向量空间

对于以向量为元素的集合 ，若对于向量集合 中的向量 和标量域 中的标量 ，以下两个闭合性和关于加法及乘法的 个定律均满足时，则称 为 向量空间 或 线性空间 ： 令 和 是两个向量空间，若 是 中一个非空子集合，则称子集合 是 的一个子空间。 令 和 分别是 和 的子空间，若映射 对 和任意标量 满足 叠加性 和 齐次性 ，则称 为 线性映射 或 线性变换 ： 也可以将叠加性和齐次性合并在一起写成线性关系式： 令 为向量空间，若对所有 和 ，映射函数 满足以下三条性质： 则称 为向量 与 的内积， 为 内积空间 。满足以上三个性质的实向量空间和复向量空间分别称为实内积向量空间和复内积向量空间。 令 为向量空间，向量 的范数为一实函数 ，若对所有向量 和任意一个标量 ，有下面性质成立： 则称 为赋范向量空间。 若 对所有向量 和任意一个标量 ，有以下条件成立： 则称 为向量 的 半范数 （也称为 伪范数 ）。 【注】半范数与范数的唯一区别在于：半范数不完全满足范数的非负性条件。 若 对所有向量 和任意一个标量 ，有以下条件成立： 则称 为向量 的 拟范数 。 【注】拟范数和范数的唯一区别在于：拟范数不满足范数的三角不等式。 令 为赋范向量空间，若对每一个 Cauchy 序列 ，在 都存在一个向量 ，使得 ，则称 为 Banach 空间 。 一个相对于范数完备的赋范向量空间 称为 Hilbert 空间。

　　向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。那么你对向量空间了解多少呢?以下是由我整理关于什么是向量空间的内容，希望大家喜欢!　　向量空间的简介 　　在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。 　　向量空间它的理论和 方法 在科学技术的各个领域都有广泛的应用。 　　向量空间的线性映射 　　若 V 和 W 都是域F上的向量空间，可以设定由V到W的线性变换或“线性映射”。这些由V到W的映射都有共同点，就是它们保持总和及标量商数。这个集合包含所有由V到W的线性映射，以 L(V, W) 来描述，也是一个域F上的向量空间。当 V 及 W 被确定后，线性映射可以用矩阵来表达。 　　同构是一对一的一张线性映射。如果在V 和W之间存在同构，我们称这两个空间为同构;域F上每一n维向量空间都与向量空间F同构。 　　一个在F场的向量空间加上线性映射就可以构成一个范畴，即阿贝尔范畴。 　　向量空间的额外结构 　　研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下： 　　一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是范数称为赋范向量空间。 　　一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念，称为内积空间。 　　一个向量空间加上拓扑学符合运算的(加法及标量乘法是连续映射)称为拓扑向量空间。 　　一个向量空间加上双线性算子(定义为向量乘法)是个域代数。 　　向量空间的公理化定义 　　设F是一个域。一个F上的向量空间是一个集合V和两个运算： 　　向量加法: V + V → V, 记作 v + w, ∃ v, w∈V 　　标量乘法: F × V → V, 记作 a·v, ∃a∈F, v∈V 　　符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)： 　　向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w; 　　向量加法交换律：v + w = w + v; 　　向量加法的单位元：V 里有一个叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v; 　　向量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V，使得 v + w = 0; 　　标量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w; 　　标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v; 　　标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v; 　　标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 是指域 F 的乘法单位元。 　　有些教科书还强调以下两个公理： 　　V 闭合在向量加法下：v + w ∈ V 　　V 闭合在标量乘法下：a v ∈ V 　　更抽象的说，一个F上的向量空间是一个F-模。V的成员叫作向量，而F的成员叫作标量。若F是实数域R，V称为实向量空间;若F是复数域C，V称为复向量空间;若F是有限域，V称为有限域向量空间;对一般域F，V称为F-向量空间。

一个向量空间包括三块，基础集，两种二元运算，加法，标量乘。暂且用实数域的符号表示，比较熟悉。 然后还必须满足一些性质，基础集关于加法运算构成阿贝尔群，基础集关于标量乘构成一个左作用。结合起来就是向量空间是标量域的R-Mod。也称之为左模。 环上的模，就是抽象代数结构环上定义的另一种代数结构，环上的典型的阿贝尔群就是环上的加法子群。 左作用，更像是函数作用，要求满足结合性，关于加法的两种分配律，最后是恒等作用。对应着就像函数的复合运算，恒等映射。所以称之为作用。就像函数作用于数一样。 于是，向量空间定义就得到了极大的简化。从八条性质，变为了两条陈述。 关于加法构成阿贝尔群意味着标量乘相当于左作用意味着这样就容易记了。 向量空间往往用这个符号表示 ，说明是由n个R生成的。 这里可以联想到张量空间 ，由向量空间和对偶向量空间生成，张量积符号是非交换的，所以往往不能缩写，这里为了方便，没有写成交错项。 其实他们区别也不大，基底分别是向量空间由标量域生成，张量空间由向量空间生成，都是一种结构的扩张，尽管如此，他们还都是向量空间，仅仅是维数提高了。当然，对于附加的结构也会体现一些新的性质。抓住向量空间这一主线的话，张量就容易理解了，不至于深陷于各种指标与符号，结果忽视了他的本质。张量不过是一个维数很高的向量，张量的分量也只是他的坐标，每个分量对应一个基底，分量的相等就代表张量的相等。各种人为定义的运算目的或者在于简化符号，避免公式太长，或者是简化计算，省去不必要的分量计算。

向量组只是一些向量放在一起。向量空间是一个对线性组合封闭的空间：如果A和B是空间里的两个向量，那么aA+bB也属于这个空间。google一下向量空间，会有答案

维数相同的行向量或列向量组成的集合叫向量组V={ v1,v2,v3......vn}. 向量组中任意选两个向量(v1和v2)进行数乘(如kv1)和加法运算(v1+v2)后仍在向量组V内,则称向量组V是一个向量空间.如:V={ (x,y) | x in R, y in R}是一个向量空间,它符合上面的描述.(in是属于的意思,我打不出符号) V={ (x,y,z) | x*x+y*y+z*z<=9}不是向量空间,他不符合上面的描述

基底的秩为一。

向量空间或称线性空间，是现代数学中的一个基本概念，是线性代数研究的基本对象。 向量空间是线性代数的主体，它是数学中基本又重要的概念，其概念是：设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间。其理论和方法已应用到自然科学、工程技术及社会科学的诸多领域。 向量空间相关图书向量空间的一个直观模型是向量几何，几何上的向量及相关的运算即向量加法，标量乘法，以及对运算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了“向量空间”这个数学概念的直观形象。 在现代数学中，“向量”的概念不仅限于此，符合下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析

之前的 向量空间 一节已经说过：向量空间对向量的线性组合封闭（相加和数乘），所以，向量空间可以通过“向量+线性组合”构成。也可以说，这个向量空间由这些向量所 张成 ，反过来，这个向量空间就叫做这些向量的 张成空间 。 比如向量组：如果有两个向量组，若其中一个向量组中的每一个向量都能由另一个向量组线性表示，则成这个向量组能被另一个向量组 线性表示 ，如果他俩能互相线性表示，那么就称这两个向量组 等价 假设有个向量空间叫动物，它里面有[老人，小孩，猫，狗]，这里面的小孩经过时间的线性变化会变成老人，所以它的最大线性无关组应该是[小孩，猫，狗] 假设有个向量组A，如果A里面可以选出r个向量，这r个向量线性无关，且这r个向量如果再多加一个向量都会变成线性相关的，那么这r个向量就是A的一个 最大线性无关组 ，而最大无关组所含的向量个数r就叫做向量组A的 秩 ,记作 rank(A) ,有事也记作 R(A) 。 注意：只含有0向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0。因为前面说过，任和一个向量组只要有0向量，那一定线性相关。 一个向量空间的最大线性无关组也是这个向量空间的一个 基 注意：一个向量空间的基并不是唯一的，一般都是有多个。另外，选取不同的基，同位置的坐标不同 几何理解：基可以看作是坐标系 向量空间的 秩 ，我们一般就叫做 维度

研究向量空间一般会涉及一些额外结构。额外结构如下：一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是范数称为赋范向量空间。一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念，称为内积空间。一个向量空间加上拓扑学符合运算的（加法及标量乘法是连续映射）称为拓扑向量空间。一个向量空间加上双线性算子（定义为向量乘法）是个域代数。 一个向量空间V的一个非空子集合W在加法及标量乘法中表现密闭性，被称为V的线性子空间。给出一个向量集合B，那么包含它的最小子空间就称为它的扩张，记作span（B）。给出一个向量集合B，若它的扩张就是向量空间V， 则称B为V的生成集。一个向量空间V最大的线性独立子集，称为这个空间的基。若V=0，唯一的基是空集。对非零向量空间 V，基是 V 最小的生成集。如果一个向量空间 V 拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称V是一个有限维空间。向量空间的所有基拥有相同基数，称为该空间的维度。例如，实数向量空间：R0，R1，R2，R3。。。，R∞，。。。中，Rn 的维度就是n。空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。把基中元素排列，向量便可以坐标系统来呈现。向量的中线公式若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP=1/2(OA+OB)

向量空间_百度百科http://baike.baidu.com/view/327493.htm

V对某某运算封闭，是说V的元素。经过这个运算之后，得到的结果还在V中。2a1还是实数，看成新的a1就行了。V2是向量空间，而V1不是。因为2不是1.两个V1的元素，相加的结果，已经不在V1了。即V1对于加法已经不封闭，它不是向量空间了。

向量空间的维度：尽管组成基的向量组不变，但是所有基的含有向量的个数是一致的，比如三维空间基中向量组的个数必须是3，这个数目就是向量空间的维度。当然，这里按照惯例提前使用了3维空间，这里说的就是维度。一个维度就是一个独立变量，也就是不受其它变量影响的变量。在这里shu，x1的取值不受任何限制，于是有一维，x2同理，所以有两维。例如：X=（x1，x2，x3，x4），其中x1+x2+x3+x4=0，这个因为四个变量中有三个都可以任意取，但是第四个受其它三个限制，所以是三维的。扩展资料：更抽象的说，一个F上的向量空间是一个F-模。V的成员叫作向量，而F的成员叫作标量。若F是实数域R，V称为实向量空间；若F是复数域C，V称为复向量空间；若F是有限域，V称为有限域向量空间；对一般域F，V称为F-向量空间。首4个公理是说明向量V在向量加法中是个阿贝尔群，余下的4个公理应用于标量乘法。以下都是一些很容易从向量空间公理推展出来的特性：零向量0 ∈ V（公理3）是唯一的a 0 = 0，∀ a ∈ F0 v = 0，∀ v ∈ V，这里 0 是F的加法单位元a v = 0 ，则可以推出要么 a = 0 ，要么 v = 0v的加法逆元（公理4）是唯一的（写成−v），这两个写法v − w 及 v + (−w) 都是标准的(−1)v = −v，∀ v ∈ V(−a)v = a(−v) = −(av)，∀ a ∈ F ，∀ v ∈ V参考资料来源：百度百科-向量空间

你好！第一问你写的是正确的，第二问V2不是向量空间，因为对于V2中的两个向量α=(1,0,0,...,0)T，β=(0,1,0,...,0)T，它们的和α+β=(1,1,0,...,0)T不属于V2。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

设 K 是域(比如实数域),并设 V 是在 K 上的向量空间.如同平常,我们称 V 的元素为向量并称 K 的元素为标量.假设 W 是 V 的子集.如果 W 自身是带有同 V 一样的向量空间运算的向量空间,则它是 V 的子空间. 要使用这个定义,我们必须证明所有向量空间的性质对 W 都成立.作为替代,我们可以证明一个定理,它提供给我们证实一个向量空间的子集是子空间的更容易的方式. 定理:设 V 是在域 K 上的向量空间,并设 W 是 V 的子集.则 W 是个子空间,当且仅当它满足下列三个条件: 零向量 0 在 W 中. 如果 u 和 v 是 W 的元素,则向量和 u + v 是 W 的元素. 如果 u 是 W 的元素而 c 是来自 K 的标量,则标量积 cu 是 W 的元素. 向量子空间是向量空间在向量加法下的子群. 例子 :设域 K 是实数的集合 R,并设向量空间 V 是欧几里得空间 R3.取 W 为最后的分量是 0 的 V 中所有向量的集合.则 W 是 V 的子空间. 证明: 给定 W 中 u 和 v,它们可以表达为 u = (u1,u2,0) 和 v = (v1,v2,0).则 u + v = (u1+v1,u2+v2,0+0) = (u1+v1,u2+v2,0).因此 u + v 也是 W 的元素. 给定 W 中 u 和 R 中标量 c,如果 u = (u1,u2,0),则 cu = (cu1,cu2,c0) = (cu1,cu2,0).因此 cu 也 是 W 的元素.

你是看张宇的集合论了么····

1）v1不是向量空间：若a=(x1,x2,…,xn〕,b=(y1,y2,...,yn) ∈V1则 a+b=(x1+y1,x2+y2,...,xn+yn)∉V1 ,因为它的元素之和=2≠1,2）v2是向量空间：若a=(x1,x2,…,xn〕,b=(y1,y2,...,yn) ∈V2则① a+b=(x1+y1,x2+y2,...,xn+yn),满足（x1+y1）+(x2+y2)+...+(xn+yn)=0,a+b∈V2② 对任意常数λ,λa=〔λx1,λx2,…,λxn〕,满足λx1+λx2+…+λxn＝0 λa∈V2基：e1=(1,-1,0,0,...,0)",e2=(1,0,-1,0,.,0),.,e(n-1)=(1,0,0,0,...,-1)维数=n-1

不是的,线性空间的定义是这样的一个空间：其中的各个元素对加法和乘法运算封闭,0和1向量的定义等等.向量空间除了要满足线性空间的那些条件外,还要有内积的定义.

这个只要明白生成空间的定义就行了 设 V=L(a1,...,as) 则 V= {k1a1+...+ksas} V中任一向量都是a1,...,as的线性组合,即可由 a1,...,as 线性表示 反之,ai = 0a1+...+kiai+...+0as 属于 V 所以两者等价

线性代数的某子空间是相对于一个更大的向量空间而言的，它是一个向量空间中满足以下3个性质的子集：1). 包含零向量 2). 满足加法封闭 3). 满足乘法封闭 比如对于三维坐标系而言，任意过原点的平面、直线都是一个子空间。 当然，向量不一定是传统形式的数字对(a1, a2, a3, ... , an)，也可以是任何满足相关公理定义的集合。而某个空间的生成集，是指该空间的任意向量，都可以表示为生成集中向量的线性组合，基是“最有效率”的生成集，但生成集不要求线性无关，只要满足其中的元素能张成整个向量空间即可。

对于求向量在另一个的投影，首先你需要求出夹角（或者夹角正玹值），然后把需要求的向量乘以夹角的余玹值即可。如a在b上的投影是|a|cos=a*b/|b|a=(1,2,3)b=(2,1,4)a在b上的投影为：a*b=2+2+12=16|b|=√(2^2+1^2+4^2)=√21a在b上的投影为：16/√21

有以下几点为判断依据：1、非空、必有零且唯一、加法、标量乘法、一对正负同在、交换律结合律分配律；2、离散时间信号空间S；次数最高为n的多项式集合Pn都是向量空间；3、向量空间的子空间3项验证：(1)包含原空间中的零向量（零向量在空间中受限于空间的维度概念，所以不同空间的零向量要加以区分）；(2)加法封闭；(3)标量乘法封闭；4、向量空间的子空间一定是其子集，但是向量空间的子集不一定是其子空间。

V1是，因为V1对向量的加法、数乘运算封闭。V2不是，因为V2对向量的加法运算不封闭，比如(1,0,0,...,0)∈V2，(0,1,0,...,0)∈V2，但是(1,0,0,...,0)+(0,1,0,...,0)＝(1,1,0,...,0)不属于V2。

向量空间或称线性空间,是现代数学中的一个基本概念,是线性代数研究的基本对象. 向量空间是线性代数的主体,它是数学中基本又重要的概念,其概念是：设V为n维向量的集合,如果集合V非空,且集合V对于加法及乘数两种运算...

一般定义是这样的：设V为n维向量的集合,如果集合V不是空集,而且对于向量的加法和乘法封闭,那V就是向量空间.给你举个例子吧：集合V={x=(0,x2,...,xn)T|x2,...,xn∈R}是一个向量空间,因为若a=(0,a2,...,an)T∈V,b=(0,b2,...,bn)T∈V则a+b=(0,a2+b2,...,an+bn)T∈V,λa=(0,λa2,...,λan)T∈V.这些都是自己打的哈,累死了,

判断向量集合是否为向量空间：看集合内任意的向量进行线性变换｛加法与数乘｝都能得出本集合的向量，那么这个集合就是向量空间。V2={x=(x1,x2,…,xn)|x€R且x1+x2+…+xn=0}是向量空间。但V1={x=(x1,x2,…,xn)|x€R且x1+x2+…+xn=1}不是，因为它对加法运算和数乘运算不封闭，即V1中任意两个元素的和不在V1中，V1中任意元素乘以常数k不在V1中(k不等于1)。向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。向量空间它的理论和方法在科学技术的各个领域都有广泛的应用。

向量空间的维数的求法如下：向量组只有两个向量，且此两个向量线性无关，所以生成的子空间的维数是2。向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。 在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

" 向量空间 "是 " 数学分析几何项目 "的指称. ." 维度 " 是指 " 空间时间座标 " 的指向 . " 有限 " 是指对 " 空间时间座标向量有指向的限制 . " 向量分析几何 " 是代数几何的分支 . 其运算是依照 "几何投影座标数值 " 运算的 .( 仅供参考 ). .

要看你的向量是在哪个坐标系内的，在空间坐标系下的向量为空间向量，可以用矩阵表示

V由列向量组成，2a是行向量，当然不是V的向量。不过我以为你把他们弄错了，应该是若a=(1,a2,...,an)属于V，而2a=(2,2a2,...,2an)不属于V，所以V不是向量空间.（证明是显然的，如果V是向量空间，则2a一定属于V.）

是2维,解方程,基解空间也就是V的基为： （-1,1,0）（-1,0,1）

关于空间向量在立体几何中的应用问题，其中最主要的计算都是围绕平面的法向量展开的。在绝大部分题目中，空间向量是作为数学工具来解决两类问题：一、垂直问题，尤其是线面垂直问题（面面垂直基本类似）；二、角度问题，主要讲二面角的平面角通过两个平面法向量所称的角来进行转化（线面角与此类似）。而立体几何中的平行问题一般是用基本定理来进行解决的。平面法向量的基本概念。法向量是指与已知平面垂直的向量，它可以根据选取的坐标不同有无数多个，但一般取其中较为方便计算的。平面法向量的基本计算。根据图形建立合适的坐标系，设出已知平面的法向量为n(x,y,z)，在已知平面内寻找两条相交直线a,b，并用向量表示它们。由于法向量垂直于平面，则必然垂直这两条直线，利用垂直向量点乘为零列出方程组。由于有三个未知数x,y,z，一般是设其中一个为特殊值，求出另外两个（前面说过，法向量有无数多个，我们只需算出其中一个即可）。平面法向量的基本应用。在求出法向量后，如要证明线面垂直，只需证明要证明的直线平行于该平面的法向量；如要证明面面垂直，只需证明两个平面的法向量垂直；如要求直线和平面所成的角，只需求出直线和法向量所成的角（利用向量点乘公式求出这个家教的余弦值，它和所求的线面角互余）；如要求二面角大小，只需求出两个平面的法向量所成的角（同样利用点乘公式求出这个角的余弦值，它和所求的二面角的平面角相等或互补，然后只需简单判断二面角是锐角还是钝角即可）。例：二面角的棱上有A.B两点,直线AC,BD分别在这二面角的两个平面内，且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6.BD=8,CD=二倍根号17,求二面角的大小？解：∵AC⊥AB，BD⊥AB，AB=4,AC=6.BD=8,CD=2√17过A作AE//BD，使AE＝BD，连接CE，DE∴AB⊥面ACE，∠CAE就是二面角的平面角CE＝√(CD^2-DE^2)=√(68-16)=2√13由余弦定理cos∠CAE=(AC^2+AE^2-CE^2)/(2AC•AE)=(36+64-52)/(2×6×8)=1/2∴二面角为60°

向量的概念大家并不陌生，但是向量空间又是什么嘞？无论是在空间解析几何中还是在初等几何中向量是用来表示大小和方向的量，但是在代数学中任何的量都可以把它叫做向量，解析集合中在三维空间中的向量说穿了就是一个既有运动学属性又有数学属性的一个量，这样的量在现实世界中是普遍存在的，这样的量是一种现实世界与到数学范畴的一种对应。三维空间其实也是一个向量空间，其中的向量有着同样的特质，因此它是无数多个有着相同特质量的集合。在三维几何空间中向量还可以进行向量与向量的加减法，向量与标量的乘法，并且运算过后的向量仍然与之前的向量有着相同的特质(有运动属性和数学属性)，即向量运算之后任然属于三维几何空间。代数学上的向量空间是一种对几何上向量空间的一个推广，因此向量空间像几何空间是有着相同特质的量的集合，并且在集合上面定义了一套运算规则，即向量空间的八条性质，向量空间具有封闭性是不证自明的。 因此只要是有着无穷多个相同特质的量的集合并且这个集合中的量运算满足向量空间的八条性质，就可以把这样的无穷多个量的集合叫作向量空间，集合中的量就叫做向量。 在抽象出了向量空间的概念之后如果想要推广还必须要研究向量空间所具有的结构与性质，向量空间中的无穷多个向量是如何形成的？能否就像搭积木一样有了一组积木就能搭建成各种各样的房子，这就产生了向量空间的基的概念，向量空间中的任何一个向量都可以由他的一组基线性表示。 假设V是数域F上的一个n维向量空间， 是向量空间的一组基，那么V中任意的向量 都可以唯一的表示成 ,则 就叫做向量 关于 的坐标。 过渡矩阵其实就是取向量空间的两组基，其中一组基用另外一组基线性表示之后将坐标排成列之后形成的矩阵，也即其中一组基在另一极限的坐标排成列所形成的矩阵，实际上过渡矩阵描叙的是统一向量空间中不同的基之间转化关系的矩阵，知道了两个基的过渡矩阵就可以由某个向量在其中一个基之下的坐标求出向量在另一个基之下的坐标，还可由其中一个基求出另一个基。 线性变换说白了就是一种映射，把向量空间中的某个向量变成仍在同一向量空间中的另一向量 欧式空间是在向量空间的基础之上定义了度量两向量大小和关系法则空间即内积空间 向量空间仅仅是定义了形并没有定义性，欧式空间就是定义了性的向量空间 正交变换就是不改变向量的长度但是改变向量的位置的变换，在平面几何中有旋转和关于某过原点反射两种变换，在三维空间中有旋转以及关于某平面的反射两种变换可以复合变换 任何一个变换关于某基都有一个矩阵(由变换之后的基在原基下的坐标排成列做成的矩阵)，对称变换就是能够将某一规范正交基变成对角矩阵的变换

给定域F，F上的向量空间V是一个集合，其上定义了两种二元运算：向量加法：V × V → V，把V中的两个元素u和v映射到V中另一个元素，记作u + v。标量乘法：F × V → V，把F中的一个元素a和V中的一个元素u变为V中的另一个元素，记作a ·u。V中的元素称为向量，相对地，F中的元素称为标量。注意事项：如果a=b，那么a－c=b－c。如果a=b，且c≠0，那么ac=bc。如果a=b，且c≠0，那么a/c=b/c。如果a=b，b=c，那么a=c。在数学中，公理这一词被用于两种相关但相异的意思之下——逻辑公理和非逻辑公理。在这两种意义之下，公理都是用来推导其他命题的起点。和定理不同，一个公理（除非有冗余的）不能被其他公理推导出来，否则它就不是起点本身，而是能够从起点得出的某种结果—可以干脆被归为定理了。

设F是一个域。一个F上的向量空间是一个集合V和两个运算：向量加法: V + V → V, 记作 v + w, ∃ v, w∈V标量乘法: F × V → V, 记作 a·v, ∃a∈F, v∈V符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)： 向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w； 向量加法交换律：v + w = w + v； 向量加法的单位元：V 里有一个叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v； 向量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V，使得 v + w = 0； 标量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w； 标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v； 标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v； 标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 是指域 F 的乘法单位元。 有些教科书还强调以下两个公理：V 闭合在向量加法下：v + w ∈ VV 闭合在标量乘法下：a v ∈ V更抽象的说，一个F上的向量空间是一个F-模。V的成员叫作向量，而F的成员叫作标量。若F是实数域R，V称为实向量空间；若F是复数域C，V称为复向量空间；若F是有限域，V称为有限域向量空间；对一般域F，V称为F-向量空间。 首4个公理是说明向量V在向量加法中是个阿贝尔群，余下的4个公理应用于标量乘法。以下都是一些很容易从向量空间公理推展出来的特性： 零向量0 ∈ V（公理3）是唯一的 a 0 = 0，∀ a ∈ F 0 v = 0，∀ v ∈ V，这里 0 是F的加法单位元 a v = 0 ，则可以推出要么 a = 0 ，要么 v = 0 v的加法逆元（公理4）是唯一的（写成−v），这两个写法v − w 及 v + (−w) 都是标准的 (−1)v = −v，∀ v ∈ V (−a)v = a(−v) = −(av)，∀ a ∈ F ，∀ v ∈ V

因为该空间中的任意一个向量都可以表示成（1,0,1）和（0,1,1）的线性组合，即有（x1,x2,x1+x2）=x1(1,0,1)+x2(0,1,1)所以向量空间的维数是2.

向量空间：先形式地看是个线性空间，（线性空间是什么呢？就是都是直线，线性就是直线，里面都是直线~，但要有过原点的直线存在）首先他的里面有两种运算，加法（两个向量之间加），数乘（一个数乘以向量）对于加法那么肯定要满足结合率 (a+b)+c=a+(b+c)交换律 a+b=b+a零元a+b=0，b=-a加法的单位元：0+a=a2.对于数乘要满足：乘法的结合率：abc=(ab)c=a(bc)x(a+b)=xa+xb(x+y)a=xa+yb乘法单位元1*a=a总的来说就是对于向量的加法来说，你就想象成实数加减，只不是这个实数是写成a=(a1,a2,a3)好多分量。对于数和向量乘法来说，和实数乘一样，只不过少了一条AB=BA（两个都是向量才不满足），这与实数不一样。其余都满足~可以这么记：向量空间是个线性空间，上面装配两种运算：加法和数乘，加法成群，乘法成半群~这道题的话：（4）首先是个向量空间，因为加法和乘法和普通的一样基向量是指：其余向量可以由他表示的向量，所以这里基向量是(0,1,0),(0,0,1)，二维

这不是初高中的题吧

空间的维数就是极大线性无关组中向量的个数,而解空间的极大线性无关组就是它的基础解系,其所含解向量的个数为n-r,n是未知向量中元素的个数,r是系数矩阵的秩.

证明向量落在生成空间：只要判断三个向量是否在同一个平面上。若三个向量不同时在同一个平面上，则这三个向量能构成空间的一个基底。两个向量组等价，只能推出极大无关组的元素个数（秩）相等，极大无关组不一定相同。等价的向量组可以互相表示。它们的极大无关向量组也可以互相表示，都是生成的向量空间（两个）的基底，两个空间可以有同一个基底。几何里引入向量概念使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

对于任何一个集合如果满足和运算和数乘运算封闭，就是向量空间设a，b是齐次方程组Ax=0的两个任意解则a+b 显然是解因为A(a+b)=Aa+Ab=0+0=0,所以和运算封闭数k不为0，则A(ka)=kAa = k *0=0，所以数乘封闭所以肯定是向量空间

维数是 n-1 基:(0,1,0,...,0),(0,0,1,...,0),...,(0,0,0,...,1)

" 向量空间 "是 " 数学分析几何项目 "的指称.." 维度 " 是指 " 空间时间座标 " 的指向 ." 有限 " 是指对 " 空间时间座标向量有指向的限制 ." 向量分析几何 " 是代数几何的分支 .其运算是依照 "几何投影座标数值 " 运算的 .( 仅供参考 )..

证明某一集合是另一集合上的向量空间：向量组a，b等价的充要条件是r（a）=r（a，b）=r（b）。因为a组可由b组线性表示，所以r（b，a）=r（b），因为 r（a）=r（b），所以 r（a）=r（a，b）=r（b），所以两个向量组等价。一个线性空间是先有一个数域，另外还有一个集合，集合中的元素可以定义一种加法运算和数乘运算（结合数域的数乘）后，验证这两个运算满足一系列的公理性要求，一共有八个，包括加法交换律，结合律，零元存在性，逆元唯一性，数乘运算的分配率，单位元存在性，等等。线性空间在考察了大量的数学对象(如几何学与物理学中的向量，代数学中的n元向量、矩阵、多项式，分析学中的函数等)的本质属性后抽象出来的数学概念，近代数学中不少的研究对象，如赋范线性空间、模等都与线性空间有着密切的关系。它的理论与方法已经渗透到自然科学、工程技术的许多领域。

（1）是。首先 0 向量（0，0，。。。，0）满足；其次任意两个的和 x+y = (x1+y1，x2+y2，。。。，xn+yn) 也满足(x1+y1)+(x2+y2)+....+(xn+yn) = (x1+x2+...+xn)+(y1+y2+...+yn) = 0+0 = 0，所以是向量空间。（2）不是。0 向量不在集合中。（3）是。首先 0 向量在集合中，其次，集合中任意两个向量的和仍满足条件，在集合中。

向量空间的基底就是线性空间的基,所谓基就是一组向量,满足以下两个条件： 1、这组向量线性无关； 2、向量空间中任何向量均可有这组向量线性表示出. 书上有定义啊

设W为向量空间 V 的一个非空子集，若W在 V 的加法及标量乘法下是封闭的，且零向量0 ∈ W，就称W为 V 的线性子空间。给出一个向量集合 B，那么包含它的最小子空间就称为它的扩张，记作 span(B)。另外可以规定空集的扩张为{0}。 给出一个向量集合 B，若它的扩张就是向量空间 V， 则称 B 为 V 的生成集合。给出一个向量集合 B，若B是线性无关的，且B能够生成V，就称B为V的一个基。若 V={0}，唯一的基是空集。 对非零向量空间 V，基是 V 最小的生成集，也是极大线性无关组。如果一个向量空间 V 拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称 V 是一个有限维空间。向量空间的所有基拥有相同基数，称为该空间的维度。例如，实数向量空间：R0, R1, R2, R3, …中， Rn 的维度就是 n。空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中向量的线性组合。而且，将基中向量进行排列，表示成有序基，每个向量便可以坐标系统来表示。

在数学上，基数(cardinalnumber)也叫势(cardinality)，指集合论中刻画任意集合所含元素数量多少的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，是两个对等的集合。根据对等这种关系对集合进行分类，凡是互相对等的集合就划入同一类。这样，每一个集合都被划入了某一类。任意一个集合A所属的类就称为集合A的基数，记作(或｜A｜，或cardA)。这样，当A与B同属一个类时，A与B就有相同的基数，即|A|=|B|。而当A与B不同属一个类时，它们的基数也不同。如果把单元素集的基数记作1，两个元素的集合的基数记作2，等等，则任一个有限集的基数就与通常意义下的自然数一致。空集的基数也记作σ。于是有限集的基数也就是传统概念下的“个数”。但是，对于无穷集，传统概念没有个数，而按基数概念，无穷集也有基数，例如，任一可数集（也称可列集）与自然数集N有相同的基数，即所有可数集是等基数集。不但如此，还可以证明实数集R与可数集的基数不同。所以集合的基数是个数概念的推广。基数可以比较大小。假设A，B的基数分别是a，β，即|A|＝a，|B|＝β，如果A与B的某个子集对等，就称A的基数不大于B的基数，记作a≤β，或β≥a。如果a≤β，但a≠β（即A与B不对等），就称A的基数小于B的基数，记作a＜β，或β＞a。在承认策梅罗(Zermelo)选择公理的情况下，可以证明基数的三岐性定理——任何两个集合的基数都可以比较大小，即不存在集合A和B，使得A不能与B的任何子集对等，B也不能与A的任何子集对等。基数可以进行运算。设|A|＝a，|A|＝β，且A∩B是空集，则规定为a与β之和记作＝a＋β。设|A|＝a，|B|＝β，A×B为A与B的积集，规定为a与β的积，记作＝a·β。

以点O为圆心，3为半径的圆。点的集合可以理解为一个点在运动时留下的痕迹，或者一个点运动时的轨道，平面a内与一定点o距离等于5cm的点的集合，可以理解成：在一个名称叫做a的平面之内，有一个点在运动，这个点在运动时，始终保持到一个固定的点的距离不变（相等）。于是很容易想象得到：这个动点运动的轨道是：以定点为圆心，以5cm为半径的一个圆。高中会学到一个图形中有两个平面，所以要给平面一个名称和记号，如平面a，平面abcd等等。基数集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集。一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。假设有实数x < y：①[x，y] ：方括号表示包括边界，即表示x到y之间的数以及x和y。②(x，y)：小括号是不包括边界，即表示大于x、小于y的数。

第一维是由无数的点组成的一条线，只有长度，没有其中的宽度、高度。第二维是由无数的线组成的面，有长度、宽度没有高度。第三维是由无数的面组成的体，有长度、宽度、高度。第四维是指与x，y，z同一性质的空间维度，是四维时空下的时间维度。一、四维空间定义四维空间不同于三维空间，指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维；四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。人类作为三维物体可以认识四维时空（三个空间维度和一个时间维度）但无法认识四维空间，因为人类无法认识第四个空间维度。因为人的眼睛只能看到三维，所以四维以上很难解释。正如一个智力正常，先天只有一只眼睛，一只耳朵的人(这样就没有双眼效应，双耳效应)，他就很难理解距离了，他很可能认为这个世界是2维的。二、发展历程n维空间概念，在18世纪随着分析力学的发展而有所前进。在达朗贝尔.欧拉和拉格朗日的著作中无关紧要的出现第四维的概念，达朗贝尔在《百科全书》关于维数的条目中提议把时间想象为第四维。在19世纪高于三维的几何学还是被拒绝的。麦比乌斯（karl august mobius 1790-1868）在其《重心的计算》中指出，在三维空间中两个互为镜像的图形是不能重叠的，而在四维空间中却能叠合起来。但后来他又说：这样的四维空间难于想象，所以叠合是不可能的。这种情况的出现是由于人们把几何空间与自然空间完全等同看待的结果。以至直到1860年，库摩尔（ernst eduard kummer 1810-1893）还嘲弄四维几何学。但是，随着数学家逐渐引进一些没有或很少有直接物理意义的概念，例如虚数，数学家们才学会了摆脱“数学是真实现象的描述”的观念，逐渐走上纯观念的研究方式。虚数曾经是很令人费解的，因为它在自然界中没有实在性。把虚数作为直线上的一个定向距离，把复数当作平面上的一个点或向量，这种解释为后来的四元数，非欧几里得几何学，几何学中的复元素，n维几何学以及各种稀奇古怪的函数，超限数等的引进开了先河，摆脱直接为物理学服务这一观念迎来了n维几何学。三、四维空间的数学意义说空间是多少维的提法本身就有问题，应该这样来描述才对，空间以长度为单位来计量，可以看做是三个互相垂直的轴线所包含的区域，但物理空间并不仅限于这些区域，还有能量场、引力场、微观粒子等其存在于空间不能以长度来衡量的区域。也就是说，空间从长度来看，具有三维特性，但同时还有长度所不能描述的其它特性。另数学意义上的4维空间在物理模型上是无意义的，因为按照n维坐标的定义，第4维也应是以长度为单位的轴线，这条轴线应是垂直于其它三维的，长度为单位的轴线大家都能感知的，如果存在，我们肯定能观测到，但大家都知道现实中是找不到这种情况的，所以在现实中，没有数学意义的四维空间。

六维空间是指任何拥有六个维度的空间，六自由度，并且需要六个数据或坐标来指定该空间中的位置。这些座标可以有无限多种但最有趣的是更简单的模型的一些方面的环境。其中最有趣的是六维欧几里得空间，在其之中可构造出六维多胞形以及五维球面。六维有限空间 以及 双曲空间同时也被研究，具有恒定的正和负曲率。六维空间中的多胞形都称为六维多胞形。最常见的是正多胞形，而这些正多胞形在六维空间中只有三个：六维单纯形，六维超方形，六维正轴形。而更广义的类型是六维均匀多胞形，是由反射的基本对称群构造出的，每一个域由考斯特群定义。 扩展资料其他多维：1、零维没有长宽高，单纯的一个点，如奇点。2、一维只有长度3、二维平面世界只有长宽4、三维长宽高立体世界我们肉眼亲身感觉到看到的世界 三维空间是点的位置由三个坐标决定的空间。客观存在的现实空间就是三维空间，具有长、宽、高三种度量。数学、物理等学科中引进的多维空间概念，是在三维空间基础上所作的科学抽象。5、四维一个时空的概念日常生活所提及的“四维空间”，大多数都是指阿尔伯特·爱因斯坦在他的《广义相对论》和《狭义相对论》中提及的“四维时空”概念。6、五维它是由无数个四维空间根据某一轴线集合而成的。黑洞现象就是五维的表现。一个五维空间的物体，应该是跨越不同时间轴线的。在任意一个时间轴线上我们只能观察到它的一部分。参考资料来源：百度百科-六维空间