虚数的实际意义

虚数的实际意义：1、一切事物的值都可表示为：a+bi，而不是单有实数。我们可以在平面直角坐标系中画出虚数系统。如果利用横轴表示全体实数，那么纵轴即可表示虚数。整个平面上每一点对应着一个复数，称为复平面。横轴和纵轴也改称为实轴和虚轴。在此时，一点P坐标为P(a，bi)，将坐标乘上i即点绕圆心逆时针旋转90度。2、虚数成为微晶片和数字压缩算法设计中的核心工具，虚数是引发电子学革命的量子力学的理论基础。3、虚数是用来表示事物中无法构成抽象概念的因素的抽象概念。虚数i的运算公式虚数i的运算公式：（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i。在数学中，虚数就是形如a+b*i的数，其中a，b是实数，且b≠0，i2=-1。虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数a+b*i的实部a可对应平面上的横轴，虚部b与对应平面上的纵轴，这样虚数a+b*i可与平面内的点（a，b）对应。可以将虚数bi添加到实数a以形成形式a+bi的复数，其中实数a和b分别被称为复数的实部和虚部。一些作者使用术语纯虚数来表示所谓的虚数，虚数表示具有非零虚部的任何复数。

在数学中，虚数就是形如a+b*i的数，其中a,b是实数，且b≠0,i=-1。虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数a+b*i的实部a可对应平面上的横轴，虚部b与对应平面上的纵轴，这样虚数a+b*i可与平面内的点（a,b)对应。可以将虚数bi添加到实数a以形成形式a+bi的复数，其中实数a和b*i分别被称为复数的实部和虚部。一些作者使用术语纯虚数来表示所谓的虚数，虚数表示具有非零虚部的任何复数。虚数的符号：1777年瑞士数学家欧拉（Euler，或译为欧勒）开始使用符号i表示虚数的单位。而后人将虚数和实数有机地结合起来，写成a+bi形式（a、b为实数，a等于0时叫纯虚数，ab都不等于0时叫复数，b等于0时就是实数）。而在工程运算中，为了不与其他符号（如电流的符号）相混淆，有时也用j或k等字母来表示虚数的单位。通常，我们用符号C来表示复数集，用符号R来表示实数集。

引入复数的概念哈哈！

学好了能多考几分

虚数指数的实际意义是以直角坐标系原点O为圆心，以1为半径的圆，也可以说它的映射是一段弧。或者说是以单位矢量绕始点O旋转所得到的轨迹。其运算应根据欧拉公式e^(ix)=cosx+isinx 进行换算才行。例如：试求3^i等什么？解：设 z =3^i ( z为复数)则：Lnz=i(Ln3)有e^(Lnz)=e^(iLn3) 那么z=Cos(Ln3)+iSin(Ln3)经检验：z=Cos(Ln3)+iSin(Ln3)为所求的复数。z=Cos(Ln3)+iSin(Ln3)为所求的复数。其中(Ln3)>1，(Ln3)是弧度，只要应用大学一年级数学知识就行了，但复数的对数运算一定要检验。敬请批评指正，谨此！

《时间简史》我也看过的。其中虚数用的最妙的要数虚时间的定义了。不知道楼主什么学历，我按照你是高中生讲了哈。高中应该学过三维坐标系吧，那么你知道为什么要定义三维坐标吗？因为在高中物理与几何中，你只要确定了三维坐标，一切性质就确定了。理论上说，一个二维坐标（x,y）与x+yi是没有差别的（迪卡尔积不知道你们学了没有，没学也没关系，凑合着理解）。所以把三维坐标都变成复数没有任何意义，他就相当于一个6维坐标。然而，复数的许多良好性质与运算是普通二维坐标没法代替的。我们现在学一门课叫做复变函数，就是研究变量与自变量都是复数的函数的性质。这些性质可以对应到四维坐标，但是那就麻烦大了，而且既然专门有复变函数这门课我们何必要再研究思维空间呢。 总结一下我的观点：复数没有确切的到底是什么东西，他只是一种处理工具。借助《复变函数〉的研究给物理带来方便。至于虚时间，你不用深究，他就是构造了另一个时间度量，当我们的时间倒流时，他仍然是正着走的，你完全可以想象成一个二维时间，没有任何影响。因为时间简史很浅，他不会涉及太多关于复数的性质。 关于复数的妙用你可以看一下用复数解交流电灯棍工作原理的题，高中物理竞赛时我看到过。你会发现复数并不仅仅是数的扩充，很好用的！

好象没有

(1)[unreliable figure]∶虚假不实的数字(2)[imaginary number]∶实数与虚数单位之积,亦即实部为零的复数(如3i)在数学里，如果有某个数的平方是负数的话，那个数就是虚数了。所有的虚数都是复数。“虚数”这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。虚数轴和实数轴构成的平面称复平面,复平面上每一点对应着一个复数。虚数的符号1777年瑞士数学家欧拉开始使用符号i=√(-1)表示虚数的单位。而后人将虚数和实数有机地结合起来,写成a+bi形式 (a、b为实数)，称为复数。可以看下百度百科http://baike.baidu.com/view/1302.htm

一、什么是虚数？首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转180度，+1就会变成-1。这相当于两次逆时针旋转90度。因此，我们可以得到下面的关系式：(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)如果把+1消去，这个式子就变为：(逆时针旋转90度)^2 = (-1)将"逆时针旋转90度"记为 i ：i^2 = (-1)这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。所以，我们可以知道，虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。二、复数的定义既然 i 表示旋转量，我们就可以用 i ，表示任何实数的旋转状态。将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 , i )，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数（complex number），其中 1 称为实数部，i 称为虚数部。为什么要把二维坐标表示成这样呢，下一节告诉你原因。三、虚数的作用：加法虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。这就是虚数加法的物理意义。四、虚数的作用：乘法如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。比如，一条船的航向是 3 + 4i 。如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。五、虚数乘法的数学证明为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？下面就是它的数学证明，实际上很简单。任何复数 a + bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，可以将它们改写如下：a + bi = r1 * ( cosα + isinα )c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )展开后面的乘式，得到cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )根据三角函数公式，上面的式子就等于cos(α+β) + isin(α+β)所以，( a + bi )( c + di ) ＝ r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )这就证明了，两个复数相乘，就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。

虚数的物理指称性呼唤着新数学 众所周知，实数具有物理指称性，比如称某物质量为5千克，体积为15立方厘米等等，都是用实数作为物理指称的。一般认为，只有具有实数物理指称性的对象才可能具有可运算性、可观察性、可分性、可延性、有序性等等物理性质，因而是物理实在，否则就是非物理实在，是虚幻的乌有。因此，按照这样的观点，虚数在物理中是没有地位的，因为没有虚数的物理指称性，即虚数的物理指称性的事物是不存在，如果谁说有存在，那肯定是假的。所以，虽然虚数早在16世纪就被卡尔丹发现，但是至今仍然是卡迪尔的观点：“虚数的本意是指它是假的”在人们物质观中占统治地位。 今天，如果说虚数是具有物理指称性的，可能为时尚早，但是，说这种可能性已经初现端倪，却不是空穴来风。虽然虚数早已通过复数形式“半推半就”地进入物理学，但是被指称为虚过程（如跃迁）和虚粒子（如虚光子）事实上是越来越多了。尽管目前这些事例大多还集中在微观物理中，但是不能否认它们是具有虚数的物理指称性的事实。因此，我想难道我们就不能大胆地推进一步，设想夸克、暗能量和真空都是具有虚数的物理指称性的对象？ 但是，物理学作为一门科学，可不是仅凭一句：“夸克之所以不具有可观察性性由于它是虚的”就可以了事，而必须提供足够的理论证明。倘若果真如上述设想，夸克、暗能量和真空都是具有虚数的物理指称性的对象，那么很可能预示一门新的物理学将产生。物理学史表明，一门新物理学总是伴随着一门新数学，这是因为数学是物理学的最主要工具之一。因此，倘若新的物理学是包含夸克、暗能量和真空在内的具有虚数的物理指称性的对象的物理理论，那么以虚数为基本概念的新数学就是必要的。我们可以预示，这门新数学的运算方法必然与现在代数中的虚数简单方法有重大补充和差异，其内涵必然远远大于现在代数中的虚数内容。因此，历史可能会重演当年物理学家狄拉克需要δ函数而产生广义函数理论一样，人们需要能够描述具有虚数的物理指称性的对象关系的方法而产生新的数学。 作为一个或许有启发性的例子，我在研究夸克与强子的关系中发现[1]，如果把夸克认定为虚的，同时又和电子一样满足Bohr假说和Pauli原理，那么只要假定强子实质量H是由n个虚夸克qi之交按照H=∑q/n(n)1/2进行计算，可以直接得到基态夸克和强子及其共振态的全部质量谱，得到的强子及其共振态的质量值都与观测值相当吻合，而三个基态夸克质量之间的关系可以由黄金分割数所界定[2]，同时还可以得到许多与观察事实相吻合的结果。然而，这里的问题是，虽然上述得到的物理结果是成功的，但是它显然缺少一个坚实的数学基础，那就是我所希望出现的新数学。

复数是由实数和虚数构成，实数包括有理数和无理数，它表示实际的物理意义，而虚数不表示实际的物理意义，它只是为计算过程方便而引进的。其中虚数还包括非纯虚数和纯虚数，非纯虚数的形式是a+bi，而纯虚数的形式是bi，其中i是单位。互为倒数的两个数的乘积一定等于1，比如6/7×7/6=1，那么6/7是倒数，7/6是倒数

表示角度 如果你学过复数的三角或者指数表达式就会发现 虚数可以表示为 Ae^(ai) A为模长 a为幅角 这就使得任何一个向量都可以用这个来表示 这个意义不只是简化了表达的方式 而且复数的运算也是更简单的 而且复数与三角形式是可以转化的 在电磁学里往往算周期什么的就需要换成三角形式 复数在这上面有优势ps1：实轴和虚轴冰不是无聊透顶的牵强附合的解释 实际上高中阶段只告诉你这是一一映射 其实原不是这么简单 还是要化成指数形式 你会发现 i=e^（pai/2 *i） pai/2就是弧度制的90度 而 根号i等于 e^(pai/4 i) 也就是45度 也就是说 每一个纯虚数i都表示一个旋转的角度....ps2：虚数在相对论方面也是很重要的 不过我自己都搞不清楚........

看数学史虚数最初是为了解决一元三次方程求根问题引入的.如果不引入虚数,则有些实根没法解出来.本质上看,复数域是实数域的扩域.虚数单位i的定义就是实数域内不可约多项式方程（即无实数解）x^2+1=0的一个根.复数域把数从一维（直线）扩充到二维（平面）,几何上就是一个点或者向量.从复数出发,很多问题可以简化,如很多三角公式可以直接由复数运算推导出来.以复数为研究对象的学科叫做复变函数,LZ上大学会深入学习的.

虚数是保留运算方法强制运算负数开方得出来的,事实上在计算时确很有用,尤其时三角函数,周期函数等 复数是由实数和虚数构成,实数包括有理数和无理数,它表示实际的物理意义,而虚数不表示实际的物理意义,它只是为计算过程方便而引进的.其中虚数还包括非纯虚数和纯虚数,非纯虚数的形式是a+bi,而纯虚数的形式是bi,其中i是单位.为了计算负数的开方. 在数学里有意义.在自然界无意义

楼主错了,爱因斯坦相对论认为在我们这个亚光速世界中,光速是不能超越的!!根本不可能出现"物体运动超过光速，质量，时间，长度就会变成虚数"的现象

虚数 1、词典释义 xūshù (1) [unreliable figure]∶虚假不实的数字 (2) [imaginary number]∶实数与虚数单位之积,亦即实部为零的复数(如3i) 2、数学名词 （一）在数学里，如果有某个数的平方是负数的话，那个数就是虚数了。所有的虚数都是复数。 “虚数”这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。虚数轴和实数轴构成的平面称复平面,复平面上每一点对应着一个复数。 虚数的符号 1777年瑞士数学家欧拉开始使用符号i=√(-1)表示虚数的单位。而后人将虚数和实数有机地结合起来,写成a+bi形式 (a、b为实数)，称为复数。 虚数的历史 由于虚数闯入数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎也没有用复数来表达的量，因此，在很长的一段时间里，人们对虚数产生过种种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”的本意是指他是假的；莱布尼兹在公元18世纪初则认为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物。”欧拉尽管在许多地方用了虚数，但又说一切形如√(-1)、√(-2)的数学式都是不可能有的，纯属虚幻的。 欧拉之后，挪威的一个测量学家维塞尔，提出把复数a+bi用平面上的点（a，b）来表示。后来，高斯提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复数的应用开辟了道路。现在，复数一般用来表示向量（有方向的数量),这在力学、地图学、航空学中的应用是十分广泛的。虚数越来越显示出其丰富的内容，真是：虚数不虚。 （二）不表示实在数量的数词。如下面例子中的一、三、五、九、百、千、万等数词都是虚数。【例】以一当十｜三五成群｜千方百计｜万紫千红｜九牛一毛｜龙生九子｜三月不知肉味｜。

两个数相乘得1，称这两个数互为倒数。虚数是和实数对应的数，不是实数，就是虚数。

(-1)^0.5我们定义为虚数。一般用i来标记，电学上也用j表示。

虚数的实际意义我们可以在平面直角坐标系中画出虚数系统。如果利用横轴表示全体实数，那么纵轴即可表示虚数。整个平面上每一点对应着一个复数，称为复平面。横轴和纵轴也改称为实轴和虚轴。不能满足于上述图像解释的同学或学者可参考以下题目和说明：若存在一个数，它的倒数等于它的相反数（或者它的倒数的相反数为其自身），这个数是什么形式？根据这一要求，可以给出如下方程：-x=(1/x)不难得知，这个方程的解x=i（虚数单位）由此，若有代数式t"=ti，我们将i理解为从t的单位到t"的单位之间的转换单位，则t"=ti将被理解为-t"=1/t即t"=-1/t这一表达式在几何空间上的意义不大，但若配合狭义相对论，在时间上理解，则可以解释若相对运动速度可以大于光速c，相对时间间隔产生的虚数值，实质上是其实数值的负倒数。也就是所谓回到过去的时间间隔数值可以由此计算出来。

虚数是指平方是负数的数。虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。详见http://baike.baidu.com/view/1302.htm

在数学里，将平方是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数。这种数有一个专门的符号“i”(imaginary)，它称为虚数单位。定义为i^2=-1。但是虚数是没有算术根这一说的，所以√(-1)=±i。对于z=a+bi,也可以表示为e的iA次方的形式，其中p是常数，i为虚数单位，A为虚数的幅角，即可表示为z=cosA+isinA.不过在电子等行业中，因为i通常用来表示电流，所以虚数单位用j来表示。虚数没有正负可言。不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。我们可以在平面直角坐标系中画出虚数系统。如果利用横轴表示全体实数，那么纵轴即可表示虚数。整个平面上每一点对应着一个复数，称为复平面。横轴和纵轴也改称为实轴和虚轴。“虚数”这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。虚数的物理指称性呼唤着新数学 是很无聊的……

种田的自然用不着

虚数在实际生活中的意义表现在以下几个方面：1、虚数的作用：加法虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。这就是虚数加法的物理意义。2、虚数的作用：乘法如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。比如，一条船的航向是 3 + 4i 。如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。

在数学中，虚数是一个很重要的知识点，下面整理了虚数的实际意义及相关知识，希望能帮助到大家。 虚数的实际意义 把形如z=a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。 在数学中，虚数是对实数系的扩展。利用复数可以构建四维坐标系，四维坐标系是三维实数坐标系与三维虚数坐标系组合而成的。三维实数坐标系上的点与四维复数坐标系存在映射对应关系，每一个实数坐标点对应两个不同的四维坐标点。因此，虚数只有在四维坐标中才具有现实的数值意义。 虚数的性质 （1）i的高次方会不断作以下的循环： i 1 =i,i 2 =-1,i 3 =-i， i 4 =1,i 5 =i,i 6 =-1... （2）i n 具有周期性，且最小正周期是4. ∴i 4n =1，i 4n+1 =i，i 4n+2 =-1，i 4n+3 =-i. （3）由于虚数特殊的运算规则，出现了符号i 当ω=-1/2+（√3）/2i或ω=-1/2-（√3）/2i时： ω2+ω+1=0 ω3=1

虚数在实际生活中的意义表现在以下几个方面：1、虚数的作用：加法虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。这就是虚数加法的物理意义。2、虚数的作用：乘法如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。比如，一条船的航向是 3 + 4i 。如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。

虚数在实际生活中的意义表现在以下几个方面：1、虚数的作用：加法虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。这就是虚数加法的物理意义。2、虚数的作用：乘法如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。比如，一条船的航向是 3 + 4i 。如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。

我们可以在平面直角坐标系中画出虚数系统。如果利用横轴表示全体实数，那么纵轴即可表示虚数。整个平面上每一点对应着一个复数，称为复平面。横轴和纵轴也改称为实虚数轴和虚轴。不能满足于上述图像解释的同学或学者可参考以下题目和说明：若存在一个数，它的倒数等于它的相反数（或者它的倒数的相反数为其自身），这个数是什么形式？根据这一要求，可以给出如下方程：-x=(1/x)不难得知，这个方程的解x=i（虚数单位）由此，若有代数式t"=ti，我们将i理解为从t的单位到t"的单位之间的转换单位，则t"=ti将被理解为-t"=1/t即t"=-1/t这一表达式在几何空间上的意义不大，但若配合狭义相对论，在时间上理解，则可以解释若相对运动速度可以大于光速c，相对时间间隔产生的虚数值，实质上是其实数值的负倒数。也就是所谓回到过去的时间间隔数值可以由此计算出来。

虚数在实际生活中的意义表现在以下几个方面：1、虚数的作用：加法虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。这就是虚数加法的物理意义。2、虚数的作用：乘法如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。比如，一条船的航向是 3 + 4i 。如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。

虚数的意义： (1)[unreliable figure]∶虚假不实的数字(2)[imaginary number]∶复数中a+bi,b不等于零时bi叫虚数(3)[暂无英文]：汉语中不表明具体数量的词。 在数学里，将平方是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数。这种数有一个专门的符号“i”(imaginary)，它称为虚数单位。定义为i^2=-1。但是虚数是没有算术根这一说的，所以√(-1)=±i。对于z=a+bi,也可以表示为e的iA次方的形式，其中e是常数，i为虚数单位，A为虚数的幅角，即可表示为z=cosA+isinA. 不过在电子等行业中，因为i通常用来表示电流，所以虚数单位用j来表示。 虚数没有正负可言。不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。 我们可以在平面直角坐标系中画出虚数系统。如果利用横轴表示全体实数，那么纵轴即可表示虚数。整个平面上每一点对应着一个复数，称为复平面。横轴和纵轴也改称为实轴和虚轴。 “虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。编辑本段i的性质 i 的高次方会不断作以下的循环： i^1 = i i^2 = - 1 i^3 = - i i^4 = 1 i^5 = i i^6 = - 1... 由于虚数特殊的运算规则，出现了符号 ω2 + ω + 1 = 0 ω3 = 1的简式。其中ω=(-1+√3i)/2。编辑本段虚数的符号 1777年瑞士数学家欧拉(Euler，或译为欧勒)开始使用符号i表示虚数的单位。而后人将虚数和实数有机地结合起来,写成a+bi形式 (a、b为实数，a等于0时叫纯虚数，ab都不等于0时叫复数，b等于0时就是实数)。 通常，我们用符号C来表示复数集，用符号R来表示实数集。编辑本段虚数的历史 要追溯虚数出现的轨迹，就要联系与它相对实数的出现过程。我们知道，实数是与虚数相对应的，它包括有理数和无理数，也就是说它是实实在在存在的数。 有理数出现的非常早，它是伴随人们的生产实践而产生的。 无理数的发现，应该归功于古希腊毕达哥拉斯学派。无理数的出现，与德谟克利特的“原子论”发生矛盾。根据这一理论，任何两个线段的比，不过是它们所含原子数目的经。而勾股定理却说明了存在着不可通约的线段。 不可通约线段的存在，使古希腊的数学家感到左右为难，因为他们的学说中只有整数和分数的概念，他们不能完全表示正方形对角线与边长的比，也就是说，在他们那里，正方形对角线与连长的比不能用任何“数”来表示。西亚他们已经发同了无理数这个问题，但是却又让它从自己的身边悄悄溜走了，甚至到了希腊最伟大的代数学家丢番图那里，方程的无理数解仍然被称为是“不可能的”。 无理数的确定与开方运算息息相关。对于那些非完全平方数，人们发现它们的平方根是可以无限制地求到任意多位的无限不循环小数。（像π＝3.141592625…，E=2。71828182…等），称为无理数。 但是当无理数的位置确定后，人们又发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能长度解决代数方程的求解问题。像x 2+1=0这样最简单的二次方程，在褛范围内没有解。12世纪的印度大数学家婆什伽罗都认为这个方程是没有解的。他认为正数的平方是正数，负数的平方也是正数，因此，一个正数的平方根是两重的；一个正数和一个负数，负数没有平方根，因此负数不是平方数。这等于不承认方程的负根的存在。 到了16世纪，卡尔达诺的＜大衍术＞第一次大胆使用了负数平方根的概念。如果不使用负数平方根，就是可能决四次方程的求解问题。虽然他写出院负数的平方根，但他却犹豫不次，他不得不声明，这个表达式是虚构的，想像的，并么一次称它为”虚数”但是数学家们使用它时，还是非常小心谨慎，就连著名的数学家欧拉在使用虚数时也不得不给自己的论文加上一个评语。一切形如√-1,√-2的数学式，都是不可能有的、想像的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么。它们线性虚幻。虽然大师的这段话读起来有些拗口，但从中可以看出他和虚数时也不那么理直气壮。 对于早期的数学家们来说，使得虚数成为似乎是合理的和可以接受的倒不是像x^2+1=0这样的二次方程的求解问题，而是具有实数根的三次方程求解问题。 1545年意大利米兰的卡丹发表了文艺复兴时期最重要的一部代数学著作，提出了一种求解一般三次方程的求解公式： 形如：x^3+ax+b=0的三次方程解如下： x={(-b/2)+[(b^2)/4+(a^3)/27]^(1/2)}^(1/3)+{(-b/2)-[(b^2)/4+(a^3)/27]^(1/2)}^(1/3) 当卡丹试图用该公式解方程x^3-15x-4=0时他的解是： x=[2+(-121)^(1/2)]^(1/3)+[2-(-121)^(1/2)]^(1/3) 在那个年代负数本身就是令人怀疑的，负数的平方根就更加荒谬了。 因此卡丹的公式给出x=(2+j)+(2-j)=4。容易证明x=4确实是原方程的根，但卡丹不曾热心解释(-121)^(1/2)的出现。认为是“不可捉摸而无用的东西”。 可是虚数的出现，却帮了无理数的大忙，无理数和有理数相比，底气显得有些不足，但是在虚数面前，它和有理数一样，都是实实在在的数所以数学家才把它同有理数合称为实数，这样就可以和虚数区别开来。有趣的是，虚数也非常顽强，它就如同实数在镜子里的映像一样，不仅同实数形影不离，而且还常常同实数结合起来，构成复数。 虚数，人们开始称之为“实数的鬼魂”，1637年笛卡儿称为“想像中的数”，于是一切虚数都具有BI，而复数则具有a+bi,这里a和b都是实数。虚数也常称为纯虚数。 虚数闯入数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎也没有用复数来表达的量，因此，在很长的一段时间里，人们对虚数产生过种种怀疑和误解。从卡尔达诺的<大衍术＞开始，在200年的时间里，虚数一直披着一层神秘莫测、不可思议的面纱，到了1797年，威赛尔给出了虚线的图像表示，才确立了虚数的合理地位。他和阿尔干一起借助于17世纪法国数学家笛卡儿建立的平面坐标系，给复数做了一是到数学界认要的几何解释。后来，高斯使直角坐标平面上的点和复数建立了一一对应的关系，虚数才广为人知。现在，复数一般用来表示向量（有方向的数量),这在力学、地图学、航空学中的应用是十分广泛的。虚数越来越显示出其丰富的内容，真是：虚数不虚。编辑本段描述虚数 虚数原作：劳伦斯·马克·莱瑟（阿姆斯特朗大西洋州立学院） 翻译：徐国强虚文自古向空构，艾字如今可倍乘。所问逢人惊诧甚，生活何处有真能？嗟哉小试调音放，讶矣大为掌夜灯。三极管中知用否，交流电路肯咸恒。凭君漫问荒唐义，负值求根疑窦增。情类当初听惯耳，事关负数见折肱。几分繁复融学域，百计联席悦有朋。但看几何三角地，蓬勃艾草意同承[①]。译自《人文数学网络期刊》22期48页IMAGINARYby Lawrence Mark LesserArmstrong Atlantic State UniversityImaginary numbers, multiples of iEverybody wonders, "are they used in real life?"Well, try the amplifier I"m using right now -- A.C.!You say it"s absurd,this root of minus one.but the same things once were heardAbout the number negative one!Imaginary numbers are a bit complex,But in real mathematics, everything connects:Geometry, trig and call all see "i to i." Ah-hai!from the Humanistic Mathematics Network Journal # 22, p. 48.原载《科学时报》2003年2月14日科学周末 [①] see "i to i."指可见虚数符号的应用，并谐音双关see eye to eye 为意见一致编辑本段和i有关的运算 许多实数的运算都可以推广到i，例如指数、对数和三角函数。 一个数的ni次方为： x^(ni) = cos(ln(x^n)) + i sin(ln(x^n)). 一个数的ni次方根为： x^(1/ni) = cos(ln(x^(1/n))) - i sin(ln((x^(1/n))). 以i为底的对数为： log_i(x) = 2 ln(x)/ i*pi. i的余弦是一个实数： cos(i) = cosh(1) = (e + 1/e)/2 = (e^2 + 1) /2e = 1.54308064. i的正弦是虚数： sin(i) = sinh(1) * i = (e - 1/e)/ 2} * i = 1.17520119 i. i,e,π,0和1的奇妙关系： e^(i*π)+1=0

复数 开放分类： 数学、数学家、实数、虚数 定义 [编辑本段] 复数就是实数和虚数的统称 复数的基本形式是a+bi,其中a,b是实数,a称为实部,bi称为虚部,i是虚数单位,在复平面上,a+bi是点Z(a,b).Z与原点的距离r称为Z的模|Z|=√a方+b方 a+bi中：a=0为纯虚数,b=0为实数,b不等于0为虚数. 复数的三角形式是 Z＝r[cosx+isinx] 中x,r是实数,rcosx称为实部,irsinx称为虚部,i是虚数单位.Z与原点的距离r称为Z的模,x称为辐角. 起源 [编辑本段] 16世纪意大利米兰学者卡当（Jerome Cardan1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中,公布了三次方程的一般解法,被后人称之为“卡当公式”.他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家,并且在讨论是否可能把10分成两部分,使它们的乘积等于40时,他把答案写成=40,尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的,但他还是把10分成了两部分,并使它们的乘积等于40.给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596—1650）,他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应,从此,虚数才流传开来. 数系中发现一颗新星——虚数,于是引起了数学界的一片困惑,很多大数学家都不承认虚数.德国数学家莱布尼茨（1646—1716）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所,它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”.瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说；“一切形如,习的数学武子都是不可能有的,想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根.对于这类数,我们只能断言,它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻.”然而,真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验,最终占有自己的一席之地.法国数学家达朗贝尔（1717—1783）在1747年指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是的形式（a、b都是实数）（说明：现行教科书中没有使用记号＝－i,而使用=一1）.法国数学家棣莫佛（1667—1754）在1730年发现公式了,这就是著名的棣莫佛定理.欧拉在1748年发现了有名的关系式,并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i来表示一1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位.“虚数”实际上不是想象出来的,而它是确实存在的.挪威的测量学家成塞尔（1745—1818）在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视. 德国数学家高斯（1777—1855）在1806年公布了虚数的图象表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示.在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C就表示复数a＋bi.象这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“高斯平面”.高斯在1831年,用实数组（a,b）代表复数a＋bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”.他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合.统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数—一对应,扩展为平面上的点与复数—一对应.高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间—一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法.至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了. 经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不虚呵.虚数成为了数系大家庭中一员,从而实数集才扩充到了复数集. 随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据. 具体内容和应用 [编辑本段] 形如a＋bi的数 .式中 a,b 为实数 ,i是 一个满足i^2＝－1的数 ,因为任何实数的平方不等于－1,所以 i不是实数,而是实数以外的新的数. 在复数a＋bi中,a 称为复数的实部,b称为复数的虚部 ,复数的实部和虚部分别用Rez和Imz表示,即Rez =a,Imz=b.i称为虚数单位.当虚部等于零时,这个复数就是实数；当虚部不等于零时,这个复数称为虚数,虚数的实部如果等于零,则称为纯虚数. 由上可知,复数集包含了实数集,因而是实数集的扩张.复数的产生来自解代数方程的需要.16世纪,意大利数学家G.卡尔达诺首先用公式表示出了一元三次方程的根,但公式中引用了负数开方的形式,并把 i＝sqrt(-1) 当作数,与其他数一起参与运算.由于人们无法理解 i的实质,所以在很长时间内不承认负数的平方根也是数,而称之为虚数.直到19世纪,数学家们对这些虚数参与实数的代数运算作出了科学的解释,并在解方程和其他领域中使虚数得到了广泛的应用,人们才认识了这种新的数. 复数的四则运算规定为： （a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i, （a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i, （a＋bi）?（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i, （c与d不同时为零） （a＋bi）÷（c＋di）＝（ac+bd/c^2+d^2）＋（bc－ad/c^2+d^2）i, （c+di）不等于0 复数有多种表示形式,常用形式 z＝a＋bi 叫做代数式. 此外有下列形式. ①几何形式.复数z＝a＋bi 用直角坐标平面上点 Z（a,b ）表示.这种形式使复数的问题可以借助图形来研究.也可反过来用复数的理论解决一些几何问题. ②向量形式.复数z＝a＋bi用一个以原点O为起点,点Z（a,b）为终点的向量OZ表示.这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释. ③三角形式.复数z＝a＋bi化为三角形式 z＝r（cosθ＋isinθ） 式中r= sqrt(a^2+b^2),叫做复数的模（或绝对值）；θ 是以x轴为始边；向量OZ为终边的角,叫做复数的辐角.这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算. ④指 数形式.将复数的三角形式 z＝r( cosθ＋isinθ）中的cosθ＋isinθ换为 exp(iθ),复数就表为指数形式z＝rexp(iθ) 复数三角形式的运算： 设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2),那么z1z2＝r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] z1÷z2＝r1÷r2[cos(θ1－θ2)+isin(θ1－θ2)],若复数z的三角形式为r(cosθ+isinθ),那么z^n＝r^n(cosnθ+isinnθ),n√z＝n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n]（k＝1,2,3……）必须记住：z的n次方根是n个复数. 复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运算法则进行.复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行；一元n次复系数方程总有n个根（重根按重数计）；复数不能建立大小顺序. ┢柯乐栤┮ 2008-08-24 12:03 您觉得这个答案好不好? 好(2)不好(0) 实数包括有理数和无理数.其中无理数就是无限不循环小数和开根开不尽的数,有理数就包括整数,分数,0. 数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数.本来实数仅称作数,后来引入了虚数概念,原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”. 实数可以分为有理数和无理数两类,或代数数和超越数两类,或正数,负数和零三类.实数集合通常用字母 R 或 R^n 表示.而 R^n 表示 n 维实数空间.实数是不可数的.实数是实分析的核心研究对象. 实数可以用来测量连续的量.理论上,任何实数都可以用无限小数的方式表示,小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的,也可以是非循环的）.在实际运用中,实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位,n 为正整数）.在计算机领域,由于计算机只能存储有限的小数位数,实数经常用浮点数来表示. ①相反数（只有符号不同的两个数,我们就说其中一个是另一个的相反数） 实数a的相反数是-a ②绝对值（在数轴上一个数所对应的点与原点0的距离） 实数a的绝对值是：│a│=①a为正数时,|a|=a ②a为0时, |a|=0 ③a为负数时,|a|=-a ③倒数 （两个实数的乘积是1,则这两个数互为倒数） 实数a的倒数是：1/a （a≠0）

数，数系，数系的扩张引入虚数，数学会更完整。举例来说，N次方程就有N个根

你现在不用太理解。虚数主要用在更高级的数学分支里，而这些数学分支是为物理学服务的。主要是复变函数论。对现实生活的作用就是算某些物理模型更方便了。它对生活的作用很像十三维空间对生活的作用，只是一种算法，我们只是生活在三维空间中但是引入十三维空间可以更好的解决某些问题如果还有不懂可以加我

虚数的实际意义我们可以在平面直角坐标系中画出虚数系统。如果利用横轴表示全体实数，那么纵轴即可表示虚数。整个平面上每一点对应着一个复数，称为复平面。横轴和纵轴也改称为实轴和虚轴。不能满足于上述图像解释的同学或学者可参考以下题目和说明：若存在一个数，它的倒数等于它的相反数（或者它的倒数的相反数为其自身），这个数是什么形式？根据这一要求，可以给出如下方程：-x=(1/x)不难得知，这个方程的解x=i（虚数单位）由此，若有代数式t"=ti，我们将i理解为从t的单位到t"的单位之间的转换单位，则t"=ti将被理解为-t"=1/t即t"=-1/t这一表达式在几何空间上的意义不大，但若配合狭义相对论，在时间上理解，则可以解释若相对运动速度可以大于光速c，相对时间间隔产生的虚数值，实质上是其实数值的负倒数。也就是所谓回到过去的时间间隔数值可以由此计算出来。

实数包括有理数（能写成分数的数：如2/3， 2/1）和无理数（不能写成分数的数，无限不循环小数），有理数包括整数和最简分数。 -1开方就得到虚数i； 虚数的一般式为：c=a+bi,a和b是实数. 如果b=0,则c叫实数； 如果a=0,则c叫纯虚数。 在复空间坐标中，实数为x轴，虚数单位i为y轴单位，

用来计算负数的开方。负数没有实平方根,所以判别式小于0的二次方程无解.为解决这个问题,首先引入复数的是数学家卡尔达诺.他把纯虚数表示为根号负数.事实上,他也觉得很矛盾.一方面,他觉得虚数是虚幻的,构造的,“什么也没有”,但是又“比什么也没有多一点东西”.当年,数学家引入复数并没有过于高深的目的,但是,复数的引入却导致了数学乃至自然科学的巨大进步.引入复数后,所有的多项式方程都有解,于是任何一个多项式都可以分解为一次因式的乘积.其次,复数引入之后就给复分析创造了条件.许多原来只定义在实数上的函数可以定义在复数上,如ζ函数,然后扩充定义之后ζ函数又反过来推出许多定理,比如素数定理.又例如,物理上用复数处理电学问题,霍金也用复数表示时间.

可以，e^(x+yi)=e^x(cosy+isiny)

z=a+bi，b=o，实数 b≠0，虚数 a≠0，b≠o，纯虚数

复数是由实数和虚数构成，实数包括有理数和无理数，它表示实际的物理意义，而虚数不表示实际的物理意义，它只是为计算过程方便而引进的。其中虚数还包括非纯虚数和纯虚数，非纯虚数的形式是a+bi，而纯虚数的形式是bi，其中i是单位。

虚数最开始是在解类似于x＾2=-1方程，而得的解：i，相对于实数而言，虚数最先是作为解数学问题的工具，随着数学的深入，人们把虚数应用到坐标系中的几何问题上，说到物理意义，虚数更适合用离散的代数系统来解释！代数系统的逆元可以帮助理解虚数相对于实数的意义。而虚时间是人们为更好解释参考系中高速物理问题和微观世界而建立物理工具！

虚数是与实数相对的数，实数有实际意义，虚数则没有，如根号-1是虚数

实数可理解为一维数，虚数可理解为正交数，即垂直于实轴的数，也就是(ⅰ⊥1)，特别重要的是: ( ⅰ丄1 )不是人为规定，而是数学逻辑的产物。所以复数称为二维数。你问什么是真实的虚数？我的理解: 垂直于实轴的数就是虚数。因此虚数的《虚》不是虚无飘渺，与日常用语 “虚无、虚幻” 没有任何关系。(-1)开平方开出了空间一个新维度，这个新维度⊥实轴且称为虚轴。复平面上的数由实数与虚数组合而成，(a＋ⅰb) 称为复数。复平面与二维向量平面有的方面等价，但不能认为它们完全等价，单位虚数( ⅰ )可以进行很抽象的运算，例如( ⅰ^ⅰ^ⅰ )；单位向量不可进行这些运算。

使工程上的许多问题计算方便多了

虚数的存在本身无意义，它的存在只是为了证明实数并不是最牛逼地。实数只是虚数集中一条不起眼的线。说到现实生活有没有用，那我跟你讲，用处就像它自身的集合一样大！因为在宇宙探索方面需要用到虚数够成的空间向量来证明第三宇宙速度为什么可以挣脱银河系地引力。

二次方程的非实根

虚数是指平方是负数的数.虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创制,因为当时的观念认为这是真实不存在的数字.后来发现虚数可对应平面上的纵轴,与对应平面上横轴的实数同样真实. 　在数学里,将平方是负数的数定义为纯虚数.所有的虚数都是复数.定义为i^2=-1.但是虚数是没有算术根这一说的,所以±√(-1)=±i.对于z=a+bi,也可以表示为e的iA次方的形式,其中e是常数,i为虚数单位,A为虚数的幅角,即可表示为z=cosA+isinA.实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数,起名为复数.虚数没有正负可言.不是实数的复数,即使是纯虚数,也不能比较大小. 　　这种数有一个专门的符号“i”(imaginary),它称为虚数单位.不过在电子等行业中,因为i通常用来表示电流,所以虚数单位用j来表示. 实际意义 　　我们可以在平面直角坐标系中画出虚数系统.如果利用横轴表示全体实数,那么纵轴即可表示虚数.整个平面上每一点对应着一个复数,称为复平面.横轴和纵轴也改称为实 虚数 轴和虚轴. 　　不能满足于上述图像解释的同学或学者可参考以下题目和说明： 　　若存在一个数,它的倒数等于它的相反数（或者它的倒数的相反数为其自身）,这个数是什么形式? 　　根据这一要求,可以给出如下方程： 　　-x = (1/x) 　　不难得知,这个方程的解x=i （虚数单位） 　　由此,若有代数式 t"=ti,我们将i理解为从t的单位到t"的单位之间的转换单位,则t"=ti将被理解为 　　-t" = 1/t 　　即 　　t" = - 1/t 　　这一表达式在几何空间上的意义不大,但若配合狭义相对论,在时间上理解,则可以解释若相对运动速度可以大于光速c,相对时间间隔产生的虚数值,实质上是其实数值的负倒数.也就是所谓回到过去的时间间隔数值可以由此计算出来. 　　虚数成为微晶片和数字压缩算法设计中的核心工具,虚数是引发电子学革命的量子力学的理论基础. 起源 　　要追溯虚数出现的轨迹,就要联系与它相对实数的出现过程.我们知道,实数是与虚数相对应的,它包括有理数和无理数,也就是说它是实实在在存在的数. 　　有理数出现的非常早,它是伴随人们的生产实践而产生的. 　　无理数的发现,应该归功于古希腊毕达哥拉斯学派.无理数的出现,与德谟克利特的“原子论”发生矛盾.根据这一理论,任何两个线段的比,不过是它们所含原子数目的经.而勾股定理却说明了存在着不可通约的线段. 　　不可通约线段的存在,使古希腊的数学家感到左右为难,因为他们的学说中只有整数和分数的概念,他们不能完全表示正方形对角线与边长的比,也就是说,在他们那里,正方形对角线与连长的比不能用任何“数”来表示.西亚他们已经发同了无理数这个问题,但是却又让它从自己的身边悄悄溜走了,甚至到了希腊最伟大的代数学家丢番图那里,方程的无理数解仍然被称为是“不可能的”. 　　“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制,因为当时的观念认为这是真实不存在的数字.后来发现虚数可对应平面上的纵轴,与对应平面上横轴的实数同样真实. 　　人们发现即使使用全部的有理数和无理数,也不能长度解决代数方程的求解问题.像x^2+1=0这样最简单的二次方程,在实数范围内没有解.12世纪的印度大数学家婆什伽罗都认为这个方程是没有解的.他认为正数的平方是正数,负数的平方也是正数,因此,一个正数的平方根是两重的；一个正数和一个负数,负数没有平方根,因此负数不是平方数.这等于不承认方程的负数平方根的存在. 　　到了16世纪,意大利数学家卡尔达诺在其著作《大术》（《数学大典》）中,把记为1545R15-15m这是最早的虚数记号.但他认为这仅仅是个形式表示而已.1637年法国数学家笛卡尔,在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称,并和“实数”相对应. 　　1545年意大利米兰的卡尔达诺发表了文艺复兴时期最重要的一部代数学著作,提出了一种求解一般三次方程的求解公式： 　　形如：x^3+ax+b=0的三次方程解如下：x={(-b/2)+[(b^2)/4+(a^3)/27]^(1/2)}^(1/3)+{(-b/2)-[(b^2)/4+(a^3)/27]^(1/2)}^(1/3) 　　当卡丹试图用该公式解方程x^3-15x-4=0时他的解是：x=[2+(-121)^(1/2)]^(1/3)+[2-(-121)^(1/2)]^(1/3) 　　在那个年代负数本身就是令人怀疑的,负数的平方根就更加荒谬了.因此卡丹的公式给出x=(2+j)+(2-j)=4.容易证明x=4确实是原方程的根,但卡丹不曾热心解释(-121)^(1/2)的出现.认为是“不可捉摸而无用的东西”. 　　直到19世纪初,高斯系统地使用了i这个符号,并主张用数偶（a、b）来表示a+bi,称为复数,虚数才逐步得以通行. 　　由于虚数闯进数的领域时,人们对它的实际用处一无所知,在实际生活中似乎没有用复数来表达的量,因此在很长一段时间里,人们对它产生过种种怀疑和误解.笛卡尔称“虚数”的本意就是指它是虚假的；莱布尼兹则认为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所,它几乎是既存在又不存在的两栖物.”欧拉尽管在许多地方用了虚数,但又说：“一切形如,√-1,√-2的数学式子都是不可能有的,想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根.对于这类数,我们只能断言,它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻.” 　　继欧拉之后,挪威测量学家维塞尔提出把复数（a+bi）用平面上的点来表示.后来高斯又提出了复平面的概念,终于使复数有了立足之地,也为复数的应用开辟了道路.现在,复数一般用来表示向量（有方向的量）,这在水利学、地图学、航空学中的应用十分广泛,虚数越来越显示出其丰富的内容. i的性质 　　i 的高次方会不断作以下的循环： 　　i^1 = i 　　i^2 = - 1 　　i^3 = - i 　　i^4 = 1 　　i^5 = i 　　i^6 = - 1... 　　由于虚数特殊的运算规则,出现了符号i 　　当ω=-1/2+（√3）/2i或ω=-1/2-（√3）/2i时： 　　ω^2 + ω + 1 = 0 　　ω^3 = 1 有关运算 　　许多实数的运算都可以推广到i,例如指数、对数和三角函数. 　　一个数的ni次方为： 　　x^(ni) = cos(ln(x^n)) + i sin(ln(x^n)). 　　一个数的ni次方根为： 　　x^(1/ni) = cos(ln(x^(1/n))) - i sin(ln((x^(1/n))). 　　以i为底的对数为： 　　log_i(x) = 2 ln(x)/ iπ. 　　i的余弦是一个实数： 　　cos(i) = cosh(1) = (e + 1/e)/2 = (e^2 + 1) /2e = 1.54308064. 　　i的正弦是虚数： 　　sin(i) = sinh(1) i =[(e - 1/e)/ 2]i = 1.17520119 i. 　　i,e,π,0和1的奇妙关系： 　　e^(iπ)+1=0 　　i^I=e^(-π÷2） 符号来历 　　1777年瑞士数学家欧拉(Euler,或译为欧勒)开始使用符号i表示虚数的单位.而后人将虚数和实数有机地结合起来,写成a+bi形式 (a、b为实数,a等于0时叫纯虚数,ab都不等于0时叫复数,b等于0时就是实数). 　　通常,我们用符号C来表示复数集,用符号R来表示实数集. 相关描述 　　虚数 原作：劳伦斯·马克·莱瑟（阿姆斯特朗大西洋州立学院） 　　翻译：徐国强 　　虚文自古向空构,艾字如今可倍乘.所问逢人惊诧甚,生活何处有真能?嗟哉小试调音放,讶矣大为掌夜灯.三极管中知用否,交流电路肯咸恒.凭君漫问荒唐义,负值求根疑窦增.情类当初听惯耳,事关负数见折肱.几分繁复融学域,百计联席悦有朋.但看几何三角地,蓬勃艾草意同承[①]. 　　IMAGINARY by Lawrence Mark LesserArmstrong Atlantic State University 　　Imaginary numbers, multiples of iEverybody wonders, "are they used in real life?"Well, try the amplifier I"m using right now -- A.C.!You say it"s absurd,this root of minus one.but the same things once were heardAbout the number negative one!Imaginary numbers are a bit complex,But in real mathematics, everything connects:Geometry, trig and call all see "i to i." 　　[①] see "i to i."指可见虚数符号的应用,并谐音双关see eye to eye 为意见一致引

虚数的物理指称性呼唤着新数学 众所周知，实数具有物理指称性，比如称某物质量为5千克，体积为15立方厘米等等，都是用实数作为物理指称的。一般认为，只有具有实数物理指称性的对象才可能具有可运算性、可观察性、可分性、可延性、有序性等等物理性质，因而是物理实在，否则就是非物理实在，是虚幻的乌有。因此，按照这样的观点，虚数在物理中是没有地位的，因为没有虚数的物理指称性，即虚数的物理指称性的事物是不存在，如果谁说有存在，那肯定是假的。所以，虽然虚数早在16世纪就被卡尔丹发现，但是至今仍然是卡迪尔的观点：“虚数的本意是指它是假的”在人们物质观中占统治地位。 今天，如果说虚数是具有物理指称性的，可能为时尚早，但是，说这种可能性已经初现端倪，却不是空穴来风。虽然虚数早已通过复数形式“半推半就”地进入物理学，但是被指称为虚过程（如跃迁）和虚粒子（如虚光子）事实上是越来越多了。尽管目前这些事例大多还集中在微观物理中，但是不能否认它们是具有虚数的物理指称性的事实。因此，我想难道我们就不能大胆地推进一步，设想夸克、暗能量和真空都是具有虚数的物理指称性的对象？ 但是，物理学作为一门科学，可不是仅凭一句：“夸克之所以不具有可观察性性由于它是虚的”就可以了事，而必须提供足够的理论证明。倘若果真如上述设想，夸克、暗能量和真空都是具有虚数的物理指称性的对象，那么很可能预示一门新的物理学将产生。物理学史表明，一门新物理学总是伴随着一门新数学，这是因为数学是物理学的最主要工具之一。因此，倘若新的物理学是包含夸克、暗能量和真空在内的具有虚数的物理指称性的对象的物理理论，那么以虚数为基本概念的新数学就是必要的。我们可以预示，这门新数学的运算方法必然与现在代数中的虚数简单方法有重大补充和差异，其内涵必然远远大于现在代数中的虚数内容。因此，历史可能会重演当年物理学家狄拉克需要δ函数而产生广义函数理论一样，人们需要能够描述具有虚数的物理指称性的对象关系的方法而产生新的数学。 作为一个或许有启发性的例子，我在研究夸克与强子的关系中发现[1]，如果把夸克认定为虚的，同时又和电子一样满足Bohr假说和Pauli原理，那么只要假定强子实质量H是由n个虚夸克qi之交按照H=∑q/n(n)1/2进行计算，可以直接得到基态夸克和强子及其共振态的全部质量谱，得到的强子及其共振态的质量值都与观测值相当吻合，而三个基态夸克质量之间的关系可以由黄金分割数所界定[2]，同时还可以得到许多与观察事实相吻合的结果。然而，这里的问题是，虽然上述得到的物理结果是成功的，但是它显然缺少一个坚实的数学基础，那就是我所希望出现的新数学。

　　在数学里，将平方是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数。这种数有一个专门的符号“i”(imaginary)，它称为虚数单位。定义为i^2=-1。但是虚数是没有算术根这一说的，所以√(-1)=±i。对于z=a+bi,也可以表示为e的iA次方的形式，其中e是常数，i为虚数单位，A为虚数的幅角，即可表示为z=cosA+isinA.　　不过在电子等行业中，因为i通常用来表示电流，所以虚数单位用j来表示。　　虚数没有正负可言。不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。1＜2是对的，但1+i＜2+i是错的。　　我们可以在平面直角坐标系中画出虚数系统。如果利用横轴表示全体实数，那么纵轴即可表示虚数。整个平面上每一点对应着一个复数，称为复平面。横轴和纵轴也改称为实轴和虚轴。　　“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。 [编辑本段]i的性质　　i 的高次方会不断作以下的循环：　　i^1 = i　　i^2 = - 1　　i^3 = - i　　i^4 = 1　　i^5 = i　　i^6 = - 1...　　由于虚数特殊的运算规则，出现了符号i　　当ω=(-1+√3i)/2或ω=(-1-√3i)/2时：　　ω^2 + ω + 1 = 0　　ω^3 = 1

在物理学中引入复数结构的必需性的根源和复数最重要的物理意义在于量子力学运动规律限定的数学结构。用群论的语言概括：概率守恒要求演化规律的数学结构是酉群 U(n) (参见https://en.wikipedia.org/wiki/Unitarity_(physics)), 而 U(n) 恰好可以分解为正交群 O(n) 和实数域的辛群 Sp(2n, R): U(n) = O(n) ∩ Sp(2n, R) , O(n) 的物理意义是概率守恒，Sp(2n, R) 的物理意义正是量子力学限定的运动规律。比如虚时间:虚时间是研究关于宇宙大爆炸初期时间失效,而构建出一种与时间轴成90度的虚时间轴.我个人感觉用什么北极点作比喻还是不太好理解.假如你对相对论,量子物理学,M理论等有所了解的话,可以这么想象（完全不准确,仅便于理解）：现有的时空模型2维化,可以作出以下一个十分容易理解的模型1.把3维空间简单的理解成10厘米的直线,起点为坐标轴Y轴正方向上某一点,终点为该点后的10厘米处.2.把时间简单的理解成10分钟长度,起点为坐标轴X轴正方向上某一点,终点为该点后的10厘米处.这样,就得到一个时空模型：x轴为时间,一厘米对应一分钟；Y轴为距离,1厘米代表1厘米.现在我们引入虚时间.

因为虚数不是你当前应该研究的，老师只是为了普及一下你的无知，就是怕你弄乱了才让你就当虚数不存在。你现在考试一点也不涉及到虚数，一切为了考试高分。

解：1、一般法：Z=a+bi，a为实轴坐标，b为虚轴坐标，原点到点（a,b）的向量即为复数Z2、三角函数法：z=r（cosθ+isinθ），r表示虚数的模，θ为辐角