等差乘等比数列前n项和公式

An=A1×q^（n－1）

a3a6a18是一个确定的常数,即[a1*(q^2)]*[a1*(q^5)]*[a1*(q^17)]为常数，即(a1^3)*(q^24)=[a1*(q^8)]^3也是常数。即 a9 也是常数。则由等比中项：T17=a1*a2*……a17=(a1*a17)*(a2*a16)*……*(a8*a10)*a9=(a9^2)*(a9^2)*……a9=a9^17

解：由已知得：a1an=a2an-1=a3an-2~~~~~~~~~~所以等于（a1*an)的n/2次方

B 试题分析：由已知 ，所以 = = · ，要 最大，则 应为正， 应为偶数2k，n(n-1)=4k，n、n-1中必有一奇一偶，因此n是4的倍数或n-1是4的倍数。 = = = ， 随 增大而增大，又n是4的倍数或n-1是4的倍数，当n=9时，n-1=9-1=8是4的倍数。此时， 有最大值90，此时， = 。 中最大的是 ，故选B点评：综合题，能将 化为 = = = ，并发现 随 增大而增大，又n是4的倍数或n-1是4的倍数，当n=9时，n-1=9-1=8是4的倍数是解题的关键。

K

(2a).[ (3/2)a].[ (4/3)a]....[(n+1)a/n]=2(3/2)(4/3)...[(n+1)/n] . a^n=(n+1). a^n

等差数列前n项和公式推导：Sn=a1+a2+.an-1+an也可写成Sn=an+an-1+.a2+a1两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+.(an+a1)=n(a1+an)所以Sn=[n（a1+an）]/2如果已知等差数列的首项为a1,公差为d,项数为n,则an=a1+(n-1)d代入公式(1)得Sn=na1+[n(n+1)d]/2(II)没有等差数列前N项积公式

因为 T13=T9*(a10*a11*a12*a13)=4T9 , 所以 a10*a11*a12*a13=4 , 而 a10*a13=a11*a12=a8*a15 , 因此 a8*a15= ±2 , 又由于数列为递减数列,而 a8 与 a15 分别是偶数项和奇数项,不可能异号, 所以可得 a8*a15=2 .

an=512×(-1/2)^(n-1)这个是公式即an=a1q^(n-1)后面(-1)^(n-1)是自己弄上去的a1是正的a2是负的加了这个以后对符号是没有影响的,解题目时是可以灵活的运用的

1、等比数列的定义　　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．注意2、等比数列的通项公式　　由a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3，……，归纳得出an=a1qn－1.此公式对n=1也成立.注意3、等比中项　　如果在a与b中间插入一个数g，使a，g，b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项．注意4、等比数列的判定方法（1）、an=an－1·q（n≥2），q是不为零的常数，an－1≠0{an}是等比数列.（2）、an2=an－1·an＋1（n≥2,an－1,an,an＋1≠0）{an}是等比数列.（3）、an=c·qn（c，q均是不为零的常数）{an}是等比数列.5、等比数列的性质　　设{an}为等比数列，首项为a1，公比为q.（1）、当q>1，a1>0或01，a1<0或00时，{an}是递减数列；当q=1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列.（2）、an=am·qn－m（m、n∈n*）.（3）、当m＋n=p＋q（m、n、q、p∈n*）时，有am·an=ap·aq.（4）、{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项积相等，且等于首末两项之积.（5）、数列{λan}（λ为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；若{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{an·bn}是公比为qq′的等比数列；数列是公比为的等比数列；{|an|}是公比为|q|的等比数列.（6）、在{an}中，每隔k(k∈n*)项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为qk＋1.（7）、当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列.（8）、{an}中，连续取相邻两项的和（或差）构成公比为q的等比数列.（9）、若m、n、p（m、n、p∈n*）成等差数列时，am、an、ap成等比数列.6、等比数列的前n项和公式　　设等比数列a1,a2,a3,…,an，…，它的前n项和是sn=a1＋a2＋…＋an，根据等比数列的通项公式可将sn写成sn=a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.…①①两边乘以q得qsn=a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn…②两式相减得（1－q）sn=a1－a1qn，由此得q≠1时等比数列{an}的前n项和的公式.因为an=a1qn－1，所以上面公式还可以写成.当q=1时，sn=na1.注意7、等比数列前n项和的一般形式　　一般地，如果a1,q是确定的，那么8、等比数列的前n项和的性质（1）、若某数列前n项和公式为sn=an－1(a≠0,±1)，则{an}成等比数列.（2）、若数列{an}是公比为q的等比数列，则（ⅰ）、sn＋m=sn＋qn·sm.（ⅱ）、在等比数列中，若项数为2n(n∈n*)，则（ⅲ）、sn,s2n－sn,s3n－s2n成等比数列.

Tn=a1*a2*...*an=1 T2n=T1*a(n+1)*..*a(2n)=2 因此a(n+1)*..*a(2n)=2=a1*a2*...*an*q^(n*n) q^(n*n)=2 a(2n+1)*..*a(3n)=a1*a2*...an*(q^(n*n))^2=4 T3n=T2n*a(2n+1)*..*a(3n)=2*4=8

a(n)=2002×(1/2)^(n-1)∴T(n)=a1a2a3……an=(2002^n)[(1/2)^(0+1+2+……+n-1)]=(2002^n)×(1/2)^[n(n-1)/2]设T(k)最大，则T(k)≥T(k+1)且T(k)≥T(k-1)解方程组就可以了

等比数列的各项均为正数=>a0>0,q>0a0(1-q^n)/(1-q)=S,P=a0^n*q^0*q*q^2*...*q^(n-1)=a0^n*q^(n*(n-1)/2),前n项倒数和:也是等比数列b0=1/a0,p=1/qT=(1-q^n)/(a0*q^(n-1)*(1-q))S/T=a0^2*q^(n-1)(S/T)^n=a0^(2n)*q^(n*(n-1))P^2=a0^(2n)*q^(n*(n-1))所以，P^2=(S/T)^n

等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1＞1，a99a100-1＞0，（a99-1 ） / （a100-1）＜0．给出下列结论：①0＜q＜1；②a99u2022a101-1＜0；③T100的值是Tn中最大的；④使Tn＞1成立的最大自然数n等于198．其中正确的结论是（　　）A．①②④ B．②④ C．①② D．①②③④ ∵a99a100-1＞0，∴a12u2022q197＞1，∴（a1u2022q98）2＞1．∵a1＞1，∴q＞0．又∵（a99-1 ） / （a100-1）＜0，∴a99＞1，且a100＜1．∴0＜q＜1，即①正确．∵a99u2022a101=a100^2 ；0＜a100＜1 ∴0＜a99u2022a101 ＜1，即 a99u2022a101-1＜0，故②正确．由于 T100=T99u2022a100，而 0＜a100＜1，故有 T100＜T99，∴③错误．④中T198=a1u2022a2…a198=（a1u2022a198）（a2u2022a197）…（a99u2022a100）=(a99u2022a100)99＞1，T199=a1u2022a2…a199=（a1u2022a199）（a2u2022a198）…（a99u2022a101）a100＜1，∴④正确．∴正确的为①②④，故选A．

等比数列有这样的性质当m+n=p+q时am*an=ap*aq（m、n、p、q是下标）所以a1*a6=a3*a4=a2*a5=1*4=4所以T6=a1*a2*a3*a4*a5*a6=4*4*4=64

如果是等比数列，前n项的积可以用公式表达出来。如果是等差数列，貌似就表达不出来了。如果想知道等比数列积的公式，欢迎追问

o

显然An=512*(-1/2)(n-1) 注:表示n-1次方则:|An|=512*1/2(n-1) 令|An|=1 得n=10因此|II(n)|最大值在n=10之时取到 因为之后的|An|<1会使II(n)越乘越小 很容易看出所有n为偶数的An为负 所有n为奇数的An为正又因为 II(n)=A1*A2*...*An所以II(n)的最大值要么是A10要么是A9又因为II10中有奇数个小于零的偶数项即A2,A4,A6,A8,A10则 II10<0 而II9中有偶数个小于零的偶数项即 A2 A4 A6 A8 因此II9>0>II10所以最大的是II9 选C

很明显，这个人是抄别人的啊，怎么还给满意回答？对此表示无语。。。

楼上的回答，答案是正确的，但是步骤出了错误，会让人误解。这个题目关键之处在于通项的化简。an=a1q^(n-1)=512×(-1/2)^(n-1)=(-1)^(n-1) * 2^(n-10) 注意最后一个是乘以 不是除以，不然再怎么算也是大错特错！！ bn=a1a2...an=[(-1)^(0+1+2+3+.....] * 2^9*2^8*2^7.....*2^2*2^1,之后我们观察这个n-10，这个是关键。到底n是取10呢 还是取9呢？取10的时候2^0=1,或许会让人疑惑。但是没有关系没有关系，职业玩家告诉你，前面只有在奇数项的时候[(-1)^(0+1+2+3+.....] 得到的才是正数，所以只能取9了，虽然个人也喜欢10这个幸运数字，但是很不幸啊。。╮(╯▽╰)╭少年，此题算中等数列题目，少玩DOTA，少撸LOL，少上WOW，切忌勿玩DNF，进舞厅等脑残游戏。师兄的忠告！！

Tn最大，则一定为正，Tn=a^n*（-1/2）^(n(n-1)/2)，则n(n-1)/2被2整出，故n被4整除。 由此，n-2项与第n相均为负，其乘积取正，则需要满足，a(n-2)*an>=1。a(n-2)*an=2012^2*（1/2）^(2n-4)<2048^2*(1/2）^(2n-4)=2^(26-2n)<=1=2^0则，26-2n>0,n<13.又n为偶数，因而n=12。 即前12项乘积最大，为Tn=2012^12*（1/2）^66<2^54.不知道看得懂不，呵呵符号有点肯跌；另外一种方法,由于n被4整除，则连续4相的乘积一定>1,只有这样才能使得Tn最大，a(n-3)a(n-2)a(n-1)an>1,即2012^4*（1/2）^(4n-6)>1.于是2048^4*（1/2）^(4n-6)>1,推出25/2>n,n为整数，n=12.

a1xa10=a2xa9...=.a5a6=五次根号下32=2，也就问二分之a5+a6最小又因为a5+a6大于等于2根a5a6=2根2，所以最小是根2

因为bn=a1*4^(n-1) 所以Tn=a1^n*4^[(n*(n-1)/2]所以T10=a1^10*4^45 T20=a1^20*4^190 T30=a1^30*4^435 T40=a1^40*4^780所以T20/T10=a1^10*4^145 T30/T20=a1^10*4^245 T40/T30=a1^10*4^345所以（T30/T20）/（T20/T10）=（T40/T30）/（T30/T20）=4^100所以T20/T10，T30/T20,T40/T30也成等比数列。

由a5^3*a7^5=1得a5和a7必有一个数大于1，一个数小于1。（因为:若同时等于1，则q=1，与a1>1矛盾，a5a7同时大于或小于1其积也必然大于或小于1，均不符）进而a5>1,a7<1,否则有q^4=a5/a1<1而q^2=a7/a5>1矛盾现在需要判别a6跟1的大小a5^3*a7^5=1 得a6^6*a7^2=1,因为a7<1，所以a6大于1T6=T5*a6>T5T7=T6*a7<T6Tn在n=6存在最大值

由等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有T20T10，T30T20，T40T30仍成等比数列，且公比为4100；我们可以类比推断出：S20-S10，S30-S20，S40-S30也构成等差数列公差为100d=300；故答案为：S20-S10，S30-S20，S40-S30，300

上期为大家分享了等差数列前n项和的最值问题。我们都知道，有两类特殊的数列：等差数列和等比数列。那么当这两种数列结合在一起会产生什么样的问题呢？本期就为大家带来几道这样的题。 来看下面这道题虽然这是一个等比数列，但是用到了一个概念叫做等差中项利用等比数列的性质，把所有项都用a2和q表示，等号两边同时约去a2即可得到一个关于q的一元二次方程解这个方程，又因为各项均为正数，舍去负值，即得最终答案等差和等比这两种特殊的数列，可以通过取对数或者取指数幂这两种运算相互转化。所以有时候等比数列的题目会结合对数运算的性质来考查，比如下面这道题同底的对数相加，底数不变，真数相乘根据等比中项的性质，前五项的乘积只与第三项有关。最后再结合对数运算法则，即可得出最终答案最后再来看一道这样的题，这是江苏宿迁2021期末考试题我们需要先根据已知条件求出数列{an}的通项公式最后把an化成以2为底指数幂的形式，方便我们进一步观察接下来该如何去做。 我们要求的是数列{an}前n项积的最值，an都是以2为底的指数幂，而同底数幂相乘，底数不变指数相加，最终转化成一个等差数列前n项和的最值问题如何得出这个等差数列{bn}呢？很简单，对an取以2为底的对数即可下面就看小伙伴们对上期的内容掌握如何了，求等差数列前n项和最值的两种方法，你都还记得吗？这里我们采用二次函数的方法，先求出前n项和Sn接着判断开口方向和对称轴，就可以求出Sn的最大值。注意n取正整数即可最后设数列{an}的前n项积为Tn，得出Tn与Sn的关系，就可以由Sn的最大值求出Tn的最大值

bn=b1乘以（q)^(n-1)Sn=当q=1时，为nb1, 当q≠1时，为b1(1-q^n)/(1-q)=(b1-bnq)/(1-q)

这是一个复合型的数列，解这类题一般乘以公比错位相减

k为-1/2，因为平行向量的斜率相同，1/k=2/(-1)画图 两点之间距离的等式列出来可以解

记公式没用的。你公式全记住了，也不代表你会做题。在做题的过程中，所有公式自然就记住了。以下的所谓的公式，是我根据09、10年各省市高考题总结的。事实上，单纯的记忆没用的，只有做题才有用。等差数列通项公式，两元素为首项a1和公差d等比数列通项公式，两元素为首项a1和公比q，注意取值范围a1≠0，q≠0等比数列各项为正，即a1>0且q>0等比数列前n项和公式Sn，主要分q=1和q≠1讨论，当q≠1时，公式可变形为Sn=k-kq^(n-1)，其中k为常数，是指数函数形式，注意其常数项和q^(n-1)前的系数一定是相等的等比数列中，同时出现前m项和Sm以及前2m项和S2m或前nm项和Snm(n表示m的倍数)时，注意两者联立后整体代换，注意因式分解等比中项、等差中项的定义等差数列前n项和的公式，注意公式有多个，根据场合运用。Sn=(a1+an)n/2=a1n+n(n-1)d/2=dn^2/2+(a1-d/2)n=k1n^2+k2n，其中k1,k2为常数，注意是二次函数形式，但一定没有常数项注意对数函数、指数函数中，等差数列和等比数列的穿插应用，以对数为例，lna+lnb=lnab，由此和的形式变成了积的形式，等式左边可以出等差数列的题目，等式右边可以出等比数列的题目注意等差数列、等比数列的证明方法，以等差数列为例，可以证明其通项公式为一次函数形式，或证明相邻两项等差，或证明中间项的2倍为前后两项的和，等等注意有限项等比数列、等差数列中运用基本不等式注意非0常数数列既是等差数列，也是等比数列注意一个公式的运用，两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，则恒有ai/bi=A[2i-1]/B[2i-1]，其中i为任意正整数注意，证明一个3项数列不为等比数列的方法（以下结论都可以推广到任意有限项或无限项），其一，若证得相邻两项同正或同负，另一项符号相反，则得证；其二，只要证得有1个0，就一定不是等比数列；等等，方法很多，也很灵活推荐一道有关等差、等比数列的高考压轴题，有难度。08上海高考最后一大题。

a1的N次方 乘以 公比的 n(n-1)/2 次方

∵数列{an}为等比数列∴a1*a5=a2*a4=a3^2……（这是等比数列的性质）∴t5=a1*a2*a3*a4*a5=a3^5=1∴a3=1

因为是等比数列,有公式am*an=ap*aq (m+n=p+q) 故a1*a8=a2*a7=a3*a6=a4*a5=2 故T8=a1*a2*a3*a4*a5*a6*a7*a8=16

T5=a1*a2*a3*a4*a5=a1*a1q*a1q^2*a1q^3*a1q^4=(a1q^2)^5=32=2^5a1q^2=a3=2

前N项积为a1*a1*(-o.5)*a1*(-o.5)^2*……*a1*(-o.5)^(n-1)=a1^n*(-o.5)^(n*(n-1)/2)由于|An|递减，当n=12时，|a12|<1,所以，直接将前12个数列出来：1536-768384-19296-4824-126-31.5-0.75由于-3*1.5*-0.75>1;所以最大的是前12项

1. Tn=1-An=1-Tn/T(n-1) 两边除以Tn: 1=1/Tn-1/T(n-1) 1/Tn-1/T(n-1)=1 Cn-C(n-1)=1 则Cn是首项为1/(1-A1),公差为1的等差数列. 2. Tn=1-An T1=1-A1=A1 A1=1/2 Cn-C(n-1)=1 Cn=C1+1*(n-1) =1/(1-A1)+(n-1) =1/(1-1/2)+(n-1) =n+1 Cn=1/Tn=n+1 Tn=1/(n+1) 1-An=Tn=1/(n+1) An=1-1/(n+1) =n/(n+1),2,T(n-1)=Tn/An=Tn/(1-Tn) 1/T(n-1)=1/Tn-1 明显Cn是等差数列，怎么成等比了……,2,A1*A2^^^^An=1-An; A1*A2^^^An-1=1-An-1; 相除得，An=（1—An）/（1-An-1）； 整理得：1/Tn-1=（1—Tn）/Tn 于是[（1/Tn）-（1/Tn-1）]=1；也就是说Cn是等差数列。。。。。,0,记数列An前n项积为Tn=1-An,记Cn=1/Tn.（1）证明Cn是等比数列；（2）求An 如题 确实是等差,我打错字了%>_

T5=a1a2a3a4a5=（a1a5）(a2a4）a3=a3的5次方=32

只需考虑绝对值大于1的项2^10=10242^11=2048所以，前11项的绝对值大于1注意到奇数项为正，偶数项为负，如果是11，10项，则有5项负数，乘积为负而9项时，有四个负数项，所以，前9项积最大

an=a1q^(n-1)Sn = a1+a2+...+an = a1(q^n-1)/(q-1)Tn = a1.a2.a3.....an = (a1)^n ( q.q^2...q^(n-1) ) =(a1)^n . q^[n(n-1)/2]bn = b1+(n-1)dSn =b1+b2+...+bn = (2b1+(n-1)d)n/2Tn = b1.b2....bn = b1(b1+d)(b1+2d)...(b1+(n-1)d)

由题意得，T5=a1a2a3a4a5=32，∵{an}是等比数列，∴a1a2a3a4a5=a35=32，即a3=2，故选A．

an=a1q^(n-1)Sn = a1+a2+...+an = a1(q^n-1)/(q-1)Tn = a1.a2.a3.....an = (a1)^n ( q.q^2...q^(n-1) ) =(a1)^n . q^[n(n-1)/2]bn = b1+(n-1)dSn =b1+b2+...+bn = (2b1+(n-1)d)n/2Tn = b1.b2....bn = b1(b1+d)(b1+2d)...(b1+(n-1)d)

设Sn为等差数列{An}的前n项和，Tn为等比数列{Bn}的前n项积。求证数列S10,S20-S10.S30-S20成等差数列若T10=10.T20=20.求T30的值？

等比数列{an}是递减数列其前n项的积为Tn,若T13=4T9a8*a15等于?等比数列{an}是递减数列--->公比0＜q＜1T13=4T9--->a10*a11*a12*a13=4--->a11*a12=a10*a13=a9*a14=a8*a15=√4=2

a1*a2*a3*a4*a5=1,又a1*a5=a2*a4=a3*a3,所以a3^5=1,a3=1

∵a9a10-1＞0，∴a12?q17＞1，∴q＞0，又∵a9a10-a9-a10+1=（a9-1）（a10-1）＜0．∴a9，a10一个大于1，一个小于1，而a1＞1∴数列不会是单调递增的，只能单调递减，∴必是a9＞1，a10＜1，∴0＜q＜1，故①正确，由a10＜1可得T10＜T9，故②错误；又T19=a1a2??a19=（a10）19＞＜1，T18=a1a2…a17a18=（a9?a10）9＞1，故③正确．故答案为：①③

a(n)=2006/2^(n-1)>0,p(n)=(2006)^n/2^[1+2+...+(n-1)] = (2006)^n/2^[n(n-1)/2]>0,ln[p(n)] = nln(2006) - n(n-1)/2*ln(2) f(x) = xln(2006) - x(x-1)/2*ln(2), x>0,f"(x)=ln(2006) - (x-1/2)ln(2) = -ln(2)[x - 1/2 - ln(2006)/ln(2)],0<x< 1/2 + ln(2006)/ln(2)时, f"(x)>0, f(x)单调增, ln[p(n)]单调增, p(n)单调增.x>1/2 + ln(2006)/ln(2)时, f"(x)<0, f(x)单调减, ln[p(n)]单调减,p(n)单调减. 9.5=1/2+ln(512)/ln(2)<1/2+ln(2006)/ln(2) < 1/2+ln(2014)/ln(2) = 10.5,n<=9<1/2+ln(2006)/ln(2)时， p(n)单调增， n>=11>1/2+ln(2006)/ln(2)时，p(n)单调减。p(n)的最大值只可能在p(9), p(10)和p(11)中取得。p(9)=(2006)^9/2^(36),p(10)=(2006)^(10)/2^(45),p(11)=(2006)^(11)/2^(55),p(11)/p(10)=2006/2^(10)=2006/2014<1, p(11)<p(10).p(10)/p(9)=2006/2^9 = 2006/512 > 1, p(10) >p(9).因此，n=10时，p(n)最大。

∵等比数列{an}的首项为a1=2020，公比q＝?12．∴an=a1qn-1=2020(?12)n?1=20202048?(?1)n?1?212?n．当n为奇数时an＞0，当n为偶数时，an＜0．f(n)f(n?1)＝a1a2???ana1a2???an?1＝an=20202048?(?1)n?1?212?n．则|f(n)f(n?1)|=20202048?212?n，当n≤11时，|f(n)f(n?1)|＞1，此时|f（n）|单调递增，当n≥12时，|f(n)f(n?1)|＜1，此时|f（n）|单调递减，当n=11时，f（11）＜0，当n=12时，f（12）＞0，∴当n=12时，f（n）有最大值．故答案为：12．

等差数列 通项公式： an=a1+(n-1)d等比数列 通项公式： An=A1*q^（n－1）