椭圆所有性质

1．椭圆的简单几何性质

　　以方程 为例：

　　（1）范围：由方程可得|x|≤a，|y|≤b，因此椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。

　　（2）对称性：椭圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，它有两根对称轴，一个对称中心，一般地对于曲线f（x，y）=0，若以－y代y方程不变，则曲线关于x轴对称，若以－x代x方程不变，则曲线关于y轴对称；若同时以－x代x，以－y代y方程不变，那么曲线关于原点对称，应结合点P（x，y）分别关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标来理解和记忆。

　　（3）顶点：共有四个，即 ，它们就是椭圆与坐标轴的交点，画椭圆时，可先画出这四个顶点，也就画出了椭圆的大致形状。

　　（4）离心率： ，在椭圆中，∵a>c>0，∴0<e<1。

　　若设a不变，∵ ，易见，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆，因此，离心率反映了椭圆的扁平程度。

　　2．椭圆的第二定义

　　椭圆也可以看成是动点到定点F和到定直线1距离之比等于常数e（0<e<1）的点的轨迹，这就是椭圆的第二定义，在这个定义中，定点F是椭圆的一个焦点，定直线1叫做与该焦点对应的一条准线，而常数e就是椭圆的离心率。

　　由对称性可知，椭圆有两条准线，对于椭圆 ，与F（c，0）对应的准线方程是 ，与F′（－c，0）对应的准线方程是 ，如果椭圆方程是 ，则两条准线方程是 ，由第二定义可知，若M是椭圆上任一点，直线1是与焦点F对应的准线，M到1的距离为d，则|MF|=ed，利用这一关系可得椭圆上一点到焦点的距离转化为它到相应准线的距离，使运算简化。

　　3．椭圆的参数方程

　　从椭圆方程 联想三角公式 ，

　　若令 即 ，这就是椭圆的参数方程。

　　它间接地反映了椭圆上一点P（x，y）两个坐标之间的关系。

　　利用椭圆的参数方程研究有关最值问题时，不必通过普通方程来消元，而直接建立关于角参量的一元目标函数

椭圆的简单几何性质(1)复习：1.椭圆的定义:

到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。

2.椭圆的标准方程是：

3.椭圆中a,b,c的关系是:a2=b2+c2当焦点在X轴上时

当焦点在Y轴上时

1、范围：

-a≤x≤a, -b≤y≤b 知

椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中

椭圆的对称性

2、对称性：

从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。

从方程上看：

（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；

（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；

（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。

3、椭圆的顶点

令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？

令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？

*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。

*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。

a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

根据前面所学有关知识画出下列图形（1）（2）A1B1A2B2B2A2B1A1

4、椭圆的离心率

离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：

叫做椭圆的离心率。

[1]离心率的取值范围：

[2]离心率对椭圆形状的影响：0<e<11）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁

2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆

[3]e与a,b的关系:

|x|≤ a,|y|≤ b

关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称

(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)

(c,0)、(-c,0)

长半轴长为a,短半轴长为b. a>ba2=b2+c2|x|≤ a,|y|≤ b

关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称

(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)

(c,0)、(-c,0)

长半轴长为a,短半轴长为b. a>ba2=b2+c2|x|≤ b,|y|≤ a同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)

(0 , c)、(0, -c)同前同前同前例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,

它的长轴长是： 。短轴长是： 。

焦距是： 。 离心率等于： 。

焦点坐标是： 。顶点坐标是： 。

外切矩形的面积等于： 。108680

2、确定焦点的位置和长轴的位置

已知椭圆方程为6x2+y2=6

它的长轴长是： 。短轴长是： 。

焦距是： .离心率等于： 。

焦点坐标是： 。顶点坐标是： 。

外切矩形的面积等于： 。2练习1.

例3.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0），求椭圆的方程。

分类讨论的数学思想小结：本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌握 数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。

1．椭圆的简单几何性质

　　以方程

为例：

　　（1）范围：由方程可得|x|≤a，|y|≤b，因此椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。

　　（2）对称性：椭圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，它有两根对称轴，一个对称中心，一般地对于曲线f（x，y）=0，若以－y代y方程不变，则曲线关于x轴对称，若以－x代x方程不变，则曲线关于y轴对称；若同时以－x代x，以－y代y方程不变，那么曲线关于原点对称，应结合点P（x，y）分别关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标来理解和记忆。

　　（3）顶点：共有四个，即

，它们就是椭圆与坐标轴的交点，画椭圆时，可先画出这四个顶点，也就画出了椭圆的大致形状。

　　（4）离心率：

，在椭圆中，∵a>c>0，∴0<e<1。

　　若设a不变，∵

，易见，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆，因此，离心率反映了椭圆的扁平程度。

　　2．椭圆的第二定义

　　椭圆也可以看成是动点到定点F和到定直线1距离之比等于常数e（0<e<1）的点的轨迹，这就是椭圆的第二定义，在这个定义中，定点F是椭圆的一个焦点，定直线1叫做与该焦点对应的一条准线，而常数e就是椭圆的离心率。

　　由对称性可知，椭圆有两条准线，对于椭圆

，与F（c，0）对应的准线方程是

，与F′（－c，0）对应的准线方程是

，如果椭圆方程是

，则两条准线方程是

，由第二定义可知，若M是椭圆上任一点，直线1是与焦点F对应的准线，M到1的距离为d，则|MF|=ed，利用这一关系可得椭圆上一点到焦点的距离转化为它到相应准线的距离，使运算简化。

　　3．椭圆的参数方程

　　从椭圆方程

联想三角公式

，

　　若令

即

，这就是椭圆的参数方程。

　　它间接地反映了椭圆上一点P（x，y）两个坐标之间的关系。

　　利用椭圆的参数方程研究有关最值问题时，不必通过普通方程来消元，而直接建立关于角参量的一元目标函数

1．椭圆的简单几何性质

　　以方程

为例：

　　（1）范围：由方程可得|x|≤a，|y|≤b，因此椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。

　　（2）对称性：椭圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，它有两根对称轴，一个对称中心，一般地对于曲线f（x，y）=0，若以－y代y方程不变，则曲线关于x轴对称，若以－x代x方程不变，则曲线关于y轴对称；若同时以－x代x，以－y代y方程不变，那么曲线关于原点对称，应结合点P（x，y）分别关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标来理解和记忆。

　　（3）顶点：共有四个，即

，它们就是椭圆与坐标轴的交点，画椭圆时，可先画出这四个顶点，也就画出了椭圆的大致形状。

　　（4）离心率：

，在椭圆中，∵a>c>0，∴0<e<1。

　　若设a不变，∵

，易见，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆，因此，离心率反映了椭圆的扁平程度。

　　2．椭圆的第二定义

　　椭圆也可以看成是动点到定点F和到定直线1距离之比等于常数e（0<e<1）的点的轨迹，这就是椭圆的第二定义，在这个定义中，定点F是椭圆的一个焦点，定直线1叫做与该焦点对应的一条准线，而常数e就是椭圆的离心率。

　　由对称性可知，椭圆有两条准线，对于椭圆

，与F（c，0）对应的准线方程是

，与F′（－c，0）对应的准线方程是

，如果椭圆方程是

，则两条准线方程是

，由第二定义可知，若M是椭圆上任一点，直线1是与焦点F对应的准线，M到1的距离为d，则|MF|=ed，利用这一关系可得椭圆上一点到焦点的距离转化为它到相应准线的距离，使运算简化。

　　3．椭圆的参数方程

　　从椭圆方程

联想三角公式

，

　　若令

即

，这就是椭圆的参数方程。

　　它间接地反映了椭圆上一点P（x，y）两个坐标之间的关系。

　　利用椭圆的参数方程研究有关最值问题时，不必通过普通方程来消元，而直接建立关于角参量的一元目标函数

1．椭圆的简单几何性质

　　以方程

为例：

　　（1）范围：由方程可得|x|≤a，|y|≤b，因此椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。

　　（2）对称性：椭圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，它有两根对称轴，一个对称中心，一般地对于曲线f（x，y）=0，若以－y代y方程不变，则曲线关于x轴对称，若以－x代x方程不变，则曲线关于y轴对称；若同时以－x代x，以－y代y方程不变，那么曲线关于原点对称，应结合点P（x，y）分别关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标来理解和记忆。

　　（3）顶点：共有四个，即

，它们就是椭圆与坐标轴的交点，画椭圆时，可先画出这四个顶点，也就画出了椭圆的大致形状。

　　（4）离心率：

，在椭圆中，∵a>c>0，∴0<e<1。

　　若设a不变，∵

，易见，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆，因此，离心率反映了椭圆的扁平程度。

　　2．椭圆的第二定义

　　椭圆也可以看成是动点到定点F和到定直线1距离之比等于常数e（0<e<1）的点的轨迹，这就是椭圆的第二定义，在这个定义中，定点F是椭圆的一个焦点，定直线1叫做与该焦点对应的一条准线，而常数e就是椭圆的离心率。

　　由对称性可知，椭圆有两条准线，对于椭圆

，与F（c，0）对应的准线方程是

，与F′（－c，0）对应的准线方程是

，如果椭圆方程是

，则两条准线方程是

，由第二定义可知，若M是椭圆上任一点，直线1是与焦点F对应的准线，M到1的距离为d，则|MF|=ed，利用这一关系可得椭圆上一点到焦点的距离转化为它到相应准线的距离，使运算简化。

　　3．椭圆的参数方程

　　从椭圆方程

联想三角公式

，

　　若令

即

，这就是椭圆的参数方程。

　　它间接地反映了椭圆上一点P（x，y）两个坐标之间的关系。

　　利用椭圆的参数方程研究有关最值问题时，不必通过普通方程来消元，而直接建立关于角参量的一元目标函数

不具有。

圆的性质：

⑴圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理

①

在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。

直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

圆心角计算公式：　θ=(l/2πr)×360°=180°l/πr=l/r(弧度)。

即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

③

如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理

①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；

②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③r=2s△÷l（r：内切圆半径，s：三角形面积，l：三角形周长）。

④两相切圆的连心线过切点。（连心线：两个圆心相连的直线）

⑤圆o中的弦pq的中点m，过点m任作两弦ab，cd，弦ad与bc分别交pq于x，y，则m为xy之中点。

（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。

（5）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

（6）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

（7）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

（8）周长相等，圆面积比正方形、长方形、三角形的面积大。

椭圆性质：

1、范围：焦点在x轴上-a≤x≤a，-b≤y≤b；

焦点在y轴上-b≤x≤b,-a≤y≤a

2、对称性：关于x轴对称，y轴对称，关于原点中心对称。

3、顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）

4、离心率：或

e=√（1-b^2/a²）

5、离心率范围：0

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