概率统计及其应用的目录

对于随机变量而言，每一个值都对应着试验中发生的一个概率，记为 ，离散型随机变量的取值范围是有限可列的，因此，随机变量的 个取值就有 种概率。那么，好事者需要知道这个随机变量所有的取值，就诞生了 分布律 的概念。 在进行随机试验的结果中，第一次试验的结果可能不尽人意，因此你想要尝试再试一次，直到。。。10次投掷之后，你仍然在大本营里转悠，回头看看这10次试验的所有结果，你发现，在这10次结果中，你的点数是这样的： 看了这10次的结果，你需要尽快出门，于是修改了规则： 不需要扔到6点，只要扔到点数小于 4即可，这样的话，小于 任意一个实数 的所有可能性之和，称作为 分布函数 。通俗的说，就是研究的目标从一个点变成了一个 范围 。那么，用数学公示表达就是： ，在你的提议中， 。你能够大本营离开的几率从原来的 ；提升到了 。 这个标题应该划分成：随机变量 / 的函数 / 的分布函数。 依旧是飞行棋，你的对手一听，小于4点你就能走了？为了尽可能保证自己的优势，又防止你放弃游戏，就说，这样吧，你 投的点数的平方小于6，你才能走 ，这样的话，"投的点数的平方" 就是一个随机变量的函数，即 ，那么这样的话： 你朋友的内心OS：1/2太大了，整小点，我可能会多走几步。于是乎就有了 你终于出门了，但是发现对手已经跑完半圈了，这个时候，他提议要不然玩点刺激的：在掷骰子之前，先掷硬币，正面向上，你掷骰子的点数翻倍，若是硬币反面朝上，你掷骰子的点数是多少，你后退多少步。 同样的 那么，在二维连续型随机变量中，两个随机变量共同决定的概率密度，叫做 联合概率密度 。我要 求边缘概率密度 怎么办？以 为例，随机变量 的概率密度和 没有关系，那就把令关于 部分的和为1就好了，也就是求 联合概率密度对 求积分。 更进一步地想， 联合分布函数（二维） 是对随机变量 和 在内的积分，也就是说，其实就是两个实数： 在 平面上圈了一块地，现在要在这块地上建一个房子。 这个房子有两个要求： 那么两个随机变量的函数的分布又是一个什么鬼？ 两人按照要求盖好了房子，准备入住，另一个随机变量 过来说，我也要盖房子，给我一点建议吧。我呢，你们俩凑合凑合就可以伪装成我，即： 说白了， 就是在 原有 基础上 ，加了一点点限制，比如若 ，限制为 ；若限制关系为： ，则有 。 既然多了限制， 的取值范围就要做出相应的调整。 需要注意的点有：

X表示随机变量，在这里可以取0、1、2、3、...、n意思是在n次试验中某一结果出现了X次，B表示二项分布。n表示一共做了n次重复的二项实验（只有两种结果的实验）。P表示在一次二项试验中某一结果出现的概率。0—1分布，数学期望p 方差p(1-p)；二项分布(贝努里概型)，数学期望np 方差np(1-p)；泊松分布，数学期望λ 方差λ；均匀分布，数学期望(a+b)/2 方差[(b-a)^2]/12；指数分布，数学期望1/λ 方差1/λ^2；正态分布，数学期望μ 方差σ^2；标准正态分布，数学期望0 方差1。

你说的这种现象也称为再生性，即相互独立的两个同类型随机变量之和仍服从同一类型的分布。在常用的的分布中满足再生性的如下（均设X，Y独立），注意有些只对一个参数满足再生性：二项分布：X~B(m, p),Y~B(n, p)，则X+Y~B(m+n, p)泊松分布：X~P(λ1),Y~P(λ2)，则X+Y~P(λ1+λ2)正态分布：X~N(μ1, (σ1)^2),Y~N(μ2, (σ2)^2)，则X+Y~N(μ1+μ2, (σ1)^2+(σ2)^2)Γ分布：X~Γ(λ, r1),Y~Γ(λ, r2)，则X+Y~Γ(λ, r1+r2)(卡方分布是特殊的Γ分布，也满足再生性)请采纳，谢谢！

设 是一个随机试验，它的样本空间是 ，设 和 是定义在 上的随机变量，它们构成的向量 称为 二维随机向量 或 二维随机变量 假如 是二维随机变量，对于任意实数 二元函数： 称为 二维随机变量 的 分布函数 ，或称为随机变量 和 的 联合分布函数 随机点 落在矩形区域 的概率为 类似地，如果二维随机变量 所有可能取值是 有限对 或 无限可列对 ，则称 是 离散型的随机变量 ，假如 所有可能取的值为 ，我们称之为随机变量 和 的 联合分布律 ,此时 ，又由概率定义知： 假如对于随机变量 的分布函数 ，存在非负函数 使对于任意 有 ，那么 是 连续型的二维随机变量 ，函数 则是其 概率密度 ，或说是随机变量 的 联合概率密度 ，根据有关定义，有： 对于二维随机变量 来说， 都有各自的分布函数，记作 ,并将之称为分别关于 的 边缘分布函数 : ,对于 ，同理。 易知对于 离散型随机变量 ： 可求得 的分布律： ， 即关于随机变量 的 边缘分布 对于连续型随机变量 : ,可求概率密度： , ，此概率密度称为 边缘概率密度 设 是 二维离散型随机变量 ，对于固定的 ,若 ,则说： 为在 条件下随机变量 的 条件分布律 设 是 二维连续型随机变量 ，概率密度为 ,关于 的边缘概率密度为 ,对于固定的 , ，则称: 为在 条件下 的 条件概率密度 ，进一步： 为 条件分布函数 若二维随机变量 概率密度为 ,其中· 为是平面上的有界区域，其面积为 ，则称随机变量在 上服从 均匀分布 。 对于任意 ，假如有以下式子成立： ，即 ，则说随机变量 与 是 相互独立 的，或者连续型随机变量对应等式 成立时，离散型随机变量对应等式： 成立时。 若 是二维连续型随机变量且其概率密度为 ，则 仍为连续型随机变量，概率密度为: 或 如果 相互独立，那么 ,此公式亦称 卷积公式 若 是二维连续型随机变量且其概率密度为 ，则 仍为连续型随机变量，概率密度分别为： 如果 相互独立,那么 相互独立，则： 推广到 个相互独立的随机变量：

随机变量及其分布这一部分在高中数学内容里虽是重点但不是难点。我上了大学现在还在学它。高中的随机变量及其分布在很多省市的高考卷中有一道大题。我觉得最好的方法就是背公式然后做题，离散型随机变量有规律可循。如果硬要说有难点的话就是在算每个离散值的概率上，可能要用到一些公式，什么C啊A啊的，这些很容易出错。至于后面求期望什么的，关键点在于计算正确。想要踏实的学习它，我觉得最速成的方法就是做题，直接做高考题，做多了就有规律了，公式也能熟练应用了。

1、设离散型随机变量x的分布律如下，求a的值。阿P｛Xx｝（k1.2，，n，）kk！ a解：由性质2，我们有，而 1k1k！ a1 1 a a 1 a（e1）k1k！k1k！ k0k！则有等式a（e-1）1，解得a 1/（e-1）例2设一辆汽车在开往目地的的道路上需经过两组信号灯，每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的）求X的分布律与分布函数解以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率易知X的分布律为X012概率p（1 p）p（1 p）2将p1/2代入表格，我们有X012概率0.5 0.25 0.25下面求X的分布函数F（x）当0<x<2时，｛X<x｝等同于｛X0或X1｝，因此F（x）P｛X0｝+P｛X1｝0.5+0.25 0.75当2<x时｛X<x｝是必然事件，因此F（x）1。综合起来，F（x）的表达式为：0，x 0，0.5，0 x 1，F（x）0.75，1 x 2，1，x 2例3如上图所示.电子线路中装有两个并联的 继电器.假设这两个继电器是否接通具有随机 性，且彼此独立.已知每个电器接通的概率为0.8，记X为线路中接通的继电器的个数.

在许多实际问题中，需要使用多个随机变量来描述随机现象，如天气预报包括：空气质量、天气实况、温度、降水等，需要多个随机变量。 多维随机变量的研究方法和二维随机变量的研究思想及方法相同，为简便起见，着重介绍二维随机变量。 二维随机变量的定义 ： 可以说二维随机变量 是一个特殊的二元函数，其定义域为样本空间 ，值域 。很重要的一点是首先确定其值域。 n维随机变量的定义 : 联合分布函数 ： n维分布函数 : 定理1 联合分布函数的性质： 二维随机变量也分为离散型和非离散型，如果它取值于平面上的一些离散的点，就称为二维离散型随机变量。下面两图分别给出二维离散型和连续型随机变量的概率分布。 二维离散型随机变量 的定义：二维随机变量 仅可能取有限个或可列无限个值。 联合分布律 的定义: 二维连续型随机变量及其联合密度函数 定义： n维连续型随机变量及其联合密度函数 ： 联合密度函数具有非负性和规范性。 二维均匀分布 的定义： 如果已知二维随机变量 的联合分布，那么 其中一个随机变量的分布 肯定能够得到，其分布我们称为 边缘分布 。 边缘分布函数的定义 ： 边缘分布律 ： 由定义知，求 的边缘分布律即为求 联合分布律表格中的行和;求 的边缘分布律即为求 联合分布律表格中的列和。 因为边缘分布律位于 联合分布表格的边缘 ，所以称其为边缘分布律。 边缘密度函数的定义 ： 若已知联合密度函数，边缘密度函数可以直接由定义公式计算得到；若已知联合分布函数，首先计算边缘分布函数，再对边缘分布函数求导得到边缘密度函数。 无论使用哪种方法，首先要确定随机变量的值域，值域之外密度函数都为0。 二维正态分布的边缘仍是正态分布 定理： 将相互独立性的概念推广至随机变量： 随机变量相互独立 的定义： 二维离散随机变量相互独立 定理： 二维连续随机变量相互独立 定理： 二维正态分布随机变量相互独立 ：相关系数为0 推广到n维的相互独立 ： 实际工作中我们需要考虑这样的问题：当一个随机变量的取值确定时，另外一个随机变量的取值规律如何。如新生男婴的身高和体重分别用 和 表示。讨论当男婴身高为50cm时，男婴体重的分布规律。这需要引入条件分布才能计算。 在给定条件 下随机变量 的条件分布律定义： 二维连续型随机变量的密度函数 的定义与二维离散型随机变量的条件分布律类似。 条件密度函数的直观解释： 条件分布函数的定义 ： 将条件密度函数积分即可。 和离散型情形相类似，知道X的边缘密度函数及X取任一个固定值时Y的条件密度函数，则可唯一地确定联合密度函数。 如计算Z=X+Y的分布。 结论： 特别地有以下结论： 由该结论可知，相互独立的成功概率相同的二项分布之和仍服从二项分布，相互独立的泊松分布之和仍服从泊松分布。这称为：该分布具有可加性。这里要求随机变量相互独立。 和一维连续型随机变量函数的分布计算方法类似，可采用分布函数法计算二维连续型随机变量函数的分布。这种计算方法称为 分布函数法 。 定理法 ： 二维正态分布 ： 最大值、最小值分布函数 定理（可由分布函数的定义、相互独立型得到）： 指数分布的最小值不变性 ：指数分布的最小值仍服从指数分布。

我猜你想问这个： 随机事件A服从B（n,p）,要求n次试验事件A发生的概率 利用对立事件的关系,P(n次试验事件A发生的概率)=1-P(n次试验事件A都不发生的概率) P(n次试验事件A都不发生的概率)=每次事件A都不发生=（事件A不发生）^n 结果就是 1-（1-p）^n 就是这么推出来的,

定义3.1.1 设 是二维随机向量，对于任意实数x，y，称二元函数 为 的分布函数 性质 二维离散型随机向量 定义3.2.1 设二维离散型随机向量 所有可能的取值为 显然有： 二维连续型随机向量 定义3.3.1 对于二维随机向量 为其分布函数，若存在非负函数 使得对任意实数x,y总有 则称(X,Y)是二维连续型随机向量，称 为二维随机向量(X,Y)的概率密度函数，简称概率密度 性质 记 有 由上可得：

连续型随机变量与离散型随机变量相比，其概率分布最大的不同是连续型随机变量是在某个区间内连续取值，并且可以认为其取得某个具体数值的概率为 0。正因为如此，在讨论连续型随机变量的概率分布时，我们更关心的是它在某一个区间上的概率密度函数 Probability Density Function，依然用 u0192(x) 表示，这个函数在某个区间上的积分则对应随机变量的取值落在这个区间的概率。 如果一个随机变量在一个区间 [a，b] 内取得任意一个值的概率相同，则可以称这个随机变量在此区间上服从均匀分布，其概率密度函数可以定义为： 由上式可知，其概率密度函数与取值区间实际上构成了一个面积为 1 的矩形，而高度则是宽度的倒数，在考虑某个区间内取值的概率时，只需要计算这个区间对应的矩形面积即可： 连续型随机变量的期望和方差同离散型随机变量定义相同，但需要通过积分进行计算： 正态分布是现实世界中最为常见的一种分布形态，其钟形的曲线直观的表明了随机变量的取值围绕均值的分布形态：在均值附近取值的概率最高，偏离均值越远的位置取值的概率越低。考虑到正态分布的多见，可以将这个“正态”理解为正常状态下的随机变量的分布，其他的可以认为是特例。 其概率密度函数为： 在一个正态分布中，曲线最高点的横坐标为均值，即均值决定了分布的位置，而标准差则决定了曲线是否扁平或者瘦长：标准差越大，取值离散程度越高，也即相对均值偏离的程度越高，对应的曲线也越扁平，反之亦然。 将均值为 0，方差为 1 的正态分布称为标准正态分布，为了表明其特殊性，通常用 z 来表示遵循这个分布的随机变量，这个 z 也就是之前定义的标准值 z-score： z i = (x i - μ) / σ 因此标准正态分布的概率密度函数相应的可以变为： 由于标准正态分布的概率分布只取决于 z 值，因此可以利用已经计算好的标准正态分布表来查找对应某个 z 值区间内的概率。更进一步地，标准值 z 除了可以在任意形态的分布中描述随机变量的某一个取值在所有可能取值中的相对位置外，其更为重要的意义是对于任意的一个正态分布来说，都可以通过计算 z 值来借助标准正态分布表来辅助计算概率。 例如，对于一个 μ = 10，σ = 2 的正态分布，如果想知道随机变量的取值在 10 ≤ x ≤ 14 这个范围内的概率，其计算方式为： 在 离散型随机变量及其分布 中提到二项分布是对一个单次试验只有两个取值且取值概率 p 稳定不变的多次独立重复试验，借此考察结果中出现 x 个概率为 p 的项的概率 P(x) = u0192(x) = p x (1-p) n-x n! / [x!(n - x)!]。从这个计算公式可看出，当 n 非常大时，手动的计算阶乘是十分困难的。此时若 np ≥ 5 且 n(1 - p) ≥ 5 时，可以采用正态分布来近似计算二项分布，且在正态分布中 μ = np，σ 2 = np(1 - p)。 对于图中这个例子，如果想知道 x = 12 这个离散型随机变量的概率，则可以转化为计算正态分布中 P(11.5 ≤ x ≤ 12.5) 这个连续性随机变量的概率，其中 0.5 为保证正态分布计算的是一个区间值而采用的连续修正系数 continuity correction factor。进一步地，可以再通过将正态分布标准化为标准正态分布来计算这个概率。这一近似对于计算 x 小于等于某个数值时更为简便，可以省略逐个计算再加和的过程，例如如果想计算 x &le 13; 的概率则可以直接计算正态分布中 P(x ≤ 13) 的概率。 指数分布希望了解对于在单位时间内具有一定发生频次 λ 的某个事件来说 t 时间内发生的概率，或者说发生的时间间隔最多为 t 的概率。其概率密度函数为 通过积分计算可知，相应的概率为 P(x ≤ t) = 1 - e -λt ，其中 t ≥ 0。 由于泊松分布描述的某个具有一定发生频率 λ 的事件 t 时间内发生 x 次的概率，对应同一事件的指数分布则描述的是这个事件两次发生的时间间隔最高为 t 的概率，所以指数分布的概率计算也可以通过泊松分布来计算：即可以将这个概率描述为 1 减去 t 时间内发生次数为 0 的概率 u0192(0) = (λt) 0 e -λt / 0! = e -λt 。 通过积分计算可知，对于指数函数来说其期望和标准差相等，均为 1 / λ。 我写这个笔记是为了系统的复习概率论中的一些概念，阅读的是 Statistics for Business and Economics, 12th Edition 英文原版，这是一本非常经典的参考书，毫无保留的满分推荐。尽管书名暗示了是在商业和经济学中的统计学，但根本的统计学知识是不变量，并且和很多优秀的原版书一样，作者时刻注意用实例来讲解统计学概念，基本上每一个新的概念的定义都建立在日常生活的实例的基础上，在此基础上还保留了精美的排版和精心设计的插图，十分便于理解。

这是 概率论 的习题吧

概率论知识点总结 　　概率论需要学生们对于概率概念的熟悉，而知识点一般不算十分的难。下面概率论知识点总结是我想跟大家分享的，欢迎大家浏览。 　　概率论知识点总结 　　第一章 概率论的基本概念 　　1. 随机试验 　　确定性现象：在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。 　　随机现象： 在个别实验中呈现不确定性，在大量实验中呈现统计规律性，这种现象称 　　为随机现象。 　　随机试验：为了研究随机现象的统计规律而做的的实验就是随机试验。 　　随机试验的特点：1)可以在相同条件下重复进行; 　　2)每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能 　　结果; 　　3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会先出现; 　　2. 样本空间、随机事件 　　样本空间：我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。 样本点：构成样本空间的元素，即E中的每个结果，称为样本点。 　　事件之间的基本关系：包含、相等、和事件(并)、积事件(交)、差事件(A-B：包含A 　　不包含B)、互斥事件(交集是空集，并集不一定是全集)、对立 　　事件(交集是空集，并集是全集，称为对立事件)。 　　事件之间的运算律：交换律、结合律、分配率、摩根定理(通过韦恩图理解这些定理) 　　3. 频率与概率 　　频数：事件A发生的次数 　　频率：频数/总数 　　概率：当重复试验的次数n逐渐增大，频率值就会趋于某一稳定值，这个值就是概率。 概率的特点：1)非负性。2)规范性。3)可列可加性。 　　概率性质：1)P(空集)=0，2)有限可加性，3)加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B) 　　-P(AB) 　　4. 古典概型 　　学会利用排列组合的知识求解一些简单问题的概率(彩票问题，超几何分布，分配问题， 　　插空问题，捆绑问题等等) 　　5. 条件概率 　　定义：A事件发生条件下B发生的概率P(B|A)=P(AB)/P(A) 　　乘法公式：P(AB)=P(B|A)P(A) 　　全概率公式与贝叶斯公式 　　6. 独立性检验 　　设 A、B是两事件，如果满足等式 　　P(AB)=P(A)P(B) 　　则称事件A、B相互独立，简称A、B独立。 　　第二章.随机变量及其分布 　　1. 随机变量 　　定义：设随机试验的样本空间为S={e}. X=X(e)是定义在样本空间S上的单值函数，称 　　X=X(e)为随机变量。 　　2. 离散型随机变量及其分布律 　　三大离散型随机变量的"分布 　　1)(0——1)分布。E(X)=p, D(X )=p(1-p) 　　2)伯努利试验、二项分布 E(X)=np, D(X)=np(1-p) 　　3) 泊松分布 P(X=k)= (?^k)e^(- ?)/k! (k=0,1,2,u2026u2026) 　　E(X)=?，D(X)= ? 　　注意：当二项分布中n 很大时，可以近似看成泊松分布，即np= ? 　　3. 随机变量的分布函数 　　定义：设X是一个随机变量，x是任意的实数，函数 　　F(x)=P(Xu2264x),x属于R 称为X的分布函数 　　分布函数的性质： 　　1) F(x)是一个不减函数 　　2) 0u2264F(x)u22641 　　离散型随机变量的分布函数的求法(由分布律求解分布函数) 　　连续性随机变量的分布函数的求法(由分布函数的图像求解分布函数，由概率密度求 　　解分布函数) 　　4. 连续性随机变量及其概率密度 　　连续性随机变量的分布函数等于其概率密度函数在负无穷到x的变上限广义积分 相反密度函数等与对应区间上分布函数的导数 　　密度函数的性质：1)f(x)u22650 　　2) 密度函数在负无穷到正无穷上的广义积分等于1 　　三大连续性随机变量的分布: 1)均与分布 E(X)=(a+b)/2 D (X)=[(b-a)^2]/12 　　2)指数分布 E(X)=u03b8 D(X)=u03b8^2 　　3)正态分布一般式(标准正态分布) 　　5. 随机变量的函数的分布 　　1)已知随机变量X的 分布函数求解Y=g(X)的分布函数 　　2)已知随机变量X的 密度函数求解Y=g(X)的密度函数 　　第三章 多维随机变量及其分布(主要讨论二维随机变量的分布) 　　1.二维随机变量 　　定义 设(X，Y)是二维随机变量，对于任意实数x, y,二元函数 　　F(x, Y)=P[(Xu2264x)交(Yu2264y)] 称为二维随机变量(X，Y)的分布函数或称为随机变量联合分布函数 　　离散型随机变量的分布函数和密度函数 　　连续型随机变量的分布函数和密度函数 　　重点掌握利用二重积分求解分布函数的方法 　　2.边缘分布 　　离散型随机变量的边缘概率 　　连续型随机变量的边缘概率密度 　　3.相互独立的随机变量 　　如果X，Y相互独立，那么X，Y的联合概率密度等于各自边缘的乘积 　　5. 两个随机变量的分布函数的分布 　　关键掌握利用卷积公式求解Z=X+Y的概率密度 　　第四章.随机变量的数字特征 　　1.数学期望 　　离散型随机变量和连续型随机变量数学期望的求法 　　六大分布的数学期望 　　2.方差 　　连续性随机变量的方差 　　D(X)=E(X^2)-[E (X )]^2 　　方差的基本性质： 　　1) 设C是常数，则D(C)=0 　　2) 设X随机变量，C是常数，则有 　　D(CX)=C^2D(X) 　　3) 设X，Y是两个随机变量，则有 　　D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))} 特别地，若X，Y不相关，则有D(X+Y)=D(X)+ D(Y) 切比雪夫不等式的简单应用 　　3. 协方差及相关系数 　　协方差：Cov(X ,Y )= E{(X-E(X))(Y-E(Y))} 　　相关系数：m=Cov(x,y)/u221aD(X) u221aD(Y) 　　当相关系数等于0时,X,Y 不相关，Cov(X ,Y )等于0 不相关不一定独立，但独立一定不相关 ;

1）f(x,y)在x>0,y>0区域上的二重积分等于1，即可求出A；2）联合分布分数就是f(x,y)在二重积分（变上限积分）；3）f(x,y)在相应区域上的二重积分即为所求概率。这个输入框无法输入数学符号，只能用语言描述，见谅。

随机变量包括离散型与连续型两种，如果事件的结果能够列出来就就是离散型，反之就是连续型，比如一天的温度变化[12度,25度]是一个连续变化的过程，不能一一列举出来，就是一个连续型的随机变量。相应的例子还有人一生的身高等等。而射击中标次数则是一个离散型的。

什么是概率的统计定义,其适用条件是什么答一个随机事件A发生可能性的大小称为这个事件的概率，并用P(A)表示。概率是一个介于0到1之间的数。概率愈大，事件发生的可能性就愈大；概率愈小，事件发生的可能性就愈小。确定一个事件的概率有几种方法，即概率的统计定义。

1、第一次调整后 废品率已经为p=0.1正品为0.9 设想两个箱子一个放正品的A箱，一个放废品的B箱容量无限先拿第1个，如果放入A 0.9 一个正品再拿第2个，放入A (0.9)^2 二个正品3，(0.9)^3 三个正品…… (0.9)^k k个正品一直到废品的出现才终止 (0.9)^k×0.1一共k个正品3、第三题等待高手解答。。。俺不会

求P(Y≤X)，首先Y≤X在平面中就是直线y=x下面的部分,比如(2,1)满足Y≤X，并且在直线y=x下面。此时求积分就是求在直线y=x下面部分的积分，其实就是满足Y≤X。因为原来密度函数的定义域是x>0,y>0，所以约束条件就是一个三角形区域，x>0,y>0,y≤x.所以如果先对y积分时的上下限就是0到x,再对x积分的上下限是0到正无穷，如果先对x积分时的上下限就是y到正无穷（因为y≤x）,再对y积分的上下限是0到正无穷，

书名：概率论与数理统计ISBN:781082443作者：甘健胜编出版社:北方交通大学出版社定价：28页数:327出版日期：2005-1-1版次:1开本：16开 第1章随机事件及其概率1. 1随机事件1. 1. 1随机现象1. 1. 2随机事件1. 1. 3事件的集合表示与图示1. 1. 4事件之间的关系及其运算思考与练习1. 2概率1. 2. 1概率的古典定义1. 2. 2概率的几何定义1. 2. 3概率的统计定义思考与练习1. 3概率的加法法则1. 3. 1狭义加法法则1. 3. 2广义加法法则思考与练习1. 4条件概率与乘法法则1. 4. 1条件概率1. 4. 2乘法法则思考与练习1. 5全概率公式与贝叶斯公式1. 5. 1全概率公式1. 5. 2贝叶斯公式思考与练习1. 6独立试验概型1. 6. 1事件的独立性1. 6. 2独立试验序列概型1. 6. 3贝努里公式思考与练习本章概要常用术语常用公式第2章随机变量及其分布2. 1随机变量2. 1. 1随机事件的数量标记2. 1. 2随机变量思考与练习2. 2一元离散型随机变量2. 2. 1一元离散型随机变量2. 2. 2一元离散型随机变量的描述2. 2. 3常见离散型随机变量的分布思考与练习2. 3一元连续型随机变量2. 3. 1一元连续型随机变量2. 3. 2一元连续型随机变量的描述2. 3. 3常见连续型随机变量的分布思考与练习2. 4二元离散型随机变量2. 4. 1联合概率函数2. 4. 2边缘概率函数2. 4. 3条件概率函数2. 4. 4随机变量的相互独立性思考与练习2. 5二元连续型随机变量2. 5. 1联合密度函数2. 5. 2边缘密度函数2. 5. 3条件密度函数2. 5. 4随机变量的相互独立性思考与练习2. 6随机变量函数的分布思考与练习本章概要常用术语常用公式第3章随机变量的数字特征3. 1数学期望3. 1. 1平均值3. 1. 2数学期望3. 1. 3数学期望的性质3. 1. 4数学期望应用举例思考与练习3. 2方差3. 2. 1离差与方差3. 2. 2方差的性质3. 2. 3方差应用举例思考与练习3. 3二元随机变量的数字特征3. 3. 1随机变量的均值与方差3. 3. 2条件期望3. 3. 3协方差3. 3. 4相关系数思考与练习本章概要常用术语常用公式第4章常用分布及应用4. 1二项分布4. 1. 1二项分布概述4. 1. 2二项分布应用举例思考与练习4. 2泊松分布4. 2. 1泊松分布概述4. 2. 2泊松分布应用举例4. 2. 3二项分布与泊松分布的联系思考与练习4. 3指数分布4. 3. 1指数分布概述4. 3. 2指数分布应用举例思考与练习4. 4均匀分布4. 4. 1均匀分布概述4. 4. 2均匀分布应用举例思考与练习4. 5正态分布4. 5. 1正态分布概述4. 5. 2标准正态分布4. 5. 3一般正态分布与标准正态分布的关系4. 5. 4正态分布常用结论4. 5. 5正态分布应用举例思考与练习本章概要常用术语常用公式常用随机变量的期望与方差第5章大数定律与中心极限定理5. 1大数定律5. 1. 1切贝谢夫不等式5. 1. 2依概率收敛5. 1. 3大数定律思考与练习5. 2中心极限定理5. 2. 1中心极限定理5. 2. 2中心极限定理应用举例思考与练习本章概要常用术语常用公式第6章样本分布6. 1总体与样本6. 1. 1总体与样本概述6. 1. 2简单随机样本6. 1. 3统计量6. 1. 4样本推断总体思考与练习6. 2样本分布函数6. 2. 1直方图6. 2. 2样本分布函数思考与练习6. 3样本的数字特征6. 3. 1样本均值6. 3. 2样本方差思考与练习6. 4几个常用统计量的分布6. 4. 1正态总体样本均值与方差的分布6. 4. 2几个常用统计量形式及其分布思考与练习本章概要常用术语常用公式第7章参数估计7. 1参数的点估计7. 1. 1点估计7. 1. 2数字特征法7. 1. 3最大似然估计法思考与练习7. 2估计量优劣的评价标准7. 2. 1无偏估计 无偏性7. 2. 2有效估计 有效性7. 2. 3一致估计 一致性思考与练习7. 3参数的区间估计7. 3. 1区间估计7. 3. 2总体期望的区间估计7. 3. 3小样本下正态总体方差σ2的区间估计思考与练习本章概要常用术语常用公式第8章假设检验8. 1假设检验8. 1. 1假设检验的基本步骤8. 1. 2假设检验中的两类错误思考与练习8. 2一个正态分布的参数假设检验8. 2. 1总体均值等式检验8. 2. 2总体均值的不等式检验8. 2. 3总体方差的检验8. 2. 4一个正态总体参数检验方法小结思考与练习8. 3两个正态总体的假设检验8. 3. 1两个总体均值比较检验8. 3. 2两个总体方差的比较检验思考与练习本章概要常用术语常用公式第9章方差分析9. 1单因素方差分析9. 1. 1单因素方差分析概述9. 1. 2单因素方差分析的一般方法思考与练习9. 2单因素方差分析应用举例思考与练习本章概要常用术语常用公式第10章回归分析10. 1一元线性回归模型10. 1. 1一元线性回归方程10. 1. 2变量之间的线性相关性10. 1. 3线性相关性检验10. 1. 4拟合优度10. 1. 5一元线性回归方程的预测10. 1. 6可线性化的回归方程思考与练习10. 2多元线性回归模型简介10. 2. 1多元线性回归数学模型形式与假定10. 2. 2参数最小二乘法估计10. 2. 3估计标准误差10. 2. 4拟合优度10. 2. 5回归模型的显著性检验 F检验法10. 2. 6回归系数的显著性检验 t检验10. 2. 7预测10. 2. 8常用可线性化的多元回归方程思考与练习本章概要常用术语常用公式附录A排列组合的基本概念思考与练习常用术语附录BZ分布。 X2分布. t分布。 F分布附录C概率中常用各种表表C-1累积二项分布数值表表C-2累积泊松分布数值表表C-3标准正态分布密度函数表表C-4标准正态分布函数表表C-5正态分布双侧临界值表表C-6t分布双侧临界值表表C-7X2分布的上侧临界值X2a表表C-8F分布上侧临界值表表C-9检验相关系数的临界值表习题参考答案参考文献

求 P(Y≤X) ，首先Y≤X 在平面中就是直线y=x 下面的部分,比如 (2,1) 满足Y≤X，并且在直线y=x 下面。此时求积分就是求在直线y=x下面部分的积分，其实就是满足Y≤X。因为原来密度函数的定义域是x>0,y>0，所以约束条件就是一个三角形区域，x>0,y>0,y≤x.所以如果先对y积分时的上下限就是0到x, 再对x积分的上下限是0到正无穷， 如果先对x积分时的上下限就是y到正无穷（因为y≤x）, 再对y积分的上下限是0到正无穷，

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概率论与数理统计是考研数学重要组成部分。概率论与数理统计非常强调对基本概念、定理、公式的深入理解。重要基本知识要点如下：　　一、考点分析　　1.随机事件和概率，包括样本空间与随机事件；概率的定义与性质（含古典概型、几何概型、加法公式）；条件概率与概率的乘法公式；事件之间的关系与运算（含事件的独立性）；全概公式与贝叶斯公式；伯努利概型。　　2.随机变量及其概率分布，包括随机变量的概念及分类；离散型随机变量概率分布及其性质；连续型随机变量概率密度及其性质；随机变量分布函数及其性质；常见分布；随机变量函数的分布。

10%~20%之间。高考数学中关于随机变量及其分布的考查，通常占据整个数学试卷的比重较小，一般在10%~20%之间，具体分值还需参考各地高考数学试卷的考题分布情况而定。

第一章随机事件与样本空间，进行随机试验得到试验结果，全部样本点组成样本空间，样本全体引入子集，引入随机事件，引入事件概率，概率计算有古典概型和n 重伯努利试验。 这是几百年前概率论的发展。它最大的发展是引进入微积分，进入第二章——随机变量及其分布。 把样本空间的全体引入一个函数——随机变量random viable, 用这个函数来表示随机事件，引入分布函数，分为离散型和连续型，这两种随机变量的定义和性质有所不同，其中它们所谓的重要条件就是概率的性质在新的条件下的反映。其中连续型随机变量的分布函数用积分来表示，求导成为概率密度函数，由此概率论引进微积分。 掌握常考分布——B P U E N (二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布)的称呼、定义、记号、参数、特点。 1、要概念清楚概率得不出事件结论，概率为0的事件不一定是空集，概率为1的事件不一定是全集； 独立bar不bar没关系； 概率为0或1的事件与所有事件都独立。 2、重点是条件概率(缩减样本空间)、五大公式(全概率和贝叶斯公式设完备事件组的设法)、n重伯努利实验。 完成第二章随机变量及其分布，第三章开始。第二章重点有三。总结如下。 一、概率、分布函数、离散型随机变量、连续型随机变量的定义、重要条件及其他性质的一张比较表；后四者所谓的重要条件实际上是概率性质在新形势下的反映。 二、五个常考分布:二项分布是n重伯努利试验成功k次的概率；泊松分布描述如校门口1小时内通过多少辆车的概率；均匀分布如四舍五入、等公交车、等电梯的时间分布；指数分布描述生命、寿命的分布，无记忆性；正态分布也是比较常用的。 求概率时，均匀分布量尺寸，正态分布四下子(查表、标准化、对称性、定参数)，只有指数分布会用到积分计算。背过两个积分公式——泊松积分和伽马函数。 三、一维随机变量函数的分布。三件事情处理好拿11分大题——定义、范围、端点。 把任何一个分布函数拿来，把随机变量塞到它自己的分布函数里面去，把小变量变成大的随机变量，出来新的随机变量一定服从0-1分布。 第三章 二维随机变量总结。1、二维随机变量常考分布:均匀、正态。二维均匀量尺寸，二维正态一定是用对称性 2、二维随机变量函数的分布。三种情况:离散和离散的拆开；连续和连续的哪儿求概率哪儿求积分；离散和连续的把离散的用全概率公式展开。 3、二维离散、连续型随机变量的独立和条件概率。 二维离散型随机变量独立:行(列)之间成比例；条件概率:行(列)内部按比例分配，条件概率等于1/2时，两个概率相等。 二维连续型随机变量有两个相逆的题型: 已知二维连续型随机变量的联合概率密度函数求边缘概率密度和条件概率密度，把“大其他”变成“小其他”，其中求条件概率密度一定要注意范围，分母大于0才存在；或者反过来，已知一个边缘概率密度和一个条件概率密度，求联合概率密度，此时要注意求的全平面内的联合概率密度，所以要把约束条件去掉，用密度积分为1去掉条件，即通过积分等于1把“小其他”变成“大其他”。 总结第四章 数字特征。重点有三。 1、期望、方差、协方差、相关系数的定义与性质。 为什么叫"期望"而不是"平均"?因平均都是有限个数之间，期望是无限个数。求期望三个方法:定义、对称性、性质。 方差是偏离平均值的程度、分散程度。 协方差描述两随机变量间的差异程度。求协方差要先暴露两个变量之间的关系。 相关系数是标准化了的期望，纯粹反映它们之间的差别。二维随机变量若服从0-1分布，求相关系数可在分布律上"抠右脚"，若二维离散随机变量不服从0-1分布，照样按照0-1分布"抠右脚"(常熟不影响)。 计算上述量一定要选择好方法；做题前形成如下习惯:看两随机变量独立否?对称否?联合密度函数?计算积分繁琐，能用对称尽量对称。 2、五个常考分布的期望和方差。几何分布与超几何分布的参数推导，无需背。 一维正态记四下子，二维正态分布也有四点性质。其中，二维正态保证每个边缘都正态，反过来，边缘正态不能保证二维正态。 3、二维随机变量函数的期望。 总结第五章——大数定律和中心极限定理。这章出题概率不大。有三点内容。 1、切比雪夫不等式。 2、大数定律。依概率收敛的概念引出切比雪夫大数定律、辛钦大数定律、伯努利大数定律(上面两个的特例)，总结如下:若"X i 不相关，方差有界"或"Xi 独立同分布，期望存在"，则Xi 的算术平均值依概率收敛于Xi 期望的算术平均值。 3、中心极限定理。Xi 独立同分布、方差存在，则Xi 的和近似服从正态分布。 第六章 数理统计。内容有二。1、总体与样本。总体有分布函数、概率分布、概率密度，相应样本有分布函数、分布律、概率密度。 2、抽样分布。 样本数字特征:样本均值和样本方差及它们各自的期望、方差。 三大抽样分布的典型模式。(概率论中只有一个地方涉及4次方——卡方分布的方差。) 正态总体条件下样本均值与样本方差的分布。 第七章 参数估计。 矩估计和最大似然估计。

小娄#35

数三考 高数（微积分） 线性代数 概率论与数理统计 你看你都有没有学过？ 好像没有太多人说数学C的，我上学的时候就分数1234，那时我都不明白什么意思，当然现在数4没有了。其实你没看出来我们这么多人都不知道你说的高数C是什么吗？其实不管你学的什么，都要以考研大纲为准，多少会有差异的，你去下一分去年的大纲看吧，推荐你个论坛：知识宝库，ftp里的东西绝对很有价值、很全！

用的时间最多，几乎每个考数学的人都会把大把的时间花在数学上

《概率论与数理统计魏贵民版》是一本比较经典的教材，适合初学者学习。以下是该书目录的简要介绍。第一章 绪论介绍了统计学中重要的概念和基本流程。第二章 概率论基础介绍了概率论的基本概念和公理化定义，以及事件、条件概率和伯努利试验等内容。第三章 随机变量及其分布介绍了随机变量、离散型随机变量的分布、连续型随机变量的分布以及正态分布等内容。第四章 多维随机变量及其分布介绍了二维离散型随机变量的联合分布、二维连续型随机变量的联合分布、条件分布和期望等内容。第五章 随机变量函数及其分布介绍了一元函数的概率密度函数、多元函数概率密度函数、正态总体多项式、矩估计等内容。第六章 样本及抽样分布介绍了样本容量与样本均值、样本方差和样本标准差之间关系；正态总体某些参数的区间估计；单总体方差和两总体方差比的区间估计。第七章 参数估计介绍了点估计、区间估计和最小二乘法等内容。第八章 假设检验介绍了假设检验的基本概念、一般步骤、单个参数假设检验、两个总体参数假设检验、独立性检验和拟合优度检验等内容。第九章 方差分析介绍了方差分析的基本概念、单因素方差分析和多因素方差分析等内容。第十章 相关分析介绍了相关系数及其显著性检验、线性回归模型的基本概念及其在实际问题中的应用等内容。以上是《概率论与数理统计魏贵民版》的简要目录介绍，希望对您有所帮助。

盒中有10球，6白，4红，每次取一球(1)不放回取两次，第二次取红的概率为C(1,6)/C(1,10)* C(1,4)/C(1,9)+C(1,4)/C(1,10)* C(1,3)/C(1,9)=4/15+2/15=2/5(2) 放回取两次，第二次取红球的概率C(1,4)/C(1,10)=2/5

答：浙大教材是用来看概率论和数理统计部分的，不用全部看，只要看考纲要求的部分就行，高数看同济大学的教材概率统计随机事件和概率考试要求1.了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算.5.理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式等.3.理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法.随机变量及其分布考试要求1.理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率.5.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布 、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布 及其应用.3.掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布 、正态分布 、指数分布及其应用，其中参数为 的指数分布 的概率密度为5.会求随机变量函数的分布.多维随机变量及其分布考试要求1.理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质.5.理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布.3.理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系.4.掌握二维均匀分布和二维正态分布 ，理解其中参数的概率意义.5.会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布.随机变量的数字特征考试要求1.理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征.5.会求随机变量函数的数学期望.3.了解切比雪夫不等式.大数定律和中心极限定理考试要求1.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律).5.了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理(二项分布以正态分布为极限分布)、列维—林德伯格中心极限定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理)，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率.数理统计的基本概念考试要求1.了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为5.了解产生 变量、 变量和 变量的典型模式;了解标准正态分布、 分布、分布和分布得上侧 分位数，会查相应的数值表.3.掌握正态总体的样本均值.样本方差.样本矩的抽样分布.4.了解经验分布函数的概念和性质.参数估计考试内容：点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法考试要求1.了解参数的点估计、估计量与估计值的概念.5.掌握矩估计法(一阶矩、二阶矩)和最大似然估计法.

概率论知识总结 　　概率是生活中经常会用到的知识，在考试中也经常会遇到，下面概率论知识总结是我想跟大家分享的，欢迎大家浏览。 　　概率论知识总结 　　第一章 概率论的基本概念 　　1. 随机试验 　　确定性现象：在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。 　　随机现象： 在个别实验中呈现不确定性，在大量实验中呈现统计规律性，这种现象称 　　为随机现象。 　　随机试验：为了研究随机现象的统计规律而做的的实验就是随机试验。 　　随机试验的特点：1)可以在相同条件下重复进行; 　　2)每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能 　　结果; 　　3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会先出现; 　　2. 样本空间、随机事件 　　样本空间：我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。 样本点：构成样本空间的元素，即E中的每个结果，称为样本点。 　　事件之间的基本关系：包含、相等、和事件(并)、积事件(交)、差事件(A-B：包含A 　　不包含B)、互斥事件(交集是空集，并集不一定是全集)、对立 　　事件(交集是空集，并集是全集，称为对立事件)。 　　事件之间的运算律：交换律、结合律、分配率、摩根定理(通过韦恩图理解这些定理) 　　3. 频率与概率 　　频数：事件A发生的次数 　　频率：频数/总数 　　概率：当重复试验的次数n逐渐增大，频率值就会趋于某一稳定值，这个值就是概率。 概率的特点：1)非负性。2)规范性。3)可列可加性。 　　概率性质：1)P(空集)=0，2)有限可加性，3)加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B) 　　-P(AB) 　　4. 古典概型 　　学会利用排列组合的知识求解一些简单问题的概率(彩票问题，超几何分布，分配问题， 　　插空问题，捆绑问题等等) 　　5. 条件概率 　　定义：A事件发生条件下B发生的概率P(B|A)=P(AB)/P(A) 　　乘法公式：P(AB)=P(B|A)P(A) 　　全概率公式与贝叶斯公式 　　6. 独立性检验 　　设 A、B是两事件，如果满足等式 　　P(AB)=P(A)P(B) 　　则称事件A、B相互独立，简称A、B独立。 　　第二章.随机变量及其分布 　　1. 随机变量 　　定义：设随机试验的样本空间为S={e}. X=X(e)是定义在样本空间S上的单值函数，称 　　X=X(e)为随机变量。 　　2. 离散型随机变量及其分布律 　　三大离散型随机变量的分布 　　1)(0——1)分布。E(X)=p, D(X )=p(1-p) 　　2)伯努利试验、二项分布 E(X)=np, D(X)=np(1-p) 　　3) 泊松分布 P(X=k)= (?^k)e^(- ?)/k! (k=0,1,2,u2026u2026) 　　E(X)=?，D(X)= ? 　　注意：当二项分布中n 很大时，可以近似看成泊松分布，即np= ? 　　3. 随机变量的分布函数 　　定义：设X是一个随机变量，x是任意的实数，函数 　　F(x)=P(Xu2264x),x属于R 称为X的分布函数 　　分布函数的性质： 　　1) F(x)是一个不减函数 　　2) 0u2264F(x)u22641 　　离散型随机变量的分布函数的求法(由分布律求解分布函数) 　　连续性随机变量的分布函数的求法(由分布函数的图像求解分布函数，由概率密度求 　　解分布函数) 　　4. 连续性随机变量及其概率密度 　　连续性随机变量的分布函数等于其概率密度函数在负无穷到x的变上限广义积分 相反密度函数等与对应区间上分布函数的导数 　　密度函数的性质：1)f(x)u22650 　　2) 密度函数在负无穷到正无穷上的广义积分等于1 　　三大连续性随机变量的分布: 1)均与分布 E(X)=(a+b)/2 D (X)=[(b-a)^2]/12 　　2)指数分布 E(X)=u03b8 D(X)=u03b8^2 　　3)正态分布一般式(标准正态分布) 　　5. 随机变量的函数的分布 　　1)已知随机变量X的 分布函数求解Y=g(X)的分布函数 　　2)已知随机变量X的 密度函数求解Y=g(X)的密度函数 　　第三章 多维随机变量及其分布(主要讨论二维随机变量的分布) 　　1.二维随机变量 　　定义 设(X，Y)是二维随机变量，对于任意实数x, y,二元函数 　　F(x, Y)=P[(Xu2264x)交(Yu2264y)] 称为二维随机变量(X，Y)的分布函数或称为随机变量联合分布函数 　　离散型随机变量的分布函数和密度函数 　　连续型随机变量的分布函数和密度函数 　　重点掌握利用二重积分求解分布函数的.方法 　　2.边缘分布 　　离散型随机变量的边缘概率 　　连续型随机变量的边缘概率密度 　　3.相互独立的随机变量 　　如果X，Y相互独立，那么X，Y的联合概率密度等于各自边缘的乘积 　　5. 两个随机变量的分布函数的分布 　　关键掌握利用卷积公式求解Z=X+Y的概率密度 　　第四章.随机变量的数字特征 　　1.数学期望 　　离散型随机变量和连续型随机变量数学期望的求法 　　六大分布的数学期望 　　2.方差 　　连续性随机变量的方差 　　D(X)=E(X^2)-[E (X )]^2 　　方差的基本性质： 　　1) 设C是常数，则D(C)=0 　　2) 设X随机变量，C是常数，则有 　　D(CX)=C^2D(X) 　　3) 设X，Y是两个随机变量，则有 　　D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))} 特别地，若X，Y不相关，则有D(X+Y)=D(X)+ D(Y) 切比雪夫不等式的简单应用 　　3. 协方差及相关系数 　　协方差：Cov(X ,Y )= E{(X-E(X))(Y-E(Y))} 　　相关系数：m=Cov(x,y)/u221aD(X) u221aD(Y) 　　当相关系数等于0时,X,Y 不相关，Cov(X ,Y )等于0 不相关不一定独立，但独立一定不相关 ;

第四版前言第三版前言第二版前言第一章 概率论的基本概念1 随机试验2 样本空间、随机事件3 频率与概率4 等可能概型(古典概型)5 条件概率6 独立性小结习题第二章 随机变量及其分布1 随机变量2 离散型随机变量及其分布律3 随机变量的分布函数4 连续型随机变量及其概率密度5 随机变量的函数的分布小结习题第三章 多维随机变量及其分布1 二维随机变量2 边缘分布3 条件分布4 相互独立的随机变量5 两个随机变量的函数的分布小结习题第四章 随机变量的数字特征1 数学期望2 方差3 协方差及相关系数4 矩、协方差矩阵小结习题第五章 大数定律及中心极限定理1 大数定律2 中心极限定理小结习题第六章 样本及抽样分布1 随机样本2 直方图和箱线图3 抽样分布小结附录习题第七章 参数估计1 点估计2 基于截尾样本的最大似然估计3 估计量的评选标准4 区间估计5 正态总体均值与方差的区间估计6 (0-1)分布参数的区间估计7 单侧置信区间小结习题第八章 假设检验1 假设检验2 正态总体均值的假设检验3 正态总体方差的假设检验4 置信区间与假设检验之间的关系5 样本容量的选取6 分布拟合检验7 秩和检验8 假设检验问题的户值检验法小结习题第九章 方差分析及回归分析1 单因素试验的方差分析2 双因素试验的方差分析3 一元线性回归4 多元线性回归小结附录习题第十章 bootstrap方法1 非参数bootstrap方法2 参数bootstrsp方法小结第十一章 在数理统计中应用Excel软件1 概述2 箱线图3 假设检验4 方差分析5 一元线性回归6 bootstrap方法、宏、VBA本章参考文献第十二章 随机过程及其统计描述1 随机过程的概念2 随机过程的统计描述3 泊松过程及维纳过程小结习题第十三章 马尔可夫链1 马尔可夫过程及其概率分布2 多步转移概率的确定3 遍历性小结习题第十四章 平稳随机过程1 平稳随机过程的概念2 各态历经性3 相关函数的性质4 平稳随机过程的功率谱密度小结习题选做习题参读材料 随机变量样本值的产生附表附表1 几种常用的概率分布表附表2 标准正态分布表附表3 泊松分布表附表4 t分布表附表5 X2分布表附表6 F分布表附表7 均值的t检验的样本容量附表8 均值差的t检验的样本容量附表9 秩和临界值表习题答案

考研概率论不考卷积公式，因为卷积公式不算重点掌握内容。 一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1、理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率2、理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用3、掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布4、理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用5、会求随机变量函数的分布三、多维随机变量的分布考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布考试要求1、理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质2、理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布3、理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系4、掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义5、会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其简单函数的分布四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫（Chebyshev）不等式矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1、理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征2、会求随机变量函数的数学期望3、了解切比雪夫不等式五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli）大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗-拉普拉斯（DeMoivre－Laplace）定理列维-林德伯格（Levy－Lindberg）定理考试要求1、了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）2、了解棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维-林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1、了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念2、了解产生变量、变量和变量的典型模式；了解标准正态分布、分布、分布和分布的上侧分位数，会查相应的数值表3、掌握正态总体的样本均值、样本方差、样本矩的抽样分布4、了解经验分布函数的概念和性质七、参数估计考试内容点估计的概念估计量和估计值矩估计法最大似然估计法考试要求1、了解参数的点估计、估计量与估计值的概念2、掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法

第一篇　概率论第一章 随机事件及其概率1.1　随机事件1.2　事件的概率1.3　条件概率1.4　独立性第一章小结第二章 随机变量及其分布2.1　随机变量及其分布函数2.2　离散型随机变量2.3　连续型随机变量2.4　随机变量函数的分布第二章小结第三章 二维随机变量及其概率分布3.1　二维随机变量及其联合分布函数3.2　二维离散型随机变量3.3　二维连续型随机变量3.4　条件分布3.5　二维随机变量函数的分布3.6　n维随机变量简介第三章小结第四章 随机变量的数字特征与特征函数4.1　数学期望4.2　方差和矩4.3　协方差与相关系数4.4　条件数学期望4.5　特征函数第四章小结第五章　大数定律和中心极限定理5.1　大数定律5.2　中心极限定理第五章小结第二篇　随机过程初步第六章 随机过程的基本知识6.1 随机过程的基本概念和有限维分布6.2　随机过程的数字特征6.3　复随机过程简介第六章小结第七章　泊松过程、马尔可夫链7.1　独立增量过程与泊松过程7.2　正态过程和维纳过程7.3　马尔可夫链第七章小结第八章　平稳随机过程8.1　平稳随机过程的概念及数字特征8.2　各态历经性8.3　平稳过程的功率谱密度第八章小结附录习题答案附表1　标准正态分布函数表附表2　泊松（Poisson）分布表（1）附表3　泊松（Poisson）分布表（2）

解：于二维连续变量布函数F(x,y)般应用其概率密度函数f(x,y)定积求解；于非连续变量需要别累加求【与维随机变量求相仿】∴本题x∈(0,∞)、y∈(0,∞)布函数F(x,y)=∫(-∞,x)du∫(-∞,y)f(u,v)dv=∫(0,x)du∫(-0,y)2e^(-2u-v)dv=∫(0,x)2e^(-2u)du∫(-0,y)e^(-v)dv=[1-e^(-2x)][1-e^(-y)]x?(0,∞)、y?(0,∞)布函数F(x,y)=∫(-∞,0)du∫(-∞,0)f(u,v)dv=0供参考

为啥不用学习宝 ，拍个照就有答案，还有解题思路，非常方便。

根据X、Y的联合分布计算。

考研数学我买的是文都网校的辅导课程 跟几个同学一起买的 感觉还不错吧 反正是个人意见而已

可以。考研概率论不考卷积公式，因为卷积公式不算重点掌握内容。一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验。二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布。考试要求1、理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。2、理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用。3、掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。4、理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用。5、会求随机变量函数的分布。

1、随机事件和概率 　　2、随机变量及其概率分布 　　3、二维随机变量及其概率分布 　　4、随机变量的数字特征 　　5、大数定律和中心极限定理 　　6、数理统计的基本概念 　　7、参数估计 　　8、假设检验 　　对于上面每一部分的“基本内容与重要结论”要重点掌握（而不是一般的了解）；第二，学会题目的分析方法；第三，完成一定量的习题。 　　根据每个人对基本概念理解程度的不同，应以确保重点、兼顾一般的方法进行复习。为了配合考生的复习，我们根据历年考试的情况将8部分内容的考核点分为重点考核点、次重点考核点及一般考核点一一列出。 　　第一部分：随机事件和概率 　　（1）样本空间与随机事件 　　（2）概率的定义与性质（含古典概型、几何概型、加法公式） 　　（3）条件概率与概率的乘法公式 　　（4）事件之间的关系与运算（含事件的独立性） 　　（5）全概公式与贝叶斯公式 　　（6）伯努利概型 　　第二部分：随机变量及其概率分布 　　（1）随机变量的概念及分类 　　（2）离散型随机变量概率分布及其性质 　　（3）连续型随机变量概率密度及其性质 　　（4）随机变量分布函数及其性质 　　（5）常见分布 　　（6）随机变量函数的分布 　　第三部分：二维随机变量及其概率分布 　　（1）多维随机变量的概念及分类 　　（2）二维离散型随机变量联合概率分布及其性质 　　（3）二维连续型随机变量联合概率密度及其性质 　　（4）二维随机变量联合分布函数及其性质 　　（5）二维随机变量的边缘分布和条件分布 　　（6）随机变量的独立性 　　（7）两个随机变量的简单函数的分布 　　第四部分：随机变量的数字特征 　　（1）随机变量的数字期望的概念与性质 　　（2）随机变量的方差的概念与性质 　　（3）常见分布的数字期望与方差 　　（4）随机变量矩、协方差和相关系数 　　第五部分：大数定律和中心极限定理 　　（1）切比雪夫不等式 　　（2）大数定律 　　（3）中心极限定理 　　第六部分：数理统计的基本概念 　　（1）总体与样本 　　（2）样本函数与统计量 　　（3）样本分布函数和样本矩 　　第七部分：参数估计 　　（1）点估计 　　（2）估计量的优良性 　　（3）区间估计 　　第八部分：假设检验 　　（1）假设检验的基本概念 　　（2）单正态总体的均值和方差的假设检验 　　（3）双正态总体的均值和方差的假设检验 　　最近几年数学一考试重点内容的顺序是：①二维随机变量及其概率分布；②随机变量的数字特征；③随机事件和概率；④数理统计。 　　最近几年数学三考试重点内容的顺序是：①随机变量的数字特征；②二维随机变量及其概率分布；③随机事件和概率；④数理统计。 　　最近几年数学四考试重点内容的顺序是：①随机变量的数字特征；②二维随机变量及其概率分布；③随机事件和概率；④大数定律和中心极限定理。

主要内容是：数据的整理和描述；概率论介绍；随机变量及其分布；抽样方法与抽样分布；参数估计；假设检验；回归分析；时间序列分析；指数。

《概率论与数理统计》考试大纲本《概率论与数理统计》考试大纲适用于中国科学院研究生院非数学类的硕士研究生入学考试。概率统计是现代数学的重要分支，在物理、化学、生物、计算机科学等学科有着广泛的应用。考试的主要内容有以下几个部分: 概率统计中的基本概念随机变量及其分布随机变量的数学特征及特征函数独立随机变量和的中心极限定理及大数定律假设检验点估计及区间估计简单线性回归模型要求考生对基本概念有深入的理解，能计算一些常见分布的期望、方差，了解假设检验、点估计及区间估计的统计意义，能解决一些经典模型的检验问题、区间估计及点估计。最后，能理解大数定律及中心极限定理。一、 考试内容(一)基本概念1(样本、样本观测值2(统计数据的直观描述方法:如干叶法、直方图3(统计数据的数字描述:样本均值、样本方差、中位数事件的独立性、样本空间、事件4(概率、条件概率、Bayes公式5(古典概型(二)离散随机变量1(离散随机变量的定义2(经典的离散随机变量的分布a. 二项分布b. 几何分布c. 泊松分布d. 超几何分布3(离散随机变量的期望、公差4(离散随机变量的特征函数5(离散随机变量相互独立的概念6(二维离散随机变量的联合分布、条件分布、边缘分布及二个离散随机变量的相关系数(三)连续随机变量1(连续随机变量的概念2(密度函数3(分布函数4(常见的连续分布a. 正态分布1/4页b. 指数分布c. 均匀分布d. t分布2e. ,分布(连续随机变量的期望、方差 56(连续随机变量独立的定义7(二维连续随机变量的联合密度、条件密度、边缘分布及二个连续随机变量的相关系数8(连续随机变量的特征函数(四)独立随机变量和的中心极限定理和大数定律 1(依概率收敛2(以概率1收敛(或几乎处处收敛) 3(依分布收敛4(伯努利大数定律5(利莫弗-拉普拉斯中心极限定理6(辛钦大数定律(莱维-林德伯格中心极限定理 7点估计 (五)1(无偏估计，克拉美-劳不等式2(矩估计(极大似然估计 3(六)区间估计1(置信区间的概念2(一个正态总体的期望的置信区间3(大样本区间估计4(两个正态总体期望之差的置信区间(方差已知)(七)假设检验1(检验问题的基本要素:第一类错误的概率、第二类错误的概率、检验的功效、功效函数、检验的拒绝域、原假设、备择假设2(一个正态总体的期望的检验问题3(大样本检验4(基于成对数据的检验(t检验)5(两个正态总体期望之差的检验(八)简单线性回归模型1(简单线性回归模型定义2(回归线的斜率的最小二乘估计3(回归线的截距的最小二乘估计4(随机误差(随机标准差)的估计二、 考试要求(一)基本概念1(理解样本、样本观测值的概念2(了解并能运用统计数据的直观描述方法如:干叶法、直方图3(理解样本均值、样本方差及中位数的概念并能运用相关公式进行计算4(掌握如下概念:概率、样本空间、事件、事件的独立性、条件概率，2/4页理解并能灵活运用Bayes 公式5(理解古典概型的定义并能熟练解决这方面的问题(二)离散随机变量1(理解离散随机变量的定义2(理解如下经典离散分布所产生的模型a. 二项分布b. 几何分布c. 泊松分布d. 超几何分布能熟练计算上述分布的期望、方差，能熟练应用上述分布求出相应事件的概率3(了解离散随机变量的特征函数的定义和性质4(了解两个离散随机变量相互独立的概念5(理解二维离散随机变量的联合分布、条件分布、边缘分布及两个离散随机变量的相关系数的概念并能熟练运用相关的公式解决问题(三)连续随机变量1(理解连续随机变量的概念(理解密度与分布的概念及其关系 23(熟悉如下常用连续分布a. 正态分布b. 指数分布c. 均匀分布d. t分布2e. ,分布4(了解连续分布的期望、方差的概念5(了解有限个连续随机变量相互独立的概念6(理解二维连续随机变量的联合密度、条件密度、边缘分布及二个连续随机变量的相关系数并能运用相关公式进行计算 7(了解连续随机变量的特征函数的概念及性质(四)独立随机变量和的中心极限定理和大数定律1(了解依概率收敛、以概率1收敛(或几乎处处收敛)、依分布收敛的定义，了解上述收敛性的关系2(理解并掌握伯努利大数定律和利莫弗-拉普拉斯中心极限定理 3(了解辛钦大数定律、莱维-林德伯格中心极限定理(五)点估计1(理解无偏估计、矩估计、极大似然估计2(能够计算参数的矩估计、极大似然估计(六)区间估计1(理解置信区间的概念2(能够计算正态总体的期望的置信区间(包括方差已知、方差未知两种情况)3(在样本容量充分大的条件下，能够计算近似置信区间 4(能够计算两个正态总体的期望之差的置信区间(方差已知)(七)假设检验3/4页1(理解以下概念:第一、二类错误的概率、检验的功效、功效函数、检验的拒绝域、检验的原假设、备择假设2(能给出一个正态总体的期望的检验的拒绝域(包括方差已知、方差未知)3(能用大样本方法求拒绝域4(能给出基于成对数据的检验问题的拒绝域(八)简单线性回归模型1(理解简单线性回归模型定义，能写出模型的数学表达式 2(能计算回归线的斜率、截距的最小二乘估计3(了解随机误差(随机标准差)的估计

概率的计算公式是：P(A)=m/n，“(A)”表示事件，“m”表示事件（A）发生的总数，“n”是总事件发生的总数。概率的计算需要具体情况具体分析，没有一个统一的万能公式。概率的考点分析1.随机事件和概率，包括样本空间与随机事件；概率的定义与性质（含古典概型、几何概型、加法公式）；条件概率与概率的乘法公式；事件之间的关系与运算（含事件的独立性）；全概公式与贝叶斯公式；伯努利概型。2.随机变量及其概率分布，包括随机变量的概念及分类；离散型随机变量概率分布及其性质；连续型随机变量概率密度及其性质；随机变量分布函数及其性质；常见分布；随机变量函数的分布。3.二维随机变量及其概率分布，包括多维随机变量的概念及分类；二维离散型随机变量联合概率分布及其性质；二维连续型随机变量联合概率密度及其性质；二维随机变量联合分布函数及其性质；二维随机变量的边缘分布和条件分布；随机变量的独立性；两个随机变量的简单函数的分布。

概率论与数理统计是考研数学重要组成部分。概率论与数理统计非常强调对基本概念、定理、公式的深入理解。重要基本知识要点如下：　　一、考点分析　　1.随机事件和概率，包括样本空间与随机事件；概率的定义与性质（含古典概型、几何概型、加法公式）；条件概率与概率的乘法公式；事件之间的关系与运算（含事件的独立性）；全概公式与贝叶斯公式；伯努利概型。　　2.随机变量及其概率分布，包括随机变量的概念及分类；离散型随机变量概率分布及其性质；连续型随机变量概率密度及其性质；随机变量分布函数及其性质；常见分布；随机变量函数的分布。　　3.二维随机变量及其概率分布，包括多维随机变量的概念及分类；二维离散型随机变量联合概率分布及其性质；二维连续型随机变量联合概率密度及其性质；二维随机变量联合分布函数及其性质；二维随机变量的边缘分布和条件分布；随机变量的独立性；两个随机变量的简单函数的分布。

复习提纲第一章 概率论的基本概念一、两个概型1.古典概型 2.贝努里概型 二、加法公式(广义、狭义、三个事件加法公式)；减法公式(广义、狭义)；对立事件公式三、条件概率与乘法公式★四、全概率公式（格式要规范）五、独立事件公式（乘法公式、加法公式）六、几个易混淆的概念：互斥（互不相容）、对立、独立第二章 （一维）随机变量及其分布一、离散型随机变量 (分布列)1.求分布列的未知参数2.求 ▲3.求分布函数 4.求 的分布列二、连续型随机变量 (密度函数 )1.求密度函数中的未知参数2.求 ▲3.求分布函数 、已知 求 ▲4.求 的密度函数三、分布函数1.分布函数的定义2.利用性质求分布函数中的未知参数3.已知分布函数 ，求概率 、 、 四、记住6种常见分布及其分布列或密度函数第三章 二维随机变量一、二维离散型随机变量 ★1.求 的联合分布列与边缘分布列，并判别 与 的独立性2.已知 的联合分布列，求 的分布列二、二维连续型随机变量 ▲1.已知 的联合密度函数 ，求边缘密度函数 ，并判别 与 的独立性2.求联合密度函数中的未知参数▲3.求 三、联合分布函数已知 的联合分布函数 ，求边缘分布函数 ，并判别 与 的独立性四、记住二维均匀分布第四章 随机变量的数字特征★一、期望 , , , 二、方差三、期望与方差的性质四、记住常见6种分布的期望与方差五、协方差与相关系数1.定义2.不相关与独立的区别第五章 大数定律与中心极限定理一、契比雪夫不等式及其应用★二、中心极限定理（格式要规范）第六章 数理统计的基本概念一、样本的两个性质二、三大抽样分布三、两个重要的定理第七章 参数估计★一、矩估计法★▲二、极大似然估计法(似然函数要写正确！)三、估计量的评价标准（无偏性、有效性）第八章 假设检验一、两类错误★二、几种对正态总体均值的检验方法（5个步骤）1. 正态总体均值的双侧检验（u检验法、t检验法）2. 正态总体均值的单侧检验（左侧检验、右侧检验）

一个事情,两种说法,都是离散型随机变量概率的分布表示.

那本基础过关说是基础过关，得有很强的功底才能做了，你现在只看课本和复习全书就可以了，尽量暑假前复试一遍。真题没必要说是几遍，有些题你做第二次的时候就变味了。

1.事件的关系与运算 (1) 子事件： ，若 发生，则 发生。 (2) 相等事件： ，即 ，且 。 (3) 和事件： （或 ）， 与 中至少有一个发生。 (4) 差事件： ， 发生但 不发生。 (5) 积事件： （或 ）， 与 同时发生。 (6) 互斥事件（互不相容）： = 。 (7) 互逆事件（对立事件）： 2.运算律 (1) 交换律： (2) 结合律： (3) 分配律： 3.德 摩根律 4.完全事件组 两两互斥，且和事件为必然事件，即 5.概率的基本公式 (1)条件概率: ,表示 发生的条件下， 发生的概率。 (2)全概率公式： (3) Bayes 公式： 注：上述公式中事件 的个数可为可列个。 (4)乘法公式： 6.事件的独立性 (1) 与 相互独立 (2) ， ， 两两独立 ; ; ; (3) ， ， 相互独立 ; ; ; 7.独立重复试验 将某试验独立重复 次，若每次实验中事件 A 发生的概率为 ，则 次试验中 发生 次的概率为： 8.重要公式与结论 (5)条件概率 满足概率的所有性质， 例如：. (6)若 相互独立，则 (7)互斥、互逆与独立性之间的关系： 与 互逆 与 互斥，但反之不成立， 与 互斥（或互逆）且均非零概率事件 与 不独立. (8)若 相互独立，则 与 也相互独立，其中 分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为 1（或 0）的事件与任何事件相互独立. 1.随机变量及概率分布 取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律 2.分布函数的概念与性质 定义： 性质：(1) (2) 单调不减 (3) 右连续 (4) 3.离散型随机变量的概率分布 4.连续型随机变量的概率密度 概率密度 ;非负可积，且: (1) (2) (3) 为 的连续点，则: 分布函数 5.常见分布 (1) 0-1 分布: (2) 二项分布: ： (3) Poisson 分布: ： (4) 均匀分布 ： (5) 正态分布: (6)指数分布: (7)几何分布: (8)超几何分布: 6.随机变量函数的概率分布 (1)离散型： 则: (2)连续型： 则: ， 7.重要公式与结论 (1) (2) (3) (4) (5) 离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数。 (6) 存在既非离散也非连续型随机变量。 1.二维随机变量及其联合分布 由两个随机变量构成的随机向量 ， 联合分布为 2.二维离散型随机变量的分布 (1) 联合概率分布律 (2) 边缘分布律 (3) 条件分布律 3. 二维连续性随机变量的密度 (1) 联合概率密度 (2) 分布函数： (3) 边缘概率密度： (4) 条件概率密度： 4.常见二维随机变量的联合分布 (1) 二维均匀分布： , (2) 二维正态分布： , 5.随机变量的独立性和相关性 和 的相互独立: : （离散型） （连续型） 和 的相关性： 相关系数 时，称 和 不相关， 否则称 和 相关 6.两个随机变量简单函数的概率分布 离散型： 则： 连续型： 则： ， 7.重要公式与结论 (1) 边缘密度公式： (2) (3) 若 服从二维正态分布 则有： (4) 若 与 独立，且分别服从 则： (5) 若 与 相互独立， 和 为连续函数， 则 和 也相互独立。 1.数学期望 离散型： ； 连续型： 性质： (1) (2) (3) 若 和 独立，则 (4) 2.方差 ： 3.标准差 ： ， 4.离散型： 5.连续型： 性质： (1) (2) 与 相互独立，则 (3) (4) 一般有 (5) (6) 6.随机变量函数的数学期望 (1) 对于函数 为离散型： ； 为连续型： (2) ; ; ; 7.协方差 8.相关系数 , 阶原点矩 ; 阶中心矩 性质： (1) (2) (3) (4) (5) ，其中