我要世界数学十大之谜的十个问题，还有世界十大之谜的问题

既然讲不变量，就要先讲怎么变，否则毫无意义。举个例子：矩阵 在相似变换下 的不变量是：阶数、秩、特征值、……如果是矩阵乘法，那么连阶数都可能变，别的就更不谈了

全局变量

唯一的。线性空间的同构是刻画两个线性空间具有 相同的代数结构的概念。 根据定义，线性空间的同构是保持元素之间一一对应且保持线性运算的映射。线性空间的同构就是保持空间的线性运算导出的所有性质和结构。线性空间同构关系是等价分类思想方法的一个特例。 两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们的维数相等，所以维数是同构关系的全系不变量。

“对一个矩阵A进行行列变换得到B”这叫A与B等价。”如何判断两个不可对角化的矩阵是否相似?“相似条件：矩阵的秩相同，且特征值相同

没弄明白,详细一点,有个正交阵,可能是你想要的

秩是初等变换的全系不变量，也就是说初等变换不改变秩两个秩相等的同型矩阵一定可以通过初等变换互相转化

方阵A和B相似的充要条件是λI-A和λI-B作为λ-矩阵相抵.由此还可以推出相似变换一系列的全系不变量,比如行列式因子,不变因子,初等因子,Frobenius标准型,Jordan标准型.这种东西普通的教材上都有,不要凭空问,找本教材好好学一遍才是正道.另外,讨论相似的时候不要过于依赖特征向量,除非有完全的特征向量系(也就是说所有特征向量可以张满全空间,或者说可对角化),否则特征向量总是要丢失一部分信息的.至于你的问题,显然都是否定的.1.即使是同一个矩阵,即使可对角化,"基础解系"也不可能是唯一的,因为基础解系是解空间的一组基,基的选取怎么可能唯一.最多也就说相似的矩阵在计代数重数和几何重数的意义下具有相同的特征值.2.最简单的反例A=0100和B=0200你提到的这些东西都相同又如何,也不可能唯一确定矩阵.只有可对角化的矩阵才能通过特征值和相应的特征向量来还原,还是那句话,特征向量不够多就会丢失信息.

这里讲得比较全http://www.docin.com/p-68953591.html

合同变换的全系不变量是惯性指数，所以这里问题相当于a+b+c=n有多少组非负整数解（或者等价地，a+b+c=n+3有多少组正整数解）由组合数学的隔板法可得结果是(n+2)(n+1)/2

对称矩阵也可以用一般的由特征向量组成的非奇异阵做对角化，只不过它有特殊的性质（对称），因此我们就可以考虑特殊的对角化，也就是正交相似对角化。这么做有好处：正交矩阵的逆矩阵很容易求，就是它的转置，不像一般的可逆阵需要半天才能求出来。你想想，如果是一个1000*1000的矩阵求逆，那要多长时间才能做完？但正交矩阵就太容易了，只要转置一下就行了。

首先 实对称阵 相似于对角阵 且特征值为实数只需证明（1）次对角元全非0时 所有特征值2，2不同就行了 这是因为我们可以把原矩阵分块成 一个对角阵和一个实对称三对角矩阵（设阶数分别为 s，t ） 使得这个子阵的的次对角元都是0 则 若（1）成立 则 这个子阵的的对角元2，2不同 因为s阶对角阵最多有s重根 所以合起来最多有s+1重根（注意到 s恰是 次对角元中0的个数）下面证明（1）记此阵为 A 对角元为 a1,a2,...an 次对角元为 b1,b2...b(n-1) (bi 均非0)则若x为一个A的特征值 欲证特征子空间维数维1 则因为A-xI 仍为 实对称三对角矩阵 且次对角元不变所以我们只需在x=0时证明就行了设 x1,x2,...xn为0的特征向量则 a1x1+b1x2=0 b1x1+a2x2+b2x3=0...则 x2=-a1/b1*x1 x3=-1/b2(b1x1+a2x2)...所以 （x1,x2...xn）由x1唯一决定 所以维数是1 得证

对于Hermite矩阵而言，特征值的符号是合同关系的全系不变量对于一般的非Hermite矩阵则没有这种性质，即使已知所有特征值也不要指望合同关系有很简单的判别方法

方阵A和B相似的充要条件是λI-A和λI-B作为λ-矩阵相抵. 由此还可以推出相似变换一系列的全系不变量, 比如行列式因子, 不变因子, 初等因子, Frobenius标准型, Jordan标准型. 这种东西普通的教材上都有, 不要凭空问, 找本教材好好学一遍才是正道.

所谓不变量，也就是常量，是指在程序的运行素质的，始终不改变数值的量

每种情况我给你举一个例子,就比较好理解了! 第一类：恒温恒容条件反应前后体积变化了,如这个反应： 3H2+N2===2NH3 一下几种组合是等效平衡 1、3molH2与1molN2 2、2molNH3 3、1.5molH2与0.5molN2与1molNH3 这三种情况都是等效的,判断依据是可以按照物质的量的情况将反应物（或者生成物）全部归到生成物（或反应物）一边,然后看各组分物质的量是否相同. 以情况3为例,起始投料为1.5molH2与0.5molN2与1molNH3,假设反应物中的H2和N2全部反应生成了NH3,则1.5molH2与0.5molN2完全反应恰好生成1molNH3,加上原始投料时投入的1molNH3,正好为2molNH3,与情况2正好完全相同,故属于等效平衡. 第二和第三类情况条件虽有所差别,但是结果相同,判断方法如下: 情况二为恒温恒容体积不变的情况,情况三为恒温恒压的情况 下列反应为恒温恒容,体积不变的情况： H2（g）+I2（g）===2HI（g） 等效平衡：1、1molH2,1molI2和2molHI 2、2molH2,2molI2和4molHI 3、0.51molH2,0.5molI2和1molHI 因为这三种情况中物质的量之比H2:I2:HI均为1:1:2,比例相同,故三种情况为等效平衡. 第三类与第二类相同,就是条件有所差异,但是都是比例的关系!

液压机液压机（又名：油压机）是一种利用液体静压力以液体为工作介质，根据帕斯卡原理制成的用于传递能量来加工金属、塑料、橡胶、木材、粉末等制品的机械。 液压机一般由本机（主机）、动力系统及液压控制系统三部分组成。液压机分类有阀门液压机，液体液压机，工程液压机。中文名液压机分类阀门液压机、液体液压机、工程液压机组成主机、动力系统及液压控制系统别名油压机原理帕斯卡定律用途锻压成形机器简介液压机（又名：油压机）液压机是一种利用液体静压力来加工金属、塑料、橡胶、木材、粉末等制品的机械。它常用于压制工艺和压制成形工艺，如：锻压、冲压、冷挤、校直、弯曲、翻边、薄板拉深、粉末冶金、压装等等。它的原理是利用帕斯卡定律制成的利用液体压强传动的机械，种类很多。当然，用途也根据需要是多种多样的。如按传递压强的液体种类来分，有油压机和水压机两大类。水压机产生的总压力较大，常用于锻造和冲压。锻造水压机又分为模锻水压机和自由锻水压机两种。模锻水压机要用模具，而自由锻水压机不用模具。中国制造的第一台万吨水压机就是自由锻造水压机。机器用途液压机是一种以液体为工作介质，用来传递能量以实现各种工艺的机器。液压机除用于锻压成形外，也可用于矫正、压装、打包、压块和压板等。液压机包括水压机和油压机。以水基液体为工作介质的称为水压机,以油为工作介质的称为油压机。液压机的规格一般用公称工作力（千牛）或公称吨位（吨）表示。锻造用液压机多是水压机，吨位较高。为减小设备尺寸，大型锻造水压机常用较高压强（35兆帕左右），有时也采用 100兆帕以上的超高压。其他用途的液压机一般采用 6～25兆帕的工作压强。油压机的吨位比水压机低。发展简史液压机1795年，英国的J.布拉默应用帕斯卡原理发明了水压机,用于打包、榨植物油等。到19世纪中期,英国开始把水压机用于锻造，水压机遂逐渐取代了超大型蒸汽锻锤。到19世纪末，美国制成126000千牛自由锻造水压机。此后，全世界先后制造20余台10万千牛级的自由锻造水压机，其中中国制造的有2台（见彩图）。随着电动高压泵的出现和完善，锻造水压机也向较小吨位方向发展。20世纪50年代后出现了小型快速锻造水压机，可进行相当于30～50千牛锻锤所做的工作。40年代，德国制成180000千牛的巨型模锻水压机，此后全世界先后制成180000千牛以上的模锻水压机18台，其中中国制造的一台为300000千牛。加载更多相关搜索液压机视频200吨液压机多少钱一台液压机315吨二手200吨油压机小型液压机家用小型液压机小型液压机多少钱一台带移

狭义相对论貌似用的数学知识并不深，只要会微积分、线性代数和一点点微分几何初步的知识就够了。爱因斯坦的原论文你可以直接看就是了，不过他很独创性的用了一种叫做爱因斯坦约定符号的记号方式可能跟你平常习惯用的记号形式不同（不过这种记号很方便于在高维空间上的推广，所以微分几何从研究生开始就全部转为用这种记号了，习惯了这种记号有助于以后进一步学习）如果你的 数学分析、高等代数、解析几何 掌握的很扎实，你直接看原文疑文慢慢的细细地看也没多大问题。 （要掌握一些张量的基础知识） 详细证明，如果贴原文的话这里篇幅可能不太够，如果贴缩略版的话又完全不够详细不过一些中文的物理教材可能会有一些非常不严谨的山寨证明，你可以去找找看，那个一般很容易看懂

太阳的质量近2000亿亿亿吨,是地球的33万倍. 体积大约是地球的130万倍, 半径约为70万公里,是地球半径的109倍多。天文学上, 太阳质量是用于测量恒星或如星系类大型天体的质量单位. 它的大小等于太阳的总质量, 大约 1.989*10^30 千克 . 用单位符号即可表示为: 太阳质量是地球质量的33万倍. 普朗克常数记为 h ，是一个物理常数，用以描述量子大小。在量子力学中占有重要的角色，马克斯·普朗克在1900年研究物体热辐射的规律时发现，只有假定电磁波的发射和吸收不是连续的，而是一份一份地进行的，计算的结果才能和试验结果是相符。这样的一份能量叫做能量子，每一份能量子等于hv，v为辐射电磁波的频率，h为一常量，叫为普朗克常数。普朗克常数的值约为： . 其中电子伏特（eV）·秒（s）为能量单位: 普朗克常数的物理单位为能量乘上时间，也可视为动量乘上位移量： (牛顿（N）·米（m）·秒（s）)为角动量单位 另一个常用的量为约化普朗克常数（reduced Planck constant)，有时称为狄拉克常数(Dirac constant)，纪念保罗·狄拉克： 其中 π 为圆周率常数 pi。 念为 "h-bar" 。 普朗克常数用以描述量子化，微观下的粒子，例如电子及光子，在一确定的物理性质下具有一连续范围内的可能数值。例如，一束具有固定频率 ν 的光，其能量 E 可为： 有时使用角频率 ω=2πν ： 许多物理量可以量子化。譬如角动量量子化。 J 为一个具有旋转不变量的系统全部的角动量， Jz 为沿某特定方向上所测得的角动量。其值： 因此， 可称为 "角动量量子"。 普朗克常数也使用于海森堡不确定原理。在位移测量上的不确定量（标准差） Δx ，和同方向在动量测量上的不确定量 Δp，有如下关系： 太阳的平均密度为1.4克/厘米3，比水大一些。但是太阳里外的密度是不一样的。它的外壳大部分为气体，密度很小。但是越往里面，物质越稠密，密度越大。核心的密度可能为160克/厘米3，这比钢的密度还要大将近20倍。它的总质量是地球质量的33万倍。

二次曲面存在奇向的充要条件：经过坐标变换后（见坐标系），方程的系数有所改变，但这些函数的值不变，这些函数称为二次曲面的不变量。用到的不变量有 ，其中I1、I2、I3、I4 是坐标轴的平移与旋转的不变量；K1、K2是坐标轴的旋转不变量，且当矩阵的秩是1时，K1是平移不变量；的秩是2时，K2是平移不变量。根据这六个不变量，就可以判定二次曲面的形状。因此称这六个不变量组成二次曲面的不变量完全系统。I1、I2、I3、I4 称为基本不变量，K1、K2称为条件不变量。简介二次曲面是在三维坐标系（x、y、z）下三元二次代数方程对应的所有图形的统称。在欧氏三维空间里坐标x，y，z之间的二次方程（系数为实数，且二次项系数不全为零）所表示的曲面。最常见的二次曲面是球面和直圆柱面及直圆锥面。此外，二次曲面还包括椭球面、双曲面（又分为单叶双曲面和双叶双曲面）和抛物面（又分为椭圆抛物面和双曲抛物面，后者又称马鞍面）。当表示二次曲面的一个方程，能分解为两个一次方程的乘积时，这个二次曲面就退化成两个或相交或平行或重合的平面。

（一）大地电磁场的频谱分析大地电磁测深法，为了计算不同周期的张量阻抗元素，必须对经过预处理后的各道时间域数据求出各不同周期电、磁场各分量的振幅及相位，为此必须进行频谱分析，其中最通用的方法是傅氏变换法。1.傅氏变换求大地电磁场的频谱我们知道当某一时间函数f（t）在时间轴上的定义域为无限时，则其频谱F（ω）可用以下傅氏变换式互相表达：固体地球物理学：地震学、地电学与地热学上述变换对中，满足于展成傅氏级数条件的函数f（t）是在时间轴上由-∞到＋∞的连续信号，而大地电磁测深法野外记录是有限长的，并且是非周期性的变化场，因此，可认为场是由- （T是观察资料的时间轴总长度），其频谱按式（9-74）可写成固体地球物理学：地震学、地电学与地热学在实际工作中我们无法写出电、磁场f（t）的函数形式，为此，可采用离散的采样值来逼近场随时间的变化。即以时间序列Δt，2Δt，…，nΔt的对应值f（nΔt）来逼近f（t）。显然，当△t→0时，f（nΔt）→f（t）。于是离散化的形式可写成固体地球物理学：地震学、地电学与地热学或表示为固体地球物理学：地震学、地电学与地热学式中：N为总的离散取样个数；f（nΔt）表示电场Ex，Ey或Hx，Hy按Δt时间序列时场的取样值；Δt是取样的时间间隔；ω是圆频率固体地球物理学：地震学、地电学与地热学2.实现傅氏变换中的几个问题（1）假频效应除实测记录中噪声在谱分析中造成的假频成分外，由离散信号代替连续的电、磁场各分量的信号引起的误差，也将在频谱分析中引入假的频率成分。前者所造成的假频效应主要是通过对仪器设计采取措施予以消除，而对后者则必须从选择合适的取样时间间隔来减小其影响。按采样定理规定，取样间隔应满足以下两个条件：1）f（t）须有截止频率fM＝1/TM，当T＜TM时F（ω）＝0。2）取样间隔Δt应小于最小周期的一半，也就是说保证最小的一个周期有两个采样点。（2）截断效应所谓截断效应是指大地电磁场记录长度的有限性和傅氏变换中对时间函数要求的无限性间的差别产生的误差。我们可以把大地电磁场实测曲线看成是在时间为无限的f∞（t）函数中截取出来的一段。这种截取用数学式子表示就是相当于f∞（t）函数与一个矩形函数d（t）的乘积：固体地球物理学：地震学、地电学与地热学其中：固体地球物理学：地震学、地电学与地热学上式中T为记录的总时间长度，因此，我们对有限长的实测序列进行频谱分析时，得到的并不是原始信号的频谱，而是f∞（t）与d（t）函数乘积的频谱。固体地球物理学：地震学、地电学与地热学根据褶积定理，两个函数相乘的傅氏变换等于它们各自傅氏变换的褶积，即 其中λ为积分变量，式（9-78）表明，由于实际记录长度有限，所得频谱是原始频谱与矩形函数的频率谱D（ω）的褶积。可见D（ω）的形状直接影响着F（ω），并使它畸变。因为F∞（ω）与D（ω）的褶积的含义可理解为F∞（ω）以D（ω）为权函数的加权平均值。若权函数D（ω）的主瓣较窄而边瓣为零时，F∞（ω）与D（ω）的褶积结果就会是原始F∞（t）的频谱本身，因为这时欲求频谱的权为1，而其前后的频谱权为零，加权结果仍为欲求频谱。但是D（ω）的形状满足不了上述要求，因此经傅氏变换而求出的频谱，就包含一定程度的畸变。这就是所谓的截断效应。为了减少截断效应的影响，可以采取下面一些措施：Ⅰ.修改频谱形状（对资料预先白噪声化）若把式（9-78）改写成固体地球物理学：地震学、地电学与地热学则由于记录长度确定之后，D（ω）是不变的，因此在频谱分析之前，把大地电磁场的频谱F∞（ω）变得比较平缓，可以在一定程度上减小截断效应的影响。大地电磁场的频谱具有随周期增大而增大的趋势。因此，我们根据不同时间、不同地区的大地电磁场频谱特征，适当地修改滤波的数值，就基本上可以使大地电磁场的频谱平坦化。Ⅱ.改变频谱窗口函数很显然窗口函数的频谱D（ω）愈接近δ函数，则截断效应的影响就愈小，为此我们选用余弦尖灭窗口函数。它的谱同矩形窗口函数谱的对比如图9-10所示。图9-10 余弦尖灭窗口函数和矩形窗口函数谱的对比固体地球物理学：地震学、地电学与地热学可见余弦尖灭窗口函数的谱边瓣很小，比之矩形窗口的谱，更接近δ函数，这在一定程度上能减少截断效应的影响。（3）实现快速运算频谱分析中实现快速运算的方法是应用快速傅氏变换（FFT）。它的基本思路是把要进行傅氏变换的时间序列分为两部分，在求得分部序列的傅氏变换之后，再合并起来以求得原来整个序列的傅氏变换。将这种分解继续到部分序列只有一项时，该部分序列的傅氏变换就非常简单了。设N＝2k，k为任意正整数且足够大，有离散信号Xn＝（X0，X1，…，XN-1），它的有限离散频谱为固体地球物理学：地震学、地电学与地热学固体地球物理学：地震学、地电学与地热学则有固体地球物理学：地震学、地电学与地热学直接从上式计算一个Xm，需要N次复数乘法和加法，计算N个Xm需要N2次复数乘法和加法。当N很大时，这个计算量是很大的，但是利用指数函数 的特点，可以减少计算量。为此，我们把计算有N个点信号的频谱问题化成计算两个只有N/2个点信号的频谱问题，下面具体讨论。把信号Xn＝（X0，X1，…，XN-1）按下标偶数项和奇数项分成两部分，即令固体地球物理学：地震学、地电学与地热学它们的有限离散频谱分别为固体地球物理学：地震学、地电学与地热学由上式可知Gm和Hm是以N/2为周期的函数，这因为固体地球物理学：地震学、地电学与地热学由式（9-80）可知固体地球物理学：地震学、地电学与地热学再由式（9-81）得到 因为Gm和Hm是以N/2为周期的函数，我们只需计算m＝0，1，…，N/2-1这些点的值。对Xm，因为它是以N为周期，需计算Xm在m＝0，1，…，N-1时的值。为了用Gm和Hm在m＝0，1，…，N-1时的值表示Xm，我们把式（9-82）改写为固体地球物理学：地震学、地电学与地热学在式（9-83）的下面一个式子中，若令 ，则有固体地球物理学：地震学、地电学与地热学于是，式（9-83）还可改写为固体地球物理学：地震学、地电学与地热学上式告诉我们，计算有N项的有限离散频谱问题可以化为N/2项的计算，又可化为 项的计算，一直下去，最后化到N/2k＝2k/2k＝1项的计算。由有限离散频谱的定义可知，1项信号的离散频谱就是它本身。这样，由1项频谱根据递推关系式（9-84）就可计算出所需的频谱。（二）张量阻抗的性质及其计算对于二维地电断面，在引入张量阻抗之后，不同频率的张量阻抗元素已与场的极化方向随时间的变化无关，这时［Z］除了反映地下电性结构外，还与野外实际观测时坐标的选择有关。为了消除这种影响，我们首先研究张量阻抗的性质，以便确定用于整理大地电磁测深资料时的具体做法。在这里我们还要讨论测量噪声及其对阻抗估算的影响。1.在不同坐标系中的张量阻抗元素若在某测深点上，某一频率的电场强度E和磁场强度H在x，y坐标系中的各分量为：Ex，Ey，Hx，Hy，依据（9-51）式，它们满足如下关系式： 当把x，y坐标转动θ角度，成为x′y′坐标系时，E′x，E′y，H′x，H′y与Ex，Ey，Hx，Hy间的关系为固体地球物理学：地震学、地电学与地热学把式（9-85）代入式（9-51）中，并写成矩阵的形式，即固体地球物理学：地震学、地电学与地热学也可以写成固体地球物理学：地震学、地电学与地热学在x′y′坐标系中应有固体地球物理学：地震学、地电学与地热学于是得固体地球物理学：地震学、地电学与地热学进一步可以找到两个坐标系中张量阻抗元素之间的关系式：固体地球物理学：地震学、地电学与地热学上式中的固体地球物理学：地震学、地电学与地热学固体地球物理学：地震学、地电学与地热学由此可见在两个坐标系中，张量阻抗元素已经不一样，但是它们却保持了几种不变量。即固体地球物理学：地震学、地电学与地热学现在我们考虑当测量坐标旋转到二维构造的走向方向时的情况，这时，张量阻抗将对角化，即 假如，令原测量坐标xy与构造主轴方向夹角为θ0，即当坐标旋转θ0时，有固体地球物理学：地震学、地电学与地热学根据上述转角后的不变量应有固体地球物理学：地震学、地电学与地热学而且这个值不论坐标如何转都不变。但由于干扰及误差、介质非真正二维构造等的影响Z′xx（θ0），Z′yy（θ0）一般不为零，但它应保持最小，而转角θ0后的Z′xy（θ0），Z′yx（θ0）却最大。根据张量阻抗的性质，数据处理中就可以把测量坐标旋转到地质构造的主轴方向上去。这样就相当于消除了测量坐标对张量阻抗的影响。并依据Z′xy（θ0）和Z′yx（θ0）求出反映垂直或平行于地质构造走向方向的视电阻率，使每个测深点得到稳定的、可对比的测深曲线。固体地球物理学：地震学、地电学与地热学时的θ值。2.用最小二乘法原理求张量阻抗元素从理论上说经谱分析求得电磁场振幅和相位值之后，用两组线性不相关的记录即可求出张量阻抗元素。但实际野外观测中总是会包含各种干扰噪声，仅用二组记录就得不出精确的结果。利用最小二乘法求［Z］，是建立在多组记录的基础上所求得的最佳阻抗值。设n组记录中的第i组，它应当满足固体地球物理学：地震学、地电学与地热学由于实际记录中干扰或误差的存在，使按上式求出的Exi或Eyi与傅氏变换中所得到的该周期的Exi或Eyi不相符合，令固体地球物理学：地震学、地电学与地热学所谓张量元素的最小二乘法求解就是要求n组数据中δi的平方和为最小情况下的［Z］，即固体地球物理学：地震学、地电学与地热学也可以写成固体地球物理学：地震学、地电学与地热学的条件下，可得到最佳张量阻抗［Z］，这里ZyxR和ZyxI分别表示阻抗元素的实部和虚部。实际上在电磁场分量的四个观测值中，任意两个分量的观测值，都可以对第三个场的分量值形成不同的Φ值，建立不同的方差函数，并求出相应的最小二乘法解的方程组，最后可以求得固体地球物理学：地震学、地电学与地热学固体地球物理学：地震学、地电学与地热学显然，参与运算的数据越多，解的精度越高。固体地球物理学：地震学、地电学与地热学同样可以证明，Zyx等其他阻抗元素的分母也是趋于0的，因此这组阻抗元素的解是不稳定的。当取＜ 组合时，由于水平层状介质时，相互正交的电场和磁场的相关性，阻抗元素也是不稳定的。由于阻抗张量元素频率的变化比较缓慢，在较窄的频带内它们变化很小。因此，可以取某一中心频率附近有限带宽的频谱值，参与中心频率阻抗张量元素的计算。因为阻抗的各种算法受场各分量影响程度不同，在最后结果中取四种算法的平均值作为最后结果：固体地球物理学：地震学、地电学与地热学3.各种判别系数的计算（1）为了估算测量噪音的大小，可根据四种阻抗估算值之间差异来评价，按照传统的方法，定义全信息矢量相关度cp，cp越接近1，则噪音越小。即固体地球物理学：地震学、地电学与地热学i，j为x或y，N为参加阻抗平均的个数， 为平均阻抗。（2）为了判别地下构造的二维程度，定义二维判别指数——偏歪指数S，S越接近于零，则构造的二维性越明显。即固体地球物理学：地震学、地电学与地热学（3）稳定性系数：固体地球物理学：地震学、地电学与地热学稳定性系数Sij同cp一样都是衡量场分量噪音高低的一个标志，它直接反映了所获得的张量阻抗元素的可靠程度。当估算的某一阻抗张量元素的N个值都很相近时，稳定性系数Sij以及cp接近于1，这说明测量的各场分量资料的质量较好，所获得的阻抗张量元素也较为可靠。（4）椭率：固体地球物理学：地震学、地电学与地热学这一参数同偏歪指数S一样，当β＝0或S＝0时，说明地下构造为二维的，当β接近于1时，说明地下构造为等轴的三维介质。（5）场分量之间的相关度：任意两个场分量A，B之间的相关度定义为固体地球物理学：地震学、地电学与地热学它是一上限为1，而下限为0的正数，场分量之间的相关度主要反映了场的极化方式的差异程度。（6）电场分量的预测度：是由某电场分量的测量值E和计算值Ec的相关度定义的：固体地球物理学：地震学、地电学与地热学式中的电场计算值Ec是所获得估算阻抗张量以后，用以下公式由测量的磁场值和阻抗估算值决定的。即固体地球物理学：地震学、地电学与地热学电场分量的预测度P亦是一个上限为1，而下限为0的一个正数，它是衡量场分量资料优劣和估算所得阻抗张量元素可靠性的一个参数指标，P愈接近1，估算得到的阻抗张量元素的可靠性愈高。（三）视电阻率的计算用测量坐标的转角，求出不同频率的各阻抗元素，然后将主阻抗元素Zyx和Zxy分别代入ρ＝0.2T｜Z｜2式，便可计算出各不同频率时的视电阻率ρyx和ρxy，从而为解释工作提供了两条视电阻率曲线。其中ρyx曲线反映的是沿构造走向方向不同频率的视电阻率变化，而ρxy则反映该点倾向方向视电阻率的垂向变化。图9-11是某大地电磁测深的实测曲线，图中横、竖段表示的是ρyx和ρxy曲线，每条曲线同一周期对应的多个视电阻率观测值，是利用多组记录计算的结果。

普通物理学1一、伽利略相对性原理和经典力学时空观惯性系：一个不受外力或外力合力为0的物体，保持静止或匀速直线运动不变，这样的参考系，叫惯性参考系，简称惯性系。（新想法：如果认识到非贯性系力产生的原因，在进行物理实验时将此力（惯性力）一并计算，那么就与跳出非惯性系，在惯性系中实验得到一样的结论，就可以把非惯性系当成惯性系对待——这与广义相对论的相对性原理是类似的）一切彼此作匀速直线运动的惯性系，对于描写机械运动的力学规律来说是完全等价的，在一个惯性系的“内部”所作的任何力学实验，都不能确定这一惯性系本身是在静止状态，还是在作匀速直线运动。这个原理叫力学相对性原理，或伽利略相对性原理。牛顿说：“绝对的、真正的和数学的时间自己流逝着，并由于它的本性而均匀地、与任一外界对象无关地流逝着。”“绝对空间，就本性而言，与外界任何事物无关，而永是相同的和不动的。”（见牛顿著作《自然哲学的数学原理》）二、狭义相对论的提出背景在19世纪末，人们知道光速是有限的，在测量光速时发现，木星卫星发出的光，到达地球的时间是相同的，而不管地球是朝向卫星运动还是背向卫星运动。这不符合物体运动的速度叠加原理（A参照系相对于B参照系速度为v1,A上发出相对A速度为V2的物体，物体相对于B速度为V1+V2），而符合波的性质，因为当时已知的所有波都有介质，因此人们假设光也有介质，定名为“以太”，光在以太中稳定传播，所以与地球的运动无关。由于地球并非宇宙中的特殊天体，以太应该对地球有相对运动，而著名的迈克耳孙（A.A.Michelson）和莫雷（E.W.Morley）实验证明了相对地球运动的以太不存在，也就是说，如果存在以太，以太就是对地球静止的，这里和一些人认为的证明了以太不存在，叙述上有一点点区别。1905年，爱因斯坦提出两条假设：1。相对性原理：物理学在一切惯性参考系中都具有相同的数学表达形式，也就是说，所有惯性系对于描述物理现象都是等价的。（够绝对的）2。光速不变原理：在彼此相对作匀速直线运动的任一惯性参考系中，所测得的光在真空中的传播速度都是相等的。1964年到1966年，欧洲核子中心（CERN）在质子同步加速器中作了有关光速的精密实验测量，直接验证了光速不变原理。实验结果是，在同步加速器中产生的一种介子（写法是派的0次方）以0.99975c的高速飞行，它在飞行中发生衰变，辐射出能量为6000000000eV的光子，测得光子的实验室速度仍是c。三、狭义相对论时空观狭义相对论为人们提出了一个不同于经典力学的时空观。按照经典力学，相对于一个惯性系来说，在不同的地点、同时发生的两个事件，相对于另一个与之作相对运动的惯性系来说，也是同时发生的。但相对论指出，同时性问题是相对的，不是绝对的。在某个惯性系中在不同地点同时发生的两个事件，到了另一个惯性系中，就不一定是同时的了。经典力学认为时空的量度不因惯性系的选择而变，也就是说，时空的量度是绝对的。相对论认为时空的量度也是相对的，不是绝对的，它们将因惯性系的选择而有所不同。所有这一切都是狭义相对论时空观的具体反映。同时的相对性现举一个假想实验，一列匀速运动的火车，车头和车尾分别装有两个标记A1、B1当他们分别与地面上的两个标记A、B重合时，各自发出一个闪光。在A、B的中点C和A1、B1的中点C1，各装一个接受器，C点将同时接收到两端的信号，而信号传递需要时间，在这段时间内火车向前运动了，所以C1先收到车头的信号，后收到车尾的信号。也就是说，不同的参照系没有认为两个事件都是同时发生的。“同时”有相对性。四、洛伦兹坐标变换洛伦兹公式是洛伦兹为弥补经典理论中所暴露的缺陷而建立起来的。洛伦兹是一位理论物理学家，是经典电子论的创始人。坐标系K1（O1，X1，Y1，Z1）以速度V相对于坐标系K（O，X，Y，Z）作匀速直线运动；三对坐标分别平行，V沿X轴正方向，并设X轴与X1轴重合，且当T1=T=0时原点O1与O重合。设P为被“观察”的某一事件，在K系中观察者“看”来。它是在T时刻发生在（X，Y，Z）处的，而在K1系中的观察者看来，它是在T1时刻发生在（X1，Y1，Z1）处的。这样的两个坐标系间的变换，我们叫洛伦兹坐标变换。在推导洛伦兹变换之前，作为一条公设，我们必须假设时间和空间都是均匀的，因此它们之间的变换关系必须是线性关系。如果方程式不是线性的，那么，对两个特定事件的空间间隔与时间间隔的测量结果就会与该间隔在坐标系中的位置与时间发生关系，从而破坏了时空的均匀性。例如，设X1与X的平方有关，即X1=AX^2，于是两个K1系中的距离和它们在K系中的坐标之间的关系将由X1a-X1b=A(Xa^2-Xb^2）表示。现在我们设K系中有一单位长度的棒，其端点落在Xa=2m和Xb=1m处，则X1a-X1b=3Am。这同一根棒，其端点在Xa=5m和Xb=4m处，则我们得到X1a-X1b=9Am。这样，对同一根棒的测量结果将随棒在空间的位置的不同而不同。为了不使我们的时空坐标系原点的选择与其他点相比较有某种物理上的特殊性，变换式必须是线性的。先写出伽利略变换：X=X1+VT1； X1=X-VT增加系数k，X=k(X1+VT1)； X1=k1(X-VT)根据狭义相对论的相对性原理，K和K1是等价的，上面两个等式的形式就应该相同（除正负号外），所以两式中的比例常数k和k1应该相等，即有k=k1。这样， X1=k（X-VT）为了获得确定的变换法则，必须求出常数k，根据光速不变原理，假设光信号在O与O1重合时（T=T1=0）就由重合点沿OX轴前进，那么任一瞬时T（由坐标系K1量度则是T1),光信号到达点的坐标对两个坐标系来说，分别是 X=CT； X1=CT1XX1=k^2 (X-VT)(X1+VT1)C^2 TT1=k^2 TT1(C-V)(C+V)由此得k= 1/ (1-V^2/C^2)^(1/2)于是T1=(T-VX/C^2) / (1-V^2/C^2)^(1/2)T= (T1+VX/C^2)/ (1-V^2/C^2)^(1/2)爱因斯坦假设： 1．物理体系的状态据以变化的定律，同描述这些状态变化时所参照的坐标系究竟是用两个在互相匀速移动着的坐标系中的哪一个并无关系。 2．任何光线在“静止的”坐标系中都是以确定的速度c运动着，不管这道光线是由静止的还是运动的物体发射出来的。”

卵磷脂不知道，中国知网有不少，我上次还查的。关键词就搜‘卵磷脂"就哦了ps：磷脂P-O-C，特征峰1040-1090。

光子频率禁带，即频率被禁止的区间

普朗克常数 开放分类： 科学、量子力学、常数、普朗克、量子学 普朗克常数记为 h ，是一个物理常数，用以描述量子大小。在量子力学中占有重要的角色，马克斯·普朗克在1900年研究物体热辐射的规律时发现，只有假定电磁波的发射和吸收不是连续的，而是一份一份地进行的，计算的结果才能和试验结果是相符。这样的一份能量叫做能量子，每一份能量子等于hv，v为辐射电磁波的频率，h为一常量，叫为普朗克常数。普朗克常数的值约为：6.626196×10^-34 其中电子伏特（eV）·秒（s）为能量单位。 普朗克常数的物理单位为能量乘上时间，也可视为动量乘上位移量： (牛顿（N）·米（m）·秒（s）)为角动量单位 另一个常用的量为约化普朗克常数（reduced Planck constant)，有时称为狄拉克常数(Dirac constant)，纪念保罗·狄拉克： 其中 π 为圆周率常数 pi。 念为 "h-bar" 。 普朗克常数用以描述量子化，微观下的粒子，例如电子及光子，在一确定的物理性质下具有一连续范围内的可能数值。例如，一束具有固定频率 ν 的光，其能量 E 可为： 有时使用角频率 ω=2πν ： 许多物理量可以量子化。譬如角动量量子化。 J 为一个具有旋转不变量的系统全部的角动量， Jz 为沿某特定方向上所测得的角动量。其值： 因此， 可称为 "角动量量子"。 普朗克常数也使用于海森堡不确定原理。在位移测量上的不确定量（标准差） Δx ，和同方向在动量测量上的不确定量 Δp，有如下关系： 还有其他组物理测量量依循这样的关系，例如能量和时间。 普朗克常数的提出 [编辑本段] 朗克演讲的内容是关于物体热辐射的规律，即关于一定温度的物体发出的热辐射在不同频率上的能量分布规律。普朗克对于这一问题的研究已有 6 个年头了，今天他将公布自己关于热辐射规律的最新研究结果。普朗克首先报告了他在两个月前发现的辐射定律，这一定律与最新的实验结果精确符合（后来人们称此定律为普朗克定律）。然后，普朗克指出，为了推导出这一定律，必须假设在光波的发射和吸收过程中，物体的能量变化是不连续的，或者说，物体通过分立的跳跃非连续地改变它们的能量，能量值只能取某个最小能量元的整数倍。为此，普朗克还引入了一个新的自然常数 h = 6.626196×10^-34 J·s（即6.626196×10^-27erg·s，因为1erg=10^-7J）。这一假设后来被称为能量量子化假设，其中最小能量元被称为能量量子，而常数 h 被称为普朗克常数②。 于是，在一次普通的物理学会议上，在与会者们的不经意间，普朗克首次指出了热辐射过程中能量变化的非连续性。今天我们知道，普朗克所提出的能量量子化假设是一个划时代的发现，能量子的存在打破了一切自然过程都是连续的经典定论，第一次向人们揭示了自然的非连续本性。普朗克的发现使神秘的量子从此出现在人们的面前，它让物理学家们即兴奋，又烦恼，直到今天。 物体通过分立的跳跃非连续地改变它们的能量呢，但是，怎么会这样呢？物体能量的变化怎么会是非连续的呢？根据我们熟悉的经典理论，任何过程的能量变化都是连续的，而且光从光源中也是连续地、不间断地发射出来的。 没有人愿意接受一个解释不通的假设③，尤其是严肃的科学家。因此，即使普朗克为了说明物体热辐射的规律被迫假设能量量子的存在，但他内心却无法容忍这样一个近乎荒谬的假设。他需要理解它！就象人们理解牛顿力学那样。于是，在能量量子化假设提出之后的十余年里，普朗克本人一直试图利用经典的连续概念来解释辐射能量的不连续性，但最终归于失败。1931 年，普朗克在给好友伍德（Willias Wood）的信中真实地回顾了他发现量子的不情愿历程，他写道，“简单地说，我可以把这整个的步骤描述成一种孤注一掷的行动，因为我在天性上是平和的、反对可疑的冒险的，然而我已经和辐射与物质之间的平衡问题斗争了六年（从 1894 年开始）而没有得到任何成功的结果。我明白，这个问题在物理学中是有根本重要性的，而且我也知道了描述正常谱（即黑体辐射谱）中的能量分布的公式，因此就必须不惜任何代价来找出它的一种理论诠释，不管那代价有多高。”④ 1919 年，索末菲在他的《原子构造和光谱线》一书中最早将 1900 年 12 月 14 日称为“量子理论的诞辰”，后来的科学史家们将这一天定为了量子的诞生日⑤。 [普朗克科学定律] 普朗克曾经说过一句关于科学真理的真理，它可以叙述为“一个新的科学真理取得胜利并不是通过让它的反对者们信服并看到真理的光明，而是通过这些反对者们最终死去，熟悉它的新一代成长起来。”这一断言被称为普朗克科学定律，并广为流

http://baike.baidu.com/view/24944.htm

1905年，爱因斯坦提出了一个划时代的时空理论-狭义相对论，引起了物理学的一场革命，并诞生了现代物理学的基石。十年后，爱因斯坦提出了一种新的引力理论-广义相对论。一百多年后，爱因斯坦的理论预测逐渐被现代技术所证实。那么，当科学和技术尚未发展时，为什么爱因斯坦能够提出如此先进的理论呢？

兄弟，百度上居然要图片~~~~霍金的：http://news.xinhuanet.com/ziliao/2002-08/20/content_530827.htm其他的人你也在这个网站里找找吧！

这里填54很好很好的发挥

哪个符号不懂？ 全部不懂我也没办法，学这个前得先学过微积分吧

　　人的活动是建立在思维方式的基础上的，那么解决未知问题的思维方式有哪些呢?下面是我整理的解决未知问题的思维方式相关资料，一起来看看吧! 　　解决未知问题的思维方式 　　第一个，抛硬币法，用于情感系列困难决策。 　　实施过程就是，抛一枚硬币，硬币的正反面决定分还是不分，而且提前做好心理建设，一定要尊重上天的旨意。 　　精髓：在你把硬币抛出来的那一刻，你好像已经知道了你想要的答案。 　　知友补充，当你扔完一次，想扔下一次的时候，就知道了答案。 　　第二个，边际竞争优势 　　边际价值才是决定你价值的地方。 　　当两个商品差不多的时候，哪怕一方只是比你好一点点，那它也具有很强的优势。 　　比如手机，每一个手机都是包含很多科技在里面的，但是你买手机你不会考虑他的价值，而是在市场中比较，具有竞争优势的你才会去选购。 　　所以你可以理解，优秀一点点，就存在很大的机会。无论商品还是人。所以你要考虑你是否存在边际竞争优势。 　　PS，这和经济学里的边际效益不同，唯一的相同就是从边际的角度来思考整个问题。 　　第三个，机会成本 　　做任何事情都是需要时间和精力，并不是说这个事情是有益的，你就一定会去做，因为这些时间和精力你去做别的事情的时候，也许产生的价值更大。 　　而机会成本就是你去做这一件事情，而放弃的那一些事情，而那些被你放弃的事情就是你的成本。但是机会成本很难精确的去计算，但是却真实的存在着。 　　以工资作为参考，计算一下，你是否愿意花那么钱去做这个事情。 　　思考：比如一个工资不错，什么也学不会的工作是否有价值? 　　第四，系统论 　　这也是西方最新的哲学发展方向之一，就是系统化的看待问题，任何一个事物都可以被看成一个系统，系统里面有很多的成员彼此关联，比如教育系统，政府系统，医疗系统等等，很多表面的问题，有很深的历史原因，并不仅仅是医院这个主体决定的。比如高医药费，并不完全是医院的责任。教育系统，不是老师的责任，而是国家的历史原因导致的。(不深挖) 　　系统论的分析方法，可以让你更好的理解事物之间的关联性，可以从现场看到本质，可以化愤青为良民，只知道批判，不知道如何建设是不够的。 　　第五，5Why分析法 　　所谓5why分析法，又称u200cu200c“5问法u200cu200c”，也就是对一个问题连续以5个u200cu200c“为什么u200cu200c”来自问，以追求其根本原因。 　　很多问题都是系统性的，是牵一发而动全身，真正影响大局的不是表面的问题，这种方式可以找到问题根源。 　　金典案例 　　丰田汽车公司前副社长大野耐一曾举了一个例子来找出停机的真正原因 　　问题一：为什么机器停了? 　　答案一：因为机器超载，保险丝烧断了。 　　问题二：为什么机器会超载? 　　答案二：因为轴承的润滑不足。 　　问题三：为什么轴承会润滑不足? 　　答案三：因为润滑帮浦失灵了。 　　问题四：为什么润滑帮浦会失灵? 　　答案四：因为它的轮轴耗损了. 　　问题五：为什么润滑帮浦的轮轴会耗损? 　　答案五：因为杂质跑到里面去了。 　　经过连续五次不停地问u200cu200c“为什么u200cu200c”，才找到问题的真正原因和解决的方法，在润滑帮浦上加装滤网。 　　如果员工没有以这种追根究底的精神来发掘问题，他们很可能只是换根保险丝草草了事，真正的问题还是没有解决。 　　第六，5w1h分析法 　　是对选定的项目、工序或操作，都要从原因(何因why)、对象(何事what)、地点(何地where)、时间(何时when)、人员(何人who)、方法(何法how)等六个方面提出问题进行思考。 　　主要用于项目规划，或者项目执行操作方面的分析。 　　第七，SWOT分析法 　　对于优势和弱势是内部环境的分析。 　　机会和威胁是对于外部环境的分析。 　　这个模型可以用于多种方面，任何和商品，贸易，竞争有关系的都适用，而人也是一种商品。这个图标可以帮助你理清现状。 　　第八，历史的看待问题 　　这个和第七条一起看，第七条可以帮助你再一个时间点上去分析面的事情，但是很多事情是延续的，需要历史性的看待。 　　比如国家腐*败，教育系统问题等等，分析一下历史原因，建国才60多年，很多事情不可能一下子做到完美，批判需要，我们希望能够做的更好，但是愤青就显得low了，你行你上啊。 　　知道了历史，也也就知道为什么事情会发展成这样，更包容和理解了。 　　第九，换环境 　　当你再一个环境中呆的时间太长，你所有的信息都是环境内部的信息，这会影响你对事情真实的判断。换一个环境，你也许会有不一样的感受。换位思考，或者体验生活，有时候需要经常到别的地方去看看。 　　用于处理长期压抑困扰你的问题。 　　第十，换位思考 　　用户需求分析，矛盾解决的时候，可以让你理解客户需求，彼此间找到平衡。 　　第十一，做充分的准备，和提前死亡线(赠品，不能算思维方式，但很重要。) 　　准备工作是非常重要的，大部分情况下，你是在准备的过程中学习，在实践的过程中已经没有多少学习的机会了，就像小时候考试一样，实践是考试而准备工作才是你真正在成长的地方。至于准备，无论多么完备都不为过，任何准备都会成为你后来的经验积累。 　　死亡线代表生产效率，有可能的话，尽量提前死亡线，因为后面还有很多麻烦事，是你预料之外的。 　　解决问题的基本思维方法 　　【三现主义】 　　什么是三现主义? 　　丰田精益生产方式的创始人大野耐一认为，解决问题一定要“到问题发生的场所去观察，找到实物物证，用事实和数据替代观点”，简称“三现主义”，即“现场”、“现物”、“现实”。 　　来看段小故事： 　　某家动物园新来了一只袋鼠，游客们很喜欢这个蹦蹦跳跳的小家伙。 　　一天早晨，管理员上班的时候，发现袋鼠从围栏中跑出来溜达到隔壁长颈鹿园子里去了。管理员大为紧张，赶紧把围栏从2米增高到2.5米。 　　围栏增高了，可没过多久，又发现袋鼠跑出去了。请教了动物专家后，管理员在加高篱笆到5米的同时在末端将篱笆向内弯折，假如袋鼠爬到最上面时自然就会掉下来。当管理人员完成篱笆改造后，第二天，发现袋鼠又跑出去了。管理人员更加奇怪，百思不得其解，只好将所有的篱笆再加高到10米。并考虑在篱笆上空加个盖子。 　　搭建围栏的时候，长颈鹿凑过来与袋鼠闲聊。长颈鹿问：“你说，这些人会不会继续加高你的围栏?”“这很难说，”袋鼠回答：“如果他们总是忘记关那扇门的话!” 　　所以，脱离“三现主义”去坐而论道袋鼠逃跑之谜，是解决问题的大忌。如果“蹲点抓现行”或架设个监控，践行三现主义，或早就发现门没有关了。 　　在丰田公司的早期实践中，大野耐一曾在车间的地上划了一个圈，要求工程师和管理人员站在里面对现场出问题的作业进行仔细的观察，甚至不看明白、不厘清问题不让出圈。这一工作方法被称为“大野圈”。大野耐一的徒子徒孙们至今还会经常站在“大野圈”内观察作业动作的浪费、寻找改善的机会。 　　三现主义，强调将观点与事实区分开。在解决问题时，不能用观点去替代三现主义的事实与数据。 　　举个例子： 　　“大葱涨到八块钱一斤了，有人说话满嘴大葱味，他一定是在炫富。” 　　上面这句话，“大葱涨到八块钱”，“满嘴大葱味”，是描述事实;而“他一定是在炫富”则是观点。 　　再比如，安全管理的调查报告称“有些员工安全意识淡薄”，这是观点，因此需要进一步明确，有些员工是指哪些员工?安全意识淡薄具体表现是什么?需要统计数据来支撑这个观点，才能在事实的基础上分析原因并制定针对性的对策。另外，诸如“大面积污染”、“磨损严重”等定性的描述词汇，应当设法量化，大面积指的多大面积?磨损严重具体现象如何、磨损量有多大? 　　下面的照片曾骗过很多人：前五张显示的是“勇者无惧”，第六张是拍摄现场，一堆游客排队等着扮演勇者，这个所谓的悬崖峭壁只是拍照时巧选角度故意造成的错觉。 　　【问题分解分层】 　　告诉你一个惊掉下巴的消息，中国足球队和巴西足球队打了一场比赛，中国队10比0大胜。。。等等，中国足球?10比0赢巴西?比赛双方都是四肢健全健康、平均年龄25岁的男性?是的，中国队员年龄个个都是25岁，而巴西队员则是由一些五岁的小孩和80岁的老爷爷组成的，只是他们平均年龄也刚好25岁。。。 　　我们遇到的问题，往往是个相对模糊的问题，需要了解到问题的分布，对问题按照一些边界条件进行分解、分层，聚焦问题的核心，不能一概而论，还得看数据的分布。 　　否则分析的针对性差，无法彻底解决问题。 　　举个栗子：你不会游泳，准备要涉水过河，水很混浊，看不到深浅。如果旁人告诉你水深平均60公分，你至于就放心渡河吗 平均水深仅60公分，是所有区域都是恰好60公分吗?还是浅的地方只有10公分，深的地方可能有3米?!所以，要去了解水深的分布。 　　办公室里五个人，其中4个人的工资是3000元每月，第5个人的工资是6000万元每月，要是仅看平均值，这5个人平均月薪是1200多万，但这可不能代表他们办公室大伙的收入水平。各位，今年您是不是又拖了当地平均工资的后腿? 　　看个小案例： 　　苏州的房价真的“暴跌”了?且慢天真，看记者的调查： 　　原来如此，其实不仅高价房子没有降价，低价房子也一分钱没少。只不过那几天恰好低价区域的房子成交的多，而高价房子成交的少，所以一不小心，看成交房价的数据以为就“暴跌”了。 　　所以，要是有人告诉您房价下跌了，先问问他究竟是哪个地方的哪一个楼盘的哪一套房子下跌了?是高档房跌价了还是低价房清盘了?分区域、分档位、分时间段统计出来，对问题分解来看，而不是只看统计的平均值。 　　问题分解是感知问题的“形状，大小，多少，趋势，分布”等问题的现状，不是原因的分析，绝不能与原因分析相混。 　　举个栗子： 　　有人不舒服去看病，碰到了江湖郎中假医生，假医生问，“是不是昨夜睡觉没有盖被子?” 　　病人回，“盖了两床被子。” 　　假医生问，“最近吃了不新鲜的食物?” 　　病人回，“都是新鲜食材现做的。” 　　假医生问，“昨天被雨淋过?” 　　病人回，“都两年没下雨了。医生，您还没有问我究竟哪里不舒服呢?!” 　　这个假医生，就是典型的把对问题的现状调查替换成了原因分析。 　　再比如，星期一买的水果，到周六时发现变质了，有人这样去排查原因： 　　会不会是冰箱温度控制故障了? 　　会不会是买的时候就变质了? 　　是不是运输途中被挤压坏了? 　　以上都是错误的做法，未对现状了解清楚就去排查原因，必然费时费力效率很低。即使恰好查到冰箱温控有些问题，这就算找到真正原因了吗?其实这些水果是被不法商贩全部打针注了水的，冰箱温控故障只是巧合。 　　更有效率的正确做法，应该是先看看水果究竟是哪里坏了，具体坏了的现象是什么样?未充分了解问题现状，就直接进行原因分析，不容易很快锁定真正的原因，反而容易遗漏重要的原因。 　　再举个栗子：某个手机连锁店的销售总监，想设法解决销售业绩下滑的问题。该如何进行问题的分解分层呢? 　　问题的分解，可以从4W方向找切入点，4W指的是What(按内容、类型分解)、Where(按区域、单元、渠道、环节分解)、Who(按人、性别、年龄等分解)、When(按时间段来分解)。对于销售业绩下滑的问题，在进行原因分析之前，要理清现状： 　　What：是所有手机品牌业绩都下滑吗?还是有差别?高价手机和中低价手机的业绩都同时下滑吗?不同类型的手机业绩有差异吗? 　　Where：是所有连锁店业绩都下滑吗?店内不同区域的陈列销量有否差异? 　　Who：不同年龄段的客户销量都下滑吗?还是有部分年龄段的客户有增长?不同销售员业绩有差异吗? 　　When：每周的业绩都一样差吗?每个周末都一样好吗? 　　需要特别注意的是，不要跳过问题的分解分层而去直接找业绩下滑的原因，以免分析的范围扩大化。 　　对于复杂情况下的多输入变量问题，可以通过设置边界条件，通过分层研究来减掉部分变量。下图中，问题是输出Y，输入变量X1至Xn是Y的影响因素，如果X1是相对不可控变量，可以将X1的数据分成若干组，从而将问题按X1的水平分层： 　　举例来说， 某电厂要降低燃煤的消耗(简称煤耗)，煤耗Y与众多因素如锅炉压力、循环水温、发电负荷等输入变量相关，但是发电负荷这一变量对于电厂来说是相对不可控变量，可以处理成边界条件。比如将发电负荷分成高发电负荷、中发电负荷、低发电负荷三个水平，于是，可以将过去一年的煤耗按发电量分三组研究，分别研究在高发电负荷下如何降低煤耗，在中等发电负荷下、和在低负荷下如何降低煤耗。这样，在每一个边界条件下，发电负荷这一因素就成了相对固定不变量，从而在分层研究里作为变量被减掉了。 　　【多角度寻找偏差】 　　所谓问题，指的是当前状态与理想状态之间的差距。 　　问题又分为发生型问题和设定型问题这两种。 　　我们习惯上所说的“出问题了”，指的是“当前状态”距离“正常状态”还有差距，也就是说，比正常状态差，这一类问题又称为“发生型问题”。对于发生型问题，其理想状态就是想要恢复到的正常状态。 　　如果已经达到了正常状态，还想追求比“正常”更高的标准，那么这个当前正常状态与未来更高标准的理想状态间的差距，称之为“设定型问题”，或称之为课题。“课题”往往是有意识地创造出来的问题。人们常说的“要走出舒适区”，就是人为有意识地设定新标准创造出差距，然后再通过改善缩小差距，才能逐步扩大舒适区，适应更大环境。 　　意识不到问题，又不愿意走出舒适区，才是最大的问题，或者可以说，没有问题就是最大的问题。 　　问题是一种偏差，或者说要把问题转换成现状与标杆间的明确的偏差来研究，可以使问题变得更清晰化。标杆可以是外部最佳实践，也可以是内部的最佳，还可以是历史的最佳时期，或理论值、设计值等等。 　　举几个栗子，某公司成立一些解决问题的项目组，老虎吃天，究竟如何下口呢? 　　案例一“提升X企业管理水平”项目：管理水平低?这是一个未经定义、模糊的问题。项目组需要自问，管理水平低是与什么标杆企业比对得出的?如果是企业管理水平下降了才设立的项目，可以拿下降前的时期作为标杆进行比较，分析比以前差在哪里?如若管理水平并未下降，但是与其它卓越的公司相比有差距，这时候原问题就可转换成缩小该公司与标杆公司的管理差距上。二者对标，问题就清晰化了。 　　案例二“优化X项目建设方案”项目：优化建设方案也是一个未经定义、模糊的问题。既然需要优化，说明现有方案距离标杆或目标还有差距。现有的建设方案与标杆在哪方面有差距?是建设预算、进度、质量还是其它指标上有差距?将“优化方案”问题转化为“缩小与明确标杆差距”的问题，再逐个分解。 　　案例三“加强X公司安全管理”项目：该公司的安全管理既然需要加强，说明在安全管理上距离标杆仍有差距，那么如果能将标杆和差距具体化，此改善项目就容易多了。 　　偏差可能有时间上的偏差，也会有空间上的偏差。某企业的原料损耗近几年来持续上升，这个问题就属于一种时间上的偏差。职业足球比赛中，排名靠前和排名靠后的球队间的积分差异，就是空间上的偏差。 　　因此，“生产效率低下”不是个清晰的“问题”，比谁低才是问题，或者说生产效率是否有时候低有时候高有较大波动?带着这样的思考模式，我们不要把精力花在诸如“为什么国足的成绩差”这个问题上而是“为什么日韩国足的成绩比我们国足成绩好”?“产品卖不掉”并不是“问题”，谁比你们卖得多才是问题，或者，是一直卖不掉还是有时候也卖得掉? 　　能够理解问题的定义，对于我们学习解决问题的基本思路非常重要。 　　美国通用汽车公司的庞帝雅克(Pontiac)部门收到一封客户抱怨信，上面是这样写的：“你们可能会认为我疯了，但请耐心读完。我们家有个习惯，就是每天在吃完晚餐后，以冰淇淋来当饭后甜点。但自从最近我买了一部新的庞帝雅克的车后，在我去买冰淇淋的路上就常常出怪事。每当我买的冰淇淋是香草口味时，我从店里一出来车子就发不动。但如果我买的是其他的口味，车子发动就顺得很。我要让你知道，我对这件事情是非常认真的，尽管这个问题听起来很猪头。莫非这汽车对香草冰淇淋过敏?” 　　通用公司当然不相信这位仁兄的车子对香草过敏，他们派了一位工程师去查看究竟。工程师与这位仁兄一起开车去买香草冰淇淋，当买好回到车上后，车子果然不能很快发动。工程师之后又依约来了三个晚上。第一晚，巧克力冰淇淋，车子没事。第二晚，草莓冰淇淋，车子也没事。第三晚，香草冰淇淋，车子又不能很快发动。工程师记下从头到现在所发生的种种详细资料，如时间、车子使用油的种类、车子开出及开回的时间u2026u2026，根据资料显示他有了一个结论，这位仁兄买香草冰淇淋所花的时间比其它口味的要少。为什么呢?原来这是冰淇淋店的内部设置的问题。因为，香草冰淇淋是所有冰淇淋口味中最畅销的口味，店家为了让顾客每次都能很快的取拿，将香草口味特别分开陈列在单独的冰柜，并将冰柜放置在店的前端;至于其它口味则放置在距离收银台较远的后端。 　　为什么这部车会因为从熄火到重新激活的时间较短时就会出问题?工程师很快找出了答案：问题出在汽车发动机的散热装置上。原来，当买其他口味的冰淇淋时，由于所花的时间较长，发动机有足够的时间散热，重新发动时就没有太大的问题;但是当买香草冰淇淋时，由于所花的时间较短发动机太热以至于还无法让散热装置有足够的时间散热，在密闭管路中油跟油之间会出现一段气体，阻塞了油路，人们通常把它叫做“气阻”，引擎所吸收的燃料就会断断续续，从而引起发动机不能正常发动。设计部门迅速进行了技术改进，弥补了散热装置的缺陷，解决了气阻现象。 　　这个故事里，通用工程师并没有直接分析“为何买香草冰淇淋时汽车发不动”这一问题，而是转而研究“买其它口味冰淇淋和买香草冰淇淋时有何区别”这一偏差问题上。能够把“问题”转化为“偏差”或“差距”，是解决问题的一个基本思路。 　　【果因分析】 　　果因分析有别于传统的“因果分析”，它不去分析问题发生的原因，而是转去分析问题在分布上存在的偏差。所以，果因分析思维是前一个思维方式“用偏差来定义问题”的延伸和继承。 　　正如前文所述，果因分析不会去直接研究为什么中国足球水平低，而是要转而研究为什么日韩足球比我们的足球水平高、或者我们足球水平和日韩差异的原因是什么。同样，果因分析不会去直接分析为什么市场上猪肉价格高的原因，而是转而去研究为什么现在的猪肉价格比去年同期高的原因。 　　解决未知问题的思维方式的真实故事 　　古希腊科学家亚里士多德曾经有一个非常著名的论断：物体的下落速度和它们的质量所形成的比例为成正比例，也就是说越重的物体下落的速度就会越快。并举例说，铁球的落地速度总是比鸟类的羽毛要快，秋天的落叶总是慢慢地飘落到地面，而成熟的苹果却是迅速落地的。 　　基于亚里士多德的“权威论断”与生活中的部分事实，过去了两千多年的光景，可以说是，几乎没有人质疑过这个“真理”。然而，终于有一天，有一个智慧，并且勇敢的年轻人对此提出了一个质疑——这个人就是伟大的伽利略。他想，如果说把100磅的球和1磅的球放在一起，让他们同时从高处落下，情况会是什么样的呢? 于是，他就在比萨斜塔上做了那个著名的自由落体实验。一经实验证明：轻重不同的物体，在相同的条件下，会同时落地。著名的比萨斜塔实验，使伟大伽利略成为物理学发展史上一位非常耀眼的明星。当我们能够勇敢地提出自己的疑问时，就说明我们对这个问题有了独立的思考，有了更好的想法。在此基础上，才能找出新的求解方法，从而以最快的速度解决问题。

其实这个问题很好解释，光不仅具有质量，也具有能量，因为它不仅是粒子也会波动。如果说一个物体反应前M+E=M"+E"，那么当反应后M"=M"+M"c 然后E"=E"+E"c，也就是M+E=M"+E"=M"+M"c+E"+E"c，说明脱离的光的粒子质量加上光的波动性能量加上剩余的静态物体质量加上剩余的静态能量等于原先的静态质量加上静态能量，也就是说，一个物体发生反应如果发生了亏损，那么它的能量和质量有可能会一起亏损，它们共同的结合方式就是所谓的光，也可以叫做波动性的粒子。这么看来，纯净的能量守恒和质量守恒我们无法证明，因为散发的光粒子同时具备质量和能量，它们往往会以光速脱离物体本身，所以说单纯的能量是不可能转换成单纯的质量的，单纯的质量也没有转换成单纯的能量，如果我们有一个很理想的测量工具，可以发现原来的静态物体反应后，剩余的静态物体质量和能量都同时减少了，减少的那部分就是光。

应力物体由于外因（受力、湿度、温度场变化等）而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并试图使物体从变形后的位置恢复到变形前的位置。在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。中文名应力外文名stress快速导航应力张量 平衡微分方程 分类 测量工具 危害 残余应力消除应力状态物体由于外因（受力、湿度、温度场变化等）而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，单位面积上的内力称为应力。应力是一个矢量，沿截面法向的分量称为正应力，沿切向的分量称为切应力物体中一点在所有可能方向上的应力称为该点的应力状态。但过一点可作无数个平面，是否要用无数个平面上的应力才能描述点的应力状态呢？通过下面的分析可知，只需用过一点的任意一组相互垂直的三个平面上的应力就可代表点的应力状态，而其它截面上的应力都可用这组应力及其与需考察的截面的方位关系来表示。应力张量应力张量如右图所示，P为直角坐标系0XYZ中一变形体内的任意点，在此点附近切取一个各平面都平行于坐标平面的六面体。此六面体上三个互相垂直的三个平面上的应力分量即可表示该点的应力状态[1] 。为规定应力分量的正负号，首先假设：法向与坐标轴正向一致的面为正面；与坐 标轴负向一致的面为负面。进而规定：正面上指向坐标轴正向的应力为正，反之为负； 负面上指向坐标轴负向的应力为正，反之为负。三个正面上共有九个应力分量（包括三个正应力和六个切应力）。此九个应力分量可写成如下矩阵形式：应力分量的第一个下标表示作用平面的法向；第二个下标表示应力作用的方向。正应力的两个下标是一样的，故用一个下标简写之。由于切应力互等定理，上列矩阵中对角的切应力是相等的，即：τxy=τyx, τyz=τzy, τzx=τxz。因此，此矩阵为对称矩阵，九个应力分量中六个应力分量是独立的。主应力如果作用在某一截面上的全应力和这一截面垂直，即该截面上只有正应力，切应力为零，则这一截面称为主平面，其法线方向称为应力主方向或应力主轴，其上的应力称为主应力。如果三个坐标轴方向都是主方向，则称这一坐标系为主坐标系。在塑性力学中，常将应力张量分解为：式中，称为平均正应力。等号右端第一项称为球形应力张量；第二项可记为：称为应力偏量张量。应力张量不变量在求解主应力的过程中会得到以主应力为未知数的三次方程，叫做状态方程[2] 。状态方程的三个系数唯一由主应力确定，而一点的主应力是唯一的，这样就得到了不随坐标变化的三个量，叫作应力张量不变量。平衡微分方程以上说明的都是一点的应力状态，而物体内部不同点的应力状态一般是不同的，那么如何描述相邻点间的应力变化关系呢？以物体内某一点P(x,y,z)为顶点截取边长分别为dx,dy,dz的直角平行六面体微元，另一个顶点的坐标则为(x+dx,y+dy,z+dz)。根据静力平衡方程，并处理掉高阶小量，得到应力平衡微分方程。分类正应力与剪应力同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。应力会随着外力的增加而增长，对于某一种材料，应力的增长是有限度的，超过这一限度，材料就要破坏。对某种材料来说，应力可能达到的这个限度称为该种材料的极限应力。极限应力值要通过材料的力学试验来测定。将测定的极限应力作适当降低，规定出材料能安全工作的应力最大值，这就是许用应力。材料要想安全使用，在使用时期内的应力应低于它的极限应力，否则材料就会在使用时发生破坏。

合同变换的全系不变量是惯性指数，所以这里问题相当于a+b+c=n有多少组非负整数解（或者等价地，A+B+C=n+3有多少组正整数解）由组合数学的隔板法可得结果是(n+2)(n+1)/2

秩是初等变换的全系不变量，也就是说初等变换不改变秩两个秩相等的同型矩阵一定可以通过初等变换互相转化

怎么证明a＝1-101与b＝1001不相似？？假如它们相似，则有二阶方阵pa＝pbp^﹙-1﹚＝pp^﹙-1﹚＝b[注意b是单位矩阵]，矛盾！所以它们不相似。两个矩阵相似的充要条件是它们的特征矩阵等价﹙可以用初等换互变﹚。这是最主要的一个，其他还有许多，例如它们有相同的“不变因子”，或者相同的“初等因子”，等等。这里不一一列举。可以在教材中全部找到。

合同变换的全系不变量是惯性指数，所以这里问题相当于a+b+c=n有多少组非负整数解（或者等价地，a+b+c=n+3有多少组正整数解）由组合数学的隔板法可得结果是(n+2)(n+1)/2

设正惯性系数是p，负惯性系数是q，可以先列举一下，当p＝0,q可以从0取到n，这样就有n＋1种情况当p＝1,q可以从0取到n－1，这样就有n种情况。。。。。。。。当p＝n,q只能取0，是1种情况所以1＋2＋3＋........＋（n＋1）＝（n＋1）（n＋2）/2

这种结论显然是错的,即使是实对称矩阵也不可能有如此强的结论,况且你的叙述也很不清晰,完全没有讲清楚所谓的“变”是何种变换. 如果你不相信的话先给你一个反例 Hss=[1,2; 2,3], Hsp=[3,4], Hpp=6, Hpd=Hdd=0 如果把Hsp变成[0,5]而别的块不变,特征值肯定不同. 我猜测你试图从正交变换中总结一些性质.只能说Frobenius范数是酉不变范数,但是如果没有更多条件的话不要认为Frobenius范数是Hermite矩阵在酉变换下的全系不变量. 补充： 这次虽然你增加了很强的条件,但仍不足以推出结论,再给你个例子 N=1, Hss=1, Hpp=diag{2,2,2}, Hdd=diag{3,3,3,3,3}, Hsp=[1;0;0] 这些不变,而 Hpd=[0,0,0; 0,0,3; 0,4,0; 0,0,0; 0,0,0] 和 Hpd=[0,0,0; 0,0,5; 0,0,0; 0,0,0; 0,0,0] 得到的特征值不同. 你之所以产生这种猜测,跟你给的矩阵结构有一定关系. A=diag{c_1*I_{k_1}, c_2*I_{k_2}, ..., c_n*I_{k_n}} + L + L" 这里L是相应的下三角块. 如果作用一个与之结构匹配的分块对角酉变换 Q=diag{Q_1, Q_2, ..., Q_n} 自然就有Q"AQ和A的特征值相同,并且Q"AQ的对角块和A相同.我也提过了,Frobenius范数是酉不变范数,L当中的每一块在此变换下变成Q_k"*L_k*Q_{k-1},所以其F-范数不变. 但是绝对不可能反过来说如果L中相应的块F-范数不变就一定保持特征值不变,完全没希望的.

恩,我在看，我觉得是这样的:）正交矩阵因为A逆=A" (转置或转置共扼),所以A"A=AA"(=I),A是正规矩阵,它具有n个正交的特征向量．（完整的证明可以在一般的线性代数书里或所有的高等代数书里找到）．把这些向量排列成一个矩阵（也是正交矩阵）P，可以使得A正交相似变换一个对角矩阵R，对角的元素都是A的特征值．（P逆 AP＝R）相似变换不改变A的特征值，则如果A和B相似，B也可以找到一个正交矩阵Q，使得Q逆BQ＝R．（特征值是正交矩阵的全系不变量，由一组特征值或者说R可以确定一族正交矩阵的等价关系，这族矩阵的等价关系就是,相似关系,即(T逆)AT = B，T可以不是正交矩阵）那么，从Q逆AQ＝P逆BP＝R可以得到PQ逆AQP逆＝B而两个正交矩阵乘积也是正交矩阵，所以A和B之间可以通过正交相似变换达到．（QP逆）存在的正交相似变换D哦 milksea兄,原来是你呵呵,说了很多废话,别骂俺

秩是初等变换的全系不变量，也就是说 初等变换不改变秩 两个秩相等的同型矩阵一定可以通过初等变换互相转化

合同变换的全系不变量是惯性指数，所以这里问题相当于a+b+c=n有多少组非负整数解（或者等价地，A+B+C=n+3有多少组正整数解）由组合数学的隔板法可得结果是(n+2)(n+1)/2

利用惯性指数，只要看a+b+c=n有几组非负整数解就行了用组合数学的隔板法，这个方程有c(n+2,2)=(n+2)(n+1)/2组非负整数解

这种结论显然是错的，即使是实对称矩阵也不可能有如此强的结论，况且你的叙述也很不清晰，完全没有讲清楚所谓的“变”是何种变换。如果你不相信的话先给你一个反例Hss=[1,2; 2,3], Hsp=[3,4], Hpp=6, Hpd=Hdd=0如果把Hsp变成[0,5]而别的块不变，特征值肯定不同。我猜测你试图从正交变换中总结一些性质。只能说Frobenius范数是酉不变范数，但是如果没有更多条件的话不要认为Frobenius范数是Hermite矩阵在酉变换下的全系不变量。 补充：这次虽然你增加了很强的条件，但仍不足以推出结论，再给你个例子N=1, Hss=1, Hpp=diag{2,2,2}, Hdd=diag{3,3,3,3,3}, Hsp=[1;0;0]这些不变，而Hpd=[0,0,0; 0,0,3; 0,4,0; 0,0,0; 0,0,0]和Hpd=[0,0,0; 0,0,5; 0,0,0; 0,0,0; 0,0,0]得到的特征值不同。你之所以产生这种猜测，跟你给的矩阵结构有一定关系。A=diag{c_1*I_{k_1}, c_2*I_{k_2}, ..., c_n*I_{k_n}} + L + L"这里L是相应的下三角块。如果作用一个与之结构匹配的分块对角酉变换Q=diag{Q_1, Q_2, ..., Q_n}自然就有Q"AQ和A的特征值相同，并且Q"AQ的对角块和A相同。我也提过了，Frobenius范数是酉不变范数，L当中的每一块在此变换下变成Q_k"*L_k*Q_{k-1}，所以其F-范数不变。但是绝对不可能反过来说如果L中相应的块F-范数不变就一定保持特征值不变，完全没希望的。

【狭义证明】　　相对论公式及证明 　　符号 单位 符号 单位　　坐标(x,y,z)：m 力F(f)： N 　　时间t(T)： s 质量m(M): kg　　位移r： m 动量p: kg*m/s　　速度v(u)： m/s 能量E: J 　　加速度a： m/s^2 冲量： N*s 　　长度l(L)： m 动能Ek： J 　　路程s(S)： m 势能Ep： J 　　角速度ω： rad/s 力矩： N*m 　　角加速度: rad/s^2α 功率P： W 　　一： 　　牛顿力学（预备知识） 　　(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt 　　(2)a=dv/dt,v=v0+∫adt 　　(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式) 　　当v不变时，(1)表示匀速直线运动。 　　当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。 　　只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。 　　(二)：质点动力学： 　　(1)牛一：一切物体在没有受到力的作用时，总保持静止状态或匀速直线运动状态。 　　(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。 　　F=ma=mdv/dt=dp/dt 　　(3)牛三：作用在同一物体上的两个力，如果等大反向作用在同一直线上，则二力平衡。 　　(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。 　　F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2) 　　动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化) 　　动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。 　　动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化) 　　机械能守恒：只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2 　　(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。) 　　二、狭义相对论力学 　　（注:“γ”为相对论因子，γ=1/sqr(1-u^2/c^2)，β=u/c，u为惯性系速度。） 　　1．基本原理：（1）相对性原理：所有惯性系都是等价的。 　　（2）光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。 　　（此处先给出公式再给出证明） 　　2．洛仑兹坐标变换： 　　X=γ(x-ut) 　　Y=y 　　Z=z 　　T=γ(t-ux/c^2) 　　3．速度变换： 　　V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) 　　V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2)) 　　V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2)) 　　4．尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ 　　5．钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ 　　6．光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b) 　　（光源与探测器在一条直线上运动。） 　　7．动量表达式：P=Mv=γmv,即M=γm 　　8．相对论力学基本方程：F=dP/dt 　　9．质能方程：E=Mc^2 　　10．能量动量关系：E^2=(E0)^2+P^2c^2　　（注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。）　　*******************************************************************************　　三、三维证明 　　1．由实验总结出的公理，无法证明。 　　2．洛仑兹变换： 　　设(x,y,z,t)所在坐标系（A系）静止，（X,Y,Z,T）所在坐标系（B系）速度为u，且沿x轴正向。在A系原点处，x=0，B系中A原点的坐标为X=-uT，即X+uT=0。 　　可令 　　x=k(X+uT) (1). 　　又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。）同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K. 　　故有 　　X=k(x-ut) (2). 　　对于y,z,Y,Z皆与速度无关，可得 　　Y=y (3). 　　Z=z (4). 　　将(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT,即 　　T=kt+((1-k^2)/(ku))x (5). 　　(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理,要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct，X=cT. 　　代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u)，cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得： 　　k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换： 　　X=γ(x-ut) 　　Y=y 　　Z=z 　　T=γ(t-ux/c^2) 　　3．速度变换： 　　V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2)) 　　=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2) 　　=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) 　　同理可得V(y),V(z)的表达式。 　　4．尺缩效应： 　　B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t)，又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△X=γ△x，即：△l=γ△L,△L=△l/γ 　　5．钟慢效应： 　　由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2)，又△X=0，(要在同地测量)，故△t=γ△T. 　　（注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。） 　　6．光的多普勒效应：（注：声音的多普勒效应是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).） 　　B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b)，波数为N，B系的钟测得的时间是△t(b)，由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为 　　△t(a)=γ△t(b) (1). 　　探测器开始接收时刻为t1+x/c，最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c，则 　　△t(N)=(1+β)△t(a) (2). 　　相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即 　　ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N) (3). 　　由以上三式可得： 　　ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b). 　　7．动量表达式：（注：dt=γdτ,此时，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c） 　　牛顿第二定律在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛顿第二定律都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。 　　牛顿力学中，v=dr/dt，r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为(x,y,z)新坐标系中为(X,Y,Z)）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv，将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γm（相对论质量）则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算） 　　8．相对论力学基本方程： 　　由相对论动量表达式可知：F=dp/dt，这是力的定义式，虽与牛顿第二定律的形式完全一样，但内涵不一样。（相对论中质量是变量） 　　9．质能方程： 　　Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv 　　=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2 　　=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2 　　=Mc^2-mc^2 　　即E=Mc^2=Ek+mc^2 　　10．能量动量关系： 　　E=Mc^2，p=Mv，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，E0=mc^2，可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2　　*******************************************************************************　　四、四维证明： 　　1．公理，无法证明。 　　2．坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt，即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔， 　　dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2 (1). 　　则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS^2>0称类空间隔，dS^2<0称类时间隔，dS^2=0称类光间隔。相对论原理要求(1)式在坐标变换下形式不变，因此(1)式中存在与坐标变换无关的不变量，dS^2dS^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量。 　　由数学的旋转变换公式有：（保持y,z轴不动，旋转x和ict轴） 　　X=xcosφ+(ict)sinφ 　　icT=-xsinφ+(ict)cosφ 　　Y=y 　　Z=z 　　当X=0时，x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ 　　得：tanφ=iu/c,则cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得： 　　X=γ(x-ut) 　　Y=y 　　Z=z 　　T=γ(t-ux/c^2) 　　3．4．5．6．略。 　　7．动量表达式及四维矢量：（注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，下式中dt=γdτ） 　　令r=(x,y,z,ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。 　　则V=(γv,icγ)γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。（以下同理） 　　四维动量：P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM) 　　四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)（F为三维力） 　　四维加速度：ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c) 　　则f=mdV/dτ=mω 　　8．略。 　　9．质能方程： 　　fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0 　　故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力） 　　由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0（F,v为三维矢量，且Fv=dEk/dt(功率表达式)） 　　故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM，即：Ek=Mc^2-mc^2 　　故E=Mc^2=Ek+mc^2

相对论（Principle of relativity relativism[5relEtivizEm] relativity[7relE5tiviti] theory of relativity） 相对论是关于时空和引力的基本理论，主要由爱因斯坦(Albert Einstein)创立，分为狭义相对论(特殊相对论)和广义相对论(一般相对论)。相对论的基本假设是相对性原理，即物理定律与参照系的选择无关。狭义相对论和广义相对论的区别是，前者讨论的是匀速直线运动的参照系（惯系参照系）之间的物理定律，后者则推广到具有加速度的参照系中（非惯性系），并在等效原理的假设下，广泛应用于引力场中。相对论和量子力学是现代物理学的两大基本支柱。奠定了经典物理学基础的经典力学，不适用于高速运动的物体和微观领域。相对论解决了高速运动问题；量子力学解决了微观亚原子条件下的问题。相对论颠覆了人类对宇宙和自然的“常识性”观念，提出了“时间和空间的相对性”、“四维时空”、“弯曲空间”等全新的概念。 狭义相对论最著名的推论是质能公式，它可以用来计算核反应过程中所释放的能量，并导致了原子弹的诞生。而广义相对论所预言的引力透镜和黑洞，也相继被天文观测所证实。[编辑本段]【提出过程】 除了量子理论以外，1905年刚刚得到博士学位的爱因斯坦发表的一篇题为《论动体的电动力学》的文章引发了二十世纪物理学的另一场革命。文章研究的是物体的运动对光学现象的影响，这是当时经典物理学面对的另一个难题。 十九世纪中叶，麦克斯韦建立了电磁场理论，并预言了以光速C传播的电磁波的存在。到十九世纪末，实验完全证实了麦克斯韦理论。电磁波是什么？它的传播速度C是对谁而言的呢？当时流行的看法是整个宇宙空间充满一种特殊物质叫做“以太”，电磁波是以太振动的传播。但人们发现，这是一个充满矛盾的理论。如果认为地球是在一个静止的以太中运动，那么根据速度叠加原理，在地球上沿不同方向传播的光的速度必定不一样，但是实验否定了这个结论。如果认为以太被地球带着走，又明显与天文学上的一些观测结果不符。 1887年迈克尔逊和莫雷利用光的干涉现象进行了非常精确的测量，仍没有发现地球有相对于以太的任何运动。对此，洛仑兹(H．A．Lorentz)提出了一个假设，认为一切在以太中运动的物体都要沿运动方向收缩。由此他证明了，即使地球相对以太有运动，迈克尔逊也不可能发现它。爱因斯坦从完全不同的思路研究了这一问题。他指出，只要摒弃牛顿所确立的绝对空间和绝对时间的概念，一切困难都可以解决，根本不需要什么以太。 爱因斯坦提出了两条基本原理作为讨论运动物体光学现象的基础。第一个叫做相对性原理。它是说：如果坐标系K"相对于坐标系K作匀速运动而没有转动，则相对于这两个坐标系所做的任何物理实验，都不可能区分哪个是坐标系K，哪个是坐标系K′。第二个原理叫光速不变原理，它是说光（在真空中）的速度c是恒定的，它不依赖于发光物体的运动速度。 从表面上看，光速不变似乎与相对性原理冲突。因为按照经典力学速度的合成法则，对于K′和K这两个做相对匀速运动的坐标系，光速应该不一样。爱因斯坦认为，要承认这两个原理没有抵触，就必须重新分析时间与空间的物理概念。 经典力学中的速度合成法则实际依赖于如下两个假设： 1．两个事件发生的时间间隔与测量时间所用的钟的运动状态没有关系； 2．两点的空间距离与测量距离所用的尺的运动状态无关。 爱因斯坦发现，如果承认光速不变原理与相对性原理是相容的，那么这两条假设都必须摒弃。这时，对一个钟是同时发生的事件，对另一个钟不一定是同时的，同时性有了相对性。在两个有相对运动的坐标系中，测量两个特定点之间的距离得到的数值不再相等。距离也有了相对性。 如果设K坐标系中一个事件可以用三个空间坐标x、y、z和一个时间坐标t来确定，而K′坐标系中同一个事件由x′、y′、z′和t′来确定，则爱因斯坦发现，x′、y′、z′和t′可以通过一组方程由x、y、z和t求出来。两个坐标系的相对运动速度和光速c是方程的唯一参数。这个方程最早是由洛仑兹得到的，所以称为洛仑兹变换。 利用洛仑兹变换很容易证明，钟会因为运动而变慢，尺在运动时要比静止时短，速度的相加满足一个新的法则。相对性原理也被表达为一个明确的数学条件，即在洛仑兹变换下，带撇的空时变量x"、y"、z"、t"将代替空时变量x、y、z、t，而任何自然定律的表达式仍取与原来完全相同的形式。人们称之为普遍的自然定律对于洛仑兹变换是协变的。这一点在我们探索普遍的自然定律方面具有非常重要的作用。 此外，在经典物理学中，时间是绝对的。它一直充当着不同于三个空间坐标的独立角色。爱因斯坦的相对论把时间与空间联系起来了。认为物理的现实世界是各个事件组成的，每个事件由四个数来描述。这四个数就是它的时空坐标t和x、y、z，它们构成一个四维的连续空间，通常称为闵可夫斯基四维空间。在相对论中，用四维方式来考察物理的现实世界是很自然的。狭义相对论导致的另一个重要的结果是关于质量和能量的关系。在爱因斯坦以前，物理学家一直认为质量和能量是截然不同的，它们是分别守恒的量。爱因斯坦发现，在相对论中质量与能量密不可分，两个守恒定律结合为一个定律。他给出了一个著名的质量-能量公式：E＝mc^2，其中c为光速。于是质量可以看作是它的能量的量度。计算表明，微小的质量蕴涵着巨大的能量。这个奇妙的公式为人类获取巨大的能量，制造原子弹和氢弹以及利用原子能发电等奠定了理论基础。 对爱因斯坦引入的这些全新的概念，大部分物理学家，其中包括相对论变换关系的奠基人洛仑兹，都觉得难以接受。旧的思想方法的障碍，使这一新的物理理论直到一代人之后才为广大物理学家所熟悉，就连瑞典皇家科学院，1922年把诺贝尔奖金授予爱因斯坦时，也只是说“由于他对理论物理学的贡献，更由于他发现了光电效应的定律。”对于相对论只字未提。 爱因斯坦于1915年进一步建立起了广义相对论。狭义相对性原理还仅限于两个相对做匀速运动的坐标系，而在广义相对论性原理中匀速运动这个限制被取消了。他引入了一个等效原理，认为我们不可能区分引力效应和非匀速运动，即非匀速运动和引力是等效的。他进而分析了光线在靠近一个行星附近穿过时会受到引力而弯折的现象，认为引力的概念本身完全不必要。可以认为行星的质量使它附近的空间变成弯曲，光线走的是最短程线。基于这些讨论，爱因斯坦导出了一组方程，它们可以确定由物质的存在而产生的弯曲空间几何。利用这个方程，爱因斯坦计算了水星近日点的位移量，与实验观测值完全一致，解决了一个长期解释不了的困难问题，这使爱因斯坦激动不已。他在写给埃伦菲斯特的信中这样写道：“……方程给出了近日点的正确数值，你可以想象我有多高兴！有好几天，我高兴得不知怎样才好。” 1915年11月25日，爱因斯坦把题为“万有引力方程”的论文提交给了柏林的普鲁士科学院，完整地论述了广义相对论。在这篇文章中他不仅解释了天文观测中发现的水星轨道近日点移动之谜，而且还预言：星光经过太阳会发生偏折，偏折角度相当于牛顿理论所预言的数值的两倍。第一次世界大战延误了对这个数值的测定。1919年5月25日的日全食给人们提供了大战后的第一次观测机会。英国人爱丁顿奔赴非洲西海岸的普林西比岛，进行了这一观测。11月6日，汤姆逊在英国皇家学会和皇家天文学会联席会议上郑重宣布：得到证实的是爱因斯坦而不是牛顿所预言的结果。他称赞道“这是人类思想史上最伟大的成就之一。爱因斯坦发现的不是一个小岛，而是整整一个科学思想的新大陆。”泰晤士报以“科学上的革命”为题对这一重大新闻做了报道。消息传遍全世界，爱因斯坦成了举世瞩目的名人。广义相对论也被提高到神话般受人敬仰的宝座。 从那时以来，人们对广义相对论的实验检验表现出越来越浓厚的兴趣。但由于太阳系内部引力场非常弱，引力效应本身就非常小，广义相对论的理论结果与牛顿引力理论的偏离很小，观测非常困难。七十年代以来，由于射电天文学的进展，观测的距离远远突破了太阳系，观测的精度随之大大提高。特别是1974年9月由麻省理工学院的泰勒和他的学生赫尔斯，用305米口径的大型射电望远镜进行观测时，发现了脉冲双星，它是一个中子星和它的伴星在引力作用下相互绕行，周期只有0.323天，它的表面的引力比太阳表面强十万倍，是地球上甚至太阳系内不可能获得的检验引力理论的实验室。经过长达十余年的观测，他们得到了与广义相对论的预言符合得非常好的结果。由于这一重大贡献，泰勒和赫尔斯获得了1993年诺贝尔物理奖。[编辑本段]【狭义理论】 ·狭义相对论的概念 马赫和休谟的哲学对爱因斯坦影响很大。马赫认为时间和空间的量度与物质运动有关。时空的观念是通过经验形成的。绝对时空无论依据什么经验也不能把握。休谟更具体的说：空间和广延不是别的，而是按一定次序分布的可见的对象充满空间。而时间总是又能够变化的对象的可觉察的变化而发现的。1905年爱因斯坦指出，迈克尔逊和莫雷实验实际上说明关于“以太”的整个概念是多余的，光速是不变的。而牛顿的绝对时空观念是错误的。不存在绝对静止的参照物，时间测量也是随参照系不同而不同的。他用光速不变和相对性原理提出了洛仑兹变换。创立了狭义相对论。 狭义相对论是建立在四维时空观上的一个理论，因此要弄清相对论的内容，要先对相对论的时空观有个大体了解。在数学上有各种多维空间，但目前为止，我们认识的物理世界只是四维，即三维空间加一维时间。现代微观物理学提到的高维空间是另一层意思，只有数学意义，在此不做讨论。 四维时空是构成真实世界的最低维度，我们的世界恰好是四维，至于高维真实空间，至少现在我们还无法感知。我在一个帖子上说过一个例子，一把尺子在三维空间里（不含时间）转动，其长度不变，但旋转它时，它的各坐标值均发生了变化，且坐标之间是有联系的。四维时空的意义就是时间是第四维坐标，它与空间坐标是有联系的，也就是说时空是统一的，不可分割的整体，它们是一种“此消彼长”的关系。 四维时空不仅限于此，由质能关系知，质量和能量实际是一回事，质量（或能量）并不是独立的，而是与运动状态相关的，比如速度越大，质量越大。在四维时空里，质量（或能量）实际是四维动量的第四维分量，动量是描述物质运动的量，因此质量与运动状态有关就是理所当然的了。在四维时空里，动量和能量实现了统一，称为能量动量四矢。另外在四维时空里还定义了四维速度，四维加速度，四维力，电磁场方程组的四维形式等。值得一提的是，电磁场方程组的四维形式更加完美，完全统一了电和磁，电场和磁场用一个统一的电磁场张量来描述。四维时空的物理定律比三维定律要完美的多，这说明我们的世界的确是四维的。可以说至少它比牛顿力学要完美的多。至少由它的完美性，我们不能对它妄加怀疑。 相对论中，时间与空间构成了一个不可分割的整体——四维时空，能量与动量也构成了一个不可分割的整体——四维动量。这说明自然界一些看似毫不相干的量之间可能存在深刻的联系。在今后论及广义相对论时我们还会看到，时空与能量动量四矢之间也存在着深刻的联系。 ·狭义论公式 相对论公式及证明 单位 符号 单位 符号 坐标： m (x,y,z) 力： N F(f) 时间： s t(T) 质量:kg m(M) 位移： m r 动量:kg*m/s p(P) 速度： m/s v(u) 能量: J E 加速度： m/s^2 a 冲量：N*s I 长度： m l(L) 动能：J Ek 路程： m s(S) 势能：J Ep 角速度： rad/s ω 力矩：N*m M 角加速度:rad/s^2α 功率：W P 一： 牛顿力学（预备知识） (一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt (2)a=dv/dt,v=v0+∫adt (注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式) 当v不变时，(1)表示匀速直线运动。 当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。 只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。 (二)：质点动力学： (1)牛一：不受力的物体做匀速直线运动。 (2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。 F=ma=mdv/dt=dp/dt (3)牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。 (4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。 F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2) 动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化) 动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。 动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化) 机械能守恒：只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2 (注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。) 二、狭义相对论力学 （注：γ=1/sqr(1-u^2/c^2)，β=u/c，u为惯性系速度。） 1．基本原理：（1）相对性原理：所有惯性系都是等价的。 （2）光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。 （此处先给出公式再给出证明） 2．洛仑兹坐标变换： X=γ(x-ut) Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2) 3．速度变换： V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2)) V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2)) 4．尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ 5．钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ 6．光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b) （光源与探测器在一条直线上运动。） 7．动量表达式：P=Mv=γmv,即M=γm 8．相对论力学基本方程：F=dP/dt 9．质能方程：E=Mc^2 10．能量动量关系：E^2=(E0)^2+P^2c^2 （注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。） ******************************************************************************* 三、三维证明 1．由实验总结出的公理，无法证明。 2．洛仑兹变换： 设(x,y,z,t)所在坐标系（A系）静止，（X,Y,Z,T）所在坐标系（B系）速度为u，且沿x轴正向。在A系原点处，x=0，B系中A原点的坐标为X=-uT，即X+uT=0。 可令 x=k(X+uT) (1). 又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。）同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K. 故有 X=k(x-ut) (2). 对于y,z,Y,Z皆与速度无关，可得 Y=y (3). Z=z (4). 将(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT,即 T=kt+((1-k^2)/(ku))x (5). (1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理,要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct，X=cT. 代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u)，cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得： k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换： X=γ(x-ut) Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2) 3．速度变换： V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2)) =(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2) =(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) 同理可得V(y),V(z)的表达式。 4．尺缩效应： B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t)，又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△X=γ△x，即：△l=γ△L,△L=△l/γ 5．钟慢效应： 由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2)，又△X=0，(要在同地测量)，故△t=γ△T. （注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。） 6．光的多普勒效应：（注：声音的多普勒效应是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).） B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b)，波数为N，B系的钟测得的时间是△t(b)，由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为 △t(a)=γ△t(b) (1). 探测器开始接收时刻为t1+x/c，最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c，则 △t(N)=(1+β)△t(a) (2). 相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即 ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N) (3). 由以上三式可得： ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b). 7．动量表达式：（注：dt=γdτ,此时，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c） 牛顿第二定律在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛顿第二定律都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。 牛顿力学中，v=dr/dt，r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为(x,y,z)新坐标系中为(X,Y,Z)）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv，将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γm（相对论质量）则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算） 8．相对论力学基本方程： 由相对论动量表达式可知：F=dp/dt，这是力的定义式，虽与牛顿第二定律的形式完全一样，但内涵不一样。（相对论中质量是变量） 9．质能方程： Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv =Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2 =Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2 =Mc^2-mc^2 即E=Mc^2=Ek+mc^2 10．能量动量关系： E=Mc^2，p=Mv，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，E0=mc^2，可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2 ******************************************************************************* 四、四维证明： 1．公理，无法证明。 2．坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt，即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔， dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2 (1). 则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS^2>0称类空间隔，dS^2<0称类时间隔，dS^2=0称类光间隔。相对论原理要求(1)式在坐标变换下形式不变，因此(1)式中存在与坐标变换无关的不变量，dS^2dS^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量。 由数学的旋转变换公式有：（保持y,z轴不动，旋转x和ict轴） X=xcosφ+(ict)sinφ icT=-xsinφ+(ict)cosφ Y=y Z=z 当X=0时，x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ 得：tanφ=iu/c,则cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得： X=γ(x-ut) Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2) 3．4．5．6．略。 7．动量表达式及四维矢量：（注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，下式中dt=γdτ） 令r=(x,y,z,ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。 则V=(γv,icγ)γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。（以下同理） 四维动量：P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM) 四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)（F为三维力） 四维加速度：ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c) 则f=mdV/dτ=mω 8．略。 9．质能方程： fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0 故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力） 由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0（F,v为三维矢量，且Fv=dEk/dt(功率表达式)） 故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM，即：Ek=Mc^2-mc^2 故E=Mc^2=Ek+mc^2 ·狭义论原理 物质在相互作用中作永恒的运动，没有不运动的物质，也没有无物质的运动，由于物质是在相互联系，相互作用中运动的，因此，必须在物质的相互关系中描述运动，而不可能孤立的描述运动。也就是说，运动必须有一个参考物，这个参考物就是参考系。 伽利略曾经指出，运动的船与静止的船上的运动不可区分，也就是说，当你在封闭的船舱里，与外界完全隔绝，那么即使你拥有最发达的头脑，最先进的仪器，也无从感知你的船是匀速运动，还是静止。更无从感知速度的大小，因为没有参考。比如，我们不知道我们整个宇宙的整体运动状态，因为宇宙是封闭的。爱因斯坦将其引用，作为狭义相对论的第一个基本原理：狭义相对性原理。其内容是：惯性系之间完全等价，不可区分。 著名的麦克尔逊·莫雷实验彻底否定了光的以太学说，得出了光与参考系无关的结论。也就是说，无论你站在地上，还是站在飞奔的火车上，测得的光速都是一样的。这就是狭义相对论的第二个基本原理：光速不变原理。 由这两条基本原理可以直接推导出相对论的坐标变换式，速度变换式等所有的狭义相对论内容。比如速度变幻，与传统的法则相矛盾，但实践证明是正确的，比如一辆火车速度是10m/s，一个人在车上相对车的速度也是10m/s，地面上的人看到车上的人的速度不是20m/s，而是(20-10^(-15))m/s左右。在通常情况下，这种相对论效应完全可以忽略，但在接近光速时，这种效应明显增大，比如，火车速度是0.99倍光速，人的速度也是0.99倍光速，那么地面观测者的结论不是1.98倍光速，而是0.999949倍光速。车上的人看到后面的射来的光也没有变慢，对他来说也是光速。因此，从这个意义上说，光速是不可超越的，因为无论在那个参考系，光速都是不变的。速度变换已经被粒子物理学的无数实验证明，是无可挑剔的。正因为光的这一独特性质，因此被选为四维时空的唯一标尺。 ·狭义论效应 根据狭义相对性原理，惯性系是完全等价的，因此，在同一个惯性系中，存在统一的时间，称为同时性，而相对论证明，在不同的惯性系中，却没有统一的同时性，也就是两个事件(时空点)在一个惯性系内同时，在另一个惯性系内就可能不同时，这就是同时的相对性，在惯性系中，同一物理过程的时间进程是完全相同的，如果用同一物理过程来度量时间，就可在整个惯性系中得到统一的时间。在今后的广义相对论中可以知道，非惯性系中，时空是不均匀的，也就是说，在同一非惯性系中，没有统一的时间，因此不能建立统一的同时性。 相对论导出了不同惯性系之间时间进度的关系，发现运动的惯性系时间进度慢，这就是所谓的钟慢效应。可以通俗的理解为，运动的钟比静止的钟走得慢，而且，运动速度越快，钟走的越慢，接近光速时，钟就几乎停止了。 来源百度百科

高中物理的知识系统和初中相同，都分为力、热、声、光、电、原子核。但知识内容相对复杂一些。如力学就多了力的合成和分解，力怎样改变运动速度，怎样使物体做曲线运动等等，再如声现象；高中要学习振动和波（和声现象原理差不多，但深的多的知识）再如电学，要学习包括电源怎样随用电器发生变化、交流电是怎样产生的，怎样将电能有效的运送到很远的地方。等等，在日常生活中它是很有用的学科。一般6本

问题一：世界十大数学家排名的一的是谁 给你复制他人的答案你看下 世界十大科学家 一 牛顿 艾萨克u30fb牛顿爵士,FRS（Sir Isaac Newton,1642年12月25日－1727年3月20日）是一位英格兰物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家和炼金术士.他在1687年发表的论文《自然哲学的数学原理》里,对万有引力和三大运动定律进行了描述.这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点,并成为了现代工程学的基础.他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性,展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律；从而消除了对太阳中心说的最后一丝疑虑,并推动了科学革命. 二 爱因斯阿尔伯特u30fb爱因斯坦 （Albert Einstein,1879年3月14日-1955年4月18日）,举世闻名的德裔美国科学家,现代物理学的开创者和奠基人. 十九世纪末期是物理学的变革时期,爱因斯坦从实验事实出发,重新考查了物理学的基本概念,在理论上作出了根本性的突破.他的一些成就大大推动了天文学的发展.他 的量子理论对天体物理学、特别是理论天体物理学都有很大的影响.理论天体物理学的第一个成熟的方面――恒星大气理论,就是在量子理论和辐射理论的基础上建立起来的.爱因斯坦的狭义相对论成功地揭示了能量与质量之间的关系,解决了长期存在的恒星能源来源的难题.其广义相对论也解决了一个天文学上多年的不解之谜,并推断出后来被验证了的光线弯曲现象. 三 希尔伯特1862～1943 希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一.他领导了著名的格廷根学派,使格廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心,并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家.希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期,每个时期他几乎都集中精力研究一类问题.按时间顺序,他的主要研究内容有:不变量理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础,其间穿插的研究课题有：狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等.在这些领域中,他都做出了重大的或开创性的贡献.希尔伯特认为,科学在每个时代都有它自己的问题,而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义 .四 麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831--1879) 麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究.尤其是他建立的电磁场理论,将电学、磁学、光学统一起来,是19世纪物理学发展的最光辉的成果,是科学史上最伟大的综合之一.他预言了电磁波的存在.这种理论遇见后来得到了充分的实验验证.他为物理学树起了一座丰碑.造福于人类的无线电技术,就是以电磁场理论为基础发展起来的. 五 门捷列夫 门捷列夫的最大贡献是发现了化学元素周期律.今称门捷列夫周期律.1869年2月 ,门捷列夫编制了一份包括当时已知的全部63种元素的周期表(表1).同年3月,他委托N.A.缅舒特金在俄国化学会上宣读了题为《元素的属性与原子量的关系》的论文,阐述了元素周期律的要点：①按照原子量的大小排列起来的元素,在性质上呈现明显的周期性.②原子量的大小决定元素的特征.③应该预料到许多未知单质的发现,例如,预料应有类似铝和硅的,原子量位于65～75之间的元素.④已知某些元素的同类元素后,有时可以修正该元素的原子量. 六 高斯（1777年4月30日―1855年2月23日） 德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家.高斯被认为是最重要的数学家,并有数学王子的美誉.高斯的数学研究几乎遍及所有领域,在数论、代数学、非欧几何、复变......>> 问题二：世界历史上最著名的数学家有哪些？ 问题三：世界上有哪些著名的数学家 欧拉 阿基米德 高斯 牛顿 祖冲之 贾宪 杨辉 刘徽 斐波那契 伽利略 毕达哥拉斯 欧几里得 问题四：列举几个世界上有名的数学家 世界著名的数学家 Weierstrass 魏尔斯特拉斯（古典分析学集大成者，德国人） Cantor 康托尔 （Weiestrass的学生， *** 论的鼻祖） Bernoulli 伯努力 （这是一个17世纪的家族，专门产数学家物理学家） Fatou 法都（实变函数中有一个Fatou引理，为北大实变必考的要点） Green 格林(有很多姓绿的人，反正都很牛） S.Lie 李 (创造了著名的Lie群，是近代数学物理中最重要的一个概念) Euler 欧拉（后来双目失明了，但是其伟大很少有人能与之相比） Gauss 高斯（有些人不需要说明，Gauss就是一个） Sturm 斯图谟（那个Liouvel-Sturm定理的人，项武义先生很推崇他) Riemann 黎曼(不知道这个名字，就是说不知道世界上存在着数学家） Neumann 诺伊曼（造了第一台电脑，人类历史上最后一个数学物理的全才） Caratheodory 卡拉西奥多礼（外测度的创立者，曾经是贵族） Newton 牛顿（名字带牛，实在是牛） Jordan 约当（Jordan标准型，Poincare前的法国数学界精神领袖） Laplace 拉普拉斯（这人的东西太多了，到处都有） Wiener 维纳（集天才变态于一身的大家，后来在MIT做教授） Thales 泰勒斯（古希腊著名哲学家，有一个他囤积居奇发财的轶事） Maxwell 麦克斯韦（电磁学中的Maxwell方程组） Riesz 黎茨（泛函里的Riesz表示定理，当年匈牙利数学竞赛第一） Fourier 傅立叶(巨烦无比的Fourier变换，他当年黑过Galois) Noether 诺特（最最伟大的女数学家，抽象代数之母） Kepler 开普勒（研究行星怎么绕着太阳转的人) Kolmogorov 柯尔莫戈洛夫(苏联的超级牛人烂人，一生桀骜不驯） Borel 波莱尔（学过数学分析和实分析都知道此人） Sobolev 所伯列夫（著名的Sobolev空间，改变了现代PDE的写法） Dirchlet 狄利克雷（Riemann的老师，伟大如他者廖若星辰） Lebesgue 勒贝格（实分析的开山之人，他的名字经常用来修饰测度这个名词） Leibniz 莱不尼兹（和Newton争谁发明微积分，他的记号使微积分容易掌握） Abel 阿贝尔（天才，有形容词形式的名字不多，Abelian就是一个） Lagrange 拉格朗日（法国姓L的伟人有三个，他，Laplace，Legendre) Ramanujan 拉曼奴阳（天资异禀，死于思乡病） Ljapunov 李雅普诺夫（爱微分方程和动力系统，但更爱他的妻子） Holder 赫尔得（Holder不等式，L-p空间里的那个） Poisson 泊松（概率中的Poisson过程，也是纯数学家） Nikodym 发音很难的说（有著名的Ladon-Nikodym定理） H.Hopf 霍普夫（微分几何大师，陈省身先生的好朋友） Pythagoras 毕达哥拉斯(就是勾股定理在西方的发现者） Baire 贝尔(著名的Baire纲) Haar 哈尔（有个Haar测度,一度哥廷根的大红人） Fermat 费马（Fermat大定理，最牛的业余数学家，吹牛很牛的） Kronecker 克罗内克（牛人，迫害Cantor至疯人院） E.Laudau 朗道（巨富的数学家，解析数论超牛） Markov 马尔可夫(Markov过程) Wronski 朗斯基（微分方程中有个Wronski行列式，用来解线性方程组的） Zermelo 策梅罗（ *** 论的专家，有以......>> 问题五：世界十大数学家排名的一的是谁 给你复制他人的答案你看下 世界十大科学家 一 牛顿 艾萨克u30fb牛顿爵士,FRS（Sir Isaac Newton,1642年12月25日－1727年3月20日）是一位英格兰物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家和炼金术士.他在1687年发表的论文《自然哲学的数学原理》里,对万有引力和三大运动定律进行了描述.这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点,并成为了现代工程学的基础.他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性,展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律；从而消除了对太阳中心说的最后一丝疑虑,并推动了科学革命. 二 爱因斯阿尔伯特u30fb爱因斯坦 （Albert Einstein,1879年3月14日-1955年4月18日）,举世闻名的德裔美国科学家,现代物理学的开创者和奠基人. 十九世纪末期是物理学的变革时期,爱因斯坦从实验事实出发,重新考查了物理学的基本概念,在理论上作出了根本性的突破.他的一些成就大大推动了天文学的发展.他 的量子理论对天体物理学、特别是理论天体物理学都有很大的影响.理论天体物理学的第一个成熟的方面――恒星大气理论,就是在量子理论和辐射理论的基础上建立起来的.爱因斯坦的狭义相对论成功地揭示了能量与质量之间的关系,解决了长期存在的恒星能源来源的难题.其广义相对论也解决了一个天文学上多年的不解之谜,并推断出后来被验证了的光线弯曲现象. 三 希尔伯特1862～1943 希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一.他领导了著名的格廷根学派,使格廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心,并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家.希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期,每个时期他几乎都集中精力研究一类问题.按时间顺序,他的主要研究内容有:不变量理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础,其间穿插的研究课题有：狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等.在这些领域中,他都做出了重大的或开创性的贡献.希尔伯特认为,科学在每个时代都有它自己的问题,而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义 .四 麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831--1879) 麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究.尤其是他建立的电磁场理论,将电学、磁学、光学统一起来,是19世纪物理学发展的最光辉的成果,是科学史上最伟大的综合之一.他预言了电磁波的存在.这种理论遇见后来得到了充分的实验验证.他为物理学树起了一座丰碑.造福于人类的无线电技术,就是以电磁场理论为基础发展起来的. 五 门捷列夫 门捷列夫的最大贡献是发现了化学元素周期律.今称门捷列夫周期律.1869年2月 ,门捷列夫编制了一份包括当时已知的全部63种元素的周期表(表1).同年3月,他委托N.A.缅舒特金在俄国化学会上宣读了题为《元素的属性与原子量的关系》的论文,阐述了元素周期律的要点：①按照原子量的大小排列起来的元素,在性质上呈现明显的周期性.②原子量的大小决定元素的特征.③应该预料到许多未知单质的发现,例如,预料应有类似铝和硅的,原子量位于65～75之间的元素.④已知某些元素的同类元素后,有时可以修正该元素的原子量. 六 高斯（1777年4月30日―1855年2月23日） 德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家.高斯被认为是最重要的数学家,并有数学王子的美誉.高斯的数学研究几乎遍及所有领域,在数论、代数学、非欧几何、复变......>> 问题六：世界历史上最著名的数学家有哪些？ 问题七：世界上有哪些著名的数学家 欧拉 阿基米德 高斯 牛顿 祖冲之 贾宪 杨辉 刘徽 斐波那契 伽利略 毕达哥拉斯 欧几里得 问题八：历史上最伟大的数学家有哪些 或者 给出top10排名 十大最伟大的数学家 数学，通常又被称作宇宙语言，是我们理解世界的关键。正因如此，从古至今，它在人类的生活中一直起着极其重要的作用。从厨房的水龙头到发送电视节目的卫星，都与数学有着这样那样的关系。伟大的数学家们因此得以在各个行业脱颖而出，在历史长河中镌刻上自己的名字。这个名单记录的正是这样一些人。基于他们的贡献，对其所处时代的影响以及对数学的发展所产生的深远影响，我对他们做出了评价。我建议大家深入地去了解他们的生活，因为他们都是些真正充满魅力的人，他们的发现令人震撼，我在这里无法一一详述。跟往常一样，这个名单是非常主观的，因此请在评论上添加上你们自己的意见。 10. Pythagoras of Samos 萨摩斯岛（希腊爱琴海中的岛屿。――译者注）上的毕达哥拉斯 一些人认为，希腊数学家毕达哥拉斯是最早的伟大数学家之一，生活在公元前570到495年，他因为成立毕达哥拉斯学派而出名。亚里斯多德指出，这一学派是最早积极研究和推动数学发展的团体之一。 此外，勾股定理的发现也使他获得了普遍赞誉。然而，有人对此提出了质疑。有人认为是他的学生，有人认为是300年前居住在印度的包德哈亚那发现的勾股定理。尽管如此，这一定理的影响，和大部分基础数学知识一样，直到如今才被人们普遍感受到。它在现代测量和技术设备上发挥了重大作用，而且也是其他大部分数学领域知识和定理的基础。 但是，与绝大多数古老的理论所不同，它不仅促进了几何学的发展，而且证明了积极研究数学是有价值的尝试。因此，他被称为现代数学的创始人。 9.Andrew Wiles 安德鲁?怀尔斯 在这个名单上，唯一一个至今还活在人世的是安德鲁u30fb怀尔斯。他最著名的成就就是证明了费马最后定理，即在 a^n+b^n=c^n的等式中， 当 n大于2 时，不存在正整数解。（如果n等于2 就是毕达哥拉斯定理）。虽然他对数学所做出的贡献，也许没有名单上其他数学家那么巨大， 但是为了证明这一定理他的确“开创”了很多新的数学运算。而且，很多人都崇拜他的奉献精神，因为为了解出公式，他把自己关了整整7年。当人们发现他的证明存在着一个漏洞时，他又独居了一年，之后他的证明才被世人接受。为了正确理解其论证的开创性，你们可以用一只手数数看，全世界有多少数学家可以在有生之年理解并且验证自己的证明。毫无疑问，这一论证的影响会随着时间的流逝，有增无减（而且越来越多的人能够理解它）。 8.Isaac Newton and Wilhelm Leibniz 艾萨克?牛顿和威廉?莱布尼茨 我把他们放在一起是因为两人都被赠予了现代微积分之父的称号，并且都对这一领域做出了极其巨大的贡献。首先，莱布尼茨常常得到人们的赞扬，因为他推出了现代标准计数法，尤其是积分符号。在拓扑学（研究的是几何形体在连续形变，精确地说，双方一一而且双方连续的变换（称为同胚）之下保持不变的性质。――译者注）领域，他做出了巨大的贡献。而全能天才艾萨克u30fb 牛顿则因为宏伟的科学巨著《自然哲学的数学原理》，被普遍称为“真正微积分之父的最佳人选”。然而，我能说是：他们各自以自己的方式，都为数学做出了巨大贡献。 7.Leonardo Pisano Blgollo 比萨的列奥纳多 比萨的列奥纳多，又称斐波那契，中世纪最伟大的数学家之一，生活于1170年至1250年。他最著名的是将不知名的斐波那契数列引入西方世界。尽管早在公元前200年左右，印度数学家已经发现了数列。但斐波那契数列却是一个非常精辟的数列，经常出现在生物学系统中。 此外，斐波那契在 *** 数字的引入上也做出了巨大......>>

主要还是力学！

上面有图自己看去哦 http://www.ikepu.com/maths/maths_branch/affine_geometry_total.htm射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。射影几何的发展简况 十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。这门几何学就是射影几何学。 基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。 在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。 射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。 笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。 迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理。 帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影几何学中的一条重要定理。1658年，他写了《圆锥曲线论》一书，书中很多定理都是射影几何方面的内容。迪沙格和他是朋友，曾经敦促他搞透视学方面的研究，并且建议他要把圆锥曲线的许多性质简化成少数几个基本命题作为目标。帕斯卡接受了这些建议。后来他写了许多有关射影几何方面的小册子。 不过迪沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积)。但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了。 射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列。他是画法几何的创始人蒙日的学生。蒙日带动了他的许多学生用综合法研究几何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解，不得不重新再做。 1822年，彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作。他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。他通过几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理。稍后，施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形的方法，线素二次曲线概念也是他引进的。为了摆脱坐标系对度量概念的依赖，施陶特通过几何作图来建立直线上的点坐标系，进而使交比也不依赖于长度概念。由于忽视了连续公理的必要性，他建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的一步。 另—方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展。首先是莫比乌斯创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等。接着，普吕克引进丁另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远线的方程，无穷远圆点的坐标。他还引进了线坐标概念，于是从代数观点就自然得到了对偶原理，并得到了关于一般线素曲线的一些概念。 在19世纪前半叶的几何研究中，综合法和解析法的争论异常激烈；有些数学家完全否定综合法，认为它没有前途，而一些几何学家，如沙勒，施图迪和施泰纳等，则坚持用综合法而排斥解析法。还有一些人，如彭赛列，虽然承认综合法有其局限性，在研究过程中也难免借助于代数，但在著作中总是用综合法来论证。他们的努力使综合射影几何形成一个优美的体系，而且用综合法也确实形象鲜明，有些问题论证直接而简洁。1882年帕施建成第一个严格的射影几何演绎体系。 射影几何学的发展和其他数学分支的发展有密切的关系，特别是“群”的概念产生以后，也被引进了射影几何学，对这门几何学的研究起了促进作用。 把各种几何和变换群相联系的是克莱因，他在埃尔朗根纲领中提出了这个观点，并把几种经典几何看作射影几何的子几何，使这些几何之间的关系变得十分明朗。这个纲领产生了巨大影响。但有些几何，如黎曼几何，不能纳入这个分类法。后来嘉当等在拓广几何分类的方法中作出了新的贡献。射影几何学的内容 概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学。 在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。通过同一无穷远点的所有直线平行。 在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。 由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。 射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。 在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。这两个图形叫做对偶图形。在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。这两个命题叫做对偶命题。 这就是射影几何学所特有的对偶原则。在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。 研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。 如果就几何学内容的多少来说，射影几何学< 仿射几何学< 欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。 1872年，德国数学家克莱因在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计划书》中提出用变换群对几何学进行分类，就是凡是一种变换，它的全体能组成“群”，就有相应的几何学，而在每一种几何学里，主要研究在相应的变换下的不变量和不变性。

如何学好数学数学是必考科目之一，故从初一开始就要认真地学习数学。那么，怎样才能学好数学呢？现介绍几种方法以供参考： 一、课内重视听讲，课后及时复习。 新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，庆尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。 二、适当多做题，养成良好的解题习惯。 要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。在平时要养成良好的解题习惯。让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的。 三、调整心态，正确对待考试。 首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。调整好自己的心态，使自己在任何时候镇静，思路有条不紊，克服浮躁的情绪。特别是对自己要有信心，永远鼓励自己，除了自己，谁也不能把我打倒，要有自己不垮，谁也不能打垮我的自豪感。 在考试前要做好准备，练练常规题，把自己的思路展开，切忌考前去在保证正确率的前提下提高解题速度。对于一些容易的基础题要有十二分把握拿全分；对于一些难题，也要尽量拿分，考试中要学会尝试得分，使自己的水平正常甚至超常发挥。 由此可见，要把数学学好就得找到适合自己的学习方法，了解数学学科的特点，使自己进入数学的广阔天地中去。 如何学好数学 学好数学的方法其实跟读其他科目没太大差别，流程上可区分为六个步骤： 1. 预习 2. 专心听讲 3. 课后练习 4. 测验 5. 侦错、补强 6. 回想 以下就每一个步骤提出应注意事项，提供同学们参考。 1. 预 习 : 在课前把老师即将教授的单元内容浏览一次，并留意不了解的部份。 2. 专心听讲: (1)新的课程开始有很多新的名词定义或新的观念想法，老师的说明讲解绝对比同学们自己看书更清楚，务必用心听，切勿自作聪明而自误。 若老师讲到你早先预习时不了解的那部份，你就要特别注意。 有些同学听老师讲解的内容较简单，便以为他全会了，然后分心去做别的事，殊不知漏听了最精彩最重要的几句话，那几句话或许便是日后测验时答错的关键所在。 (2)上课时一面听讲就要一面把重点背下来。定义、定理、公式等重点，上课时就要用心记忆，如此，当老师举例时才听得懂老师要阐述的要义。 待回家后只需花很短的时间，便能将今日所教的课程复习完毕。事半而功倍。只可惜大多数同学上课像看电影一般，轻松地欣赏老师表演，下了课什麼都不记得，白白浪费一节课，真可惜。 3. 课后练习 : (1) 整理重点 有数学课的当天晚上，要把当天教的内容整理完毕，定义、定理、公式该背的一定要背熟，有些同学以为数学著重推理，不必死背，所以什麼都不背，这观念并不正确。一般所谓不死背，指的是不死背解法，但是基本的定义、定理、公式是我们解题的工具，没有记住这些，解题时将不能活用他们，好比医师若不将所有的医学知识、用药知识熟记心中，如何在第一时间救人。很多同学数学考不好，就是没有把定义认识清楚，也没有把一些重要定理、公式”完整地〃背熟。 (2) 适当练习 重点整理完后，要适当练习。先将老师上课时讲解过的例题做一次，然后做课本习题，行有余力，再做参考书或任课老师所发的补充试题。遇有难题一时解不出，可先略过，以免浪费时间，待闲暇时再作挑战，若仍解不出再与同学或老师讨论。 (3) 练习时一定要亲自动手演算。很多同学常会在考试时解题解到一半，就接不下去，分析其原因就是他做练习时是用看的，很多关键步骤忽略掉了。 4. 测验 : (1) 考前要把考试范围内的重点再整理一次，老师特别提示的重要题型一定要注意。 (2) 考试时，会做的题目一定要做对，常计算错误的同学，尽量把计算速度放慢， 移项以及加减乘除都要小心处理，少使用“心算” 。 (3) 考试时，我们的目的是要得高分，而不是作学术研究，所以遇到较难的题目不要 硬干，可先跳过，等到试卷中会做的题目都做完后，再利用剩下的时间挑战难题，如此便能将实力完全表现出来，达到最完美的演出。 (4) 考试时，容易紧张的同学，有两个可能的原因： a. 准备不够充分，以致缺乏信心。这种人要加强试前的准备。 b. 对得分预期太高，万一遇到几个难题解不出来，心思不能集中，造成分数更低。这种人必须调整心态，不要预期太高。 5. 侦错、补强 : 测验后，不论分数高低，要将做错的题目再订正一次，务必找出错误处，修正观念，如此才能将该单元学的更好。 6. 回想： 一个单元学完后，同学们要从头到尾把整个章节的重点内容回想一遍，特别注意标题，一般而言，每个小节的标题就是该小节的主题，也是最重要的。将主题重点回想一遍，才能完整了解我们在学些什麼东西。 如何学好数学 漳州市第三中学 吴坚 一、什么是数学？ 恩格思说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关系。”数学包括纯粹数学、应用数学以及这两者与其它学科的交叉部分，它是一门集严密性、逻辑性、精确性和创造力与想象力于一体的学问，也是自然科学、技术科学、社会科学管理科学等的巨大智力资源。数学具有自己独一无二的语言系统——数学语言，数学具有独特的价值判断标准——独特的数学认识论。数学不仅是研究其它自然科学与社会科学的重要工具，它本身也是一种文化，数学从一个方面反映了人类智力发展的高度。数学有其自身的美，一些从事数学工作的人把数学看作是艺术。然而随着科学的不断发展，数学研究的对象已远远超过一般的空间形式和数量关系。数学的抽象性和应用性向两个极端同时有了巨大的发展。如果把抽象数学看成是“根”，把应用数学看成是“叶”，那么数学已是自然科学中的一棵枝繁叶茂的参天大树。 我们所处的时代是信息时代，它的一个重要特征是数学的应用向一切领域渗透，高科技与数学的关系日益密切，产生了许多与数学相结合的新学科。随着当今社会日益数学化，一些有远见的科学家就曾经深刻指出：“信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争。” 二、数学的应用 数学是科学的“王后”和“仆人”。按一般的理解，女王是高雅。权威和至尊至贵的，是阳春白雪，在科学中只有纯粹数学才具有这样的特点。简洁明了的数学定理一经证明就是永恒的真理，极其优美而且无懈可击。另一方面，科学和工程的各个分支都在不同程度上大量使用数学，享受着数学的贡献。这时数学科学就是仆人，英文书名中servant这个字在英文里有“供人们利用之物，有用的服务工具”的意思。这一提法巧妙地说明了数学在整个科学中的地位和作用，正确认识和理解数学科学的重要性对于发展科学、经济以及教育是十分重要的。 1、数学是其它学科的基础 无论是物理、化学、生物、还是信息、经济、管理等新兴学科甚至于人文学科的学习，数学方法都是必要的基础工具。过去人们一至认为，数学是科学和工程学的通用语言。你要向大家描述你的发现和成果，那么你就必须掌握数学、应用数学。而现在，上至天气预报，下至污水处理，甚至超市进货的周期、数量，公共交通线路的规划、设计都要用到数学。数学建模及相关的计算，正在成为工程设计的关键。就是过去很少用到数学的医学、生物等领域也有了很多的应用。如在心血管病的诊断方面，用上了流体力学的基本方程，做手术前可以用计算机模拟各种情况下可能出现的结果，作为诊断参考；神经科用数学来分析各种节律等。在生物DNA的研究中也大量地应用了数学知识，其双螺旋结构就是与几何相关的问题。 2、数学在其它领域的应用 20世纪最大的科学成就莫过于爱因斯坦的狭义和广义相对论了，但是如果没有黎曼于1854年发明的黎曼几何，以及凯莱，西勒维斯特和诺特等数学家发展的不变量理论，爱因斯坦的广义相对论和引力理论就不可能有如此完善的数学表述。爱因斯坦自己也不止一次地说过这一点。 计算的技艺——数值分析以及运算速度的问题（计算机的制造），牛顿、莱布尼兹、欧拉、高斯都曾给予系统研究，它们一直是数学的重要部分。在现代计算机的发展研制中数学家起了决定性的作用。莱布尼兹，贝巴奇等数学家都曾研制过计算机。20世纪30年代，符号逻辑的研究十分活跃，丘奇，哥德尔，波斯特和其他学者研究了形式语言。经过他们以及图灵的研究工作；形成了可计算性这个数学概念。1935年前后，图灵建立了通用计算机的抽象模型。这些成果为后来冯·诺伊曼和他的同事们制造带有存储程序的计算机，为形式程序的发明提供了理论框架。 表面看来，数学与人文科学，社会科学联系并不是很紧密，毕竟一位作家没有必要绞尽脑汁去证明哥德巴赫猜想，一位画家不需要懂得微积分的知识，实际上，人文科学也是不能脱离数学的，作为理性基础和代表的数学思想方法，数学精神被人们注入文学、艺术、政治、经济、伦理、宗教等众多领域。 数学对社会科学、人文科学的作用，影响主要不是很直观的公式、定理，而是抽象的数学方法和数学思想，其中最突出的莫过于演绎方法，亦即演绎推理，演绎证明，就是从已认可的事实推导出新命题，承认这些作为前提的事实就必须接受推导出的新命题。哲学上，研究一些永恒的话题，诸如生与死等，这些课题是无法用简单归纳（反复试验法），类比推理来研究的，只能求助于数学方法——演绎推理。类似的例子还有很多，数学在一定程度上影响了众多哲学思想的方向和内容，从古希腊的毕达可拉斯学派哲学到近代的唯理论，经验论直到现代的逻辑证实主义，分析哲学等，都可以证明这一点。 数学还对音乐，绘画，语言学研究，文学批评理论产生了一定的影响。 在音乐方面，自从乐器的弦长和音调之间存在密切关系的事实被发现后，这项研究就从来没有中止过，美学上对黄金分割的研究也是一个不可或缺的话题。文艺复兴以前，绘画被看作同作坊工人一样低贱的职业，文艺复兴开始以后，画家们开始用数学原理如平面几何、三视图、平面直角坐标系等指导绘画艺术，达芬奇的透视论就是一个突出的例子（借助平面几何知识，达到绘画上所追求的视觉效果——远物变近，小物变大），从此，绘画步入了人类艺术的殿堂。 从实际应用来看，许多社会科学，人文科学也离不开数学。 在研究历史，政治时，用到最多的方法就是统计，统计学在问世之初就被称作政治数学，可见其地位之尊宠。 历史学的一大分支考古学更是离不开数学，如三角计算、指数函数、对数函数等。考古离不开物理，化学方法，但这两门学科缺少了作为工具的数学，将一无是处。 很多高中数学知识，如集合、映射、加法原理、乘法原理等在日常的工作和生活学习中“经常被用到”，而如概率分析、函数的极值与导数问题虽然在人们的日常生活中并不那么普遍，但却在现代经济发展中起着举足轻重的作用。 例如概率分析，也是应用数学的一门基础学科，它能通过研究各种不确定因素发生不同幅度变动的概率分布及其对方案的经济效果的影响，对方案的净现金流量及经济效果指标作出某种概率描述，从而能够对方案的风险情况作出比较准确的判断。因此，在实际工作中，如果能通过统计分析给出在方案寿命期内影响方案现金流量的不确定因素可能出现的各种状态及其发生概率，就可能过对各种因素的不同状态进行组合，求出所有可能出现的方案净现金流量序列及其发生概率，就可计算出方案的净现值、期望值与方差。 为了适用经济高速发展的需要，高中数学中相应加强函数内容的教学，增加概率统计、线性规划、数学模型等内容。 （接第75期） 3、学习数学的目的 作为一门基础学科，学数学不一定要成为数学家，更重要的是培养人的数学观念和数学思想，培养人解决数学问题的能力。数学的重要性不仅体现在数学知识的应用，更重要的是数学的思维方式。它对培养人的思维、创新、分析、计算、归纳、推理能力都有好处。学生进入社会后，也许很少直接用到数学中的某个公式和定理，但数学的思想方法，数学中体现出的精神，却是他终身受用的。 数学的思考方式有着根本的重要性。简言之。数学为组织和构造知识提供方法。一旦数学用于技术，它就能产生系统的、可再现的并能传授的知识。分析、设计、建模、模拟和应用便会成为可能,变成高效的富有结构的活动。也就是说能转化为生产力。但是，50年前数学虽然也直接为工程技术操供—些工具，但基本上是间接的。先促进其他科学的发展，再由这些科学提供工程原理和设计的基础。现在，数学和工程之间在更广阔的范围内和更深的层次上，直接地相互作用着，极大地推动了数学和工程科学的发展，也极大地推动了技术的进步。 20世纪后半叶最重要的科技进展之?是计算机、信息和网络技术的迅速发展。我们仅就计算机的运算速度来看，1946年公开展示的第一台计算机电子数学积分计算机的运算速度是每秒符点运算5，000次；现在已经达到每秒符点运算100亿次，据专家估计到2010年可达到一万亿次。可以想象现在计算机能完成的工作和50年前相比简直是不可同日而语。用来描述、研究各种实际问题产生了许许多多的数学模型。有的能求解出来，就能不同程度地解决问题。然而，当时算不出来、或者不能及时算出来，也就不能解决问题。现在，计算速度等技术指标在某种意义下远远走在前面了。数学建模和与之相伴的计算正在成为工程设计中的关键工具。科学家正日益依赖于计算方法。而且在选择正确的数学和计算方法以及解释结果的精度和可靠性方面必须具有足够的经验。我们看到的是各行各业都在大量应用数学和计算机等技术，通过数学建模、仿真等手段解决问题，并且把解决同类问题的方法和成果制作成软件（它们甚至是相当傻瓜化的），并进行销售。人们看到的正是这种数学应用大发展的景象，更确切地说是美国科学基金会数学部主任在评论数学科学成为五大创新项目之首时所说的，“该重大创新项目背后的推动力就是一切科学和工程领域的数学化。”当然也有不同认识，也有人认为不需要懂得很多数学，只要会用软件就行了。也有人认为现在不需要发展基础数学了，只要通过数学建模和计算加上物理的直观就可以解决问题了。特别是，有人认为现在的学生不需要那么多的数学了。这实在是极大的误解。 三、中学阶段如何提高数学成绩 1、培养兴趣，带好奇心学习。 学数学要爱数学。数学是美丽的，它的美体现在结论的简单明确，它是一种理性美和抽象美。数学就像一个花园，没进门时看不出它的漂亮可一旦走进去，就会感觉它真美。许多数学家都把兴趣放在学好数学的首要位置。其次是好奇心,学数学要有想法，要敢于去猜想，要带着好奇心去学数学。要从解题过程找乐趣，找成就感。只要好奇心和求知欲变成了解决问题的渴求，就能自觉的提高运用数学知识真正去解决问题的能力。只有对学习数学充满了乐趣，才能更自觉地学习和研究数学。 2、仔细看书，弄懂数学语言。 不爱读数学教科书，是中学生的“通病”。数学教科书是用数学语言写它成包括文字语言、符号语言、图形语言。它语言简洁、逻辑性强、内涵丰富、含义深刻，因而看数学教科书切不可浮光掠影，一目十行。 数学概念、定义、定理等都用文字语言表述，看书时务必留心。预习时要做到“五要”：①要用波浪线划出重点；②要将公式及结论做记号；③要在看不懂、有疑问的地方用铅笔画问号；④要将简单习题的答案、解题要点写在后面；⑤如果定义、定理中的条件不止一个，就要把条件编上号码。 符号语言有丰富的内涵，要写得出，辩得清、记得牢。读符号语言，要说得出它的涵义，辩得明它的特征。 图形语言既能反映元素的相对位置，又是数量关系的直接反映。因而观看几何图形时要读懂隐藏在图形元素之间的内在联系及数量关系；而观看图像，要从其形状窥视出函数的性质。 如果课前、课后阅读数学书能达到上述要求，学数学也就入门了；若由此养成读书的良好习惯，提高成绩则指日可待。 3、认真听课，掌握思维方法。 听课要全神贯注，随着老师的讲解积极思维。预习时似懂非懂的概念弄明白了么？疑团化解了么？老师口授的真知灼见、补充的例题、精彩的解法，要抓紧记录下来。写好听课笔记，不但留下一份宝贵的资料，而且也能促使自己注意力集中。 听课时还要做到不断生疑、质疑，敢于提问、答问。要想想老师的讲解是否完整无误，解法是否严谨无瑕。板书的范例如果懂了，就应思谋新的解法；如果有疑点就应大胆质疑。争着回答问题绝不是“图表现”，而是阐述自己的见解，提高自己的口头表达能力。即使自己回答错了，将问题暴露后，也便于订证。听课最忌盲从，随波逐流，人云亦云，不懂装懂。 4、独立钻研，学会归纳总结。 养成良好的独立钻研学习的习惯必须做到： ①按时完成作业，巩固所学知识。作业惟有按时完成，才能得以巩固知识，尽量减少遗忘。而在完成作业的过程中，将增大知识复现率，促进自己的思考力，发挥解决问题的创造力。 善于学习的同学还应注意作业的保洁与收藏，因为这既是珍视自己的劳动成果，也是很好的复习资料。 ②适时复习功课，形成知识网络。章节复习、单元复习、迎考复习等是数学学习不可或缺的一部份，它有承前启后的作用。复习时应按照一定的系统归纳总结知识，总结方法，形成数学的“经纬网”。这里的“经”指的是数学的各个分支的知识；“纬”指的是相同的数学方法在不同分支中的应用。要想学好数学就必须织好数学的“经纬网”。 ③应注重书写的规范化。数学学科是一门专业性很强的学科，它对表达、叙述的过程，符号使用的规定都有严格的要求。因而在做练习、作业、考试时书写都应规范化。 ④运用所学知识，不断开拓创新。数学有很强的联贯性，新旧知识之间并没有不可逾越的鸿沟。因此借书本知识，进行联想，不但可以增强钻研兴趣，而且能培养自己的创造性思维能力。 注意了以上几种做法，不但可以巩固原有的知识，而且扩展了自己的知识领域，沟通了数学知识之间的内在联系。有了良好的钻研习惯，定能学好数学。