概率怎么算啊？

分辨不出五月里秀丽群山郁郁葱葱，只有朦胧的美蒙蒙烟雨中，你在那头，我在这头。血色的花朵，如慓悍的人生宣言，氤氲着一如榴火般热烈的豪情；我心中的月牙泉，演绎着多彩的梦，谱写着阳春的歌，点缀着求索的情。

条件概率：条件概率：已知事件B出现的条件下A出现的概率，称为条件概率，记作：P(A|B)条件概率计算公式：当P(A)>0，P(B|A)=P(AB)/P(A)当P(B)>0，P(A|B)=P(AB)/P(B)乘法公式：P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)推广：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)全概率公式：设：若事件A1，A2，…，An互不相容，且A1+A2+…+An=Ω，则称A1，A2，…，An构成一个完备事件组。概率算法：概率算法的一个基本特征是，对所求问题的同一实例用同一概率算法求解两次可能得到完全不同的效果。随机数在概率算法设计中扮演着十分重要的角色。在现实计算机上无法产生真正的随机数，因此在概率算法中使用的随机数都是一定程度上随机的，即伪随机数。

概率的公理化包括两个方面：一是事件的公理化表示（利用集合论），二是概率的公理化表示（测度论）。其次是建立在集合之上的可测函数的分析和研究，这就可以利用现代分析技术了。这些工作是由前苏联数学家科尔莫格洛夫在1933年完成的。概率，亦称“或然率”，它是反映随机事件出现的可能性（likelihood)大小。随机事件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件。例如，从一批有正品和次品的商品中，随意抽取一件，“抽得的是正品”就是一个随机事件。设对某一随机现象进行了n次试验与观察，其中A事件出现了m次，即其出现的频率为m/n。经过大量反复试验，常有m/n越来越接近于某个确定的常数（此论断证明详见伯努利大数定律）。该常数即为事件A出现的概率，常用P(A)表示。 第一个系统地推算概率的人是16世纪的卡尔达诺。记载在他的著作《Liber de Ludo Aleae》中。书中关于概率的内容是由Gould从拉丁文翻译出来的。 卡尔达诺的数学著作中有很多给赌徒的建议。这些建议都写成短文。然而，首次提出系统研究概率的是在帕斯卡和费马来往的一系列信件中。这些通信最初是由帕斯卡提出的，他想找费马请教几个关于由Chevvalier de Mere提出的问题。Chevvalier de Mere是一知名作家，路易十四宫廷的显要，也是一名狂热的赌徒。问题主要是两个：掷骰子问题和比赛奖金分配问题。

概率的公理化包括两个方面：一是事件的公理化表示（利用集合论）,二是概率的公理化表示（测度论）.其次是建立在集合之上的可测函数的分析和研究,这就可以利用现代分析技术了. 这些工作是由前苏联数学家科尔莫格洛夫在1933年完成的.这里关于西格玛域（代数）等这些就不定义了,直接给出三条公理.

概率，又称或然率、机会率、机率或可能性，是概率论的基本概念。概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。越接近1，该事件更可能发生;越接近0，则该事件更不可能发生。人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。 柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义，如下: 对于随机试验的每一事件赋于一个实数，称为某事件的概率。

柯尔莫哥洛夫。柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义，如下：设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(A)是一个集合函数，P(A)要满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0。（2）规范性：对于必然事件，有P(Ω）＝1。（3）可列可加性：设A1，A2……是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），则有P(A1∪A2∪……）＝P(A1)+P(A2)+……。公理化概率论：柯尔莫格罗夫所提出的概率论公理化体系，主要根植于集合论、测度论与实变函数论。他运用娴熟的实变函数理论，建立了集合测度与随机事件概率的类比、积分与数学期望的类比、函数的正交性与随机变量独立性的类比等，这种广泛的类比赋予概率论以演绎数学的特征，许多在直线上的积分定理都可移植到概率空间。

一、概率的公理化定义概率论研究的是随机现象的统计规律性，先通过集合论的知识引入样本空间，然后通过样本空间来定义随机事件，这样我们的重点是关注随机事件发生的能可性大小，这是我们最关心的，可是怎么来衡量它呢？对一个随机事件A,要想说明它的发生可能性大小，最直接的就是赋予其一个数，称其为概率。这个过程也是一波三折，直到1933才由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出一个公理化定义：只要P(A)满足：非负性，规范性与可列可加性就称P(A)为A的概率，说明A发生的可能性大小。这是概率论遇到的第一个亟需解决的量化问题，解决了！二、随机变量的引入第二个需要量化的是那些样本点，啥玩意都有：S=；S={阳性，阴性}；S={男，女}这样表示不利于我们对所关心事件的整理，同时也不直观，不易让人看懂，所以引入了随机变量这个概念。什么是随机变量呢？就是将样本空间中的所有样本点按照一定的规则对应到实数，按课本上的定义就是定义在样本空间上的单值实函数X(e)称为随机变量，实际上它称函数，人家函数阵营并不同意，我们都是从R对应到R的，你是从样本空间对应到实数，算什么函数嘛，顶多是一个映射。不过函数比较忙，也没时间打假，你叫就叫吧。不管怎样，随机变量混成了一个函数，还真解决了概率论的一大心病，看这样的式子多爽：P=1/2P=1/6三、分布函数这可是一个货真价实的函数，至此可用分布函数来表示我们所关心的事件并利用高等数学的知识来求概率了。

你随便吧

《博弈圣经》概率的定义《博弈圣经》概率的定义；概率如同太监，讲概率的人，如同太监讲性；讲生男生女、讲优生优育；概率论，如同太监肚子里的大粪。

功率：P=W/t电功率：P=IU纯电阻电路：P=U^2/R P=I^2*R

概率公理（英语：Probability axioms）是概率论的公理，任何事件发生的概率的定义均满足概率公理。因其发明者为安德烈·柯尔莫果洛夫，也被人们熟知为柯尔莫果洛夫公理（Kolmogorov axioms）。 某个事件的概率是定义在“全体”（universe）或者所有可能基础事件的样本空间时，概率必须满足以下柯尔莫果洛夫公理。 也可以说，概率可以被解释为定义在样本空间的子集的σ代数上的一个测度，那些子集为事件，使得所有集的测度为。这个性质很重要，因为这里提出条件概率的自然概念。对于每一个非零概率A都可以在空间上定义另外一个概率： 这通常被读作“给定A时B的概率”。如果给定A时B的条件概率与B的概率相同，则A与B被称为是独立的。 当样本空间是有限或者可数无限时，概率函数也可以以基本事件定义它的值，这里。具体的解释建议参考如下文档http://wenku.baidu.com/view/a3c50d8da0116c175f0e481a.html

1 随机事件与概率1.1 随机事件及其运算随机现象 在一定条件下, 并不总是出现相同结果的现象.样本空间 随机现象的一切可能基本结果组成的集合, 记为 [公式] , 其中 [公式] 表示基本结果, 又称为样本点.随机事件 随机现象的某些样本点组成的集合, 常用大写字母 [公式] 等表示, [公式] 表示必然事件, [公式] 表示不可能事件.随机变量 用来表示随机现象结果的变量, 常用大写字母 [公式] 等表示.事件间的关系 (1)包含关系 如果属于 [公式] 的样本点必属于 [公式] , 即事件 [公式] 发生必然导致事件 [公式] 发生, 则称 [公式] 被包含在 [公式] 中, 记为 [公式] ;(2)相等关系 如果 [公式] 且 [公式] , 则称 [公式] 与 [公式] 相等, 记为 [公式] ; (3)互不相容 如果 [公式] , 即 [公式] 与 [公式] 不可能同时发生, 则称 [公式] 与 [公式] 互不相容.事件的运算 (1)事件的并 事件 [公式] 与 [公式] 中至少有一个发生, 记为 [公式] ; (2)事件的交 事件 [公式] 与 [公式] 同时发生, 记为 [公式] 或 [公式] ; (3)事件的差 事件 [公式] 发生而事件 [公式] 不发生, 记为 [公式] ; (4)对立事件 事件 [公式] 的对立事件即“ [公式] 不发生”, 记为 [公式] .事件的运算性质 (1)并与交满足结合律和交换律;(2)分配律 [公式] ; [公式] ; (3)棣莫弗公式(对偶法则) [公式] , [公式] .事件域 含有必然事件 [公式] , 并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类 [公式] 称为事件域, 又称为 [公式] 代数.具体说, 事件域 [公式] 满足: (1) [公式] ; (2)若 [公式] , 则对立事件 [公式] ; (3)若 [公式] , [公式] , 则可列并 [公式] .两个常用的事件域(1)离散样本空间 [公式] 内的一切子集组成的事件域;(2)连续样本空间 [公式] 内的一切博雷尔集逐步扩展而成的事件域.1.2 概率的定义及其确定方法概率的公理化定义 定义在事件域 [公式] 上的一个实值函数 [公式] 满足: (1)非负性公理 若 [公式] ,则 [公式] ; (2)正则性公理 [公式] ;(3)可列可加性公理 若 [公式] 互不相容, 有 [公式] , 则称 [公式] 为事件 [公式] 的概率, 称三元素 [公式] 为概率空间.

概率是怎么算出来的？

概率的定义是什么？ ■概率的频率定义 随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。A.H.柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义。 ■概率的严格定义 设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P（·）是一个 *** 函数，P（·）要满足下列条件： (1)非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0; (2)规范性：对于必然事件S，有P(S)=1; (3)可列可加性：设A1,A2……是两两互不相容的事件，即对于i≠j,Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），则有P(A1∪A2∪……)=P(A1)+P(A2)+…… ■概率的古典定义 如果一个试验满足两条： (1)试验只有有限个基本结果； (2)试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。 这样的试验，成为古典试验。 对于古典试验中的事件A，它的概率定义为： P(A)=m/n,n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。m表示事件A包含的试验基本结果数。这种定义概率的方法称为概率的古典定义。 ■概率的统计定义 在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p。这个定义成为概率的统计定义。 在历史上，第一个对“当试验次数n逐渐增大，频率nA稳定在其概率p上”这一论断给以严格的意义和数学证明的是早期概率论史上最重要的学者雅各布·伯努利（Jocob Bernoulli，公元1654年~1705年）。 从概率的统计定义可以看到，数值p就是在该条件下刻画事件A发生可能性大小的一个数量指标。 由于频率nA/n总是介于0和1之间，从概率的统计定义可知，对任意事件A，皆有0≤P(A)≤1,P（Ω）=1,P（Φ）=0。 Ω、Φ分别表示必然事件（在一定条件下必然发生的事件）和不可能事件（在一定条件下必然不发生的事件）。 如何理解概率的定义？ 首先应该明确在数学上概率是用公理化的形式定义的。 各种教科书中出现的‘概率统计定义"，‘古典概率定义"，‘几何概率定义"都是一些描述性的说法。教师不应该过分地去揣摩，探究那里的用语，而应理解其实质。 概率的概念笼统说并不难，但若深入到理论或哲学中去讨论，问题就有一大堆，不是中学（甚至也不是大学）数学课程需要讨论的。在这里，谈谈对数学上‘定义"的一些看法。 我们不想谈数学中给出定义的必要性，它的作用和意义。每一个数学老师对此都清楚。 我们想谈的是相反的一面，也是我们认为有些问题的地方，即过分地追求定义，过分地探究书中的词语，而忽略了对整体精神的把握。对任何一个概念的定义，都需要用到一些词语。 而严格说，这些词语仍需要定义。定义这些词语又需要用到另外一些词语。 因此，这是一个无限上推、无法完成的任务，除非在某一处停下来。换句话说，必须有一些不加定义的词语，以此为出发点来讨论问题。 提出这一点，是希望人们不要迷信定义。有人以为凡是没定义的都是不严格的，只有给出了定义才严格。 这种看法是不全面的。其次，有些定义即使有，对许多人来说也是不必要的。 大多数科学家并不需要了解实数的理论（实数的严格定义），大多数数学家也不需要掌握用皮亚诺公理给出的自然数定义。严格表述尽管重要，但数学中最重要的活力来自于它的问题，思想，来自人们的探索，猜想，分析。 概率的统计定义通常可以这样叙述：在相同的条件下做大量的重复试验，一个事件出现的次数k和总的试验次数n之比，称为这个事件在这n次试验中出现的频率。当试验次数n很大时，频率将‘稳定"在一个常数附近。 n越大，频率偏离这个常数大的可能性越小。这个常数称为该事件的概率。 我们要清楚上述定义只是描述性的。事实上它有循环定义之嫌。 因为定义中出现了‘可能性"。这指的就是概率.（类似地在古典概率定义中通常出现‘等可能性"）。 你可以设法避免这类词出现，但其本质的意义无法避免。有些人去探讨‘试验"等词的定义。 事实上，‘做一次试验"并不难理解。如，扔一个硬币，摸三个红球，取十个产品，等等。 个别复杂的试验也不难向学生解释。把‘做一次试验"定义为‘条件实现一次"，反而更难让人理解。 什么叫‘条件"？什么叫‘实现"？这显然是不恰当的。何况‘试验"根本不是数学中的名词。 概率学的定义 自然界和社会上所观察到的现象分为：确定现象与随机现象。概率学是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律. 一方面，它有自己独特的概念和方法，另一方面，它与其他数学分支又有紧密的联系，它是现代数学的重要组成部分.概率学的广泛应用几乎遍及所有的科学技术领域， 例如天气预报， 地震预报， 产品的抽样调查； 工农业生产和国民经济的各个部门，在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性，分辨率等等. 概率学公式：P(A)=m/n 几率与概率的概念区别？ 几率就是概率，两者没有区别。 概率，亦称“或然率”，它是反映随机事件出现的可能性（likelihood）大小。随机事件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件。例如，从一批有正品和次品的商品中，随意抽取一件，“抽得的是正品”就是一个随机事件。 设对某一随机现象进行了n次试验与观察，其中A事件出现了m次，即其出现的频率为m/n。经过大量反复试验，常有m/n越来越接近于某个确定的常数（此论断证明详见伯努利大数定律）。该常数即为事件A出现的概率，常用P (A) 表示。 扩展资料： 概率事件： 在一个特定的随机试验中，称每一可能出现的结果为一个基本事件，全体基本事件的 *** 称为基本空间。随机事件（简称事件）是由某些基本事件组成的。 例如，在连续掷两次骰子的随机试验中，用Z,Y分别表示第一次和第二次出现的点数，Z和Y可以取值1、2、3、4、5、6，每一点（Z,Y）表示一个基本事件，因而基本空间包含36个元素。“点数之和为2”是一事件，它是由一个基本事件（1,1）组成，可用 *** {（1,1）}表示。 “点数之和为4”也是一事件，它由（1,3）,(2,2),(3,1)3个基本事件组成，可用 *** {（1,3）,(3,1),(2,2)}表示。如果把“点数之和为1”也看成事件，则它是一个不包含任何基本事件的事件，称为不可能事件。 P（不可能事件）=0。在试验中此事件不可能发生。如果把“点数之和小于40”看成一事件，它包含所有基本事件，在试验中此事件一定发生，称为必然事件。P（必然事件）=1。实际生活中需要对各种各样的事件及其相互关系、基本空间中元素所组成的各种子集及其相互关系等进行研究。

其实你这个问题的条件应该是不完整的，这个公式应该在B属于A时才成立。当B属于A时，你做图可以发现，此时B就是A与B的交集，即B=AB，因此P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)

1.1.1 随机现象: 概率论与数理统计的研究的对象就是随机现象，随机现象就是在一定的条件下不总是出现相同的结果的现象，也就是不能肯定的确定结果的现象就统称为随机现象。现实生活中有很多的随机现象比如同一学校统一专业的学生考上研究生的现象就是随机现象，你不能说哪一个学生肯定能够考上某所学校但是你能根据这所学校往年的数据估算出这所学校的考研率，在一定程度上也就能够大致估算出这所学校某某同学考上研究生的可能性有多大，当然一个学生能不能考上研究生与这所学校的考研率并没有必然的联系因为是随机的具有不确定性，但有一定的相关程度在里面。整个概率论研究的就是随机现象的模型(概率分布)，而概率分布则是能够用来描叙某随机现象特征的工具。有阴就有阳，有了随机事件自然与之对应的就是确定性现象(如太阳每天东升西落) 1.1.2 样本空间： 随机现象一切可能 基本结果 所构成的集合则称为样本空间，其集合内的元素又称为样本点，当样本点的个数为可列个或者有限个的时候就叫做离散型样本空间，当样本点的个数为无限个或者不可列个的时候就叫做连续型样本空间。( 可列个的意思是可以按照一定的次序一一列举出来，比如某一天内到达某一个商场内的人数都是整数1，2，3。。。。，这叫可列个，不可列个的意思比如电视机的寿命，有100.1小时的有100.01小时的有100.0001小时的，你永远不能按照次序列举出比一百小的下一个元素到底是哪一个，这就叫不可列)。 1.1.3 随机事件： 随机现象某些样本点组成的集合叫做用一个 随机事件 ，也就是说随机事件是样本空间的一个子集，而样本空间中单个元素所组成的集合就叫做 基本事件 ，样本空间自身也是一个事件叫做 必然事件 ，样本空间的最小子集也即空集就叫做 不可能事件 1.1.4 随机变量： 用来表示随机现象结果的变量称为 随机变量 ，随机变量的取值就表示随机事件的结果，实际上随机事件的结果往往与一个随机变量的取值可以一一对应 1.1.5 随机事件之间的运算与关系： 由于我们将随机事件定义成一个集合事件间的运算也可看作是集合间的运算，集合间的诸运算如交集、并集、补集、差集等运算随机事件之间也有，而且运算规则一致。集合间的包含、相等、互不相容、对立，事件之间也有，随机事件间的运算性质满足交换律、结合律、分配率、德摩根定律。 1.1.6 事件域： 事件域为样本空间的某些子集所组成的集合类而且满足三个条件，事件域中元素的个数就是样本空间子集的个数，比如一个有N个样本点的样本空间那么他的事件域就有 个元素，定义事件域主要是为了定义事件概率做准备。 概率论中最基本的一个问题就是如何去确定一个随机事件的概率，随机事件的结果虽然具有不确定性，但是他发生的结果具有一定的规律性(也即随机事件发生可能性的大小)，而用来描叙这种规律性的工具就是概率，但是我们怎么样来给概率下一个定义嘞？如何度量描叙事件发生可能性的大小嘞？这是一个问题。 在概率论的发展史上针对不同的随机事件有过各种各样的概率定义，但是那些定只适用于某一类的随机事件，那么如何给出适合一切随机现象概率的最一般的定义嘞？1900年数学家希尔伯特提出要建立概率的公理化定义，也就是建立一个放之四海而皆准的满足一切随机事件的概率的定义，用概率本质性的东西去刻画概率.1933年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公理化定义，这个定义既概括了历史上几种概率的定义中的共同特性，又避免了各自的含混不清之处，不管什么随机现象只有满足该定义中的三条公理，才能说明他是概率，该定义发表之后得到了几乎所有数学家的一致认可。(说点题外话，如果某位数学工作者提出了某个重大的发现，首先需要写论文获得学术圈内的人士一致认同他的这个发现才能够有可能被作为公理写进教科书，之所以被称作公理就因为它既是放之四海而皆准的准则也是公认的真理)。 1.2.1 概率的三条公理化定义： 每一个随机事件其背后必定伴随着有她的样本空间(就像有些成功的男人背后都有一位贤内助)，每一个随机事件都属于样本空间的事件域，样本空间的选取不同对同一个随机事件而言其概率通常也会不同。 如果概率满足以上三条公理则称有样本空间、事件域、概率所组成的空间为概率空间，满足以上三条公理的概率才能称之为概率。 概率的公理化定义并没有给出计算概率的方法因此知道了什么是概率之后如何去确定概率就又成了一个问题。 1.2.2 确定概率的频率方法： 确定概率的频率方法应用场景是在能够大量重复的随机实验中进行，用频率的稳定值去获得概率的估算值的方法思想如下： 为什么会想到用频率去估算概率嘞？因为人们的长期实践表明随着试验次数的增加，频率会稳定在某一个常数附近，我们称这个常数为频率的稳定值，后来的伯努力的大数定律证明了其稳定值就是随机事件发生的概率，可以证明频率一样满足概率的三条公理化定义由此可见频率就是“伪概率”。 1.2.4 确定概率的古典方法： 古典问题是历史上最早的研究概率论的问题，包括帕斯卡研究的骰子问题就是古典问题，他简单直观不需要做大量的试验我们就可以在经验事实的基础上感性且理性的分析清楚。 古典方法确定概率的思想如下： 很显然上叙古典概率满足概率的三条公理化定义，古典概型是最古老的确定概率的常用方法，求古典概率归结为求样本空间样本点的总数和事件样本点的个数，所以在计算中常用到排列组合的工具。 1.2.5 确定概率的几何方法： 基本思想： 1.2.6 确定概率的主观方法： 在现实世界中一些随机现象是无法进行随机试验的或者进行随机试验的成本大到得不偿失的地步，这时候的概率如何确定嘞？ 统计学界的贝叶斯学派认为：一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生可能性的个人信念，这样给出的概率就叫做主观概率，比如我说我考上研究生的概率是百分之百(这当然有吹牛的成分在里面，但是里面有也包含了自信和自己对自己学习情况的了解以及自己对所报考院校的了解)，比如说某企业家说根据它多年的经验和当时的一些市场信息认为某项新产品在市场上畅销的可能性是百分之80(这种话如果是熟人在私下里跟你说你还可以相信但是也要小心，如果是陌生人当着很多人的面说的你会相信吗？傻X才相信对不对？这么畅销你自己为什么不去做还把蛋糕分给老子？)。主观概率就是人们根据实际情况对某件事情发生的可能性作出的估计，但是这种估计的好坏是有待验证的。 这个理解了都不用特意去记要用的时候信手捏来，我是个很勤快的人其他公式都懒得记懒得写了。。。。下面只分析条件概率、全概率公式、贝叶斯公式： 1.3.1 条件概率： 所谓条件概率就是在事件A发生的情况下B发生的概率，即A B为样本空间 中两两事件若P(B)>0则称： 为在B发生的前提下A发生的条件概率，简称条件概率。 这个公式不难理解，实际上上面公式 也就是说“ 在B发生的条件下A发生的概率等于事件A与事件B共有的样本点的个数比上B的样本点的个数”，而且可以验证此条件概率满足概率的三条公理化定义。 1.3.2 乘法公式： 1.3.3 全概率公式： 设 为样本空间 的一个分割，即 互不相容，且 ,如果 则对任一事件A有： 这个公式也是很好理解的因为诸 互不相容而且其和事件为样本空间，故A事件中的样本点的个数等于A与诸 中共有样本点的和。 1.3.4 贝叶斯公式： 贝叶斯公式是在全概率公式和乘法公式的基础上推得的。 设若 为样本空间的一个分割，即 互不相容，且 如果 则： 公式的证明是根据条件概率来的，然后在把分子分母分别用乘法公式和全概率公式代替即可，公式中的 一般为已知概率称之为 先验概率 公式中 则称之为 后验概率 ，全概率公式和乘法公式为由原因推结果，而贝叶斯公式则为由结果推原因。 1.3.5 事件独立性： 上面我们介绍了条件概率这个概念，在条件A下条件B发生的概率为 ,如果B的发生不受A的影响嘞？直觉上来讲这就将意味着 故引入如下定义对任意两个事件A,B若 则称事件A与事件B相互独立 除了两个随机事件相互独立满足的定义当然也会有多个随机事件独立满足的定义，对N随机事件相互独立则要求对事件中的任意 个随机事件都相互独立. 1.3.6 伯努利概型： 定义：如果实验E只有两种可能的结果： ,然后把这个试验重复n次就构成了n重伯努利试验或称之为伯努利概型.显然每次伯努利试验事件结果之间是相互独立互不影响的，则伯努利试验显然是服从二项分布的，之后再介绍二项分布。 1.4.1 离散型随机变量： 之前说过用来表示随机现象结果的变量称之为随机变量，如抛掷一枚骰子随机变量的取值可以为1,2,3….显然此时随便试验的结果与随机变量的取值是一一对应的，于是我们将研究随机试验结果的统计规律转化为研究随机变量取值的统计规律，这种对应关系是人为的建立起来的同时也是合理的，只取有限个或者可列个值时候的随机变量则称之为离散型随机变量。 1.4.2 随机变量的分布列： 将随机变量的取值与其对应取值的可能性大小即概率列成一张表就称之为分布列，分布列使得随机变量的统计规律一目了然也方便计算其特征数方差和均值。分布列满足如下两个性质： 满足以上两个性质的列表则称之为分布列 1.4.3 分布函数： 设若X为一个随机变量，对任意的实数x，称 为随机变量X的分布函数记为 . 分布函数满足以下三个性质： 以上上个性质是一个函数能否成为分布函数的充要条件。 1.4.4 数学期望和方差： 先来看一个例子，某手表厂在出产的产品中抽查了N=100只手表的日走时误差其数据如下： 这时候这100只手表的平均日走时误差为： 其中 是日走时误差的频率记做 则 平均值 即平均值为频数乘以频率的和，由于在 时频率稳定于概率，于是在理论上来讲频率应该用概率来代替，这时我们把频率用概率来代替之后求出的平均值称之为数学期望(实际上由后面的大数定律可得平均值也稳定于数学期望),数学期望在一定程度上反映了随机变量X结果的平均程度即整体的大小，我们记为 。 定义：设X是一个随机变量X的均值 存在 如果 也存在则称之为随机变量X的方差记为 . 显然方差也是一个均值那么他是什么的均值嘞？ 表示随机变量的均值离差， 由随机变量平均值的离差和等于零我们可以推的随机变量均值的离差和也等于零故均值离差和的均值 也等于零，但是我们希望用离差来刻画不同分布间的差别如果用均值离差和的均值那么任何分布都为零，于是我们将离差加上一个平方变成 这样避免了离差和为零。那么方差这个表示分布特征的数又有什么重要意义嘞？很多人看似学完了概率统计，但是居然连方差的意义都没有搞清楚，实际上方差是用来刻画数据间的差异的，而刻画数据间的差异无论是在空间上的向量还是在平面上的点，用距离来刻画他们之间的差异是再好不过的。在物理学上要想正确合理的比较两动体的速度加速度我们就需要选取合适的参考系来进行对比，同样在比较数据间的差异的时候我们也往往用均值来做他们的参考(实际上其他的值也可以用来进行比较，但是那可能造成方差过大的现象)，与均值的距离越大说明他们的差异也越大，而距离又有正负之分因此为了区别正负我们也需要把与均值的距离加上一个平方，这也就是方差概念的来源。我们通常用方差来描叙一组数据间的差异，方差越小数据越集中，越大数据越分散，同时在金融上面也用来评估风险比如股价的波动性，我们当然希望股价的波动越是平稳即方差越小、收益越稳定越好。 因为均值和方差描叙了随机变量及其分布的某些特征因此就将其称之为特征数. 1.4.5 连续型随机变量的密度函数： 连续型随机变量的取值可能充满某一个区间为不可列个取值，因此描叙连续型随机变量的概率分布不能再用分布列的行时呈现出来，而要借助其他的工具即概率密度函数。 概率密度函数的由来：比如某工厂测量一加工元件的长度，我们把测量的元件按照长度堆放起来，横轴为元件的单位长度，纵轴为元件单位长度上的频数，当原件数量很多的时候就会形成一定的图形，为了使得这个图形稳定下来我们将纵坐标修改为单位长度上的频率，当元件数量不断增多的时候由于频率会逐步稳定于概率，当单位长度越小，原件数量越多的时候，这个图形就越稳定，当单位长度趋向于零的时候，图形就呈现出一条光滑的曲线这时候纵坐标就由“单位长度上的概率”变为“一点上的概率密度”，此时形成的光滑曲线的函数 就叫做概率密度函数，他表现出x在一些地方取值的可能性较大，一些地方取值的可能性较小的一种统计规律，概率密度函数的形状多种多样，这正是反映了不同的连续随机变量取值统计规律上的差别。 概率密度函数 虽然不是密度但是将其乘上一个小的微元 就可得小区间 上概率的近似值，即 微分元的累计就能够得到区间 上的概率,这个累计不是别的就是 在区间 上的积分 = . 由此可得x的分布函数 ,对于连续型随机变量其密度函数的积分为分布函数，分布函数求导即为密度函数 密度函数的基本性质： 1.4.6 连续型随机变量的期望和方差： 设若随机变量X的密度函数为 . 数学期望： 方差： 1.4.7 切比雪夫不等式(Chebyshev,1821-1894): 设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对任意常数 有： . 之所以有这个公式是因为人们觉得事件{ }发生的概率应该与方差存在一定的联系，这个是可以理解的，方差越大在某种程度上说明 X的取值偏离 越厉害即说明偏离值大于某个常数a的取值越多因此取值大于某个值的概率也越大，上面公式说明大偏差发生概率的上界与方差有关，方差越大上界也越大。 1.4.8 常用离散型分布： 1.4.9 常用的连续型分布：

首先应该明确在数学上概率是用公理化的形式定义的。各种教科书中出现的‘概率统计定义",‘古典概率定义",‘几何概率定义"都是一些描述性的说法。教师不应该过分地去揣摩，探究那里的用语，而应理解其实质。概率的概念笼统说并不难，但若深入到理论或哲学中去讨论，问题就有一大堆，不是中学(甚至也不是大学)数学课程需要讨论的。在这里，谈谈对数学上‘定义"的一些看法。我们不想谈数学中给出定义的必要性，它的作用和意义。每一个数学老师对此都清楚。我们想谈的是相反的一面，也是我们认为有些问题的地方，即过分地追求定义，过分地探究书中的词语，而忽略了对整体精神的把握。对任何一个概念的定义，都需要用到一些词语。而严格说，这些词语仍需要定义。定义这些词语又需要用到另外一些词语。因此，这是一个无限上推、无法完成的任务，除非在某一处停下来。换句话说，必须有一些不加定义的词语，以此为出发点来讨论问题。提出这一点，是希望人们不要迷信定义。有人以为凡是没定义的都是不严格的，只有给出了定义才严格。这种看法是不全面的。其次，有些定义即使有，对许多人来说也是不必要的。大多数科学家并不需要了解实数的理论(实数的严格定义)，大多数数学家也不需要掌握用皮亚诺公理给出的自然数定义。严格表述尽管重要，但数学中最重要的活力来自于它的问题，思想，来自人们的探索，猜想，分析。概率的统计定义通常可以这样叙述：在相同的条件下做大量的重复试验，一个事件出现的次数k和总的试验次数n之比，称为这个事件在这n次试验中出现的频率。当试验次数n很大时，频率将‘稳定"在一个常数附近。n越大，频率偏离这个常数大的可能性越小。这个常数称为该事件的概率。我们要清楚上述定义只是描述性的。事实上它有循环定义之嫌。因为定义中出现了‘可能性"。这指的就是概率.(类似地在古典概率定义中通常出现‘等可能性")。你可以设法避免这类词出现，但其本质的意义无法避免。有些人去探讨‘试验"等词的定义。事实上，‘做一次试验"并不难理解。如，扔一个硬币，摸三个红球，取十个产品，等等。个别复杂的试验也不难向学生解释。把‘做一次试验"定义为‘条件实现一次"，反而更难让人理解。什么叫‘条件"？什么叫‘实现"？这显然是不恰当的。何况‘试验"根本不是数学中的名词。

是的 概率越大，可能越大这是清华教授讲解概率的精彩视频，楼主看 下把http://v.youku.com/v_show/id_XMTA1ODYzMjg=.html 下面是资料，来自http://baike.baidu.com/view/45320.htm 【概率的定义】 随机事件出现的可能性的量度。概率论最基本的概念之一。人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。 ■概率的频率定义 随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。A.H.柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义。 ■概率的严格定义 设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(·)是一个集合函数，P(·)要满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0; （2）规范性：对于必然事件S，有P(S)=1; （3）可列可加性：设A1，A2……是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），则有P（A1∪A2∪……）=P（A1）+P（A2）+…… ■概率的古典定义 如果一个试验满足两条： （1）试验只有有限个基本结果； （2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。 这样的试验，成为古典试验。 对于古典试验中的事件A，它的概率定义为： P(A)=m/n，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。m表示事件A包含的试验基本结果数。这种定义概率的方法称为概率的古典定义。 ■概率的统计定义 在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p。这个定义成为概率的统计定义。 在历史上，第一个对“当试验次数n逐渐增大，频率nA稳定在其概率p上”这一论断给以严格的意义和数学证明的是早期概率论史上最重要的学者雅各布·伯努利（Jocob Bernoulli，公元1654年～1705年）。 从概率的统计定义可以看到，数值p就是在该条件下刻画事件A发生可能性大小的一个数量指标。 由于频率nA/n总是介于0和1之间，从概率的统计定义可知，对任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0。 Ω、Φ分别表示必然事件（在一定条件下必然发生的事件）和不可能事件（在一定条件下必然不发生的事件）。 编辑本段【生活中的实例】 普遍认为，人们对将要发生的机率总有一种不好的感觉，或者说不安全感，俗称「点背」，下面列出的几个例子可以形象描述人们有时对机率存在的错误的认识： ■1. 六合彩：在六合彩（49选6）中，一共有13983816种可能性（参阅组合数学），普遍认为，如果每周都买一个不相同的号，最晚可以在13983816/52（周）=268919年后获得头等奖。事实上这种理解是错误的，因为每次中奖的机率是相等的，中奖的可能性并不会因为时间的推移而变大。 ■2. 生日悖论：在一个足球场上有23个人（2×11个运动员和1个裁判员），不可思议的是，在这23人当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大於50％。 ■3. 轮盘游戏：在游戏中玩家普遍认为，在连续出现多次红色后，出现黑色的机率会越来越大。这种判断也是错误的，即出现黑色的机率每次是相等的，因为球本身并没有「记忆」，它不会意识到以前都发生了什麼，其机率始终是 18/37。 ■4. 三门问题：在电视台举办的猜隐藏在门后面的汽车的游戏节目中，在参赛者的对面有三扇关闭的门，其中只有一扇门的后面有一辆汽车，其它两扇门后是山羊。游戏规则是，参赛者先选择一扇他认为其后面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接著主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中后面有山羊的一扇门，这时主持人问参赛者，要不要改变主意，选择另一扇门，以使得赢得汽车的机率更大一些？正确结果是，如果此时参赛者改变主意而选择另一扇关闭著的门，他赢得汽车的机率会增加一倍。 编辑本段【概率的两大类别】 ■古典概率相关 古典概率讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形，即基本空间由有限个元素或基本事件组成，其个数记为n，每个基本事件发生的可能性是相同的。若事件A包含m个基本事件，则定义事件A发生的概率为p（A）＝m／n，也就是事件A发生的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数，这是P.-S.拉普拉斯的古典概率定义，或称之为概率的古典定义。历史上古典概率是由研究诸如掷骰子一类赌博游戏中的问题引起的。计算古典概率，可以用穷举法列出所有基本事件，再数清一个事件所含的基本事件个数相除，即借助组合计算可以简化计算过程。 ■几何概率相关 集合概率若随机试验中的基本事件有无穷多个，且每个基本事件发生是等可能的，这时就不能使用古典概率，于是产生了几何概率。几何概率的基本思想是把事件与几何区域对应，利用几何区域的度量来计算事件发生的概率，布丰投针问题是应用几何概率的一个典型例子。 在概率论发展的早期，人们就注意到古典概率仅考虑试验结果只有有限个的情况是不够的，还必须考虑试验结果是无限个的情况。为此可把无限个试验结果用欧式空间的某一区域S表示，其试验结果具有所谓“均匀分布”的性质，关于“均匀分布”的精确定义类似于古典概率中“等可能”只一概念。假设区域S以及其中任何可能出现的小区域A都是可以度量的，其度量的大小分别用μ(S)和μ(A)表示。如一维空间的长度，二维空间的面积，三维空间的体积等。并且假定这种度量具有如长度一样的各种性质，如度量的非负性、可加性等。 ◆几何概率的严格定义 设某一事件A（也是S中的某一区域），S包含A，它的量度大小为μ(A)，若以P(A)表示事件A发生的概率，考虑到“均匀分布”性，事件A发生的概率取为：P(A)=μ(A)/μ(S)，这样计算的概率称为几何概率。 ◆若Φ是不可能事件，即Φ为Ω中的空的区域，其量度大小为0，故其概率P(Φ)=0。 编辑本段【独立试验序列】 假如一串试验具备下列三条： （1）每一次试验只有两个结果，一个记为“成功”，一个记为“失败”，P{成功}=p，P{失败}=1-p=q； （2）成功的概率p在每次试验中保持不变； （3）试验与试验之间是相互独立的。 则这一串试验称为独立试验序列，也称为bernoulli概型。 编辑本段【必然事件与不可能事件】 在一个特定的随机试验中，称每一可能出现的结果为一个基本事件，全体基本事件的集合称为基本空间。随机事件（简称事件）是由某些基本事件组成的，例如，在连续掷两次骰子的随机试验中，用Z，Y分别表示第一次和第二次出现的点数，Z和Y可以取值1、2、3、4、5、6，每一点（Z，Y）表示一个基本事件，因而基本空间包含36个元素。“点数之和为2”是一事件，它是由一个基本事件（1，1）组成，可用集合｛（1，1）｝表示“点数之和为4”也是一事件，它由（1，3），（2，2），（3，1)3个基本事件组成，可用集合｛（1，3），(3，1)，（2，2)｝表示。如果把“点数之和为1”也看成事件，则它是一个不包含任何基本事件的事件，称为不可能事件。在试验中此事件不可能发生。如果把“点数之和小于40”看成一事件，它包含所有基本事件 ，在试验中此事件一定发生，所以称为必然事件。若A是一事件，则“事件A不发生”也是一个事件，称为事件A的对立事件。实际生活中需要对各种各样的事件及其相互关系、基本空间中元素所组成的各种子集及其相互关系等进行研究。 【随机事件，基本事件，等可能事件，互斥事件，对立事件】 在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。 一次实验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。 通常一次实验中的某一事件由基本事件组成。如果一次实验中可能出现的结果有n个，即此实验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么这种事件就叫做等可能事件。 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。 必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。 编辑本段【概率的性质】 性质1．P(Φ)=0. 性质2（有限可加性）．当n个事件A1，…，An两两互不相容时： P(A1∪...∪An)=P(A1)+...+P(An)． _ 性质3．对于任意一个事件A：P(A)=1-P(非A)． 性质4．当事件A,B满足A包含于B时：P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤P(B)． 性质5．对于任意一个事件A，P(A)≤1． 性质6．对任意两个事件A和B，P(B-A)=P(B)-P(AB)． 性质7（加法公式）．对任意两个事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-p(AB)． （注：A后的数字1，2，．．．，n都表示下标．） 资料： 概率论 probability theory 研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的。在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，掷一硬币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的频率随着投掷次数的增加逐渐趋向于1／2。又如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某程度的对称性。大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的。在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况随机过程。例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动），这就是随机过程。随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率，特别是研究与随机过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题，是现代概率论的主要课题。 概率论的起源与赌博问题有关。16世纪，意大利的学者吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano，1501——1576）开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。17世纪中叶，有人对博弈中的一些问题发生争论，其中的一个问题是“赌金分配问题”，他们决定请教法国数学家帕斯卡（Pascal)和费马（Fermat）基于排列组合方法，研究了一些较复杂的赌博问题，他们解决了分赌注问题、赌徒输光问题。他们对这个问题进行了认真的讨论，花费了3年的思考，并最终解决了这个问题，这个问题的解决直接推动了概率论的产生。 随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家j.伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。随后a.de棣莫弗和p.s.拉普拉斯 又导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。19世纪末，俄国数学家p.l.切比雪夫、a.a.马尔可夫、a.m.李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。20世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。这方面a·n·柯尔莫哥洛夫、n.维纳、a·a·马尔可夫、a·r·辛钦、p·莱维及w·费勒等人作了杰出的贡献。 如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，是概率理论发展的困难所在，对这一问题的探索一直持续了3个世纪。20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景下，苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年在他的《概率论基础》一书中第一次给出了概率的测度论的定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对概率论的迅速发展起了积极的作用。 概率与统计的一些概念和简单的方法，早期主要用于赌博和人口统计模型。随着人类的社会实践，人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种结果出现的可能性大小，从而产生了概率论，并使之逐步发展成一门严谨的学科。现在，概率与统计的方法日益渗透到各个领域，并广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至人文科学中 。

1：在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，简称事件。随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示。2：事件A发生或事件B发生，事件A与事件B至少一个发生，由事件A与事件B所有样本点组成，记作A∪B。3：事件A发生且事件B不发生，是由属于事件A但不属于事件B的样本点组成，记作A－B4：设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(·)是一个集合函数，P(·)要满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0; （2）规范性：对于必然事件S，有P(S)=1; （3）可列可加性：设A1，A2……是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），则有P（A1∪A2∪……）=P（A1）+P（A2）+……

在简单随机试验中，记一个事件为A。独立重复地将简单随机试验做n次，如果事件A发生了k次。则称在n次试验中，事件A发生的频数为k，发生的频率为k/n。概率是事件A发生可能性的大小，这是概率的描述性定义。如果存在一个实数p，当n很大时，频率稳定在p附近摆动，称频率的这个稳定值p为概率。这是概率的统计性定义。概率还有公理化定义，太抽象，繁琐，不再叙述，有兴趣的朋友可以参考概率统计教材。可以用中心极限定理证明概率的统计性定义。频数是某件事发生的次数。频率是某次计算中事情发生的次数站计算总次数的比率（比如掷硬币，一共投掷了1000次，499次正，假设为事情发生，还有501次未发生），频率的普遍情况叫概率，上个例子中频率为499/1000，但通过大量实验知道正面朝上几率为50%，这个是通过数学严密的逻辑推理出来的，叫概率。

加法原理、乘法原理、组合与排列 确定性现象 ：在一定条件下必然发生。 随机现象 ：事先无法预知出现哪个结果 统计规律性 ：随机现象在一次试验中呈现不确定的结果，而在大量重复试验中结果呈现某种规律性。 观察的过程叫做 随机试验 。 随机试验一切可能结果组成的集合称为 样本空间 ，记为 ，其中 表示试验的每一个可能结果，又称为 样本点 。 当我们通过随机试验来研究随机对象时，每一次试验都只能出现样本空间中的某一个样本点。各个可能结果 是否在一次试验中出现是随机的。 在随机试验中，常常关心其中的某一些结果是否会出现，如抛一枚骰子，掷出点数是否为奇数等。这些在一次试验中可能出现也可能不出现的一类结果称为 随机事件 ，简称为 事件 ，通常用大写字母A,B,C来表示。 从集合的角度说，样本空间的 部分样本点组成的集合 称为随机事件。 因为集合之间有各种关系，是可以进行运算的，因此在随机事件之间也可以讨论相互的关系，进行相应的运算。 由此可推出： 频率 ：在 次试验中事件A出现了 次，则称比值 为这 次试验中事件A出现的频率，记为 ， 称为事件A发生的频数。 概率的统计定义 为：随着试验次数 的增大，频率值逐步 “稳定” 到一个实数，这个实数称为事件A发生的概率。 概念的公理化定义： 由概率的三条公理，可以得到一些重要的基本性质： 古典概型的基本思路： (1) 只有 有限个样本点 (2) 每个 基本事件发生的可能性相等 几何概型是古典概型的推广，保留样本点的等可能性，但 去掉了包含有限个样本点的限制 。 经典问题：碰面问题，蒲丰投针问题。 根据蒲丰投针问题可以近似地计算 一般地，条件概率是指在某随机事件A发生的条件下，另一随机事件B发生的概率，记为 条件概率的定义： 可以验证条件概率也满足概率的公理化定义的三条基本性质。 概率的乘法公式 ： 事件的独立性定义： 由此引出定理： 可以将相互独立性推广到三个事件、……、n个事件 将一些较为复杂的随机事件的概率计算问题分解为一些较容易计算的情况分别进行考虑。 完备事件组 ： 定理1 全概率公式 ： 定理2 贝叶斯公式 ： 由条件概率的定义及全概率公式得到。 已知结果，寻找原因 。 先验概率 和 后验概率 ： 贝叶斯派和经典统计学学派为现代统计学的两大分支，差别在于是否使用先验信息。

随机性是由于人类认识不到一些事物的复杂本质，而提出的分析问题偶然这种说法也是不是那么客观的，比如抛硬币，大家常说有一半一半的概率正反面，但实际上每抛一次从开始抛的时候如果我们就知道抛出的角度已经各种力学的条件经过计算，肯定能知道最后出现的是正还是反了。计算机可以模拟概率，比如计算机可以生成任何区间上的伪随机数

定理：设A、B是互不相容事件（AB=φ），则：P（A∪B）=P（A）+P（B）－P（AB）推论1：设A1、A2、…、An互不相容，则：P(A1+A2+...+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)推论2：设A1、A2、…、An构成完备事件组，则：P(A1+A2+...+An)=1推论3：为事件A的对立事件。推论4：若B包含A，则P(B－A)=P(B)－P(A)推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A与B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)条件概率：已知事件B出现的条件下A出现的概率，称为条件概率，记作：P(A|B)条件概率计算公式：当P(A)>0，P(B|A)=P(AB)/P(A)当P(B)>0，P(A|B)=P(AB)/P(B)P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)推广：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)　　设：若事件A1，A2，…，An互不相容，且A1+A2+…+An=Ω，则称A1，A2，…，An构成一个完备事件组。全概率公式的形式如下：以上公式就被称为全概率公式。

概率的性质5的推广如下《概率的基本性质》设计5 《概率的基本性质》教学设计 一、 教材分析 教科书通过掷骰子试验,定义了许多事件,及其事件之间的关系,事件的包含. 并事件. 交事件. 相等事件,以及互斥事件，概率的定义及其性质 事件的频率※概率的公理化定义概率的性质。

Anm=m*(m-1)*(m-2)*.......(m-n+1) 即m个数相乘Cnm=Anm/n!

郭敦顒回答：投一颗骰子，出现奇数点的样本空间是样本中骰子可出现点数的全体，就是：{1，2，3，4，5，6}；而样本点是指在样本中所期望出现的子项，投一颗骰子，出现奇数点的样本点就是：{1，3，5}。

原文链接： http://blackblog.tech/2018/02/23/Eight-Neural-Network/ 更多干货就在我的个人博客 http://blackblog.tech 欢迎关注 刚刚入门神经网络，往往会对众多的神经网络架构感到困惑，神经网络看起来复杂多样，但是这么多架构无非也就是三类，前馈神经网络，循环网络，对称连接网络，本文将介绍四种常见的神经网络，分别是CNN，RNN，DBN，GAN。通过这四种基本的神经网络架构，我们来对神经网络进行一定的了解。 神经网络是机器学习中的一种模型，是一种模仿动物神经网络行为特征，进行分布式并行信息处理的算法数学模型。这种网络依靠系统的复杂程度，通过调整内部大量节点之间相互连接的关系，从而达到处理信息的目的。 一般来说，神经网络的架构可以分为三类： 前馈神经网络： 这是实际应用中最常见的神经网络类型。第一层是输入，最后一层是输出。如果有多个隐藏层，我们称之为“深度”神经网络。他们计算出一系列改变样本相似性的变换。各层神经元的活动是前一层活动的非线性函数。 循环网络： 循环网络在他们的连接图中定向了循环，这意味着你可以按照箭头回到你开始的地方。他们可以有复杂的动态，使其很难训练。他们更具有生物真实性。 循环网络的目的使用来处理序列数据。在传统的神经网络模型中，是从输入层到隐含层再到输出层，层与层之间是全连接的，每层之间的节点是无连接的。但是这种普通的神经网络对于很多问题却无能无力。例如，你要预测句子的下一个单词是什么，一般需要用到前面的单词，因为一个句子中前后单词并不是独立的。 循环神经网路，即一个序列当前的输出与前面的输出也有关。具体的表现形式为网络会对前面的信息进行记忆并应用于当前输出的计算中，即隐藏层之间的节点不再无连接而是有连接的，并且隐藏层的输入不仅包括输入层的输出还包括上一时刻隐藏层的输出。 对称连接网络： 对称连接网络有点像循环网络，但是单元之间的连接是对称的（它们在两个方向上权重相同）。比起循环网络，对称连接网络更容易分析。这个网络中有更多的限制，因为它们遵守能量函数定律。没有隐藏单元的对称连接网络被称为“Hopfield 网络”。有隐藏单元的对称连接的网络被称为玻尔兹曼机。 其实之前的帖子讲过一些关于感知机的内容，这里再复述一下。 首先还是这张图 这是一个M-P神经元 一个神经元有n个输入，每一个输入对应一个权值w，神经元内会对输入与权重做乘法后求和，求和的结果与偏置做差，最终将结果放入激活函数中，由激活函数给出最后的输出，输出往往是二进制的，0 状态代表抑制，1 状态代表激活。 可以把感知机看作是 n 维实例空间中的超平面决策面，对于超平面一侧的样本，感知器输出 1，对于另一侧的实例输出 0，这个决策超平面方程是 w⋅x=0。 那些可以被某一个超平面分割的正反样例集合称为线性可分(linearly separable)样例集合，它们就可以使用图中的感知机表示。 与、或、非问题都是线性可分的问题，使用一个有两输入的感知机能容易地表示，而异或并不是一个线性可分的问题，所以使用单层感知机是不行的，这时候就要使用多层感知机来解决疑惑问题了。 如果我们要训练一个感知机，应该怎么办呢？ 我们会从随机的权值开始，反复地应用这个感知机到每个训练样例，只要它误分类样例就修改感知机的权值。重复这个过程，直到感知机正确分类所有的样例。每一步根据感知机训练法则来修改权值，也就是修改与输入 xi 对应的权 wi，法则如下： 这里 t 是当前训练样例的目标输出，o 是感知机的输出，η 是一个正的常数称为学习速率。学习速率的作用是缓和每一步调整权的程度，它通常被设为一个小的数值（例如 0.1），而且有时会使其随着权调整次数的增加而衰减。 多层感知机，或者说是多层神经网络无非就是在输入层与输出层之间加了多个隐藏层而已，后续的CNN，DBN等神经网络只不过是将重新设计了每一层的类型。感知机可以说是神经网络的基础，后续更为复杂的神经网络都离不开最简单的感知机的模型， 谈到机器学习，我们往往还会跟上一个词语，叫做模式识别，但是真实环境中的模式识别往往会出现各种问题。比如： 图像分割：真实场景中总是掺杂着其它物体。很难判断哪些部分属于同一个对象。对象的某些部分可以隐藏在其他对象的后面。 物体光照：像素的强度被光照强烈影响。 图像变形：物体可以以各种非仿射方式变形。例如，手写也可以有一个大的圆圈或只是一个尖头。 情景支持：物体所属类别通常由它们的使用方式来定义。例如，椅子是为了让人们坐在上面而设计的，因此它们具有各种各样的物理形状。 卷积神经网络与普通神经网络的区别在于，卷积神经网络包含了一个由卷积层和子采样层构成的特征抽取器。在卷积神经网络的卷积层中，一个神经元只与部分邻层神经元连接。在CNN的一个卷积层中，通常包含若干个特征平面(featureMap)，每个特征平面由一些矩形排列的的神经元组成，同一特征平面的神经元共享权值，这里共享的权值就是卷积核。卷积核一般以随机小数矩阵的形式初始化，在网络的训练过程中卷积核将学习得到合理的权值。共享权值（卷积核）带来的直接好处是减少网络各层之间的连接，同时又降低了过拟合的风险。子采样也叫做池化（pooling），通常有均值子采样（mean pooling）和最大值子采样（max pooling）两种形式。子采样可以看作一种特殊的卷积过程。卷积和子采样大大简化了模型复杂度，减少了模型的参数。 卷积神经网络由三部分构成。第一部分是输入层。第二部分由n个卷积层和池化层的组合组成。第三部分由一个全连结的多层感知机分类器构成。 这里举AlexNet为例： ·输入：224×224大小的图片，3通道 ·第一层卷积：11×11大小的卷积核96个，每个GPU上48个。 ·第一层max-pooling：2×2的核。 ·第二层卷积：5×5卷积核256个，每个GPU上128个。 ·第二层max-pooling：2×2的核。 ·第三层卷积：与上一层是全连接，3*3的卷积核384个。分到两个GPU上个192个。 ·第四层卷积：3×3的卷积核384个，两个GPU各192个。该层与上一层连接没有经过pooling层。 ·第五层卷积：3×3的卷积核256个，两个GPU上个128个。 ·第五层max-pooling：2×2的核。 ·第一层全连接：4096维，将第五层max-pooling的输出连接成为一个一维向量，作为该层的输入。 ·第二层全连接：4096维 ·Softmax层：输出为1000，输出的每一维都是图片属于该类别的概率。 卷积神经网络在模式识别领域有着重要应用，当然这里只是对卷积神经网络做了最简单的讲解，卷积神经网络中仍然有很多知识，比如局部感受野，权值共享，多卷积核等内容，后续有机会再进行讲解。 传统的神经网络对于很多问题难以处理，比如你要预测句子的下一个单词是什么，一般需要用到前面的单词，因为一个句子中前后单词并不是独立的。RNN之所以称为循环神经网路，即一个序列当前的输出与前面的输出也有关。具体的表现形式为网络会对前面的信息进行记忆并应用于当前输出的计算中，即隐藏层之间的节点不再无连接而是有连接的，并且隐藏层的输入不仅包括输入层的输出还包括上一时刻隐藏层的输出。理论上，RNN能够对任何长度的序列数据进行处理。 这是一个简单的RNN的结构，可以看到隐藏层自己是可以跟自己进行连接的。 那么RNN为什么隐藏层能够看到上一刻的隐藏层的输出呢，其实我们把这个网络展开来开就很清晰了。 从上面的公式我们可以看出，循环层和全连接层的区别就是循环层多了一个权重矩阵 W。 如果反复把式2带入到式1，我们将得到： 在讲DBN之前，我们需要对DBN的基本组成单位有一定的了解，那就是RBM，受限玻尔兹曼机。 首先什么是玻尔兹曼机？ [图片上传失败...(image-d36b31-1519636788074)] 如图所示为一个玻尔兹曼机，其蓝色节点为隐层，白色节点为输入层。 玻尔兹曼机和递归神经网络相比，区别体现在以下几点： 1、递归神经网络本质是学习一个函数，因此有输入和输出层的概念，而玻尔兹曼机的用处在于学习一组数据的“内在表示”，因此其没有输出层的概念。 2、递归神经网络各节点链接为有向环，而玻尔兹曼机各节点连接成无向完全图。 而受限玻尔兹曼机是什么呢？ 最简单的来说就是加入了限制，这个限制就是将完全图变成了二分图。即由一个显层和一个隐层构成，显层与隐层的神经元之间为双向全连接。 h表示隐藏层，v表示显层 在RBM中，任意两个相连的神经元之间有一个权值w表示其连接强度，每个神经元自身有一个偏置系数b（对显层神经元）和c（对隐层神经元）来表示其自身权重。 具体的公式推导在这里就不展示了 DBN是一个概率生成模型，与传统的判别模型的神经网络相对，生成模型是建立一个观察数据和标签之间的联合分布，对P(Observation|Label)和 P(Label|Observation)都做了评估，而判别模型仅仅而已评估了后者，也就是P(Label|Observation)。 DBN由多个限制玻尔兹曼机（Restricted Boltzmann Machines）层组成，一个典型的神经网络类型如图所示。这些网络被“限制”为一个可视层和一个隐层，层间存在连接，但层内的单元间不存在连接。隐层单元被训练去捕捉在可视层表现出来的高阶数据的相关性。 生成对抗网络其实在之前的帖子中做过讲解，这里在说明一下。 生成对抗网络的目标在于生成，我们传统的网络结构往往都是判别模型，即判断一个样本的真实性。而生成模型能够根据所提供的样本生成类似的新样本，注意这些样本是由计算机学习而来的。 GAN一般由两个网络组成，生成模型网络，判别模型网络。 生成模型 G 捕捉样本数据的分布，用服从某一分布（均匀分布，高斯分布等）的噪声 z 生成一个类似真实训练数据的样本，追求效果是越像真实样本越好；判别模型 D 是一个二分类器，估计一个样本来自于训练数据（而非生成数据）的概率，如果样本来自于真实的训练数据，D 输出大概率，否则，D 输出小概率。 举个例子：生成网络 G 好比假币制造团伙，专门制造假币，判别网络 D 好比警察，专门检测使用的货币是真币还是假币，G 的目标是想方设法生成和真币一样的货币，使得 D 判别不出来，D 的目标是想方设法检测出来 G 生成的假币。 传统的判别网络： 生成对抗网络： 下面展示一个cDCGAN的例子（前面帖子中写过的） 生成网络 判别网络 最终结果，使用MNIST作为初始样本，通过学习后生成的数字，可以看到学习的效果还是不错的。 本文非常简单的介绍了四种神经网络的架构，CNN，RNN，DBN，GAN。当然也仅仅是简单的介绍，并没有深层次讲解其内涵。这四种神经网络的架构十分常见，应用也十分广泛。当然关于神经网络的知识，不可能几篇帖子就讲解完，这里知识讲解一些基础知识，帮助大家快速入（zhuang）门（bi）。后面的帖子将对深度自动编码器，Hopfield 网络长短期记忆网络（LSTM）进行讲解。

工神经网络（Artificial Neural Networks, ANN），一种模范动物神经网络行为特征，进行分布式并行信息处理的算法数学模型。这种网络依靠系统的复杂程度，通过调整内部大量节点之间相互连接的关系，从而达到处理信息的目的。人工神经网络具有自学习和自适应的能力，可以通过预先提供的一批相互对应的输入－输出数据，分析掌握两者之间潜在的规律，最终根据这些规律，用新的输入数据来推算输出结果，这种学习分析的过程被称为“训练”。（引自《环球科学》2007年第一期《神经语言：老鼠胡须下的秘密》）概念由大量处理单元互联组成的非线性、自适应信息处理系统。它是在现代神经科学研究成果的基础上提出的，试图通过模拟大脑神经网络处理、记忆信息的方式进行信息处理。人工神经网络具有四个基本特征：（1）非线性 非线性关系是自然界的普遍特性。大脑的智慧就是一种非线性现象。人工神经元处于激活或抑制二种不同的状态，这种行为在数学上表现为一种非线性关系。具有阈值的神经元构成的网络具有更好的性能，可以提高容错性和存储容量。（2）非局限性 一个神经网络通常由多个神经元广泛连接而成。一个系统的整体行为不仅取决于单个神经元的特征，而且可能主要由单元之间的相互作用、相互连接所决定。通过单元之间的大量连接模拟大脑的非局限性。联想记忆是非局限性的典型例子。（3）非常定性 人工神经网络具有自适应、自组织、自学习能力。神经网络不但处理的信息可以有各种变化，而且在处理信息的同时，非线性动力系统本身也在不断变化。经常采用迭代过程描写动力系统的演化过程。（4）非凸性 一个系统的演化方向，在一定条件下将取决于某个特定的状态函数。例如能量函数，它的极值相应于系统比较稳定的状态。非凸性是指这种函数有多个极值，故系统具有多个较稳定的平衡态，这将导致系统演化的多样性。人工神经网络中，神经元处理单元可表示不同的对象，例如特征、字母、概念，或者一些有意义的抽象模式。网络中处理单元的类型分为三类：输入单元、输出单元和隐单元。输入单元接受外部世界的信号与数据；输出单元实现系统处理结果的输出；隐单元是处在输入和输出单元之间，不能由系统外部观察的单元。神经元间的连接权值反映了单元间的连接强度，信息的表示和处理体现在网络处理单元的连接关系中。人工神经网络是一种非程序化、适应性、大脑风格的信息处理，其本质是通过网络的变换和动力学行为得到一种并行分布式的信息处理功能，并在不同程度和层次上模仿人脑神经系统的信息处理功能。它是涉及神经科学、思维科学、人工智能、计算机科学等多个领域的交叉学科。人工神经网络是并行分布式系统，采用了与传统人工智能和信息处理技术完全不同的机理，克服了传统的基于逻辑符号的人工智能在处理直觉、非结构化信息方面的缺陷，具有自适应、自组织和实时学习的特点。历史沿革1943年，心理学家W.S.McCulloch和数理逻辑学家W.Pitts建立了神经网络和数学模型，称为MP模型。他们通过MP模型提出了神经元的形式化数学描述和网络结构方法，证明了单个神经元能执行逻辑功能，从而开创了人工神经网络研究的时代。1949年，心理学家提出了突触联系强度可变的设想。60年代，人工神经网络的到了进一步发展，更完善的神经网络模型被提出，其中包括感知器和自适应线性元件等。M.Minsky等仔细分析了以感知器为代表的神经网络系统的功能及局限后，于1969年出版了《Perceptron》一书，指出感知器不能解决高阶谓词问题。他们的论点极大地影响了神经网络的研究，加之当时串行计算机和人工智能所取得的成就，掩盖了发展新型计算机和人工智能新途径的必要性和迫切性，使人工神经网络的研究处于低潮。在此期间，一些人工神经网络的研究者仍然致力于这一研究，提出了适应谐振理论（ART网）、自组织映射、认知机网络，同时进行了神经网络数学理论的研究。以上研究为神经网络的研究和发展奠定了基础。1982年，美国加州工学院物理学家J.J.Hopfield提出了Hopfield神经网格模型，引入了“计算能量”概念，给出了网络稳定性判断。 1984年，他又提出了连续时间Hopfield神经网络模型，为神经计算机的研究做了开拓性的工作，开创了神经网络用于联想记忆和优化计算的新途径，有力地推动了神经网络的研究，1985年，又有学者提出了波耳兹曼模型，在学习中采用统计热力学模拟退火技术，保证整个系统趋于全局稳定点。1986年进行认知微观结构地研究，提出了并行分布处理的理论。人工神经网络的研究受到了各个发达国家的重视，美国国会通过决议将1990年1月5日开始的十年定为“脑的十年”，国际研究组织号召它的成员国将“脑的十年”变为全球行为。在日本的“真实世界计算（RWC）”项目中，人工智能的研究成了一个重要的组成部分。基本内容人工神经网络模型主要考虑网络连接的拓扑结构、神经元的特征、学习规则等。目前，已有近40种神经网络模型，其中有反传网络、感知器、自组织映射、Hopfield网络、波耳兹曼机、适应谐振理论等。根据连接的拓扑结构，神经网络模型可以分为：（1）前向网络 网络中各个神经元接受前一级的输入，并输出到下一级，网络中没有反馈，可以用一个有向无环路图表示。这种网络实现信号从输入空间到输出空间的变换，它的信息处理能力来自于简单非线性函数的多次复合。网络结构简单，易于实现。反传网络是一种典型的前向网络。（2）反馈网络 网络内神经元间有反馈，可以用一个无向的完备图表示。这种神经网络的信息处理是状态的变换，可以用动力学系统理论处理。系统的稳定性与联想记忆功能有密切关系。Hopfield网络、波耳兹曼机均属于这种类型。学习是神经网络研究的一个重要内容，它的适应性是通过学习实现的。根据环境的变化，对权值进行调整，改善系统的行为。由Hebb提出的Hebb学习规则为神经网络的学习算法奠定了基础。Hebb规则认为学习过程最终发生在神经元之间的突触部位，突触的联系强度随着突触前后神经元的活动而变化。在此基础上，人们提出了各种学习规则和算法，以适应不同网络模型的需要。有效的学习算法，使得神经网络能够通过连接权值的调整，构造客观世界的内在表示，形成具有特色的信息处理方法，信息存储和处理体现在网络的连接中。根据学习环境不同，神经网络的学习方式可分为监督学习和非监督学习。在监督学习中，将训练样本的数据加到网络输入端，同时将相应的期望输出与网络输出相比较，得到误差信号，以此控制权值连接强度的调整，经多次训练后收敛到一个确定的权值。当样本情况发生变化时，经学习可以修改权值以适应新的环境。使用监督学习的神经网络模型有反传网络、感知器等。非监督学习时，事先不给定标准样本，直接将网络置于环境之中，学习阶段与工作阶段成为一体。此时，学习规律的变化服从连接权值的演变方程。非监督学习最简单的例子是Hebb学习规则。竞争学习规则是一个更复杂的非监督学习的例子，它是根据已建立的聚类进行权值调整。自组织映射、适应谐振理论网络等都是与竞争学习有关的典型模型。研究神经网络的非线性动力学性质，主要采用动力学系统理论、非线性规划理论和统计理论，来分析神经网络的演化过程和吸引子的性质，探索神经网络的协同行为和集体计算功能，了解神经信息处理机制。为了探讨神经网络在整体性和模糊性方面处理信息的可能，混沌理论的概念和方法将会发挥作用。混沌是一个相当难以精确定义的数学概念。一般而言，“混沌”是指由确定性方程描述的动力学系统中表现出的非确定性行为，或称之为确定的随机性。“确定性”是因为它由内在的原因而不是外来的噪声或干扰所产生，而“随机性”是指其不规则的、不能预测的行为，只可能用统计的方法描述。混沌动力学系统的主要特征是其状态对初始条件的灵敏依赖性，混沌反映其内在的随机性。混沌理论是指描述具有混沌行为的非线性动力学系统的基本理论、概念、方法，它把动力学系统的复杂行为理解为其自身与其在同外界进行物质、能量和信息交换过程中内在的有结构的行为，而不是外来的和偶然的行为，混沌状态是一种定态。混沌动力学系统的定态包括：静止、平稳量、周期性、准同期性和混沌解。混沌轨线是整体上稳定与局部不稳定相结合的结果，称之为奇异吸引子。一个奇异吸引子有如下一些特征：（1）奇异吸引子是一个吸引子，但它既不是不动点，也不是周期解；（2）奇异吸引子是不可分割的，即不能分为两个以及两个以上的吸引子；（3）它对初始值十分敏感，不同的初始值会导致极不相同的行为。发展趋势人工神经网络特有的非线性适应性信息处理能力，克服了传统人工智能方法对于直觉，如模式、语音识别、非结构化信息处理方面的缺陷，使之在神经专家系统、模式识别、智能控制、组合优化、预测等领域得到成功应用。人工神经网络与其它传统方法相结合，将推动人工智能和信息处理技术不断发展。近年来，人工神经网络正向模拟人类认知的道路上更加深入发展，与模糊系统、遗传算法、进化机制等结合，形成计算智能，成为人工智能的一个重要方向，将在实际应用中得到发展。将信息几何应用于人工神经网络的研究，为人工神经网络的理论研究开辟了新的途径。神经计算机的研究发展很快，已有产品进入市场。光电结合的神经计算机为人工神经网络的发展提供了良好条件。

神经网络原理及应用1. 什么是神经网络？神经网络是一种模拟动物神经网络行为特征，进行分布式并行信息处理的算法。这种网络依靠系统的复杂程度，通过调整内部大量节点之间相互连接的关系，从而达到处理信息的目的。人类的神经网络 2. 神经网络基础知识构成：大量简单的基础元件——神经元相互连接工作原理：模拟生物的神经处理信息的方式功能：进行信息的并行处理和非线性转化特点：比较轻松地实现非线性映射过程，具有大规模的计算能力神经网络的本质： 神经网络的本质就是利用计算机语言模拟人类大脑做决定的过程。3. 生物神经元结构 4. 神经元结构模型 xj为输入信号，θi为阈值，wij表示与神经元连接的权值，yi表示输出值判断xjwij是否大于阈值θi5. 什么是阈值？临界值。神经网络是模仿大脑的神经元，当外界刺激达到一定的阈值时，神经元才会受刺激，影响下一个神经元。 6. 几种代表性的网络模型单层前向神经网络——线性网络阶跃网络多层前向神经网络（反推学习规则即BP神经网络）Elman网络、Hopfield网络、双向联想记忆网络、自组织竞争网络等等7. 神经网络能干什么？运用这些网络模型可实现函数逼近、数据聚类、模式分类、优化计算等功能。因此，神经网络广泛应用于人工智能、自动控制、机器人、统计学等领域的信息处理中。虽然神经网络的应用很广，但是在具体的使用过程中到底应当选择哪种网络结构比较合适是值得考虑的。这就需要我们对各种神经网络结构有一个较全面的认识。8. 神经网络应用

人工神经网络（Artificial Neural Network，即ANN ），是20世纪80 年代以来人工智能领域兴起的研究热点。它从信息处理角度对人脑神经元网络进行抽象， 建立某种简单模型，按不同的连接方式组成不同的网络。在工程与学术界也常直接简称为神经网络或类神经网络。神经网络是一种运算模型，由大量的节点（或称神经元）之间相互联接构成。每个节点代表一种特定的输出函数，称为激励函数（activation function）。每两个节点间的连接都代表一个对于通过该连接信号的加权值，称之为权重，这相当于人工神经网络的记忆。网络的输出则依网络的连接方式，权重值和激励函数的不同而不同。而网络自身通常都是对自然界某种算法或者函数的逼近，也可能是对一种逻辑策略的表达。

神经网络的研究可以分为理论研究和应用研究两大方面。理论研究可分为以下两类：1、利用神经生理与认知科学研究人类思维以及智能机理。2、利用神经基础理论的研究成果，用数理方法探索功能更加完善、性能更加优越的神经网络模型，深入研究网络算法和性能，如：稳定性、收敛性、容错性、鲁棒性等；开发新的网络数理理论，如：神经网络动力学、非线性神经场等。应用研究可分为以下两类：1、神经网络的软件模拟和硬件实现的研究。2、神经网络在各个领域中应用的研究。这些领域主要包括：模式识别、信号处理、知识工程、专家系统、优化组合、机器人控制等。随着神经网络理论本身以及相关理论、相关技术的不断发展，神经网络的应用定将更加深入。

上节回顾： 介绍了神经元、神经网络 介绍了激活函数 提到了前向传播概念 留下问题：用到的参数w和b是怎么来的，是自己随便设定的吗 本节介绍： 神经网络、反向传播的例子 损失函数和梯度下降法、学习率介绍 最重要的用途是分类 这种能自动对输入的东西进行分类的机器，就叫做 分类器 。分类器的输入是一个数值向量，叫做特征（向量）。 第一个例子里，分类器的输入是一堆0、1值，表示字典里的每一个词是否在邮件中出现，比如向量(1,1,0,0,0......)就表示这封邮件里只出现了两个词abandon和abnormal； 第二个例子里，分类器的输入是照片，假如每一张照片都是320x240像素的红绿蓝三通道彩色照片，那么分类器的输入就是一个长度为320x240x3=230400的向量。 分类器的输出也是数值。 第一个例子中，输出1表示邮件是垃圾邮件，输出0则说明邮件是正常邮件； 第二个例子中，输出0表示图片中是狗，输出1表示是猫。 分类器的目标就是让正确分类的比例尽可能高。一般我们需要首先收集一些样本， 人为标记上正确分类结果 ，然后用这些标记好的数据 训练分类器 ，训练好的分类器就可以 在新来的特征向量上工作 了。 这就是BP神经网络(back propagation)。 旨在得到最优的全局参数矩阵，进而将多层神经网络应用到分类或者回归任务中去。 前向传播 输入信号直至 输出产生误差 ， 反向传播 误差信息 更新权重 矩阵。 这个地方提到的误差这个概念，其实就是对应了损失函数，损失函数说白了就是计算误差的函数。 举例：线性回归:寻找一条拟合图中数据点最好的直线 把每条小竖线的长度加起来就等于我们现在通过这条直线预测出的值与实际值之间的差距 缺点：采用梯度下降法学习时，模型一开始训练学习速率非常慢 对一个多元函数求偏导,会得到多个偏导函数.这些导函数组成的向量,就是梯度；一元函数的梯度是什么?它的梯度可以理解为就是它的导数。 求解多元函数和一元函数的道理是一样的,只不过函数是一元的时候,梯度中只有一个导函数,函数是多元的时候,梯度中有多个导函数. 当我们把梯度中的所有偏导函数都变为0的时候,就可以找到每个未知数的对应解。 梯度下降中求偏导数的未知数不是x和y,而是x的参数W。 梯度下降的方向：把这一点带入到梯度函数中,结果为正,那我们就把这一点的值变小一些,同时就是让梯度变小些;当这一点带入梯度函数中的结果为负的时候,就给这一点的值增大一些。 在这个下降的过程中.因为我们并不知道哪一个点才是最低点,也没有办法来预测下降多少次才能到最低点.这里梯度下降给出的办法是: 先随便蒙一个点出来,然后根据这个点每次下降以丢丢.什么时候下降得到的值(点带入偏导函数得到的)和上一次的值基本一样，也就是相差特别特别小的时候,我们认为就到了最低点。 让点沿着梯度方向下降慢慢求得最优解的过程我们叫做 学习 ,学习率就是用来限制他每次学习别太过"用功"的。下左图是我们所期望的,一个点按照梯度方向下降,慢慢逼近最低点,右图中展示的这个梯度值过大的时候,点下降的step就过大了,一次性迈过了最低点,导致函数无法找到最优解。学习率就是用来限制这种情况的。 更新权重的算法：每一个权重值都要减去它对应的导数和学习率的乘积 Lr 代表的是学习率 简单举例

1、按照网络拓朴结构分类网络的拓朴结构，即神经元之间的连接方式。按此划分，可将神经网络结构分为两大类：层次型结构和互联型结构。 扩展资料 　　层次型结构的神经网络将神经元按功能和顺序的不同分为输出层、中间层（隐层）、输出层。输出层各神经元负责接收来自外界的输入信息，并传给中间各隐层神经元；隐层是神经网络的内部信息处理层，负责信息变换。根据需要可设计为一层或多层；最后一个隐层将信息传递给输出层神经元经进一步处理后向外界输出信息处理结果。 　　而互连型网络结构中，任意两个节点之间都可能存在连接路径，因此可以根据网络中节点的连接程度将互连型网络细分为三种情况：全互连型、局部互连型和稀疏连接型 　　2、按照网络信息流向分类 　　从神经网络内部信息传递方向来看，可以分为两种类型：前馈型网络和反馈型网络。 　　单纯前馈网络的结构与分层网络结构相同，前馈是因网络信息处理的方向是从输入层到各隐层再到输出层逐层进行而得名的.。前馈型网络中前一层的输出是下一层的输入，信息的处理具有逐层传递进行的方向性，一般不存在反馈环路。因此这类网络很容易串联起来建立多层前馈网络。 　　反馈型网络的结构与单层全互连结构网络相同。在反馈型网络中的所有节点都具有信息处理功能，而且每个节点既可以从外界接受输入，同时又可以向外界输出。

人工智能时代已经悄然来临，在计算机技术高速发展的未来，机器是否能代替人脑？也许有些读者会说，永远不可能，因为人脑的思考包含感性逻辑。事实上，神经网络算法正是在模仿人脑的思考方式。想不想知道神经网络是如何“思考”的呢？下面我向大家简单介绍一下神经网络的原理及使用方法。 所谓人工智能，就是让机器具备人的思维和意识。人工智能主要有三个学派——行为主义、符号主义和连接主义。 行为主义是基于控制论，是在构建感知动作的控制系统。理解行为主义有个很好的例子，就是让机器人单脚站立，通过感知要摔倒的方向控制两只手的动作，保持身体的平衡，这就构建了一个感知动作控制系统。 符号主义是基于算数逻辑和表达式。求解问题时，先把问题描述为表达式，再求解表达式。如果你在求解某个问题时，可以用if case这样的条件语句，和若干计算公式描述出来，这就使用了符号主义的方法，比如“专家系统”。符号主义可以认为是用公式描述的人工智能，它让计算机具备了理性思维。但是人类不仅具备理性思维，还具备无法用公式描述的感性思维。比如，如果你看过这篇推送，下回再见到“符号主义”几个字，你会觉得眼熟，会想到这是人工智能相关的知识，这是人的直觉，是感性的。 连接主义就是在模拟人的这种感性思维，是在仿造人脑内的神经元连接关系。这张图给出了人脑中的一根神经元，左侧是神经元的输入，“轴突”部分是神经元的输出。人脑就是由860亿个这样的神经元首尾相接组成的网络。 神经网络可以让计算机具备感性思维。我们首先理解一下基于连接主义的神经网络设计过程。这张图给出了人类从出生到24个月神经网络的变化： 随着我们的成长，大量的数据通过视觉、听觉涌入大脑，使我们的神经网络连接，也就是这些神经元连线上的权重发生了变化，有些线上的权重增强了，有些线上的权重减弱了。 我们要用计算机仿出这些神经网络连接关系，让计算机具备感性思维。 首先需要准备数据，数据量越大越好，以构成特征和标签对。如果想识别猫，就要有大量猫的图片和这张图片是猫的标签构成特征标签对，然后搭建神经网络的网络结构，再通过反向传播优化连接的权重，直到模型的识别准确率达到要求，得到最优的连线权重，把这个模型保存起来。最后用保存的模型输入从未见过的新数据，它会通过前向传播输出概率值，概率值最大的一个就是分类和预测的结果。 我们举个例子来感受一下神经网络的设计过程。鸢尾花可以分为三类：狗尾鸢尾、杂色鸢尾和佛吉尼亚鸢尾。我们拿出一张图，需要让计算机判断这是哪类鸢尾花。人们通过经验总结出了规律：通过测量花的花萼长、花萼宽、花瓣长、花瓣宽分辨出鸢尾花的类别，比如花萼长>花萼宽，并且花瓣长/花瓣宽>2，则可以判定为这是第一种，杂色鸢尾。看到这里，也许有些读者已经想到用if、case这样的条件语句来实现鸢尾花的分类。没错，条件语句根据这些信息可以判断鸢尾花分类，这是一个非常典型的专家系统，这个过程是理性计算。只要有了这些数据，就可以通过条件判定公式计算出是哪类鸢尾花。但是我们发现鸢尾花的种植者在识别鸢尾花的时候并不需要这么理性的计算，因为他们见识了太多的鸢尾花，一看就知道是哪种，而且随着经验的增加，识别的准确率会提高。这就是直觉，是感性思维，也是我们这篇文章想要和大家分享的神经网络方法。 这种神经网络设计过程首先需要采集大量的花萼长、花萼宽、花瓣长、花瓣宽，和它们所对应的是哪种鸢尾花。花萼长、花萼宽、花瓣长、花瓣宽叫做输入特征，它们对应的分类叫做标签。大量的输入特征和标签对构建出数据集，再把这个数据集喂入搭建好的神经网络结构，网络通过反向传播优化参数，得到模型。当有新的、从未见过的输入特征，送入神经网络时，神经网络会输出识别的结果。 展望21世纪初，在近十年神经网络理论研究趋向的背景下，神经网络理论的主要前沿领域包括： 一、对智能和机器关系问题的认识进一步增长。 研究人类智力一直是科学发展中最有意义，也是空前困难的挑战性问题。人脑是我们所知道的唯一智能系统，具有感知识别、学习、联想、记忆、推理等智能。我们通过不断 探索 人类智能的本质以及联结机制，并用人工系统复现或部分复现，制造各种智能机器，这样可使人类有更多的时间和机会从事更为复杂、更富创造性的工作。 神经网络是由大量处理单元组成的非线性、自适应、自组织系统，是在现代神经科学研究成果的基础上提出的，试图模拟神经网络加工、记忆信息的方式，设计一种新的机器，使之具有人脑风格的信息处理能力。智能理论所面对的课题来自“环境——问题——目的”，有极大的诱惑力与压力，它的发展方向将是把基于连接主义的神经网络理论、基于符号主义的人工智能专家系统理论和基于进化论的人工生命这三大研究领域，在共同追求的总目标下，自发而有机地结合起来。 二、神经计算和进化计算的重大发展。 计算和算法是人类自古以来十分重视的研究领域，本世纪30年代，符号逻辑方面的研究非常活跃。近年来，神经计算和进化计算领域很活跃，有新的发展动向，在从系统层次向细胞层次转化里，正在建立数学理论基础。随着人们不断 探索 新的计算和算法，将推动计算理论向计算智能化方向发展，在21世纪人类将全面进入信息 社会 ，对信息的获取、处理和传输问题，对网络路由优化问题，对数据安全和保密问题等等将有新的要求，这些将成为 社会 运行的首要任务。因此，神经计算和进化计算与高速信息网络理论联系将更加密切，并在计算机网络领域中发挥巨大的作用，例如大范围计算机网络的自组织功能实现就要进行进化计算。 人类的思维方式正在转变，从线性思维转到非线性思维神经元，神经网络都有非线性、非局域性、非定常性、非凸性和混沌等特性。我们在计算智能的层次上研究非线性动力系统、混沌神经网络以及对神经网络的数理研究，进一步研究自适应性子波、非线性神经场的兴奋模式、神经集团的宏观力学等。因为，非线性问题的研究是神经网络理论发展的一个最大动力，也是它面临的最大挑战。 以上就是有关神经网络的相关内容，希望能为读者带来帮助。 以上内容由苏州空天信息研究院谢雨宏提供。

完成某种信号处理或模式识别的功能、构作专家系统、制成机器人、复杂系统控制等等。在机器学习和相关领域，人工神经网络（人工神经网络）的计算模型灵感来自动物的中枢神经系统（尤其是脑），并且被用于估计或可以依赖于大量的输入和一般的未知近似函数。人工神经网络通常呈现为相互连接的“神经元”，它可以从输入的计算值，并且能够机器学习以及模式识别由于它们的自适应性质的系统。人工神经网络的最大优势是他们能够被用作一个任意函数逼近的机制，那是从观测到的数据“学习”。然而，使用起来也不是那么简单的，一个比较好理解的基本理论是必不可少的。

人工智能技术是当前炙手可热的话题，而基于神经网络的深度学习技术更是热点中的热点。去年谷歌的Alpha Go 以4:1大比分的优势战胜韩国的李世石九段，展现了深度学习的强大威力，后续强化版的Alpha Master和无师自通的Alpha Zero更是在表现上完全碾压前者。不论你怎么看，以深度学习为代表的人工智能技术正在塑造未来。下图为英伟达（NVIDIA）公司近年来的股价情况， 该公司的主要产品是“图形处理器”（GPU），而GPU被证明能大大加快神经网络的训练速度，是深度学习必不可少的计算组件。英伟达公司近年来股价的飞涨足以证明当前深度学习的井喷之势。好，话不多说，下面简要介绍神经网络的基本原理、发展脉络和优势。 神经网络是一种人类由于受到生物神经细胞结构启发而研究出的一种算法体系，是机器学习算法大类中的一种。首先让我们来看人脑神经元细胞：一个神经元通常具有多个树突 ，主要用来接受传入信息，而轴突只有一条，轴突尾端有许多轴突末梢，可以给其他多个神经元传递信息。轴突末梢跟其他神经元的树突产生连接，从而传递信号。 下图是一个经典的神经网络（Artificial Neural Network,ANN）：乍一看跟传统互联网的拓扑图有点类似，这也是称其为网络的原因，不同的是节点之间通过有向线段连接，并且节点被分成三层。我们称图中的圆圈为神经元，左边三个神经元组成的一列为输入层，中间神经元列为隐藏层,右边神经元列为输出层，神经元之间的箭头为权重。 神经元是计算单元，相当于神经元细胞的细胞核，利用输入的数据进行计算，然后输出，一般由一个线性计算部分和一个非线性计算部分组成；输入层和输出层实现数据的输入输出，相当于细胞的树突和轴突末梢；隐藏层指既不是输入也不是输出的神经元层，一个神经网络可以有很多个隐藏层。 神经网络的关键不是圆圈代表的神经元，而是每条连接线对应的权重。每条连接线对应一个权重，也就是一个参数。权重具体的值需要通过神经网络的训练才能获得。我们实际生活中的学习体现在大脑中就是一系列神经网络回路的建立与强化，多次重复的学习能让回路变得更加粗壮，使得信号的传递速度加快，最后对外表现为“深刻”的记忆。人工神经网络的训练也借鉴于此，如果某种映射关系出现很多次，那么在训练过程中就相应调高其权重。 1943年，心理学家McCulloch和数学家Pitts参考了生物神经元的结构，发表了抽象的神经元模型MP：符号化后的模型如下：Sum函数计算各权重与输入乘积的线性组合，是神经元中的线性计算部分，而sgn是取符号函数，当输入大于0时，输出1，反之输出0，是神经元中的非线性部分。向量化后的公式为z=sgn(w^T a)（w^T=(w_1,w_2,w_3)，a=〖(a_1,a_2,a_3)〗^T）。 但是，MP模型中，权重的值都是预先设置的，因此不能学习。该模型虽然简单，并且作用有限，但已经建立了神经网络大厦的地基 1958年，计算科学家Rosenblatt提出了由两层神经元组成(一个输入层，一个输出层)的神经网络。他给它起了一个名字–“感知器”（Perceptron）感知器是当时首个可以学习的人工神经网络。Rosenblatt现场演示了其学习识别简单图像的过程，在当时引起了轰动，掀起了第一波神经网络的研究热潮。 但感知器只能做简单的线性分类任务。1969年，人工智能领域的巨擘Minsky指出这点，并同时指出感知器对XOR（异或，即两个输入相同时输出0，不同时输出1）这样的简单逻辑都无法解决。所以，明斯基认为神经网络是没有价值的。 随后，神经网络的研究进入低谷，又称 AI Winter 。 Minsky说过单层神经网络无法解决异或问题，但是当增加一个计算层以后，两层神经网络不仅可以解决异或问题，而且具有非常好的非线性分类效果。 下图为两层神经网络（输入层一般不算在内）：上图中，输出层的输入是上一层的输出。 向量化后的公式为：注意： 每个神经元节点默认都有偏置变量b，加上偏置变量后的计算公式为：同时，两层神经网络不再使用sgn函数作为激励函数，而采用平滑的sigmoid函数： σ(z)=1/(1+e^(-z) ) 其图像如下：理论证明： 两层及以上的神经网络可以无限逼近真实的对应函数，从而模拟数据之间的真实关系 ，这是神经网络强大预测能力的根本。但两层神经网络的计算量太大，当时的计算机的计算能力完全跟不上，直到1986年，Rumelhar和Hinton等人提出了反向传播（Backpropagation，BP）算法，解决了两层神经网络所需要的复杂计算量问题，带动了业界使用两层神经网络研究的热潮。 但好景不长，算法的改进仅使得神经网络风光了几年，然而计算能力不够，局部最优解，调参等一系列问题一直困扰研究人员。90年代中期，由Vapnik等人发明的SVM（Support Vector Machines，支持向量机）算法诞生，很快就在若干个方面体现出了对比神经网络的优势：无需调参；高效；全局最优解。 由于以上原因，SVM迅速打败了神经网络算法成为主流。神经网络的研究再一次进入低谷， AI Winter again 。 多层神经网络一般指两层或两层以上的神经网络（不包括输入层），更多情况下指两层以上的神经网络。 2006年，Hinton提出使用 预训练 ”（pre-training）和“微调”(fine-tuning)技术能优化神经网络训练，大幅度减少训练多层神经网络的时间 并且，他给多层神经网络相关的学习方法赋予了一个新名词–“ 深度学习 ”，以此为起点，“深度学习”纪元开始了：） “深度学习”一方面指神经网络的比较“深”，也就是层数较多；另一方面也可以指神经网络能学到很多深层次的东西。研究发现，在权重参数不变的情况下，增加神经网络的层数，能增强神经网络的表达能力。 但深度学习究竟有多强大呢？没人知道。2012年，Hinton与他的学生在ImageNet竞赛中，用多层的卷积神经网络成功地对包含一千类别的一百万张图片进行了训练，取得了分类错误率15%的好成绩，这个成绩比第二名高了近11个百分点，充分证明了多层神经网络识别效果的优越性。 同时，科研人员发现GPU的大规模并行矩阵运算模式完美地契合神经网络训练的需要，在同等情况下，GPU的速度要比CPU快50-200倍，这使得神经网络的训练时间大大减少，最终再一次掀起了神经网络研究的热潮，并且一直持续到现在。 2016年基于深度学习的Alpha Go在围棋比赛中以4:1的大比分优势战胜了李世石，深度学习的威力再一次震惊了世界。 神经网络的发展历史曲折荡漾，既有被捧上神坛的高潮，也有无人问津的低谷，中间经历了数次大起大落，我们姑且称之为“三起三落”吧，其背后则是算法的改进和计算能力的持续发展。 下图展示了神经网络自发明以来的发展情况及一些重大时间节点。当然，对于神经网络我们也要保持清醒的头脑。由上图，每次神经网络研究的兴盛期持续10年左右，从最近2012年算起，或许10年后的2022年，神经网络的发展将再次遇到瓶颈。 神经网络作为机器学习的一种，其模型训练的目的，就是使得参数尽可能的与真实的模型逼近。理论证明，两层及以上的神经网络可以无限逼近真实的映射函数。因此，给定足够的训练数据和训练时间，总能通过神经网络找到无限逼近真实关系的模型。 具体做法：首先给所有权重参数赋上随机值，然后使用这些随机生成的参数值，来预测训练数据中的样本。假设样本的预测目标为yp ，真实目标为y，定义值loss，计算公式如下： loss = (yp -y) ^2 这个值称之为 损失 （loss），我们的目标就是使对所有训练数据的损失和尽可能的小，这就转化为求loss函数极值的问题。 一个常用方法是高等数学中的求导，但由于参数不止一个，求导后计算导数等于0的运算量很大，所以常用梯度下降算法来解决这样的优化问题。梯度是一个向量，由函数的各自变量的偏导数组成。 比如对二元函数 f =(x,y)，则梯度∇f=(∂f/∂x,∂f/∂y)。梯度的方向是函数值上升最快的方向。梯度下降算法每次计算参数在当前的梯度，然后让参数向着梯度的反方向前进一段距离，不断重复，直到梯度接近零时截止。一般这个时候，所有的参数恰好达到使损失函数达到一个最低值的状态。下图为梯度下降的大致运行过程：在神经网络模型中，由于结构复杂，每次计算梯度的代价很大。因此还需要使用 反向传播 （Back Propagation）算法。反向传播算法利用了神经网络的结构进行计算，不一次计算所有参数的梯度，而是从后往前。首先计算输出层的梯度，然后是第二个参数矩阵的梯度，接着是中间层的梯度，再然后是第一个参数矩阵的梯度，最后是输入层的梯度。计算结束以后，所要的两个参数矩阵的梯度就都有了。当然，梯度下降只是其中一个优化算法，其他的还有牛顿法、RMSprop等。 确定loss函数的最小值后，我们就确定了整个神经网络的权重，完成神经网络的训练。 在神经网络中一样的参数数量，可以用更深的层次去表达。由上图，不算上偏置参数的话，共有三层神经元，33个权重参数。由下图，保持权重参数不变，但增加了两层神经元。 在多层神经网络中，每一层的输入是前一层的输出，相当于在前一层的基础上学习，更深层次的神经网络意味着更深入的表示特征，以及更强的函数模拟能力。更深入的表示特征可以这样理解，随着网络的层数增加，每一层对于前一层次的抽象表示更深入。如上图，第一个隐藏层学习到“边缘”的特征，第二个隐藏层学习到“边缘”组成的“形状”的特征，第三个隐藏层学习到由“形状”组成的“图案”的特征，最后的隐藏层学习到由“图案”组成的“目标”的特征。通过抽取更抽象的特征来对事物进行区分，从而获得更好的区分与分类能力。 前面提到， 明斯基认为Rosenblatt提出的感知器模型不能处理最简单的“异或”（XOR）非线性问题，所以神经网络的研究没有前途，但当增加一层神经元后，异或问题得到了很好地解决，原因何在？原来从输入层到隐藏层，数据发生了空间变换，坐标系发生了改变，因为矩阵运算本质上就是一种空间变换。 如下图，红色和蓝色的分界线是最终的分类结果，可以看到，该分界线是一条非常平滑的曲线。但是，改变坐标系后，分界线却表现为直线，如下图：同时，非线性激励函数的引入使得神经网络对非线性问题的表达能力大大加强。 对于传统的朴素贝叶斯、决策树、支持向量机SVM等分类器，提取特征是一个非常重要的前置工作。在正式训练之前，需要花费大量的时间在数据的清洗上，这样分类器才能清楚地知道数据的维度，要不然基于概率和空间距离的线性分类器是没办法进行工作的。然而在神经网络中，由于巨量的线性分类器的堆叠（并行和串行）以及卷积神经网络的使用，它对噪声的忍耐能力、对多通道数据上投射出来的不同特征偏向的敏感程度会自动重视或忽略，这样我们在处理的时候，就不需要使用太多的技巧用于数据的清洗了。有趣的是，业内大佬常感叹，“你可能知道SVM等机器学习的所有细节，但是效果并不好，而神经网络更像是一个黑盒，很难知道它究竟在做什么，但工作效果却很好”。 人类对机器学习的环节干预越少，就意味着距离人工智能的方向越近。神经网络的这个特性非常有吸引力。 1) 谷歌的TensorFlow开发了一个非常有意思的神经网络 入门教程 ，用户可以非常方便地在网页上更改神经网络的参数，并且能看到实时的学习效率和结果，非常适合初学者掌握神经网络的基本概念及神经网络的原理。网页截图如下：2) 深度学习领域大佬吴恩达不久前发布的《 神经网络和深度学习 》MOOC，现在可以在网易云课堂上免费观看了，并且还有中文字幕。 3) 《神经网络于深度学习》（Michael Nielsen著）、《白话深度学习与TensorFlow》也是不错的入门书籍。

不论何种类型的人工神经网络，它们共同的特点是，大规模并行处理，分布式存储，弹性拓扑，高度冗余和非线性运算。因而具有很髙的运算速度，很强的联想能力，很强的适应性，很强的容错能力和自组织能力。这些特点和能力构成了人工神经网络模拟智能活动的技术基础，并在广阔的领域获得了重要的应用。例如，在通信领域，人工神经网络可以用于数据压缩、图像处理、矢量编码、差错控制（纠错和检错编码）、自适应信号处理、自适应均衡、信号检测、模式识别、ATM流量控制、路由选择、通信网优化和智能网管理等等。人工神经网络的研究已与模糊逻辑的研究相结合，并在此基础上与人工智能的研究相补充，成为新一代智能系统的主要方向。这是因为人工神经网络主要模拟人类右脑的智能行为而人工智能主要模拟人类左脑的智能机理，人工神经网络与人工智能有机结合就能更好地模拟人类的各种智能活动。新一代智能系统将能更有力地帮助人类扩展他的智力与思维的功能，成为人类认识和改造世界的聪明的工具。因此，它将继续成为当代科学研究重要的前沿。

深度神经网络是机器学习(ML, Machine Learning)领域中一种技术。在监督学习中，以前的多层神经网络的问题是容易陷入局部极值点。如果训练样本足够充分覆盖未来的样本，那么学到的多层权重可以很好的用来预测新的测试样本。但是很多任务难以得到足够多的标记样本，在这种情况下，简单的模型，比如线性回归或者决策树往往能得到比多层神经网络更好的结果（更好的泛化性，更差的训练误差）。扩展资料：非监督学习中，以往没有有效的方法构造多层网络。多层神经网络的顶层是底层特征的高级表示，比如底层是像素点，上一层的结点可能表示横线，三角。而顶层可能有一个结点表示人脸。一个成功的算法应该能让生成的顶层特征最大化的代表底层的样例。如果对所有层同时训练，时间复杂度会太高； 如果每次训练一层，偏差就会逐层传递。这会面临跟上面监督学习中相反的问题，会严重欠拟合。

背景 ：神经元在接收到输入之后，不会立即做出反应，而是要等输入增强到超过一个阈值，才会触发输出。也就是说，神经元不希望传递微小的噪声信号，而只是传递有意识的明显信号。 两个要点 ：1. 激活函数的形式；2. 激活阈值 两种激活函数 ：阶跃函数和S函数(逻辑函数) 通过改变连接权重，可以控制神经元输入值的大小。训练前对权重进行初始化，这些初始值借助误差进行学习优化，从而调整神经元之间的连接权重。 ！注意 ：输入神经元不使用激活函数 （1）输入，（2）权重，（3）激活函数，（4）输出     更新原则 ：（1）误差均分；（2）按权重分配 以寻找二次函数的最小值为例： 步骤： （1）任取初始点；（2）求斜率；（3）往相反的梯度方向增加X值 为提高准确性 ： （1）选取多个起点，多次训练神经网络； （2）选取合适的误差函数，利用梯度下降寻找误差函数极小值点，即是最优权重； 权重更新矩阵 神经元连接如下图所示： 以隐藏层和输出层之间的权重更新为例，误差函数定义为目标值与实际值之间的均方误差 （1）经验规则：从均值为零，标准方差等于节点传入链接数量平方根倒数的正态分布中进行采样。 （2）禁止将初始权重设定为相同的恒定值，禁止将初始权重设定为零。

神经系统概述神经系统nervous system是机体内起主导作用的系统。内、外环境的各种信息，由感受器接受后，通过周围神经传递到脑和脊髓的各级中枢进行整合，再经周围神经控制和调节机体各系统器官的活动，以维持机体与内、外界环境的相对平衡。人体各器官、系统的功能都是直接或间接处于神经系统的调节控制之下，神经系统是整体内起主导作用的调节系统。人体是一个复杂的机体，各器官、系统的功能不是孤立的，它们之间互相联系、互相制约；同时，人体生活在经常变化的环境中，环境的变化随时影响着体内的各种功能。这就需要对体内各种功能不断作出迅速而完善的调节，使机体适应内外环境的变化。实现这一调节功能的系统主要就是神经系统。神经系的基本结构神经系统是由神经细胞（神经元）和神经胶质所组成。1．神经元。神经元neuron是一种高度特化的细胞，是神经系统的基本结构和功能单位，它具有感受刺激和传导兴奋的功能。神经元由胞体和突起两部分构成。胞体的中央有细胞核，核的周围为细胞质，胞质内除有一般细胞所具有的细胞器如线粒体、内质网等外，还含有特有的神经原纤维及尼氏体。神经元的突起根据形状和机能又分为树突dendrite和轴突axon。树突较短但分支较多，它接受冲动，并将冲动传至细胞体，各类神经元树突的数目多少不等，形态各异。每个神经元只发出一条轴突，长短不一，胞体发生出的冲动则沿轴突传出。根据突起的数目，可将神经元从形态上分为假单极神经元、双极神经元和多极神经元三大类。根据神经元的功能，可分为感觉神经元、运动神经元和联络神经元。感觉神经元又称传入神经元，一般位于外周的感觉神经节内，为假单极或双极神经元，感觉神经元的周围突接受内外界环境的各种刺激，经胞体和中枢突将冲动传至中枢；运动神经元又名传出神经元，一般位于脑、脊髓的运动核内或周围的植物神经节内，为多极神经元，它将冲动从中枢传至肌肉或腺体等效应器；联络神经元又称中间神经元，是位于感觉和运动神经元之间的神经元，起联络、整合等作用，为多极神经元。2．神经胶质。神经胶质neuroglia数目较神经元，突起无树突、轴突之分，胞体较小，胞浆中无神经原纤维和尼氏体，不具有传导冲动的功能。神经胶质对神经元起着支持、绝缘、营养和保护等作用，并参与构成血脑屏障。3．突触。神经元间联系方式是互相接触，而不是细胞质的互相沟通。该接触部位的结构特化称为突触synapse，通常是一个神经元的轴突与另一个神经元的树突或胞体借突触发生机能上的联系，神经冲动由一个神经元通过突触传递到另一个神经元。神经系统的构成神经系统分为中枢神经系统和周围神经系统两大部分。中枢神经系统包括脑和脊髓。脑和脊髓位于人体的中轴位，它们的周围有头颅骨和脊椎骨包绕。这些骨头质地很硬，在人年龄小时还富有弹性，因此可以使脑和脊髓得到很好的保护。脑分为端脑、间脑、小脑和脑干四部分。脊髓主要是传导通路，能把外界的刺激及时传送到脑，然后再把脑发出的命令及时传送到周围器官，起到了上通下达的桥梁作用。周围神经系统包括脑神经、脊神经和植物神经。脑神经共有12对，主要支配头面部器官的感觉和运动。人能看到周围事物，听见声音，闻出香臭，尝出滋味，以及有喜怒哀乐的表情等，都必须依靠这12对脑神经的功能。 脊神经共有31对，其中包括颈神经8对，胸神经12对，腰神经5对，骶神经5对，尾神经 1对。脊神经由脊髓发出，主要支配身体和四肢的感觉、运动和反射。植物神经也称为内脏神经，主要分布于内脏、心血管和腺体。心跳、呼吸和消化活动都受它的调节。植物神经分为交感神经和副交感神经两类，两者之间相互桔抗又相互协调，组成一个配合默契的有机整体，使内脏活动能适应内外环境的需要。神经系统神经系统是人体内由神经组织构成的全部装置。主要由神经元组成。神经系统由中枢神经系统和遍布全身各处的周围神经系统两部分组成。中枢神经系统包括脑和脊髓，分别位于颅腔和椎管内，是神经组织最集中、构造最复杂的部位。存在有控制各种生理机能的中枢。周围神经系统包括各种神经和神经节。其中同脑相连的称为脑神经，与脊髓相连的为脊神经，支配内脏器官的称植物性神经。各类神经通过其末梢与其他器官系统相联系。神经系统具有重要的功能，是人体内起主导作用的系统。一方面它控制与调节各器官、系统的活动，使人体成为一个统一的整体。另一方面通过神经系统的分析与综合，使机体对环境变化的刺激作出相应的反应，达到机体与环境的统一。神经系统对生理机能调节的基本活动形式是反射。人的大脑的高度发展，使大脑皮质成为控制整个机体功能的最高级部位，并具有思维、意识等生理机能。神经系统发生于胚胎发育的早期，由外胚层发育而来。小脑、大脑和神经系统大脑的功能主要有：进行理论性的思考、判断事物、说话、掌管本能以及掌管情感。神经的功能是传递脑部的指令到身体各部位，再由末梢神经和中枢神经将身体各部位所收集的情报回传到大脑进行资料分析的。小脑的功能是由旧小脑负责保持身体的平衡，例如站立、行走、运动。而新小脑是负责将大脑所传达的粗略运动指令进行仔细调整后，通过神经细胞，以电脑的速度和准确性，传到身体的每个部位。小脑皮质每1mm2聚集了50万个神经细胞，之所以我们能够使全身的肌肉协调地进行各种动作，例如挥杆自如，全部都是因为新小脑，即神经细胞的聚合体，以千分之一秒的速度来准确地处理了大脑发出的运动指令，如果这里出了问题，就无法巧妙用手握住物体，又或无法做到协调的动作了。保护脑部的正常运作大家对脑部和神经粗略地了解了一些主要功能，现在我们要学习如何去保护及保证脑部及神经系统能发挥正常的功能。因为当它们正常操作时，我们的高尔夫球和生活才能好好享受。首先要了解脑部会有机会出现一些疾病和原因，脑部常见的疾病有脑血管阻塞或破裂即是脑中风，但它并不是单一的疾病，而是脑梗塞、脑出血、蜘蛛膜下出血等会使脑血管产生障碍的各种疾病的总称。而这些病的背景都是动脉硬化，再加上精神过度紧张、饮酒、身体过度疲劳而身体已到了最危险的时候，一触即发而造成出血的结果。而神经有可能出现的疾病就是神经痛，例如三叉神经痛、枕神经痛、肋间神经痛和坐骨神经痛等等，根据一些医书的解释是由於某些部位的神经受到压迫，例如：肌肉的过份紧张收缩和骨的移位而令某些神经受到过大的压力而痛，又或者由於颈椎、腰椎、脊椎变形、又或者由於肿痛等原因而导致神经痛，而引起这些病的根本原因通常是由於长期身体处於高度的精神紧张、饮食不健康、长期缺乏运动，而长期累积太多有害物质又排不出体外，加上工作的压力就很容易令身体去到危险程度。希望大家能够提醒自己，用聪明的方法消除精神和身体的疲劳，同时要让身体摄取各种营养素、维他命、氨基酸、矿物质等等，以及多做运动去消除精神上的压力，令坏胆固醇无法在身体囤积，同时听音乐或出去旅行，又或者种种花草、浸浸温泉、做做运动按摩和多做伸展运动和多在清新空气的地方做深呼吸，以达到最健康。

人工神经网络（Artificial Neural Network，即ANN ），是20世纪80 年代以来人工智能领域兴起的研究热点。它从信息处理角度对人脑神经元网络进行抽象， 建立某种简单模型，按不同的连接方式组成不同的网络。在工程与学术界也常直接简称为神经网络或类神经网络。神经网络是一种运算模型，由大量的节点（或称神经元）之间相互联接构成。每个节点代表一种特定的输出函数，称为激励函数（activation function）。每两个节点间的连接都代表一个对于通过该连接信号的加权值，称之为权重，这相当于人工神经网络的记忆。网络的输出则依网络的连接方式，权重值和激励函数的不同而不同。而网络自身通常都是对自然界某种算法或者函数的逼近，也可能是对一种逻辑策略的表达。最近十多年来，人工神经网络的研究工作不断深入，已经取得了很大的进展，其在模式识别、智能机器人、自动控制、预测估计、生物、医学、经济等领域已成功地解决了许多现代计算机难以解决的实际问题，表现出了良好的智能特性。

直接简单介绍神经网络算法神经元：它是神经网络的基本单元。神经元先获得输入，然后执行某些数学运算后，再产生一个输出。神经元内输入 经历了3步数学运算， 先将两个输入乘以 权重 ： 权重 指某一因素或指标相对于某一事物的重要程度，其不同于一般的比重，体现的不仅仅是某一因素或指标所占的百分比，强调的是因素或指标的相对重要程度 x1→x1 × w1 x2→x2 × w2 把两个结果相加，加上一个 偏置 ： （x1 × w1）+（x2 × w2）+ b 最后将它们经过 激活函数 处理得到输出： y = f(x1 × w1 + x2 × w2 + b) 激活函数 的作用是将无限制的输入转换为可预测形式的输出。一种常用的激活函数是 sigmoid函数 sigmoid函数的输出 介于0和1，我们可以理解为它把 (−∞,+∞) 范围内的数压缩到 (0, 1)以内。正值越大输出越接近1，负向数值越大输出越接近0。神经网络： 神经网络就是把一堆神经元连接在一起 隐藏层 是夹在输入输入层和输出层之间的部分，一个神经网络可以有多个隐藏层。 前馈 是指神经元的输入向前传递获得输出的过程训练神经网络 ，其实这就是一个优化的过程，将损失最小化 损失 是判断训练神经网络的一个标准 可用 均方误差 定义损失 均方误差 是反映 估计量 与 被估计量 之间差异程度的一种度量。设t是根据子样确定的总体参数θ的一个估计量，(θ-t)2的 数学期望 ，称为估计量t的 均方误差 。它等于σ2+b2，其中σ2与b分别是t的 方差 与 偏倚 。 预测值 是由一系列网络权重和偏置计算出来的值 反向传播 是指向后计算偏导数的系统 正向传播算法 是由前往后进行的一个算法

我想这可能是你想要的神经网络吧！什么是神经网络：人工神经网络（Artificial Neural Networks，简写为ANNs）也简称为神经网络（NNs）或称作连接模型（Connection Model），它是一种模仿动物神经网络行为特征，进行分布式并行信息处理的算法数学模型。这种网络依靠系统的复杂程度，通过调整内部大量节点之间相互连接的关系，从而达到处理信息的目的。神经网络的应用：应用在网络模型与算法研究的基础上，利用人工神经网络组成实际的应用系统，例如，完成某种信号处理或模式识别的功能、构作专家系统、制成机器人、复杂系统控制等等。纵观当代新兴科学技术的发展历史，人类在征服宇宙空间、基本粒子，生命起源等科学技术领域的进程中历经了崎岖不平的道路。我们也会看到，探索人脑功能和神经网络的研究将伴随着重重困难的克服而日新月异。神经网络的研究内容相当广泛，反映了多学科交叉技术领域的特点。主要的研究工作集中在以下几个方面：生物原型从生理学、心理学、解剖学、脑科学、病理学等方面研究神经细胞、神经网络、神经系统的生物原型结构及其功能机理。建立模型根据生物原型的研究，建立神经元、神经网络的理论模型。其中包括概念模型、知识模型、物理化学模型、数学模型等。算法在理论模型研究的基础上构作具体的神经网络模型，以实现计算机模拟或准备制作硬件，包括网络学习算法的研究。这方面的工作也称为技术模型研究。神经网络用到的算法就是向量乘法，并且广泛采用符号函数及其各种逼近。并行、容错、可以硬件实现以及自我学习特性，是神经网络的几个基本优点，也是神经网络计算方法与传统方法的区别所在。

（1） 神经网络的一般特点作为一种正在兴起的新型技术神经网络有着自己的优势，他的主要特点如下：① 由于神经网络模仿人的大脑，采用自适应算法。使它较之专家系统的固定的推理方式及传统计算机的指令程序方式更能够适应化环境的变化。总结规律，完成某种运算、推理、识别及控制任务。因而它具有更高的智能水平，更接近人的大脑。② 较强的容错能力，使神经网络能够和人工视觉系统一样，根据对象的主要特征去识别对象。③ 自学习、自组织功能及归纳能力。以上三个特点是神经网络能够对不确定的、非结构化的信息及图像进行识别处理。石油勘探中的大量信息就具有这种性质。因而，人工神经网络是十分适合石油勘探的信息处理的。（2） 自组织神经网络的特点 自组织特征映射神经网络作为神经网络的一种，既有神经网络的通用的上面所述的三个主要的特点又有自己的特色。① 自组织神经网络共分两层即输入层和输出层。② 采用竞争学记机制，胜者为王，但是同时近邻也享有特权，可以跟着竞争获胜的神经元一起调整权值，从而使得结果更加光滑，不想前面的那样粗糙。③ 这一网络同时考虑拓扑结构的问题，即他不仅仅是对输入数据本身的分析，更考虑到数据的拓扑机构。权值调整的过程中和最后的结果输出都考虑了这些，使得相似的神经元在相邻的位置，从而实现了与人脑类似的大脑分区响应处理不同类型的信号的功能。④ 采用无导师学记机制，不需要教师信号，直接进行分类操作，使得网络的适应性更强，应用更加的广泛，尤其是那些对于现在的人来说结果还是未知的数据的分类。顽强的生命力使得神经网络的应用范围大大加大。

神经网络的学习内容主要包括：感知机（perceptron）：是一种线性分类模型，能够解决二分类问题。多层感知机（multilayer perceptron, MLP）：是一种由多个感知机堆叠而成的神经网络模型，能够解决多分类问题。卷积神经网络（convolutional neural network, CNN）：是一种深度学习模型，能够自动学习数据的特征，并在图像、视频、文本等数据中进行分类、分析和识别。循环神经网络（recurrent neural network, RNN）：是一种深度学习模型，能够处理序列数据，如文本、语音、时间序列等。常见的有LSTM和GRU等。

下列代码为BP神经网络预测37-56周的销售量的代码：% x为原始序列load 销售量.matdata=Cx=data";t=1:length(x);lag=2; fn=length(t);[f_out,iinput]=BP(x,lag,fn);%预测年份或某一时间段t1=fn:fn+20;n=length(t1);t1=length(x)+1:length(x)+n;%预测步数为fnfn=length(t1);     [f_out,iinput]=BP(x,lag,fn);P=vpa(f_out,5);[t1" P"]% 画出预测图figure(6),plot(t,x,"b*-"),hold onplot(t(end):t1(end),[iinput(end),f_out],"rp-"),grid onxlabel("周数"),ylabel("销售量");str=["BP神经网络预测",num2str(length(x)+1),"-",num2str(length(x)+20),"周的销售量"];title(str)str1=["1-",num2str(length(x)),"周的销售量"];str2=[num2str(length(x)+1),"-",num2str(length(x)+20),"周的预测销售量"];legend(str1,str2)运行结果

神经网络是智能控制技术的主要分支之一。本书的主要内容有：神经网络的概念，神经网络的分类与学习方法，前向神经网络模型及其算法，改进的BP网络及其控制、辨识建模，基于遗传算法的神经网络，基于模糊理论的神经网络，RBF网络及其在混沌背景下对微弱信号的测量与控制，反馈网络，Hopfield网络及其在字符识别中的应用，支持向量机及其故障诊断，小波神经网络及其在控制与辨识中的应用。本书内容全面，重点突出，以讲明基本概念和方法为主，尽量减少繁琐的数学推导，并给出一些结合工程应用的例题。本书附有光盘，其中包括结合各章节内容所开发的30多个源程序，可直接在MATLAB界面下运行，此外，还包括用Authorware和Flash软件制作的动画课件。本书既可作为自动化和电气自动化专业及相关专业的研究生教材，也可供机电类工程技术人员选用，还可作为有兴趣的读者自学与应用的参考书。

神经网络是一种受到人类神经系统启发而设计的机器学习模型。它由多个称为神经元的单元组成，这些神经元通过连接权重相互连接。神经网络利用输入数据和这些连接权重来进行信息处理和模式识别。以下是神经网络的基本原理：结构：神经网络由多个层级组成，包括输入层、隐藏层（可以有多个）和输出层。输入层接收外部输入数据，输出层产生最终的预测结果或输出。隐藏层位于输入层和输出层之间，其中每个隐藏层由多个神经元组成。神经元：神经网络的基本单元是神经元。每个神经元接收来自上一层神经元的输入，并通过连接权重对这些输入进行加权求和。然后，应用一个激活函数来确定神经元的输出。激活函数可以是简单的阈值函数、Sigmoid函数、ReLU函数等，用于引入非线性特性。前向传播：神经网络的前向传播是指从输入层到输出层的信息传递过程。输入数据通过网络中的连接和加权求和，逐层传递到输出层，最终生成预测结果。反向传播：反向传播是神经网络用于训练和调整连接权重的过程。它基于损失函数来度量预测结果与真实标签之间的误差。通过计算误差梯度，反向传播将误差从输出层向后传播到隐藏层和输入层，然后根据梯度更新连接权重，以减小误差。训练：神经网络的训练是通过不断迭代前向传播和反向传播来调整连接权重，以使网络的预测结果与真实标签更加接近。常用的训练算法包括梯度下降和其变体，以最小化损失函数。通过逐渐调整连接权重，神经网络能够学习到输入数据中的模式和特征，从而实现识别、分类、预测等任务。它在各个领域中都有广泛的应用，如图像识别、自然语言处理、语音识别等。                                    

介绍深度学习就必须要介绍神经网络，因为深度学习是基于神经网络算法的，其实最开始只有神经网络算法，上文也提到2006年Geoffrey Hinton老爷子提出了Deep Learning，核心还是人工神经网络算法，换了一个新的叫法，最基本的算法没有变。通过神经元接收外界信号，达到一定阈值，触发动作电位，通过突触释放神经递质，可以是兴奋或抑制，影响突触后神经元。通过此实现大脑的计算、记忆、逻辑处理等，进行做出一系列行为等。同时不断地在不同神经元之间构建新的突触连接和对现有突触进行改造，来进行调整。有时候不得不感叹大自然的鬼斧神工，900亿神经元组成的神经网络可以让大脑实现如此复杂的计算和逻辑处理。

卷积神经元（Convolutional cells）和前馈神经元非常相似，除了它们只跟前一神经细胞层的部分神经元有连接。因为它们不是和某些神经元随机连接的，而是与特定范围内的神经元相连接，通常用来保存空间信息。这让它们对于那些拥有大量局部信息，比如图像数据、语音数据（但多数情况下是图像数据），会非常实用。解卷积神经元恰好相反：它们是通过跟下一神经细胞层的连接来解码空间信息。这两种神经元都有很多副本，它们都是独立训练的；每个副本都有自己的权重，但连接方式却完全相同。可以认为，这些副本是被放在了具备相同结构的不同的神经网络中。这两种神经元本质上都是一般意义上的神经元，但是，它们的使用方式却不同。池化神经元和插值神经元（Pooling and interpolating cells）经常和卷积神经元结合起来使用。它们不是真正意义上的神经元，只能进行一些简单的操作。池化神经元接受到来自其它神经元的输出过后，决定哪些值可以通过，哪些值不能通过。在图像领域，可以理解成是把一个图像缩小了（在查看图片的时候，一般软件都有一个放大、缩小的功能；这里的图像缩小，就相当于软件上的缩小图像；也就是说我们能看到图像的内容更加少了；在这个池化的过程当中，图像的大小也会相应地减少）。这样，你就再也不能看到所有的像素了，池化函数会知道什么像素该保留，什么像素该舍弃。插值神经元恰好是相反的操作：它们获取一些信息，然后映射出更多的信息。额外的信息都是按照某种方式制造出来的，这就好像在一张小分辨率的图片上面进行放大。插值神经元不仅仅是池化神经元的反向操作，而且，它们也是很常见，因为它们运行非常快，同时，实现起来也很简单。池化神经元和插值神经元之间的关系，就像卷积神经元和解卷积神经元之间的关系。均值神经元和标准方差神经元（Mean and standard deviation cells）（作为概率神经元它们总是成对地出现）是一类用来描述数据概率分布的神经元。均值就是所有值的平均值，而标准方差描述的是这些数据偏离（两个方向）均值有多远。比如：一个用于图像处理的概率神经元可以包含一些信息，比如：在某个特定的像素里面有多少红色。举个例来说，均值可能是0.5，同时标准方差是0.2。当要从这些概率神经元取样的时候，你可以把这些值输入到一个高斯随机数生成器，这样就会生成一些分布在0.4和0.6之间的值；值离0.5越远，对应生成的概率也就越小。它们一般和前一神经元层或者下一神经元层是全连接，而且，它们没有偏差（bias）。循环神经元（Recurrent cells ）不仅仅在神经细胞层之间有连接，而且在时间轴上也有相应的连接。每一个神经元内部都会保存它先前的值。它们跟一般的神经元一样更新，但是，具有额外的权重：与当前神经元之前值之间的权重，还有大多数情况下，与同一神经细胞层各个神经元之间的权重。当前值和存储的先前值之间权重的工作机制，与非永久性存储器（比如RAM）的工作机制很相似，继承了两个性质：第一，维持一个特定的状态；第二：如果不对其持续进行更新（输入），这个状态就会消失。由于先前的值是通过激活函数得到的，而在每一次的更新时，都会把这个值和其它权重一起输入到激活函数，因此，信息会不断地流失。实际上，信息的保存率非常的低，以至于仅仅四次或者五次迭代更新过后，几乎之前所有的信息都会流失掉。