如何求值域

求函数值域的方法有配方法，常数分离法，换元法，逆求法，基本不等式法，求导法，数形结合法和判别式法等。配方法：将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域求函数的值域，画一个简单图更能便捷直观的求值域。常数分离：一般是对于分数形式的函数来说的。将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离求得值域。逆求法：对于y=某x的形式可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。换元法：对于函数的某一部分较复杂或生疏可用换元法，将其转变成我们熟悉的形式求解。单调性：先求出函数的单调性，注意先求定义域，根据单调性再求函数的值域。基本不等式：根据我们学过的基本不等式可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。数形结合：可根据函数给出的式子画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域。求导法：求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值就可得到值域了。判别式法：将函数转变成某某等于零的形式，再用解方程的方法求出要满足的条件，求解即可。

配方法、常数分离、逆求法、换元法、拆分法、单调性法、数形结合法、判别式法。1、值域的综合性极强，真正能把函数值域学好的人很少，把值域学好了，你的函数将会达到一个很高的水准！所以，务必要重视值域，对于二次函数y=ax＋bx＋c(a≠0)来说，只要知道开口方向和对称轴，就可以知道它的单调性；单调性知道了，值域也就出来了。2、若fx的解析式是整式，则其定义域为R，若fx的解析式是分式，则其定义域是使分母不为0的实数的集合，若fx的解析式是偶次根式或可化为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合，若fx的解析式是指数式，若fx指数为负指数或0指数，则其底数不为，若fx指数含变量，则其底数应为大于0且不等于1，若fx的解析式是对数式，则真数应大于，若fx底数含未知数，则底数大于且不等于。3、在解决函数问题时，要注意定义域优先的原则，要注意函数的定义域不能是空集，一切函数的问题都要在其定义域内研究和解决，例如求函数的单调区间，求函数的值域或最值等都应应先求函数的定义域。

一、观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y＝3＋√(2－3x) 的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3＋√(2－3x)≥3。∴函数的知域为[3，＋∞]。点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数y＝[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二、反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2：求函数y＝(x＋1)/(x＋2)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数y＝(x＋1)/(x＋2)的反函数为:x＝(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y_y≠1,y∈R｝。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数y＝(10∧x＋10∧-x)/(10∧x－10∧-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y_y＜－1或y＞1｝）

1)直接法——从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围2）配方法——配方是求“二次函数类”值域的基本方法，形如f(x)=af(x)方bf(x)方+c的函数的值域问题，均可使用配方法3）反函数法——利用函数与他的范函数的定义域与值域的互逆关系，通过求范函数的定义域，得到原函数的值域。一次分数式型均可使用反函数，此外，此种类型也可使用“分离常数法”求得4）判别式法——把函数转化成关于x的二次方程f(x,y)=0,通过方程有实根，判别式“的塔”>=0，从而求得原函数的值域。通常用于球二次分式型5）换元法运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求的函数的值域 形如：y=ax+b-根号cx+d(a,b,c,d均为常数，且a不为0）的函数常用此方法求解6）不等式法利用均值不等式求函数的值域，“一正、二定、三相等”7）单调性法确定函数在定义域（或某个定义域上的子集）上的单调性求出函数的值域分母中含根号的分式的值域均可使用此方法求解8）求导法当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值9）数形结合当一个函数图像可作时，通过图像可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域

1、如何求定义域 求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围。其求解根据一般有：分式中，分母不为零；偶次根式中，被开方数非负；对数的真数大于0。 2、如何求值域 求分段函数的值域要分段进行，就是把分段函数各个分段上的函数看作一个独立的函数，分别求出它们的值域，那么各个分段上的函数的值域的并集就是这个分段函数的值域。 3、分段函数定义 分段函数对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。它是一个函数，而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1），分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。（3），对数中的真数部分大于0。（4），指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）。y=tanx中x≠kπ+π/2,y=cotx中x≠kπ等等。值域是函数y=f(x)中y的取值范围。常用的求值域的方法：（1）化归法；（2）图象法（数形结合），（3）函数单调性法，（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等

sin和cos的自身值域就是[-1,1],这里没有限制x的范围,所以sin(2x+1)的值域就是[-1,1]. 图像如图所示（你可以利用描点法画出图像）：

y= (1/2)^(x^2+1) +3max y=y(0) = 7/2lim(x->∞) [(1/2)^(x^2+1) +3] =3lim(x->-∞) [(1/2)^(x^2+1) +3] =3值域 =(3, 7/2]

第二题？就是把x的取值范围最大和最小的2和0代进去求出来就是y的取值范围了。

1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。例题：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】先配方，得y=(x+1)^2+1∴ymin=(-1+1)^2+2=2ymax=(2+1)^2+2=114.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。8.换元法：适用于有根号的函数例题：y=x-√（1-2x)设√（1-2x)=t(t≥0)∴x=(1-t^2)/2∴y=(1-t^2)/2-t=-t^2/2-t+1/2=-1/2(t+1)^2+1∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）9：图像法，直接画图看值域这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。例题：y=(3x-1)/(3x-2)先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)明显定义域为x≠1所以原函数的值域为y≠1

1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；二次函数 的定义域为R，当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }.例1．求下列函数的值域① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3，∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5]②∵ ∴即函数 的值域是 { y| y 2}③④当x>0，∴ = ，当x<0时， =－∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法）函数 的图像为：2．二次函数比区间上的值域(最值)：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：① ；解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y -3 }.②∵顶点横坐标2 [3,4]，当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,∴在[0,1]上， =-3， =6；值域为[-3，6].

1．观察法用于简单的解析式。y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).2.配方法多用于二次(型)函数。y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞）y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）3. 换元法多用于复合型函数。通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。特别注意中间变量（新量）的变化范围。y=-x+2√( x-1)+2令t=√(x-1),则t≤0, x=t^2+1.y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(－∞, 1].4. 不等式法用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。y=（e^x+1）/(e^x-1), (0<x<1).0<x<1,1<e^x<e, 0<e^x-1<e-1,1/(e^x-1)>1/(e-1),y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).5. 最值法如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的. 6. 反函数法有的又叫反解法.函数和它的反函数的定义域与值域互换.如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.7. 单调性法若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为[f(b), f(a)].

定积分的求法如下：扩展资料积分的公式1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -13、∫ 1/x dx = ln|x| + C4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 15、∫ e^x dx = e^x + C6、∫ cosx dx = sinx + C7、∫ sinx dx = - cosx + C8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

那你根据它给出的分式先求出定义域，再把定义域带进函数式求出y的范围，就是值域。

我们可以通过分析正弦函数、余弦函数的主要性质来得出我们所求的值域!(1)定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R,分别记作y=sinx,x∈R,y=cosx,x∈R,其中R当然可以换成(-∞,+∞)．(2)值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,所以|sinx|≤1,|cosx|≤1,即-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1．这说明正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1．其中正弦函数当且仅当时取得最大值1,当且仅当时取得最小值-1；而余弦函数当且仅当x=2kπ,k∈Z时取得最大值1,当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z时取得最小值-1．(3)周期性由诱导公式sin(x+2kπ)=sinx,cos(x+2kπ)=cosx(k∈Z)可知,正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的．图4-20正是按此性质画出的．一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．例如,2π,4π,…及-2π,-4π,…都是正弦函数和余弦函数的周期．事实上,任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期．对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．例如,2π是正弦函数的所有周期中的最小正数①,所以2π是正弦函数的最小正周期．根据上述定义,我们有：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期,最小正周期是2π．

　　在具体求某个函数的值域时, 首先要仔细、 认真观察其题型特征, 然后再选择恰当的方法，下面为大家总结了求函数值域的方法，希望可以帮助到同学们。 　　 一．观察法 　　通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 　　例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。 　　点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。 　　解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 　　故3+√(2－3x)≥3。 　　∴函数的知域为. 　　点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 　　本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 　　练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 　　 二．反函数法 　　当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 　　例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 　　点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 　　解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 　　点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 　　练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 　　 三．配方法 　　当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 　　例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 　　点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 　　解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] 　　∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 　　点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的"一种重要的思想方法。 　　练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 　　 四．判别式法 　　若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 　　例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 　　点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 　　解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊） 　　当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 　　当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 　　点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 　　练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。 　　 五．最值法 　　对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。 　　例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 　　点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 　　解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), 　　∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 　　当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。 　　∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。 　　点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。 　　练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（） 　　A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞]C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞） 　　（答案：D）。 　　 六．图象法 　　通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。 　　例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。 　　点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。 　　解：原函数化为－2x+1(x≤1) 　　y=3(-1<x≤2) 　　2x-1(x>2) 　　它的图象如图所示。 　　显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。 　　点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象 　　求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。 　　求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域 　　 七．单调法 　　利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 　　例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。 　　点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)=－√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。 　　解：设f(x)=4x,g(x)=－√1-3x,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x－√1-3x 　　在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。 　　点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。 　　练习：求函数y=3+√4-x的值域。(答案：｛y|y≥3｝) 　　 八．换元法 　　以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。 　　例2求函数y=x-3+√2x+1的值域。 　　点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。 　　解：设t=√2x+1（t≥0）,则 　　x=1/2(t2-1)。 　　于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2. 　　所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。 　　点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 　　练习：求函数y=√x-1–x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝ 　　 九．构造法 　　根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。 　　例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。 　　点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。 　　解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 　　作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位 　　正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22, 　　KC=√(x+2)2+1。 　　由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共 　　线时取等号。 　　∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。 　　点评：对于形如函数y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。 　　练习：求函数y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝） 　　以上九种是函数求值域最常用的方法,下面介绍三种特殊情况下求值域的几种方法. 　　 十．比例法 　　对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。 　　例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。 　　点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。 　　解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数) 　　∴x=3+4k,y=1+3k, 　　∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。 　　当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。 　　函数的值域为｛z|z≥1｝. 　　点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。 　　练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝） 　　 十一．利用多项式的除法 　　例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。 　　点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。 　　解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。 　　∵1/(x+1)≠0，故y≠3。 　　∴函数y的值域为y≠3的一切实数。 　　点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。 　　练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2） 　　 十二．不等式法 　　例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。 　　点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。 　　解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)], 　　由对数函数的定义知x/(1-x)＞0 　　1-x≠0 　　解得，0＜x<1。 　　∴函数的值域（0，1）。 　　点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一

1)直接法——从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围2）配方法——配方是求“二次函数类”值域的基本方法，形如f(x)=af(x)方bf(x)方+c的函数的值域问题，均可使用配方法3）反函数法——利用函数与他的范函数的定义域与值域的互逆关系，通过求范函数的定义域，得到原函数的值域。一次分数式型均可使用反函数，此外，此种类型也可使用“分离常数法”求得4）判别式法——把函数转化成关于x的二次方程f(x,y)=0,通过方程有实根，判别式“的塔”>=0，从而求得原函数的值域。通常用于球二次分式型5）换元法运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求的函数的值域 形如：y=ax+b-根号cx+d(a,b,c,d均为常数，且a不为0）的函数常用此方法求解6）不等式法利用均值不等式求函数的值域，“一正、二定、三相等”7）单调性法确定函数在定义域（或某个定义域上的子集）上的单调性求出函数的值域分母中含根号的分式的值域均可使用此方法求解8）求导法当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值9）数形结合当一个函数图像可作时，通过图像可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一3. 判别式法4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域6. 函数单调性法 7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用8. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目9. 不等式法 利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧10. 一一映射法 原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围11. 多种方法综合运用

很好求的先说自变量，分式函数中的自变量满足分母≠0偶次根式函数中的自变量满足被看方数≥0整式函数中的自变量可以取全体实数实际问题中的自变量要使得实际问题有意义求值域，可以先求函数的反函数，利用反函数的自变量的取值范围就是原函数的值域范围，便可以得出函数值域的范围了.(希望能帮到你，同意请采纳）

将一个分式化为几个式子的和，其中只有一个式子分母含有x。适合简单的分式函数或分子分母x都是一次的分式函数。例：求y=2x/(5x+1)的值域解：y=2[x+(1/5)-(1/5)]/5[x+(1/5)]=(2/5)-[2/5(5x+1)]∵x≠-1/5 ∴y≠2/5∴值域为{y｜y∈R且y≠2/5}形如f(x)=p(x)/q(x) 的函数叫做分式函数，其中p(x)、q(x)是既约整式且 q（x)的次数不低于一次。扩展资料：p(x）、q(x) 至少有一个的次数是二次的分式函数叫做二次分式函数，即形如f(x)=(ax;+bx+c)/(dx;+ex+f),（其中x∈A，ad≠0） 的函数。函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。参考资料：百度百科——分式函数

函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解,用 来表示 ,再由 的取值范围,通过解不等式,得出 的取值范围；常用来解,型如：； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：,利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域. ⑧数形结合：根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域.

看函数增减单调性，与定义域相比较，得到捌点，从而得值域y=2x，x<3则y<6其他的一样

一．观察法　　通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。　　例1：求函数y=3+√(2－3x) 的值域。　　点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。　　解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，　　故3+√(2－3x)≥3。　　∴函数的值域为 .　　点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。　　本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5.y,x∈N)的值域。 （答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法　　当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。　　例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。　　点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。　　解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。　　点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。 （答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法　　当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域　　例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。　　点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。　　解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]　　∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]　　点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域. (答案:值域为{y∣y≤2.5})四．判别式法　　若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域，但只适用于定义域为R或R除去一两个点。　　例4：求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。　　点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。　　解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）　　当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）+(y－3)≥0，解得：2＜y≤10/3　　当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。　　点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。 （答案：值域为y≤－8或y>0）。五．最值法　　对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。　　例5:已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。　　点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。　　解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),　　∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。　　当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。　　∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。　　点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。　　练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为 （ ） A．（－∞，＋∞） B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞） D．[－5，＋∞）　　 （答案：D）。六．图象法　　通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。　　例6:求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。　　点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。　　解：原函数化为 －2x+1 (x≤1)　　y= 3 (-1<x≤2)　　2x-1(x>2)　　它的图象如图所示。　　显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。　　点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象　　求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。　　求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。七．单调法　　利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。　　例1:求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。　　点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。　　解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x 　　在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。　　点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。　　练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)八．换元法　　以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。　　例2:求函数y=x-3+√2x+1 的值域。　　点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。　　解：设t=√2x+1 （t≥0）,则　　x=1/2(t2-1)。　　于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.　　所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。　　点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。　　练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝九．构造法　　根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。　　例3:求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。　　点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。　　解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22　　作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位　　正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,　　KC=√(x+2)2+1 。　　由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共　　线时取等号。　　∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。　　点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。　　练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）十．比例法　　对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。　　例4:已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。　　点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。　　解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)　　∴x=3+4k,y=1+3k,　　∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。　　当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。　　函数的值域为｛z|z≥1｝.　　点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。　　练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）十一．利用多项式的除法　　例5:求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。　　点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。　　解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。　　∵1/(x+1)≠0，故y≠3。　　∴函数y的值域为y≠3的一切实数。　　点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。　　练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）十二．不等式法　　例6:求函数Y=3x/(3x+1)的值域。　　点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。　　解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],　　由对数函数的定义知 x/(1-x)＞0　　1-x≠0 解得，0＜x<1。　　∴函数的值域（0，1）。　　点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。　　以下供练习选用：求下列函数的值域　　1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）　　2．Y=2x/(2x－1)。 （y>1或y<0） 　　注意变量哦~

反解xy(x-1)=2x+3yx-2x=y+3x=(y+3)/(y-2)显然y≠2所以，值域为(-∞,2)U(2,+∞)祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

函数值域的几种常见方法1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；二次函数 的定义域为R，当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }.例1．求下列函数的值域① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④ 解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3，∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5]②∵ ∴ 即函数 的值域是 { y| y 2} ③ ④当x>0，∴ = ，当x<0时， =－ ∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法）函数 的图像为：2．二次函数比区间上的值域(最值)：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：① ； 解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y -3 }.②∵顶点横坐标2 [3,4]，当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,∴在[0,1]上， =-3， =6；值域为[-3，6].注：对于二次函数 ,⑴若定义域为R时，①当a>0时，则当 时，其最小值 ；②当a<0时，则当 时，其最大值 .⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较 的大小决定函数的最大（小）值.②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.3．判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例3．求函数 的值域方法一：去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ①当 y11时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0由此得 (5y+1) 0 检验 时 （代入①求根）∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴ 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11综上所述，函数 的值域为 { y| y11且 y1 }方法二：把已知函数化为函数 (x12)∵ x=2时 即 说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4．换元法例4．求函数 的值域解：设 则 t 0 x=1- 代入得 5．分段函数例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+ ]. 如图两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.

一、观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y＝3＋√(2－3x) 的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3＋√(2－3x)≥3。∴函数的知域为[3，＋∞]。点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数y＝[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二、反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2：求函数y＝(x＋1)/(x＋2)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数y＝(x＋1)/(x＋2)的反函数为:x＝(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数y＝(10∧x＋10∧-x)/(10∧x－10∧-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y＜－1或y＞1｝）

定义域和值域是函数的重要概念。定义域指的是函数的实际定义范围，即对于任意输入的 x，函数 f(x) 都有且仅有一个对应的输出 y。值域指的是函数的输出值 y 的集合。要求定义域，需要考虑函数的定义以及对 x 的限制；要求值域，则需要考虑函数的性质（例如单调性）和函数的定义关系，以及 x 的限制。具体地，我们可以按以下步骤求定义域和值域：1、确定函数的定义关系，即找到函数的表达式。2、确定对 x 的限制，即对 x 的取值范围作出限制。3、分析函数的性质（例如单调性），确定函数的取值范围。4、综合第二和第三步的结果，确定函数的定义域和值域。在确定定义域和值域时，我们可以使用不等式、数轴图像等方法进行分析。如果函数是复杂的，可以使用计算机辅助工具（例如数学软件）进行解决。

题目表述不清，下面的解题过程基于“y=(2x+3)/(x+1)的值域”解:y=(2x+3)/(x+1)的定义域：x+1≠0 所以x≠-1定义域是(-∞，-1)∪(-1，+∞)y=(2x+3)/(x+1)=(2x+2+1)/(x+1)=2+2/(x+1)因为2/(x+1)≠0所以2+2/(x+1)≠2所以，y=(2x+3)/(x+1)的值域是：(-∞，2)∪(2，+∞)

这个题目的范围有点广，没有具体的题目，所以解答起来比较宽泛，我就举一个具体的例子来进行解答。比如说函数y=2x，x的取值范围是【5，10】值域代表的意思是指函数的取值范围，每一个x就对应一个y的值，也就是函数的取值，因为x有个定义域，所以对应的y有一个值域。我举例的函数，是一个一次函数，并且是在x的取值范围内单调递增，也就是当x=5，y=10，这是y的最小值，当x=10，y=20，这是y的最大值，所以函数y=2x的值域是【10，20】这是一次函数的求解，另外还有二次函数，三次函数等，很多很多的函数，只要有一个x的定义域范围，也就会对应一个y的值域范围。

值域：函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。f：A→B中，值域是集合B的子集。如：f(x)=x,那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。在实数分析中，函数的值域是实数，而在复数域中，值域是复数。扩展资料函数经典定义中，因变量的取值范围叫做这个函数的值域,在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。即{y∣y=f(x),x∈D}常见函数值域：y=kx+b （k≠0）的值域为Ry=k/x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)y=√x的值域为x≥0y=ax^2+bx+c 当a>0时，值域为 [4ac-b^2/4a,+∞) ；当a<0时，值域为（-∞，4ac-b^2/4a]y=a^x 的值域为 (0,+∞)y=lgx的值域为R

三角函数定义域和值域　　sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为〔-1,1〕 　　tan(x)的定义域为x不等于π/2+kπ,值域为R 　　cot(x)的定义域为x不等于kπ,值域为R

都是二元一次方程了哪有什么值域呢？如果指的是二元一次函数值域怎么求那没什么要去求的在没有给出定义域的情况下必然什么值都可以取到

在函数的三要素中,对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用.本文就函数值域求法归纳如下.1,直接观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到.例1 求函数y=3-的值域.解: 0 - 0 3- 3故函数的值域是:[-∞,3] 2,配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一.例2,求函数y=-2x+5,x[-1,2]的值域.解:将函数配方得:y=(x-1)+4,x[-1,2],由二次函数的性质可知:当x=1时,y =4当x=-1,时=8故函数的值域是:[4,8] 3,判别式法例3 求函数y=的值域.解:原函数化为关x的一元二次方程(y-1)-x+(y-1)=0(1)当y≠1时,xR,△=(-1)-4(y-1)(y-1) 0解得:y(2)当y=1,时,x=0,而1[,]故函数的值域为[,]例4求函数y=x+的值域. 解:两边平方整理得:2-2(y+1)x+y=0(1)xR,△=4(y+1)-8y0解得:1-y1+但此时的函数的定义域由x(2-x)0,得:0x2.由△0,仅保证关于x的方程:2-2(y+1)x+y=0在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由△0求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为[,].可以采取如下方法进一步确定原函数的值域.0x2,y=x+0,=0,y=1+代入方程(1),解得:=[0,2],即当=时,原函数的值域为:[0,1+].注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除.4,反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域.例5 求函数y=值域.解:由原函数式可得:x=则其反函数为:y=其定义域为:x≠故所求函数的值域为:(-∞,)5,函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域.例6 求函数y=的值域.解:由原函数式可得:=>0,>0 解得:-1 7,换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用.例9 求函数y=x+的值域.解:令x-1=t,(t0)则x=+1∵y=+t+1=+,又t0,由二次函数的性质可知当t=0时,y=1,当t→0时,y→+∞.故函数的值域为[1,+∞) 8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目.例10 求函数y=+的值域.解:原函数可化简得:y=∣x-2∣+∣x+8∣ 上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),B(-8)间的距离之和.由上图可知:当点P在线段AB上时,y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10故所求函数的值域为:[10,+∞]例11 求函数y=+ 的值域解:原函数可变形为:y=+上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和,由图可知当点P为线段与x轴的交点时, y=∣AB∣==,故所求函数的值域为[,+∞].例12 求函数y=-的值域解:将函数变形为:y=-上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差.即:y=∣AP∣-∣BP∣由图可知:(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点P ,则构成△ABP ,根据三角形两边之差小于第三边,有 ∣∣AP ∣-∣BP ∣∣<∣AB∣== 即:-(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时, 有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣= .综上所述,可知函数的值域为:(-,-). 注:由例11,例12可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A,B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点A,B在x轴的同侧.如:例17的A,B两点坐标分别为:(3,2),(-2,-1),在x轴的同侧;例18的A,B两点坐标分别为:(3,2),(2,-1),在x轴的同侧.总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细,认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法然后才考虑用其他各种特殊方法.

1直观的理解是在自变量x取完定义域的的每一个x,(在对应法则f的作用下)对应的得到每一个y, 把这里的每一y集起来,就是函数的值域. 2一般实际操作是由自变量x的范围出发,对x进行变形,一直变到f(x)的形式,对应求的f(x)的范围, 即为y的范围,即求得函数的值域.

1)直接法--从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围2)配方法--配方是求“二次函数类”值域的基本方法，形如f(x)=af(x)方bf(x)方+c的函数的值域问题，均可使用配方法3)反函数法--利用函数与他的范函数的定义域与值域的互逆关系，通过求范函数的定义域，得到原函数的值域。一次分数式型均可使用反函数，此外，此种类型也可使用“分离常数法”求得4)判别式法--把函数转化成关于x的二次方程f(x,y)=0,通过方程有实根，判别式“的塔”>=0，从而求得原函数的值域。通常用于球二次分式型5)换元法运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求的函数的值域形如:y=ax+b-根号cx+d(a,b,c,d均为常数，且a不为0)的函数常用此方法求解6)不等式法利用均值不等式求函数的值域，“一正、二定、三相等”7)单调性法确定函数在定义域(或某个定义域上的子集)上的单调性求出函数的值域分母中含根号的分式的值域均可使用此方法求解8)求导法当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值9)数形结合当一个函数图像可作时，通过图像可求其值域和最值;或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域

这个是具体问题具体对待的，看看隐藏的限制条件和明显的限制条件综合得出

1、配方法。将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域；2、常数分离法。一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域；3、逆求法。对于y等于某x的形式，可用逆求法，表示为x等于某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域；4、求导法。出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就是值域。

综述：45号钢的许用应力是屈服强度≥355MPa。45钢抗拉强度为600MPa，伸长率为16％，断面收缩率为40％，冲击功为39J。记得剪切应力为屈服强度一半，弯曲应力和挤压应力更高。钢材：钢材是钢锭、钢坯或钢材通过压力加工制成的一定形状、尺寸和性能的材料。大部分钢材加工都是通过压力加工，使被加工的钢（坯、锭等）产生塑性变形。根据钢材加工温度不同，可以分为冷加工和热加工两种。钢材是国家建设和实现四化必不可少的重要物资，其应用广泛、品种繁多，根据断面形状的不同、钢材一般分为型材、板材、管材和金属制品四大类，又分为重轨、轻轨。

金属材料的强度指标主要有：屈服极限、抗压强度、抗拉强度、抗剪强度、抗扭强度，其中的抗压强度主要用于铸铁、塑料、木头等低塑性的材料，没有“抗压屈服强度”。

一：产品：20号合金镍基合金二：化学成分：碳(C)≤0.07,锰(Mn)≤2.0,镍(Ni)32.0～38.0,硅(Si)≤1.0,磷(P)≤0.045,硫du(S)≤0.035,铬(Cr)19.0～21.0铌(Nb) ≤1.0,铝(Al) ≤0.2,钛(Ti) 0.6～1.2,铜(Cu) 3.0～4.0 ,钼(Mo)2.0～3.0三：应用范围应用领域：常年现货库存 圆棒 板材 无缝管 卷带！化工、食品、制药和塑料工业,热交换器,酸洗设备、合成橡胶生产设备、泵、阀门和管道。合金是一种对硫酸具有极高耐腐蚀性的不锈钢。可广泛应用于高浓度、高温的硫酸环境中。此外，还具有优良的耐晶粒间腐蚀性能和抗应力腐蚀开裂性能。四：物理性能：密度：8.08 g/cm3 熔点：1357-1430℃五：概况：Alloy 20（N08020）镍基合金中的Cr含量通常为19.0-21.0%，镍含量为32.0-38.0%。Alloy 20(Incoloy 20)合金是一种含钼和铜的镍基合金，具有很好的热加工及冷加工性能。Alloy 20（N08020）镍基合金是具有很多优异性能的耐蚀合金，对氧化性和中等还原性腐蚀有很好的抵抗能力，具有优异的抗应力腐蚀开裂能力和好的耐局部腐蚀能力在很多化工工艺介质中有满意的耐蚀特性。

1.45号钢淬火后没有回火之前,硬度大于HRC55(最高可达HRC62)为合格。 实际应用的最高硬度为HRC55(高频淬火HRC58)。2.45号钢不要采用渗碳淬火的热处理工艺。 45号钢调质件淬火后的硬度应该达到HRC56~59,截面大的可能性低些,但不能低于HRC48,不然,就说明工件未得到完全淬火,组织中可能出现索氏体甚至铁素体组织,...

抗拉强度是通过实验得出来的数据,在计算最大抗拉应力时用的到； 45号钢通常会正火或调质处理,抗拉强度在570-850MPa 之间. 1.试样在拉伸过程中,材料经过屈服阶段后进入强化阶段后随着横向截面尺寸明显缩小在拉断时所承受的最大力（Fb）,除以试样原横截面积（So）所得的应力（σ）,称为抗拉强度或者强度极限（σb）,单位为N/mm2（MPa）.它表示金属材料在拉力作用下抵抗破坏的最大能力.计算公式为：　　σ=Fb/So 　　式中：Fb--试样拉断时所承受的最大力,N（牛顿）； So--试样原始横截面积,mm2. 2.材料名称：优质碳素结构钢 牌号：45 标准：GB/T 699-1988 ●特性及适用范围： 是强度较高的一种中碳优质钢,因淬透性差,一般以正火状态使用,机械性能要求较高时,采用调质处理.冷变形塑性中等,退火和正火的切削加工性比调质的好.用于制造强度要求较高的零件,如齿轮、轴、活塞销等和受力不很大的机械加工件、锻件、冲压件和螺栓、螺母、管接 ●化学成份： 碳 C ：0.42～0.50 硅 Si：0.17～0.37 锰 Mn：0.50～0.80 硫 S ：≤0.035 磷 P ：≤0.035 铬 Cr：≤0.25 镍 Ni：≤0.25 铜 Cu：≤0.25 ●力学性能： 抗拉强度 σb (MPa)：≥600(61) 屈服强度 σs (MPa)：≥355(36) 伸长率 δ5 (％)：≥16 断面收缩率 ψ (％)：≥40 冲击功 Akv (J)：≥39 冲击韧性值 αkv (J/cm2)：≥49(5) 硬度 ：未热处理,≤229HB;退火钢,≤197HB 试样尺寸：试样尺寸为25mm ●热处理规范及金相组织： 热处理规范：正火,850℃;淬火,840℃;回火,600℃. ●交货状态：以不热处理或热处理（退火、正火或高温回火）状态交货.要求热处理状态交货的应在合同中注明,未注明者按不热处理交货.

工艺好的话，达到500MPa左右

50000/3600=13,889米/秒

风速=根号下（两倍的动压除以流体密度）流体密度和当地大气压静压温度有关空气：密度=1.293乘以【273除以（273+管道温度）】乘以【（当地大气压+管道静压）除以101325】

1．排风量计算条缝式槽边排风罩的排风量按下列原则计算:L=截修正系数*控制风速*槽面积*维修正系数截修正系数：高截取2，低截取3；维修正系数：单侧取(B/A)0.2，双侧取(B/2A)0.2槽面积：矩形槽面积=A*B，圆形槽面积=πD2/4控制风速Vx根据控制有害物的特性来定。因此可得条缝式槽边排风罩的排风量计算公式如下：（1）高截面单侧排风m3/s（4-6-2）（2）低截面单侧排风m3/s（4-6-3）（3）高截面双侧排风（总风量）m3/s（4-6-4）（4）低截面双侧排风（总风量）m3/s（4-6-5）（5）高截面周边型排风L=1.57vxD2m3/s（4-6-6）（6）低截面周边型排风L=2.36vxD2m3/s（4-6-7）式中A——槽长，m；B——槽宽，m；D——圆槽直径，m；vx——边缘控制点的控制风速，m/s。2．排风罩的阻力计算条缝式槽边排风罩的阻力按下式计算Pa（4-6-7）式中——局部阻力系数，；——条缝口上空气流速，m/s；——周围空气密度，kg/m3。

假设结构的自然频率为fn结构截面直径为d斯托捞哈耳数为S圆形截面S=0.2则临界风速为Vcrit=(fn*d)除以S如果实际风速和临界风速比较接近就会出现共振现象。

风速= 根号下（ 两倍的动压 除以 流体密度）流体密度 和当地大气压 静压 温度 有关空气：密度=1.293 乘以 【273除以（273+管道温度）】乘以【（当地大气压+管道静压） 除以 101325】

12级为 32．7—36．9米/秒；13级为37．0—41．1米/秒；14级为41．1—46．0米/秒；15级为46．0—50．9米/秒；16级为 51．0—56．0米/秒；17级为56．1—61．2米/秒。 从图中可以看出，每一级大约相差5米每秒所以金星是25级，木星31级 海王星116级 太阳风37级注：人们创造风级是是用来表示地球上的风力的，等到有一天人们能移民外星球时，那些才会有意义。