【共轭复数】

1、知识结构 本节首先介绍了复数的有关概念,然后指出复数相等的充要条件, 接着介绍了有关复数的几何表示,最后指出了有关共轭复数的概念． 2、重点、难点分析 （1）正确复数的实部与虚部 对于复数 ,实部是 ,虚部是 ．注意在说复数 时,一定有 ,否则, 不能说实部是 ,虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数. 说明：对于复数的定义,特别要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念, 这对于解有关复数的问题将有很大的帮助. （2）正确地对复数进行分类,弄清数集之间的关系 分类要求不重复、不遗漏,同一级分类标准要统一.根据上述原则, 复数集的分类如下： 注意分清复数分类中的界限： ①设 ,则 为实数 ② 为虚数 ③ 且 . ④ 为纯虚数 且 （3）不能乱用复数相等的条件解题．用复数相等的条件要注意： ①化为复数的标准形式 ②实部、虚部中的字母为实数,即 （4）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时,要注意： ①任何一个复数 都可以由一个有序实数对( )唯一确定．这就是说, 复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对( )叫做复数的． ②复数 用复平面内的点Z( )表示．复平面内的点Z的坐标是( ),而不是( ), 也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是 ．由于 =0＋1· , 所以用复平面内的点(0,1)表示 时,这点与原点的距离是1, 等于纵轴上的单位长度．这就是说, 当我们把纵轴上的点(0,1)标上虚数 时,不能以为这一点到原点的 距离就是虚数单位 ,或者 就是纵轴的单位长度． ③当 时,对任何 ,是纯虚数,所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数．但当 时, 是实数．所以,纵轴去掉原点后称为虚轴． 由此可见,复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面) 的区别就是复平面的虚轴不包括原点,而一般坐标平面的原点是横、 纵坐标轴的公共点． ④复数z=a＋bi中的z,书写时小写,复平面内点Z(a,b)中的Z, 书写时大写．要学生注意． （5）关于共轭复数的概念 设 ,则 ,即 与 的实部相等,虚部互为相反数 （不能认为 与 或 是共轭复数）． 教师可以提一下当 时的特殊情况,即实轴上的点关于实轴本身对称, 例如：5和－5也是互为共轭复数．当 时,与 互为共轭虚数．可见, 共轭虚数是共轭复数的特殊情行． （6）复数能否比较大小 教材最后指出：“两个复数,如果不全是实数,就不能比较它们的大小”, 要注意： ①根据两个复数相等地定义,可知在 两式中,只要有一个不成立, 那么 ．两个复数,如果不全是实数,只有相等与不等关系, 而不能比较它们的大小． ②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指： “不论怎样定义两个复数间的一个关系‘

望采纳复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位。在复数a+bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，复数的实部如果等于零，则称为纯虚数。[1]由上可知，复数集包含了实数集，并且是实数集的扩张。复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。复数的四则运算规定为：（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i，（a+bi）－（c+di）=（a－c）+（b－d）i，（a+bi）·（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i，（c与d不同时为零）。例如：[（a+bi）+（c+di）]-[(a+c）+（b+d）i]=0，最终结果还是0，也就在数字中没有复数的存在。[（a+bi）+（c+di）]-[(a+c）+（b+d）i]=Z是一个函数。主要内容u25aa形式u25aa复数的模3共轭复数u25aa释义u25aa性质4复数的辐角u25aa概述u25aa释义5运算法则u25aa加法法则u25aa乘法法则u25aa除法法则u25aa开方法则u25aa运算律u25aai的乘方法则u25aa棣莫佛定理u25aa复数三角形式6复数与几何u25aa复平面u25aa几何表示法u25aa区域的概念u25aa简单曲线7复数与函数u25aa单连/多连通域u25aa导数定义u25aa可导与连续u25aa可导与可微u25aa复变函数积分u25aa柯西积分定理u25aa解析函数的概念u25aa充要条件

a+bi与a-bi，实部不变，虚部不变，虚部前的符号互为正负，称为共轭复数

7-4i的共轭复数是7 4i。共轭复数的定义是改变复数中虚部的符号，即将i替换为-i。

把形如a+bi（a,b∈R）的数叫做复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部；i称为虚数单位，具有以下性质：（1）i^2=-1;（2）i与实数可以进行四则运算。当b≠0时，复数a+bi叫做虚数；当a=0,b≠0时，复数bi叫做纯虚数。设复数z=a+bi，将a-bi叫做复数z的共轭复数。

分析： 复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可． 复数===i，它的共轭复数为：-i．故选C 点评： 本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型．

如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数。

由共轭复数的概念复数3+4i的共轭复数是3-4i故答案为：3-4i下面是知识点。3考点梳理（知识点同步练->戳这）复数的概念..复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi（a，b∈R），这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。复数的几何意义：（1）复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi（a、b∈R）可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 （2）复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。复数的模：复数z=a+bi（a、b∈R）在复平面上对应的点Z（a，b）到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|= 虚数单位i：（1）它的平方等于-1，即i2=-1；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 （3）i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=－1的另一个根是-i。 （4）i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。

先对复数进行化简运算,由共轭复数的定义可得答案.解:,所以其共轭复数为,故答案为:.本题考查复数代数形式的乘法运算及复数的基本概念,属基础题.

共轭复数a-bi实部，虚部分别是什么？解：a+bi和a-bi叫作共轭复数；它们的实部都是a；虚部符号相反，前者是b，后者是-b.

最后一册 课标版的 去年刚考过

一元二次方程，标准形式是ax^2+bx+c=0a不可以等于0，b为0时，当-4ac大于0，方程两个根为相反数。

2i-3的共轭复数是-3-2i,这是由共轭复数的定义推出来的。

共轭复数，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。当虚部不为零时，共轭复数就是实部相等，虚部相反,如果虚部为零，其共轭复数就是自身。（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）复数z的共轭复数记作zˊ。同时, 复数zˊ称为复数z的复共轭很高兴为您解答有用请采纳

把所有的i变成（-i）

实部相等,虚部符号相反的两个复数.例如： 6+5i与6-5i,12+7i与12-7i,a+bi与a-bi,等等.

两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）复数z的共轭复数记作zˊ。复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开根）当复数a+bi中a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数

不是一个概念 两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数两个实部相等，虚部也相同的为复共轭

共轭是两个实数间的关系——实部相等，虚部互为相反数。如果两个复数互为相反数，那么称这两个数互为共轭复数。复数是一个概念，是一个数系。复数包含所有实数与虚数。

复共轭应该是共轭复数的简称吧。应该一样的。

1、知识结构 本节首先介绍了复数的有关概念,然后指出复数相等的充要条件, 接着介绍了有关复数的几何表示,最后指出了有关共轭复数的概念． 2、重点、难点分析 （1）正确复数的实部与虚部 对于复数 ,实部是 ,虚部是 ．注意在说复数 时,一定有 ,否则, 不能说实部是 ,虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数. 说明：对于复数的定义,特别要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念, 这对于解有关复数的问题将有很大的帮助. （2）正确地对复数进行分类,弄清数集之间的关系 分类要求不重复、不遗漏,同一级分类标准要统一.根据上述原则, 复数集的分类如下： 注意分清复数分类中的界限： ①设 ,则 为实数 ② 为虚数 ③ 且 . ④ 为纯虚数 且 （3）不能乱用复数相等的条件解题．用复数相等的条件要注意： ①化为复数的标准形式 ②实部、虚部中的字母为实数,即 （4）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时,要注意： ①任何一个复数 都可以由一个有序实数对( )唯一确定．这就是说, 复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对( )叫做复数的． ②复数 用复平面内的点Z( )表示．复平面内的点Z的坐标是( ),而不是( ), 也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是 ．由于 =0＋1· , 所以用复平面内的点(0,1)表示 时,这点与原点的距离是1, 等于纵轴上的单位长度．这就是说, 当我们把纵轴上的点(0,1)标上虚数 时,不能以为这一点到原点的 距离就是虚数单位 ,或者 就是纵轴的单位长度． ③当 时,对任何 ,是纯虚数,所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数．但当 时, 是实数．所以,纵轴去掉原点后称为虚轴． 由此可见,复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面) 的区别就是复平面的虚轴不包括原点,而一般坐标平面的原点是横、 纵坐标轴的公共点． ④复数z=a＋bi中的z,书写时小写,复平面内点Z(a,b)中的Z, 书写时大写．要学生注意． （5）关于共轭复数的概念 设 ,则 ,即 与 的实部相等,虚部互为相反数 （不能认为 与 或 是共轭复数）． 教师可以提一下当 时的特殊情况,即实轴上的点关于实轴本身对称, 例如：5和－5也是互为共轭复数．当 时,与 互为共轭虚数．可见, 共轭虚数是共轭复数的特殊情行． （6）复数能否比较大小 教材最后指出：“两个复数,如果不全是实数,就不能比较它们的大小”, 要注意： ①根据两个复数相等地定义,可知在 两式中,只要有一个不成立, 那么 ．两个复数,如果不全是实数,只有相等与不等关系, 而不能比较它们的大小． ②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指： “不论怎样定义两个复数间的一个关系‘

1、知识结构 本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念． 2、重点、难点分析 （1）正确复数的实部与虚部 对于复数 ，实部是 ，虚部是 ．注意在说复数 时，一定有 ，否则，不能说实部是 ，虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。 说明：对于复数的定义，特别要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。 （2）正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系 分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下： 注意分清复数分类中的界限： ①设 ，则 为实数 ② 为虚数 ③ 且 。 ④ 为纯虚数 且 （3）不能乱用复数相等的条件解题．用复数相等的条件要注意： ①化为复数的标准形式 ②实部、虚部中的字母为实数，即 （4）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意： ①任何一个复数 都可以由一个有序实数对( )唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对( )叫做复数的． ②复数 用复平面内的点Z( )表示．复平面内的点Z的坐标是( )，而不是( )，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是 ．由于 =0＋1· ，所以用复平面内的点(0，1)表示 时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数 时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位 ，或者 就是纵轴的单位长度． ③当 时，对任何 ， 是纯虚数，所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数．但当 时， 是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴． 由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点． ④复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写．要学生注意． （5）关于共轭复数的概念 设 ，则 ，即 与 的实部相等，虚部互为相反数（不能认为 与 或 是共轭复数）． 教师可以提一下当 时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和－5也是互为共轭复数．当 时， 与 互为共轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行． （6）复数能否比较大小 教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意： ①根据两个复数相等地定义，可知在 两式中，只要有一个不成立，那么 ．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小． ②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<"，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”： (i)对于任意两个实数a， b来说，a＜b， a=b， b＜a这三种情形有且仅有一种成立； (ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c； (iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c； (iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向学生讲解) （二）教法建议 1．要注意知识的连续性：复数 是二维数，其几何意义是一个点 ，因而注意与平面解析几何的联系． 2．注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想． 3．注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答．复数的有关概念 教学目标 1．了解复数的实部，虚部； 2．掌握复数相等的意义； 3．了解并掌握共轭复数，及在复平面内表示复数． 教学重点 复数的概念，复数相等的充要条件． 教学难点 用复平面内的点表示复数M． 教学用具：直尺 课时安排：1课时 教学过程 ： 一、复习提问： 1．复数的定义。 2．虚数单位。 二、讲授新课 1．复数的实部和虚部： 复数 中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。 2．复数相等 如果两个复数 与 的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。 即： 的充要条件是 且 。 例如： 的充要条件是 且 。 例1： 已知 其中 ，求x与y. 解：根据复数相等的意义，得方程组： ∴ 例2：m是什么实数时，复数 , (1) 是实数，(2)是虚数，（3）是纯虚数. 解： (1) ∵ 时，z是实数, ∴ ,或 . (2) ∵ 时，z是虚数, ∴ ，且 (3) ∵ 且 时， z是纯虚数. ∴ 3．用复平面（高斯平面）内的点表示复数 复平面的定义 建立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面． 复数 可用点 来表示．（如图）其中x轴叫实轴，y轴 除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上，不在虚轴上． 4．复数的几何意义： 复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的． 5．共轭复数 （1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共轭复数） （2）复数z的共轭复数用 表示．若 ，则： ； （3）实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数． （4）复平面内表示两个共轭复数的点z与 关于实轴对称． 三、练习 1,2,3,4. 四、小结： 1．在理解复数的有关概念时应注意： （1）明确什么是复数的实部与虚部； （2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求； （3）弄清复平面与复数的几何意义； （4）两个复数不全是实数就不能比较大小。 2．复数集与复平面上的点注意事项： （1）复数 中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。 （2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。 （3）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。

复数的概念教学设计如下：教学目标：(1)掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。(2)正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系。(3)理解复数的几何意义，初步掌握复数集c和复面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。(4)培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力。教学建议：(一)教材分析1、知识结构本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念。2、重点、难点分析(1)正确复数的实部与虚部对于复数，实部是，虚部是注意在说复数时，一定有，否则，不能说实部是，虚部是复数的实部和虚部都是实数。对于复数的定义，特别要抓住这一标准形式以及是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。(2)正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系。分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。(3)不能乱用复数相等的条件解题用复数相等的条件。(4)在讲复数集与复面内所有点所成的集合一一对应时。(5)关于共轭复数的概念。(6)复数能否比较大小。(二)教法建议1、要注意知识的连续性，复数 是二维数，其几何意义是一个点 ，因而注意与面解析几何的联系。2、注意数形结合的数形思想，由于复数集与复面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想。3、注意分层次的教学:教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能比较它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答。

共轭复数，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。当虚部不为零时，共轭复数就是实部相等，虚部相反,如果虚部为零，其共轭复数就是自身（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）。复数z的共轭复数记作z（上加一横），有时也可表示为Z*。同时, 复数z（上加一横）称为复数z的复共轭(complex conjugate)。中文名共轭复数外文名conjugate complex number类别定律类型 概念学科数学快速导航代数特征 运算特征 模的运算性质公式根据定义，若z=a+bi(a，b∈R)，则 =a－bi（a,b∈R)。共轭复数所对应的点关于实轴对称（详见附图）。两个复数：x+yi与x-yi称为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数。在复平面上，表示两个共轭复数的点关于X轴对称，而这一点正是"共轭"一词的来源。两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横梁，这横梁就叫做"轭"。如果用z表示x+yi，那么在z字上面加个"一"就表示x-yi，或相反。共轭复数有些有趣的性质：另外还有一些四则运算性质。代数特征（1）|z|=||；（2）z+=2a（实数），z－=2bi；（3）z· =|z|2=a2+b2（实数）。加法法则复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.[1]减法法则两个复数的差为实数之差加上虚数之差（乘以i）即：z1-z2=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+(b-d)i乘法法则复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2 = -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。即：z1z2=（a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac－bd)+(bc+ad)i.除法法则复数除法定义：满足（c+di)(x+yi)=(a+bi）的复数x+yi(x,y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算。即：开方法则若zn=r(cosθ+isinθ），则 （k=0，1，2，3……n-1）共轭法则z=x+iy的共轭，标注为z*就是共轭数z*=x-iy即：zz*=（x+iy)(x-iy)=x2-xyi+xyi-y2i2=x2+y2即，当一个复数乘以他的共轭数，结果是实数。z=x+iy 和 z*=x-iy 被称作共轭对。

分析：先根据复数代数形式的运算对复数进行化简，然后由共轭复数的定义可得答案．解答：解：（3i-1）i=-3-i，由共轭复数的定义知：复数（3i-1）i 的共轭复数是-3+i，故答案为：-3+i．点评：本题考查复数代数形式的运算、共轭复数的概念，属基础题．

复数概念的引入最初是为了求解 这样的没有实根的方程,因此复数集可以看作实数集的一个自然的扩充.为此,首先引进一个“新数”i,使它满足 ,即 适合方程 .这个新数 称为虚数单位.将 添加到实数集中去,定义:形如 ( 、 均是实数)的表达式称为一个复数.其中的 和 分别叫做复数 的实部和虚部,分别记作 一、复数 的分类当 虚部 时,复数 是实数; 当虚部 时,复数 是虚数; 当虚部 ,且实部 时,复数 是纯虚数. 如果记 ——实数集 ——复数集 ——虚数集 ——纯虚数集 就有关系 二、复数相等的充要条件 对于两个复数 , ,二者相等的充要条件是 且 ,即复数相等的充要条件是复数问题化归为实数问题的理论依据,“化虚为实”是解决复数问题的通性通法. 三、复数的运算法则 对于两个复数 、 . 加法: ; 减法: ; 乘法: ; 除法: . 四、复数的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,也就是说,对于任何复数 、 、 均有复数的乘法满足交换律、结合律,以及乘法对于加法的分配律.也就是说,对于复数 、 、 ,均有五、共轭复数的性质 当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,就称其互为共轭复数.特别地,若复数的虚部不为零时,也称作互为共轭虚数.对于复数 ,它的共轭复数用 来表示. 共轭复数有如下基本性质: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) 是实数的充要条件是 ; 是纯虚数的充要条件是 且 . 六、复数的几何形式 复数 与复平面上的点 是一一对应的,点 和向量 也构成一—对应关系,点 和向量 均是复数 的几何形式.向量 的模 称为复数 的模 ,即 这种对应关系的构建,揭示了复数问题与向量问题之间的相互转化,说明了向量方法是解决复数问题的一条有效途径. 关于复数的模,有如下的基本性质: (1) ; (2) ; (3) .

1:提问本身不客观，具体内容不全面，信息不准确2:回答指出了该缺点。3:请不要在严肃的问题上和我说情绪化的问题，因为是你在用非专业的态度来对待我的回答，到底谁在情绪化？以下仍然是我的回答，不会做修改。你这么说成立的前提是：这个多项式的根的讨论范围是在复数域上的.如果没有告诉你或默认讨论范围的话，这种说法是错的。比如我要在实数域上讨论实系数多项式的因式分解的话。那么就不可能有共轭复数的概念。共轭复数只能在复数域上能讨论。

2+i

共轭转置:矩阵有实数矩阵和复数矩阵.转置矩阵仅仅是将矩阵的行与列对换,而共轭转置矩阵在将行与列对换后还要讲每个元素共轭一下。共轭你应该知道,就是将形如a+bi的数变成a-bi,实数的共轭是它本身.所以,实数矩阵的共轭转置矩阵就是转置矩阵,复数矩阵的共轭转置矩阵就是上面所说的行列互换后每个元素取共轭。非共轭转置：针对数组运算，转置后不取数组元素的共轭复数共轭转置：针对矩阵运算，转置后取数组元素的共轭复数如果元素都为实数，那么共轭转置与非共轭转置得出的结果是一样的。

共轭在数学，物理，化学中都有出现。 本意：两头牛背上的架子称为轭,轭使两头牛同步行走。共轭即为按一定的规律相配的一对。通俗点说就是孪生。正常共轭效应又称π－π 共轭。是指两个以上双键(或三键)以单键相联结时所发生的 电子的离位作用。英戈尔德，C.K.称这种效应为仲介效应，并且认为，共轭体系中这种电子的位移是由有关各原子的电负性和 p 轨道的大小(或主量子数)决定的。据此若在简单的正常共轭体系中发生以下的电子离位作用： (例如：CH2 CH—CH CH2、CH2 CH—CH O)。Y 原子的电负性和它的 p 轨道半径愈大，则它吸引 电子的能力也愈大，愈有利於基团—X Y从基准双键 A B—吸引 电子的共轭效应(如同右边的箭头所示)。与此相反，如果A原子的电负性和它的 p 轨道半径愈大，则它释放电子使其向 Y 原子移动的能力愈小，愈不利于向—X Y基团方向给电子的共轭效应。中间原子 B 和 X 的特性也与共轭效应直接相关。 多电子共轭效应又称p-π共轭。在简单的多电子共轭体系中，Z 为一个带有p 电子对 (或称n电子)的原子或基团。这样的共轭体系中，除 Z 能形成d-π共轭情况外，都有向基准双键A匉B—方向给电子的共轭效应： (例如下图等)。Z 原子的一对p电子的作用，类似正常共轭体系中的—X Y基团。 超共轭效应又称- 共轭，它是由一个烷基的 C—H 键的 键电子与相邻的 键电子互相重叠而产生的一种共轭现象（烷基的碳原子与极小的氢原子结合，对于电子云的屏蔽效应小，烷基上C-H键的一对电子，受核的作用相互吸引，到一定距离时，烷基上的几个C-H键电子之间又相互排斥，如果邻近有π轨道或者p轨道可以容纳电子，这时σ电子就偏离原来的轨道而偏向于π轨道或p轨道）。依照多电子共轭的理论，一个C—H键或整个CH基团可作为一个假原子来看待，有如结构式 中的 Z 原子： (例如 CH2 CH—CH3、O CH—CH3等) 。超共轭效应存在于烷基连接在不饱和键上的化合物中，超共轭效应的大小由烷基中 -H 原子的数目多少而定，甲基最强，第三丁基最弱。超共轭效应比一般正常共轭效应和多电子共轭效应弱得多。 （分为σ－π和σ－p两种，以σ－π最为常见） 同共轭效应又称p 轨道与 p 轨道的 型重叠。甲基以上的烷基，除有超共轭效应外，还可能产生同共轭效应。 所有同共轭效应，原是指 碳原子上的 C—H 键与邻近的 键间的相互作用。大量的化学活性和电子光谱的数据表明，在丙烯基离子和类似的烯羰基中，存在一种特殊的 p- 或 - 共轭现象，即所谓同共轭效应： 在丙烯基离子中是烯碳原子上的 p 轨道，与正碳离子( )上的空p轨道，作型的部分重叠；而在类似的烯羰基中，则是羰基碳原子的 p轨道与烯碳原子( )的p轨道作 型的部分重叠： 编辑本段数学在数学中有共轭根式、共轭复数、共轭双曲线、共轭矩阵等。共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）复数z的共轭复数记作zˊ。 根据定义，若z＝a＋bi(a，b∈R)，则 zˊ＝a－bi（a,b∈R)。共轭复数所对应的点关于实轴对称。（如右图） 共轭根式当A、B、C、D都是有理根式，而√B、√C中至少有一个是无理根式时，称A√B＋C√D和A√B－C√D互为“共轭根式”。这两式的积为有理式 (√：二次根号) 共轭双曲线概念：双曲线H：(x^2)/(a^2)－(y^2)/(b^2)=1 与 双曲线H"：(y^2)/(b^2)－(x^2)/(a^2)=1 叫做一对共轭双曲线 (a＞0,b＞0,c=√a^2＋b^2) 主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于1。 共轭矩阵共轭矩阵又称Hermite阵。Hermite阵中每一个第i 行第j 列的元素都与第j 行第i 列的元素的共轭相等。 编辑本段物理[1]物理极值问题中，一个物理量(设为y)能取得极大值或极小值，与之相关的另一物理量(设为x)不断增大时，能取极值的物理量y是另一物理量x的非单调性函数。当物理量y等于除极值以外的某一值时，物理量x可取两个不同的值与之相对应，当这两个不同的值之和或之积为定值时，这种现象称为共轭现象。这种共轭现象在力学、电磁学、光学都都有体现（详见“参考资料”）。 此外，物理学中还有共轭物理量的概念——存在不确定关系的物理量称为共轭物理量。如：角动量在量子力学中与角度是一对共轭物理量。

求共轭复根是通常会遇到判别式小于0.在实数范围内是无解,而在复数范围内因为i的平方=-1.所以,只要将根号内原来小于的数进行这样的运算就可以了.比如说根号里面的是-1,那么就是+i和-i这两根.

分析： 复数分母实数化，然后求出复数的共轭复数即可． ==-1+i．所以所求复数的共轭复数为：-1-i．故答案为：-1-i． 点评： 本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力．

复数包括虚数和实数严格说不是一个概念吧

考点： 复数的代数表示法及其几何意义 专题： 数系的扩充和复数 分析： 直接利用两共轭复数的实部和虚部的关系得答案． 设z=a=bi，则.z=a-bi，∴两共轭复数的实部相等，虚部互为相反数，则在复平面内，两共轭复数所对应的点关于x轴对称．故选：A． 点评： 本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了共轭复数的概念，是基础题．

z上面一横指的是Z的共轭复数，共轭复数是两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。当虚部不为零时，共轭复数就是实部相等，虚部相反，如果虚部为零，其共轭复数就是自身（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）。 复数z的共轭复数记作z（上加一横），有时也可表示为Z*。同时复数z（上加一横）称为复数z的复共轭。在复平面上，表示两个共轭复数的点关于X轴对称，而这一点正是"共轭"一词的来源。两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横梁，这横梁就叫做"轭"。如果用z表示x+yi，那么在z字上面加个"一"就表示x-yi，或相反。

实数的共轭就是他本身，例如：3的共轭是3复数a+bi的共轭是a-bi，其中a、b是实数，i是-1的平方根。

直接由复数代数形式的除法运算化简,求得后进一步得到,则答案可求.解:,.复数的共轭复数的虚部为.故答案为:.本题考查了复数代数形式的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题.

Z=a+bi的共轭复数是a-bi,所以i的共轭复数是-ii^2=-1,i是复数

m+ni和m-ni互为共轭复数，说简单点就是实部一样，虚部符号相反。在高中大概就是练练复数运算，用处不大。高等数学里比较有用。

-2i。根据查询中国教育网显示，共轭复数是两个实部相等，虚部互为相反数的数，当虚部不为零时其共轭复数是实部相等虚部相反，当虚部为零时其共轭复数是本身，所以答案是-2i。

复数集就是所有实数和虚数组成的集合，符号为C。形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数，其中i为虚数单位，且i^2=i*i=-1（a，b是任意实数）。复数由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，后来这个概念逐渐为数学家所接受。数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。 定义：形如z=a+bi的数称为复数，其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=-1(a，b是任意实数) 我们将复数z=a+bi中的实数a称为虚数z的实部(real part)记作Rez=a 实数b称为虚数z的虚部(imaginary part)记作 Imz=b。 易知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数。 当a=0且b≠0时 ，z=bi，我们就将其称为纯虚数。 定义： 对于复数z=a+bi，称复数z‘=a-bi为z的共轭复数。 定义：将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作∣z∣，即对于复数z=a+bi，它的模∣z∣=√(a^2+b^2)。复数的集合用C表示，显然，R是C的真子集。 复数集是无序集，不能建立大小顺序。

两个实部相等。虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugatecomplexnumber).（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）复数z的共轭复数记作z，复数是指能写成如下形式的数a+bi，这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开根）。

高中数学第三册第四章第二节复数对应的点集......* * 1 4 1 0 0 略解： 5 2、 0 3、 略解： 1 -1 3 4、 略解： 0 1 2 5、 0 -1 略解： 6、 略解： 0 0 -1 1 略解： 7、 (z 1)......，......* * 1 4 1 0 0 略解： 5 2、 0 3、 略解： 1 -1 3 4、 略解： 0 1 2 5、 0 -1 略解： 6、 略解： 0 0 -1 1 略解： 7、 (z 1)......奥数培训：复数(2).ppt......复 数⑵ * 例1、是否存在这样的正整数n复数，使复数 是纯虚数？若存在，求出正整数n 的值；若不存在，请说明理由. 例2、设x2+x+1是f(x3)-xg(x3)的因式，奥数 其中f(x)、 g(x ...求复数辐角主值的常用方法.swf求复数辐角主值的常用方法.swf复数的辐角，使复数 是纯虚数？若存在，求出正整数n 的值；若不存在，请说明理由. 例2、设x2+x+1是f(x3)-xg(x3)的因式，复数的幅角求复数辐角主值的常用方法.swf复数的确立......数的确立海南 王春齐有了实数概念photo的复数，使复数 是纯虚数？若存在，求出正整数n 的值；若不存在，请说明理由. 例2、设x2+x+1是f(x3)-xg(x3)的因式，人们就解决了过去仅有有理数概念时所不能解决的不可公度和开方开不尽等矛盾．但后来随着生产实践的深入发展，mouse的复数又产生了新的矛 ...复数.ppt......中代数多媒体课件 作者:赵振东 教学目标 A(识记) 1.复数的概念。 2.复数的模的概念。 3.共轭复数的概念 。 ...名词变复数ppt，使复数 是纯虚数？若存在，求出正整数n 的值；若不存在，请说明理由. 例2、设x2+x+1是f(x3)-xg(x3)的因式，人们就解决了过去仅有有理数概念时所不能解决的不可公度和开方开不尽等矛盾．但后来随着生产实践的深入发展，复数的概念 ppt......中代数多媒体课件 作者:赵振东 教学目标 A(识记) 1.复数的概念。 2.复数的模的概念。 3.共轭复数的概念 。 ...高考数学复习教案--复数的几何意义.doc......1．加减法运算的平行四边形法则和三角形法则;2．乘法运算的几何意义;上述结论都要结合图象对学生进行详细的说明.3．要从两个方面来理解复数运算的几何意义,只有 ...复数概念教案doc，使复数 是纯虚数？若存在，求出正整数n 的值；若不存在，请说明理由. 例2、设x2+x+1是f(x3)-xg(x3)的因式，人们就解决了过去仅有有理数概念时所不能解决的不可公度和开方开不尽等矛盾．但后来随着生产实践的深入发展，有理数复习教案doc......1．加减法运算的平行四边形法则和三角形法则;2．乘法运算的几何意义;上述结论都要结合图象对学生进行详细的说明.3．要从两个方面来理解复数运算的几何意义,只有 ...单复数意义不同.doc单复数意义不同.doc复数 doc，使复数 是纯虚数？若存在，求出正整数n 的值；若不存在，请说明理由. 例2、设x2+x+1是f(x3)-xg(x3)的因式，人们就解决了过去仅有有理数概念时所不能解决的不可公度和开方开不尽等矛盾．但后来随着生产实践的深入发展，复数的几何意义单复数意义不同.doc第12讲复数的运算与几何意义.rar......解1： 设复数的几何意义，使复数 是纯虚数？若存在，求出正整数n 的值；若不存在，请说明理由. 例2、设x2+x+1是f(x3)-xg(x3)的因式，人们就解决了过去仅有有理数概念时所不能解决的不可公度和开方开不尽等矛盾．但后来随着生产实践的深入发展，，，则由可得：利用，可解得：，所以，．当时，，；当时，，．若能注意到本题的特点：则可充分利用模的性质，复数的几何意义ppt得到下面的解2．解2：由题可知都 ...高二数学复数的运算试题......同步题库二 复数的运算一、选择题 同步题库二 复数的运算∴A≤B......高二数学必修5试题，使复数 是纯虚数？若存在，求出正整数n 的值；若不存在，请说明理由. 例2、设x2+x+1是f(x3)-xg(x3)的因式，人们就解决了过去仅有有理数概念时所不能解决的不可公度和开方开不尽等矛盾．但后来随着生产实践的深入发展，，，则由可得：利用，可解得：，所以，．当时，，；当时，，．若能注意到本题的特点：则可充分利用模的性质，高二数学期中试题......同步题库二 复数的运算一、选择题 同步题库二 复数的运算∴A≤B......高三数学-复数的向量的表示-人教版[整理]......2 复数的向量表示 中央电教馆资源中心制作 2003.11 * * （2）填空： 复数 的代数形式是_______；当_______时复数与向量，使复数 是纯虚数？若存在，求出正整数n 的值；若不存在，请说明理由. 例2、设x2+x+1是f(x3)-xg(x3)的因式，人们就解决了过去仅有有理数概念时所不能解决的不可公度和开方开不尽等矛盾．但后来随着生产实践的深入发展，，，则由可得：利用，可解得：，所以，．当时，，；当时，，．若能注意到本题的特点：则可充分利用模的性质， 为实数；当_______时，平面向量与复数 为虚数；当___ ...详见：http://hi.baidu.com

当一个函数f其实部为偶函数，虚部为奇函数时，此函数就为共轭对称函数，即f(x)的共轭等于f(-x)

可以比大小 i当然=i

分析：根据所给的复数，先进行复数的乘法运算，得到复数的袋鼠形式的标准形式，根据共轭复数的实部相等，虚部相反，得到结果．解答：解：∵复数（i-1）i=-1-i，∴复数（i-1）i的共轭复数是-1+i故选C．点评：半天考查复数的乘法运算和复数的基本概念，本题解题的关键是求出复数的代数形式的标准形式，本题是一个基础题．

下面以*代表共轭：f(z*)=f(x, -y)=u(x, -y)+iv(x, -y)[f(z*)]*=u(x, -y)-iv(x, -y)

实部相等虚部相反

由题意可得：Z=2+i，∴ . Z =2-i= (2-i)(2+i) 2+i = 5 2+i ． 故选C．

　　1、英文 　　Plans for the May Day. 　　May Day is coming.In order to have a happy holiday,we students all have a plan for it and they differ from one to another.Some students think their studies are very heavy,so they should take good use of the holidays to review the lessons.Some believe that they should have a good rest ,for they are very tired from the studies.Others say they are going on a trip to another city during the May Day.There are also some students who would like to stay at home. 　　In my opinion,we should have a good rest during the holidays so that we can have more energy for our studies when we return school. 　　2、中文翻译 　　五一的计划。 　　五一劳动节就要到了。为了有一个快乐的假期，我们学生都有一个计划，他们不同于另一个。一些学生认为他们的学习很重，所以他们应该好好利用假期复习功课。一些人认为他们应该好好休息，因为他们学习很累。另一些人说他们将在五一期间去另一个城市旅游。也有一些学生想呆在家里。 　　在我看来，我们应该在假期好好休息一下，这样当我们返校时就能有更多的精力来学习。