怎么判断一个函数的极大值极小值

①首先确定函数定义域。②二次函数通过配方或分解因式可求极值。③通过求导是求极值最常用方法。f"(x)=0，则此时有极值。>0为↑<0为↓判断是极大还是极小值。例如：①求函数的二阶导数，将极值点代入，二级导数值>0为极小值点，反之为极大值点二级导数值=0，有可能不是极值点；②判断极值点左右邻域的导数值的正负：左+右-为极大值点，左-右+为极小值点，左右正负不变，不是极值点。极大值和极小值也可以为集合定义极大值和极小值。一般来说，如果有序集S具有极大的元素m，则m是极大元素。此外，如果S是有序集T的子集，并且m是相对于由T诱导的阶数的S的极大元素，则m是T中S的极小上限。类似的结果适用于极小元素，极小元素和极大的下限。在一般的部分顺序的情况下，极小元素（小于所有其他元素）不应该与极小元素混淆（没有更小）。同样，部分有序集合（poset）的极大元素是集合中包含的集合的上限，而集合A的极大元素m是A的元素，使得如果m≤b（对于任何b在A）然后m = b。

运用导数公示和极限的方法进行推导。若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个点，那么函数f(x)在开区间内可导，这时对于内每一个确定的值。都对应着f(x)的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数f(x)的导函数，记作：y"或者f′(x)。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。1、极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。2、函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。3、极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。4、函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

关于函数求极值的方法有如下几项：导数求极值步骤：1.先求导，2.使导函数等于零，求出x值，3.确定定义域，4.画表格，5.找出极值，注意极值是把导函数中的x值代入原函数。导数求极值步骤1求函数f"(x)的极值步骤1、找到等式f"(x)=0的根2、在等式的左右检查f"(x)值的符号。如果为负数，则f(x)在这个根得到最大值；如果为正数则f(x)在这个根得到最小值。3、判断f"(x)无意义的点。首先可以找到f"(x)=0的根和f"(x)的无意义点。这些点被称为极点，然后根据定义来判断。4、函数z=f(x,y)的极值的方法描述如下：(1)解方程式f(x)(x,y)=0，fy(x,y)=0，求一个实数解，可以求所有的塞音；(2)对于每个停止点(x0,y0)，找到二阶偏导数的值a,b,c；(3)确定ac-b2的符号，并根据定理2的结论确定f(x0,y0)是一个最大值、最大值还是最小值。

你好：函数的极值是指函数在某一个点或某几个点有极大值或者是有极小值，这个是一些曲线函数图像中可以看到，极值点，也是函数单调性变化的点，由单调增函数变成单调减函数，或者是由单调减函数变单调增函数的点，极值处函数的导数常常是0，除非是那种左极限不等于右极限的函数，这个是拐点，是连续的，但不可以求导。

函数极值的定义如下：极值的别名是稳定值，外文名字是extremum，适用于数学、物理学科。主要是指一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。定义在一个有星空极值界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。如果不是边界点就一定是内点，因而是极值点。这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。极大值: 如果存在一个 ε > 0, 使得所有满足0f(x) 我们就把f(x0)称为一个函数f的极大值. 极小值: 如果存在一个 ε > 0, 使得所有满足0=f(x0),我们就把f(x0)称为一个函数f的最小值。极值是一个局部概念而最值是一个整体概念。因此楼主的问题对于f(x)=x(x>=1)在x=1处不存在非空邻域（即x=1左侧无定义域），因此f(x)在x=1处无极值，但由最值定义，f(x)在x=1处取得最小值。

函数的极值：极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大，这函数在该点处的值就是一个极大值。 极值的定义 若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)<f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值。 同理，若对D的所有点，都有f(x)>f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值。 极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。根据极值定律，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。如果极值点不是边界点，就一定是内点。因此，这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。 求函数f"(x)的极值方法 1、找到等式f"(x)=0的根 2、在等式的左右检查f"(x)值的符号。如果为负数，则f(x)在这个根得到最大值；如果为正数则f(x)在这个根得到最小值。 3、判断f"(x)无意义的点。首先可以找到f"(x)=0的根和f"(x)的无意义点。这些点被称为极点，然后根据定义来判断。 4、函数z=f(x,y)的极值的方法描述如下： (1)解方程式fx(x,y)=0，fy(x,y)=0，求一个实数解，可以求所有的塞音； (2)对于每个停止点(x0,y0)，找到二阶偏导数的值a,b,c； (3)确定ac-b2的符号，并根据定理2的结论确定f(x0,y0)是一个最大值、最大值还是最小值。

一、直接法。先判断函数的单调性，若函数在定义域内为单调函数，则最大值为极大值，最小值为极小值二、导数法（1）、求导数f"(x)；（2）、求方程f"(x)=0的根；（3）、检查f"(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。举例如下图：该函数在f"(x)大于0，f"(x)小于0，在f"(x)=0时，取极大值。同理f"(x)小于0，f"(x)大于0时，在f"(x)=0时取极小值。扩展资料：寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。参考资料：百度百科——极值

1、配方法:形如的函数，根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。2、判别式法:形如的分式函数，将其化成系数含有y的关于x的二次方程。由于，∴≥0，求出y的最值，此种方法易产生增根，因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。3、利用函数的单调性:首先明确函数的定义域和单调性，再求最值。4、利用均值不等式，形如的函数，及≥≤，注意正，定，等的应用条件，即:a，b均为正数，是定值，a=b的等号是否成立。5、换元法:形如的函数，令，反解出x，代入上式，得出关于t的函数，注意t的定义域范围，再求关于t的函数的最值。还有三角换元法，参数换元法。6、数形结合法形：如将式子左边看成一个函数，右边看成一个函数，在同一坐标系作出它们的图象，观察其位置关系，利用解析几何知识求最值。求利用直线的斜率公式求形如的最值。7、利用导数求函数最值：首先要求定义域关于原点对称然后判断f(x)和f(-x)的关系：若f(x)=f(-x)，偶函数；若f(x)=-f(-x)，奇函数。

　　数学主要以函数为研究对象,而函数极值无论在初等数学还是在高等数学里都是函数部分的一个重要问题，下文是函数求极值的方法，希望对同学们有帮助！ 　　一、利用二次方程的判别式求极值 　　在求某一类分式函数的极值时，若其分子或分母是关于x的二次式，可将其变为关于x的一元二次方程，根据x在实数范围内有解，由判别式求的。 　　例1、求函数y=求函数极值的若干方法 的极值。 　　解：将原函变形为关于x的二次方程 　　(y-1)x 求函数极值的若干方法 -2yx-3y=0 　　∵x∈R，且x≠3，x≠-1， 　　∴上方程在实数范围内一定有解。 　　△= (-2y) 求函数极值的若干方法 -4 (-3y)(y-1)= 4y(4y-3)≥0 　　解之得 y≤0 或 y≥ 求函数极值的若干方法 　　这里虽然y无最大（小）值，但对应于y=0和y= 求函数极值的若干方法 的x分别为x=0和x=-3， 　　所以当x=0时，y有极大值0，当x=-3时，y有极小值 求函数极值的若干方法 。 　　例2、求函数y= 求函数极值的若干方法 的值域。 　　解：将原函数变形得：y+yx 求函数极值的若干方法 =2x 　　∵x∈R，∴△= 4-4y 求函数极值的若干方法 ≥0，解之得：-1≤y≤1 　　∴函数y= 求函数极值的若干方法 值域为[-1，1] 　　由上面两例可以看出，用二次方程的判别式求函数的极值时，实际上就是将y看作x的系数，利用函数的定义域非空，即方程有解，将问题转化为解一元二次不等式。但要注意的是：在变型过程中，可能会将x的取值范围扩大，但所求函数的极值一定在不等式的解集内，此时，要注意检验，即招2出y取极值时的x是否有意义，若无意义必须舍去，再重新考虑其极值。 　　二、利用倒数关系求极值 　　对于有些分式函数，当其分子不含变量时，可由分母的极值来求整个函数的极值。 　　例3、求函数y=2- 求函数极值的若干方法 的最小值。 　　解：∵x 求函数极值的若干方法 -2x+6 = (x-1) 求函数极值的若干方法 +5＞0 　　∴函数的定义域为一切实数， 又由 x 求函数极值的若干方法 -2x+6=(x-1) 求函数极值的若干方法 +5 知 　　当x=1时， 求函数极值的若干方法 取最小值 求函数极值的若干方法 , 　　∴ 求函数极值的若干方法 取最大值 求函数极值的若干方法 , 　　此时 y=2- 求函数极值的若干方法 取最小值 2- 求函数极值的若干方法 , 　　即 当x=1时，有y的最小值是 2- 求函数极值的若干方法 。 　　三、利用重要不等式求极值 　　对于一类各项积为定值，且每一项的符号相等的函数极值，可考虑用重要不等式解决。 　　例4、求函数y=4x+ 求函数极值的若干方法 的极值。 　　解：显然函数的定义域为不等于零的一切实数。 　　(1) 当x＞0时，y = 4x+ 求函数极值的若干方法 ≥2 求函数极值的若干方法 =2 求函数极值的若干方法 =12 　　∴当4x = 求函数极值的若干方法 时, 即x = 求函数极值的若干方法 时, y有极小值12. 　　(2)当x＜0时，令x = -t, 则t＞0. y = 4x+9/x = - (4t+ 求函数极值的若干方法 )≤-12 　　∴当x = 求函数极值的若干方法 时，y有极大值-12 。 　　在利用重要不等式解题时，一定要注意必须要求每一项均为正数，若均为负数时，可提取一个负号，使括号内每一项仍为正。上题中若只考虑第一种情况，就不完全了。 　　例5、已知l＜0,m＜0，求函数y= 求函数极值的若干方法 在(0,+∞)上的最大值。 　　分析：虽然x 求函数极值的若干方法 ·8x· 求函数极值的若干方法 =2 求函数极值的若干方法 为常数，但由x 求函数极值的若干方法 =8x= 求函数极值的若干方法 解不出实数x，即无实数解。故由y≥3 求函数极值的若干方法 =3·8=24得出y的最小值为24的结论是错误的，但如能把8x、64/x 求函数极值的若干方法 各分成相等的m项和n项，设法定出m、n、x，然后再求出y的最小值就行了。 　　解：设y=x 求函数极值的若干方法 + 求函数极值的若干方法 + 求函数极值的若干方法 +……+ 求函数极值的若干方法 + 求函数极值的若干方法 + 求函数极值的若干方法 + ……+ 求函数极值的若干方法 , 　　(其中 求函数极值的若干方法 有m项， 求函数极值的若干方法 有n项)。 　　即m= 求函数极值的若干方法 ，n= 求函数极值的若干方法 时（由x 求函数极值的若干方法 = 求函数极值的若干方法 ,x 求函数极值的若干方法 = 求函数极值的若干方法 得）,y有最小值, 　　由2+ 求函数极值的若干方法 =3· 求函数极值的若干方法 (x 求函数极值的若干方法 ·x 求函数极值的若干方法 =x 求函数极值的若干方法 )得x 求函数极值的若干方法 +4x=96,解此方程的唯一正数解x=2, 　　此时m = 4, n = 2当时，y的最小值为4+16+8=28（代回去求得） 　　y≥7 求函数极值的.若干方法 = 7· 求函数极值的若干方法 = 7·4=28 　　四、利用换元法求极值 　　有些无理函数，往往用以上方法无法求出极值，此时可试用换元法求之。 　　例6.求函数 y= 求函数极值的若干方法 -x 在区间[0,1]上的最大值。 　　解：设 求函数极值的若干方法 = t，则0≤t≤1,且x = t 求函数极值的若干方法 　　∴当t=求函数极值的若干方法 即x= 求函数极值的若干方法 时,y取最大值 求函数极值的若干方法 . 　　这里利用了换元法将无理式变形为二次求解，它是求无理函数极值的常用方法，特别是对形如 y=kx+ 求函数极值的若干方法 的函数, 可令 t= 求函数极值的若干方法 化为关于的二次函数再利用配方法求得其极值。 　　例7.求函数y=x 求函数极值的若干方法 +1+2x(1-x 求函数极值的若干方法 )的最大值和最小值 　　解：∵y的定义域为[-1，1]，故可令x=cosθ(0≤θ≤π), 　　则 y= 求函数极值的若干方法 　　= 求函数极值的若干方法 (其y=中求函数极值的若干方法 为锐角，且 求函数极值的若干方法 ) 　　∵-1≤sin(2θ+α)≤1, 　　∴ 求函数极值的若干方法 ≤y≤ 求函数极值的若干方法 　　当sin( 求函数极值的若干方法 ) = -1时, 求函数极值的若干方法 　　故x = 求函数极值的若干方法 　　当sin 求函数极值的若干方法 时，2 求函数极值的若干方法 　　故x = 求函数极值的若干方法 　　即当x =- 求函数极值的若干方法 时, 求函数极值的若干方法 　　当x= 求函数极值的若干方法 时, 求函数极值的若干方法 　　此题中抓住了函数的定义域[-1，1]为条件。从而将无理函数转化为三角函数来得以解决函数的极值问题。 　　五、用解析法求极值 　　形如y=求函数极值的若干方法 其中(f(x)、g(x)是关于的二次式，且二次项系数为1)的函 　　极值，直接用纯代数法非常困难，因为要平方两次才能去掉根号。但若借助与解析法，将 求函数极值的若干方法 分别视作平面直角坐标系内两点的距离，利用平面图形性质，便可简捷求解。 　　例8.求函数y= 求函数极值的若干方法 的最小值，其中a、b、c均为正数， 　　解：在直角坐标系内取点C (0, 求函数极值的若干方法 )、D (c,- 求函数极值的若干方法 )、M (x,0) 、B (c,0) 　　则y = 求函数极值的若干方法 =∣CM∣+∣MD∣ 　　即为M到C、D两点的距离之和。 　　由平面图形性质可知当且仅当C、M、D三点共线时距离之和最短，此时M在Mˊ位置上。 　　由 △CO Mˊ∽△DBMˊ 得∣OM∣∶∣MˊB∣=∣OC∣∶∣BD∣ 　　即 求函数极值的若干方法 解之得 x=求函数极值的若干方法 　　此时 求函数极值的若干方法 =∣CD∣= 求函数极值的若干方法 　　例9.求函数y= 求函数极值的若干方法 的值域。 　　分析y= 求函数极值的若干方法 = 求函数极值的若干方法 　　所以 求函数极值的若干方法 可看作平面直角坐标系内的点(x,0)到点求函数极值的若干方法 与点 求函数极值的若干方法 的距离之差。 　　解: 在直角坐标系内取点A(- 求函数极值的若干方法 , 求函数极值的若干方法 )、点B( 求函数极值的若干方法 , 求函数极值的若干方法 )、点M(x,0) 　　则y= 求函数极值的若干方法 =∣AM∣-∣BM∣ 　　即为△ABM的两边之差，由平面图形性质知： 　　∣AM∣-∣BM∣＜∣AB∣=∣ 求函数极值的若干方法 ∣=1 　　反之∣BM∣-∣AM∣＜∣AB∣= 1 　　∴∣y∣＜1 　　∴-1＜ y ＜1 　　此法一般适用于为两个二次根式的和、差函数，且根号内为二次函数式，此时可通过配方将其变型为平面直角坐标系内两点之间的距离和与差来计算。这样既省去了平方计算的麻烦，又使式子具有明显的几何意义，从而更方便找出解题方法，将难度较大的问题转化为较简单的问题。在解此轴上的点到另两点的距离和或差，若求和的极值，则当三点共线时有最小值，即为这两点的距离，若为差，则无极值，此时差的绝对值小于这两点的距离，从而可求出函数值域。 　　例10.求函数y= 求函数极值的若干方法 的值域 　　分析：此题既是分式函数，又是三角函数，往往用纯代数法不易达到目的， 　　但如果将其看作是点 ( 求函数极值的若干方法 )与点(3,2)所在直线的斜率，就不难解决了。 　　解：设xˊ= 求函数极值的若干方法 ,yˊ=求函数极值的若干方法 , 则 y= 求函数极值的若干方法 　　即为平面直角坐标系内点( 求函数极值的若干方法 )与(3,2)所在直线的斜率， 　　又(xˊ, yˊ)在圆 xˊ 求函数极值的若干方法 + yˊ 求函数极值的若干方法 = 1 上， 　　故只要求出点(3,2)与圆上每一点连线的斜率范围即可。 　　设过(3,2)且与圆 xˊ 求函数极值的若干方法 + yˊ 求函数极值的若干方法 = 1 相交的直线方程为 　　yˊ-2=k (xˊ-3) , 即 kxˊ-yˊ- 3k+2 = 0 　　由点到直线的距离公式知： 求函数极值的若干方法 = 1, 　　即(-3k+2) 求函数极值的若干方法 =1+k 求函数极值的若干方法 ， 8k 求函数极值的若干方法 -12k+3 = 0 　　∴k= 求函数极值的若干方法 　　∴当 求函数极值的若干方法 ≤k≤ 求函数极值的若干方法 时，直线与圆相交 　　即函数y=求函数极值的若干方法 的值域为[ 求函数极值的若干方法 , 求函数极值的若干方法 ] 　　形如f(x) = 求函数极值的若干方法 函数的值域，可将其看作平面内点( 求函数极值的若干方法 , 求函数极值的若干方法 ),（-b,-d）的斜率来解决 ，而点（求函数极值的若干方法 ）必在二次曲线 求函数极值的若干方法 = 1上，再利用点(-b,-d)的直线与曲线相交的斜率取值范围来解决是一种简便易行的方法。从上例我们可以看出，上 　　面函数关系也可看成是：求三元函数，多元函数的最大、最小值问题 　　我们已经知道求一元函数极大值、极小值的步骤，对于多元函数的极大值、极小值的求解也可采用同样的步骤。下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求解步骤。 如下： 　　a)：根据实际问题建立函数关系，确定其定义域； 　　b)：求出驻点； 　　c)：结合实际意义判定最大、最小值. 　　例题：在平面3x+4y-z=26上求一点，使它与坐标原点的距离最短。 　　解答：a)：先建立函数关系,确定定义域 　　求解与原点的距离最短的问题等价于求解与原点距离的平方最小的问题.但是P点位于所给的平面上，故z=3x+4y-26.把它代入上式便得到我们所需的函数关系: 　　-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞ 　　b)：求驻点 　　解得唯一驻点x=3，y=4.由于点P在所给平面上,故可知 　　z=-1 　　c)：结合实际意义判定最大、最小值在约束条件 3x+4y-z=26 下的最小值 ，一个多元函数在一个或几个约束条件下的极值称为条件极值。 　　由问题的实际意义可知，原点与平面距离的最小值是客观存在的，且这个最小值就是极小值.而函数仅有唯一的驻点.所以，平面上与原点距离最短的点为P(3,4,-1)的若干方法 。 　　拓展延续 　　关于函数求极值的方法有如下几项： 　　导数求极值步骤： 　　1.先求导， 　　2.使导函数等于零，求出x值， 　　3.确定定义域， 　　4.画表格， 　　5.找出极值，注意极值是把导函数中的x值代入原函数。 　　导数求极值步骤： 　　1求函数f"(x)的极值步骤 　　1、找到等式f"(x)=0的根 　　2、在等式的左右检查f"(x)值的符号。如果为负数，则f(x)在这个根得到最大值；如果为正数则f(x)在这个根得到最小值。 　　3、判断f"(x)无意义的点。首先可以找到f"(x)=0的根和f"(x)的无意义点。这些点被称为极点，然后根据定义来判断。 　　4、函数z=f(x,y)的极值的方法描述如下： 　　(1)解方程式f(x)(x,y)=0，fy(x,y)=0，求一个实数解，可以求所有的塞音； 　　(2)对于每个停止点(x0,y0)，找到二阶偏导数的值a,b,c； 　　(3)确定ac-b2的符号，并根据定理2的结论确定f(x0,y0)是一个最大值、最大值还是最小值。

函数的极值点、驻点和拐点这些概念很多同学和老师都容易混淆。如何正确认识极值点、驻点、拐点其主要依据是定义及相关理解，只有理解透定义域定理，进而找到他们的本质差别，才不至于混为一谈。驻点、极值点、拐点是微积分中不能绕过的知识点，要想完全掌握必须抓住核心定义，而不是去死记硬背一些推论。理解本质才能应对千变万化的题目。1.核心概念驻点：是函数的一阶导数为0地点，另外驻点也称为稳定点，临界点例如：y=x3，则f"(x)=3x2，令f"(x)=0，解得x=0，则x=0是函数y=x3地驻点极值点：是函数的单调性发生变化的点，或是函数的局部极大值或极小值点(或者说当函数存在导数时，函数的极值点是其导函数的变号零点)例如：y=x2，如图在x=0处，函数的单调性发生了变化，或者说x=0附近的区域，f(0)取得极小值，这两个均说明x=0是函数y=x2的极值点备注：我们在求函数的极值时，通常令f(x)的一阶导数为0，但一阶导数为0地点不一定是极值点，例如y=x3，则f"(x)=3x2，令f"(x)=0，解得x=0，这时x=0不是函数的极值点，因为该函数在x=0处的单调性没有发生变化。拐点：是函数二阶导数为0且三阶导数不为0地点例如：我们以f（x）=x3为例来看看什么是拐点，如图：在（0,0）处函数的凹凸性发生了变化，我们知道二阶导为正，原函数是凸函数，二阶导为负，原函数的凹函数。该函数是先凹后凸，因此（0,0）是函数的拐点。备注：在拐点处，函数的凹凸性发生了改变，当二阶导数大于0，说明函数图像下凹；如果二阶导数小于0，说明函数图象上凸。2.区别和联系① 零点，驻点，极值点指的都是函数y=f(x)的一个横坐标x0，而拐点指的是函数y=f(x)图像上的一个点(x0，f(x0))② 驻点和极值点：可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点，但是反过来，函数的驻点却不一定是极值点。例如上面举例的y=x3，x=0是函数f(x)的驻点，但它不是极值点。此外，函数在它的一阶导数不存在时，也可能取得极值，例如y=|x|，在x=0处导数不存在，但极值点是x=0，具体可见下面的图像。③ 驻点和极值点与函数的一阶导数有关，拐点与函数的二阶导数和三阶导数有关。3.内容归纳

1.F（x、y）分别对x,y求偏导，目的是联立偏导方程，找出驻点。2.Fxx*Fyy和Fxy*Fyx的相对数值大小作为判断依据，目的就是，判断第一步中驻点是否为极值点。二元（或都多元）极值的求法思想与一元完全类似，试回忆一元函数求极值：1.f"(x)=0,找出驻点。 2.f""(x)判断，驻点是否为极值。  设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 , 又  f x ( x 0 , y 0 ) = 0 ,  f y ( x 0 , y 0 ) = 0 ,  令f xx ( x 0 , y 0 ) = A ,f xy ( x 0 , y 0 ) = B ,f yy ( x 0 , y 0 ) = C ,则 f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处是否取得极值的条件如下：(1) AC - B^2 >0 时具有极值 , 且当 A <0 时有极大值 , 当 A >0 时有极小值 ;(2) AC - B^2 <0 时没有极值 ;(3) AC - B^2 = 0 时可能有极值 , 也可能没有极值 .是否是极值需用其它方法，一般可结合图形判定在函数 f ( x , y ) 的驻点处如果 f xx × f yy - f xy ^2 >0 , 则函数具有极值 , 且 当 f xx <0 时有极大值 ,  当 f xx >0 时有极小值。

定义方面：函数极值是说在函数的f(x)在定义域内的一点Mo(xo,yo)非空δ邻域内，即（xo-δ,xo+δ）内总有f(xo)>f(x)或者f(xo)<f(x)恒成立，就说f(x)的极值为f(xo)。由费马引理，对于可导函数，极值点导数为“0”。如果可导函数在定义域内只有一个极值点，则此点为最值点，且最值点的导数必定为“0”，通俗的说，极值是局部概念，而最值是在整个定义域区间上考虑的。 。区别于最值的地方：最值可以在极值点取到，极值点也可能是最值点注：δ可以任意小；例如：f(x)=x^2,在δ=0.00001邻域，极值仍然是0。

若得到ac-b^2=0，还不能得到是否有极值的结论。先求导，然后使导函数等于零，求出x值，接着确定定义域，画表格。最后找出极值。注意：极值是把导函数中的x值代入原函数。求解函数的极值：寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。

求函数f"(x)的极值：1、找到等式f"(x)=0的根2、在等式的左右检查f"(x)值的符号。如果为负数，则f(x)在这个根得到最大值；如果为正数则f(x)在这个根得到最小值。3、判断f"(x)无意义的点。首先可以找到f"(x)=0的根和f"(x)的无意义点。这些点被称为极点，然后根据定义来判断。4、函数z=f(x,y)的极值的方法描述如下：(1)解方程式f(x)(x,y)=0，fy(x,y)=0，求一个实数解，可以求所有的塞音；(2)对于每个停止点(x 0,y 0)，找到二阶偏导数的值a,b,c；(3)确定ac-b2的符号，并根据定理2的结论确定f(x 0,y 0)是一个最大值、最大值还是最小值。上面介绍的极值必要条件和充分条件都是对函数在极值点可导的情形才有效的。当函数仅在区域D内的某些孤立点(x, y)不可导时，这些点当然不是函数的驻点，但这种点有可能是函数的极值点，要注意另行讨论。

本题另解(初二的二次方程知识)：本题通用方法：全微分；本题步骤：将所有条件等式全微分用dz表示dx、dy对要求极值的函数全微分，并将dx、dy用dz的表达式代入由dz的系数(含x、y、z) = 0并联立条件解得稳定点求稳定点的函数值并比较即可得极值；本题完整解题过程：虽然很多人点赞，但是踩的人也不少，本题的解法可以用构造法，构造一个新的函数，但是大家看看网友“共同探讨55”的解题，满满一大篇，还离结果远着呢，而本人解法就 5 行，大家比较比较吧，还别说本人给出了一个更加简单的用初中二年级知识求解的方法，本人微积分学的是江泽坚的数学分析，解题的理论依据，完全没有问题，关于条件极值，变量 x、y、z，是有条件约束的，不是独立的变量，有一个条件，就可以减少一个变量，有两个条件就可以减少两个变量，这里有两个条件，所以问题的实质，求关于x、y、z 函数的极值，实际上就是求某一个变量的函数的极值，如果还有人想踩，踩之前，应该把你们更高明的解法亮出来，否则算什么呀，本解答经过修改、补充、完善。

求极大极小值步骤（1）、求导数f"(x)；（2）、求方程f"(x)=0的根；（3）、检查f"(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。特别注意：f"(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f"(x)=0的根和f"(x)无意义的点，再按定义去判别。求极值点步骤（1）、求出f"(x)=0,f"(x)≠0的x值；（2）、用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。（3）、上述所有点的集合即为极值点集合。

说明这个函数不为单调函数，如果为单调函数就没有极值。说明这个函数的导数的图像一定有正有负，因为正的部分表示原函数在～区间上为增函数，负的部分表示原函数在另一个区间上为减函数，有增有减的函数才会有极值。要想使该导数，有正有负，就只有导数的△＞0。

楼上都是充分条件。

貌似要求导的说。。。（1）f"（x）=3x^2-6x-9令3x^2-6x-9=0得x1=3x2=-1当x<-1或x>3时，导函数f"(x)>0,函数单调递增；当-1<=x<=3时，导函数f"(x)<=0,函数单调递减；∴x=-1时取得最大值，x=3时取得最小值极大值f(-1)=6,极小值f(3)=-26

解：设函数y=f（x）求其单调性，一般是对其求导数，y"=f"（x）当f"（x）＞0时，f（x）单调递增当f"（x）＜0时，f（x）单调递减当f"（x）=0时 f（x）取得极值！

极值是x=?,极值点则指取极值时所对应的点.

首先你要知道什么叫做极值点，所谓极值点就是在它周围（周围包括左边和右边）足够小的范围内，它是最大值或者最小值。对于有些函数很完美，连续，并且一阶二阶可导，比如说基础函数，这些函数你可以用二阶导数方法去判断~~~有些函数虽然你连续，但是不可导，比如y=绝对值x，在x=0地方连续，但是不可导，但是他也是极值点，因为它比周围的都小，是极小值。在有一些函数既不连续也不可导，但也可能是极值点，比如分段函数：当x不等于0时y=1，当x等于0时，y=2，那么在x=0位置上，函数不连续，但是它确实极小值~~总之一句话~~判断是不是极值，跟连续可导什么的没有关系~~只要它比周围足够小的范围内大或者小就可以了~~~

极值不一定是最值.极值是一种局部性质,如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值,而以该点处的值为最大（小）,这函数在该点处的值就是一个极大（小）值.一般情况下,函数倒数为0的点都是极值点. 而最值有可能是区间短点、极值点、以及不连续的点.

一个函数可以分成很多段~如果在X=X0处函数取得极值那说明,那在X0所在的定义域(a,b)上函数F(X)必定是连续的~

函数的极值点处，导函数值一定等于0，这就是费马定理。其逆推是不正确的

极限就是最大值和最小值，函数的极值也是一样的，不过函数的极值是在某个限定范围之内的，比如因变量在大于0的时候，求y的极值，但是这个极值有可能是最小值也有可能是最大值，具体看题目的要求

导数的极值是一个函数的极大值或极小值。极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大小，这函数在该点处的值就是一个极大小值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大小，它就是一个严格极大小。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。导数的含义导数Derivative是微积分中的重要基础概念。导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数与微分是微分学的两个重要概念，研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算都离不开导数与微分，导数与微分是解决这些问题的普遍的有效的工具。

常见的求最值方法有:1、配方法: 形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值.2、判别式法: 形如的分式函数, 将其化成系数含有y的关于x的二次方程.由于, ∴≥0, 求出y的最值, 此种方法易产生增根, 因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验.3、利用函数的单调性 首先明确函数的定义域和单调性, 再求最值.4、利用均值不等式, 形如的函数, 及≥≤, 注意正,定,等的应用条件, 即: a, b均为正数, 是定值, a=b的等号是否成立.5、换元法: 形如的函数, 令,反解出x, 代入上式, 得出关于t的函数, 注意t的定义域范围, 再求关于t的函数的最值. 还有三角换元法, 参数换元法.6、数形结合法 形如将式子左边看成一个函数, 右边看成一个函数, 在同一坐标系作出它们的图象, 观察其位置关系, 利用解析几何知识求最值. 求利用直线的斜率公式求形如的最值.7、利用导数求函数最值2.首先要求定义域关于原点对称然后判断f(x)和f(-x)的关系：若f(x)=f(-x),偶函数；若f(x)=-f(-x),奇函数。如：函数f(x)=x^3,定义域为R,关于原点对称；而f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x),所以f(x)=x^3是奇函数.又如：函数f(x)=x^2,定义域为R,关于原点对称；而f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x),所以f(x)=x^3是偶函数.

y"=e^x cosx-e^xsinx=e^x(cosx-sinx)由y"=0, 得：cosx-sinx=0解得：x=nπ+π/4， n为任意整数y"=-2e^x* sinx当x=2kπ+π/4时，y"<0, 此时为极大值: y=e^(2kπ+π/4)* √2/2当x=(2k+1)π+π/4时，y">0, 此时为极小值：y=-e^[2k+1)π+π/4]* √2/2以上k为任意整数

求f(x,y)=x³+2xy-y³+2的极值，解：令∂f/∂x=3x²+2y=0.............①再令∂f/∂y=2x-3y²=0..................②由②得x=(3/2)y²；代入①式得(27/4)y^4+2y=y[(27/4)y³+2]=0，故得：y₁=0；y₂=-2/3；相应地，x₁=0；x₂=2/3；即有两个驻点：M(0，0)；N(-2/3，2/3)。再求两驻点处的二阶导数：A=∂²f/∂x²=6x；B=∂²f/∂x∂y=2；C=∂²f/∂y²=-6y；M(0，0):A=0；B=2；C=0；B²-AC=4>0，故M不是极值点；N(-2/3，2/3):A=-4<0；B=2；C=-4；B²-AC=4-16=-12<0；故N是极大点。极大值f(x,y)=f(-2/3，2/3)=(-2/3)³+2(-2/3)(2/3)-(2/3)³+2=-16/27-8/9+2=14/27扩展资料人们常常说的函数y=f(x)，是因变量与一个自变量之间的关系，即因变量的值只依赖于一个自变量，称为一元函数。但在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系，即因变量的值依赖于几个自变量。例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个。要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念。参考资料来源：搜狗百科-多元函数

函数的零点是令y=0时，x的值，即y=0时，方程的根函数的极值点是先求函数的导数，令导数=0时，方程的根

求极值还是最值？这俩不一样的求极值就要先对原二次函数求导导数为0且在此点两侧导数符号相反的点即为极值点而最值一般是吧原二次函数配成完全平方来求的

除带极点外 还要把X的取直范围的端点带入

直接法先判断函数的单调性，若函数在定义域内为单调函数，则最大值为极大值，最小值为极小值2.导数法（1）、求导数f"(x)；（2）、求方程f"(x)=0的根；（3）、检查f"(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。特别注意f"(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f"(x)=0的根和f"(x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断。二阶连续偏导数的函数z = f(x,y)的极值的求法叙述如下：（1）解方程组fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，求得一切实数解，即可求得一切驻点；（2）对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值A、B和C；（3）定出AC-B2的符号，按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值。上面介绍的极值必要条件和充分条件都是对函数在极值点可导的情形才有效的。当函数仅在区域D内的某些孤立点(xi, yi)不可导时，这些点当然不是函数的驻点，但这种点有可能是函数的极值点，要注意另行讨论

如果函数在某个区间（a,b）内可导，且有区间内一点x0，满足 f"(x0) = 0 ，此时x0 可能为极值点，也有可能不是极值点，判断方法如下：1、如果 f"(x) 在（a，x0）上满足 f"(x) < 0, 在（x0，b）上满足 f"(x) > 0，则 f(x0)为极小值点。2、如果 f"(x) 在（a，x0）上满足 f"(x) > 0, 在（x0，b）上满足 f"(x) < 0，则 f(x0)为极大值点。3、如果 f"(x) 在区间（a，b）上不变号，则 f(x0) 不是极值点。扩展资料：在给定的时期内，或该时期的一定月份或季节内观测到的气候要素的最高值或最低值。如果这个时期是整个有观测资料的时期，这个极值就是绝对极值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。

如果函数在某个区间（a,b）内可导，且有区间内一点x0，满足 f"(x0) = 0 ，此时x0 可能为极值点，也有可能不是极值点，判断方法如下：1、如果 f"(x) 在（a，x0）上满足 f"(x) < 0, 在（x0，b）上满足 f"(x) > 0，则 f(x0)为极小值点。2、如果 f"(x) 在（a，x0）上满足 f"(x) > 0, 在（x0，b）上满足 f"(x) < 0，则 f(x0)为极大值点。3、如果 f"(x) 在区间（a，b）上不变号，则 f(x0) 不是极值点。扩展资料：在给定的时期内，或该时期的一定月份或季节内观测到的气候要素的最高值或最低值。如果这个时期是整个有观测资料的时期，这个极值就是绝对极值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。

一个函数能够取到极值的充要条件是: ①存在使导数等于0的点, 即在该点处 f" = 0。②使导数等于0的那个x值,左右两边导数符号相反。若 f"左 > 0，f"右 < 0，则为极大值。若 f"左 < 0，f"右 > 0，则为极小值。在数学分析中，函数的最大值和最小值（最大值和最小值）被统称为极值（极数），是给定范围内的函数的最大值和最小值（本地 或相对极值）或函数的整个定义域（全局或绝对极值）。皮埃尔·费马特（Pierre de Fermat）是第一位发现函数的最大值和最小值数学家之一。如集合理论中定义的，集合的最大值和最小值分别是集合中最大和最小的元素。 无限无限集，如实数集合，没有最小值或最大值。极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。

首先你可以先看看那个函数能不能求导，可以求导就代表可能有极值。。然后你令导函数等于零，求得的值可能是极值也可能不是极值，如果是极值的话，这个值两边的数带入导函数中，一个大于零一个小于零。。如果不是极值就两边都大于零或者两边都小于零。。

求函数极值的话希望有数学懂的老师可以迅速地帮帮孩子

五点作图法：(1) xlnx的定义域：(0，+∞)(2) xlnx的单调性：(xlnx)"=x"lnx+x(lnx)"=lnx+1=ln(ex)0<x<1/e时，单调递减；x>1/e时，单调递增；(3) xlnx的极点x=1/e时，取得极小值(4)xlnx的 凸凹性[(xlnx)"]"=(lnex)"=1/x>0属“A”型(5) xlnx的零点：x=1(6) xlnx的极限x→0+时，lim(xlnx)=0综上，取五点x=0，1/e，1，e，e²y=0，-1/e，0，e，2e²描点，连线，OK

①首先确定函数定义域②二次函数通过配方或分解因式可求极值。③通过求导是求极值最常用方法。f"(x)=0，则此时有极值。>0为↑<0为↓判断是极大还是极小值。例如：①求函数的二阶导数，将极值点代入，二级导数值>0为极小值点，反之为极大值点二级导数值=0，有可能不是极值点；②判断极值点左右邻域的导数值的正负：左+右-为极大值点，左-右+为极小值点，左右正负不变，不是极值点。扩展资料：也可以为集合定义极大值和极小值。一般来说，如果有序集S具有极大的元素m，则m是极大元素。此外，如果S是有序集T的子集，并且m是相对于由T诱导的阶数的S的极大元素，则m是T中S的极小上限。类似的结果适用于极小元素，极小元素和极大的下限。在一般的部分顺序的情况下，极小元素（小于所有其他元素）不应该与极小元素混淆（没有更小）。同样，部分有序集合（poset）的极大元素是集合中包含的集合的上限，而集合A的极大元素m是A的元素，使得如果m≤b（对于任何b在A）然后m = b。参考资料来源：百度百科-极小

极值是函数在极值点上取得的函数值，是极大值和极小值的统称。极值点是极大值点和极小值点的统称。函数在某区间的极大值点是使自变量取得的函数值大于该点邻域的函数值的点。函数在某区间的极小值点是使自变量取得的函数值小于该点邻域的函数值的点。函数在一个区间上可能有多个极大值或极小值，而最大值只有一个，最小值也只有一个。当函数可导时，有导函数等于0，微分等于0。但逆命题不一定成立(驻点不一定为极值点)。

若得到ac-b^2=0，还不能得到是否有极值的结论。先求导，然后使导函数等于零，求出x值，接着确定定义域，画表格。最后找出极值。注意：极值是把导函数中的x值代入原函数。求解函数的极值：寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。

运用导数公示和极限的方法进行推导。若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个点，那么函数f(x)在开区间内可导，这时对于内每一个确定的值。都对应着f(x)的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数f(x)的导函数，记作：y"或者f′(x)。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。1、极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。2、函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。3、极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。4、函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

若得到ac-b^2=0，还不能得到是否有极值的结论。先求导，然后使导函数等于零，求出x值，接着确定定义域，画表格。最后找出极值。注意：极值是把导函数中的x值代入原函数。扩展资料：求解函数的极值：寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。极值的定义如下：若函数f(x)在x的一个邻域D有定义，且对D中除x的所有点，都有f(x)<f(x)，则称f(x)是函数f(x)的一个极大值。同理，若对D的所有点，都有f(x)>f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值参考资料来源：百度百科：极值

问题一：求函数的极值，求详细步骤 我会 问题二：求函数极值 5分 ①先求驻点 fx(x,y)=3x^2+6x-9=0 x^2+2x-3=0 (x+3)(x-1)=0 x=-3或1 fy(x,y)=-3y^2+6y=0 y^2-2y=0 y(y-2)=0 y=0或2 所以f(x,y)的驻点为(-3,0) (-3,2) (1,0)和(1,2) ②求二阶偏导 A=fxx(x,y)=6x+6 B=fxy(x,y)=0 C=fyy(x,y)=-6y+6 ③求四个驻点的判别式 (1)驻点(-3,0) A=-12 B=0 C=6 AC-B^2=-720 所以(-3,2)是f(x,y)的极大值，f(-3,2)=31 (3)驻点(1,0) A=12>0 B=0 C=6 AC-B^2=72>0 所以(1,0)是f(x,y)的极小值，f(1,0)=-5 (4)驻点(1,2) A=12 B=0 C=-6 AC-B^2=-72 问题三：求函数的极值，求计算过程，详解 问题四：对于含有两个自变量的函数如何求极值 二元函数求极值，可参阅以下链接。 wenku.baidu/link?url=QaxD3pmz5nOu9hZacqwFITYWrRwmpZ6jZ5eTzUxBt6O1vknaweyXf0nX3AHTZEEmaYBmQUiFtozpIb_9eMwFg9KHFhybmEjBFmX5Lg1iKRq

求导后另导数等于0⃣️

f`(x)=e^x-3x^2=0g(x)=e^x h(x)=3x^2画图g(x)与h(x)在图中有两个交点，分别在第一和第四象限，所以f`(x)=e^x-3x^2=0有两根原函数有两极值点

根据德尔塔进行判断。设：二元函数 f(x，y)的稳定点为：(x0，y0)，即：∂f(x0，y0)/∂x = ∂f(x0，y0)/∂y = 0；记：：A=∂²f(x0，y0)/∂x²B=∂²f(x0，y0)/∂x∂yC=∂²f(x0，y0)/∂y²∆=AC-B²如果：∆>0(1) A<0，f(x0，y0) 为极大值；(2) A>0，f(x0，y0) 为极小值；如果：∆<0 不是极值；如果：∆=0 需进一步判断。举一例：f(x，y)=x²+y²，其稳定点为：(0，0)。A=2，B=0，C=2 ∆=4>0f(0，0)=0 为最小值！对于多元函数，同样存在极值点的概念。此外，也有鞍点的概念。计算步骤求极大极小值步骤（1）求导数f"(x)；（2）求方程f"(x)=0的根；（3）检查f"(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。特别注意f"(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f"(x)=0的根和f"(x)无意义的点，再按定义去判别。求极值点步骤（1）求出f"(x)=0,f"(x)≠0的x值；（2）用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。（3）上述所有点的集合即为极值点集合。

极值的定义是：极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。极值是变分法的一个基本概念。泛函在容许函数的一定范围内取得的最大值或最小值，分别称为极大值或极小值，统称为极值。使泛函达到极值的变元函数称为极值函数，若它为一元函数，通常称为极值曲线。极值也称为相对极值或局部极值。极值是“极大值” 和 “极小值”的统称。如果函数在某点的值大于或等于在该点附近任何其他点的函数值，则称函数在该点的值 为函数的“极大值”。如果函数在某点的值小于或等于在该点附近任何其他点的函数值，则称函数在该点的值为函数的“极小值”。函数在其定义域的某些局部区域所达到的相对最大值或相对最小值。当函数在其定义域的某一点的值大于该点周围任何点的值时，称函数在该点有极大值; 当函数在其定义域的某一点的值小于该点周围任何点的值时， 称函数在该点有极小值。