波动方程是什么

波动方程的公式分为正弦和余弦，其中正弦表达式为Y=Asin(ωt-kz+φ)，余弦表达式为为Y=ACOS[ω(t-kz)+φ]，其中z代表位移，φ是初相位。波动方程也称波方程，是一种描述波动现象的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等，在不同领域都有涉及，例如声学，电磁学，和流体力学等。波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太宽泛了。不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。

对于一维标量波动方程的一般解是由达朗贝尔给出的： , 其中 和 为任意两个可微分的单变量函数，分别对应于右传播波，和左传播波。要决定 和 必须考虑两个初始条件： 这样达朗贝尔公式变成了： 在经典的意义下，如果f(x) in C^k并且g(x) in C^则u(t,x) in C^k.一维情况的波动方程可以用如下方法推导：想象一个质量为m的小质点的队列，互相用长度h的弹簧连接。弹簧的硬度为k :这里u (x)测量位于x的质点偏离平衡位置的距离。对于位于x+h的质点的运动方程是：m{partial^2u(x+h,t) over partial t^2}= kLINK其中u(x)的时间依赖性变成显式的了。

波动方程的三种表达式是：1、x/u表示波以u的速度传了x的距离所用的时间。2、φ表示初始的相位，就是余弦函数的初始的一个角度。3、wx/u是以u的速度传了x的距离后，产生的相位差，其中w是波的振动频率。波动方程是描述波动现象的偏微分方程它的物理意义就太宽泛了。不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。

大学物理波动方程公式是：1、简谐振动方程：ξ=Acos(ωt+φ)。2、波形方程：ξ=Acos(2πx/λ+φ′)。3、振动能量：E k =mV2/2=Ek E= Ek +Ep =kA2/2 E p =kx2/2= (t) 。4、波动能量：=1222∝A ρωA V ρω2A 2 I==2。5、机械波ν" =V +V R （V R ——观察者速度；V s ——波源速度）。 6、对光波ν" =C -V r，其中V r 指光源与观察者相对速度。波动方程物理意义波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太宽泛了。不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。

振动方程与波动方程的区别如下：一、描述内容不同振动方程描述的是一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移。波动方程描述的是任意一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移。二、y的含义不同振动方程 y 是时间 t 的函数，y=f（t）。波动方程 y 是时间 t 和位置 x 的函数y=f（t, x)。三、变量不同振动方程的变量是 t，波动方程的变量是 x，t 。扩展资料波动方程的求解方式：波动方程的求解方法完全是求解振动方程的方法，首先确定一个参考点，一般选择坐标原点，根据初始条件写出它的振动方程，然后在右侧任选一点，坐标为x。这一点的振动方程和原点的振动方程对比，振幅一样，角频率一样，唯一不一样的是初相位，而相位差可以根据这两个点之间的距离来确定，即相位差等于距离除以波长再乘以2PI（圆周率），同时，沿着波的传播方向相位越来越小。

振动质点的振动方程 y=Asin(ωt+φ)经典波的波动方程 y=Asin(ωt-x2π/λ) 概率波的波动方程 y=Acos(x2π/λ-ωt) , y^2为概率密度

波动方程是之中偏微分方程： 一个量为U(z,t),那么 U(z,t)对z的二阶导数 等于 一个常数 乘以 U(z,t)对t的二阶导数. 这就是波动方程了.

可以这样说：波动方程是波函数满足的一个方程,而波函数是刻画微观粒子的的函数,这两点在波动力学中都是假设 。

这是一个关于波动方程推导的问题。先默认我们已知波动方程的微分表达式是这样的：frac{d^2y}{dt^2} -v^2frac{d^2y}{dx^2} =0为了得到它的解呢，首先根据观察，容易发现解有这样的形式：y=Ae^{at+bx+c} 其中：frac{a^2}{b^2} =v^2，c为任意常数如果取a为omega(omega > 0)，取b为k的话，这个解是不正确的，因为会出现如下问题：当t ightarrow +infty时，有y ightarrow +infty，不符合能量守恒。然而即便omega<0，t ightarrow +infty时，能量衰减以后去向也不明。为了解决这个问题，他说只要加上虚数单位 i 就可以了，即：y=Ae^{mathrm{i}omega t+mathrm{i}kx}这一步我不是特别明白。首先，我知道这样的公式确实是正确的。因为它的实部确实和我以前所接触过的波动方程相同。但是，问题如下：1. 这个解的虚部有什么物理意义？或说有什么含义？2. 为什么加入了虚数单位？mathrm{i}就解决了上述问题？3. 引入的虚数单位mathrm{i}在这里有什么物理意义？4. 为什么可以引入虚数单位？mathrm{i}？为什么会想到这样做？先假设，在原点处有振动 y=f(t)，振动以速度 v 向 x 轴正方向传播，则 t 时刻 x 处的振动方程是 y=f(t-frac{x}{v})，即 x 处的振动比原点处慢 frac{x}{v} 。我们就得到了沿 x 轴正方向传播的波函数一般形式 y(x,t)=f(t-frac{x}{v}) 。若原点处是简谐振动 f(t) = A sin(omega t) ， 则波函数y(x,t)=f(t-frac{x}{v}) = Asin(omega(t -frac{x}{v})) = A sin(omega t - kx) ， k = frac{w}{v} 。从波函数出发我们就可以推导出波动方程的一般形式。令 u=t-frac{x}{v}，对时间的一阶偏导数 frac{partial y}{partial t}=frac{df}{du}frac{partial u}{partial t}=frac{df}{du}，二阶偏导数 frac{partial^2 y}{partial t^2}=frac{d^2f}{du^2} 。对坐标的一阶偏导数 frac{partial y}{partial x}=frac{df}{du}frac{partial u}{partial x}=-frac{1}{v}frac{df}{du}，二阶偏导数 frac{partial^2 y}{partial x^2}=-frac{1}{v}frac{d^2f}{du^2}frac{partial u}{partial x}=frac{1}{v^2}frac{d^2f}{du^2} 。可以很容易得到波函数时空变化关系，即波动方程 frac{partial^2 y}{partial x^2}=frac{1}{v^2}frac{partial^2 y}{partial t^2}，移相后就得到常见的波动方程 frac{partial^2 y}{partial x^2}-frac{1}{v^2}frac{partial^2 y}{partial t^2}=0 。然后对波动方程求解。波动方程是二阶齐次线性偏微分方程，严格求解需要初值条件和边值条件。如果边值条件也是齐次的就可以用分离变量法求解。令 y(x,t)=Y(x)f(t)，代入波动方程然后分离变量，ffrac{d^2Y}{dx^2}-frac{1}{v^2}Yfrac{d^2f}{dt^2}=0，v^2frac{1}{Y}frac{d^2Y}{dx^2}=frac{1}{f}frac{d^2f}{dt^2} = -lambda 。f""(t) + lambda f(t) = 0 ， Y""(x) + frac{lambda}{v^2}Y(x) = 0 。若lambda < 0 ， f(t) = A e^{sqrt{-lambda}t} + B e^{-sqrt{-lambda}t} 不符合振动的形式。lambda >0 ， f(t) = A sin(omega t + phi) , Y(x) = C sin(kx) + D cos(kx) 。其中 omega^2 = lambda ， k = frac{omega}{v} 。

是二阶线性偏微分方程，它的一般形式是，这里v是带有速度量纲的参量，F（r,t）是一个可观测的物理量，即波函数，r是空间坐标，t是时间，墷是拉普拉斯算符，根据需要可用不同的坐标表示。对于具体的问题，波动方程可能简化。例如，对于均匀各向同性的媒质中的点波源，波函数只同矢径有关，这时波动方程可以简化成弦上的波动方程是最简单的一类FC=CAξ（x,t）是质点位移。ξ在流体中传播的平面声波的波动方程也具有相同的形式。FC=CA电磁波的波动方程可以写为G=CBE和H分别是电场强度和磁场强度，v是相速，在真空中v=с，是为2.99792458×10米/秒的常数，在介质中v=с/n，n是介质的折射率。

这个问题类似数学中的正弦函数平移问题。若原点的振动方程是y=Acoswt，那么波动方程是y=Acosw(t-x/v)平移动到x=x0后：当x≥x0时，y=Acosw(t-(x-x0)/v)当x<x0时，y=Acosw(t+(x-x0)/v)……跟上面的函数关于x=x0轴对称。希望对你有帮助，有疑问请追问O(∩_∩)O哈哈~

波动方程偏移与绕射扫描叠加偏移相比在质的方面有重大改进，是目前使用的主要偏移方法。其中又以15°有限差分偏移最为典型。(一)15°有限差分法波动方程偏移15°有限差分法波动方程偏移是以地面上获得的水平叠加时间剖面作为边界条件;用差分代替微分，对只包含上行波的近似波动方程求解以得到地下界面的真实图像。这也是一个延拓和成像的过程。1.延拓方程的推导由下述二维波动方程出发:地震勘探根据爆炸反射面模型，将速度缩小一半，即用v/2代替v，可得地震勘探此方程有两个解，分别对应于上行波和下行波。但地震记录是上行波记录，，故不能用此方程进行延拓，必须将它化为单纯的上行波方程才能利用。通常采用的方法是进行坐标变换后取近似值。第一步是坐标变换，令地震勘探上式中第一个变换无任何改变;第二个变换只是将空间深度z换成时间深度，也无实质性变化。关键是第三个变换，它表示不再用传统的旧时钟计时，而用一个运行速度与旧钟一样，但起始时刻各深度不同的新时钟计时。采用新时钟计时，上、下行波表现出差异。因为坐标变换不改变实际波场，故原坐标系中波场u(x，z，t)与新坐标系中的波场u^(x"，，t")一样，即地震勘探由复合函数微分法，得地震勘探将上述二阶偏微分结果代入方程(4-67)，整理后得地震勘探为书写方便，以u、x、t分别代替u^、x"、t"，则(4-69)式可写为地震勘探式中uxx，u，ut分别表示u的二次导数。注意，此方程仍然包含了上行波和下行波，仍不能用来进行延拓，故还有第二步。经过了坐标变换，虽然波场不变，但在新坐标系中上、下行波表现出差异，此差异主要表现为u的大小不同。当上行波的传播方向与垂直方向之间的夹角较小时(小于15°)，u可以忽略，而对下行波来说，u不能忽略。忽略掉u项，就得到只包含上行波的近似方程地震勘探此即15°近似方程(因为它只适用于夹角小于15°的上行波，或曰只有倾角小于15°的界面形成的上行波才能满足它)，为常用的延拓方程。为了求解此方程还必须给出定解条件。由于震源强度有限，可给出如下定解条件:(1)测线两端外侧的波场为零，即地震勘探(2)记录最大时间以外的波场为零，即地震勘探(3)自激自收记录(水平叠加剖面)为给定的边界条件，即时间深度=0处的波场值u(x，0，t)已知。有了这些定解条件就可对方程(4-71)求解得到地下任意深度处的波场值u(x，，t)，这是延拓过程。再根据前述成像原理，取传统旧时钟零时刻时的波场值，即新时钟时间t=时刻的波场值u(x，，)就组成了偏移后的输出剖面。2.差分方程的建立为了求解微分方程(4-71)，用差分近似微分，采用如图4-34所示的12点差分格式，可得图4-34 12点差分格式地震勘探地震勘探将(4-72)和(4-73)式代入(4-71)式中得地震勘探定义向量I、T地震勘探令向量u(x，j，l)为地震勘探则(4-74)式可简写为地震勘探则(4-75)式可写成如下形式地震勘探因此有地震勘探此即适合计算机计算的差分方程。3.计算步骤和偏移结果差分方程(4-76)形式上是一个隐式方程。即时间深度=(j+1)Δ处的波场值不能单独地用时间深度=jΔ处的波场值组合得到，方程右边仍有=(j+1)Δ的项。为了求得一排数据u(x，j+1，l)必须用到三排数据u(x，j+1，l+1)，u(x，j，l)和u(x，j，l+1)(图4-35)。一般来说，隐式方程的求解必须用解联立方程的方法进行，比较麻烦。但这儿无须这样做。利用定解条件②，在计算新的深度=(j+1)Δ处波场值时，由最大时间开始，首先计算t=tmax的那一排值。因u(x，j+1，tmax+Δt)≡0和u(x，j，tmax+Δt)≡0，有地震勘探计算u(x，j+1，tmax)只用到已知的u(x，j，tmax)值，十分容易。然后再利用(4-76)式递推地求=(j+1)Δ深度处任何时刻的波场值就没有任何困难了。具体计算时由地面向下延拓，计算深度Δ处的波场值。首先计算此深度处在t=tmax时的波场，然后向t减小的方向进行。一个深度计算结束，再向下延拓一个步长Δ继续计算。依此类推，可以得到地下所有点在不同时刻的波场值。如前所述，在新时钟t=时刻的波场值正是所欲求的“像”。因此，每次递推计算某一深度处的波场值时，由t=tmax向t减小的方向计算至t=时就可以结束。不同深度处的“像”u(x，，)组成偏移后的输出剖面。图4-36画出了偏移时的计算关系及结果取值位置。A表示地面观测到的叠加剖面。由A计算下一个深度Δ处的波场值B，计算B时先算第1"排的数值(只用到A中第1排数值)，再算第2"排数值(要用A中第1、2排和B中第1"排数值)，依此类推，直到t=Δ为止。再由B算下一个深度2Δ处波场值C，……在二维空间(x，t=)上呈现出需要的结果剖面信息。图4-35 有限差分法偏移求解中的一步图4-36 偏移结果取值位置图当延拓计算步长Δ与地震记录的采样间隔Δt一样时，由图4-36的几何关系可以看到，偏移剖面是该图中45°对角线上的值。实际工作中Δ不一定要与Δt相等，可根据界面倾角大小确定Δ，倾角较大时应取较小的Δ，倾角较小时Δ可取的较大些，以减少计算工作量，中间值可用插值求得。与其他波动方程偏移方法相比，有限差分法有能适应横向速度变化，偏移噪声小，在剖面信噪比低的情况下也能很好地工作等优点。但15°有限差分法对倾角太大的情况不能得到好的偏移效果。因此，又发展了45°、60°甚至90°有限差分偏移方法，有兴趣的读者可参阅有关文献。(二)频率波数域波动方程偏移有限差分偏移方法是在时间空间域中进行的。利用傅里叶变换也可使偏移在频率波数域中实现。与有限差分法偏移思想完全一样，认为水平叠加剖面是由界面上无数震源同时向上发出的上行波在地面处的波场值u(x，0，t)，用它反求地下任一点的波场值u(x，z，t)，这是延拓;据成像原理，取其在t=0时刻的值u(x，z，0)，组成偏移后的输出剖面。仍由速度减半后的波动方程(4-67)出发，对方程两边做关于x和t的二维傅里叶变换，得到一个常微分方程地震勘探式中:Ū=Ū(kx，z，ω)为波场函数u(x，z，t)的二维傅里叶变换，ω=2πf为圆频率，kx为x方向上的空间波数。(4-77)是常微分方程，其解有两个，分别对应于上行波和下行波。偏移研究的是上行波的向下延拓问题，故只考虑上行波解。地震勘探其中U(kx，0，ω)为解的初值，即上行波在z=0处的记录的傅里叶变换。因此，式(4-78)表示由z=0处波场的傅里叶变换求出任何深度处波场傅里叶变换的过程，是频率波数域中的波场延拓。通过傅里叶反变换可由U(kx，z，ω)求出地下任何深度处的波场值地震勘探根据成像原理，偏移结果应是这些点处t=0时刻的波场值地震勘探这就是频率波数域偏移的数学模型。至于其具体实现步骤就不赘述了。如果求解常微分方程(4-77)时初值不取z=0处的波场傅里叶变换值，而取任一较浅处的波场傅里叶变换值，则可得到地震勘探从而得到可适应速度纵向变化的相移法偏移的数学模型地震勘探利用此式可逐步向下延拓成像，每延拓一次用的速度均可改变。由于快速傅里叶变换的应用，频率波数域偏移效率十分高，运行时间少，是波动方程偏移算法中最经济的方法，且适用于大倾角地区。但因计算在频率波数域中进行，需要注意假频问题，且此法对横向速度变化的地区不太适应。(三)克希霍夫积分偏移克希霍夫积分偏移是一种基于波动方程克希霍夫积分解的偏移方法。三维纵波波动方程的克希霍夫积分解［见第一章(1-63)式］式中S为包围点(x，y，z)的闭曲面，n为S的外法线，r为由观测点(x，y，z)至S曲面的距离，［］表示延迟位， 此解的实质是由已知的闭曲面S上各点波场值计算面内任一点处的波场值。它正是惠更斯原理的严格数学形式。选择闭曲面S由一个无限大的平地面S0和一个无限大的半球面S1所组成。S1面上各点波场值的面积分对面内一点波场函数的贡献为零。因此，仅由平地面S0上各点的波场值计算地下各点的波场值地震勘探此时，原公式中的 项消失，积分号前的负号也因z轴正向与n相反而变为正。以上是正问题的克希霍夫积分计算公式。偏移处理的是反问题，它将反射界面的各点看作为同时激发上行波的源点，将地面接收点看作为二次震源，将时间“倒退”到t=0时刻，寻找反射界面的源波场函数，从而确定反射界面。反问题也能用上式求解，差别仅在于［］不再是延迟位而是超前位 根据这种理解，克希霍夫积分延拓公式应为地震勘探按照成像原理，此时t=0时刻的波场值即为偏移结果。只考虑二维偏移，忽略y坐标，将空间深度z转换为时间深度t0=2z/v，得到克希霍夫积分偏移公式地震勘探式中: 为地面记录道G的横坐标，x为偏移后剖面道的横坐标，地震勘探图4-37 克希霍夫偏移公式中各量示意图地震勘探由此可见，克希霍夫积分偏移与绕射扫描叠加十分相似，都是按双曲线取值叠加后放在双曲线顶点处。不同之处在于:①不仅要取各道的幅值，还要取各道的幅值对时间的导数值 参加叠加;②各道相应幅值叠加时不是简单相加，而是按(4-86)式的加权叠加。正因如此，所以虽然形式上克希霍夫积分法与绕射扫描叠加类似，但二者有着本质区别。前者的基础是波动方程，可保留波的动力学特性，后者属几何地震学范畴，只保留波的运动学特征。与其他波动方程偏移法相比，克希霍夫积分法具有容易理解，能适应大倾角地层等优点。但它在速度横向变化较大的地区难以使用，且偏移噪声较大。

首先考虑x=0处的波动。这时候可以设函数是A*cos(ωt+φ)然后分析x不为零时的y值。那么x处的波高可以认为x=0处的波高向右运动过来的，运动距离是x。所以运动时间是x/u。t1时刻x=0处的y值是y1=A*cos(ωt1+φ)，也是t1+x0/u时x0处的y值。所以t0时，x0处的y值是y1。将t0=t1+x0/u代入，得A*cos(ω(t0-x0/u)+φ)。这是波动方程直观的物理解释。A是振幅ω是角频率φ是初相A=0.04m周期T=2π/ω频率f=1/T波长λλf=u用这几个公式就知道了波长周期频率。关于初相φ，函数是余弦函数向右平移了π/2个相位。由于cos函数下x的系数-ω/u为负，所以x-c，展开后c大于0，所以初相φ大于0。是π/2我是个民科，没上过大学，可能不标准，呵呵。

Y=ASIN(WX+D)只要算出参数就可以了

平面简谐波动方程y=Acos[w(t-x/u)+φ]，设u为波速，λ为波长，T为周期，A为振幅，为振动的圆频率，为初相。平面简谐波是最基本的波动形式。平面传播时，若介质中体元均按余弦（或正弦）规律运动，就叫平面简谐波。如果所传播的是谐振动，且波所到之处，媒质中各质点均做同频率、同振幅的谐振动，这样的波称为简谐波，也叫余弦波或正弦波。如果简谐波的波面是平面，这样的简谐波称为平面简谐波。

坐标轴的正方向通常规定为波速方向，如果方向规定的与此相反，则波动方程相差一个符号。（1）A点振动，传播到B，需要时间x/u，x=-9m，u=-20m/s(负号仅仅表示，B的位置坐标为负，波速沿着-x方向），所以B的振动比A延后x/u=0.45s，波中任何一点的振动方程——波动方程为：y"=A*cos(4Pi*(t-x/u)-Pi)=0.03*cos(4Pi*(t-0.05x)-Pi)B的振动方程为y=A*cos(4Pi*(t-x/u)-Pi)=0.03*cos(4Pi*(t-0.45)-Pi)（2）此时，A、B的位置坐标分别为x1=5m，x2=14m；原点的振动时刻比A提前x1/u=0.25s，所以原点的振动方程为y=A*cos(4Pi*(t+x1/u)-Pi)=0.03*cos(4Pi*(t-0.25)-Pi)=0.03*cos(4Pi*t-2Pi）=0.03*cos(4Pi*t)B点的振动方程为y"=A*cos(4Pi*(t-0.7))

为了弄清楚波动方程的物理意义，我们作进一步的分析。在波动方程中含有x和t两个自变量，如果x给定(即考察该处的质点)，那么位移y就只是t的周期函数，这时这个方程表示x处质点在各不同时刻的位移，也就是该质点的振动方程，方程的曲线就是该质点的振动曲线。下图(a)中描出的即一列简谐波在x=0处质点的振动曲线。如果波动方程中的t给定，那么位移y将只是x的周期函数，这时方程给出的是t时刻波线上各个不同质点的位移。波动中某一时刻不同质点的位移曲线称为该时刻波的波形曲线，因而t给定时，方程就是该时刻的波形方程。下图(b)中描出的即是t=0时一列沿x方向传播的简谐波的波形曲线。无论是横波还是纵波，它们的波形曲线在形式上没有区别，不过横波的位移指的是横向位移，表现的是峰谷相间的图形；纵波的位移指的是纵向位移，表现的是疏密相间的图形。在一般情况下，波动方程中的x和t都是变量。这时波动方程具有它最完整的含义，表示波动中任一质点的振动规律：波动中任一质点的相位随时间变化，每过一个周期T相位增加，任一时刻各质点的相位随空间变化，距离波源每远一个波长，相位落后一个2π。(a)x=0处质点的振动曲线 (b)t=0时波的波形曲线振动曲线和波形曲线还应该注意波动方程、振动方程和波形方程在形式上的明显区别，以免引起概念上的混淆。波动方程描述波动中任一质点的振动规律，它有两个自变量，其函数形式表现为；振动方程描述某一点的运动，只有一个自变量t，函数形式表现为形式；波形方程表示的是某一时刻各质点的位移，也只有一个自变量，表现为形式。反映在曲线表示上，要注意振动曲线和波形曲线的区别。振动曲线是y-t曲线而波形曲线是y-x。振动曲线的(时间)周期是T，波形曲线的(空间)周期是波长l。在振动曲线中质点的相位随时间逐步增加，而在波形曲线中质点的相位是沿波的传播方向逐点减少。

抓住周期性，时间周期性（x一定时）y和t的关系；空间周期性，（t一定的时候）y和x的关系；即可找出；f与x和t都无关，可叫做初相。波函数在x。处波形的斜率，跟对t求导是对应的的，Yx=0时Yt最大，反之亦然。x/u表示波以 u 的速度传了 x 的距离所用的时间。φ表示初始的相位，就是余弦函数的初始的一个角度。wx/u是以 u 的速度传了 x 的距离后，产生的相位差，其中 w 是波的振动频率。扩展资料：在三角函数模型中我们会遇到三角函数图像y=Asin(ωx+φ)。物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期、和频率等都是与这个解析式中的常数有关。A就是这个简谐运动的振幅(amplitude of vibration），它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期（period）是T=2π/ω，这是做间歇运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率（frequency)由公式f=1/T=|ω|/2π（这里的频率不是指角速率）它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx+φ称为相位x=0时的相位（ωx+φ=φ）称为初相参考资料来源：百度百科-初相

波方程是F(x)＝，t是定值，自变量只有x，反映的是波形图波动方程是F(x，t)＝，t和x都是变量，反映的是空间中波的运动状态

波动方程是之中偏微分方程：一个量为U(z,t),那么U(z,t)对z的二阶导数 等于 一个常数 乘以 U(z,t)对t的二阶导数.这就是波动方程了.

波动方程 cos（kx-wt）P点对应一个x值，代进去。p点的t的零点从波传到P开始，有一个延时，比如波传到P点用时t0，那么P在t=t0起振，如果以P点起振为时间零点，那么波源就在-t0时候起振。于是用（t+t0）把波函数的t也给换了，然后你就得到了答案。

如果阁下是高中生理解起来就有点困难。这需要一定的微积分知识。下面以一维的弦横向振动（带阻尼,阻尼与速度平方成正比）为例进行推导。详细见我空间图片（点击查看原图）http://hi.baidu.com/522597089/album/item/5d71ff2db9389b50174a27e78535e5dde6116e76.html#http://hi.baidu.com/522597089/album/item/52a1f13cb80e7bec076fc4542f2eb9389a506b76.html#其中△S为单位长度弦长,x一拔代表微段弦长质心,微振动这里α很小运用牛顿第二定律,微分中值定理,取极限即可推导。

《非线性波动方程的现代方法》基本信息出版时间： 2008-8-1字 数： 410000版 次： 1页 数： 267印刷时间： 2008-08-01开 本： 16开印 次： 1纸 张： 胶版纸I S B N ： 9787308061315包 装： 平装 目录第一章概论1.1引言1.2几何与物理中的一些方程的导出1.3方程中的一些不变特征1.3.1几个重要李群1.3.2模型方程的守恒律与一些不变性质1.4问题及方法1.4.1Cauchy问题的适定性1.4.2两个常用的研究方法第二章分析基础2.1Lp空间及其插值空间2.1.1Lp空间2.1.2Fourier变换2.1.3插值理论2.2最大函数及其应用2.2.1最大平均函数2.2.2分数次积分2.3局部化方法与不确定性原理2.3.1局部化方法2.3.2不确定性原理2.3.3Littlewiid-Paley分解2.4稳定位相法2.5Sobolev空间的L-P分解刻画2.6Poincare不等式2.7非线性估计2.7.1Gagliardo-Nurenbeng不等式2.7.2Leibniz法则2.7.8Miser型估计2.8Fourier限制理论2.8.1Stein-Thomas定理2.8.2解析插值证明2.8.3演化算子方法证明2.8.4双线性形式证明（n=2和n=3）第三章线性波动方程3.1线性波动方程的经典解3.2线性波动方程的弱解3.3能量不等式3.4线性波动方程解的存在与唯一性3.5L∞衰减估计3.6波动方程的Strichartz估计3.6.1单频Strichartz估计3.6.2波动方程Strichartz估计3.6.3球面对称情形的Strichartz估计3.6.4其他的LpLq混合范数估计3.7齐次波动方程的双线性时空估计3.7.1一些记号与说明3.7.2椭球面与双曲球面上的积分3.7.3定理条件的必要性分析3.8波Sobolev空间及其估计第四章非线性波动方程局部解4.1半线性波动方程的局部解4.2拟线性方程的局部解4.3三维半线性方程的局部解4.4具零形式的方程的局部解第五章经典解的破裂与奇性的形成5.1半线性方程解的破裂5.2形如utt＝C2(ux)uxx方程的破裂5.3n=3时utt=c2(ut)△u的径向解的破裂5.4n=3时□v=2ututt的解的破裂第六章具小振幅初值的非线性波动方程6.1非线性波动方程的小振幅解6.1.1高维拟线性波动方程的整体解6.1.2零条件和三维波动方程的整体解6.1.3零条件和二维波动方程的整体解6.2具小初值的非线性Klein-Gordon方程6.2.1经典的能量方法6.2.2Klainerman的不变向量场方法6.2.3Shatah的法形式方法……第七章大振幅初值的半线性波动方程的整体解参考文献 内容简介本书的主要内容是介绍非线性波动方程的局部或整体适定性理论、研究方法，以及解的破裂性质等。第一章，介绍了一些可用变分方法导出的方程与方法，讨论了方程中的一些重要的不变特征及其作用，以及定解问题的提法与研究解的存在性问题的常用方法等。第二章回顾和介绍了了研究偏微分方程理论所需的现代分析或调和分析基础，其中包括可积空间、可微空间、Sobolev空间以及它们之间的一些重要的定性性质和定量关系。最大函数及其应用，局部化方法与不确定性原理，稳定位相法，Gagliardo-Nirenberg不等式，Moser型估计等一些常用的非线性估计，Fourier限制定理及其各种证明方法等。第三章主要介绍线性波动方程解的表示，解在Sobolev框架下的存在唯一性，能量不等式，衰减估计，Strichartz估计，双线性估计以及波-Sobolev空间及其估计等。第四章主要介绍非线性波动方程的局部适定性理论，其中包括Sobolev框架、可微函数空间框架下的局部解以及满足零条件方程的局部解理论等。第五章介绍了一些典型波动方程经典解的破裂与奇性的形成以及生命区间的刻画等例子。第六章主要讨论了小振幅初值解的整体存在性问题。首先用连续性方法证明了高维拟线性波动方程的整体解的存在性，零条件以及低维情形的整体解。然后给出非线性Klein-Gordon方程的整体解常用研究方法。最后，讨论了半线性波动方程的整体适定性问题以及研究方法，其中包括具有整体Lipschitz非线性项的波动方程的整体解；半线性波动方程的有限能量弱解、经典解以及三个空间变量情形的低正则解等。

在弹性波方程中，外力F既包含胀缩力(正压力)，也包含旋转力(剪切力)，位移U也包含体变和形变两部分。若对弹性波方程式(1.2-1)两边取散度或取旋度，就可将弹性波方程分离为纵、横波方程。对式(1.2-1)两边取散度(div)，可得方程地震勘探原理、方法及解释若令地震勘探原理、方法及解释(1.2-4)式可写成地震勘探原理、方法及解释式中：divF代表胀缩力，该式描述了在只有胀缩力的作用时，弹性介质只产生与体变系数θ有关的扰动，称式(1.2-6)为用位移表示的纵波波动方程，式中VP为纵波传播速度。同样，若对式(1.2-1)两边取旋度(rot)，并令ω=rotU，可得方程地震勘探原理、方法及解释令地震勘探原理、方法及解释式(1.2-7)可写成地震勘探原理、方法及解释式中：rotF代表旋转力，该式描述了在只有旋转力作用时，弹性介质只产生与形变ω有关的扰动，称式(1.2-9)为用位移表示的横波波动方程，式中VS为横波传播速度。为使纵、横波方程简单化，可进一步用位函数表达纵、横波方程。已知U和F是矢量，根据亥姆霍兹(Helmholtz)定理：任一矢量函数U，若它的散度和旋度有意义，则该矢量场可分解为一个无旋部分和有旋部分之和，即地震勘探原理、方法及解释并且总可以找到一个标量位φ和矢量位ψ使下式成立地震勘探原理、方法及解释φ代表位移场的标量位，ψ代表位移场的矢量位；Φ代表标量力位，Ψ代表矢量力位。将式(1.2-11)分别代入式(1.2-6)和式(1.2-9)，可得用位函数表示的纵、横波波动方程地震勘探原理、方法及解释地震勘探原理、方法及解释若矢量位ψ=ψ(ψx，ψy)，则式(1.2-13)也可写成标量方程地震勘探原理、方法及解释式(1.2-12)、式(1.2-14)是标量位函数表示的三分量标量波动方程，式(1.2-12)是纵波标量波动方程，式(1.2-14)是标量横波波动方程。在以上传播方程中，当速度VP、VS分别为常数，则表示均匀、各向同性、理想弹性介质中波的传播规律，若速度VP=VP(x，y，z)、VS=VS(x，y，z)，则可表示非均匀、各向同性、理想弹性介质中波的传播规律。但对各向异性、黏弹性介质以及双相介质模型的波传播方程需要重新建立。

根据电动力学中的基础知识，麦克斯韦方程的普遍形式为 ……(5.4.1) 在介质中，没有传导电流，也没有自由电荷，即 所以上面方程组简化为 ……(5.4.2) 此外，在电动力学中还讲到物质方程为 ……(5.4.3) 上面三个等式是指在均匀介质中无极化存在时的情况，当有极化存在时， ……(5.4.4) 下面用麦克斯韦方程组推导非极化状态下的波动方程。由式 (5.4.2)中 两边取旋度 于是有 ……(5.4.5) 令 则 同理可得 ……(5.4.6) 　式 (5.4.5)和 (5.4.6)称为电磁场的波动方程，正是这两个方程成为现代无线电技术的启明星。下面，我们再推导在极化状态下的波动方程。当考虑有传导电流存在时，极化状态下的波动方程由下面三个公式联立可推出。 ① ② ③ ……(5.4.7) 　由 (5.4.7)②式两边取旋度 即 ……(5.4.8)式中 实际包括线性极化和非线性极化两部分即 为线性极化率， 为非线性极化强度代入上面公式中，则有 ……(5.4.9) 令 为介质的介电常数最后有： ……(5.4.10) 　如果非线性晶体材料是良好的绝缘材料，即 则在解方程时， 项可以忽略，此项在解波动方程时可看成是损耗项。当忽略此项则有 ……(5.4.11)

波动方程一、选择题1.把一根十分长的绳子拉成水平，用手握其一端。维持拉力恒定，使绳端在垂直于绳子的方向上作简谐振动，则[[[[BBBB]]]](A)振动频率越高，波长越长。(B)振动频率越低，波长越长。(C)振动频率越高，波速越大。(D)振动频率越低，波速越大。解：拉力恒定，则波速µνTu=恒定，λ=。ν越大，λ越小;反之ν越小，λ越大。u2.在下面几种说法中，正确的说法是：[[[[CCCC]]]](A)波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的。(B)波源振动的速度与波速相同。(C)在波传播方向上的任一质点振动相位总是比波源的相位滞后。(D)在波传播方向上的任一点的振动相位总是比波源的相位超前。解：波动的周期在数值上等于波源振动的周期；波源振动的速度与波速完全不同；在波传播的方向上，质点振动的位相依次落后，所以任一点的振动相位都落后于波源的相位。3.一简谐横波沿Ox 轴传播。若Ox 轴上和两点相距λ/8(其中λ为该波的波长)，ωP12P则在波的传播过程中，这两点振动速度的

波动方程求解进行正演模拟常用的方法有有限差分法、傅立叶变换法、克希霍夫积分法以及有限元素法。所有叠后波动方程偏移法均可用于正演模拟而得到自激自收剖面，所不同的是只需要改变延拓方向，由地下向地面延拓，取地面上各点计算值作为计算剖面。4.4.1 有限差分法二维正演模拟有限差分法二维正演模拟是利用有限差分法求解二维波动方程定解问题。在计算机上实现这一问题，是在有限区域内进行的，如图4.14所示。图4.14 有限差分法计算区域示意图由于取了有限区域，所以在两侧和底界上人为地造成了边界，这个边界叫作计算边界。因为它的存在，波传播碰到边界时就必然产生反射（如图4.14 中所示），此反射造成干扰，影响理论记录的质量。为消除或减弱边界反射效应，需在定解问题中加吸收边界条件。所考虑的计算区域为D=｛（x，z）|，-α≤x≤α，0≤z≤b，0≤t≤T｝，含吸收边界条件的定解问题为（仅考虑纵波方程）：地球物理数据处理教程S（x，z，t）是震源函数，S（x，z，t）=δ（x-x0）δ（z-z0）·b（t），b（t）是地震子波，（x0，z0）是震源坐标。关于上面定解问题中的吸收边界条件（4.4.4）、（4.4.5）和（4.4.6）的详细论述请参见本书后面的附录。用差分法求解上述的定解问题，需建立差分格式（应满足收敛性及稳定性条件，这方面的详细论证请参阅有关文献），把用偏微分方程表示的定解问题转换为用差分方程表示。差分方程的建立过程在此不再重复（与有限差分法波动方程偏移中差分方程建立方法相同），这里直接给出差分方程式：地球物理数据处理教程地球物理数据处理教程右边界条件：地球物理数据处理教程j=1，2，…，J；n=1，2，…，N （4.4.8）左边界：地球物理数据处理教程j=1，2，…，J+1；n=1，2，…，N （4.4.9）底边界：地球物理数据处理教程i=1，2，…，I；n=1，2，…，N （4.4.10）震源子波可取b（t）= cos2πft。在计算机实现时，首先需将给定的几何界面和物性参数数值化，然后通过迭代计算 （2≤i≤I；2≤j≤J；0≤n≤N），最后输出 （i=1，2，3，…，I；n=0，1，2，…，N）作为地面共炮点地震记录。4.4.2 傅立叶变换法合成记录已知纵波波动方程地球物理数据处理教程根据傅立叶变换，式（4.4.11）的解可表示为：地球物理数据处理教程满足频散关系： （kx，kz，t=0）是t=0时刻波场（初始波场）的傅立叶变换。]]<![CDATA[式（4.4.11）左端关于时间t的二阶微分项可用中心差分近似表示。于是有地球物理数据处理教程亦即地球物理数据处理教程为书写简便，函数u中的变量x、z略写。显然，如果已知t及t-Δt时刻的波场值，可推得t+Δt时刻的波场值。由台劳级数，u（t）可表示为地球物理数据处理教程当t0=0时地球物理数据处理教程所以地球物理数据处理教程取n=3，则地球物理数据处理教程对式（4.4.11）两端关于t求导得：地球物理数据处理教程式（4.4.11）的初始条件为：地球物理数据处理教程当t=0时，由（4.4.11）式有：地球物理数据处理教程当t=0时，由（4.4.15）式有：地球物理数据处理教程将式（4.4.16）、（4.4.17）、（4.4.18）代入式（4.4.14）得到u（Δt）。再将u（0）、u（Δt）代入式（4.4.13），递推出u（2Δt），如此递推下去，便可求得任意时刻的解。方程（4.4.13）中的空间导数也可由傅立叶变换得到，即：地球物理数据处理教程同样，（4.4.17）式和（4.4.18）式中的空间导数也可由傅立叶变换得到，即：地球物理数据处理教程应用递推公式必须满足稳定性及允许误差的条件。应用傅立叶变换法，同样也可把上行波方程来作模型，其方法与上面类似，在此不再赘述。4.4.3 克希霍夫积分法非自激自收记录正演模拟由波动理论，克希霍夫积分法公式是惠更斯-菲涅尔原理的定量表达式。地下界面可看作由许多个小面元组成，每个小面元产生的绕射波被地面观测点接收。利用克希霍夫积分公式可以推导出正演模拟公式，二维情况是三维情况的简化，亦即把小面元化为小线元，如图4.15所示。通过对三维克希霍夫积分公式的简化，忽略一些较小量值的项，引入有关的几何量，可得到二维情况的克希霍夫积分非自激自收记录正演模拟公式地球物理数据处理教程式中：（r1+r2）/V=t是由震源O点经小线元Δl绕射后传播到接收点G的旅行时间；θ1和θ2分别为入射线和绕射线与小面元法线间的夹角；β为绕射线到G点的入射角；r1是震源O到界面入射波的传播距离；r2是从界面到接收点G绕射波的传播距离；V是速度；Δl是小线元长度；s（t）是地震子波。有关吸收边界条件的详细推导请见附录C。图4.15 克希霍夫积分法计算示意图左为三维情况，右为二维情况

波动方程的周期计算：自变量系数的变化导致周期变化x变为2x，周期就变为原来的1/2，f（x）纵坐标不变，横坐标变为原来的1/2得f（2x），向左平移1个单位得f（2x+1）。机械波(横波)传播的时候各个质点在与传播方向垂直的直线上来回振动。在第一幅图中过Q点作x轴平行线与第二幅图相交。第一个交点往下作垂线与x轴的交点就是1/3 s看第二幅图，当时间t＞1/3s的时候，Q点是往上跑的，所以波是往左传播的。物理意义平面波波矢k（又称“布洛赫波矢”，它与约化普朗克常数的乘积即为粒子的晶体动量）表征不同原胞间电子波函数的位相变化，其大小只在一个倒易点阵矢量之内才与波函数满足一一对应关系，所以通常只考虑第一布里渊区内的波矢。对一个给定的波矢和势场分布，电子运动的薛定谔方程具有一系列解，称为电子的能带，常用波函数的下标n 以区别。

不一定要假定波源在坐标原点，假定波源在坐标原点，是为了更方便的求出波动方程。解这个问题，还需要知道波的传播速度v。求解波动方程，实际上就是求解距离波源x处的质点的振动方程。波沿着x轴正方向传播，则正方向任何一点的振动的相位都比波源要落后。假设x是正方向上一点的坐标，它距离原点就是x。波从原点传播到x的时间t=x/v，波源振动的角速度是ω，则波源的震动周期T=2π/ω。则波从波源传播到x点，一共传播了t/T=xω/2πv个周期。则x点的质点的振动比波源落后的相位φ=2πt/T=xω/v所以波动方程为y=Acos(ωt-φ)=Acos(ωt-xω/v)。

为了求解(1-30)，需要应力和应变之间的关系以便能利用位移u表示。根据各向同性的均匀线性应力—应变关系(1-21):地震勘探式中δij称为单位张量(对于i=j时，δij=1，对于i≠j时，δij=0)，并把(1-5)的eij代入(1-31)得地震勘探再把(1-32)代入(1-30)，当λ和μ为常数时，得地震勘探分别写出三个分量，即地震勘探地震勘探如果用位移向量u(u，v，w)表示，则(1-34)的三个方程合并为地震勘探其中▽是矢量梯度算符，▽·是散度算符。这就是均匀各向同性弹性固体中地震波传播的方程，标准的地震波动方程。能够把这个方程分离为对P波和S波的解。对(1-35)取散度，得地震勘探或者地震勘探其中P波的速度vP是地震勘探对(1-35)取旋度，得地震勘探其中▽×是旋度算符。或者，在频率域，上式变为:地震勘探其中ω=rotu=▽×u，横波的速度vS是地震勘探

波函数与位置和时间有关。二者是个独立变量。x代表位置，t代表时间，A代表振幅。k=2*π/λ，代表波数w=2πf，角频率，振动频率

薛定谔方程实际上是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。薛定谔方程是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。它对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。就像牛顿第一定律，不能用实验来直接验证或由演绎推导得出。 这与麦克斯韦方程也有类似之处--都是假定，但都能与实验结果很好的相符

如果在所考虑的区域内自由电荷的体密度为零（ρ=0），且媒质是均匀、线性、各向同性的，则由这些条件下的麦克斯韦方程组及本构关系可以导得 称为广义波动方程或基尔霍夫方程。式中的称为拉普拉斯算符。在直角坐标系中 在自由空间或绝缘良好的介质中，电导率可以忽略不计，即σ=0，于是E和H的微分方程成为 称为波动方程或达朗贝尔方程。波动方程的解是在空间中一个沿特定方向传播的电磁波。对于电磁波传播问题的分析，都可归结为在给定的边界条件和初始条件下求波动方程的解。标量波动方程 应用直角坐标系 可以把③写成即把矢量波动方程分解成三个标量波动方程，每个方程中只含一个知函数。但只有在应用直角坐标系时才能得到这样的结果，在其它坐标系中，通过分解而得的三个标量方程都具有复杂的形式。亥姆霍兹方程 在场源按正弦规律随时间变化的条件下，场量也是同频率的正弦函数，可以用相量表示。由相量形式的麦克斯韦方程组出发，可以推导出相量形式的波动方程： 式中： 式⑧与⑨又称亥霍兹方程。

1 压强对体积的积分 2系统内部的无序程度 3这个不太清楚

平面简谐波动方程y=Acos[w(t-x/u)+φ],设u为波速,λ为波长,T为周期,A为振幅,为振动的圆频率,为初相。平面简谐波是平面简谐波的波函数，描述波传播到的各质点的振动状态的函数关系称为波函数，也叫波动方程。平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简谐振动，但在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们的位移也不相同，但根据波阵面的定义知道，在任一时刻处在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。

在外力 作用下，弹性介质发生微小形变，根据牛顿第二定律，介质所承受应力满足的运动方程为三维三分量地震勘探将式(2.2.5)和式(2.2.9)带入式(2.2.10)，得到均匀各向同性完全弹性介质中波的运动方程:三维三分量地震勘探式中:▽2为拉普拉斯算子， 将式(2.2.11)重写成矢量形式三维三分量地震勘探式(2.2.12)被称为奈维尔(Navier)方程，它包含(x，y，z)三个方向的位移分量(u，v，w)，是多波地震波动理论的基本公式。

对于一个标量quantity u的波动方程的一般形式是：波动方程{ partial^2 u over partial t^2 } = c^2 abla^2u这里c通常是一个固定常数，也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒, 参看音速)。对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若c作为波长的函数改变，它应该用相速度代替：v_mathrm = frac{omega}.注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。那种情况下，标量u会包含一个马赫因子(对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负)。u = u(x,t), 是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。 abla^2 是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。注意u可能是一个标量或向量。波动方程：

波动方程的公式分为正弦和余弦，其中正弦表达式为Y=Asin(ωt-kz+φ)，余弦表达式为为Y=ACOS[ω(t-kz)+φ]，其中z代表位移，φ是初相位。波动方程也称波方程，是一种描述波动现象的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等，在不同领域都有涉及，例如声学，电磁学，和流体力学等。波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太宽泛了。不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。

波动方程的公式分为正弦和余弦，其中正弦表达式为Y=Asin(ωt-kz+φ)，余弦表达式为为Y=ACOS[ω(t-kz)+φ]，其中z代表位移，φ是初相位。波动方程也称波方程，是一种描述波动现象的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等，在不同领域都有涉及，例如声学，电磁学，和流体力学等。波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太宽泛了。不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。

波动方程的公式分为正弦和余弦，其中正弦表达式为Y=Asin(ωt-kz+φ)，余弦表达式为为Y=ACOS[ω(t-kz)+φ]，其中z代表位移，φ是初相位。波动方程也称波方程，是一种描述波动现象的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等，在不同领域都有涉及，例如声学，电磁学，和流体力学等。波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太宽泛了。不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。

波动方程的公式分为正弦和余弦，其中正弦表达式为Y=Asin(ωt-kz+φ)，余弦表达式为为Y=ACOS[ω(t-kz)+φ]，其中z代表位移，φ是初相位。波动方程也称波方程，是一种描述波动现象的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等，在不同领域都有涉及，例如声学，电磁学，和流体力学等。波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太宽泛了。不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。

波动方程里含有一个x与t，那个x就是坐标轴上的任意一点，如果那一个点确定了，得出的就是含有t的一个振动方程，说波动方程是振动方程是错误的，还有波动方程的w与振动方程是一样的，还有改变坐标轴，同一点的振动方程不变。

波动方程就是一个波函数。只要满足这个方程的物质，就是波。

1、对于一个标量quantity u的波动方程的一般形式是:{ partial^2 u over partial t^2 } = c^2 abla^2u。 2、波动方程或称波方程（英语：Wave equation） 由麦克斯韦方程组导出的、描述电磁场波动特征的一组微分方程，是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。

振动方程与波动方程的区别如下：一、描述内容不同振动方程描述的是一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移。波动方程描述的是任意一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移。二、y的含义不同振动方程 y 是时间 t 的函数，y=f（t）。波动方程 y 是时间 t 和位置 x 的函数y=f（t, x)。三、变量不同振动方程的变量是 t，波动方程的变量是 x，t 。扩展资料波动方程的求解方式：波动方程的求解方法完全是求解振动方程的方法，首先确定一个参考点，一般选择坐标原点，根据初始条件写出它的振动方程，然后在右侧任选一点，坐标为x。这一点的振动方程和原点的振动方程对比，振幅一样，角频率一样，唯一不一样的是初相位，而相位差可以根据这两个点之间的距离来确定，即相位差等于距离除以波长再乘以2PI（圆周率），同时，沿着波的传播方向相位越来越小。

波动方程 或称波方程是一种重要的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波。它出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学。波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到。 历史上，象乐器那样的振动弦问题曾被很多科学家研究，包括达朗贝尔， 欧拉 ， 丹尼尔·伯努利 ，和 拉格朗日 。 对于一个标量quantity u的波动方程的一般形式是： { partial^2 u over partial t^2 } = c^2 abla^2u 这里c通常是一个固定 常数 ，也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒, 参看音速)。对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若c作为波长的 函数 改变，它应该用 相速度 代替： v_mathrm = frac{omega}. 注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在 气流 之类的移动媒介中）。那种情况下，标量u会包含一个马赫因子 [1] (对于沿着流运动的波为正，对于 反射波 为负)。 u = u(x,t), 是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于 空气 中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。 abla^2 是相对于位置 变量 x的 拉普拉斯算子 。注意u可能是一个标量或向量。 对于一维标量波动方程的一般解是由 达朗贝尔 给出的： u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct) 其中F和G为任意函数，分别对应于前进行波，和后退行波。要决定F和G必须考虑两个初始条件： u(x,0)=f(x) u_{,t}(x,0)=g(x) 这样达朗贝尔公式变成了: u(x,t) = frac{f(x-ct) + f(x+ct)} + frac int_^{x+ct} g(s) ds 在经典的意义下，如果f(x) in C^k并且g(x) in C^则u(t,x) in C^k. 一维情况的波动方程可以用如下方法推导：想象一个 质量 为m的小 质点 的队列，互相用长度h的 弹簧 连接。弹簧的硬度为k : 这里u (x)测量位于x的质点偏离平衡位置的距离。对于位于x+h的质点的运动方程是： m{partial^2u(x+h,t) over partial t^2}= kLINK 其中u(x)的时间依赖性变成显式的了。

大学物理波动方程公式是：1、简谐振动方程：ξ=Acos(ωt+φ)。2、波形方程：ξ=Acos(2πx/λ+φ′)。3、振动能量：E k =mV2/2=Ek E= Ek +Ep =kA2/2 E p =kx2/2= (t) 。4、波动能量：=1222∝A ρωA V ρω2A 2 I==2。5、机械波ν" =V +V R （V R ——观察者速度；V s ——波源速度）。 6、对光波ν" =C -V r，其中V r 指光源与观察者相对速度。波动方程物理意义波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太宽泛了。不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。

波源振动是同一质点振动随时间t的变化关系，波动方程不同质点振动随距离X变化关系。波源振动方程与波动方程的角速度相同，振幅相同。

波动方程的本质是振动方程,形式上自然一样,他们的区别就在于,振动方程描述的是一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移,而波动方程描述的是任意一个质点在任意时刻偏离平衡位置的位移,这个任意时刻用变量t来表示,任意位置用变量x来表示,求解方法完全是求解振动方程的方法,首先确定一个参考点,一般选择坐标原点,根据初始条件写出它的振动方程,然后在右侧任选一点,坐标为x,这一点的振动方程和原点的振动方程对比,振幅一样,角频率一样,唯一不一样的是初相位,而相位差可以根据这两个点的距离来确定,即相位差等于距离除以波长再乘以2PI（圆周率）,同时,沿着波的传播方向相位越来越小.记住,波动方程就是振动方程.

波动方程或称波方程（英语：Wave equation） 由麦克斯韦方程组导出的、描述电磁场波动特征的一组微分方程，是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。中文名波动方程外文名Wave equation所属学科物理应用学科声学、电磁学、流体力学、电信快速导航方程形式 方程的解 要点分析 物理意义波动方程介绍历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。弦振动方程是在18世纪由达朗贝尔（d"Alembert）等人首先系统研究的，它是一大类偏微分方程的典型代表。[1]方程形式对于一个标量(quantity) 的波动方程的一般形式是：波动方程这里a通常是一个固定常数，也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒, 参看音速)。对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若a作为波长的函数改变，它应该用相速度代替：注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。那种情况下，标量u会包含一个马赫因子(对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负)。u = u(x,t), 是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。 是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。注意u可能是一个标量或向量。如，一维波动方程：二维波动方程：三维波动方程：方程的解对于一维标量波动方程的一般解是由达朗贝尔给出的： , 其中 和为任意两个可微分的单变量函数，分别对应于右传播波，和左传播波。的取法与 无必然关系。要决定 和 必须考虑两个初始条件：这样达朗贝尔公式变成了：在经典的意义下，如果 并且 ，则 .一维情况的波动方程可以用如下方法推导：想象一个质量为m的小质点的队列，互相用长度h的弹簧连接。弹簧的硬度为k :这里u (x)测量位于x的质点偏离平衡位置的距离。对于位于x+h的质点的运动方程是：其中u(x)的时间依赖性变成显式的了。要点分析如果在所考虑的区域内自由电荷的体密度为零（ρ=0），且媒质是均匀、线性、各向同性的，则由这些条件下的麦克斯韦方程组及本构关系可以导得上述式子称为广义波动方程或基尔霍夫方程。式中的“▽”称为哈密顿算符。在直角坐标系中在自由空间或绝缘良好的介质中，电导率可以忽略不计，即σ=0，于是E和H的微分方程成为称为波动方程或达朗贝尔方程。波动方程的解是在空间中一个沿特定方向传播的电磁波。对于电磁波传播问题的分析，都可归结为在给定的边界条件和初始条件下求波动方程的解。