高数题（极限存在准则，两个重要极限）

极限存在准则是夹逼定理。简单的说：函数A>B,函数B>C，函数A的极限是X，函数C的极限也是X ，那么函数B的极限就一定是X，这个就是夹逼定理。主要应用在以下方面：（1）数列。（2）数项级数。（3）函数。（4）反常积分。（5）函数列和函数项级数。

极限存在准则定理如下：1、夹逼定理（英文：Squeeze Theorem、Sandwich Theorem），也称两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理、迫敛定理、三明治定理，是判定极限存在的两个准则之一。2、单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。函数列{fn}具有极限函数的充要条件是：对任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，有|fn(x)-f(x)|<ε。通常这个N不仅与ε有关，也与自变量x有关，就算ε不变，当x发生改变时，N也会随之改变。但是，如果某一函数列能找到这样一个正整数N，它只与ε有关，而对定义域（或其某个子集）上的任意一点x这个N都适用。

极限存在的条件：一、单调有界准则。函数在某一点极限存在的充要条件是函bai数左极限和右极限在某点都存在且相等。如果左右极限不相同、或者不存在。则函数在该点极限不存在。即从左趋向于所求点时的极限值和从右趋向于所求点的极限值相等。二、夹逼准则，如能找到比目标版数列或者函数权大而有极限的数列或函数，并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数，那么目标数列或者函数必定存在极限。扩展资料：在区间（a-ε，a+ε）之外至多只有N个（有限个）点；所有其他的点xN+1，xN+2，...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a。而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。换句话说，如果只知道区间（a-ε，a+ε）之内有{xn}的无数项，不能保证（a-ε，a+ε）之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。

极限存在准则是夹逼定理。简单的说：函数A>B,函数B>C，函数A的极限是X，函数C的极限也是X ，那么函数B的极限就一定是X，这个就是夹逼定理。发展极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中遇到大量的问题，开始人们只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破"只研究常量‘的传统范围，而寻找能够提供能描述和研究运动、变化过程的新工具，是促进"极限‘思维发展、建立微积分的社会背景。

极限存在准则是夹逼定理。夹逼定理（英文：Squeeze Theorem、Sandwich Theorem），也称两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理、迫敛定理、三明治定理，是判定极限存在的两个准则之一。相关信息：极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计。

柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了收敛的充分必要条件，是用来判断某个式子是否收敛的充要条件（不限于数列），主要应用在：数列、数项级数、函数、反常积分、函数列和函数项级数。每个方面都对应一个柯西准则，因此下文将按照不同的方面对准则进行说明。反常积分的柯西收敛准则反常积分分为两种，一种是积分区间含有无穷大的反常积分（又叫做无穷限的反常积分），另一种是被积函数为无界函数的反常积分（又叫做无界函数的反常积分、瑕积分）。因此相应的柯西收敛准则有两种，两种准则的描述有些区别，但都可以根据函数的柯西收敛准则来证明。

极限存在的条件有：1、单调有界准则。函数在某一点极限存在的充要条件是函数左极限和右极限在某点都存在且相等。如果左右极限不相同、或者不存在。则函数在该点极限不存在。即从左趋向于所求点时的极限值和从右趋向于所求点的极限值相等。2、夹逼准则，如能找到比目标版数列或者函数权大而有极限的数列或函数，并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数，那么目标数列或者函数必定存在极限。极限的求法有很多种：1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值；2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）；3、利用无穷大与无穷小的关系求极限；4、利用无穷小的性质求极限；5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算；6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限；7、利用两个重要极限公式求极限。

当x趋近于正无穷或负无穷时,[1+(1/x)]^x的极限就等于e,实际上e就是通过这个极限而发现的。函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以x→Xo 的极限为例，f(x) 在点Xo 以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： |f(x)-A|<ε ，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。极限存在准则：有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。1.夹逼定理：（1）当x∈U(Xo,r)(这是Xo的去心邻域，有个符号打不出）时，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立（2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那么，f(x)极限存在，且等于A。不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。2.单调有界准则：单调增加（减少）有上（下)界的数列必定收敛。在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。3.柯西准则。数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有|am-an|<ε成立。

极限存在准则即柯西极限存在准则，又叫柯西收敛原理，是用来判断某个式子是否收敛的充要条件（不限于数列），主要应用在数列、数项级数、函数、反常积分、函数列和函数项级数，每个方面都对应一个柯西准则。极限存在准则具体有两个，分别为：1、单调有界准则。如单调递增又有上界者，或者单调递减又有下界者。2、夹逼准则。如能找到比目标数列或者函数大而有极限的数列或函数并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数，那么目标数列或者函数必定存在极限。

1、单调有界准则。函数在某一点存在极限的必要条件是函数的左极限和右极限在某一点都同等存在。左右界限不同，或者不存在的话。那么函数在当时极限不存在。也就是说，从左侧求点时的极限值和从右侧求点时的极限值相等。 2、夹逼准则,如果目标的版的数列或函数权比大极限的数列或函数可以有另外的目标,而且数列或函数比小的数列或函数极限可以找到,那么目标的数列或函数是一定会存在极限。

一、单调有界准则.二、夹逼准则,如能找到比目标数列或者函数大而有极限的数列或函数并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数,那么目标数列或者函数必定存在极限.亲，满意吗，希望能帮到你，望采纳

以运用极限准则证明lim[n→∞]√(1+(1/n))=1为例：解：令xn=√(1+(1/n))，易证xn，单调减少，且大于零，所以由极限存在准则，lim[n→∞]xn（存在）=a，且a≥0。又由极限的四则运算法则，a^2=lim[n→∞](xn)^2=lim[n→∞](1+(1/n))=1,因此得到a≥0且a^2=1，故a=1。所以lim[n→∞]√(1+(1/n))=lim[n→∞]xn=a=1。得证。解决问题的极限思想：极限思想方法，是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是‘数学分析"与在‘初等数学"的基础上有承前启后连贯性的、进一步的思维的发展。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体的体积等问题），正是由于其采用了‘极限"的‘无限逼近"的思想方法，才能够得到无比精确的计算答案。人们通过考察某些函数的一连串数不清的越来越精密的近似值的趋向，趋势，可以科学地把那个量的极准确值确定下来，这需要运用极限的概念和以上的极限思想方法。要相信， 用极限的思想方法是有科学性的，因为可以通过极限的函数计算方法得到极为准确的结论。

单调有界准则夹逼准则

这是很典型的一类题，无论是平常期末考试还是考研。思路就是先证明极限存在，运用单调有界数列必收敛这一定理。单调的证明方法可以前后项做减法或除法，有界可以运用恒不等式，比如柯西不等式，排序不等式等等或者当你没有太好的思路时候可以采取数学归纳法。接着是求极限，对于题干给的前后项关系式两边求极限，然后运用极限的四则运算就可以轻松得出。

极限存在准则定理是：夹逼定理，单调有界准则，柯西准则。有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。数学：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题。所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

如何判断极限是否存在？1、不存在：高数中极限存在就是指极限求出来是一个具体的唯一的数2、如x趋于0时 sinx的极限是0等3、极限不存在就是求出来不是一个确定的数 4、存在；一种是求出来为 无穷大或无穷小 如tanx当x趋于π/2时5、另一种就是求出来是不确定的数 如sinx当x趋于无穷大时【事实上屡见不鲜的反例】：A、所有的暇积分，所有的广义积分，通通、统统建立在单侧极限上，能不算？谁敢不算？B、所有的 n 趋向于 无穷大型的数列极限，哪个不是单侧极限？

极限存在是指：存在左右极限且左极限等于右极限函数连续函数的值等于该点处极限值

用极限的夹逼准则当x→0+时，x＞0，1/x-1＜[1/x]≤1/x所以x(1/x-1)＜x[1/x]≤x(1/x)而当x→0+时，x(1/x-1)和x(1/x)的极限都是1所以x→0时，x[1/x]的右极限为1同样的道理，x→0时，x[1/x]的左极限为1得证。

柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了数列收敛的充分必要条件。数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m&gt;N,n&gt;N时就有|Xn-Xm|&lt;ε这个准则的几何意义表示，数列{Xn}收敛的充分必要条件是：该数列中足够靠后的任意两项都无限接近。

完整过程如下： 证明：设数列为{An},显然A（n+1）=√（2+An）＞0 ①：有界.数学归纳法A1＜2,设Ak＜2,则A（k+1）=√（2+Ak）＜√（2+2）=2成立 故0＜An＜2,有界； ②：单调.A（n+1）=√（2+An）＞√（An+An）=√2An＞An 故A（n+1）＞An,单调增； 由①②,根据单调有界数列极限判定准则,知该数列极限存在,设为A,等式两侧同取极限： √（2+A）=A.解出x是2或者-1（＜0,舍去,此处用到了极限保号性）. 因此极限就是2. 证明极限存在才是这个题的关键.

怎么判断极限是否存在验证极限是否存在的方法验证极限存在1/6分步阅读函数极限存在的充要条件是：左极限及右极限都存在且相等。2/6第一步，求函数或数列的左极限。函数的左极限可以用常用的基本极限来求，也可以用等价无穷小代换来求。验证极限存在3/6第二步，求函数或数列的右极限。函数的右极限可以用洛必达法则，泰勒公司或者基本极限来求。4/6第三步，判断左右极限是否相等。验证极限存在5/6除了一些特殊函数，一般函数不需要分左右极限分别来求。对于分别求左右极限来说，当左右极限中有一个不存在，极限就不存在。6/6除了求左右极限验证其是否相这一方法外，还可以利用夹逼准则和单调有界准则来判断数列极限是否存在。

问题一：如何判断极限是否存在，什么样的极限不存在 楼上网友的说法，确实是书上经常这么说的。 其实，这种说法，是非常牵强附会，是非常违背事实的。 . 1、【我们强行规定】： 某点处的左右极限各自存在且相等，该点的极限存在。 . 2、【这种说法带来的暗示性误导】： A、以为只要左右极限有一个不存在，极限就不存在； B、以为左右极限不相等，就没有极限。 . 3、【事实上屡见不鲜的反例】： A、所有的暇积分，所有的广义积分，通通、统统建立在单侧极限上， 能不算？谁敢不算？ B、所有的 n 趋向于 无穷大型的数列极限，哪个不是单侧极限？ . 4、【楼主的问题解答】 A、对一个点下一个左右逢源、左右讨好、左右一致的，只能是一个结果 的极限值： 只要左右极限不相等，极限就说成是不存在，就主观认定不存在！ 只要左右极限不齐全，极限就说成是不存在，就主观认定不存在！ 只要是极限为无穷大，极限就说成是不存在！ . B、如何判断？ A、只有分母等于零，就是不存在； B、不是可去型奇点，就是不存在； C、偶次根式内为负，就是不存在 ； D、对数的真数为负，就是不存在； E、极限值为无穷大，就是不存在。 . 【敬请】 敬请有推选认证《专业解答》权限的达人， 千万不要将本人对该题的解答认证为《专业解答》。 . 一旦被认证为《专业解答》，所有网友都无法进行评论、公议、纠错。 本人非常需要倾听对我解答的各种反馈，请不要认证为《专业回答》。 . 请体谅，敬请切勿认证。谢谢体谅！谢谢理解！谢谢！谢谢！ 问题二：如何判断极限是否存在 设f:(a,+∞)→R是一个一元实值函数,a∈R.如果对于任意给定的ε＞0,存在正数X,使得对于适合不等式x＞X的一切x,所对应的函数值f(x)都满足不等式.│f(x)-A│Xo=A,h(x)―>Xo=A,那么,f(x)极限存在,且等于A不但能证明极限存在,还可以求极限,主要用放缩法.单调有界准则：单调增加（减少）有上（下)界的数列必定收敛.在运用它们去求函数的极限时尤需注意以下关键之点.一是先要用单调有界定理证明收敛,然后再求极限值.二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ,并且要满足极限是趋于同一方向 ,从而证明或求得函数 的极限值.函数极限的方法①利用函数连续性：lim f(x) = f(a) x->a（就是直接将趋向值带出函数自变量中,此时要要求分母不能为0）②恒等变形当分母等于零时,就不能将趋向值直接代入分母,可以通过下面几个小方法解决：第一：因式分解,通过约分使分母不会为零.第二：若分母出现根号,可以配一个因子是根号去除.第三：以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的,如果趋向于无穷,分子分母可以同时除以自变量的最高次方.（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）当然还会有其他的变形方式,需要通过练习来熟练.③通过已知极限 问题三：怎么判断一个函数是否存在极限 （1）存在左右极限且左极限等于右极限（2）函数连续（3）函数的值等于该点处极限值 问题四：如何判断一个函数的极限是否存在? 判断一个函数在某一点的极限存在1、存在左右极限且左极限等于右极限2、有导函数,且导函数在该点连续?注意：函数在该点是否有定义,是否连续,这与该函数在该点是否有极限是无关的 问题五：如何判断极限是否存在？比如：

例题中已经说得十分清楚，利用例6的结论，x→0时，ln(1+x)/x的极限是1，因此例7中u/ln(1+u)的极限是1，得原极限是1

以运用极限准则证明lim[n→∞]√(1+(1/n))=1为例：解：令xn=√(1+(1/n))，易证xn，单调减少，且大于零，所以由极限存在准则，lim[n→∞]xn（存在）=a，且a≥0。又由极限的四则运算法则，a^2=lim[n→∞](xn)^2=lim[n→∞](1+(1/n))=1,因此得到a≥0且a^2=1，故a=1。所以lim[n→∞]√(1+(1/n))=lim[n→∞]xn=a=1。得证。解决问题的极限思想：极限思想方法，是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是‘数学分析"与在‘初等数学"的基础上有承前启后连贯性的、进一步的思维的发展。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体的体积等问题），正是由于其采用了‘极限"的‘无限逼近"的思想方法，才能够得到无比精确的计算答案。人们通过考察某些函数的一连串数不清的越来越精密的近似值的趋向，趋势，可以科学地把那个量的极准确值确定下来，这需要运用极限的概念和以上的极限思想方法。要相信， 用极限的思想方法是有科学性的，因为可以通过极限的函数计算方法得到极为准确的结论。

【这种基本性质再要证明就得用极限的 数学定义 了】① 对任意 ε>0② 由：limyn=a , 存在 N1∈N ，当 n>N1 时，|yn-a|<ε 恒成立，即：a-ε< yn;由：limzn=a , 存在 N2∈N ，当 n>N2 时，|zn-a|<ε 恒成立，即：zn< a+ε; 故存在 N=max{N1,N2}∈N，③ 当 n>N 时，则有：n>N≥N1 , a-ε< yn 且 则：n>N≥N2 , zn< a+ε从而： a-ε<yn≤ xn ≤zn < a+ε 恒成立，即：④ |xn-a|<ε 恒成立。即：lim xn = a

一、单调有界准则，如单调递增又有上界者，或者单调递减又有下界者。二、夹逼准则，如能找到比目标数列或者函数大而有极限的数列或函数并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数，那么目标数列或者函数必定存在极限。

证明极限存在的判断方法：分别考虑左右极限。极限存在的充分必要条件是左右极限都存在，且相等。极限的性质：1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。2、有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。3、保号性。4、保不等式性：设数列{xn}与{yn}均收敛。若存在正数N，使得当n>N时有xn≥yn。5、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{xn}，{yn}都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn}的极限和{yn}的极限的和。6、与子列的关系：数列{xn}与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn}收敛的充要条件是：数列{xn}的任何非平凡子列都收敛。求极限的6大方法：两个重要极限。等价替换。等价替换又称为等价无穷小替换。无穷小乘以有界量等于无穷小。洛必达法则。主要有0/0型和∞/∞两种类型。夹逼准则。如果yn<xn<zn，且yn和zn极限都为a，那么xn极限也为a。同样的也适用于函数极限，如果h(x)<f(x)<g(x)，且h(x)和g(x)极限都是a，那么f(x)极限也为a。说白了，就是两边夹中间。关键在于找出两边的y和z或者h和g。单调有界定理。在计算题中，单调有界定理用的不多。但是如果遇到，则因为用的少，就会很容易让人想不起来。因此，最好记下，时刻提醒自己有这个定理。所谓单调有界定理就是指，单调且有界的数列必有极限，对于函数也一样，单调且有界的趋近过程也必有极限。

.极限存在的充分必要条件是左极限和右极限存在且相等.可导的充分必要条件是左极限=右极限，且该极限值=f（x)在该点的函数值.故可导则极限一定存在

　　1）记该数列为 xn，则　　　　1/[1+π/(n^2)] < n*n/[(n^2)+π] < xn < n*n/[(n^2)+nπ] < 1/(1+π/n)，而两头的极限都是 1，据夹逼定理即得。　　2）仅证右极限（左极限留给你）。对 1>x>0，　　　　1 < (1+x)^(1/n) < yn < 2^(1/n)，而右边的极限是 1，据夹逼定理即得所求右极限为 1。

有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。1.夹逼定理：（1）当(这是的去心邻域，有个符号打不出）时，有成立（2）,那么，f(x)极限存在，且等于A不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。2.单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数，并且要满足极限是趋于同一方向，从而证明或求得函数的极限值。3.柯西准则数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有成立。

这个是反三角函数，如果x=sint，则t=arcsinx

因为1<√(1+1/n)<√2，所以√(1+1/n)有界因为√[1+1/(n+1)]/√(1+1/n)=√[n(n+2)/(n+1)^2]=√[(n^2+2n)/(n^2+2n+1)]<1所以√[1+1/(n+1)]<√(1+1/n)，即√(1+1/n)单调递减综上，√(1+1/n)单调有界，所以极限存在当n->∞时，1/n->0，所以原极限=1

极限存在准则定理是：夹逼定理，单调有界准则，柯西准则。有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。数学：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

函数极限存在的条件：一、单调有界准则。二、夹逼准则，如能找到比目标数列或者函数大而有极限的数列或函数，并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数，那么目标数列或者函数必定存在极限。几何意义：1、在区间（a-ε，a+ε）之外至多只有N个（有限个）点。2、所有其他的点xN+1，xN+2，（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。换句话说，如果只知道区间（a-ε，a+ε）之内有{xn}的无数项，不能保证（a-ε，a+ε）之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。

极限存在的充要条件：左极限存在，右极限存在，左右极限相等。可以概括为左右极都限存在且相等。左极限，就是从这个点的左边无穷趋向于这个数时，整个函数趋向于某个特定的数；右极限则是从这个点的右边无穷趋向于它时的极限。极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。简介：一、单调有界准则。函数在某一点存在极限的必要条件是函数的左极限和右极限在某一点都同等存在。左右界限不同，或者不存在的话。那么函数在当时极限不存在。也就是说，从左侧求点时的极限值和从右侧求点时的极限值相等。二、夹逼准则，如果目标的版的数列或函数权比大极限的数列或函数可以有另外的目标，而且数列或函数比小的数列或函数极限可以找到，那么目标的数列或函数是一定会存在极限。

极限存在准则是夹逼定理。夹逼定理（英文：Squeeze Theorem、Sandwich Theorem），也称两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理、迫敛定理、三明治定理，是判定极限存在的两个准则之一。相关信息：极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计。

函数极限存在的条件：1、单调有界准则。函数在某一点极限存在的充要条件是函数左极限和右极限在某点都存在且相等，如果左右极限不相同、或者不存在。则函数在该点极限不存在。2、夹逼准则。如能找到比目标版数列或者函数权大而有极限的数列或函数，并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数，那么目标数列或者函数必定存在极限。函数极限求法介绍利用函数连续性：直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0；通过已知极限：两个重要极限需要牢记；采用洛必达法则求极限：洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的，常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。以上内容参考 百度百科—函数极限

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当x趋近于正无穷或负无穷时,[1+(1/x)]^x的极限就等于e,实际上e就是通过这个极限而发现的。函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以x→Xo 的极限为例，f(x) 在点Xo 以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： |f(x)-A|<ε ，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。极限存在准则：有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。1.夹逼定理：（1）当x∈U(Xo,r)(这是Xo的去心邻域，有个符号打不出）时，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立（2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那么，f(x)极限存在，且等于A。不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。2.单调有界准则：单调增加（减少）有上（下)界的数列必定收敛。在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。3.柯西准则。数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有|am-an|<ε成立。

　　用夹逼定理：　　1）由于　　　1/x > [1/x]≥ 1/x-1，可知　　　1 = x(1/x) > x[1/x]≥ x(1/x-1) = 1-x → 1 (x→0)，由夹逼定理，即得　　　lim(x→0)x[1/x] = 1。　　2）记该数列为 x(n)，则有　　x(n) < (1/n^3)*Σ(1≤k≤n)(k^2) = (1/n^3)*(1/6)n(n+1)(2n+1)　　　　= (1/6)(1+1/n)(2+1/n)，　　x(n) > [1/√(n^6+n^2)]*Σ(1≤k≤n)(k^2) = [1/√(n^6+n^2)]*(1/6)n(n+1)(2n+1)　　　　= (1/6)(1+1/n)(2+1/n)/√(1+1/n^4)，左右两端的极限都是 1/3，由夹逼定理，即得　　　lim(n→∞)x(n) = 1/3。

判断极限是否存在的方法是：分别考虑左右极限。极限存在的充分必要条件是左右极限都存在且相等。用数学表达式表示为：极限不存在的条件：1、当左极限与右极限其中之一不存在或者两个都不存在；2、左极限与右极限都存在，但是不相等。扩展资料求具体数列的极限，可以参考以下几种方法：1、利用单调有界必收敛准则求数列极限首先，用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性，进而确定极限存在性；其次，通过递推关系中取极限，解方程，从而得到数列的极限值。2、利用函数极限求数列极限如果数列极限能看成某函数极限的特例，形如，则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限，此时再用洛必达法则求解。3、求N项和或项积数列的极限，主要有以下几种方法：（1）利用特殊级数求和法如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式，那么通过整理可以直接得出极限结果。（2）利用幂级数求和法若可以找到这个级数所对应的幂级数，则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出，再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值。（3）利用定积分定义求极限若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项可用一个通项表示，则可以考虑用定积分定义求解数列极限。（4）利用夹逼定理求极限若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项不能用一个通项表示，但是其余项是按递增或递减排列的，则可以考虑用夹逼定理求解。（5）求N项数列的积的极限一般先取对数化为项和的形式，然后利用求解项和数列极限的方法进行计算。参考资料来源：百度百科-函数极限

一、单调有界准则，如单调递增又有上界者，或者单调递减又有下界者。二、夹逼准则，如能找到比目标数列或者函数大而有极限的数列或函数并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数，那么目标数列或者函数必定存在极限。

柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了数列收敛的充分必要条件。数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|<ε这个准则的几何意义表示，数列{Xn}收敛的充分必要条件是：该数列中足够靠后的任意两项都无限接近。

证明：根据题意：n/(n²+nπ) < 1/(n²+π) +1/(n²+2π)+.....+1/(n²+nπ) < n/(n²+π)因此：n²/(n²+nπ) < n[1/(n²+π) +1/(n²+2π)+.....+1/(n²+nπ)] < n²/(n²+π)又∵lim(n→∞) n²/(n²+nπ) = lim(n→∞) 1/[1+(π/n)] = 1lim(n→∞) n²/(n²+π)] = lim(n→∞) 1/[1+(π/n²)] = 1根据夹逼准则：原极限=1

完整过程如下：证明：设数列为{An}，显然A（n+1）=√（2+An）＞0①：有界。数学归纳法A1＜2，设Ak＜2，则A（k+1）=√（2+Ak）＜√（2+2）=2成立 故0＜An＜2，有界；②：单调。A（n+1）=√（2+An）＞√（An+An）=√2An＞An 故A（n+1）＞An，单调增；由①②，根据单调有界数列极限判定准则，知该数列极限存在，设为A，等式两侧同取极限：√（2+A）=A。解出x是2或者-1（＜0，舍去，此处用到了极限保号性）。因此极限就是2. 证明极限存在才是这个题的关键。

在高等数学中，求解极限的时候，会有两种结果，第一种是极限存在，第二种是极限不存在；那么如何进行判断呢？极限存在的简单理解：如果能够最终 计算出一个值，并且 这个值 不是无穷 ，那么极限就是存在的；极限不存在的简单理解：如果最终计算不出一个具体的值，或者 结果是 无穷，那么称作：极限不存在方便记忆，用图像表示上面的意思：

一、单调有界准则.二、夹逼准则,如能找到比目标数列或者函数大而有极限的数列或函数并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数,那么目标数列或者函数必定存在极限.

当x趋近于正无穷或负无穷时,[1+(1/x)]^x的极限就等于e,实际上e就是通过这个极限而发现的。函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以x→Xo 的极限为例，f(x) 在点Xo 以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： |f(x)-A|<ε ，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。极限存在准则：有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。1.夹逼定理：（1）当x∈U(Xo,r)(这是Xo的去心邻域，有个符号打不出）时，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立（2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那么，f(x)极限存在，且等于A。不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。2.单调有界准则：单调增加（减少）有上（下)界的数列必定收敛。在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。3.柯西准则。数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有|am-an|<ε成立。

判断极限是否存在的方法是：分别考虑左右极限。极限存在的充分必要条件是左右极限都存在且相等。用数学表达式表示为：极限不存在的条件：1、当左极限与右极限其中之一不存在或者两个都不存在；2、左极限与右极限都存在，但是不相等。扩展资料求具体数列的极限，可以参考以下几种方法：1、利用单调有界必收敛准则求数列极限首先，用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性，进而确定极限存在性；其次，通过递推关系中取极限，解方程，从而得到数列的极限值。2、利用函数极限求数列极限如果数列极限能看成某函数极限的特例，形如，则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限，此时再用洛必达法则求解。3、求N项和或项积数列的极限，主要有以下几种方法：（1）利用特殊级数求和法如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式，那么通过整理可以直接得出极限结果。（2）利用幂级数求和法若可以找到这个级数所对应的幂级数，则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出，再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值。（3）利用定积分定义求极限若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项可用一个通项表示，则可以考虑用定积分定义求解数列极限。（4）利用夹逼定理求极限若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项不能用一个通项表示，但是其余项是按递增或递减排列的，则可以考虑用夹逼定理求解。（5）求N项数列的积的极限一般先取对数化为项和的形式，然后利用求解项和数列极限的方法进行计算。参考资料来源：百度百科-函数极限

当x趋近于正无穷或负无穷时,[1+(1/x)]^x的极限就等于e,实际上e就是通过这个极限而发现的。函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以x→Xo 的极限为例，f(x) 在点Xo 以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： |f(x)-A|<ε ，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。极限存在准则：有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。1.夹逼定理：（1）当x∈U(Xo,r)(这是Xo的去心邻域，有个符号打不出）时，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立（2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那么，f(x)极限存在，且等于A。不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。2.单调有界准则：单调增加（减少）有上（下)界的数列必定收敛。在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。3.柯西准则。数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有|am-an|<ε成立。