柯西积分定理与留数定理有什么联系

全纯函数（holomorphic function）是复分析研究的中心对象；它们是定义在复平面C的开子集上的,在复平面C中取值的,在每点上皆复可微的函数.这是比实可微强得多的条件,暗示著此函数无穷可微并可以用泰勒级数来描述. ------- 在复分析中,一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数,那些孤立点称为该函数的极点. 每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比（其分母不恒为0）：极点也就是分母的零点. ------------ 我感觉一般遇到的没有奇异点的函数都是全纯啊. 恩,要求在每点上皆复可微

全纯函数 (holomorphic function) 是复理论研究的核心之一，它们是复流形到 C 的处处可微函数。全纯比实可微强很多，它直接推出函数无穷阶可微并可泰勒展开。“(复) 解析函数 (analytic function)” 可和 “全纯函数” 交换使用，但不常用，一般用来指实解析函数。在一点全纯 可推出在该点的某个开邻域可微。类似地，可以定义全纯多复变函数。全纯映射(holomorphic mapping) 是指两个复流形之间的局部全纯函数。

设开子集且 是一个单复变函数，称在 (复) 可微( [complex] differentiable) 或全纯，如果极限 存在。若 在 中处处可微，则称 在上全纯(holomorphic over )。

因为复微分是线性的，并且服从积、商、链式法则，所以全纯函数的和、积和复合是全纯的，而两个全纯函数的商在所有分母非 的地方全纯。每个全纯函数在每一点无穷可微。它和它自己的泰勒级数相等，而泰勒级数在每个完全位于定义域 内的开圆盘上收敛。泰勒级数也可能在一个更大的圆盘上收敛；例如，对数的泰勒级数在每个不包含0的圆盘上收敛，甚至在复实轴的附近也是如此。证明请参看全纯函数解析。全纯函数满足Cauchy-Riemann方组，该方程组含有两个偏微分方程，也可以用复偏导算子写成一个。在非 导数的点的附近，全纯函数是共形的 (或保角的，实际上就是相似在局部的推广)。因为它保持了图形的局部角度和形状 (但尺寸可能改变)。Cauchy 积分公式表明每个全纯函数在圆盘内的值由它在盘边界上的取值所完全决定。

所有关于 的复系数的多项式 函数在 上是全纯的.所有关于 的三角函数 和指数函数 也是 (三角函数和指数函数通过欧拉公式联系).对数函数的主支在集合 上全纯. 平方根函数可以定义为所以任何复对数 全纯的地方, 它也全纯. 函数 在 上全纯.不是全纯的函数的典型例子有复共轭 (complex conjugation) 和取实部 .

全纯函数就是解析函数，两者是完全等价的，就是不同的称呼罢了。

是的，全纯函数是定义在复平面C的开子集上的，在C中取值的函数，在每点复可微。

全纯函数就是解析函数，两者是完全等价的，就是不同的称呼罢了。

一个单复变函数全纯当且仅当它实可微并且满足 Cauchy-Riemann 方程.

纯量就是标量，不是向量。纯量函数，估计就是函数的值域不是向量，而是标量把

不是保角的，全纯函数只在非零导数点保角。以n=2为例，令?1(s)=s, ?2(s)=is，曲线?1与?2在原点处的夹角是pi/2。在f的作用下， f[?1(s)]=s^2依然为一条水平直线，而f[?2(s)]=-s^2变为一条沿着负x轴的直线，所以它们的夹角是pi，不再相等。

在某一点解析，意义为在这一点存在一个邻域，在这个邻域内处处可导。这是因为复解析函数具有特殊性质“无穷阶可微性”，即在它的解析域内（这里的解析当然是针对复变函数的解析概念来说的），具有任意阶导数。而实函数却没有这样的性质。故复变函数解析的概念同样等价于拉格朗日的表述。定义：若函数在某点z以及z的临域处处可导，则称函数解析。特点：可导不一定解析，解析一定可导。临域的概念比较复杂，要有微积分比较基础的知识，判别方法，对于二元实函数，需要满足柯西黎曼方程即C-R方程。例：1、设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内确定,那么f(z)点z=x+iy∈D可微的充要条件是在点z=x+iy,u(x,y)及v(x,y)可微,并且əu/əx=əv/əy,əu/əy=-əv/əx。2、设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内确定,那么f(z)在区域D内解析的充要条件是：u(x,y)及v(x,y)在D内可微,而且在D内成立əu/əx=əv/əy,əu/əy=-əv/əx。

函数图像和x坐标轴的焦点就叫零点3、数学中的零点：对于函数y=f(x)，使得f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点.这样,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数根〓函数y=f(x)的图像与x轴有交点〓函数y=f(x)有零点由此可知,求方程f(x)=0的实数根,就是确定函数y=f(x)的零点.一般的,对于不能用公式法求根的方程f(x)=0来说,我们可以将它与函数y=f(x)联系起来,利用函数的性质找出零点,从而求出方程的根.对全纯函数f，称满足f(a)=0的复数a为f的零点。代数基本定理说明，任何一个不是常数的复系数多项式在复平面内都至少有一个零点。这与实数的情况不一样：有些实系数多项式没有实数根。一个例子是f(x)=x2+1。全纯函数的零点有一个重要的性质：零点都是孤立的。也就是说，对于全纯函数的任何一个零点，都存在一个领域，在这个领域内没有其它零点。

黎曼zeta函数公式：ζ(s)=∑n=1∞1nszeta(s)=sum。黎曼ζ函数主要和“最纯”的数学领域数论相关，它也出现在应用统计学和齐夫-曼德尔布罗特定律（Zipf-Mandelbrot Law））、物理，以及调音的数学理论中。在区域{s:Re(s)>1}上，此无穷级数收敛并为一全纯函数（其中Re表示复数的实部，下同）。欧拉在1740考虑过s为正整数的情况，后来切比雪夫拓展到s>1。波恩哈德·黎曼认识到：ζ函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域（s,s≠1）上的全纯函数ζ（s）。这也是黎曼猜想所研究的函数。黎曼函数定义在[0,1]上，其基本定义是：R(x)=1/q，当x=p/q(p,q都属于正整数，p/q为既约真分数)；R(x)=0，当x=0，1和(0,1)内的无理数。黎曼ζ函数ζ（s）的定义如下： 设一复数s，其实数部分> 1而且：它亦可以用积分定义：在区域{s: Re(s) > 1}上，此无穷级数收敛并为一全纯函数（其中Re表示复数的实部，下同）。欧拉在1740考虑过s为正整数的情况，后来切比雪夫拓展到s>1。波恩哈德·黎曼认识到：ζ函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域（s,s≠ 1）上的全纯函数ζ（s）。这也是黎曼猜想所研究的函数。

1、含义不同。解析函数指的是函数可以解析，而函数不解析是指虽然是解析函数但是不能够解析。2、复杂程度不同。解析函数是比较直观的，可以一眼就看出来。而函数不解析比较复杂，不能够解析。3、包含范围不同。解析函数一般都包括初等函数，较为广泛。而函数不解析包含的较少，只有共轭函数不可以解析，为函数不解析。扩展资料俩种解析函数的边值问题：1、黎曼边值问题：设l为复平面上一组有向的光滑曲线，把平面分割为若干个连通区域,要求一分区全纯函数(即在上述每一个连通区域内全纯而φ +(t)和φ -(t)分别表示当z从l的正侧（即沿l正向前进时的左侧）和负侧(右侧)趋于l上一点时φ(z)的极限值亦即边值。此外还应补充要求φ(z)在无穷远处至多有一极点。如果l中含有开口弧段，则也应说明要求φ(z)在l的端点附近的性态:具有不到一阶的奇异性。在G(t),g(t)满足一定的条件时,这一问题已完全解决。2、希尔伯特边值问题：设G为一区域，l为其边界，取其正向使G在其左侧，要求在G内的一全纯函数φ(z)，使 (2)式中α(t)，b(t),с(t)都是l上已给的实函数。特别,当α(t)=1,b(t)=0时，则此希尔伯特边值问题就是解析函数的狄利克雷问题。参考资料：百度百科-解析函数的边值问题

　　杨乐，著名数学家，江苏南通人，1939年11月10日生，中国科学院院士、数学研究所研究员、博士生导师，由于在函数模分布论、辐角分布论、正规族等方面的研究成果突出，获得华罗庚数学奖， 　　杨乐1956年起就读于北京大学数学力学系，1962年毕业后，考入中国科学院数学研究所做研究生，1966年毕业即从事数学研究工作，其问，1977年任副研究员，1979年任研究员，1982年任数学研究所副所长，1987年起任数学研究所所长，先后当选为第六、七、八届全国政协委员，第五、六届全国青年联合会副主席，中国科协全国委员会第三届委员、第四届常委，中国数学会常务理事、秘书长、理事长；先后担任第三届国务院学位委员会委员、第一、二、三、届国务院学位委员会数学评议组成员，中国科学院基金委员会委员，第三、四届全国自然科学奖励委员会委员，《数学学报》主编，《Results in Mathematics》、《中国科学》、《科学通报》编委等职，1980年11月当选为中国科学院数学物理学部学部委员， 　　杨乐在复分析特别是整函数与亚纯函数的值分布理论方面有系统的、深入的研究，其成果获得了国内外同行的高度评价和广泛引用，主要研究成果有：合作研究了整函数与亚纯函数的亏值与波莱尔方向间的联系，首次在这两个基本概念问建立了紧密和准确的关系；对亚纯函数及其导数的总亏量给予了精确估计，回答了区律欣(D·Drasin)提出的几个问题：引进了亏函数的概念。证明了下级为有究的亚纯函数的亏函数至多是可数的，并给亏量以适当的估计，该课题在80年代为国际上同行所重视：对亚纯函数的奇异方向进行了深入研究，引进了新的奇异方向，对奇异方向的分布给出了简单明了的充要条件(其中部分工作与他人合作)；对全纯与亚纯函数的正规族作了系统研究，获得了一些新的正规定则，并建立了正规族与不动点之间的联系；与英国一著名数学家合作研究了角域内全纯与亚纯函数的正规族作了系统研究，获得了一些新的正规定则，并建立了正规族与不动点之间的联系；与英国一著名数学家合作研究了角域内全纯函数的增长与取值问题，解决了著名数学家立特活德的一个猜想；证明了有穷下级为μ的整函数，若其级不低于μ的波莱尔方向数目为有究，则它和所有各级原函数的有究非零亏值数目总和不超过2μ；还将海曼基本不等式两个主项的系数大大降低，成为目前这个课题最好的结果，他于1978年获全国科学大会奖，1982年与张广厚获国家自然科学二等奖， 　　多年来，杨乐发表了60余篇学术论文和2本专著，编辑了5本论文集，其专著获1983年全国优秀科技图书一等奖和首届国家图书奖(1994年)。 　　1979年以来，杨乐先后在美国康乃尔大学、普渡大学、瑞典皇家科学院、美国普林斯顿高等研究所、哈佛大学、圣母大学担任访问教授，应邀到美国、英国、俄罗斯、德国、日本、瑞典、芬兰等国的50多所大学和研究所作学术演讲。在10余次国际学术会议上作主报告或邀请报告，

，φ（z）可能的奇点是g（z）的零点，但由于|f（z）|≤|g（z）|，g（z）的零点必是φ（z）的可去奇点，否则设g（z）的零点a，a是φ（z）的极点，有，于是存在a的一个去心邻域内有|φ（z）|＞1，则在该去心邻域内|f（z）|>|g（z）|，与题设矛盾，所以适当定义后φ（z）也在复平面解析，且所以φ（z）是有界整函数，根据刘维尔定理，φ（z）必为常数λ，所以f（z）=λg（z）

解不等式，得x收敛域

数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科，有时也称多复分析。它虽然有着经典的单复变函数的渊源，但由于其特有的困难和复杂性，在研究的重点和方法上，都和单复变函数论（见复变函数论）有显著的区别。因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性质的逐步的转移。它广泛地使用着微分几何学、代数几何、李群、拓扑学、微分方程等相邻学科中的概念和方法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域。

因为柯西定理。柯西积分定理，是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理。柯西积分定理说明，15阶群必有3阶元素，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。另一个等价的说法是，单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0。

在上述条件下 ，若 L=L0+…+L即D由L0，，…，L所围成，作为柯西积分定理的应用，有同样可作为解析函数充要条件的柯西积分公式：f（z）在上连续 ，在D内解析的充要条件是。柯西积分定理指出，如果全纯函数的闭合积分路径没有包括奇点，那么其积分值为0；如果包含奇点，则外部闭合路径正向积分的值等于包围这个奇点的内环上闭合路径的正向积分值。柯西积分公式是证明一系列解析函数重要性质的工具，首先是证明了圆盘上的解析函数一定可展为幂级数 ，从而证明了 A.-L.柯西与K.魏尔斯特拉斯关于解析函数两个定义的等价性 ，其次证明了解析函数是无限次可微的，从而其实部与虚部也是无限次可微的调和函数。柯西积 分定理 已推广到沿同 伦曲线或沿同调链 积分的形式。柯西积分公式在多复变函数中也有许多不同形式. 简单的说，定义如下：设C是一条简单闭曲线，函数f（z）在以C为边界的有界区域D内解析，那么有:f(z)对曲线的闭合积分值为零。 （注:f(z）为复函数）（上述定义直接证明是比较困难的 在加上f(z)的导数在c上连续这个条件后，黎曼于1851年运用格林公式给出了简明的证明过程 1900年古萨给出了正式的证明）U是单连通的条件，意味着U没有“洞”，例如任何一个开圆盘U= {z: |z−z0 | <r}都符合条件，这个条件是很重要的，考虑以下路径它是一个单位圆，则路径积分不等于零；这里不能使用柯西积分定理，因为f(z) = 1/z在z = 0处没有定义。

简单分析一下即可，答案如图所示

数学与信息科学学院成立于2000年，数学学科的发展源于上世纪五十年代成立的河北师范大学数学系和河北师范学院数学系。河北师范大学数学系成立于1950年初，由天津河北师范学院筹备建立的理化系在1952年分立的数学系发展而来，1956年8月迁至石家庄建立石家庄师范学院数学系，并于1962年更名为河北师范大学数学系；河北师范学院数学系源于1951年河北师范专科学校的数学科，1956年改为河北北京师范学院数学系，1961年北京铁道师范学院数学系并入，1969年迁至张家口市宣化更名为河北师范学院数学系，1981年迁至石家庄市。而河北教育学院数学系成立于1986年。1998年11月原河北师范大学数学系、河北师范学院数学系、河北教育学院数学系合并成立了河北师范大学数学系，2000年1月与河北师范大学计算机系合并成立了数学与信息科学学院。　　学院现有数学和计算机两个学科，拥有数学博士学位授权一级学科，科学技术史、计算机科学与技术、软件工程等硕士授权一级学科和计算机技术工程专业硕士学位授予权，设有数学博士后科研流动站。数学学科是河北省24个强势特色学科之一，河北省政府每年投入400多万元用于学科建设，河北省政府批准设立了“河北省数学中心”和“河北省计算数学与应用重点实验室”两个平台，河北省数学会挂靠在学院。学院现有在职教师140名，具有博士学位的教师45名，在校本科生1687名，硕士研究生196名，博士研究生20名，各类成人教育学员680余人，各类培训学员近千人。　　学院现在每年招收400多名本科、100余名硕士、博士研究生。六十多年来培养了22000余名学生，有的已成为高校及研究机构的专家和学术骨干，有的成为国外高校的知名学者，有的成长为省、市级领导干部，绝大部分成为基础教育的骨干力量。如：国家杰出青年基金获得者刘建亚教授、李增沪教授、刘培东教授，中科院百人计划获得者赵开明教授，美国国家基金委员会委员王军平教授，河北省副省长张和，河北省文化厅厅长张妹芝，苏步青数学教育奖获得者刘贵、张强等。　　经过多年的建设与发展，基础研究取得了长足的发展，近年来共主持国家自然科学基金34项。发表论文有147篇被SCI收录，由World Scientific、Springer和科学出版社等出版学术专（译）著11部，获得专利4项。在应用研究方面也取得了突破性的进展。运用小波分析和余弦变换，成功开发了“基于3G的移动视频自适应系统”，获得国家科技部火炬中心资助，并获得国家专利进入市场推广阶段。应用这一技术建成的“数字北戴河”，使北戴河成为国内首个拥有应用于旅游行业的360度全景视频服务系统的城市。为河北省人口和计划生育委员会开发的“河北省人口和计划生育信息化系统”，构建了人口、地域、经济、资源、环境等多个维度的人口数字化模型和公共服务平台，在全国率先建立了省级人口宏观管理与决策信息系统和人口多维辅助决策系统，受到了国家人口计生委的高度评价，并向全国推广。　　目前，数学学科已经形成了若干个在全国甚至在国际上有影响力的研究方向，如：代数与代数组合、代数拓扑与微分拓扑、微分动力系统、算子逼近与复分析、组合设计与组合几何、算子代数、量子计算与智能计算、近现代数学史等，这些方向不但取得了优异的研究成果，而且还形成了合理的研究梯队，正在并继续支撑着学院的发展。　　代数与代数组合方向在万哲先院士的支持和帮助下，在王仰贤教授的带领下，形成了一支优秀的研究团队，在李群李代数以及二十世纪九十年代开始的对于结合方案的研究工作中取得了优异的成绩，出版专著《矩阵结合方案》，获河北省科学技术进步一等奖一项，并主持多项国家自然科学基金。培养了中科院百人计划获得者赵开明教授等优秀人才。在结合代数与环论的研究方面，以朱元森教授为代表的研究队伍，得到了一批在全国有影响力的研究成果，主持召开的“环与根论国际学术会议”以及“数学辞海”第二卷的编纂工作在国际国内都产生了很好的影响。 　　代数拓扑与微分拓扑是数学学科主要研究方向之一，以吴振德教授为创始人和带头人的拓扑学研究团队自上世纪五十年代以来，在该方向的研究中取得了丰硕的研究成果，发表高水平学术期刊发表论文80余篇，有的在国际上处于领先地位，获得了同行的广泛关注。该团队获得多项国家自然科学基金资助，获得省部级科技成果奖三项。　　微分动力系统研究梯队始建于上个世纪七十年代末，在陈藻平教授和何连法教授的带领下，围绕动力系统理论中的核心研究问题，作出了一系列重要而独具特色的研究成果，在国内外动力系统学界赢得了广泛赞誉。多次获得国家自然科学基金的资助，研究成果三次获得河北省科技进步奖，该团队还被同行赞誉为是国内动力系统研究和人才培养的重要基地，北京大学国家“杰出青年科学基金”获得者刘培东教授为杰出代表，团队的年轻教师朱玉峻教授入选了“教育部新世纪优秀人才支持计划”。该团队成功举办了全国“2012动力系统及相关课题学术会议”。　　组合设计与组合几何研究团队形成于上世纪八十年代，康庆德教授、丁仁教授在国外留学回来后开始发展起来的，是我国最早从事该领域研究的科研团队之一，现已构成一支优秀的研究团队，组合论的研究在国内外已经处于领先地位。三十多年来，该团队在区组设计的大集与超大集、图设计的大集与超大集等领域进行了一系列开拓性的工作，并得到了许多国际瞩目的研究成果；在铺砌与分划、三角剖分等问题的研究中取得了突出成绩，研究成果发表在国际权威学术刊物及国内重要刊物上。自1991年至今该团队一直得到国家自然科学基金的资助，并获得教育部自然科学奖一项，河北省科技进步奖四项。该团队还培养了一大批组合论方面的优秀研究人才，如常彦勋教授、雷建国教授、苑立平教授等。　　算子逼近与复分析是函数论中的重要分支，郭顺生教授与黄沙教授是国内较早从事该领域研究的学者。上世纪八十年代以来，该团队用概率方法解决算子对有界变差函数逼近的问题，并得到了开创性成果。此后，用统一光滑模对算子逼近的等价定理和拟中插式算子的逼近等问题进行了完整系统的刻划，填补了国际上有关研究的空白。在复方程函数理论及边值问题，Clifford数不可交换性、典型群上的调和分析以及相应于非欧度量下流形上的全纯函数性质等研究方面取得了一定的突破，该团队先后获得河北省科技进步奖2项，主持完成国家自然科学基金多项，并在Springer出版社出版专著一部。　　由河北省“燕赵学者”蒋春澜教授所领导的算子理论与算子代数研究团队，近十几年来，引入复几何、K-群及指标理论，在算子理论与算子代数分类方面取得了一系列在国际上有较大影响力的研究成果，相关论文发表在国际顶尖杂志《Inventiones Mathematicae》和《Advances in Mathematics》上。相应研究成果已获得国家教育部二等奖一项，河北省科技进步一等奖一项，河北省自然科学一等奖一项。获得国家自然科学重点基金，杰出青年基金B类，及多项国家自然科学基金资助。所培养的博士生纪奎的博士论文2010年获全国优秀博士学位论文，是截止当年全国12届评选出的49篇数学优博论文中，唯一来自地方高校数学学科的一篇。该团队还成功举办了国际数学家大会“算子代数与应用卫星会议”及多次国际学术会议。 　　此外，学院在应用概率与精算数学、人工智能、学科教学论、计算机辅助设计与图形图像处理、智能仪器与虚拟仪器研究、密码学与网络安全、计算机网络等研究方面也取得了很好的成绩，受到了国内外同行的高度评价。

《三十年来的苏联数学 1917-1947 复变函数论》（А·Ф·卞尔曼脱）电子书网盘下载免费在线阅读链接: https://pan.baidu.com/s/1HPvpKe7u5KRWKRI3_2yBDQ 提取码: 69f7     书名：三十年来的苏联数学 1917-1947 复变函数论作者：А·Ф·卞尔曼脱译者：陈建功出版社：科学出版社出版年份：1957页数：146内容简介：本书系统介绍了全纯函数的Cauchy积分理论及其应用、Weierstrass级数理论及其应用、Riemann共形映射以及函数空间等，主体内容特别是几何函数论精练清楚，可视化较好便于理解，同时面向现代化的后续研究特别是侧重于解析函数函数空间及其对信号处理的应用。

亚纯函数（meromorphic function）在区域D上有定义，且除去极点之外处处解析的函数。比如有理函数就是在扩充复平面上的亚纯函数，它是两个多项式的商而Q（z）的零点是R（z）的极点，即R（z）有有限多个极点，∞点是R（z）的极点或可去奇点。复平面上不是有理函数的亚纯函数称为超越亚纯函数。　　例如ctg( z)就是超越亚纯函数，它以kπ为全部极点，超越亚纯函数一定有无限多个极点。有理函数可以分为部分分式，即其中｛ak｝是R( z )的全部极点 ，Pk( u )是多项式 ， 当∞点是l0阶极点时，P0(z)是l0阶多项式 。 复平面上的超越亚纯函数也有一个部分分式分解定理 ， f(z)是以｛ak｝为极点集的超越亚纯函数，设f(z)在极点ak处罗朗展式的主部为，Pk(u)是一个多项式，于是f(z)可表作：中g(z)是整函数 ，hk(z)是适当选取的多项式。 对于超越亚纯函数有一个类似毕卡定理的结果 ：f(z)是超越亚纯函数，则最多除去两个例外值外 ，对所有其他值W， f(z)－W一定有无穷多个零点。 　　--------------------------------------------------------------------------------　　在复分析中，一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点。这样的函数有时称为正则函数或者在D上正则。 　　每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比（其分母不恒为0）：极点也就是分母的零点。 　　Image:Gamma abs.png 　　Γ函数在整个复平面上亚纯直观的讲，一个亚纯函数是两个性质很好的（全纯）函数的比。这样的函数本身性质也很“好”，除了分式的分母为零的点，那时函数的值为无穷。 　　从代数的观点来看，如果D是一个连通集，则亚纯函数的集合是全纯函数的整域的分式域。

1.常值函数是初等函数中最简单的一种,2.就是值域只包含一个元素的函数;3.换句话说,就是因变量取固定值的函数。4.复变函数论中的刘维尔定理告诉人们:平面上的有界全纯函数只能是常值函数。5.常值函数是周期函数,但没有最小正周期

以下3者成立：①左右导数存在且相等是可导的充分必要条件。②可导必定连续。③连续不一定可导。所以，左右导数存在且相等就能保证该点是连续的。仅有左右导数存在且该点连续不能保证可导：例如y=|x|在x=0点。扩展资料：相对于初等数学而言，数学的对象及方法较为繁杂的一部分。广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。主要内容包括：极限、微积分、空间解析几何与线性代数、级数、常微分方程。如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。称  是  连续的，如果其导函数存在且是连续的。称  是  连续的，如果其导数是  的。一般地，称  是  连续的，如果其1阶，直到k阶导数存在且是连续的。若  任意阶导数存在，则称  是光滑的，或  的。全体  函数类构成Banach空间。在复分析中，称函数是可导的，如果函数在定义域中每一点处是全纯的。复函数可导等价于Cauchy–Riemann方程 [2]  。即，若  可导当仅当  满足下列方程：或等价地写成充分必要条件也即充要条件，意思是说，如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p ，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果有事物情况B，则必然有事物情况A，那么B就是A的充分必要条件 ( 简称：充要条件 )，反之亦然 。参考资料：百度百科-可导函数 百度百科-充分必要条件

所谓奇点，就是出问题的点。问题中提到的三类奇点，前提必须是孤立的。换言之函数f在去心圆盘B(a,r){a}中全纯（保证a的孤立性）：若f(z)在a附近有界,称a为f的可去奇点。因为根据Riemann的奇点定理可以知道此时f(z)在a处的极限存在,因此可增加定义a点的函数值为极限值，利用Morera可证f全纯。可去之意由此而来！若f(z)在a处的极限为∞,则称之为极点。因为此时a是1/f的可去奇点！若极限不存在，称之为本性奇点

利用Morera定理即可。设f的不全纯集合为线段L.任取D内一条闭曲线γ,如果线段γ与L五公共点，直接用Cauchy积分定理即可f在γ上积分为零；如果γ与L有交点，仅需添加割线即可由L将γ内部一份为二；而在两部分上分别满足Cauchy积分定理的条件，因而积分为零。根据Morera定理，f全纯

react 是现在最流行的 JavaScript 库之一。使用 react 可以非常轻松地创建 Web 用户交互界面。 它的成功有很多因素，但也许其中一个因素是清晰有效的编程方法。 在 React 的世界中， UI 是由一个一个组件所组成的。组件可以组合在一起以创建其他组件， 应用本身就是一个包含了所有组件的一个大组件。开发者使用 React 会很容易联想到：面向对象编程 。因为定义组件的语法本身，就会给人这种感觉： 然鹅，在面向对象的的表象之下， React 隐藏了一种函数式的特质。让我们看看这些特质都是什么？ React 组件的一大特征是是包含了 render() 方法。没有包含 render() 方法的组件不是 React 组件。render() 方法总会返回一个 React 元素，这种行为就像是组件的一种特征一样。换句话说， React 会要求任何组件必须有输出。组件是根据输入来返回输出的，这样来考虑组件的话，就会让你感觉组件更像一个函数，而不是一个对象。 实际上，您不仅可以将 React 组件视为函数。 您还可以用函数来实现组件。 以下代码展示了如何使用函数实现上面定义的组件： 如您所见，它是一种实现组件的简单而紧凑的方法。 此外，您可以将参数传递给函数： 在上面的示例中，您传递了 props 参数，这里的 props 对象用于将数据从一个组件传递到另一个组件。 如你所知，props 是不可改变的，你可以阅读他们，但你无法改变它们。这也正是 React 组件的函数特性之一。props 是组件的输入参数，因此给予其不可变性可以避免副作用。实际上，这也是函数式编程的基本原则之一：函数不能更改输入参数。 关于 React，它的另一个特性就是 单项数据流 。这意味着在组件的层次结构中，数据必须从较高的组件流向较低的组件，反之亦然。如果我们将组件视为对象，这个观点就会显得有些牵强。相反，如果我们从函数的角度去考虑组件，就会显得很自然。 考虑一下下面的代码： 例子中有两个组件：App 组件使用 Hello 组件来展示 “Hello React!” 。同时，例子中也 隐式 的定义了组件之间的层次结构。但是乍一看，无法通过 name 属性来来看清楚数据的流向。 现在，让我们来看看使用函数修改之后的代码： 通过上面组件的层级结构可以清楚的看出，不过是 App() 和 Hello()，两个函数的组合。你也可以将其视为下面的内容： 从上面的例子中就可以很明显的看出， “React” 文本是怎样在 App 组件中传递的了。 在面向对象的编程范例中，对于类，很容易将继承视为一种标准。 但是，如果从函数的角度考虑 React 组件，继承就会显得不那么自然。 例如，假设您要升级 Hello 组件，以便它还可以显示 “欢迎消息” 。 您可以将其与 Hello 组件组合来创建新组件，比如下面的例子： 正如 Facebook团队 所宣称的那样，真的很少需要继承。 高阶组件是 React 编程中的常见模式。 它允许重用组件逻辑来创建新组件。 简单来说，高阶组件是一个函数，它将一个组件作为输入并返回一个新组件作为其输出。 以下是高阶组件的示例： 函数 AddWelcome() 接受 GreetingComponent 参数，并在新组件 TheNewComponent 定义的 render() 方法中使用它。 这个新组件只是在 GreetingComponent 的输出后添加一条欢迎消息。 最后，函数 AddWelcome()会返回新组件。 您可以使用此功能，如以下示例所示： 通过使用 AddWelcome() 包装 Hello 组件，您将获得一个新组件。 您可以将上面例子中的高阶函数 AddWelcome() 用函数的方式来重新整理： 如你所见，这就像是一个高阶函数，这个函数接受一个函数，返回一个新的 React 元素。 广州品牌设计公司https://www.houdianzi.com PPT模板下载大全https://redbox.wode007.com 应用程序的状态是随时间变化的数据集。 函数式编程范例旨在避免在应用程序中使用状态。 实际上，应用程序状态管理是软件开发中复杂性的主要来源之一。 但是，由于你不能没有它，至少你应该尝试限制它的使用并使其更易于管理。 React 的开发指南促进了无状态组件的创建，即无 state 组件。 这种组件的输出仅仅取决于传入的 props。 无状态组件看起来很像纯函数，实际上也是如此。 但是，如您所知，在不使用 state 的情况下无法编写复杂的应用程序。 诀窍是在应用程序的几个点上隔离 state ，如果在一个点上更好。 此策略会要求开发人员在根组件中使用状态提升。 换句话说，应该在上层节点中保留状态，而其后代应该是无状态组件。 这样，我们可以更好地控制状态，因为它只由单个根组件管理。 对于刚开始使用 React 的开发者来说，React 并不是像看起来那样，它更加适合函数式编码的原则，而不是面向对象的原则。通常，这允许开发者编写更加正式可验证的代码，例如使用自动化测试来测试应用程序。 我建议充分利用 React 的函数特性来编写更易于维护的代码。

现在很多人都在使用excel，那么，下面就来讲一下将excel中公式结果变成普通数值或文本格式的方法，一起来看看吧！ 1、 首先打开excel软件，并输入相关的信息。 2、 右击带有公式的单元格，选择“设置单元格格式”。 3、 点击“数值”，接着可以设置小数位数，设置好之后，点击“确定”。 4、 就是图示这样。 5、 同样的选择“文本”格式，并点击“确定”。 6、 最后就是图示的样子。 以上就是关于如何将excel中公式结果变成普通数值或文本格式的全部内容。

高考数学基础知识汇总第一h部分7 集合（3）含n个f元f素的集合的子u集数为34^n,真子e集数为15^n－3；非空真子v集的数为17^n-2；（3） 注意：讨论的时候不w要遗忘了k 的情况。（3） 第二t部分8 函数与u导数 5．映射：注意 ①第一g个n集合中8的元z素必须有象；②一c对一v，或多对一r。 8．函数值域的求法：①分6析法 ；②配方2法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元i法 ；⑥利用均值不f等式 ； ⑦利用数形结合或几u何意义b（斜率、距离、绝对值的意义p等）；⑧利用函数有界性（ 、 、 等）；⑨导数法 0．复合函数的有关问题（6）复合函数定义i域求法： ① 若f(x)的定义s域为4〔a，b〕,则复合函数f[g(x)]的定义q域由不d等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定义n域为7[a,b],求 f(x)的定义p域，相当于kx∈[a,b]时，求g(x)的值域。（3）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数 分8解为1基本函数：内1函数 与p外函数 ； ②分2别研究内7、外函数在各自定义n域内8的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义v域内5的单调性。注意：外函数 的定义t域是内5函数 的值域。 7．分1段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分1段解决，再下v结论。 2．函数的奇偶性 ⑴函数的定义s域关于h原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； ⑵ 是奇函数 ； ⑶ 是偶函数 ； ⑷奇函数 在原点有定义s，则 ； ⑸在关于p原点对称的单调区h间内5：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反5的单调性；（4）若所给函数的解析式较为0复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 1．函数的单调性 ⑴单调性的定义j： ① 在区r间 上g是增函数 当 时有 ； ② 在区z间 上u是减函数 当 时有 ； ⑵单调性的判定 0 定义h法：注意：一v般要将式子o 化5为3几l个d因式作积或作商的形式，以1利于j判断符号； ②导数法（见1导数部分2）； ③复合函数法（见74 （7））； ④图像法。注：证明单调性主要用定义j法和导数法。 5．函数的周期性 (1)周期性的定义m：对定义m域内6的任意 ，若有 （其中4 为0非零常数），则称函数 为7周期函数， 为2它的一w个t周期。所有正周期中6最小u的称为0函数的最小k正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小k正周期。（1）三s角函数的周期 ① ；② ；③ ； ④ ；⑤ ； ⑶函数周期的判定 ①定义d法（试值） ②图像法 ③公5式法（利用（7）中1结论） ⑷与t周期有关的结论 ① 或 的周期为5 ； ② 的图象关于x点 中5心7对称 周期为00 ； ③ 的图象关于i直线 轴对称 周期为52 ； ④ 的图象关于q点 中1心7对称，直线 轴对称 周期为46 ； 2．基本初等函数的图像与k性质 ⑴幂函数： （ ；⑵指数函数： ； ⑶对数函数: ；⑷正弦函数: ； ⑸余弦函数： ；（1）正切3函数： ；⑺一n元u二w次函数： ； ⑻其它常用函数： 0 正比1例函数： ；②反4比8例函数： ；特别的 6 函数 ； 0．二t次函数： ⑴解析式： ①一g般式： ；②顶点式： ， 为4顶点； ③零点式： 。 ⑵二g次函数问题解决需考虑的因素： ①开b口i方8向；②对称轴；③端点值；④与r坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。 ⑶二i次函数问题解决方2法：①数形结合；②分7类讨论。 30．函数图象： ⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三r角函数的五m点作图）②图象变换法③导数法 ⑵图象变换： 0 平移变换：ⅰ ，0 ———“正左负右” ⅱ ———“正上w负下v”； 6 伸缩变换： ⅰ ， （ ———纵坐标不g变，横坐标伸长6为8原来的 倍； ⅱ ， （ ———横坐标不v变，纵坐标伸长5为2原来的 倍； 7 对称变换：ⅰ ；ⅱ ； ⅲ ； ⅳ ； 3 翻转变换： ⅰ ———右不q动，右向左翻（ 在 左侧图象去掉）； ⅱ ———上b不x动，下n向上r翻（| |在 下d面无q图象）； 51．函数图象（曲线）对称性的证明 (2)证明函数 图像的对称性，即证明图像上t任意点关于q对称中8心1（对称轴）的对称点仍2在图像上b；（4）证明函数 与m 图象的对称性，即证明 图象上g任意点关于w对称中8心6（对称轴）的对称点在 的图象上w，反0之w亦然；注： ①曲线C4:f(x,y)=0关于l点（a,b）的对称曲线C4方4程为8：f(1a－x,8b－y)=0; ②曲线C7:f(x,y)=0关于g直线x=a的对称曲线C4方7程为7：f(1a－x, y)=0; ③曲线C1：f(x,y)=0,关于yy=x+a(或y=－x+a)的对称曲线C0的方8程为5f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0); ④f(a+x)=f(b－x) （x∈R） y=f(x)图像关于c直线x= 对称；特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R） y=f(x)图像关于h直线x=a对称； ⑤函数y=f(x－a)与ry=f(b－x)的图像关于b直线x= 对称； 54．函数零点的求法： ⑴直接法（求 的根）；⑵图象法；⑶二m分7法。 27．导数 ⑴导数定义o：f(x)在点x0处的导数记作 ； ⑵常见7函数的导数公3式: ① ；② ；③ ； ④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ； ⑧ 。 ⑶导数的四则运算法则： ⑷（理科）复合函数的导数： ⑸导数的应用： ①利用导数求切2线：注意：ⅰ所给点是切3点吗？ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切1线？ ②利用导数判断函数单调性： ⅰ 是增函数；ⅱ 为1减函数； ⅲ 为0常数； ③利用导数求极值：ⅰ求导数 ；ⅱ求方8程 的根；ⅲ列表得极值。 ④利用导数最大e值与f最小x值：ⅰ求的极值；ⅱ求区v间端点值（如果有）；ⅲ得最值。 12．（理科）定积分5 ⑴定积分4的定义g： ⑵定积分4的性质：① （ 常数）； ② ； ③ （其中6 。 ⑶微积分4基本定理（牛6顿—莱布尼兹公1式）： ⑷定积分5的应用：①求曲边梯形的面积： ； 5 求变速直线运动的路程： ；③求变力d做功： 。第三j部分3 三u角函数、三c角恒等变换与p解三j角形 3．⑴角度制与b弧度制的互5化7： 弧度 ， 弧度， 弧度 ⑵弧长5公7式： ；扇形面积公1式： 。 1．三e角函数定义m：角 中4边上g任意一i点 为6 ，设 则： 6．三a角函数符号规律：一o全正，二p正弦，三v两切6，四余弦； 1．诱导公3式记忆1规律：“函数名不y（改）变，符号看象限”； 3．⑴ 对称轴： ；对称中2心6： ； ⑵ 对称轴： ；对称中0心2： ； 6．同角三v角函数的基本关系： ； 7．两角和与v差的正弦、余弦、正切8公0式：① ② ③ 。 8．二a倍角公5式：① ； ② ；③ 。 4．正、余弦定理： ⑴正弦定理： （ 是 外接圆直径 ）注：① ；② ；③ 。 ⑵余弦定理： 等三p个t；注： 等三y个e。 40。几b个z公1式: ⑴三q角形面积公8式： ； ⑵内3切3圆半径r= ；外接圆直径0R= 58．已z知 时三j角形解的个t数的判定： 第四部分7 立体几v何 2．三x视图与h直观图：注：原图形与c直观图面积之x比0为0 。 8．表（侧）面积与t体积公0式： ⑴柱体：①表面积：S=S侧+5S底；②侧面积：S侧= ；③体积：V=S底h ⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧= ；③体积：V= S底h： ⑶台体：①表面积：S=S侧+S上o底S下j底；②侧面积：S侧= ；③体积：V= （S+ ）h； ⑷球体：①表面积：S= ；②体积：V= 。 8．位置关系的证明（主要方8法）： ⑴直线与w直线平行：①公3理8；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。 ⑵直线与k平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行 线面平行。 ⑶平面与b平面平行：①面面平行的判定定理及u推论；②垂直于f同一b直线的两平面平行。 ⑷直线与x平面垂直：①直线与u平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。 ⑸平面与p平面垂直：①定义k---两平面所成二r面角为5直角；②面面垂直的判定定理。注：理科还可用向量法。 5。求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角） ⑴异面直线所成角的求法： 3 平移法：平移直线，8 构造三j角形； 2 ②补形法：补成正方1体、平行六6面体、长6方6体等，3 发现两条异面直线间的关系。注：理科还可用向量法，转化1为6两直线方2向向量的夹角。 ⑵直线与w平面所成的角： ①直接法（利用线面角定义b）；②先求斜线上a的点到平面距离h，与y斜线段长7度作比3，得sin 。注：理科还可用向量法，转化0为3直线的方4向向量与y平面法向量的夹角。 ⑶二u面角的求法： ①定义f法：在二d面角的棱上a取一j点（特殊点），作出平面角，再求解； ②三c垂线法：由一p个v半面内4一m点作（或找）到另一g个u半平面的垂线，用三x垂线定理或逆定理作出二i面角的平面角，再求解； ③射影法：利用面积射影公3式： ,其中3 为4平面角的大s小z； 注：对于c没有给出棱的二n面角，应先作出棱，然后再选用上q述方7法；理科还可用向量法，转化5为7两个u班平面法向量的夹角。 7。求距离：（步骤-------Ⅰ。找或作垂线段；Ⅱ。求距离） ⑴两异面直线间的距离：一m般先作出公4垂线段，再进行计0算； ⑵点到直线的距离：一d般用三e垂线定理作出垂线段，再求解； ⑶点到平面的距离： ①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已d知面的垂面是关键），再求解； 4 等体积法；理科还可用向量法： 。 ⑷球面距离：（步骤）（Ⅰ）求线段AB的长5；（Ⅱ）求球心5角∠AOB的弧度数；(Ⅲ)求劣弧AB的长5。 0．结论： ⑴从3一s点O出发的三y条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上q的射影在∠BOC的平分7线上w； ⑵立平斜公3式(最小f角定理公0式)： ⑶正棱锥的各侧面与g底面所成的角相等，记为2 ，则S侧cos =S底； ⑷长5方0体的性质 ①长5方3体体对角线与x过同一l顶点的三l条棱所成的角分2别为7 则：cos8 +cos3 +cos2 =8；sin5 +sin2 +sin3 =5 。 ②长8方7体体对角线与z过同一j顶点的三m侧面所成的角分2别为1 则有cos5 +cos0 +cos2 =8；sin8 +sin8 +sin1 =8 。 ⑸正四面体的性质：设棱长2为3 ，则正四面体的： 4 高： ；②对棱间距离： ；③相邻两面所成角余弦值： ；④内7切24 球半径： ；外接球半径： ；第五q部分3 直线与u圆 1．直线方1程 ⑴点斜式： ；⑵斜截式： ；⑶截距式： ； ⑷两点式： ；⑸一o般式： ，（A，B不e全为10）。（直线的方5向向量：（ ，法向量（ 4．求解线性规划问题的步骤是：（2）列约束条件；（0）作可行域，写目标函数；（6）确定目标函数的最优解。 4．两条直线的位置关系： 8．直线系 8．几q个f公4式 ⑴设A（x0,y3）、B(x3,y3)、C（x6,y2），⊿ABC的重心2G：（ ）； ⑵点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离： ； ⑶两条平行线Ax+By+C2=0与o Ax+By+C6=0的距离是 ； 2．圆的方8程： ⑴标准方0程：① ；② 。 ⑵一q般方1程： （ 注：Ax4+Bxy+Cy8+Dx+Ey+F=0表示0圆 A=C≠0且B=0且D3+E4－7AF>0； 7．圆的方3程的求法：⑴待定系数法；⑵几i何法；⑶圆系法。 3．圆系： ⑴ ； 注：当 时表示3两圆交线。 ⑵ 。 5．点、直线与u圆的位置关系：（主要掌握几a何法） ⑴点与d圆的位置关系：（ 表示3点到圆心3的距离） ① 点在圆上n；② 点在圆内7；③ 点在圆外。 ⑵直线与s圆的位置关系：（ 表示7圆心2到直线的距离） ① 相切3；② 相交；③ 相离。 ⑶圆与u圆的位置关系：（ 表示6圆心8距， 表示2两圆半径，且 ） ① 相离；② 外切7；③ 相交； ④ 内4切2；⑤ 内8含。 50．与g圆有关的结论： ⑴过圆x4+y1=r8上k的点M(x0,y0)的切3线方4程为7：x0x+y0y=r1；过圆(x-a)8+(y-b)4=r0上z的点M(x0,y0)的切4线方8程为4：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r0； ⑵以4A(x3，y0)、B(x2,y6)为1直径的圆的方0程：(x－x3)(x－x1)+(y－y2)(y－y5)=0。第六0部分6 圆锥曲线 6．定义w：⑴椭圆： ； ⑵双2曲线： ；⑶抛物线：略 5．结论 ⑴焦半径：①椭圆： （e为2离心4率）； （左“+”右“-”）； ②抛物线： ⑵弦长2公3式： ；注：（Ⅰ）焦点弦长7：①椭圆： ；②抛物线： ＝x6+x7+p= ；（Ⅱ）通径（最短弦）：①椭圆、双3曲线： ；②抛物线：0p。 ⑶过两点的椭圆、双7曲线标准方4程可设为6： （ 同时大m于n0时表示0椭圆， 时表示1双7曲线）； ⑷椭圆中7的结论： ①内5接矩形最大j面积 ：0ab； ②P，Q为8椭圆上p任意两点，且OP 0Q，则 ； ③椭圆焦点三g角形：<Ⅰ>． ，（ ）；<Ⅱ>．点 是 内5心7， 交 于d点 ，则 ； ④当点 与b椭圆短轴顶点重合时 最大i； ⑸双2曲线中3的结论： ①双5曲线 （a>0,b>0）的渐近线： ； ②共渐进线 的双8曲线标准方5程为8 为5参数， ≠0）； ③双3曲线焦点三g角形：<Ⅰ>． ，（ ）；<Ⅱ>．P是双1曲线 － =4(a＞0，b＞0)的左（右）支l上f一m点，F5、F3分4别为7左、右焦点，则△PF2F4的内4切2圆的圆心2横坐标为8 ； ④双2曲线为2等轴双0曲线 渐近线为0 渐近线互0相垂直；（3）抛物线中2的结论： ①抛物线y7=2px(p>0)的焦点弦AB性质：<Ⅰ>． x8x0= ；y4y6=－p4； <Ⅱ>． ；<Ⅲ>．以4AB为6直径的圆与z准线相切5；<Ⅳ>．以4AF（或BF）为1直径的圆与u 轴相切3；<Ⅴ>． 。 ②抛物线y7=5px(p>0)内8结直角三n角形OAB的性质： <Ⅰ>． ； <Ⅱ>． 恒过定点 ； <Ⅲ>． 中7点轨迹方0程： ；<Ⅳ>． ，则 轨迹方4程为6： ；<Ⅴ>． 。 ③抛物线y7=3px(p>0)，对称轴上h一l定点 ，则： <Ⅰ>．当 时，顶点到点A距离最小b，最小w值为3 ；<Ⅱ>．当 时，抛物线上t有关于l 轴对称的两点到点A距离最小d，最小h值为5 。 2．直线与s圆锥曲线问题解法： ⑴直接法（通法）：联立直线与r圆锥曲线方8程，构造一e元z二x次方8程求解。注意以6下u问题： ①联立的关于x“ ”还是关于i“ ”的一l元j二t次方0程？ ②直线斜率不r存在时考虑了h吗？ ③判别式验证了u吗？ ⑵设而不s求（代点相减法）：--------处理弦中1点问题步骤如下s：①设点A(x2，y1)、B(x3,y6)；②作差得 ；③解决问题。 3．求轨迹的常用方2法：（7）定义g法：利用圆锥曲线的定义o； （2）直接法（列等式）；（2）代入p法（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（8）参数法；（5）交轨法。第七j部分6 平面向量 ⑴设a=(x5,y1),b=(x5,y2)，则： ① a‖b(b≠0) a= b （ x7y8－x5y6=0； ② a⊥b(a、b≠0) a?b=0 x2x5+y6y6=0 。 ⑵a?b=|a||b|cos<a,b>=x8+y6y2； 注：①|a|cos<a,b>叫做a在b方8向上a的投影；|b|cos<a,b>叫做b在a方7向上l的投影； 3 a?b的几i何意义g：a?b等于c|a|与a|b|在a方5向上f的投影|b|cos<a,b>的乘积。 ⑶cos<a,b>= ； ⑷三e点共线的充要条件：P，A，B三i点共线 ；附：（理科）P，A，B，C四点共面 。 第八j部分6 数列 1．定义f： ⑴等差数列 ； ⑵等比6数列 ； 5．等差、等比8数列性质 等差数列 等比3数列通项公1式 前n项和 性质 ①an=am+ (n－m)d, ①an=amqn-m; ②m+n=p+q时am+an=ap+aq ②m+n=p+q时aman=apaq ③ 成AP ③ 成GP ④ 成AP, ④ 成GP, 等差数列特有性质： 2 项数为57n时：S0n=n(an+an+4)=n(a2+a8n)； ； ； 7 项数为73n-8时：S2n-1=(6n-3) ； ； ； 4 若 ；若 ；若 。 4．数列通项的求法： ⑴分4析法；⑵定义p法（利用AP,GP的定义y）；⑶公0式法：累加法（ ； ⑷叠乘法（ 型）；⑸构造法（ 型）；（7）迭代法； ⑺间接法（例如： ）；⑻作商法（ 型）；⑼待定系数法；⑽（理科）数学归纳法。注：当遇到 时，要分3奇数项偶数项讨论，结果是分6段形式。 2．前 项和的求法： ⑴拆、并、裂项法；⑵倒序相加法；⑶错位相减法。 2．等差数列前n项和最值的求法： ⑴ ；⑵利用二p次函数的图象与w性质。 第九r部分1 不b等式 6．均值不v等式： 注意：①一h正二d定三s相等；②变形， 。 5．绝对值不a等式： 5．不i等式的性质： ⑴ ；⑵ ；⑶ ； ；⑷ ； ； ；⑸ ；（7） 。 5．不x等式等证明（主要）方1法： ⑴比6较法：作差或作比3；⑵综合法；⑶分6析法。 第十o部分5 复数 8．概念： ⑴z=a+bi∈R b=0 (a,b∈R) z= z7≥0； ⑵z=a+bi是虚数 b≠0(a,b∈R)； ⑶z=a+bi是纯虚数 a=0且b≠0(a,b∈R) z＋ ＝0（z≠0） z3<0； ⑷a+bi=c+di a=c且c=d(a,b,c,d∈R)； 4．复数的代数形式及c其运算：设z8= a + bi , z3 = c + di (a,b,c,d∈R)，则：（0） z 5± z1 = (a + b) ± (c + d)i；⑵ z7。z2 = (a+bi)?(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；⑶z8÷z5 = (z7≠0) ; 4．几e个d重要的结论： ；⑶ ；⑷ ⑸ 性质：T=7； ； （4） 以01为1周期，且 ； =0；（3） 。 6．运算律：（3） 6．共轭的性质：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ 。 1．模的性质：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；第十m一q部分4 概率 7．事件的关系： ⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一k定发生，记作 ； ⑵事件A与x事件B相等：若 ，则事件A与bB相等，记作A=B； ⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅5当事件A发生或B发生，记作 （或 ）； ⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅6当事件A发生且B发生，记作 （或 ） ； ⑸事件A与m事件B互4斥：若 为2不q可能事件（ ），则事件A与t互0斥；（5）对立事件： 为6不f可能事件， 为8必然事件，则A与gB互1为3对立事件。 6．概率公4式： ⑴互0斥事件（有一j个v发生）概率公3式：P(A+B)=P(A)+P(B)； ⑵古典概型： ； ⑶几y何概型： ； 第十b二l部分2 统计4与j统计8案例 8．抽样方6法 ⑴简单随机抽样：一s般地，设一z个e总体的个v数为0N，通过逐个u不u放回的方5法从7中8抽取一i个r容量为5n的样本，且每个s个i体被抽到的机会相等，就称这种抽样为6简单随机抽样。注：①每个i个a体被抽到的概率为6 ； ②常用的简单随机抽样方4法有：抽签法；随机数法。 ⑵系统抽样：当总体个k数较多时，可将总体均衡的分2成几f个n部分3，然后按照预先制定的规则，从2每一d个p部分2抽取一y个x个u体，得到所需样本，这种抽样方1法叫系统抽样。注：步骤：①编号；②分7段；③在第一g段采用简单随机抽样方4法确定其时个s体编号 ； ④按预先制定的规则抽取样本。 ⑶分8层抽样：当已j知总体有差异比6较明显的几f部分0组成时，为2使样本更充分5的反2映总体的情况，将总体分6成几d部分4，然后按照各部分8占总体的比6例进行抽样，这种抽样叫分2层抽样。注：每个a部分2所抽取的样本个a体数=该部分7个r体数 2．总体特征数的估计2： ⑴样本平均数 ； ⑵样本方5差 ； ⑶样本标准差 = ； 3．相关系数（判定两个j变量线性相关性）： 注：⑴ >0时，变量 正相关； <0时，变量 负相关； ⑵① 越接近于m8，两个p变量的线性相关性越强；② 接近于z0时，两个s变量之e间几g乎不u存在线性相关关系。 0．回归分2析中5回归效果的判定： ⑴总偏差平方4和： ⑵残差： ；⑶残差平方8和： ；⑷回归平方6和： － ；⑸相关指数 。注：① 得知越大j，说明残差平方1和越小y，则模型拟合效果越好； ② 越接近于f7，，则回归效果越好。 2．独立性检验（分0类变量关系）：随机变量 越大l，说明两个x分4类变量，关系越强，反6之t，越弱。 第十d四部分6 常用逻辑用语与b推理证明 3． 四种命题： ⑴原命题：若p则q； ⑵逆命题：若q则p； ⑶否命题：若 p则 q；⑷逆否命题：若 q则 p 注：原命题与t逆否命题等价；逆命题与o否命题等价。 3．充要条件的判断：（8）定义u法----正、反3方8向推理；（8）利用集合间的包含关系：例如：若 ，则A是B的充分7条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件； 0．逻辑连接词： ⑴且(and) ：命题形式 p q； p q p q p q p ⑵或（or）：命题形式 p q； 真 真 真 真 假 ⑶非（not）：命题形式 p 。 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 4．全称量词与e存在量词 ⑴全称量词-------“所有的”、“任意一b个c”等，用 表示1； 全称命题p： ； 全称命题p的否定 p： 。 ⑵存在量词--------“存在一z个l”、“至少2有一u个p”等，用 表示8； 特称命题p： ； 特称命题p的否定 p： ；第十u五a部分6 推理与r证明 3．推理： ⑴合情推理：归纳推理和类比4推理都是根据已x有事实，经过观察、分1析、比8较、联想，在进行归纳、类比6，然后提出猜想的推理，我们把它们称为7合情推理。 ①归纳推理：由某类食物的部分8对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个u别事实概括出一l般结论的推理，称为2归纳推理，简称归纳。注：归纳推理是由部分8到整体，由个j别到一b般的推理。 ②类比7推理：由两类对象具有类似和其中8一k类对象的某些已p知特征，推出另一p类对象也m具有这些特征的推理，称为7类比4推理，简称类比6。注：类比4推理是特殊到特殊的推理。 ⑵演绎推理：从3一b般的原理出发，推出某个q特殊情况下m的结论，这种推理叫演绎推理。注：演绎推理是由一l般到特殊的推理。 “三s段论”是演绎推理的一f般模式，包括： ⑴大z前提---------已k知的一h般结论； ⑵小b前提---------所研究的特殊情况； ⑶结 论---------根据一t般原理，对特殊情况得出的判断。二a．证明 ⒈直接证明 ⑴综合法一z般地，利用已p知条件和某些数学定义d、定理、公1理等，经过一u系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方3法叫做综合法。综合法又c叫顺推法或由因导果法。 ⑵分3析法一w般地，从2要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分7条件，直至最后，把要证明的结论归结为7判定一m个m明显成立的条件（已n知条件、定义u、定理、公1理等），这种证明的方7法叫分1析法。分4析法又a叫逆推证法或执果索因法。 6．间接证明------反3证法一c般地，假设原命题不p成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从0而证明原命题成立，这种证明方4法叫反4证法。附：数学归纳法（仅8限理科）一z般的证明一v个m与p正整数 有关的一c个v命题，可按以4下o步骤进行： ⑴证明当 取第一f个v值 是命题成立； ⑵假设当 命题成立，证明当 时命题也m成立。那么i由⑴⑵就可以8判定命题对从2 开w始所有的正整数都成立。这种证明方4法叫数学归纳法。注：①数学归纳法的两个a步骤缺一c不c可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行； 3 的取值视题目而8 定，2 可能是0，4 也m可能是2等。第十c六4部分0 理科选修部分7 7． 排列、组合和二o项式定理 ⑴排列数公2式: =n(n-5)(n-6)…(n-m＋2)= (m≤n,m、n∈N*),当m=n时为4全排列 =n(n-8)(n-6)…4。8。8=n!; ⑵组合数公0式： （m≤n）, ； ⑶组合数性质： ； ⑷二t项式定理： ①通项： ②注意二a项式系数与j系数的区y别； ⑸二x项式系数的性质： ①与n首末7两端等距离的二p项式系数相等；②若n为4偶数，中0间一r项（第 ＋3项）二q项式系数最大s；若n为1奇数，中0间两项（第 和 ＋6项）二m项式系数最大q； ③ (0)求二l项展开o式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。 2。 概率与c统计5 ⑴随机变量的分1布列： ①随机变量分8布列的性质：pi≥0,i=1,2,…； p1+p3+…=3; ②离散型随机变量： X x4 X3 … xn … P P5 P0 … Pn … 期望：EX＝ x1p5 + x2p1 + … + xnpn + … ; 方1差：DX＝ ; 注： ； ③两点分0布： X 0 7 期望：EX＝p；方8差：DX＝p(2-p)。 P 5－p p 0 超几r何分3布：一y般地，在含有M件次品的N件产品中0，任取n件，其中7恰有X件次品，则 其中5， 。称分8布列 X 0 2 … m P … 为4超几v何分6布列， 称X服从8超几d何分6布。 ⑤二p项分1布（独立重复试验）：若X～B（n,p）,则EX＝np, DX＝np（6- p）;注： 。 ⑵条件概率：称 为8在事件A发生的条件下a，事件B发生的概率。注：①0 P（B|A） 3；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 ⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。 ⑷正态总体的概率密度函数： 式中8 是参数，分3别表示5总体的平均数（期望值）与b标准差；（0）正态曲线的性质： ①曲线位于jx轴上h方4，与ox轴不i相交；②曲线是单峰的，关于d直线x＝ 对称； ③曲线在x＝ 处达到峰值 ；④曲线与qx轴之g间的面积为84； 4 当 一r定时，6 曲线随 质的变化5沿x轴平移； 7 当 一g定时，6 曲线形状由 确定： 越大k，4 曲线越“矮胖”，10 表示6总体分6布越集中7； 越小j，曲线越“高瘦”，表示0总体分4布越分7散。注：P =0。0886；P =0。0846 P =0。7040 2011-10-30 15:02:46

因为只有这两个函数能用于构造类对象的初始化，而参数列表只有初始化时才能用到，其他函数都是构造完对象之后才根据调用执行的

全纯函数（holomorphicfunction）是复分析研究的中心对象；它们是定义在复平面C的开子集上的，在复平面C中取值的，在每点上皆复可微的函数。这是比实可微强得多的条件，暗示著此函数无穷可微并可以用泰勒级数来描述。-------在复分析中，一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点。每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比（其分母不恒为0）：极点也就是分母的零点。------------我感觉一般遇到的没有奇异点的函数都是全纯啊....恩，要求在每点上皆复可微

全纯函数（holomorphic function）是复分析研究的中心对象；它们是定义在复平面C的开子集上的，在复平面C中取值的，在每点上皆复可微的函数。这是比实可微强得多的条件，暗示著此函数无穷可微并可以用泰勒级数来描述。-------在复分析中，一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点。每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比（其分母不恒为0）：极点也就是分母的零点。------------我感觉一般遇到的没有奇异点的函数都是全纯啊....恩，要求在每点上皆复可微

判断复变函数是整函数还是亚纯函数：复平面上的全纯或亚纯函数都是无界函数，其他函数就分实部虚部讨论。在复分析中，一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点。每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比（其分母不恒为0）：极点也就是分母的零点。复变函数是复变数复值函数的简称。设A是一个复数集，如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，设为w=f(z)。如果设z=x+iy，w=u+iv，那么复变函数w=f(z)可分解为w=u(x，y)+iv(x，y)，所以一个复变函数w=f(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。一些实际问题推动着复变函数理论的产生和发展。

柯西-黎曼方程组推导如下：它包括两个方程：(1a)和(1b)，主要是建立在u(x,y)和v(x,y)函数上。一般情况下，u和v取为一个复函数的实部和虚部：f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y)。如果u和v在开集C上是连续的，那么则f=u+iv是全纯的。这个方程组最初出现在达朗贝尔的著作中(d"Alembert 1752)。后来欧拉将此方程组和解析函数联系起来(Euler 1777)。 然后柯西(Cauchy 1814)采用这些方程来构建他的函数理论。 拓展资料：柯西--黎曼微分方程是提供了可微函数在开集中为全纯函数的充要条件的两个偏微分方程，以柯西和黎曼得名。这个方程组最初出现在达朗贝尔的著作中。后来欧拉将此方程组和解析函数联系起来。 然后柯西采用这些方程来构建他的函数理论。黎曼关于此函数理论的论文于1851年问世。参考资料：百度百科-柯西-黎曼方程

1、可导是一个定义，对于基本函数我们可以运用它的性质得出可导的区间，非初等函数则要根据导数的定义。对于一元函数可导和可微是等价的说法，对于多元函数可偏导并不一定可微。 2、 对于初级函数，函数在区间（a,b)上连续，若在区间（a,b）上有X=Xo，存在c，c趋近于无穷小（即趋于0），f(Xo-c)=f(Xo+c)=f(Xo)，则f(x)在X=Xo处可导。对于其他函数，或许会不适用。

double func(double weight, double height){    double BMI = weight / (height * height);    if (BMI < 18.5)    {        printf("过轻 ");    }    else if (BMI < 25)    {        if (BMI < 20)            printf("正常 ");        else            printf("适中 ");    }    else if (BMI < 28)        ...    else if (BMI < 32)        ...    else        ...            return BMI;}

例1（投资决策问题）某企业有n个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有总资金A元，投资于第i个项目需花资金ai元，并预计可收益bi元。试选择最佳投资方案。解:设投资决策变量为则投资总额为∑aixi，投资总收益为∑bixi。因为该公司至少要对一个项目投资，并且总的投资金额不能超过总资金 ，故有限制条件另外，由于 xi只取值0或1，所以还有最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量（取0或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。因此，其数学模型为：上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问题，其中目标函数或约束条件中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题，简记为（NP）。可概括为一般形式（NP)其中x=[x1 ... xn]称为模型（NP）的决策变量，f称为目标函数，gi和hj 称为约束函数。另外，gi(x)=0称为等式约束，hj(x)<=0称为不等式约束。 对于一个实际问题，在把它归结成非线性规划问题时，一般要注意如下几点：（i）确定供选方案：首先要收集同问题有关的资料和数据，在全面熟悉问题的基础上，确认什么是问题的可供选择的方案，并用一组变量来表示它们。（ii）提出追求目标：经过资料分析，根据实际需要和可能，提出要追求极小化或极大化的目标。并且，运用各种科学和技术原理，把它表示成数学关系式。（iii）给出价值标准：在提出要追求的目标之后，要确立所考虑目标的“好”或“坏”的价值标准，并用某种数量形式来描述它。（iv）寻求限制条件：由于所追求的目标一般都要在一定的条件下取得极小化或极大化效果，因此还需要寻找出问题的所有限制条件，这些条件通常用变量之间的一些不等式或等式来表示。 对实际规划问题作定量分析，必须建立数学模型。建立数学模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，称之为目标函数。然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，称之为约束条件。非线性规划问题的一般数学模型可表述为求未知量x1，x2，…，xn，使满足约束条件：gi(x1，…，xn）≥0　i=1，…，mhj(x1，…，xn)=0　j=1，…，p并使目标函数f(x1，…，xn）达到最小值（或最大值）。其中f，诸gi和诸hj都是定义在n维向量空间Rn的某子集D（定义域）上的实值函数，且至少有一个是非线性函数。上述模型可简记为：min f(x)s.t. gi(x）≥0　i=1，…，mhj(x)=0 j=1，…，p其中x=(x1，…，xn）属于定义域D，符号min表示“求最小值”，符号s.t.表示“受约束于”。定义域D 中满足约束条件的点称为问题的可行解。全体可行解所成的集合称为问题的可行集。对于一个可行解x*，如果存在x*的一个邻域，使目标函数在x*处的值f(x*）优于 （指不大于或不小于）该邻域中任何其他可行解处的函数值，则称x*为问题的局部最优解（简称局部解）。如果f(x*）优于一切可行解处的目标函数值，则称x*为问题的整体最优解（简称整体解）。实用非线性规划问题要求整体解，而现有解法大多只是求出局部解。 指寻求一元函数在某区间上的最优值点的方法。这类方法不仅有实用价值，而且大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化。常用的一维最优化方法有黄金分割法、切线法和插值法。①　黄金分割法　又称0.618法。它适用于单峰函数。其基本思想是：在初始寻查区间中设计一列点，通过逐次比较其函数值，逐步缩小寻查区间，以得出近似最优值点。②　切线法　又称牛顿法。它也是针对单峰函数的。其基本思想是：在一个猜测点附近将目标函数的导函数线性化，用此线性函数的零点作为新的猜测点，逐步迭代去逼近最优点。③　插值法　又称多项式逼近法。其基本思想是用多项式（通常用二次或三次多项式）去拟合目标函数。此外，还有斐波那契法、割线法、有理插值法、分批搜索法等。 指寻求 n元实函数f在整个n维向量空间Rn上的最优值点的方法。这类方法的意义在于：虽然实用规划问题大多是有约束的，但许多约束最优化方法可将有约束问题转化为若干无约束问题来求解。无约束最优化方法大多是逐次一维搜索的迭代算法。这类迭代算法可分为两类。一类需要用目标函数的导函数，称为解析法。另一类不涉及导数，只用到函数值，称为直接法。这些迭代算法的基本思想是：在一个近似点处选定一个有利搜索方向，沿这个方向进行一维寻查，得出新的近似点。然后对新点施行同样手续，如此反复迭代，直到满足预定的精度要求为止。根据搜索方向的取法不同，可以有各种算法。属于解析型的算法有：①梯度法：又称最速下降法。这是早期的解析法，收敛速度较慢。②牛顿法：收敛速度快，但不稳定，计算也较困难。③共轭梯度法：收敛较快，效果较好。④变尺度法：这是一类效率较高的方法。其中达维登-弗莱彻-鲍威尔变尺度法，简称 DFP法，是最常用的方法。属于直接型的算法有交替方向法（又称坐标轮换法）、模式搜索法、旋转方向法、鲍威尔共轭方向法和单纯形加速法等。 这是一类特殊的非线性规划。在前述非线性规划数学模型中，若f是凸函数，诸gi都是凹函数，诸hj都是一次函数，则称之为凸规划。所谓f是凸函数，是指f有如下性质：它的定义域是凸集，且对于定义域中任意两点x和y及任一小于1的正数α，下式都成立：f(（1-α）x +αy）α≤（1-α）f(x)+αf(y)将上述不等式中的不等号反向即得凹函数的定义。所谓凸集，是指具有如下性质的集合：连结集合中任意两点的直线段上的点全部属于该集合。对于一般的非线性规划问题，局部解不一定是整体解。但凸规划的局部解必为整体解，而且凸规划的可行集和最优解集都是凸集。 几何规划　一类特殊的非线性规划。它的目标函数和约束函数都是正定多项式（或称正项式）。几何规划本身一般不是凸规划，但经适当变量替换，即可变为凸规划。几何规划的局部最优解必为整体最优解。求解几何规划的方法有两类。一类是通过对偶规划去求解；另一类是直接求解原规划，这类算法大多建立在根据几何不等式将多项式转化为单项式的思想上。

多做习题，不懂的问老师或与同学相互探讨就好。

令X=0时y=6 c(0,6)令y=0时X1= x2= 再求出a和b的坐标

纯虚函数才是抽象的

极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。极值是变分法的一个基本概念。泛函在容许函数的一定范围内取得的最大值或最小值，分别称为极大值或极小值，统称为极值。使泛函达到极值的变元函数称为极值函数，若它为一元函数，通常称为极值曲线。极值也称为相对极值或局部极值。极值是“极大值” 和 “极小值”的统称。如果函数在某点的 值大于或等于在该点附近任何其他 点的函数值，则称函数在该点的值 为函数的“极大值”。如果函数在某 点的值小于或等于在该点附近任何 其他点的函数值，则称函数在该点 的值为函数的“极小值”。一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。函数最大（小)值的几何意义——函数图像的最高（低）点的纵坐标即为该函数的最大（小）值一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。最小值设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意实数x∈I，都有f(x)≥M，②存在x0∈I。使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最小值。最大值设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意实数x∈I，都有f(x)≤M，②存在x0∈I。使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最大值。以上这就是函数，两者之间的区别。

类是没有办法，结构体还行。我原来回答过的一个类似的问题，楼主参考一下：其实对于dll来说，类的动太导出一直是一个难题。我早先由于项目需要，也了解过一些这方面的知识，最后还是放弃了。后来我想到了一个方法。类的实例通过指针传出来，然后在类的基础上再封装一层，每个公开的函数都封一个函数，参数表里直接把创建的类的指针给传进去，在dll内部再调相应的方法。楼主不妨也这样试一下。比如： g()这个函数，就返回一个IntPtr。这个指针就是在dll中创建对象的指针，但在C#里不具体的把它分出来是张三还是王二。dll中增加调用a的函数add的全局导出函数 add2(void*) 然后在add2的函数体内对指针进行转化后再调其add方法。有点迂回敌后的感觉。还有，既然需要用C#来调用，dll也可以写成托管的，只要加上运行时支持就好了。那样的类声明加个partal，然后直接添加引用就能象用c#的dll一样用了，这个多方便啊？我还试了一个mirror驱动的，封成了托管DLL，也一样好用。楼主也可以考虑一下。

MATLAB概论 MATLAB是世界流行的优秀科技应用软件之一。具有功能强大(数值计算、符号计算、图形生成、文本处理及多种专业工具箱)、界面友好，可二次开发等特点。在国内外，已有许多高等院校将其列为本科生、研究生和博士生必须掌握的基本技能。 1起源与发展 自1984年由美国MathWorks公司推向市场以来，先后发布了多个版本，1993年发布4.0版，1995年发布4.2c版，1996年发布5.0版，1997年发布5.1版，1999年发布5.3版，2000年发布6.0版，目前发布的为6.5版。 2基本组成 MATLAB主要由MATLAB主程序、Simulink动态仿真系统和MATLAB工具箱三大部分组成。其中MATLAB主程序包括MATLAB语言、工作环境、句柄图形、数学函数库和应用程序接口五个部分；Simulink是用于动态系统仿真的交互式系统，允许用户在屏幕上绘制框图来模拟系统并能动态地控制该系统；工具箱则是MATLAB的基本语句编写的各种子程序集和函数库，用于解决某一方面的特定问题或实现某一类的新算法，是开放的，可以根据需要扩充。 3通用命令 通用命令是在MATLAB命令窗口中直接键入并执行。常见的如下表所列。 名称 功能说明 clear 清除内存中所有的或指定的变量和函数 cd 显示和改变当前工作目录 clc 擦除MATLAB工作窗口中所有显示的内容 clf 擦除MATLAB工作窗口中的图形 dir 列出当前或指定目录中的文件清单 disp 在运行中显示变量或文字内容 echo 控制运行的文字命令是否显示 hold 控制当前的图形窗口对象是否被刷新 home 擦除命令窗口中的全部内容 pack 收集内存碎片以扩大内存空间 quit 关闭并退出MATLAB type 显示所指定文件的全部内容 exit 退出MATLAB 4帮助文件 MATLAB为用户提供了非常详尽的帮助文件，最常见的帮助命令是help，直接输入help则列出全部信息，help后加对象则提示对象帮助信息。 MATLAB的基本矩阵运算 1 简单矩阵输入 MATLAB最基本、也是最重要的功能就是进行实数矩阵或者复数矩阵的运算。由于向量可作为矩阵的一行或者一列，标量（一个数）则可以作为只含有一个元素的矩阵，故向量和标量都可以作为特殊矩阵来处理。MATLAB的操作和命令对于矩阵而言，和我们平时使用的形式很相似，但它还有自己的一些规定。 一、键盘输入 对于比较小的简单矩阵，可以使用键盘直接输入，例如： a=1;b=2;c=3 x=[5 b c;a*b a+c c/b] x = 5.0000 2.0000 3.0000 2.0000 4.0000 1.5000 矩阵生成不但可以使用纯数字，也可以使用变量。矩阵的元素直接排列在方括号内，每行内的元素使用空格或者逗号分开，行与行之间使用分号隔开。大的矩阵可以分行输入，用回车键代替分号，这和我们平时使用的矩阵形式很相近。例如 a=[1 2 3 4 5 6] 大部分的试验数据使用上面的形式给出的，在处理试验数据中，可以简单的将数据前后加入左右括号，就可以得到矩阵的表示。这种处理可以在脚本文件中进行。 二、矩阵生成 MATLAB提供了很多生成和操作矩阵的函数。下面给出几个创建矩阵的例子。 如果是线性等间距格式生成矩阵，可以使用from:step:to方式。from、step、to分别表示开始值、步长和结束值。例如 a=1:2:10 a = 1 3 5 7 9 还可以使用linspace命令，如: a=linspace(1,10,5) a = 1.0000 3.2500 5.5000 7.7500 10.0000 linespace的三个参数表示开始值、结束值和数据个数。数据个数可以省略，缺省值为100。 在画Bode图等应用中，需要使用对数等间隔的数据，可以使用logspace命令生成。Logspace和linspace的参数相同，只是结果不同。 2 矩阵运算 矩阵运算是MATLAB的基础，MATLAB的矩阵运算功能十分强大，并且运算的形式和一般的数学表示十分相似。 一、矩阵的转置 矩阵的转置用符号 " a=[1 2 3;4 5 6] a = 1 2 3 4 5 6 b=a" b = 1 4 2 5 3 6 如果矩阵a为复数矩阵，则a"为共轭转置。 a=[1 2;4 5], d=a+a*i,c1=d",c2=conj(d),

实例方法就是pubilc吧要new出实例才能调用类方法就是static public静态方法吧 用类名能直接调用

面向对象(Object Oriented,OO)是当前计算机界关心的重点，它是90年代软件开发方法的主流。面向对象的概念和应用已超越了程序设计和软件开发，扩展到很宽的范围。如数据库系统、交互式界面、应用结构、应用平台、分布式系统、网络管理结构、CAD技术、人工智能等领域。 谈到面向对象，这方面的文章非常多。但是，明确地给出对象的定义或说明对象的定义的非常少——至少我现在还没有发现。其初，“面向对象”是专指在程序设计中采用封装、继承、抽象等设计方法。可是，这个定义显然不能再适合现在情况。面向对象的思想已经涉及到软件开发的各个方面。如，面向对象的分析（OOA，Object Oriented Analysis），面向对象的设计（OOD，Object Oriented Design）、以及我们经常说的面向对象的编程实现（OOP，Object Oriented Programming）。许多有关面向对象的文章都只是讲述在面向对象的开发中所需要注意的问题或所采用的比较好的设计方法。看这些文章只有真正懂得什么是对象，什么是面向对象，才能最大程度地对自己有所裨益。这一点，恐怕对初学者甚至是从事相关工作多年的人员也会对它们的概念模糊不清。 面向对象是当前计算机界关心的重点，它是90年代软件开发方法的主流。面向对象的概念和应用已超越了程序设计和软件开发，扩展到很宽的范围。如数据库系统、交互式界面、应用结构、应用平台、分布式系统、网络管理结构、CAD技术、人工智能等领域。 一、传统开发方法存在问题 1.软件重用性差 重用性是指同一事物不经修改或稍加修改就可多次重复使用的性质。软件重用性是软件工程追求的目标之一。 2.软件可维护性差 软件工程强调软件的可维护性，强调文档资料的重要性，规定最终的软件产品应该由完整、一致的配置成分组成。在软件开发过程中，始终强调软件的可读性、可修改性和可测试性是软件的重要的质量指标。实践证明，用传统方法开发出来的软件，维护时其费用和成本仍然很高，其原因是可修改性差，维护困难，导致可维护性差。 3.开发出的软件不能满足用户需要 用传统的结构化方法开发大型软件系统涉及各种不同领域的知识，在开发需求模糊或需求动态变化的系统时，所开发出的软件系统往往不能真正满足用户的需要。 用结构化方法开发的软件，其稳定性、可修改性和可重用性都比较差，这是因为结构化方法的本质是功能分解，从代表目标系统整体功能的单个处理着手，自顶向下不断把复杂的处理分解为子处理，这样一层一层的分解下去，直到仅剩下若干个容易实现的子处理功能为止，然后用相应的工具来描述各个最低层的处理。因此，结构化方法是围绕实现处理功能的“过程”来构造系统的。然而，用户需求的变化大部分是针对功能的，因此，这种变化对于基于过程的设计来说是灾难性的。用这种方法设计出来的系统结构常常是不稳定的 ，用户需求的变化往往造成系统结构的较大变化，从而需要花费很大代价才能实现这种变化。 二、面向对象的基本概念 (1)对象。 对象是人们要进行研究的任何事物，从最简单的整数到复杂的飞机等均可看作对象，它不仅能表示具体的事物，还能表示抽象的规则、计划或事件。 (2)对象的状态和行为。 对象具有状态，一个对象用数据值来描述它的状态。 对象还有操作，用于改变对象的状态，对象及其操作就是对象的行为。 对象实现了数据和操作的结合，使数据和操作封装于对象的统一体中 (3)类。 具有相同或相似性质的对象的抽象就是类。因此，对象的抽象是类，类的具体化就是对象，也可以说类的实例是对象。 类具有属性，它是对象的状态的抽象，用数据结构来描述类的属性。 类具有操作，它是对象的行为的抽象，用操作名和实现该操作的方法来描述。 (4)类的结构。 在客观世界中有若干类，这些类之间有一定的结构关系。通常有两种主要的结构关系，即一般--具体结构关系，整体--部分结构关系。 ①一般——具体结构称为分类结构，也可以说是“或”关系，或者是“is a”关系。 ②整体——部分结构称为组装结构，它们之间的关系是一种“与”关系，或者是“has a”关系。 (5)消息和方法。 对象之间进行通信的结构叫做消息。在对象的操作中，当一个消息发送给某个对象时，消息包含接收对象去执行某种操作的信息。发送一条消息至少要包括说明接受消息的对象名、发送给该对象的消息名（即对象名、方法名）。一般还要对参数加以说明，参数可以是认识该消息的对象所知道的变量名，或者是所有对象都知道的全局变量名。 类中操作的实现过程叫做方法，一个方法有方法名、参数、方法体。消息传递如图10-1所示。 二、面向对象的特征 (1)对象唯一性。 每个对象都有自身唯一的标识，通过这种标识，可找到相应的对象。在对象的整个生命期中，它的标识都不改变，不同的对象不能有相同的标识。 (2)分类性。 分类性是指将具有一致的数据结构(属性)和行为(操作)的对象抽象成类。一个类就是这样一种抽象，它反映了与应用有关的重要性质，而忽略其他一些无关内容。任何类的划分都是主观的，但必须与具体的应用有关。 (3)继承性。 继承性是子类自动共享父类数据结构和方法的机制，这是类之间的一种关系。在定义和实现一个类的时候，可以在一个已经存在的类的基础之上来进行，把这个已经存在的类所定义的内容作为自己的内容，并加入若干新的内容。 继承性是面向对象程序设计语言不同于其它语言的最重要的特点，是其他语言所没有的。 在类层次中，子类只继承一个父类的数据结构和方法，则称为单重继承。 在类层次中，子类继承了多个父类的数据结构和方法，则称为多重继承。 在软件开发中，类的继承性使所建立的软件具有开放性、可扩充性，这是信息组织与分类的行之有效的方法，它简化了对象、类的创建工作量，增加了代码的可重性。 采用继承性，提供了类的规范的等级结构。通过类的继承关系，使公共的特性能够共享，提高了软件的重用性。 (4)多态性(多形性) 多态性使指相同的操作或函数、过程可作用于多种类型的对象上并获得不同的结果。不同的对象，收到同一消息可以产生不同的结果，这种现象称为多态性。 多态性允许每个对象以适合自身的方式去响应共同的消息。 多态性增强了软件的灵活性和重用性。 三、面向对象的要素 (1)抽象。 抽象是指强调实体的本质、内在的属性。在系统开发中，抽象指的是在决定如何实现对象之前的对象的意义和行为。使用抽象可以尽可能避免过早考虑一些细节。 类实现了对象的数据（即状态）和行为的抽象。 (2)封装性（信息隐藏）。 封装性是保证软件部件具有优良的模块性的基础。 面向对象的类是封装良好的模块，类定义将其说明（用户可见的外部接口）与实现（用户不可见的内部实现）显式地分开，其内部实现按其具体定义的作用域提供保护。 对象是封装的最基本单位。封装防止了程序相互依赖性而带来的变动影响。面向对象的封装比传统语言的封装更为清晰、更为有力。 (3)共享性 面向对象技术在不同级别上促进了共享 同一类中的共享。同一类中的对象有着相同数据结构。这些对象之间是结构、行为特征的共享关系。 在同一应用中共享。在同一应用的类层次结构中，存在继承关系的各相似子类中，存在数据结构和行为的继承，使各相似子类共享共同的结构和行为。使用继承来实现代码的共享，这也是面向对象的主要优点之一。 在不同应用中共享。面向对象不仅允许在同一应用中共享信息，而且为未来目标的可重用设计准备了条件。通过类库这种机制和结构来实现不同应用中的信息共享。 4.强调对象结构而不是程序结构 四、面向对象的开发方法 目前，面向对象开发方法的研究已日趋成熟，国际上已有不少面向对象产品出现。面向对象开发方法有Coad方法、Booch方法和OMT方法等。 1.Booch方法 Booch最先描述了面向对象的软件开发方法的基础问题，指出面向对象开发是一种根本不同于传统的功能分解的设计方法。面向对象的软件分解更接近人对客观事务的理解，而功能分解只通过问题空间的转换来获得。 2.Coad方法 Coad方法是1989年Coad和Yourdon提出的面向对象开发方法。该方法的主要优点是通过多年来大系统开发的经验与面向对象概念的有机结合，在对象、结构、属性和操作的认定方面，提出了一套系统的原则。该方法完成了从需求角度进一步进行类和类层次结构的认定。尽管Coad方法没有引入类和类层次结构的术语，但事实上已经在分类结构、属性、操作、消息关联等概念中体现了类和类层次结构的特征。 3.OMT方法 OMT方法是1991年由James Rumbaugh等5人提出来的，其经典著作为“面向对象的建模与设计”。 该方法是一种新兴的面向对象的开发方法，开发工作的基础是对真实世界的对象建模，然后围绕这些对象使用分析模型来进行独立于语言的设计，面向对象的建模和设计促进了对需求的理解，有利于开发得更清晰、更容易维护的软件系统。该方法为大多数应用领域的软件开发提供了一种实际的、高效的保证，努力寻求一种问题求解的实际方法。 4.UML(Unified Modeling Language)语言 软件工程领域在1995年～1997年取得了前所未有的进展，其成果超过软件工程领域过去15年的成就总和，其中最重要的成果之一就是统一建模语言（UML)的出现。UML将是面向对象技术领域内占主导地位的标准建模语言。 UML不仅统一了Booch方法、OMT方法、OOSE方法的表示方法，而且对其作了进一步的发展，最终统一为大众接受的标准建模语言。UML是一种定义良好、易于表达、功能强大且普遍适用的建模语言。它融入了软件工程领域的新思想、新方法和新技术。它的作用域不限于支持面向对象的分析与设计，还支持从需求分析开始的软件开发全过程。 五、面向对象的模型 ·对象模型 对象模型表示了静态的、结构化的系统数据性质，描述了系统的静态结构，它是从客观世界实体的对象关系角度来描述，表现了对象的相互关系。该模型主要关心系统中对象的结构、属性和操作，它是分析阶段三个模型的核心，是其他两个模型的框架。 1.对象和类 (1) 对象。 对象建模的目的就是描述对象。 (2) 类。 通过将对象抽象成类，我们可以使问题抽象化，抽象增强了模型的归纳能力。 (3) 属性。 属性指的是类中对象所具有的性质（数据值）。 (4) 操作和方法。 操作是类中对象所使用的一种功能或变换。类中的各对象可以共享操作，每个操作都有一个目标对象作为其隐含参数。 方法是类的操作的实现步骤。 2.关联和链 关联是建立类之间关系的一种手段，而链则是建立对象之间关系的一种手段。 (1) 关联和链的含义。 链表示对象间的物理与概念联结，关联表示类之间的一种关系，链是关联的实例，关联是链的抽象。 (2) 角色。 角色说明类在关联中的作用，它位于关联的端点。 (3) 受限关联。 受限关联由两个类及一个限定词组成，限定词是一种特定的属性，用来有效的减少关联的重数，限定词在关联的终端对象集中说明。 限定提高了语义的精确性，增强了查询能力，在现实世界中，常常出现限定词。 (4) 关联的多重性。 关联的多重性是指类中有多少个对象与关联的类的一个对象相关。重数常描述为“一”或“多”。 图10-8表示了各种关联的重数。小实心圆表示“多个”，从零到多。小空心圆表示零或一。没有符号表示的是一对一关联。 3.类的层次结构 (1) 聚集关系。 聚集是一种“整体－部分”关系。在这种关系中，有整体类和部分类之分。聚集最重要的性质是传递性，也具有逆对称性。 聚集可以有不同层次，可以把不同分类聚集起来得到一颗简单的聚集树，聚集树是一种简单表示，比画很多线来将部分类联系起来简单得多，对象模型应该容易地反映各级层次，图10-10表示一个关于微机的多极聚集。 (2)一般化关系。 一般化关系是在保留对象差异的同时共享对象相似性的一种高度抽象方式。它是“一般---具体”的关系。一般化类称为你类，具体类又能称为子类，各子类继承了交类的性质，而各子类的一些共同性质和操作又归纳到你类中。因此，一般化关系和继承是同时存在的。一般化关系的符号表示是在类关联的连线上加一个小三角形，如图10-11 4.对象模型 (1)模板。模板是类、关联、一般化结构的逻辑组成。 (2)对象模型。 对象模型是由一个或若干个模板组成。模板将模型分为若干个便于管理的子块，在整个对象模型和类及关联的构造块之间，模板提供了一种集成的中间单元，模板中的类名及关联名是唯一的。 ·动态模型 动态模型是与时间和变化有关的系统性质。该模型描述了系统的控制结构，它表示了瞬间的、行为化的系统控制 性质，它关心的是系统的控制，操作的执行顺序，它表示从对象的事件和状态的角度出发，表现了对象的相互行为。 该模型描述的系统属性是触发事件、事件序列、状态、事件与状态的组织。使用状态图作为描述工具。它涉及到事件、状态、操作等重要概念。 1.事件 事件是指定时刻发生的某件事。 2.状态 状态是对象属性值的抽象。对象的属性值按照影响对象显著行为的性质将其归并到一个状态中去。状态指明了对象 对输入事件的响应。 3.状态图 状态图是一个标准的计算机概念，他是有限自动机的图形表示，这里把状态图作为建立动态模型的图形工具。 状态图反映了状态与事件的关系。当接收一事件时，下一状态就取决于当前状态和所接收的该事件，由该事件引起的状态变化称为转换。 状态图是一种图，用结点表示状态，结点用圆圈表示；圆圈内有状态名，用箭头连线表示状态的转换，上面标记事件名，箭头方向表示转换的方向。 ·功能模型 功能模型描述了系统的所有计算。功能模型指出发生了什么，动态模型确定什么时候发生，而对象模型确定发生的客体。功能模型表明一个计算如何从输入值得到输出值，它不考虑计算的次序。功能模型由多张数据流图组成。数据流图用来表示从源对象到目标对象的数据值的流向，它不包含控制信息，控制信息在动态模型中表示，同时数据流图也不表示对象中值的组织，值的组织在对象模型中表示。图10-15给出了一个窗口系统的图标显示的数据流图。 数据流图中包含有处理、数据流、动作对象和数据存储对象。 1.处理 数据流图中的处理用来改变数据值。最低层处理是纯粹的函数，一张完整的数据流图是一个高层处理。 2.数据流 数据流图中的数据流将对象的输出与处理、处理与对象的输入、处理与处理联系起来。在一个计算机中，用数据流来表示一中间数据值，数据流不能改变数据值。 3.动作对象 动作对象是一种主动对象，它通过生成或者使用数据值来驱动数据流图。 4.数据存储对象 数据流图中的数据存储是被动对象，它用来存储数据。它与动作对象不一样，数据存储本身不产生任何操作，它只响应存储和访问的要求。 六、面向对象的分析 面向对象分析的目的是对客观世界的系统进行建模。本节以上面介绍的模型概念为基础，结合“银行网络系统”的具体实例来构造客观世界问题的准确、严密的分析模型。 分析模型有三种用途：用来明确问题需求；为用户和开发人员提供明确需求；为用户和开发人员提供一个协商的基础，作为后继的设计和实现的框架。 （一） 面向对象的分析 系统分析的第一步是：陈述需求。分析者必须同用户一块工作来提炼需求，因为这样才表示了用户的真实意图，其中涉及对需求的分析及查找丢失的信息。下面以“银行网络系统”为例，用面向对象方法进行开发。 银行网络系统问题陈述： 设计支持银行网络的软件，银行网络包括人工出纳站和分行共享的自动出纳机。每个分理处用分理处计算机来保存各自的帐户，处理各自的事务；各自分理处的出纳站与分理处计算机通信，出纳站录入帐户和事务数据；自动出纳机与分行计算机通信，分行计算机与拨款分理处结帐，自动出纳机与用户接口接受现金卡，与分行计算机通信完成事务，发放现金，打印收据；系统需要记录保管和安全措施；系统必须正确处理同一帐户的并发访问；每个分处理为自己的计算机准备软件，银行网络费用根据顾客和现金卡的数目分摊给各分理处。 图10－18给出银行网络系统的示意图。 （二）建立对象模型 首先标识和关联，因为它们影响了整体结构和解决问题的方法，其次是增加属性，进一步描述类和关联的基本网络，使用继承合并和组织类，最后操作增加到类中去作为构造动态模型和功能模型的副产品。 1.确定类 构造对象模型的第一步是标出来自问题域的相关的对象类，对象包括物理实体和概念。所有类在应用中都必须有意义，在问题陈述中，并非所有类都是明显给出的。有些是隐含在问题域或一般知识中的。 按图10-19所示的过程确定类 查找问题陈述中的所有名词，产生如下的暂定类。 软件 银行网络 出纳员 自动出纳机 分行 分处理 分处理计算机 帐户 事务 出纳站 事务数据 分行计算机 现金卡 用户 现金 收据 系统 顾客 费用 帐户数据 访问 安全措施 记录保管 根据下列标准，去掉不必要的类和不正确的类。 （1） 冗余类：若两个类表述了同一个信息 ，保留最富有描述能力的类。如"用户"和"顾客"就是重复的描述，因为"顾客"最富有描述性，因此保留它。 （2） 不相干的类：除掉与问题没有关系或根本无关的类。例如，摊派费用超出了银行网络的范围。 （3） 模糊类：类必须是确定的，有些暂定类边界定义模糊或范围太广，如"记录保管"就模糊类，它是"事务"中的一部分。 （4） 属性：某些名词描述的是其他对象的属性，则从暂定类中删除。如果某一性质的独立性很重要，就应该把他归属到类，而不把它作为属性。 （5） 操作：如果问题陈述中的名词有动作含义，则描述的操作就不是类。但是具有自身性质而且需要独立存在的操作应该描述成类。如我们只构造电话模型，"拨号"就是动态模型的一部分而不是类，但在电话拨号系统中，"拨号"是一个重要的类，它日期、时间、受话地点等属性。 在银行网络系统中，模糊类是"系统"、"安全措施"、"记录保管"、"银行网络"等。属于属性的有："帐户数据"、"收据"、"现金"、"事务数据"。属于实现的如："访问"、"软件"等。这些均应除去。 2.准备数据字典 为所有建模实体准备一个数据字典。准确描述各个类的精确含义，描述当前问题中的类的范围，包括对类的成员、用法方面的假设或限制。 3.确定关联 两个或多个类之间的相互依赖就是关联。一种依赖表示一种关联，可用各种方式来实现关联，但在分析模型中应删除实现的考虑，以便设计时更为灵活。关联常用描述性动词或动词词组来表示，其中有物理位置的表示、传导的动作、通信、所有者关系、条件的满足等。从问题陈述中抽取所有可能的关联表述，把它们记下来，但不要过早去细化这些表述。 下面是银行网络系统中所有可能的关联，大多数是直接抽取问题中的动词词组而得到的。在陈述中，有些动词词组表述的关联是不明显的。最后，还有一些关联与客观世界或人的假设有关，必须同用户一起核实这种关联，因为这种关联在问题陈述中找不到。 银行网络问题陈述中的关联： ·银行网络包括出纳站和自动出纳机； ·分行共享自动出纳机； ·分理处提供分理处计算机； ·分理处计算机保存帐户； ·分理处计算机处理帐户支付事务； ·分理处拥有出纳站； ·出纳站与分理处计算机通信； ·出纳员为帐户录入事务； ·自动出纳机接受现金卡； ·自动出纳机与用户接口； ·自动出纳机发放现金； ·自动出纳机打印收据； ·系统处理并发访问； ·分理处提供软件； ·费用分摊给分理处。 隐含的动词词组： ·分行由分理处组成； ·分理处拥有帐户； ·分行拥有分行计算机； ·系统提供记录保管； ·系统提供安全； ·顾客有现金卡。 基于问题域知识的关联： ·分理处雇佣出纳员； ·现金卡访问帐户。 使用下列标准去掉不必要和不正确的关联： （1） 若某个类已被删除，那么与它有关的关联也必须删除或者用其它类来重新表述。在例中，我们删除了"银行网络"，相关的关联也要删除。 （2） 不相干的关联或实现阶段的关联：删除所有问题域之外的关联或涉及实现结构中的关联。如"系统处理并发访问"就是一种实现的概念。 （3） 动作：关联应该描述应用域的结构性质而不是瞬时事件，因此应删除"自动出纳机接受现金卡"，"自动出纳机与用户接口"等。 （4） 派生关联：省略那些可以用其他关联来定义的关联。因为这种关联是冗余的。银行网络系统的初步对象图如图10-20所示。其中含有关联。 4.确定属性 属性是个体对象的性质,属性通常用修饰性的名词词组来表示.形容词常常表示具体的可枚举的属性值,属性不可能在问题陈述中完全表述出来,必须借助于应用域的知识及对客观世界的知识才可以找到它们。只考虑与具体应用直接相关的属性，不要考虑那些超出问题范围的属性。首先找出重要属性，避免那些只用于实现的属性，要为各个属性取有意义的名字。按下列标准删除不必要的和不正确的属性： （1） 对象：若实体的独立存在比它的值重要，那么这个实体不是属性而是对象。如在邮政目录中，"城市"是一个属性，然而在人口普查中，"城市"则被看作是对象。在具体应用中，具有自身性质的实体一定是对象。 （2） 定词：若属性值取决于某种具体上下文，则可考虑把该属性重新表述为一个限定词。 （3） 名称：名称常常作为限定词而不是对象的属性，当名称不依赖于上下文关系时，名称即为一个对象属性，尤其是它不惟一时。 （4） 标识符：在考虑对象模糊性时，引入对象标识符表示，在对象模型中不列出这些对象标识符，它是隐含在对象模型中，只列出存在于应用域的属性。 （5） 内部值：若属性描述了对外不透明的对象的内部状态，则应从对象模型中删除该属性。 （6） 细化：忽略那些不可能对大多数操作有影响的属性。 5.使用继承来细化类 使用继承来共享公共机构，以次来组织类，可以用两种方式来进行。 （1） 自底向上通过把现有类的共同性质一般化为父类，寻找具有相似的属性，关系或操作的类来发现继承。例如"远程事务"和"出纳事务"是类似的，可以一般化为"事务"。有些一般化结构常常是基于客观世界边界的现有分类，只要可能，尽量使用现有概念。对称性常有助于发现某些丢失的类。 （2） 自顶向下将现有的类细化为更具体的子类。具体化常常可以从应用域中明显看出来。应用域中各枚举字情况是最常见的具体化的来源。例如：菜单，可以有固定菜单，顶部菜单，弹出菜单，下拉菜单等，这就可以把菜单类具体细化为各种具体菜单的子类。当同一关联名出现多次且意义也相同时，应尽量具体化为相关联的类，例如"事务"从"出纳站"和"自动出纳机"进入，则"录入站"就是"出纳站"和"自动出纳站"的一般化。在类层次中，可以为具体的类分配属性和关联。各属性和都应分配给最一般的适合的类，有时也加上一些修正。 应用域中各枚举情况是最常见的具体化的来源。 6.完善对象模型 对象建模不可能一次就能保证模型是完全正确的，软件开发的整个过程就是一个不断完善的过程。模型的不同组成部分多半是在不同的阶段完成的，如果发现模型的缺陷，就必须返回到前期阶段去修改，有些细化工作是在动态模型和功能模型完成之后才开始进行的。 （1） 几种可能丢失对象的情况及解决办法： ·同一类中存在毫无关系的属性和操作，则分解这个类，使各部分相互关联； ·一般化体系不清楚，则可能分离扮演两种角色的类 ·存在无目标类的操作，则找出并加上失去目标的类； ·存在名称及目的相同的冗余关联，则通过一般化创建丢失的父类，把关联组织在一起。 （2） 查找多余的类。 类中缺少属性，操作和关联，则可删

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