求几个导数题

导数的简单应用及定积分（基础）

导数的几何意义及其应用

常考查：①根据曲线方程，求其在某点处的切线方程；②根据曲线的切线方程求曲线方程中的某一参数．可能出现在导数解答题的第一问，较基础．

1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是(　　)

A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0

C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0

解析　设切点坐标为(x0，x20)，则切线斜率为2x0，

由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，

即2x－y－1＝0.

答案　D

2．已知直线y＝kx是y＝ln x的切线，则k的值为(　　)．

A．e B．－e C.1e D．－1e

解析　设(x0，ln x0)是曲线y＝ln x与直线y＝kx的切点，

由y′＝1x知y′|x＝x0＝1x0

由已知条件：ln x0x0＝1x0，解得x0＝e，k＝1e.

答案　C

3．已知函数f(x)＝ax2＋3x－2在点(2，f(2))处的切线斜率为7，则实数a的值为

A．－1 B．1 C．±1 D．－2

3．B　[因为f′(x)＝2ax＋3，所以由题意得2a×2＋3＝7，解得a＝1.故选B.]

4．已知函数f(x)＝xex，则f′(x)＝________；函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为________．

4．解析　依题意得f′(x)＝1•ex＋x•ex＝(1＋x)ex；f′(0)＝(1＋0)e0＝1，f(0)＝0•e0＝0，因此函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程是y－0＝x－0，即y＝x.

答案　(1＋x)ex　y＝x

利用导数研究函数的单调性

常考查：①利用导数研究含参函数的单调性问题；②由函数的单调性求参数的范围．尤其是含参函数单调性的研究成为高考命题的热点，主要考查学生的分类讨论思想，试题有一定难度．

1．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是

A．(0,1] B．[1，＋∞)

C．(－∞，－1]∪(0,1] D．[－1,0)∪(0,1]

1．A　[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∵f′(x)＝2x－2x＝2x2－1x，由f′(x)≤0，得0＜x≤1.]

2．函数y＝4x2＋1x的单调增区间为(　　)．

A．(0，＋∞) B.12，＋∞

C．(－∞，－1) D.－∞，－12

2.解析　由y＝4x2＋1x得y′＝8x－1x2，令y′>0，即8x－1x2>0，解得x>12，

∴函数y＝4x2＋1x在12，＋∞上递增．

答案　B

3．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有(　　)．

A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)

C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)

3.解析　不等式(x－1)f′(x)≥0等价于x－1≥0，f′x≥0或x－1≤0，f′x≤0.

可知f(x)在(－∞，1)上递减，(1，＋∞)上递增，或者f(x)为常数函数，因此f(0)＋f(2)≥2f(1)．

答案　C

4．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　)．

A．(－1,1) B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)

4.解析　设g(x)＝f(x)－2x－4，由已知g′(x)＝f′(x)－2＞0，

则g(x)在(－∞，＋∞)上递增，又g(－1)＝f(－1)－2＝0，

由g(x)＝f(x)－2x－4＞0，知x＞－1.

答案　B

5．函数f(x)＝13x3－x2－3x－1的图象与x轴的交点个数是________．

5．解析　f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，函数在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数，由f(x)极小值＝f(3)＝－10＜0，f(x)极大值＝f(－1)＝23＞0知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.

答案　3

6．设函数f(x)＝x(ex＋1)＋12x2，则函数f(x)的单调增区间为________．

6.解析：因为f(x)＝x(ex＋1)＋12x2，

所以f′(x)＝ex＋1＋xex＋x＝(ex＋1)•(x＋1)．

令f′(x)>0，即(ex＋1)(x＋1)>0，解得x>－1.

所以函数f(x)的单调增区间为(－1，＋∞)．

答案：(－1，＋∞)

7．已知函数f(x)＝x2(x－a)．

若f(x)在(2,3)上单调则实数a的范围是________；

若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的范围是________．

7.解析　由f(x)＝x3－ax2得f′(x)＝3x2－2ax＝3xx－2a3.

若f(x)在(2,3)上不单调，则有2a3≠0，2<2a3<3，解得：3<a<92.

答案　(－∞，3 ]∪92，＋∞，3，92

利用导数研究函数的极值或最值

此类问题的命题背景很宽泛，涉及到的知识点多，综合性强，常考查：①直接求极值或最值；②利用极(最)值求参数的值或范围．常与函数的单调性、方程、不等式及实际应用问题综合，形成知识的交汇问题．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．函数f(x)＝ex＋e－x(e为自然对数的底数)在(0，＋∞)上

A．有极大值 B．有极小值

C．是增函数 D．是减函数

1．C　[依题意知，当x＞0时，f′ (x)＝ex－e－x＞e0－e0＝0，因此f(x)在(0，＋∞)上是增函数，选C.]

2．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是

A． －13 B．－15 C．10 D．15

2．A　[求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x.由此可得f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.于是，f(m)＋f′(n)的最小值为－13.故选A.]

3．已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f′(x)的图象如图所 示，则(　　)

A．f(x)在x＝1处取得极小值

B．f(x)在x＝1处取得极大值

C．f(x)是R上的增函数

D．f(x)是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数

3.解析：由图象易知f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上是增函数．

答案：C

4．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1a处有极值，则ab的值为(　　)

A．2 B．－2 C．3 D．－3

4.解析 f′(x)＝3ax2＋b，由f′1a＝3a1a2＋b＝0，可得ab＝－3.故选D.

答案 D

5．若函数y＝f(x)可导，则“f′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的 (　　)．

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5.答案　A

6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　)．

A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)

C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

6.解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为函数有极大值和极小值，

所以f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，

解得a＜－3或a＞6.

答案　B

7．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是(　　)

A．－13 B．－15

C．10 D．15

7.解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，

f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，

∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.答案：A

8．函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最小值为(　　)．

A．0 B.1e C.4e4 D.2e2

8.解析　y′＝e－x－xe－x＝－e－x(x－1)

y′与y随x变化情况如下：

x 0 (0,1) 1 (1,4) 4

y′ ＋ 0 －

y 0 1e

4e4

当x＝0时，函数y＝xe－x取到最小值0.

答案　A

9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是(　　)．

9.解析　若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则易得a＝c.因选项A、B的函数为f(x)＝a(x＋1)2，则[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝a(x＋1)(x＋3)ex，∴x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，满足条件；选项C中，对称轴x＝－b2a＞0，且开口向下，∴a＜0，b＞0，∴f(－1)＝2a－b＜0，也满足条件；选项D中，对称轴x＝－b2a＜－1，且开口向上，∴a＞0，b＞2a，∴f(－1)＝2a－b＜0，与图矛盾，故答案选D.

答案　D

10．函数f(x)＝x2－2ln x的最小值为________．

解析　由f′(x)＝2x－2x＝0，得x2＝1.又x＞0，所以x＝1.因为0＜x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时f′(x)＞0，所以当x＝1时，f(x)取极小值(极小值唯一)也即最小值f(1)＝1.

答案　1

11．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围________．

解析　f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，

由已知条件Δ>0，即36a2－36(a＋2)>0，

解得a<－1，或a>2.

答案　(－∞，－1)∪(2，＋∞)

定积分问题

定积分及其应用是新课标中的新增内容，常考查：①依据定积分的基本运算求解简单的定积分；②根据定积分的几何意义和性质求曲边梯形面积．关键在于准确找出被积函数的原函数，利用微积分基本定理求解．各地考纲对定积分的要求不高．学习时以掌握基础题型为主．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1． (x－sin x)dx等于

A.π24－1 B.π28－1 C.π28 D.π28＋1

1．B　[ (x－sin x)dx＝12x2＋cos x ×π22＋cos π2－cos 0＝π28－1，故选B.]

2．设f(x)＝x2，x∈[0，1]1x，x∈1，e](e为自然对数的底数)，则0ef(x)dx的值为________．

2．解析　依题意得，0ef(x)dx＝01x2dx＋1e1xdx

＝13x310＋ln xe1＝43

答案　43

设函数在及时取得极值．

　　（1）求a、b的值；

　　（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．

17．设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点，.求

(Ⅰ)求点的坐标；

(Ⅱ)求动点的轨迹方程.

18. 已知函数

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围.16．解：（1），

因为函数在及取得极值，则有，．

即

解得，．

（2）由（Ⅰ）可知，，

．

当时，；

当时，；

当时，．

所以，当时，取得极大值，又，．

则当时，的最大值为．

因为对于任意的，有恒成立，

所以　，

解得　或，

因此的取值范围为．

17．解: (1)令解得

当时,, 当时, ,当时,

所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,

所以, 点A、B的坐标为.

(2) 设，，

，所以，又PQ的中点在上，所以

消去得.

另法：点P的轨迹方程为其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为3的圆；设点（0，2）关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，由，得a=8,b=-2

18．解（1） ………………………2分

∴曲线在处的切线方程为，即；……4分

（2）记

令或1. …………………………………………………………6分

则的变化情况如下表

极大 极小

当有极大值有极小值. ………………………10分

由的简图知，当且仅当

即时，

函数有三个不同零点，过点可作三条不同切线.

所以若过点可作曲线的三条不同切线，的范围是.…………14分

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