长？我就觉得口诀不错

反比例函数的性质是：1，反比例函数的图像是双曲线。由于自变量取值范围为不等于0的实数，所以双曲线的的两个分支都无限靠近x轴和y轴，但与x轴和y轴不相交。 2，当比例系数k＞0时，双曲线的两个分支分别在第一和第三象限，y随x增大而减小。当k＜0时，双曲线的两个分支分别在第二和第四象限，y随x增大而增大。

当k小于零，y随x增增大而增大大于零y随x增大而减小

一次函数I、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b（k，b为常数，k≠0） 则称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 II、一次函数的性质： y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即 △y/△x=k III、一次函数的图象及性质： 1． 作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。 2． 性质：在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。 3． k，b与函数图象所在象限。 当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b＜0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。 这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。 IV、确定一次函数的表达式： 已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 （2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程： y1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②。 （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。 V、一次函数在生活中的应用 1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。 反比例函数 形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 反比例函数的图像为双曲线。 如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像。

当k＞0时，y随x的增大而减小；当k＜0时，y随x的增大而增大

当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。 2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

函数及其图像一、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 第一象限(+,+) 第二象限(-,+) 第三象限(-,-) 第四象限(+,-)2、坐标轴上的点的特征在x轴上纵坐标为0 , 在y轴上横坐标为, 原点坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p"关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p"关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p"关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）到x轴的距离等于 （2）到y轴的距离等于 （3）到原点的距离等于 三、函数及其相关概念 1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。2、函数的三种表示法（1）解析法（2）列表法（3）图像法3、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表（2）描点（3）连线4、自变量取值范围四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果 （k，b是常数，k 0），那么y叫做x的一次函数。特别地，当一次函数 中的b为0时， （k为常数，k 0）。这时，y叫做x的正比例函数。2、一次函数的图像：是一条直线3、正比例函数的性质，，一般地，正比例函数 有下列性质：（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。4、一次函数的性质，，一般地，一次函数 有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小5、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 （k 0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式 （k 0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。6、 设两条直线分别为， ： ： 若 且 。 若 7、平移：上加下减，左加右减。8、较点坐标求法：联立方程组五、反比例函数 1、反比例函数的概念一般地，函数 （k是常数，k 0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成 或xy=k的形式。自变量x的取值范围是x 0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例函数的图像是双曲线。3、反比例函数的性质(1)当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小。 (2)当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x 的增大而增大。(3) 图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。(4)图像既是轴对称图形又是中心对称图形（5）图像上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴所围成矩形面积等于|k|4、反比例函数解析式的确定只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。六、二次函数 1、二次函数的概念：一般地，如果 ，那么y叫做x 的二次函数。2、二次函数的图像是一条抛物线。3、二次函数的性质：（1）a>0抛物线开口向上，对称轴是x= ，顶点坐标是（ ， ）；在对称轴的左侧，即当x< 时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x> 时，y随x的增大而增大；抛物线有最低点，当x= 时，y有最小值， （2） a<0抛物线开口向下，对称轴是x= ，顶点坐标是（ ， ）；在对称轴的左侧，即当x< 时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x> 时，y随x的增大而减小，；抛物线有最高点，当x= 时，y有最大值， 4、.二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式： （2）顶点式： （3）两根式： 5、抛物线 中， 的作用： 表示开口方向： >0时，抛物线开口向上，，， <0时，抛物线开口向下 与对称轴有关：对称轴为x= ，a与b左同右异 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0， ）6、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的 ，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当 >0时，图像与x轴有两个交点；当 =0时，图像与x轴有一个交点；当 <0时，图像与x轴没有交点。7、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：顶点是 ，对称轴是直线 . （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 .8、平移： 可以由 平移得到。上加下减，左加右减。

反比例函数图像与性质

反比例函数图像性质：反比函数的图像是在一个坐标轴上有两根相互对称的曲线而组成，性质分别为：①单调性、②面积、③图想表达、④对称性。1、反比例函数y=xk（k≠0）的图象是双曲线；2、当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小。3、当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大。注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点。反比例函数中比例系数k的几何意义在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|。在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|2，且保持不变。空间域增强：通常空间域增强可以直接对图像像素点进行处理，空间域增强可以由式所示：g(x,y)=T[f(s,y)]。输入图像用 f (x, y)表示，增强后的图像用 g (x, y)表示，T能对图像像素集合进行操作是增强函数，若T仅定义在像素点上，每次只对图像单个像素点处理，而与其邻域无关，则T表示的是一种点操作，又称空域变换增强。

以下是反比例函数的图像与性质：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的两条曲线，反比例函数图象中每一象限的每一条曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k·x^（-1）。表达式为：x是自变量，y是因变量，y是x的函数。反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的两条曲线,反比例函数图象中每一象限的每一条曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)。其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。k>0时，图象在一、三象限。k<0时，图象在二、四象限。k的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小。当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。k>0时，函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。在(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。

一般的，从反比例函数y等于x分之k图像上任意一点p，向x轴和y轴作垂线，以点p的两个垂足及坐标原点的矩形面积等于常数k的绝对值

反比例函数图像的性质如下：①单调性：反比函数是具有单调性的，当函数内容k大于零的时候，图像分别位于第一三象限，而在每一个象限的内部，从左往右来数，y是随着x的增大而减少，如果K小于零的时候，图像分别位于第二四象限，在每一个象限的内部，y随着x的增大而增大。当K大于零的时候，函数在x小于零上是一个减函数，而在x大于零的时候，也是为减函数。在k小于零的时候，函数在x小于零上为增函数，在x大于零的时候同为增函数。②面积：在一个反比例函数上面取两个点，这两个点可以随意的取，然后过点分别做一个x轴和一个y轴的平行线，而这个平行线是可以和坐标轴围成一个矩形，而这一个矩形的面积为绝对值得K。而在反比例函数上，找到一个点，向X/Y轴分别做一个垂线，设置一个围好的矩形，而这个矩形则为QOWM，这个垂线分别位于y轴和x轴，则围成形状的这个面积为绝对值得K，则连接这个矩形的对角线为OM，则满足RT△OMQ的面积等于二分之一绝对值得K。③图像表达：对于反比例函数的图像来说的话，不和x轴或者是y轴的相交渐近线为x轴和y轴，K值相等的反比例函数图像是相互重合的，k值不相等的反比例函数图像是永远都不会相交的，而绝对值得K越大的话，反比例函数距离坐标轴就会越来越远。④对称性：反比例函数是一种中心对称的图形，对称中心是原点，而正是这样的一个反比例函数的图像也是轴对称图形，随意反比例函数上的点是关于原点坐标对称的，图像关于原点对称。

正比例函数的图象是经过原点的一条直线，是一次函数的特殊形式。当k为正时，函数单调递增，反之单调递减。反比例函数的图象是双曲线。当k为正时，在每个区间里，函数单调递减，反之单调递增。正比例函数和反比例函数均为奇函数，即其图象均关于原点中心对称。

一、正比例函数　　解析式：y＝kx。　　图像是过原点的直线。　　①当k＞0时，y随x的增大而增大，此时图像是过第一、第三象限及原点的直线；　　②当k＜0时，y随x的增大而减小，此时图像是过第二、第四象限及原点的直线。二、反比例函数　　解析式：y＝k/x。　　图像是以坐标轴为渐近线的双曲线。　　①当k＞0时，y随x的增大而减小，此时图像在第一、第三象限；　　②当k＜0时，y随x的增大而增大，此时图像在第二、第四象限。三、一次函数　　解析式：y＝kx＋b　　①当b＝0时，为正比例函数，其图像与性质见前面所述；　　②当k＞0，且b＞0时，y随x的增大而增大，此时图像是与x轴负半轴、y轴正半轴相交的直线；　　③当k＞0，且b＜0时，y随x的增大而增大，此时图像是与x轴正半轴、y轴负半轴相交的直线；　　④当k＜0，且b＞0时，y随x的增大而减小，此时图像是与x轴正半轴、y轴正半轴相交的直线；　　⑤当k＜0，且b＜0时，y随x的增大而减小，此时图像是与x轴负半轴、y轴负半轴相交的直线。四、二次函数　　解析式：y＝ax^2＋bx＋c，其中a≠0。对称轴是x＝－b/（2a）。　　①当a＞0，且b^2－4ac＞0时，图像是开口向上、与x轴相交的抛物线；　　②当a＞0，且b^2－4ac＝0时，图像是开口向上、与x轴相切的抛物线；　　③当a＞0，且b^2－4ac＜0时，图像是开口向上、与x轴相离的抛物线；　　④当a＜0，且b^2－4ac＞0时，图像是开口向下、与x轴相交的抛物线；　　⑤当a＜0，且b^2－4ac＝0时，图像是开口向下、与x轴相切的抛物线；　　⑥当a＜0，且b^2－4ac＜0时，图像是开口向下、与x轴相离的抛物线。

正比例函数的图象是经过原点的一条直线，是一次函数的特殊形式。当k为正时，函数单调递增，反之单调递减。反比例函数的图象是双曲线。当k为正时，在每个区间里，函数单调递减，反之单调递增。正比例函数和反比例函数均为奇函数，即其图象均关于原点中心对称。

反比例函数的性质如下：（1）反比例函数y=xk（k≠0）的图象是双曲线。（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小。（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大。比例系数k的几何意义在反比例函数y等于xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|。在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|2，且保持不变。自变量的取值范围1、在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数。2、函数y的取值范围也是任意非零实数。反比例函数经典题型对于一次函数和反比例函数，还有一种很经典的题型：等号变不等号，也就是说，给你两个函数，要求两者不等时的自变量取值范围；或是只给反比例函数，并给出一个（两个）数值，要求函数或自变量与其处在某种不等关系时，另一个量的取值范围。遇到这类题目，一般我们都会选择求解析式；但是这里存在的问题是，x的移动需要考虑其正负，并且移动后会变为二次不等式，因此我们选择画图。

1.图像是双曲线,k大于零图像过1、3象限,k 小于零,图象过2、4象限,反比例函数图象于两轴无限靠近但不相接。2.反比例函数无增减性。k大于零时,在每一个象限中,y随x的增大而减小,k小于零时,在每一个象限中,y随x的增大而增大。3.图象为中心对称图形,对称中心为原点。图象也为轴对称图形,对称轴为两条直线Y等于x、y等于负x

正比例函数的图象是经过原点的一条直线，是一次函数的特殊形式。当k为正时，函数单调递增，反之单调递减。反比例函数的图象是双曲线。当k为正时，在每个区间里，函数单调递减，反之单调递增。正比例函数和反比例函数均为奇函数，即其图象均关于原点中心对称。

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。 因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k性质：当k＞0时，双曲线分布在一，三象限。在每一象限内，y随x的增大而减小 当k＜0时，双曲线分布在二，四象限。在每一象限内。y随x的增大而增大。 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴 围 成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K| 意义：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。 因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k取值范围:① k ≠ 0; ②在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是 不等于0的任意实数 ; ③函数 y 的取值范围也是任意非零实数。

y=k/x 当k>0时,函数图像的两个分支分别在第一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小. 当k

k＞0,过一三象限；k＜0,过二四象限

怎么了？

一次函数的性质 一次函数y=kx+b (k≠0) k>0,b>0,则图象过1,2,3象限 k>0,b<0,则图象过1,3,4象限 k<0,b>0,则图象过1,2,4象限 k<0,b<0,则图象过2,3,4象限当k>0时,y随x的增大而增大；图像经过一、三象限当k<0时,y随x的增大而减小；图像经过二、四象限 二次函数 y=ax^2+bx+c a>0开口向上 a<0开口向下 a,b同号,对称轴在y轴左侧,反之,再y轴右侧 |x1-x2|=根号下b^2-4ac除以|a| 与y轴交点为(0,c) b^2-4ac>0,ax^2+bx+c=0有两个不相等的实根 b^2-4ac<0,ax^2+bx+c=0无实根 b^2-4ac=0,ax^2+bx+c=0有两个相等的实根 对称轴x=-b/2a 顶点(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) 顶点式y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a 函数向左移动d(d>0)个单位,解析式为y=a(x+b/2a+d)^2+(4ac-b^2)/4a,向右就是减 函数向上移动d(d>0)个单位,解析式为y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a+d,向下就是减 正比例函数与反比例函数 形如y=kx(k为常数,且k不等于0）,y就叫做x的正比例函数. 图象做法:1.带定系数 2.描点 3.连线 图象是一条直线,一定经过坐标轴的原点 性质:当k>0时,图象经过一,三象限,y随x的增大而增大 当k<0时,图象经过二,四象限,y随x的增大而减小 形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数,叫做反比例函数. 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 反比例函数的图像为双曲线.它可以无限地接近坐标轴,但永不相交. 性质:当k>0时,图象在一,三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小, 当k<0时,图象在二,四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大.

①基本形式y=k/x②抛物线③画图④从抛物线中获取信息