傅里叶变换的意义

1、门函数F(w)=2w w sin=Sa() w。2、指数函数（单边）f(t)=e-atu(t) F(w)=1，实际上是一个低通滤波器a+jw。3、单位冲激函数F（w）=1，频带无限宽，是一个均匀谱。4、常数1 常数1是一个直流信号，所以它的频谱当然只有在w=0的时候才有值，体现为（w)。F(w)=2(w) 可以由傅里叶变换的对称性得到。5、正弦函数F(ejw0t)=2(w-w0)，相当于是直流信号的移位。F(sinw0t)=F((ejw0t-e-jw0t)/2)=((w-w0)-(w+w0))F(sinw0t)=F((e。6、单位冲击序列jw0t-e-jw0t)/2j)=j((w-w0)-(w+w0)) T(t)=(t-Tn) -这是一个周期函数，每隔T出现一个冲击，周期函数的傅里叶变换是离散的F(T(t))=w0(w-nw0)=w0，w0(w) n=-单位冲击序列的傅里叶变换仍然是周期序列，周期是w0=2T。傅立叶变换：傅立叶变换是指将满足一定条件的某个函数表示成三角函数的积分。傅立叶变换是在对傅立叶级数的研究中产生的。在不同的研究领域，傅立叶变换具有不同的作用。在分析信号的时候 主要考虑的频率、幅值、相位。傅里叶变换的作用主要是将函数转化成多个正弦组合（或e指数）的形式，本质上变换之后信号还是原来的信号只是换了一种表达方式 这样可以更直观的分析一个函数里的频率、幅值、相位成分。所以分析一个复杂的信号只需经过傅里叶变换后可以轻易的看出其频率和相位、幅度分量。

利用傅里叶变换的线性与对称性可以由几个基本的傅里叶变换求取见下图 "sgn(t)不满足绝对可积条件,无法直接用定义算出"...书上这么说的用傅里叶反变换公式和(sinx)/x从0到正无穷的积分=pi/2这个对我来说就太艰深了

f(t)＝2δ(t-1) 已知 F(δ(t))=1 根据时间偏移法则 F(δ(t-1))=exp(jw) F(f(t))=F(2δ(t-1))=2exp(jw)=2cos(w)+2jsin(w)

连续傅里叶变换 一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。 这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。 连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform) 为 即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。 一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。 除此之外，还有其它型式的变换对，以下两种型式亦常被使用。在通信或是信号处理方面，常以 来代换，而形成新的变换对 : 或者是因系数重分配而得到新的变换对： 一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。 当f(t)为偶函数(或奇函数)时,其正弦(或余弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦变换(cosine transform) 或 正弦变换(sine transform). 另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(�6�1ω) = F * (ω) 成立. 参考资料: http://zh.wikipedia.org/wiki/傅里叶变换

（1）傅里叶变换的充分条件：函数f(t)在无限区间上绝对可积。引入广义函数的概念后，许多绝对不可积的函数傅里叶变换也存在。（2）拉普拉斯变换条件：函数f(t)在有限区间内可积；|f(t)|乘上衰减因子后，t趋于无穷的时候趋于0。

DFT（离散傅里叶变换）一般指离散傅里叶变换。离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）傅里叶分析方法是信号分析的最基本方法，傅里叶变换是傅里叶分析的核心，通过它把信号从时间域变换到频率域，进而研究信号的频谱结构和变化规律。物理意义设x(n)是长度为N的有限长序列，则其傅里叶变换，Z变换与离散傅里叶变换分别用以下三个关系式表示：X(e^jω)= ∑n={0,N-1}x(n) e^j-ωn。X(z)= ∑n={0,N-1}x(n)z^-n。X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) e^-j2πkn/N。单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。离散傅里叶变换是x(n)的频谱X(ejω)在[0,2π]上的N点等间隔采样,也就是对序列频谱的离散化,这就是DFT的物理意义。

根据欧拉公式，cosω0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。直流信号的傅里叶变换是2πδ(ω)。根据频移性质可得exp(jω0t)的傅里叶变换是2πδ(ω-ω0)。再根据线性性质，可得cosω0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2的傅里叶变换是πδ(ω-ω0)+πδ(ω+ω0)。扩展资料计算离散傅里叶变换的快速方法，有按时间抽取的FFT算法和按频率抽取的FFT算法。前者是将时域信号序列按偶奇分排，后者是将频域信号序列按偶奇分排。它们都借助于的两个特点：一是周期性；二是对称性，这里符号*代表其共轭。这样，便可以把离散傅里叶变换的计算分成若干步进行，计算效率大为提高。时间抽取算法 　令信号序列的长度为N=2,其中M是正整数，可以将时域信号序列x(n)分解成两部分，一是偶数部分x（2n），另一是奇数部分x（2n+1），于是信号序列x(n）的离散傅里叶变换可以用两个N/2抽样点的离散傅里叶变换来表示和计算。考虑到和离散傅里叶变换的周期性，式⑴可以写成⑶其中（4a）（4b）由此可见，式⑷是两个只含有N/2个点的离散傅里叶变换，G(k）仅包括原信号序列中的偶数点序列，H(k）则仅包括它的奇数点序列。虽然k=0，1，2，…，N-1，但是G(k）和H(k）的周期都是N/2，它们的数值以N/2周期重复。

离散时间傅里叶变换有时也称为序列傅里叶变换。离散时间傅里叶变换实质上就是单位圆上的(双边)Z变换。当时域信号为连续信号时，用连续时间傅里叶变换；为离散信号时，用离散时间傅里叶变换。离散时间傅里叶变换（DTFT，Discrete Time Fourier Transform）使我们能够在频域（数字频域）分析离散时间信号的频谱和离散系统的频响特性。但还存在两个实际问题。1. 数字频率 是一个模拟量，为了便于今后用数字的方法进行分析和处理，仅仅在时域将时间变量t离散化还不够，还必须在频域将数字频率离散化。2. 实际的序列大多为无限长的，为了分析和处理的方便，必须把无限长序列截断或分段，化作有限长序列来处理。DTFT是对任意序列的傅里叶分析，它的频谱是一个连续函数；而DFT是把有限长序列作为周期序列的一个周期，对有限长序列的傅里叶分析，DFT的特点是无论在时域还是频域都是有限长序列。DFT提供了使用计算机来分析信号和系统的一种方法，尤其是DFT的快速算法FFT，在许多科学技术领域中得到了广泛的应用，并推动了数字信号处理技术的迅速发展。

离散傅立叶变换DFT Discrete Fourier Transform.为了在频域利用计算机和数字处理技术来分析信号与系统，就需要将其离散化。

首先，在了解这三个变量之前，你要知道DTFT:DTFT是一种离散时间傅立叶变换，用来表示连续信号的频谱。然后了解DFT:DFT是离散傅立叶变换，针对的是离散信号和频谱。是DFT DTFT的变化，实际上是把连续时间T变成了nT。你为什么这么做？由于计算机工作在数字环境中，无法看到或处理现实中的连续信号，只能进行离散计算，在真实性上尽可能接近连续信号。所以DFT是为了我们用工具分析信号而产生的。通常，我们很少有机会直接使用DTFT。然后了解FFT:首先，DCT是DFT的一种形式。所谓“余弦变换”，是指在DTFT傅里叶级数展开中，如果展开的函数是实偶函数，那么傅里叶级数只含有余弦项，然后通过离散化(DFT)就可以导出余弦变换，所以称为离散余弦变换(DCT)。其实DCT属于DFT的一个子集。DCT广泛应用于语音和图像处理。

1.混叠效应如果x(t)的频谱是带限的，X(f)=0,|f|>fm则由抽样定理，抽样间隔满足Ts=1/2fm如果f(t)的频谱不是带限的，则抽样后频谱总要发生混叠减小抽样间隔Ts，fs增大，可减小混叠，但工作量增加.解决办法：预滤波，再抽样，一般选择Ts<1/(3~5)fm2.泄漏(leakage)若X(f)为有限带宽频谱，则x(t)为时间无限的。为利用FFT分析x(t)的频谱，必须截取x(t)有限范围，即加窗.频域卷积后，使原频带受限的频谱扩展开来(有限带宽拖了尾巴)，这种现象称为泄漏解决方法：改善窗的形状

快速傅里叶变换（FFT）属于离散傅里叶变换（DFT）。快速傅里叶变换是在运算点数为2的N次幂的情况下，对算法作了优化，减少了运算次数，提高了运算速度。

离散时间傅里叶变换有时也称为序列傅里叶变换。离散时间傅里叶变换实质上就是单位圆上的(双边)Z变换。当时域信号为连续信号时，用连续时间傅里叶变换；为离散信号时，用离散时间傅里叶变换。 离散时间傅里叶变换（DTFT，Discrete Time Fourier Transform）使我们能够在频域（数字频域）分析离散时间信号的频谱和离散系统的频响特性。但还存在两个实际问题。 1. 数字频率 是一个模拟量，为了便于今后用数字的方法进行分析和处理，仅仅在时域将时间变量t离散化还不够，还必须在频域将数字频率离散化。 2. 实际的序列大多为无限长的，为了分析和处理的方便，必须把无限长序列截断或分段，化作有限长序列来处理。 DTFT是对任意序列的傅里叶分析，它的频谱是一个连续函数；而DFT是把有限长序列作为周期序列的一个周期，对有限长序列的傅里叶分析，DFT的特点是无论在时域还是频域都是有限长序列。 DFT提供了使用计算机来分析信号和系统的一种方法，尤其是DFT的快速算法FFT，在许多科学技术领域中得到了广泛的应用，并推动了数字信号处理技术的迅速发展。

对函数x（t）进行如下积分，并记为X（ω）：地球物理数据处理基础其中 这称为傅里叶正变换，X（ω）是x（t）的傅里叶变换。利用X（ω）可以重构信号函数x（t），即地球物理数据处理基础称为傅里叶反变换。两式组成一个傅里叶变换对。若t代表空间坐标变量，则ω就代表空间频率域的频率变量，因此称X（ω）为x（t）的频谱函数。傅里叶变换的性质：设f（x），g（x）的傅里叶变换分别是F（ξ），G（ξ），那么（1）线性 af（x）＋bg（x）的傅里叶变换是aF（ξ）＋bG（ξ）（a，b是常数）；（2）褶积（或卷积）f（x）*g（x）＝∫∞－∞f（u）g（x－u）du的傅里叶变换是F（ξ）·G（ξ）；（3）翻转 f（－x）的傅里叶变换是F（－ξ）；（4）共轭 的傅里叶变换是 （5）时移（延迟） f（x－x0）的傅里叶变换是eix0ξF（ξ）；（6）频移（调频） F（ξ－ξ0）是f（x）e－iξ0x的傅里叶变换（ξ0是常数）。上面的定义都是连续型傅里叶变换，然而在地球物理实际计算中都是离散型数据，因此我们感兴趣的是数据是离散的情况，需要将上述傅里叶变换化为有限离散傅里叶变换对：地球物理数据处理基础其中N是数据点数。两个公式除了系数和指数的符号不同外，结构基本相同，式（8－3）为离散傅里叶变换（DFT），式（8－4）为离散傅里叶反变换（IDFT）。

有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)即是该序列的傅里叶(FT)变换在区间[0,2π]上的N点等间隔抽样.

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。 视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。 p.236 - p.256 离散时间傅里叶变换 是一个以频率 为自变量的周期信号，周期为 。 由于离散时间信号只能在整数处取值，所以定义时域扩展信号 那么该扩展后的信号的傅里叶变换为 即原始信号的傅里叶变换在频域上被压缩了 倍。 如果 那么 如果 那么 即输出 的傅里叶变换等于输入两信号的 周期卷积 。 对偶性参考书中p.253的表5.3. 连续时间中，傅里叶变换对 和 对偶； 离散时间中，傅里叶级数对 和 对偶； 此外，连续时间傅里叶级数的分析公式 和离散时间傅里叶变换的综合公式 对偶，连续时间 是周期 上对 的积分，离散时间傅里叶变换 的综合公式是周期 上对 的积分。 对于LTI系统，可以通过下面线性常系数差分方程描述， 系统的频率响应

这种三角函数的一次式除以一次式的很常见的，一般的方法就是把分子写成分母以及分母的导数的线性组合这题就是把分母拆成 (sinx+cosx)/2+(sinx-cosx)/2然后你就懂了吧，被积分的式子就等于1/2+(sinx-cosx)/(2(sinx+cosx))积分等于1/2x-1/2*ln|sinx+cosx|+C

函数f（t）在无限区间上绝对可积。傅里叶变换的条件：在一个以2T为周期内f（X）连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值，在一个周期内具有有限个极值点，绝对可积。

  公式如下图：  傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。  Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。  傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换，②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的像函数，f(t)叫做F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。   ①傅里叶变换  ②傅里叶逆变换  傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。

1》x(n) 做DTFT(离散时间信号的傅里叶变换)得X（ejω）,它是连续周期的. 2》对X（ejω）采样,造成x(n)周期沿拓.即DFS变换对：X1(k)→x1(n).X1(k)是X（ejω）采样后的序列,也是周期的.x1(n)是x(n)周期延拓后的序列. 3》对DFS变换对 各取一个周期就得到DFT变换对.正因为此DFT隐含有周期性. 序列的傅立叶变换(DTFT)与离散傅立叶变换(DFT)是两个不同的定义（他们的关系从上可知）,计算公式不一样.两者变换后一般是复数,纵轴可以代表幅度,也可带变相位,即有幅度谱和相位谱.当然也能按实部,虚部分.

这个证明高数书上就有，莫非，你没学过高数就学福利叶变换了？ 高数书上用三角函数系的理论证明了任何定义在实数域内、周期为2π、满足狄利克雷条件的周期函数都能展开为傅里叶级数，通过伸缩变换，可以扩展到任何周期为2l的函数都能展开。

傅里叶变换的公式表如下：关于傅里叶变幻的介绍如下：傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。傅里叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。但由于其运算量与变换点数N的平方成正比关系，因此，在N较大时，直接应用DFT算法进行谱变换是不切合实际的。然而，快速傅里叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。本文主要描述了采用FPGA来实现2k/4k/8k点FFT的设计方法。Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。

你首先必须记住傅立叶变换的公式！

令 表示一幅大小为 像素的数字图像，其中 。 其二维离散傅里叶变换（DFT）为 离散傅里叶反变换（IDFT）为 令 和 分别表示 的实部和虚部， 则傅里叶谱定义为 变换的相角定义为 极坐标下表示复函数 为 功率谱定义为幅度的平方 如果 是实函数， 则其傅里叶变换关于远点共轭对称 其傅里叶谱也关于原点对称 DTF 和 IDTF 的周期性变换居中使用傅里叶变换滤波时，需要对输入数据进行零填充。语法为 P , Q 为函数结果大小。

傅立叶变换是以时间为自变量的信号和以频率为自变量的频谱函数之间的一种变换关系。由于自变量时间和频率可以是连续的，也可以是离散的，因此可以组成几种不同的变换对非周期的连续时间，连续频率-----傅里叶变换正变换X(jΩ)={-∞,+∞}x(t)*exp^-jΩt dt反变换x（t）=1/2π{-∞,+∞} X(JΩ)*e^jΩt dt由于数字信号处理是希望在计算机上实现各种运算和变换，其所涉及的变量和运算都是离散的，而前面三种傅里叶变换对中，时域或频域中至少有一个域是连续的，所以都不可以在计算机上进行运算和实现，因此对于数字信号处理，应该找到在时域和频域都是离散的傅里叶变换，即离散傅里叶变换前面的讨论已经得出结论:时域的周期性导致频域的离散型，时域的连续函数在频域形成非周期频谱；而时域的离散型造成频域的周期延拓，时域的非周期性对应于频域的连续函数形式。那么对于时域和频域都是离散的离散傅里叶变换，应该形成时域和频域都具有周期性的函数。在工程实际中经常遇到的模拟信号xn(t),其频谱函数Xn(jΩ)也是连续函数，为了利用DFT对xn(t)进行谱分析，对xn(t)进行时域采样得到x(n)= xn(nT),再对x(n)进行DFT，得到X(k)则是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在频率区间[0,2π]上的N点等间隔采样，这里x(n)和X(k)都是有限长序列然而，傅里叶变换理论证明，时间有限长的信号其频谱是无限宽的，反之，弱信号的频谱有限款的则其持续时间将为无限长，因此，按采样定理采样时，采样序列应为无限长，这不满足DFT的条件。实际中，对于频谱很宽的信号，为防止时域采样后产生‘频谱混叠"，一般用前置滤波器滤除幅度较小的高频成分，使信号的贷款小于折叠频率；同样对于持续时间很长的信号，采样点数太多也会导致存储和计算困难，一般也是截取有限点进行计算。上述可以看出，用DFT对模拟信号进行谱分析，只能是近似的，其近似程度取决于信号带宽、采样频率和截取长度

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。 视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。 p.133 - p.147 p.150 - p.152 p.155 - p.159 p.227 - p.236 首先我们证明复指数信号 是LTI系统的特征函数，假设LTI系统的单位脉冲响应为 ，输入 ，那么输出可以通过卷积和得到， 令 ，那么 得证 是离散LTI系统的特征函数， 是特征值。 在傅里叶分析中，只考虑 的情况，也即 ，因此仅考虑 形式的复函数。 回忆第一章学习离散时间周期信号时，一个与连续时间周期信号非常重要的不同点，就是成谐波关系的周期信号只有 个，因为在频率上相差 的整数倍的离散时间复指数信号是一模一样的！那么这就意味着离散时间周期信号的傅里叶级数是一个 有限项级数 。 定义一个离散时间周期信号 ， 基波周期为使上式成立的最小正整数 ，基波频率 。傅里叶分析中我们使用复指数函数 就是一个典型的离散时间周期信号。下面这个式子定义了一组成谐波关系的复指数信号，它们都是周期的，其基波频率都是 的倍数， 因为对于谐波函数来说，频率相差 的整数倍时，两函数相等，具体来说就是谐波函数只有 个， 我们希望利用 的线性组合来表示一个更为一般的周期信号 ，即 注意上面求和中，求和限为 ， 可以从0到 ，也可以1到 ，也可以其他任意 个连续整数。 对于复指数 这样一个周期信号，在一个周期内对自变量 求和， 仔细观察上面的求和式，当 时， 为一个常数1，这时对 求和结果就是 ；而当 取其他值时， 是一个周期信号，周期为 ，那么在周期内对 求和结果为0。 基于以上推导，我们现在来想办法求傅里叶级数系数 。将 的傅里叶级数表达式重写在下面， 首先，左右两边同时乘以 ， 再对自变量 在 内求和， 交换上式等号右边的求和顺序可得， 想不明白上面求和顺序变换的话，可以笨办法展开求和，发现求和顺序变化不影响求和结果。我的理解是求一个 行 列的矩阵元素的和，你可以横着求和也可以竖着求和；又或者说在程序里用for循环求二阶矩阵的和，可以for i包含for j，也可以for j包含for i，这个求和顺序不会影响求和结果。 回到上面的等式，等号右边有一个求和 当 时（或者说相差 的整数倍，我这里就简单点不严谨一下），这个求和结果等于 ；如果 ，这个求和结果为0。 那么可以写出下面这个式子， 这样离散时间周期信号傅里叶级数系数就求出来了， 回想连续时间周期信号傅里叶级数系数的求解，和这里思路一模一样，都是利用了直流为0的周期信号在周期内求和结果等于0的性质。 此外，除了 的傅里叶级数表达是一个有限项级数，与连续时间不同的是，因为 所以， 也就是说， 的值是以 为周期重复的。 由于 的傅里叶级数表达是一个有限项级数，因此离散时间周期信号的傅里叶级数不存在收敛问题，也不存在吉布斯现象。 上面的求和就是 周期卷积 。 这篇笔记一开始，我们定义了 ， 其中 是LTI系统的单位脉冲响应。 被称作 系统函数 ，将 局限在 形式的系统函数被称为系统的 频率响应 ， 令LTI系统输入 为一个周期信号，其傅里叶级数表示为， 输出就是， 考虑某一序列 ，具有有限持续期，也就是说对于整数 和 ，在 的范围之外， 。由这个非周期信号可以构成一个周期序列 ，使得对 来说， 是它的一个周期。随着 的周期 增大， 就在更长的时间间隔内与 相等，而当 时， 。 写出周期信号 的傅里叶级数表达， 因为在 区间内， ，所以 可以写作， 又因为在 区间外，有 ，所以 现定义函数 那么 其中 表示频域中的样本间隔。将 代回到 的傅里叶级数综合公式中， 又因为 ， 随着 ，上式中的求和演变为一个积分，积分宽度为 ，因为求和是对 个宽为 的间隔内完成的，所以积分宽度为 。 上式就是离散时间傅里叶变换。 在离散时间中，由于频率相差 的复指数信号是完全一样的 ，所以 如果 是绝对可积的，即 或者信号 的能量是有限的，即 那么 的傅里叶变换 就是收敛的。 对于综合公式，因为积分区间是有限的，因此一般不存在收敛问题，而且也不会有吉布斯现象。 与连续时间相同，利用把一个周期信号的变换表示成频域中的冲激串的办法，就可以把离散时间周期信号也划入到傅里叶变换的框架中。考虑如下信号， 我们在学习连续时间周期信号傅里叶变换时，知道 的傅里叶变换就是一个发生在 处的冲激。于是我们期望在离散时间中也会有相同结果。然而离散时间傅里叶变换对 来说必须是周期的，周期为 ，那么 的傅里叶变换应该就是发生在 、 、 等处的冲激，即 为了验证上式，求 的傅里叶逆变换， 注意看，这里积分区间为 ，因此整个积分区间内只会有一个冲激，假设积分区间内的冲激发生在 ，那么 这就证明了 现在我们考虑一个周期序列 ，周期为 ，其傅里叶级数为 那么我们就可以写出 的傅里叶变换

Fourier transformation

最近看了许多傅里叶的东西，有了一定的体会与了解，也姑且做以总结，可能有纰漏或瑕疵，还请见谅。 预备知识：联系周期信号的傅里叶级数、采样定理、卷积定理、变量替换、正交基…… （1）首先从联系连续周期信号的三角型傅里叶级数说起（FS）：，其中 上式可以转换为：其中： （2）傅里叶级数的指数形式（FS） 欧拉公式： 将上述欧拉公式代入到（1）中的三角型傅里叶级数中，得到傅里叶级数的指数形式： （一） 其中Fn=（an-j*bn）/2 （式子2） 由上式以及傅里叶级数的三角形式可得：Fn表示傅里叶级数的系数，对应频域的各幅度，由（一）展开式可得，连续周期函数对应的频谱是非周期离散的。 （3）连续非周期信号（FT） 当连续周期信号的周期 T 趋近于无穷大的时候，连续周期信号就变成了连续非周期信号。 当周期 T 趋近于无穷大是，相邻谱线的间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱密集成连续频谱，同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念： ，称F（jw）为频谱密度函数。 （二） （三） （二）称为f(t)的傅里叶变换，（三）为函数F(jw)的傅里叶逆变换。 F(jw)称为f(t)的频谱密度函数或频谱密度。 （4）离散非周期序列(DTFT) 对连续非周期信号f(t)进行等间隔采样，得离散非周期序列： 时域采样对应于频域的周期延拓，由卷积定理可推导如下：进而可得离散非周期信号的傅里叶变换（即离散时间傅里叶变换DTFT）为： 可见X(e^(jw))是w的连续周期函数，周期为2pi，上式称为离散时间傅里叶变换（DTFT），下式称为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT）。 （4）离散周期序列（DFS） 要由离散非周期序列推导离散周期序列需要分两种情况： 1.如果离散非周期序列的长度有限，为N，此时可以直接对离散非周期序列的频谱进行等间隔取样（满足频域采样定理），可以利用卷积定理推导得到（类似离散非周期序列中的推导）离散周期序列： 进而可以推导出离散傅里叶级数（DFS） 2.如果离散非周期序列的长度无限，需要对其加窗截取，相当于乘以一个门序列，然后按照 1 中的方法进行处理即可。 由以上推导出离散周期序列的离散傅里叶级数（DFS）： 此时，时域、频域均是周期为N的周期序列。 上式称为周期序列的离散傅里叶级数（DFS） 下式表示离散傅里叶级数展开式（逆变换），DFS表示求离散傅里叶系数。 （5）有限长离散非周期序列（离散傅里叶变换DFT） 先对有限长序列x(n)周期延拓，得到离散周期序列，然后对其进行DFS得到离散的周期序列X(K),然后对其取主值序列就得到了x(n)对应的DFT。上式称为离散傅里叶变换（DFT），其快速算法（FFT） 下式称为离散傅里叶逆变换（IDFT），其快速算法（IFFT） （6）拉普拉斯变换 由于有些函数的傅里叶变换不存在，此时可以对其乘以一个衰减因子e^(-△t)，△是常数。然后对其进行傅里叶变换。 此过程就可以由傅里叶变换推导到拉普拉斯变换（实际傅里叶变换是拉普拉斯变换的特殊情况，即虚轴上的拉普拉斯变换就对于傅里叶变换）。同样，如果从0开始积分则对应单边拉普拉斯变换。 注意收敛域。 （7）z变换 类似拉普拉斯变换，由于有些序列的离散时间傅里叶变换（DTFT）不存在，此时就引出了z变换。序列在单位圆上的z变换就对应离散时间傅里叶变换（DTFT）， 序列在单位圆上的z变换的N点等间隔采样就对应了离散傅里叶变换（DFT） 注：1.至于各种变换的性质，如移位性质，尺度变换，对称性，卷积定理，微分，积分，只要根据定义，利用变量替换等都很容易求得。 2.某一域的连续 对应 另一域的非周期 某一域的离散 对应 另一域的周期 3.时域采样定理：fs>=2fm 频域采样定理：ts>=2tm

只学过高等数学里的傅里叶级数没听说过还有双重的

先计算f(x)的Fourier系数a0=(1/π)*∫(-π,π) f(x) dx=(1/π)*∫(0,π) (x+1) dx=(1/π)*(x^2/2+x) | (0,π)=(1/π)(π^2/2+π)=π/2+1an=(1/π)*∫(-π,π) f(x)cos(nx) dx=(1/π)*∫(0,π) (x+1)cos(nx) dx=((-1)^n-1)/(πn^2)bn=(1/π)*∫(-π,π) f(x)sin(nx) dx=(1/π)*∫(0,π) (x+1)sin(nx) dx=((π+1)(-1)^(n+1)+1)/(πn)由此可得f(x)~S(x)=a0/2+∑(n=1,∞)(an*cos(nx)+bn*sin(nx)) =π/4+1/2+∑(n=1,∞)([((-1)^n-1)/(πn^2)]*cos(nx)+[((π+1)(-1)^(n+1)+1)/(πn)]*sin(nx))又因为f(x)为逐段可微函数因此S(x)收敛到[f(x+0)+f(x-0)]/2那么，S(2π)=S(0)=[f(0+0)+f(0-0)]/2=(1+0)/2=1/2有不懂欢迎追问

设f是定义在[-π,π]上的偶函数,易知其傅里叶系数为an=2/π∫(0-->π)f(x)cosnxdx,n=0,1,2...bn=0其傅里叶级数为f(x)=a0/2+∑(n=1-->∞)ancosnx称为傅里叶余弦级数

一． 傅里叶级数的三角函数形式 设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为T，频率和角频率分别为f , ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。即 其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅，不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波，A1，ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍，称为二次谐波，A2，ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波，四次谐波等。基波，三次谐波，五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波，四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外，其余各项统称为高次谐波。式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。 上式有可改写为如下形式，即 当A0，An, ψn求得后，代入式 (10-2-1)，即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。 把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析。工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种，它们的傅里叶级数展开式前人都已作出，可从各种数学书籍中直接查用。 从式（10-2-3）中看出，将n换成(-n)后即可证明有 a-n=an b-n=-bn A-n=An ψ-n=-ψn 即an和An是离散变量n的偶函数，bn和ψn是n的奇函数。 二． 傅里叶级数的复指数形式 将式（10-2-2）改写为 可见 与 互为共轭复数。代入式（10-2-4）有 上式即为傅里叶级数的复指数形式。 下面对和上式的物理意义予以说明： 由式（10-2-5）得的模和辐角分别为 可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次谐波的振幅An与初相角ψn，物理意义十分明确，故称为第n次谐波的复数振幅。 的求法如下：将式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有 上式即为从已知的f(t)求的公式。这样我们即得到了一对相互的变换式（10-2-8）与（10-2-7），通常用下列符号表示，即 即根据式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再将所求得的代入式（10-2-7），即将f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级数。 在（10-2-7）中，由于离散变量n是从（-∞）取值，从而出现了负频率（-nω1）。但实际工程中负频率是无意义的，负频率的出现只具有数学意义，负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的，它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量。即 引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn；（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便。

一．傅里叶级数的三角函数形式设f(t)为一非正弦周期函数,其周期为T,频率和角频率分别为f,ω1.由于工程实际中的非正弦周期函数,一般都满足狄里赫利条件,所以可将它展开成傅里叶级数.即其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅,不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量.A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波,A1,ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍,称为二次谐波,A2,ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波,四次谐波等.基波,三次谐波,五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波,四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外,其余各项统称为高次谐波.式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加.上式有可改写为如下形式,即当A0,An,ψn求得后,代入式(10-2-1),即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式.把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析.工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种,它们的傅里叶级数展开式前人都已作出,可从各种数学书籍中直接查用.从式（10-2-3）中看出,将n换成(-n)后即可证明有a-n=anb-n=-bnA-n=Anψ-n=-ψn即an和An是离散变量n的偶函数,bn和ψn是n的奇函数.二．傅里叶级数的复指数形式将式（10-2-2）改写为可见与互为共轭复数.代入式（10-2-4）有上式即为傅里叶级数的复指数形式.下面对和上式的物理意义予以说明：由式（10-2-5）得的模和辐角分别为可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次谐波的振幅An与初相角ψn,物理意义十分明确,故称为第n次谐波的复数振幅.的求法如下：将式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有上式即为从已知的f(t)求的公式.这样我们即得到了一对相互的变换式（10-2-8）与（10-2-7）,通常用下列符号表示,即即根据式（10-2-8）由已知的f(t)求得,再将所求得的代入式（10-2-7）,即将f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级数.在（10-2-7）中,由于离散变量n是从（-∞）取值,从而出现了负频率（-nω1）.但实际工程中负频率是无意义的,负频率的出现只具有数学意义,负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的,它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量.即引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn；（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便.

傅里叶公式：sin^2(α)+cos^2(α)=1。法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

一般地，在解题时，用奇延拓和偶延拓都是可以的。但是在有一类题目中，即先让你将f（x）化成傅里叶级数，然后再利用级数求某一具体的级数的值，这个时候，就必须要采用合适的方法，我们一般是先用两种方法计算，然后再比较得出的傅里叶级数和所求级数，从而选择用奇延拓还是偶延拓~

正弦级数奇延拓，余弦级数偶延拓

解析：∵s(x)是傅里叶正弦级数（展开式中只含正弦项；奇函数的傅里叶级数只含有正弦项）∴可将f(x)奇式延拓至区间（-π，0），就是使F(x)在区间（-π，π）成为一个奇函数。即 { -π ，-π<x<-π/2 F(x)={ x ，-π/2≤x≤π/2 { π ，π/2<x<π F(x)在区间[0,π)与f(x)重合当x是函数F(x)的间断点时，它的和等于左、右极限的平均值，即s(x)=1/2[f(x-0)+f(x+0)]∵当x=-π/2时，恰为函数F(x)的间断点∴s(-π/2)=1/2[f(-π/2-0)+f(-π/2+0)]=1/2[(-π)+(-π/2)]==-3π/4。祝学习进步！

傅里叶级数展开公式是 F^(ω)=∫（上限+∞,下限-∞)f(t)exp(-iωt)dt。傅里叶展开式是指用三角级数表示的形式，即一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。若函数f(x)的傅里叶级数处处收敛于f (x)，则此级数称为f(x)的傅里叶展开式。性质1、收敛性傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。2、正交性所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性。

那是非常有用。 从技术上讲，傅里叶级数以及发展出来的傅里叶变换，傅里叶分析，可以把一个时间域上的信号转化到频率域上（当然，也可以转回来），这在工科中的应用非常之多。 一个我想到的最简单的例子：一个连续的信号，我想转成离散的信号传输，那么我可以使用傅里叶变换把它写成傅里叶级数的形式(这是一个无穷的级数和)，然后我通过滤波舍弃掉过于高频的部分（这部分可以理解为噪音），剩下来的就是一个有限和，那么这个复杂的连续信号就可以用有限个傅里叶系数（和相应的基）表示出来，传输时也只用传输这有限个离散量了。传输到后，只要通过傅里叶逆变换就又变成原来的信号（去掉高频部分）了。 从哲学上讲，傅里叶变换为我们提供了一种新的观察、分析事物的角度，而且在很多时候，这一角度比变换前更接近事物的本质。傅里叶变换可以抽象出一个分析模式：对处于某个域（如：周期函数域）上的对象的研究，我们可以先建立这个域上的一组基（如：傅里叶基），这个域上的对象都可以用这组基（唯一地）表示出来（如：傅里叶变换），而且这组基本身有一些很好的性质（正交性，可解释性等等），那么对这种对象的研究，就可以转化为对对象在这组基上的投影的研究。通常可以得到一些很好的性质，这些性质可以通过某种方法（如：傅里叶逆变换）应用到原对象上。傅里叶变换是这种思维方法最简单也是最广泛的应用之一。以后还有很多相似的分析方法，如一般正交基，BERNSTAIN基等等。还有抽象数学中很多原空间中难以解决的问题就到其对偶空间上解决，也是类似的思想。

　　应该是x≠nπ，因为 x=nπ 是 f(x) 不连续点，而 　　      中的等号仅在连续点成立。

基本要有是绝对可积具体条件1.可积2.有限间断点3 间断点处函数极限存在

傅里叶级数的三角函数形式 设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为T，频率和角频率分别为f , ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。即 其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅，不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波，A1，ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍，称为二次谐波，A2，ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波，四次谐波等。基波，三次谐波，五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波，四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外，其余各项统称为高次谐波。式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。 上式有可改写为如下形式，即 当A0，An, ψn求得后，代入式 (10-2-1)，即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。 把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析。工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种，它们的傅里叶级数展开式前人都已作出，可从各种数学书籍中直接查用。 从式（10-2-3）中看出，将n换成(-n)后即可证明有 a-n=an b-n=-bn A-n=An ψ-n=-ψn 即an和An是离散变量n的偶函数，bn和ψn是n的奇函数。 二． 傅里叶级数的复指数形式 将式（10-2-2）改写为 可见 与 互为共轭复数。代入式（10-2-4）有 上式即为傅里叶级数的复指数形式。 下面对和上式的物理意义予以说明： 由式（10-2-5）得的模和辐角分别为 可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次谐波的振幅An与初相角ψn，物理意义十分明确，故称为第n次谐波的复数振幅。 的求法如下：将式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有 上式即为从已知的f(t)求的公式。这样我们即得到了一对相互的变换式（10-2-8）与（10-2-7），通常用下列符号表示，即 即根据式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再将所求得的代入式（10-2-7），即将f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级数。 在（10-2-7）中，由于离散变量n是从（-∞）取值，从而出现了负频率（-nω1）。但实际工程中负频率是无意义的，负频率的出现只具有数学意义，负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的，它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量。即 引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn；（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便。 高等数学中的傅立叶级数 傅立叶系数 傅立叶系数包括系数 ，积分号和它的积分域，以及里面的两个周期函数的乘积——其中一个是关于f的，另一个是关于x的函数f(x),另一个则是和级数项n有关的三角函数值。这个三角函数可以是正弦，也可以是余弦，因此傅立叶系数包括正弦系数和余弦系数。其中当n=0时，余弦值为1，此时存在一个特殊的系数 ，它只与x有关。正弦系数再成一个正弦，余弦再乘一个余弦，相加并且随n求和，再加上一半的 ，就称为了这个特别的函数f(x)的傅立叶级数。为什么它特别呢，我想因为这里只有它只限于一个周期函数而已，而级数的周期就是f(x)的周期，2 。 如果函数f(x)存在一个周期，但是不是2 了，而是关于y轴对称的任意一个范围，它还能写成傅立叶级数么？也可以的。只要把傅立叶系数里的 换成l，并且把积分号里的三角函数中的n 下除一个l，同时把系数以外的那个n 底下也除一个l。其他的都不动。也可以认为，2 周期的傅立叶级数其实三角函数中x前面的系数应该是 ，其他的 （积分域和系数）应该是x，只不过这时所有的l都是 罢了。 前面提及了，周期或是积分域，是关于y轴的一个任意范围。其实周期函数不用强调这个，但是为什么还要说呢？因为要特别强调一下定义域是满的。有些函数的定义域不是满的，是0到l，当然这样它有可能不是周期的。这些函数能写成傅立叶级数么？同样可以。而且，它的写法不再是正弦和余弦函数的累积，而是单独的一个正弦函数或是余弦函数。具体怎么写，就取决于怎么做。因为域是一半的，所以自然而然想到把那一半补齐，f就成了周期函数。补齐既可以补成奇函数也可以补成偶函数。补成积函数，写成的级数只有正弦项，即 为0。补成偶函数，写成的级数就只含有余弦项和第一项，即 为0。而，傅立叶系数相比非积非偶的函数要大一倍。 其实，如果不经延拓，上面那些对于奇偶函数同样使用。 在做题时，常常看到级数后面跟着一个系数还有一个正弦函数，然后后面给出了这个系数很复杂的一串式子，这时候就容易突然短路了。但是如果再定睛一看，会发现其实那个系数不过是一个有积分的傅立叶系数而已。那么一大串，应该看什么呢？应当先看积分域，一下就可以定出周期了。第二步要明确级数和函数的关系即等价关系。函数不但包含在级数中，而且函数本身也是和级数等价的。但一般那个级数里的函数是一个摆设，不起什么作用

因为∫axcosnxdx=ax/n*sin(nx)-a/n∫sin(nx)dx=ax/n*sin(nx)+a/n²*cos(nx)+C∫axsinnxdx=-ax/n*cos(nx)+a/n∫cos(nx)dx=a/n²*sin(nx)-ax/n*cos(nx)+C所以an=∫(-π到π)axcosnxdx=0bn=∫(-π到π)axsinnxdx=-2aπ/n*cos(nπ)故若n为奇数，则bn=2aπ/n若n为偶数，则bn=-2aπ/n所以函数f(x)的傅里叶级数为f(x)=2aπ*sinx-2aπ/2*sin2x+2aπ/3*sin3x-2aπ/4*sin4x+……

一． 傅里叶级数的三角函数形式 设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为T，频率和角频率分别为f , ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。即 其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅，不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波，A1，ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍，称为二次谐波，A2，ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波，四次谐波等。基波，三次谐波，五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波，四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外，其余各项统称为高次谐波。式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。 上式有可改写为如下形式，即 当A0，An, ψn求得后，代入式 (10-2-1)，即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。 把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析。工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种，它们的傅里叶级数展开式前人都已作出，可从各种数学书籍中直接查用。 从式（10-2-3）中看出，将n换成(-n)后即可证明有 a-n=an b-n=-bn A-n=An ψ-n=-ψn 即an和An是离散变量n的偶函数，bn和ψn是n的奇函数。 二． 傅里叶级数的复指数形式 将式（10-2-2）改写为 可见 与 互为共轭复数。代入式（10-2-4）有 上式即为傅里叶级数的复指数形式。 下面对和上式的物理意义予以说明： 由式（10-2-5）得的模和辐角分别为 可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次谐波的振幅An与初相角ψn，物理意义十分明确，故称为第n次谐波的复数振幅。 的求法如下：将式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有 上式即为从已知的f(t)求的公式。这样我们即得到了一对相互的变换式（10-2-8）与（10-2-7），通常用下列符号表示，即 即根据式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再将所求得的代入式（10-2-7），即将f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级数。 在（10-2-7）中，由于离散变量n是从（-∞）取值，从而出现了负频率（-nω1）。但实际工程中负频率是无意义的，负频率的出现只具有数学意义，负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的，它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量。即 引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn；（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便。

一．傅里叶级数的三角函数形式设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为T，频率和角频率分别为f,ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。即其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅，不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波，A1，ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍，称为二次谐波，A2，ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波，四次谐波等。基波，三次谐波，五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波，四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外，其余各项统称为高次谐波。式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。上式有可改写为如下形式，即当A0，An,ψn求得后，代入式(10-2-1)，即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析。工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种，它们的傅里叶级数展开式前人都已作出，可从各种数学书籍中直接查用。从式（10-2-3）中看出，将n换成(-n)后即可证明有a-n=anb-n=-bnA-n=Anψ-n=-ψn即an和An是离散变量n的偶函数，bn和ψn是n的奇函数。二．傅里叶级数的复指数形式将式（10-2-2）改写为可见与互为共轭复数。代入式（10-2-4）有上式即为傅里叶级数的复指数形式。下面对和上式的物理意义予以说明：由式（10-2-5）得的模和辐角分别为可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次谐波的振幅An与初相角ψn，物理意义十分明确，故称为第n次谐波的复数振幅。的求法如下：将式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有上式即为从已知的f(t)求的公式。这样我们即得到了一对相互的变换式（10-2-8）与（10-2-7），通常用下列符号表示，即即根据式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再将所求得的代入式（10-2-7），即将f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级数。在（10-2-7）中，由于离散变量n是从（-∞）取值，从而出现了负频率（-nω1）。但实际工程中负频率是无意义的，负频率的出现只具有数学意义，负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的，它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量。即引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn；（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便。

　　若未确定函数 f(x) 是连续的，则　　　　f(x) ~ 其傅里叶级数，一般的，　　　　[f(x-0)+ f(x+0)]/2 = f(x) 的傅里叶级数；仅当f(x) 是连续函数时，　　　　f(x) = 其傅里叶级数。

法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯- 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用

详情如图所示有任何疑惑，欢迎追问

一． 傅里叶级数的三角函数形式 设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为T，频率和角频率分别为f , ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。即 其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅，不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波，A1，ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍，称为二次谐波，A2，ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波，四次谐波等。基波，三次谐波，五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波，四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外，其余各项统称为高次谐波。式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。 上式有可改写为如下形式，即 当A0，An, ψn求得后，代入式 (10-2-1)，即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。 把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析。工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种，它们的傅里叶级数展开式前人都已作出，可从各种数学书籍中直接查用。 从式（10-2-3）中看出，将n换成(-n)后即可证明有 a-n=an b-n=-bn A-n=An ψ-n=-ψn 即an和An是离散变量n的偶函数，bn和ψn是n的奇函数。 二． 傅里叶级数的复指数形式 将式（10-2-2）改写为 可见 与 互为共轭复数。代入式（10-2-4）有 上式即为傅里叶级数的复指数形式。 下面对和上式的物理意义予以说明： 由式（10-2-5）得的模和辐角分别为 可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次谐波的振幅An与初相角ψn，物理意义十分明确，故称为第n次谐波的复数振幅。 的求法如下：将式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有 上式即为从已知的f(t)求的公式。这样我们即得到了一对相互的变换式（10-2-8）与（10-2-7），通常用下列符号表示，即 即根据式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再将所求得的代入式（10-2-7），即将f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级数。 在（10-2-7）中，由于离散变量n是从（-∞）取值，从而出现了负频率（-nω1）。但实际工程中负频率是无意义的，负频率的出现只具有数学意义，负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的，它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量。即 引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn；（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便。 高等数学中的傅立叶级数傅立叶系数傅立叶系数包括系数 ，积分号和它的积分域，以及里面的两个周期函数的乘积——其中一个是关于f的，另一个是关于x的函数f(x),另一个则是和级数项n有关的三角函数值。这个三角函数可以是正弦，也可以是余弦，因此傅立叶系数包括正弦系数和余弦系数。其中当n=0时，余弦值为1，此时存在一个特殊的系数 ，它只与x有关。正弦系数再成一个正弦，余弦再乘一个余弦，相加并且随n求和，再加上一半的 ，就称为了这个特别的函数f(x)的傅立叶级数。为什么它特别呢，我想因为这里只有它只限于一个周期函数而已，而级数的周期就是f(x)的周期，2 。如果函数f(x)存在一个周期，但是不是2 了，而是关于y轴对称的任意一个范围，它还能写成傅立叶级数么？也可以的。只要把傅立叶系数里的 换成l，并且把积分号里的三角函数中的n 下除一个l，同时把系数以外的那个n 底下也除一个l。其他的都不动。也可以认为，2 周期的傅立叶级数其实三角函数中x前面的系数应该是 ，其他的 （积分域和系数）应该是x，只不过这时所有的l都是 罢了。前面提及了，周期或是积分域，是关于y轴的一个任意范围。其实周期函数不用强调这个，但是为什么还要说呢？因为要特别强调一下定义域是满的。有些函数的定义域不是满的，是0到l，当然这样它有可能不是周期的。这些函数能写成傅立叶级数么？同样可以。而且，它的写法不再是正弦和余弦函数的累积，而是单独的一个正弦函数或是余弦函数。具体怎么写，就取决于怎么做。因为域是一半的，所以自然而然想到把那一半补齐，f就成了周期函数。补齐既可以补成奇函数也可以补成偶函数。补成积函数，写成的级数只有正弦项，即 为0。补成偶函数，写成的级数就只含有余弦项和第一项，即 为0。而，傅立叶系数相比非积非偶的函数要大一倍。其实，如果不经延拓，上面那些对于奇偶函数同样使用。在做题时，常常看到级数后面跟着一个系数还有一个正弦函数，然后后面给出了这个系数很复杂的一串式子，这时候就容易突然短路了。但是如果再定睛一看，会发现其实那个系数不过是一个有积分的傅立叶系数而已。那么一大串，应该看什么呢？应当先看积分域，一下就可以定出周期了。第二步要明确级数和函数的关系即等价关系。函数不但包含在级数中，而且函数本身也是和级数等价的。但一般那个级数里的函数是一个摆设，不起什么作用