回归方程的解释变量中，可以全是核心解释变量吗，比如解释变量x1～6，全作为核心解释变量？

解释变量和核心解释变量都是研究中常用的概念。解释变量是一个影响因变量的变量或因素，它是研究中的独立变量。例如，在一项研究中，如果研究人员想知道教育对工资的影响，教育就是解释变量，而工资是因变量。在许多研究中，一个或多个解释变量与因变量之间存在着关系，这种关系可以用统计分析来探索和解释。核心解释变量是对因变量影响最大、最重要的解释变量。它是研究中最关键的解释变量。在许多研究中，存在着多个解释变量，每个解释变量对因变量的影响都有所不同。研究人员需要确定哪些解释变量是对因变量影响最大、最重要的，这些变量就是核心解释变量。例如，在一项市场研究中，为了确定产品销售量的主要影响因素，研究人员可能发现广告支出是最重要的解释变量，因此可以将广告支出作为核心解释变量。因此，解释变量和核心解释变量是研究中常用的概念，解释变量是影响因变量的独立变量，而核心解释变量是影响因变量最重要的解释变量。

核心解释变量不是门限变量与自变量的关系。根据查询相关公开信息显示，核心解释变量是指在回归分析中，对应于目标变量与自变量之间的关系最为重要的自变量。而门限变量是指自变量对目标变量的影响在某个临界值处发生了突变或者显著变化的变量。所以核心解释变量与门限变量是没有关系的，只与自变量与目标变量有关。

核心解释变量可以有两个。用滞后变量做稳健性检验时，可以有两个核心解释变量，但只有其中一个滞后一期才显著，要解释为什么要加其中一个滞后。

控制变量存在中介效应导致核心解释变量不显著解决如下：。由于三个因素对自变量和因变量产生影响造成的双变量只有AC模型的系数和显著性的夸大，但是如果被控制变量是中介变量，回归结果会对研究者造成误导，把本来存在的A对C的影响给过滤掉后得出错误的结论弃真错误其次，检验核心解释变量与被解释变量间是否存在显著相关关系，在不加入其他控制变量的情况下运行二元回归。

不单独回归。没有核心解释变量的模型不单独回归，需要使核心解释变量和扰动项才可以，回归模型对统计关系进行定量描述的一种数学模型。

固定效应回归。固定效应回归是一种空间面板数据中随个体变化，但不随时间变化的一类变量方法，所以可以用固定效应回归。

分类变量使用“虚拟变量”处理，注意虚拟变量陷阱，多元回归，回答之中有个是错误的，不需要单独一个变量做回归，在假设性检验可以处理无效的变量。

在回归方程中表示自变量x对因变量y影响大小的参数。回归系数越大表示x对y影响越大，正回归系数表示y随x增大而增大，负回归系数表示y随x增大而减小。

当某个变量的VIF超过10,需要逐一删除解释变量。当删除掉x k 时,发现VIF低于10,从{x k,x i}中删除掉IV较低的一个。Vif大于10表明自变量间存在严重多重共线性，具体哪几个变量间存在还要看相应的表才行。主要看结果是否合理，能否用专业知识来解析！比如，回归系数的正负号是否符合常理，该有意义的变量是否纳入方程等。多重共线性只是会影响变量的显著性和符号等，如果两者受影响不大，对核心解释变量和被解释变量有较大影响的共线性严重变量也不用因为多重共线性而剔除。由于都化成了标准分，所以就不再有常数项 a 了，因为各自变量都取平均水平时，因变量也应该取平均水平，而平均水平正好对应标准分 0 ，当等式两端的变量都取 0 时，常数项也就为 0 了。多元线性回归与一元线性回归类似，可以用最小二乘法估计模型参数，也需对模型及模型参数进行统计检验。选择合适的自变量是正确进行多元回归预测的前提之一，多元回归模型自变量的选择可以利用变量之间的相关矩阵来解决。

可以。采用LSDV法估计双向固定效应模型，分别用三个核心解释变量构造了三个方程，被解释变量和控制变量相同。发现三个方程控制变量的回归系数以及标准误都是一样的。标准误是聚类稳健标准误，只有核心解释变量和常数项的回归系数与标准误有差异。

会影响。在模型中加入控制变量会降低核心解释变量的显著性，控制变量加的越多，核心解释变量的显著性就会越低。

2011年至今，我国生育政策已从“双独二孩”发展到“全面三孩”。历经10年嬗变，“让不让生”已不再是问题，取而代之的是“想不想生”和“生了怎么养”。回顾政策历程，10年间，从2011年的“双独二孩”，到2013年的“单独二孩”，再到2016年实施“全面二孩”，2021年放开“三孩”，这表明政府提高人口生育水平的决心。事实上，生育背后还有诸多复杂的社会因素相互牵扯，“说生就生”并不容易。基于此，澎湃新闻推出“生育的细节”系列报道，精选国内外新刊发的人口研究，将后人口转型时期人们的生育决策及行为置于“显微镜”下，以人为本，探究细节。今天，本系列推出第十三篇，新研究发现，上网越久人们越不想生孩子。那么，互联网究竟是怎样影响人们的生育意愿的？中国互联网络信息中心（CNNIC）发布的第50次《中国互联网络发展状况统计报告》显示，截至2022年6月，我国网民规模为10.51亿，网民人均每周上网时长为29.5个小时，网民使用手机上网的比例达99.6%。近期，有研究指出，不断扩展的互联网应用可能带来生育水平下降的问题，这为理解我国低生育率问题提供了新的思路和视角。今年5月，北大核心期刊《人口研究》同期刊发了两篇有关互联网与生育意愿关系的研究文章，题目分别为《互联网使用会影响居民生育意愿吗？》、《上网为什么会影响个人生育意愿？》。前文作者为邱磊菊、冯宜强、史宇鹏、孙宝文，来自中央财经大学中国互联网经济研究院、信息学院、经济学院。后文作者为陈卫民、万佳乐、李超伟，来自南开大学人口与发展研究所、南京农业大学金融学院。这两份研究都通过实证分析发现，上网会降低居民的生育意愿。如，《互联网使用会影响居民生育意愿吗？》一文分析表明：上网时间每增加1%，个体的生育意愿降低1.69%。那么，上网究竟是如何在潜移默化之中影响居民生育意愿的？增加生育焦虑；改变生育观念；刺激消费，挤压生育养育预算；网络社交和娱乐部分替代生儿育女的效用满足……这些影响机制被一一揭示。上网的人比不上网的人生育意愿降低约10.5%《互联网使用会影响居民生育意愿吗？》一文使用中国家庭追踪调查（CFPS）数据以及相匹配的城市统计数据，实证分析了互联网使用对居民生育意愿的影响。该文使用的微观个体数据为北京大学中国社会科学调查中心公布的2018年中国家庭追踪调查数据（2018 China Family Panel Studies，CFPS2018）。根据女性生育年龄的合理性，研究剔除了小于20岁与大于45岁的女性样本，由于男性的生育年龄可以延续至更大岁数，研究保留全部男性样本，成人问卷数据匹配家庭与少儿问卷后得到样本量为10342个。该研究使用“生育意愿”和“实际生育行为”两个指标刻画被解释变量，该研究的核心解释变量是“个体互联网使用情况”，同时，研究纳入了一系列个体特征、家庭特征作为控制

stata用不同模型估计的核心解释变量系数相差比较大的时候应该去直接修改。

研究显示，控制了影响生育意愿的其他因素和内生性问题后，分析结果表明，使用互联网的居民比不使用者的生育意愿降低了约10.5%。同时，考虑到个体之间存在差异，该研究将互联网使用与一系列虚拟变量（学历、收入、经济水平等）的交互项放入回归，研究异质性。分析结果表明，居住在经济发达城市、低学历、低收入的互联网使用者生育意愿降幅更加明显。对此，研究者分析道，造成以上差异的原因可能是，经济发达城市的互联网使用人群更容易接受新兴观念冲击，受教育程度低的人群因自身认知水平限制更有可能受到互联网上非主流文化的影响并改变自己的生育观念。此外，研究还利用2015年10月出台的全面两孩政策这个外生冲击构成的准自然实验来检验互联网使用对生育意愿的影响。研究将2014年与2018年中国家庭追踪调查数据（CFPS）匹配成面板数据，将2014年视为“政策实施之前”，2018年视为“政策实施之后”。其中，2014年使用互联网的个体为实验组，不使用互联网的个体为控制组，利用双重差分方法（DID）对因变量生育意愿进行估计。结果显示，全面两孩政策显著提高了居民的生育意愿，但使用互联网的个体比不使用互联网的个体受全面两孩政策的影响较小，即互联网使用削弱了全面两孩政策对生育意愿的提升作用。研究进一步探究了互联网使用与实际生育行为之间的关系，研究匹配2016年与2018年中国家庭追踪调查数据（CFPS）的样本构建面板数据，使用2016年“个体互联网使用情况”作为核心解释变量，对被解释变量“生育行为”进行回归。结果表明，给定其他变量的情况下，使用互联网的个体生孩子的概率比不使用互联网的个体低4.3%；在使用互联网的群体中，每周上网时间每增加1%，生孩子的概率降低1.7%。

人大经济论坛上，黄河泉老师说可以的

两个。核心解释变量只有两个取值。取值是指包含在特定要求范围内的所有数值的集合被称作取值范围。

需要。根据查询个人图书馆官方网站显示，系统gmm需要核心解释变量显著。解释变量亦称“说明变量”、“可控制变量”，是经济计量模型中的自变量。解释变量，按照一定的规律对模型中作为因变量的经济变量产生影响。

成语名称： 流水行云 liú shuǐ xíng yún 欢迎您访问本页，本页的主要内容为解释成语【流水行云】的出处和来源，以及回答流水行云的意思是什么，其中包含英语翻译和造句，同时提供了百度百科和SOSO百科的链接地址，为您全方位的诠释流水行云成语。如果本页找不到内容，在页尾点击回百度搜索。 [成语解释] ①流动的水和飘浮的云彩。②比喻旋踵即逝的东西。③比喻自然流畅，不拘泥。 百科解释如下： 【成语】流水行云 　　【发音】liú shuǐ xíng yún 　　【解释】①流动的水和飘浮的云彩。②比喻旋踵即逝的东西。③比喻自然流畅，不拘泥。也做：行云流水。 　　【出处】宋·洪咨夔《朝中措·寿章君举》：“流水行云才思，光风霁月精神。” 　　【示例】容止则光风霁月，应对则～。 ★明·汤显祖《邯郸记·极欲》 　　【用法】作宾语、定语；指文章等 　　【小说作者】流水行云 　　写有小说《风中薄荷香——谢谢你能爱上我》，《哭泣的野菊花——再说一次我爱你》及续集《哭泣的野菊花——淡若清菊》，《淡墨轻扬》（又名《下一站1+1》）。在多家网站发表小说。 百度百科地址：baike.baidu.com/view/377161.htm SOSO百科地址: 百度搜索：《 点击此处 》

小桥旁流水绵绵， 古道处新燕啄新泥。

孔圣人尚学琴于师襄，一操便知其为文王。～，得遇知音。（清·曹雪芹《红楼梦》第八十六回）

落花流水。。。

流水不腐,户枢不蠹,动也释义：腐：臭；枢：门轴；蠹：蛀。流动的水不会发臭，经常转动的门轴不会腐烂。比喻经常运动的东西不易受侵蚀。　　出处：《吕氏春秋·尽数》：“流水不腐，户枢不蠹，动也。”　　示例：“流水不腐，户枢不蠹”，是说它们在不停的运动中抵抗了微生物或其他生物的侵蚀。

懂了【哦

行云流水的意思是自然不受拘束，就像飘浮着的云和流动着的水一样。读音：xíng yún liú shuǐ。出处：苏轼《与谢民师推官书》：所示书教及诗赋杂文，观之熟矣；大略如行云流水，初无定质，但常行于所当行，常止于所不可不止。近义词：无拘无束、挥洒自如。反义词：矫柔造作、矫揉造作。行云流水造句。1、这首诗写得太好了，简直如行云流水。2、结构如行云流水，层次分明，先后呼应。3、我在工作中总是处于一种行云流水的状态。4、他的文章思路行云流水，把各种人物写得惟妙惟肖，把各种情绪表达得淋漓尽致。5、巴西足球擅长进攻，行云流水自成一格。

桃花流水的意思：形容春日美景。比喻男女爱情。读音：táo huā liú shuǐ。引证：唐·李白《山中问答》：桃花流水窅然去，别有天地非人间。例句：桃花流水杳然去，朗月清风到处游。车窗外的那一片绿，郁郁冉冉青翠温润，配上那垂下的柳枝，就如那桃花流水般动人。桃花流水造句1、坐在桃花树下，听着流水潺潺，感觉像是置身于桃花流水之中。2、桃花流水的美丽景色吸引了无数游客前来观赏。3、在桃花流水的陪伴下，我的心情变得愉悦起来。4、桃花流水的轻柔声音让我感到平静和舒适。5、桃花流水的清澈让我想起童年的时光，那时也曾欣赏过它的美丽。6、桃花流水和周围的桃花树构成了一幅美丽的画卷。7、在桃花流水的映衬下，那些桃花仿佛变得更加娇艳美丽。8、桃花流水的声音和味道都让我感到非常舒适和惬意。

流水朝宗意思原指古代诸侯天子，借指百川入海。比喻人心所向。流水朝宗，汉语成语，拼音是liú shuǐ cháo zōng，朝宗：原指古代诸侯天子，意思是比喻人心所向。出自《诗经·小雅·沔水》沔彼流水，朝宗于海。作宾语、定语；多用于比喻句。流水朝宗是中性词。“朝宗”，诸侯春天谒见天子叫“朝”，诸侯夏天进谒天子叫“宗”。流水朝归于大海，是世事自然的道理;有如诸侯谒见天子的春朝夏宗一般。当乱世，感叹水有归所，人却流离迁徙，不知该归向何处。也比喻有德者为人望所归属。流水朝宗造句1、沔彼流水，朝宗于海。鸵彼飞隼，载飞载止。嗟我兄弟，邦人诸友。莫肯念乱，谁无父母？沔彼流水，其流汤汤。鸵彼飞隼，载飞载扬。念彼不迹，载起载行。心之忧矣，可弭忘。鸵彼飞隼，率彼中陵。民之讹言，宁莫之惩？我友敬矣，谗言其兴。2、天子当阳，臣工率职。流水朝宗，众星拱极 。3、《诗经》上有这样一句话洒彼流水，朝宗于海。意思是所有的流水，包括江河之水，不管它起源于哪里，最终都要汇聚到大海里，海是万水之母。

黄钟大吕轻歌曼舞行云流水巧夺天工惟妙推销造句他的声音杨白劳惟妙惟肖

高山流水的意思：比喻知音、知己相赏或难遇。本指乐曲的意蕴、旋律高雅精妙。读音：gāo shān liú shuǐ。出处：《列子·汤问》：伯牙善鼓琴，钟子期善听。伯牙鼓琴，志在高山。钟子期曰：“善哉，峨峨兮若泰山！”志在流水。钟子期曰：“善哉，洋洋兮若江河！”伯牙所念，钟子期必得之。近义词：知音难觅、阳春白雪、曲高和寡。反义词：下里巴人、通俗易懂。高山流水造句1、有一天，你说凌绝生死的爱，高山流水的爱，都是幻象。所谓幻象，并非不存在，也不是虚假，只是像雪花一样，握不到手心里。由此而引发的悲伤，也就只是雪上那层蓝色雾气了。2、有一种花开，夺目绚烂，可以把黑暗的夜空照亮；有一种思念，虽苦犹甜，可以把漫长的距离变短；有一种孤独，静观尘世，可以把焦躁的心情抚平；有一种境界，高山流水，可以把喧嚣的热闹拒绝。3、这种高山流水之乐，真是人间难得几回闻。4、他的作品虽然动听，可惜高山流水，知音难觅。5、伯牙抚琴高山流水余音绕梁，三月不知肉味。6、他弹奏的古典乐曲，若高山流水般美妙。7、人常说高山流水，知音难觅，这话是有一定道理的。

所谓落花有意，流水无情。当然是比喻一方有意一方无情的爱情。之所以说桃花，是因为桃花更加凄美。桃花本来就是白里透红，有一种凄美的感觉。原诗是落花有意随流水，流水无情葬落花。

长流水的引证解释是：⒈细水长流之意。比喻节约使用人力或物力，使经常不缺。引王鸿均《姑嫂俩》：“精打细算长流水，省吃俭用有馀粮。”。长流水的引证解释是：⒈细水长流之意。比喻节约使用人力或物力，使经常不缺。引王鸿均《姑嫂俩》：“精打细算长流水，省吃俭用有馀粮。”拼音是：chángliúshuǐ注音是：ㄔㄤ_ㄌ一ㄡ_ㄕㄨㄟˇ结构是：长(独体结构)流(左右结构)水(独体结构)。长流水的具体解释是什么呢，我们通过以下几个方面为您介绍：一、词语解释【点此查看计划详细内容】1.细水长流之意。比喻节约使用人力或物力_使经常不缺。二、网络解释长流水长流水：汉语词汇长流水：风水术语长流水：宁夏灵武市白土岗乡景区长流水：古代地名长流水：新疆哈密湖盐产地长流水：中药学术语长流水（汉语词汇）条目：长流水拼音：chánɡliúshuǐ1.通成语“细水长流”。细水长流之意。比喻节约使用人力或物力_使经常不缺。王鸿均《姑嫂俩》：“精打细算长流水，省吃俭用有余粮。”蒋子龙《一个工厂秘书的日记》：“留点后路，～不断线，万一哪个月出点事没有完成任务，仍然可以发奖。”2.旧时北京地区镖行谓卖眼药。3.晋语指农民自织的一种蓝白条相间的土布。（山西忻州）。关于长流水的诗词《长流水题壁》《送李冠·匀如春涧长流水》《题长流水壁》关于长流水的诗句暮过长流水匀如春涧长流水朝过长流水关于长流水的成语蜚短流长滚瓜流水飞短流长流年似水流水游龙流水潺潺流水无情似水流年关于长流水的词语流水游龙蜚短流长飞流短长细水长流源远流长流水无情水长船高流汤滴水似水流年流年似水关于长流水的造句1、我又跑到奶奶跟前说："奶奶，祝您福如东海长流水，寿比南山不老松！"。2、人们常说这里的风水好，当地也常有"福如前海长流水，寿比南山荔枝林"的笑谈，亦或，这其中真的藏着一份尚不为人所知的灵性？3、安逸静谧的晚年，是一种休息，是一种愉悦，是一种至高的享受！在这个特殊的日子里，祝您福如东海长流水、寿比南山不老松，健康与快乐永远伴随您！。4、安逸静谧的晚年，一种休息，一种愉悦，一种至高的享受！祝您福如东海长流水、寿比南山不老松!5、按天、地、人三才，截为三段;取中间一段送长流水中，浸七十二日，按七十二候之数;取起阴干，选良时吉日制成乐器。点此查看更多关于长流水的详细信息

高山流水( gāo shān liú shuǐ ) 比喻知音难觅.也比喻乐曲高妙. 近义词：知音难觅 反义词：下里巴人 造句：高山流水的主人翁是俞伯牙与钟子期. 很高兴为您解答,【the1900】团队为您答题. 请点击下面的【选为满意回答】按钮,

小敏看到可爱又漂亮的玩具，多想让爸爸给他买一个啊。

多想造句有：1、生活的起点并不是那么重要，重要的是最后你能到达哪里。这个世界，对着你笑的人太多太多。真心包容你的，太少太少。我多想能有个人对我说，你不用改变自己，我来习惯你就可以了。2、多思、多想、多看；少指责、少抱怨、少后悔。3、今每天刚亮的时候就坐上车了，看这路的两旁想着以前的以前，两旁的风景会跟着速度缓缓边远，我多想回到从前即便知道那只是梦，实在我们在一路上看过了良多景致，那一路上谁也不晓得会为谁停留着，咱们只是在一味的寻找着本人想要的，却看不到我们身边的美妙。4、童年，是一只载着无数快乐的小船；童年，是一颗甜甜的糖果；童年，是一座美丽的秘密花园。童年，是多么熟悉的一个名儿啊。无意间，我不由得怀念起了五彩缤纷的童年，我多想回到童年时光啊！5、余晖升起，阳光再现。抬头仰望，天空依旧那么蓝，也包含了多少过去与希望。童年又涌上心头，多想回忆！童年的村落，童年的过去。现在让我们共同回首过去，继续寻找童年的记忆！6、有的花含苞待放，有的花还是花骨朵儿，有的花一大多以大多的，好看极了，还有的花竟成了欧阳修所写的的”落花飞絮雨翩翩“。伴随着阵阵花香，站在这花台上，我多想以雨声、风声为伴奏，尽情的舞蹈。

1.幸运之神的降临，往往只是因为你多看了一眼，多想了一下，多走了一步。2.多想想自己的错，就会慢慢忘记别人的过。3.多思、多想、多看；少指责、少抱怨、少后悔。4.自从遇见你，我多想给每一个日子都取一个温暖的名字。5.银杏树的枝干那么笔直，多想以为草原中的哨兵；银杏树的枝条多么纤细，多像舞蹈着柔软的手臂；银杏树的叶子多么精致，多像一把把长柄的扇子。银杏树，你真美，美得让人陶醉。6.我多想变成一颗星星，一颗闪烁着七色之光的星星；一颗不管夜空的云有多厚也能透过云层射出最耀眼光芒的星星；一颗钻石般坚硬的星星；一颗在冬天能散出淡淡暖意的星星；一颗在夏天能散发出淡淡凉意的星星；我多想变成一颗神奇的星星。7.银杏的枝干那么笔直，多想以为草原中的哨兵；银杏的枝条多么纤细，多像舞蹈着柔软的手臂；银杏的叶子多么精致，多像一把把长柄的扇子。银杏真美，美得让人陶醉。8.想要知道我有多想你?那我，告诉你：连大年三十烧纸钱都想着你。9.其实有时候在街上手机不离手不是有多想玩，而是掩饰自己没人同行的尴尬。10.几十年的经验使我懂得，多想到别人，少想到自己，便可以少犯错误。11.我多想一个不小心就和你白头偕老。

一、流水不腐，户枢不蠹，动也。 二、流水不腐，户枢不蠹，民生在勤。 三、流水不腐，户枢不蠹。身怕不动，脑怕不用。志怕不坚，心怕不静。机器不转要生锈，人不锻炼要减寿。 四、醴泉无源芝草无根人贵自勉，流水不腐户枢不蠹民生在勤。 五、流水不腐，户枢不蠹，以其运动故也。 六、流水不腐 户枢不蠹 人的身体也是这样 只有经常锻炼才能保持健康的体魄。 七、流水不腐 户枢不蠹 人和身体也是这样 人有经常锻炼才能保持健康的本魄。（流水不腐 户枢不蠹造句lishixinzhi/4356482） 八、流水不腐 户枢不蠹 它们在不停的运动中抵抗了微生物或其他生物的侵蚀。 九、俗话说：人挪活，树挪死；流水不腐，户枢不蠹。 十、俗话说“流水不腐，户枢不蠹”，如果“亲水住宅”的人工河道不管理不调水，时间一长往往清水变成一潭死水。 十一、“流水不腐，户枢不蠹”，是说它们在不停的运动中抵抗了微生物或其他生物的侵蚀。 十二、流水不腐户枢不蠹 竟然彼此都不动 这可不是好苗头! 十三、醴泉无源 芝草无根 人贵自立;流水不腐 户枢不蠹 民生在勤。 十四、流水不腐 户枢不蠹!有什么事跟我打招呼。 十五、非若儿年轻时所可比拟 精神诚愈用而愈壮 流水不腐 户枢不蠹 然须视其年力之如何。 十六、“流水不腐 户枢不蠹”出自《吕氏春秋·尽数》:“流水不腐 户枢不蝼 动也。 十七、老年人注意运动 可以收到祛病延年的功效。这正是所谓“流水不腐 户枢不蠹”。

原形容暮春景色衰败。后常用来比喻被打得大败。 1、在游击战争中,我军常常以逸待劳,以少胜多,把远道而来的敌人打得落花流水

控制矩阵的三个基本要素：状态变量：指可能影响决策后果的各种客观外界情况或自然状态。是不可控因素。决策变量：指决策者所采取的各种行动方案，是可控因素。概率：指各种自然状态出现的概率。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

他的演讲像高山流水一样清晰有力，而他幽默的语言则是行云流水的点睛之笔，整场演讲宛如一幅画龙点睛的杰作。

高山流水是一个汉语 成语 ，读音为gāo shān liú shuǐ，比喻知己或知音，也比喻乐曲高妙。出自《列子·汤问 》。这里给大家分享一些关于成语高山流水的相关内容，供大家参考。 一、高山流水成语解释 1.也说流水高山。《列子·汤问》记载，春秋时伯牙善弹琴，钟子期善听琴。一次伯牙弹琴时，琴声时若高山，时若流水，只有钟子期能领会其中的含意。后来就用“高山流水”比喻知音或知己。也用以比喻乐曲的高雅精妙。 2.琴曲。取材于《吕氏春秋》中伯牙鼓琴的 故事 。清代琴家张孔山弹奏的《流水》是近代流传最广的曲目之一。 二、高山流水成语 近义词 流水高山 [ liú shuǐ gāo shān ] 比喻知己或知音。也比喻乐曲高妙。 三、高山流水成语 造句 1、人去堂空朝雨暮云难见影，琴调弦绝高山流水少知音。 2、高山流水诗千首,明月清风茶一壶。 3、难寻高山流水，千古知音，只求心烦了有人倾诉，迷茫时有人指点前行的路。 4、弹不出高山流水，就不要抱怨世上没有知音。 5、人常说高山流水,知音难觅,这话是有一定道理的。 6、这次钢琴演奏会，他出神入化地弹奏出高山流水的神韵，令人如醉如痴。 7、尼亚加拉高山流水位于尼亚加拉河上。 8、他的作品虽然动听，可惜高山流水，知音难觅。 9、西弗吉尼亚：黑水高山流水公园风景图片。 10、白头偕老高山流水 唱歌 道："我获得自由时便有了歌声"。 11、我藉由我的歌声触摸天主，正如高山藉由高山流水触摸远海。 12、伯牙抚琴高山流水余音绕梁，三月不知肉味。 13、我但愿有朝一日去看看尼亚加拉高山流水。 14、火车驶过时，我瞥见了高山流水。 15、这种高山流水之乐，真是人间难得几回闻。 16、他的演奏有如高山流水,美妙动听。 17、这位钢琴家演奏的乐曲，有如高山流水，听得人如痴如醉。 18、他弹奏的古典乐曲，若高山流水般美妙。 19、她茑语呖呖，像高山流水。 20、现在流行音乐充斥，这种乐曲恐怕是高山流水，难有人欣赏。 21、于是呢他就在这块大石头上啊支起了琴架，弹奏起高山流水的曲子。 22、她莺语呖呖，好像高山流水。 23、《来到俺庄丰产田》《高山流水》等佳作，被业界尊为经典。 24、暮云春树千里路，高山流水是故交。 25、林下樵歌，溪边渔唱，弹到高山流水，想古来无二个知音。 26、稍倾，铜锣如大海汹涌澎湃，又如高山流水余音缭绕。 27、月上瓜洲酌淡酒，高山流水遇知音。 28、他面带微笑，如坐春风，琴音中阳春白雪，高山流水。 29、悠悠同窗情，绵绵伴此生，高山流水千年调，白雪阳春万古情。 30、汉宫秋月，高山流水，寒鸦戏水，诸宫调。 高山流水成语解析及造句相关 文章 ： ★ 高山流水的成语词义介绍 ★ 成语高山流水的解释 ★ 成语高山流水 ★ 高山流水的成语故事 ★ 行云流水的成语意思是什么 ★ 描写历史英雄人物的成语故事之高山流水(俞伯牙、钟子期)

线性规划同上异下原理：在直线l：Ax+By+C=0上任取一点（x，y），过这一点做直线l1平行于l，则对于直线l1上的点（x1，y1），有x=x1，且有Ax1+By1+C-（Ax+By+C）=B（y1-y），与B同号在上，异号在下；同理与A同号在右，异号在左。模型建立从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤。1、根据影响所要达到目的的因素找到决策变量。2、由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数。3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。

风筝跑到天上和白云嬉戏，短笛逗弄流水，吟诵出欢快的乐曲。

u2003我们试图从优化的角度切入PCA： u2003优化问题有3要素： u2003u2003u2003 1.目标函数 : u2003u2003u2003 2.决策变量 : u2003u2003u2003 3.约束条件 : u2003这就涉及一些问题，我们的目的是什么，这点很明显可以从目标函数中看出。先看个特殊情况，如果Z已知，我们将Z投影到正交向量构成的空间中，我们的目的是让数据矩阵A与正交变换后的Z对齐。 细致看下这个特殊情况: u2003因为在上述结果的最后，前两项是已知常数；所以我们实际上是要最大化 我们可以对 做奇异值分解。即： u2003令 ;R,V,Q都是正交矩阵，所以B也是正交矩阵。所以： u2003最后一个不等式成立的原因是 是个正交矩阵，因为所有正交矩阵都是经过单位化的，所以对角线元素都小于1。等号成立的条件是 是单位矩阵且 。即： 时，我们的目标函数最小，相当于Z转一个角度能与原来矩阵对齐。而旋转变换的正交矩阵取决于 奇异值分解出的两个正交的特征向量矩阵。 这说明我们只要知道了降维后的 ，那么我们总能找到一个变换 ，使得 在变换后尽可能的还原 的信息。 u2003那么问题来了， 就是我们所要求的东西，我们不可能提前知道，那么我们怎么求满足条件,且尽可能还原 的信息的 和 呢？现在我们得直面这个优化问题了。 u2003我们可以靠 拉格朗日乘子法 将原来的 有约束 的优化问题转为 无约束 的优化问题,最后求导后找出满足条件的其中一组解就可以了。 所以 对各个决策变量求导： u2003令(1),(2),(3)导数等于0： 然而我们的目的是找出其中一个解就行，也就是找到其中一个V，所以我们将 带入(2)中： 令 ，那么： 即 可以通过对 特征分解后取前 个最大的特征值得到。这是其中一个解，也是我们想要的结果，即直接可以通过数据矩阵 的信息得出我们的正交变换 ；使得数据在保证信息尽可能完整的情况下降维。 (矩阵求导方面可以参考 这里 )

应该是可以的。多目标优化的变量空间应该是可连续或可不连续的，而遗传算法只是优化这个问题的手段，它的变量空间也有很多类型，所以你要根据你所需要处理的问题仔细分析。

智能派单模式下出租车司机时薪比抢单模式下的时薪提高50%，空驶率最多降低36%。抢单的模式注定滴滴的应答率天花板不会太高。在15年，滴滴上线快车业务，我们从抢单演进到了派单模式。乘客的应答率有了20个点以上的提升，很多时候能够全天能够高达90+，高峰&局部供需紧张应答率会相对吃紧。乘客确定性再一次得到大幅的提升，由此可见，派单模式为滴滴创造了巨大用户价值。每一个时刻，都有N个订单在被乘客创建，同时有M个司机可以被滴滴用来进行分配。滴滴能够为派单算法给出司机的实时的地理位置坐标，以及所有订单的起终点位置，并且告诉我们每一个司机接到订单的实时导航距离。

例 求解下列0-1整数线性规划 目标函数 max f=-3x1+2x2-5x3 约束条件 x1+2x2-x3≤2， x1+4x2+x3≤4， x1+x2≤3， 4x1+x3≤6， x1，x2，x3为0或1. 在Matlab命令窗口中输入如下命令： f=[-3,2,-5]; a=[1,2,-1,;1,4,1;1,1,0;0,4,1];b=[2;4;3;6]; [x,fval]=bintprog(-f,a,b) %因为bintprog求解的为目标函数的最小值，所以要在f前面加个负号。运行结果为： Optimization terminated. x = 0 1 0 fval = -2 表示x1=0，x2=1，x3=0时，f取最大值2。 当然，我们还可以在Matlab命令窗口中输入如下命令查询0-1整数规划命令的用法。 help bintprog

“高山流水”比喻知音或者知己,也比喻乐曲高雅精妙。(意思);"高山流水"人们常说高山流水,知音难觅,这句话是很有道理的。(造句)

分枝定界法是由学者查理德·卡普（Richard M.Karp）在20世纪60年代发明，该方法把问题的可行解展开如树的分枝，再经由各个分枝中寻找最佳解。分枝定界法也能够使用在混合整数规划问题上，其为一种系统化的解法，一般用单纯形法解出线性规划最佳解后，将非整数值的决策变量分割成最接近的两个整数，加入原问题中，形成两个子问题(或分枝)分别求解，如此便可求得目标函数的上限（上界）或下限（下界），从而寻得最佳解。分枝定界法求解步骤如下所述：(1) 如果问题的目标为最小化，则设定最优解的值Z=∞；(2) 根据分枝法则（Branching rule），从尚未被遍历（Fathomed）且需要变为整数的节点（局部解）中选择一个节点，并在此节点的下一阶层中分为几个新的分支。一般分为两个新的分支，分别是对该节点的其中一个决策变量进行向上取整和向下取整；(3) 对每一个新分枝出来的节点验证是否满足定义域，若满足，则可以继续进行分支，否则不再考虑该分支，计算每一个新分枝出来的节点的下限值（Lower bound，LB）；(4) 判断当前分支的下限值是否小于Z值，若前者较小，则需更新Z值，以此分支为可行解的值，否则此节点不可能包含最优解；(5) 判断是否仍有尚未被遍历且需要变为整数的节点，如果有，则进行步骤（2），如果没有，则算法停止，并得到最优解。

线性规划无可行解是指只能得出原问题无最优解，不能推出原问题解无界。分析：线性规划无可行解是指对偶问题只能得出原问题无最优解，不能推出原问题解无界，还可能也无可行解。对于只有两个变量的简单的线性规划问题，也可采用图解法求解。这种方法仅适用于只有两个变量的线性规划问题。它的特点是直观而易于理解，但实用价值不大。通过图解法求解可以理解线性规划的一些基本概念。所建立的数学模型具有以下特点：1、每个模型都有若干个决策变量（x1，x2，x3……，xn），其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。2、目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。3、约束条件也是决策变量的线性函数。当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。

订货量和再订货点，确定变量需要考虑多种因素，如需求量、成本、库存水平和服务水平。最优的订货量和再订货点，以实现最小化成本和最大化利润的目标。

　　动态规划的特点及其应用　　安徽 张辰　　目 录　　(点击进入)　　【关键词】　　【摘要】　　【正文】　　§1动态规划的本质　　§1.1多阶段决策问题　　§1.2阶段与状态　　§1.3决策和策略　　§1.4最优化原理与无后效性　　§1.5最优指标函数和规划方程　　§2动态规划的设计与实现　　§2.1动态规划的多样性　　§2.2动态规划的模式性　　§2.3动态规划的技巧性　　§3动态规划与一些算法的比较　　§3.1动态规划与递推　　§3.2动态规划与搜索　　§3.3动态规划与网络流　　§4结语　　【附录：部分试题与源程序】　　1.“花店橱窗布置问题”试题　　2.“钉子与小球”试题　　3.例2“花店橱窗布置问题”方法1的源程序　　4.例2“花店橱窗布置问题”方法2的源程序　　5.例3“街道问题”的扩展　　6.例4“mod 4最优路径问题”的源程序　　7.例5“钉子与小球”的源程序　　8.例6的源程序,“N个人的街道问题”　　【参考文献】　　【关键词】动态规划 阶段　　【摘要】　　动态规划是信息学竞赛中的常见算法，本文的主要内容就是分析它的特点。　　文章的第一部分首先探究了动态规划的本质，因为动态规划的特点是由它的本质所决定的。第二部分从动态规划的设计和实现这两个角度分析了动态规划的多样性、模式性、技巧性这三个特点。第三部分将动态规划和递推、搜索、网络流这三个相关算法作了比较，从中探寻动态规划的一些更深层次的特点。　　文章在分析动态规划的特点的同时，还根据这些特点分析了我们在解题中应该怎样利用这些特点，怎样运用动态规划。这对我们的解题实践有一定的指导意义。　　【正文】　　动态规划是编程解题的一种重要的手段，在如今的信息学竞赛中被应用得越来越普遍。最近几年的信息学竞赛，不分大小，几乎每次都要考察到这方面的内容。因此，如何更深入地了解动态规划，从而更为有效地运用这个解题的有力武器，是一个值得深入研究的问题。　　要掌握动态规划的应用技巧，就要了解它的各方面的特点。首要的，是要深入洞悉动态规划的本质。　　§1动态规划的本质　　动态规划是在本世纪50年代初，为了解决一类多阶段决策问题而诞生的。那么，什么样的问题被称作多阶段决策问题呢？　　§1.1多阶段决策问题　　说到多阶段决策问题，人们很容易举出下面这个例子。　　[例1] 多段图中的最短路径问题：在下图中找出从A1到D1的最短路径。　　仔细观察这个图不难发现，它有一个特点。我们将图中的点分为四类（图中的A、B、C、D），那么图中所有的边都处于相邻的两类点之间，并且都从前一类点指向后一类点。这样，图中的边就被分成了三类（Auf0e0B、Buf0e0C、Cuf0e0D）。我们需要从每一类中选出一条边来，组成从A1到D1的一条路径，并且这条路径是所有这样的路径中的最短者。　　从上面的这个例子中，我们可以大概地了解到什么是多阶段决策问题。更精确的定义如下：　　多阶段决策过程，是指这样的一类特殊的活动过程，问题可以按时间顺序分解成若干相互联系的阶段，在每一个阶段都要做出决策，全部过程的决策是一个决策序列[1]。要使整个活动的总体效果达到最优的问题，称为多阶段决策问题。　　从上述的定义中，我们可以明显地看出，这类问题有两个要素。一个是阶段，一个是决策。　　§1.2阶段与状态　　阶段：将所给问题的过程，按时间或空间特征分解成若干相互联系的阶段，以便按次序去求每阶段的解。常用字母k表示阶段变量。[1]　　阶段是问题的属性。多阶段决策问题中通常存在着若干个阶段，如上面的例子，就有A、B、C、D这四个阶段。在一般情况下，阶段是和时间有关的；但是在很多问题（我的感觉，特别是信息学问题）中，阶段和时间是无关的。从阶段的定义中，可以看出阶段的两个特点，一是“相互联系”，二是“次序”。　　阶段之间是怎样相互联系的？就是通过状态和状态转移。　　状态：各阶段开始时的客观条件叫做状态。描述各阶段状态的变量称为状态变量，常用sk表示第k阶段的状态变量，状态变量sk的取值集合称为状态集合，用Sk表示。[1]　　状态是阶段的属性。每个阶段通常包含若干个状态，用以描述问题发展到这个阶段时所处在的一种客观情况。在上面的例子中，行人从出发点A1走过两个阶段之后，可能出现的情况有三种，即处于C1、C2或C3点。那么第三个阶段就有三个状态S3={C1,C2,C3}。　　每个阶段的状态都是由以前阶段的状态以某种方式“变化”而来，这种“变化”称为状态转移（暂不定义）。上例中C3点可以从B1点过来，也可以从B2点过来，从阶段2的B1或B2状态走到阶段3的C3状态就是状态转移。状态转移是导出状态的途径，也是联系各阶段的途径。　　说到这里，可以提出应用动态规划的一个重要条件。那就是将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的发展，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是“过去历史的一个完整总结[1]”。这就是无后效性。对这个性质，下文还将会有解释。　　§1.3决策和策略　　上面的阶段与状态只是多阶段决策问题的一个方面的要素，下面是另一个方面的要素——决策。　　决策：当各段的状态取定以后，就可以做出不同的决定，从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策。表示决策的变量，称为决策变量，常用uk(sk)表示第k阶段当状态为sk时的决策变量。在实际问题中，决策变量的取值往往限制在一定范围内，我们称此范围为允许决策集合。常用Dk(sk)表示第k阶段从状态sk出发的允许决策集合。显然有uk(sk) uf0ceDk(sk)。[1]　　决策是问题的解的属性。决策的目的就是“确定下一阶段的状态”，还是回到上例，从阶段2的B1状态出发有三条路，也就是三个决策，分别导向阶段3的C1、C2、C3三个状态，即D2(B1)={C1,C2,C3}。　　有了决策，我们可以定义状态转移：动态规划中本阶段的状态往往是上一阶段和上一阶段的决策结果，由第k段的状态sk和本阶段的决策uk确定第k+1段的状态sk+1的过程叫状态转移。状态转移规律的形式化表示sk+1=Tk(sk,uk)称为状态转移方程。　　这样看来，似乎决策和状态转移有着某种联系。我的理解，状态转移是决策的目的，决策是状态转移的途径。　　各段决策确定后，整个问题的决策序列就构成一个策略，用p1,n={u1(s1),u2(s2),…, un(sn)}表示。对每个实际问题，可供选择的策略有一定范围，称为允许策略集合，记作P1,n，使整个问题达到最有效果的策略就是最优策略。[1]　　说到这里，又可以提出运用动态规划的一个前提。即这个过程的最优策略应具有这样的性质：无论初始状态及初始决策如何，对于先前决策所形成的状态而言，其以后的所有决策应构成最优策略[1]。这就是最优化原理。简言之，就是“最优策略的子策略也是最优策略”。　　§1.4最优化原理与无后效性　　这里，我把最优化原理定位在“运用动态规划的前提”。这是因为，是否符合最优化原理是一个问题的本质特征。对于不满足最优化原理的一个多阶段决策问题，整体上的最优策略p1,n同任何一个阶段k上的决策uk或任何一组阶段k1…k2上的子策略pk1,k2都不存在任何关系。如果要对这样的问题动态规划的话，我们从一开始所作的划分阶段等努力都将是徒劳的。　　而我把无后效性定位在“应用动态规划的条件”，是因为动态规划是按次序去求每阶段的解，如果一个问题有后效性，那么这样的次序便是不合理的。但是，我们可以通过重新划分阶段，重新选定状态，或者增加状态变量的个数等手段，来是问题满足无后效性这个条件。说到底，还是要确定一个“序”。　　在信息学的多阶段决策问题中，绝大部分都是能够满足最优化原理的，但它们往往会在后效性这一点上来设置障碍。所以在解题过程中，我们会特别关心“序”。对于有序的问题，就会考虑到动态规划；对于无序的问题，也会想方设法来使其有序。　　§1.5最优指标函数和规划方程　　最优指标函数：用于衡量所选定策略优劣的数量指标称为指标函数，最优指标函数记为fk(sk)，它表示从第k段状态sk采用最优策略p*k,n到过程终止时的最佳效益值[1]。　　最优指标函数其实就是我们真正关心的问题的解。在上面的例子中，f2(B1)就表示从B1点到终点D1点的最短路径长度。我们求解的最终目标就是f1(A1)。　　最优指标函数的求法一般是一个从目标状态出发的递推公式，称为规划方程：　　其中sk是第k段的某个状态，uk是从sk出发的允许决策集合Dk(sk)中的一个决策，Tk(sk,uk)是由sk和uk所导出的第k+1段的某个状态sk+1，g(x,uk)是定义在数值x和决策uk上的一个函数，而函数opt表示最优化，根据具体问题分别表为max或min。　　，称为边界条件。　　上例中的规划方程就是：　　边界条件为　　这里是一种从目标状态往回推的逆序求法，适用于目标状态确定的问题。在我们的信息学问题中，也有很多有着确定的初始状态。当然，对于初始状态确定的问题，我们也可以采用从初始状态出发往前推的顺序求法。事实上，这种方法对我们来说要更为直观、更易设计一些，从而更多地出现在我们的解题过程中。　　我们本节所讨论的这些理论虽然不是本文的主旨，但是却对下面要说的动态规划的特点起着基础性的作用。　　§2动态规划的设计与实现　　上面我们讨论了动态规划的一些理论，本节我们将通过几个例子中，动态规划的设计与实现，来了解动态规划的一些特点。　　§2.1动态规划的多样性　　[例2] 花店橱窗布置问题（IOI99）试题见附录　　本题虽然是本届IOI中较为简单的一题，但其中大有文章可作。说它简单，是因为它有序，因此我们一眼便可看出这题应该用动态规划来解决。但是，如何动态规划呢？如何划分阶段，又如何选择状态呢？　　<方法1>以花束的数目来划分阶段。在这里，阶段变量k表示的就是要布置的花束数目（前k束花），状态变量sk表示第k束花所在的花瓶。而对于每一个状态sk，决策就是第k-1束花应该放在哪个花瓶，用uk表示。最优指标函数fk(sk)表示前k束花，其中第k束插在第sk个花瓶中，所能取得的最大美学值。　　状态转移方程为　　规划方程为　　（其中A(i,j)是花束i插在花瓶j中的美学值）　　边界条件 （V是花瓶总数，事实上这是一个虚拟的边界）　　<方法2>以花瓶的数目来划分阶段。在这里阶段变量k表示的是要占用的花瓶数目（前k个花瓶），状态变量sk表示前k个花瓶中放了多少花。而对于任意一个状态sk，决策就是第sk束花是否放在第k个花瓶中，用变量uk=1或0来表示。最优指标函数fk(sk)表示前k个花瓶中插了sk束花，所能取得的最大美学值。　　状态转移方程为　　规划方程为　　边界条件为　　两种划分阶段的方法，引出了两种状态表示法，两种规划方式，但是却都成功地解决了问题。只不过因为决策的选择有多有少，所以算法的时间复杂度也就不同。[2]　　这个例子具有很大的普遍性。有很多的多阶段决策问题都有着不止一种的阶段划分方法，因而往往就有不止一种的规划方法。有时各种方法所产生的效果是差不多的，但更多的时候，就像我们的例子一样，两种方法会在某个方面有些区别。　　所以，在用动态规划解题的时候，可以多想一想是否有其它的解法。对于不同的解法，要注意比较，好的算法好在哪里，差一点的算法差在哪里。从各种不同算法的比较中，我们可以更深刻地领会动态规划的构思技巧。　　§2.2动态规划的模式性　　这个可能做过动态规划的人都有体会，从我们上面对动态规划的分析也可以看出来。动态规划的设计都有着一定的模式，一般要经历以下几个步骤。　　划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。注意这若干个阶段一定要是有序的或者是可排序的，否则问题就无法求解。　　选择状态：将问题发展到各个阶段时所处于的各种客观情况用不同的状态表示出来。当然，状态的选择要满足无后效性。　　确定决策并写出状态转移方程：之所以把这两步放在一起，是因为决策和状态转移有着天然的联系，状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。所以，如果我们确定了决策，状态转移方程也就写出来了。但事实上，我们常常是反过来做，根据相邻两段的各状态之间的关系来确定决策。　　写出规划方程（包括边界条件）：在第一部分中，我们已经给出了规划方程的通用形式化表达式。一般说来，只要阶段、状态、决策和状态转移确定了，这一步还是比较简单的。　　动态规划的主要难点在于理论上的设计，一旦设计完成，实现部分就会非常简单。大体上的框架如下：　　对f1(s1)初始化（边界条件）　　for kuf0df2 to n（这里以顺序求解为例）　　对每一个skuf0ceSk　　fk(sk)uf0df一个极值（∞或－∞）　　对每一个uk(sk)uf0ceDk(sk)　　sk-1uf0dfTk(sk,uk)　　tuf0dfg(fk-1(sk-1),uk)　　y t比fk(sk)更优 n　　fk(sk)uf0dft　　输出fn(sn)　　这个N-S图虽然不能代表全部，但足可以概括大多数。少数的一些特殊的动态规划，其实现的原理也是类似，可以类比出来。我们到现在对动态规划的分析，主要是在理论上、设计上，原因也就在此。　　掌握了动态规划的模式性，我们在用动态规划解题时就可以把主要的精力放在理论上的设计。一旦设计成熟，问题也就基本上解决了。而且在设计算法时也可以按部就班地来。　　但是“物极必反”，太过拘泥于模式就会限制我们的思维，扼杀优良算法思想的产生。我们在解题时，不妨发挥一下创造性，去突破动态规划的实现模式，这样往往会收到意想不到的效果。[3]　　§2.3动态规划的技巧性　　上面我们所说的动态规划的模式性，主要指的是实现方面。而在设计方面，虽然它较为严格的步骤性，但是它的设计思想却是没有一定的规律可循的。这就需要我们不断地在实践当中去掌握动态规划的技巧，下面仅就一个例子谈一点我自己的体会。　　[例3] 街道问题：在下图中找出从左下角到右上角的最短路径，每步只能向右方或上方走。　　这是一道简单而又典型的动态规划题，许多介绍动态规划的书与文章中都拿它来做例子。通常，书上的解答是这样的：　　按照图中的虚线来划分阶段，即阶段变量k表示走过的步数，而状态变量sk表示当前处于这一阶段上的哪一点（各点所对应的阶段和状态已经用ks在地图上标明）。这时的模型实际上已经转化成了一个特殊的多段图。用决策变量uk=0表示向右走，uk=1表示向上走，则状态转移方程如下：　　（这里的row是地图竖直方向的行数）　　我们看到，这个状态转移方程需要根据k的取值分两种情况讨论，显得非常麻烦。相应的，把它代入规划方程而付诸实现时，算法也很繁。因而我们在实现时，一般是不会这么做的，而代之以下面方法：　　将地图中的点规则地编号如上，得到的规划方程如下：　　（这里Distance表示相邻两点间的边长）　　这样做确实要比上面的方法简单多了，但是它已经破坏了动态规划的本来面目，而不存在明确的阶段特征了。如果说这种方法是以地图中的行（A、B、C、D）来划分阶段的话，那么它的“状态转移”就不全是在两个阶段之间进行的了。　　也许这没什么大不了的，因为实践比理论更有说服力。但是，如果我们把题目扩展一下：在地图中找出从左下角到右上角的两条路径，两条路径中的任何一条边都不能重叠，并且要求两条路径的总长度最短。这时，再用这种“简单”的方法就不太好办了。　　如果非得套用这种方法的话，则最优指标函数就需要有四维的下标，并且难以处理两条路径“不能重叠”的问题。　　而我们回到原先“标准”的动态规划法，就会发现这个问题很好解决，只需要加一维状态变量就成了。即用sk=(ak,bk)分别表示两条路径走到阶段k时所处的位置，相应的，决策变量也增加一维，用uk=(xk,yk)分别表示两条路径的行走方向。状态转移时将两条路径分别考虑：　　在写规划方程时，只要对两条路径走到同一个点的情况稍微处理一下，减少可选的决策个数：　　从这个例子中可以总结出设计动态规划算法的一个技巧：状态转移一般是在相邻的两个阶段之间（有时也可以在不相邻的两个阶段间），但是尽量不要在同一个阶段内进行。　　动态规划是一种很灵活的解题方法，在动态规划算法的设计中，类似的技巧还有很多。要掌握动态规划的技巧，有两条途径：一是要深刻理解动态规划的本质，这也是我们为什么一开始就探讨它的本质的原因；二是要多实践，不但要多解题，还要学会从解题中探寻规律，总结技巧。　　§3动态规划与一些算法的比较　　动态规划作为诸多解题方法中的一种，必然和其他一些算法有着诸多联系。从这些联系中，我们也可以看出动态规划的一些特点。　　§3.1动态规划与递推　　——动态规划是最优化算法　　由于动态规划的“名气”如此之大，以至于很多人甚至一些资料书上都往往把一种与动态规划十分相似的算法，当作是动态规划。这种算法就是递推。实际上，这两种算法还是很容易区分的。　　按解题的目标来分，信息学试题主要分四类：判定性问题、构造性问题、计数问题和最优化问题。我们在竞赛中碰到的大多是最优化问题，而动态规划正是解决最优化问题的有力武器，因此动态规划在竞赛中的地位日益提高。而递推法在处理判定性问题和计数问题方面也是一把利器。下面分别就两个例子，谈一下递推法和动态规划在这两个方面的联系。　　[例4] mod 4 最优路径问题：在下图中找出从第1点到第4点的一条路径，要求路径长度mod 4的余数最小。　　这个图是一个多段图，而且是一个特殊的多段图。虽然这个图的形式比一般的多段图要简单，但是这个最优路径问题却不能用动态规划来做。因为一条从第1点到第4点的最优路径，在它走到第2点、第3点时，路径长度mod 4的余数不一定是最小，也就是说最优策略的子策略不一定最优——这个问题不满足最优化原理。　　但是我们可以把它转换成判定性问题，用递推法来解决。判断从第1点到第k点的长度mod 4为sk的路径是否存在，用fk(sk)来表示，则递推公式如下：　　（边界条件）　　（这里lenk,i表示从第k-1点到第k点之间的第i条边的长度，方括号表示“或(or)”运算）　　最后的结果就是可以使f4(s4)值为真的最小的s4值。　　这个递推法的递推公式和动态规划的规划方程非常相似，我们在这里借用了动态规划的符号也就是为了更清楚地显示这一点。其实它们的思想也是非常相像的，可以说是递推法借用了动态规划的思想解决了动态规划不能解决的问题。　　有的多阶段决策问题（像这一题的阶段特征就很明显），由于不能满足最优化原理等使用动态规划的先决条件，而无法应用动态规划。在这时可以将最优指标函数的值当作“状态”放到下标中去，从而变最优化问题为判定性问题，再借用动态规划的思想，用递推法来解决问题。　　[例5] 钉子与小球（NOI99）试题见附录　　这个题目一看就不觉让人想起一道经典的动态规划题。下面先让我们回顾一下这个问题。　　数字三角形（IOI94）在下图中求从顶至低某处的一条路径，使该路径所经过的数字的总和最大，每一步只能向左下或右下走。　　7　　3 8　　8 1 0　　2 7 4 4　　4 5 2 6 5　　在这个问题中，我们按走过的行数来划分阶段，以走到每一行时所在的位置来作为状态，决策就是向左下走（用0表示）或向右下走（用1表示）。　　状态转移方程：　　规划方程：　　边界条件：　　这是一个比较简单的最优化问题，我们还可以把这个问题改成一个更加简单的整数统计问题：求顶点到每一点的路径总数。把这个总数用fk(sk)表示，那么递推公式就是：　　在这里，虽然求和公式只有两项，但我们仍然用∑的形式表示，就是为了突出这个递推公式和上面的规划方程的相似之处。这两个公式的边界条件都是一模一样的。　　再回到我们上面的“钉子与小球”问题，这是一个概率统计问题。我们继续沿用上面的思想，用fk(sk)表示小球落到第k行第sk个钉子上的概率，则递推公式如下：　　（这里函数Existk(sk)表示第k行第sk个钉子是否存在，存在则取1，不存在则取0）　　边界条件　　可以看出这个公式较之上面的两个式子虽然略有变化，但是其基本思想还是类似的。在解这个问题的过程中，我们再次运用了动态规划的思想。　　一般说来，很多最优化问题都有着对应的计数问题；反过来，很多计数问题也有着对应的最优化问题。因此，我们在遇到这两类问题时，不妨多联系、多发展，举一反三，从比较中更深入地理解动态规划的思想。　　其实递推和动态规划这两种方法的思想本来就很相似，也不必说是谁借用了谁的思想。关键在于我们要掌握这种思想，这样我们无论在用动态规划法解最优化问题，或是在用递推法解判定型、计数问题时，都能得心应手、游刃有余了。　　§3.2动态规划与搜索　　——动态规划是高效率、高消费算法　　同样是解决最优化问题，有的题目我们采用动态规划，而有的题目我们则需要用搜索。这其中有没有什么规则呢？　　我们知道，撇开时空效率的因素不谈，在解决最优化问题的算法中，搜索可以说是“万能”的。所以动态规划可以解决的问题，搜索也一定可以解决。　　把一个动态规划算法改写成搜索是非常方便的，状态转移方程、规划方程以及边界条件都可以直接“移植”，所不同的只是求解顺序。动态规划是自底向上的递推求解，而搜索则是自顶向下的递归求解（这里指深度搜索，宽度搜索类似）。　　反过来，我们也可以把搜索算法改写成动态规划。状态空间搜索实际上是对隐式图中的点进行枚举，这种枚举是自顶向下的。如果把枚举的顺序反过来，变成自底向上，那么就成了动态规划。（当然这里有个条件，即隐式图中的点是可排序的，详见下一节。）　　正因为动态规划和搜索有着求解顺序上的不同，这也造成了它们时间效率上的差别。在搜索中，往往会出现下面的情况：　　对于上图(a)这样几个状态构成的一个隐式图，用搜索算法就会出现重复，如上图(b)所示，状态C2被搜索了两次。在深度搜索中，这样的重复会引起以C2为根整个的整个子搜索树的重复搜索；在宽度搜索中，虽然这样的重复可以立即被排除，但是其时间代价也是不小的。而动态规划就没有这个问题，如上图(c)所示。　　一般说来，动态规划算法在时间效率上的优势是搜索无法比拟的。（当然对于某些题目，根本不会出现状态的重复，这样搜索和动态规划的速度就没有差别了。）而从理论上讲，任何拓扑有序（现实中这个条件常常可以满足）的隐式图中的搜索算法都可以改写成动态规划。但事实上，在很多情况下我们仍然不得不采用搜索算法。那么，动态规划算法在实现上还有什么障碍吗？　　考虑上图(a)所示的隐式图，其中存在两个从初始状态无法达到的状态。在搜索算法中，这样的两个状态就不被考虑了，如上图(b)所示。但是动态规划由于是自底向上求解，所以就无法估计到这一点，因而遍历了全部的状态，如上图(c)所示。　　一般说来，动态规划总要遍历所有的状态，而搜索可以排除一些无效状态。更重要的事搜索还可以剪枝，可能剪去大量不必要的状态，因此在空间开销上往往比动态规划要低很多。　　如何协调好动态规划的高效率与高消费之间的矛盾呢？有一种折衷的办法就是记忆化算法。记忆化算法在求解的时候还是按着自顶向下的顺序，但是每求解一个状态，就将它的解保存下来，以后再次遇到这个状态的时候，就不必重新求解了。这种方法综合了搜索和动态规划两方面的优点，因而还是很有实用价值的。　　§3.3动态规划与网络流　　——动态规划是易设计易实现算法　　由于图的关系复杂而无序，一般难以呈现阶段特征（除了特殊的图如多段图，或特殊的分段方法如Floyd），因此动态规划在图论中的应用不多。但有一类图，它的点却是有序的，这就是有向无环图。　　在有向无环图中，我们可以对点进行拓扑排序，使其体现出有序的特征，从而据此划分阶段。在有向无还图中求最短路径的算法[4]，已经体现出了简单的动态规划思想。但动态规划在图论中还有更有价值的应用。下面先看一个例子。　　[例6] N个人的街道问题：在街道问题（参见例3）中，若有N个人要从左下角走向右上角，要求他们走过的边的总长度最大。当然，这里每个人也只能向右或向上走。下面是一个样例，左图是从出发地到目的地的三条路径，右图是他们所走过的边，这些边的总长度为5 + 4 + 3 + 6 + 3 + 3 + 5 + 8 + 8 + 7 + 4 + 5 + 9 + 5 + 3 = 78（不一定是最大）。　　这个题目是对街道问题的又一次扩展。仿照街道问题的解题方法，我们仍然可以用动态规划来解决本题。不过这一次是N个人同时走，状态变量也就需要用N维来表示，。相应的，决策变量也要变成N维，uk=(uk,1,uk,2,…,uk,N)。状态转移方程不需要做什么改动：　　在写规划方程时，需要注意在第k阶段，N条路径所走过的边的总长度的计算，在这里我就用gk(sk,uk)来表示了：　　边界条件为　　可见将原来的动态规划算法移植到这个问题上来，在理论上还是完全可行的。但是，现在的这个动态规划算法的时空复杂度已经是关于N的指数函数，只要N稍微大一点，这个算法就不可能实现了。　　下面我们换一个思路，将N条路径看成是网络中一个流量为N的流，这样求解的目标就是使这个流的费用最大。但是本题又不同于一般的费用流问题，在每一条边e上的流费用并不是流量和边权的乘积 ，而是用下式计算：　　为了使经典的费用流算法适用于本题，我们需要将模型稍微转化一下：　　如图，将每条边拆成两条。拆开后一条边上有权，但是容量限制为1；另一条边没有容量限制，但是流过这条边就不能计算费用了。这样我们就把问题转化成了一个标准的最大费用固定流问题。　　这个算法可以套用经典的最小费用最大流算法，在此就不细说了。（参见附录中的源程序）　　这个例题是我仿照IOI97的“障碍物探测器”一题[6]编出来的。“障碍物探