4×4矩阵手算怎么算

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注意B是一个满秩的矩阵那么别的矩阵乘矩阵B对其秩就不会有改变这里r(a）=2,所以r（AB）=2

逻辑回归原理的基本概念1.什么是逻辑回归？Logistic回归是这样一个过程:面对一个回归或分类问题，建立代价函数，然后通过最优化方法迭代求解最优的模型参数，然后对我们求解的模型的质量进行检验和验证。Logistic回归其实是一种分类方法，虽然名字叫“回归”。主要用于两个分类问题(即只有两个输出，分别代表两个类别)。在回归模型中，Y是一个定性变量，如y=0或1。logistic方法主要用于研究某些事件发生的概率。2.逻辑回归的优点和缺点优势:1)速度快，适用于二分类问题。2)简单易懂，直接看到每个特征的权重3)模型可以容易地更新以吸收新数据。缺点:对数据和场景的适应性有限，不如决策树算法强。3.逻辑回归和多元线性回归的区别逻辑回归和多元线性回归其实有很多共同点。最大的区别是它们的因变量不同，而其他的基本相同。因此，这两个回归可以属于同一个家族，即广义线性模型。这个家族中的模型除了因变量不同之外，在形式上基本相似。这个家族中的模型除了因变量不同之外，在形式上基本相似。如果是连续的，就是多元线性回归。如果是二项分布，就是Logistic回归。如果是泊松分布，就是泊松回归。如果是负二项分布，就是负二项回归。4.逻辑回归的使用寻找危险因素:寻找某种疾病的危险因素等。；预测:根据模型，预测不同自变量下某种疾病或情况发生的概率；辨别:其实和预测差不多。也是基于模型来判断某人属于某种疾病或情况的概率，也就是看这个人属于某种疾病的可能性有多大。5.回归的一般步骤寻找H函数(即预测函数)j函数(损失函数)尝试最小化J函数，得到回归参数(θ)。6.构造预测函数h(x)1)逻辑函数(或Sigmoid函数)，其函数形式为:__对于线性边界的情况，边界形式如下:_训练数据是一个向量。_最佳参数_预测函数是:_函数h(x)的值具有特殊的含义，它表示结果为1的概率。因此，对于输入x，将结果分类到类别1和类别0的概率是:p(y = 1│x；θ)=h_θ (x)p(y = 0│x；θ)=1-h_θ (x)7.构造损失函数J(m个样本，每个样本具有N个特征)代价函数和J函数如下，基于极大似然估计导出。_8.损失函数的详细推导过程1)找到成本函数概率被组合并写成:_

线性回归和逻辑回归的区别：性质不同、应用不同。一、性质不同。1、逻辑回归：是一种广义的线性回归分析模型。2、线性回归：利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。二、应用不同。1、逻辑回归：常用于数据挖掘，疾病自动诊断，经济预测等领域。2、线性回归：常运用于数学、金融、趋势线、经济学等领域。线性回归要求因变量必须是连续性数据变量；逻辑回归要求因变量必须是分类变量，二分类或者多分类的；比如要分析性别、年龄、身高、饮食习惯对于体重的影响，如果这个体重是属于实际的重量，是连续性的数据变量，这个时候就用线性回归来做；如果将体重分类，分成了高、中、低这三种体重类型作为因变量，则采用logistic回归。线性回归的特点：线性回归是利用称为线性回归方程的最小二乘函数对一个或多个自变量和因变量之间关系进行建模的一种回归分析。其表达形式为y=w"x+e，e为误差服从均值为0的正态分布。回归分析中有多个自变量：这里有一个原则问题，这些自变量的重要性，究竟谁是最重要，谁是比较重要，谁是不重要。所以，spss线性回归有一个和逐步判别分析的等价的设置。回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。

线性回归要求因变量必须是连续性数据变量；逻辑回归要求因变量必须是分类变量，二分类或者多分类的；比如要分析性别、年龄、身高、饮食习惯对于体重的影响，如果这个体重是属于实际的重量，是连续性的数据变量，这个时候就用线性回归来做；如果将体重分类，分成了高、中、低这三种体重类型作为因变量，则采用logistic回归。延展回答：逻辑回归又称logistic回归分析，是一种广义的线性回归分析模型，常用于数据挖掘，疾病自动诊断，经济预测等领域。例如，探讨引发疾病的危险因素，并根据危险因素预测疾病发生的概率等。以胃癌病情分析为例，选择两组人群，一组是胃癌组，一组是非胃癌组，两组人群必定具有不同的体征与生活方式等。线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛。其表达形式为y = w"x+e，e为误差服从均值为0的正态分布。回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。在统计学中，线性回归(Linear Regression)是利用称为线性回归方程的最小平方函数对一个或多个自变量和因变量之间关系进行建模的一种回归分析。这种函数是一个或多个称为回归系数的模型参数的线性组合。只有一个自变量的情况称为简单回归,大于一个自变量情况的叫做多元回归。

有如下模型：1、二项logistic回归：因变量为两种结局的二分类变量，如中奖=1、未中奖=0；自变量可以为分类变量，也可以为连续变量；阳性样本量n要求是自变量个数至少10倍。2、无序多分类logistic回归：因变量为无序的多分类变量，如获取健康知识途径（传统大众媒介=1，网络=2，社区宣传=3）；自变量可以为分类变量，也可以为连续变量；也可用于因变量为有序多分类变量，但不满足平行检验条件的数据资料。原理：用因变量的各个水平（除参照水平外）与参照水平比值的自然对数来建立模型方程。3、有序多分类logistic回归：因变量为有序的多分类变量，如病情严重程度（轻度=1，中度=2，重度=3）；自变量可以为分类变量，也可以为连续变量。原理：将因变量的多个分类依次分割为多个二元的Logistic回归；须进行平行线检验，即检验自变量系数是否相等，如不满足，则使用无需多分类logistic回归。

逻辑回归 启发 推导

logistic回归是一种广义线性回归（generalized linear model），因此与多重线性回归分析有很多相同之处。它们的模型形式基本上相同，都具有 w‘x+b，其中w和b是待求参数，其区别在于他们的因变量不同，多重线性回归直接将w‘x+b作为因变量，即y =w‘x+b，而logistic回归则通过函数L将w‘x+b对应一个隐状态p，p =L(w‘x+b),然后根据p 与1-p的大小决定因变量的值。如果L是logistic函数，就是logistic回归，如果L是多项式函数就是多项式回归。[1]logistic回归的因变量可以是二分类的，也可以是多分类的，但是二分类的更为常用，也更加容易解释，多类可以使用softmax方法进行处理。实际中最为常用的就是二分类的logistic回归。[1]Logistic回归模型的适用条件1 因变量为二分类的分类变量或某事件的发生率，并且是数值型变量。但是需要注意，重复计数现象指标不适用于Logistic回归。2 残差和因变量都要服从二项分布。二项分布对应的是分类变量，所以不是正态分布，进而不是用最小二乘法，而是最大似然法来解决方程估计和检验问题。3 自变量和Logistic概率是线性关系4 各观测对象间相互独立。[2]原理：如果直接将线性回归的模型扣到Logistic回归中，会造成方程二边取值区间不同和普遍的非直线关系。因为Logistic中因变量为二分类变量，某个概率作为方程的因变量估计值取值范围为0-1，但是，方程右边取值范围是无穷大或者无穷小。所以，才引入Logistic回归。[2]Logistic回归实质：发生概率除以没有发生概率再取对数。就是这个不太繁琐的变换改变了取值区间的矛盾和因变量自变量间的曲线关系。究其原因，是发生和未发生的概率成为了比值 ，这个比值就是一个缓冲，将取值范围扩大，再进行对数变换，整个因变量改变。不仅如此，这种变换往往使得因变量和自变量之间呈线性关系，这是根据大量实践而总结。所以，Logistic回归从根本上解决因变量要不是连续变量怎么办的问题。还有，Logistic应用广泛的原因是许多现实问题跟它的模型吻合。例如一件事情是否发生跟其他数值型自变量的关系。[2]注意：如果自变量为字符型，就需要进行重新编码。一般如果自变量有三个水平就非常难对付，所以，如果自变量有更多水平就太复杂。这里只讨论自变量只有三个水平。非常麻烦，需要再设二个新变量。共有三个变量，第一个变量编码1为高水平，其他水平为0。第二个变量编码1为中间水平，0为其他水平。

逻辑回归，这个算法由于简单、实用、高效，在业界应用十分广泛。注意咯，这里的“逻辑”是音译“逻辑斯蒂（logistic）”的缩写，并不是说这个算法具有怎样的逻辑性。前面说过，机器学习算法中的监督式学习可以分为2大类：分类模型：目标变量是分类变量（离散值）；回归模型：目标变量是连续性数值变量。逻辑回归通常用于解决分类问题，例如，业界经常用它来预测：客户是否会购买某个商品，借款人是否会违约等等。实际上，“分类”是应用逻辑回归的目的和结果，但中间过程依旧是“回归”。为什么这么说？因为通过逻辑回归模型，我们得到的计算结果是0-1之间的连续数字，可以把它称为“可能性”（概率）。对于上述问题，就是：客户购买某个商品的可能性，借款人违约的可能性。然后，给这个可能性加一个阈值，就成了分类。例如，算出贷款违约的可能性>0.5，将借款人预判为坏客户。

线性回归要求因变量必须是连续性数据变量；逻辑回归要求因变量必须是分类变量，二分类或者多分类的；比如要分析性别、年龄、身高、饮食习惯对于体重的影响，如果这个体重是属于实际的重量，是连续性的数据变量，这个时候就用线性回归来做；如果将体重分类，分成了高、中、低这三种体重类型作为因变量，则采用logistic回归。线性回归的特征：回归分析中有多个自变量：这里有一个原则问题，这些自变量的重要性，究竟谁是最重要，谁是比较重要，谁是不重要。所以，spss线性回归有一个和逐步判别分析的等价的设置。原理：是F检验。spss中的操作是“分析”～“回归”～“线性”主对话框方法框中需先选定“逐步”方法～“选项”子对话框。

1.二项式逻辑回归:因变量是有两种结果的二元变量，比如赢=1，输= 0；自变量可以是分类变量，也可以是连续变量；要求正样本数N至少是自变量数的10倍。2.无序多分类逻辑回归；因变量为无序多类变量，如健康知识获取途径(传统大众媒体=1，网络=2，社区宣传= 3)；自变量可以是分类变量，也可以是连续变量；也可用于因变量为有序多分类变量，但不满足平行检验条件的数据。原理:模型方程是由因变量各水平(除参考水平外)与参考水平之比的自然对数建立的。3.有序多分类逻辑回归:因变量是有序的多类别变量，如疾病严重程度(轻度=1，中度=2，重度= 3)；自变量可以是分类变量，也可以是连续变量。原理:将多类因变量依次划分为多元二元Logistic回归；要求平行线检验，即自变量系数是否相等；如果没有，则使用没有多分类的逻辑回归。

基准回归和逻辑回归是两种不同的统计分析方法，主要用于处理分类问题。基准回归，又称线性回归，是通过拟合一条直线来描述自变量与因变量之间的关系。它通过求解最小二乘法，寻找一个最优的参数组合，使得观测数据点和拟合直线之间的残差平方和最小。基准回归适合处理连续的数值型数据。逻辑回归则是一种广义线性模型，主要应用于处理二分类或多分类问题。它将数据的特征值与对应的概率联系起来，然后运用逻辑函数（即sigmoid函数）对数据进行分类。逻辑回归通常使用的是最大似然估计来求解模型的参数，最终找到一个最优的决策界面，将二维或多维空间中的样本划分为不同的类别。逻辑回归经常被用于各种场景，例如风险评估、精准营销及疾病预测等。因此，基准回归和逻辑回归之间的最本质的区别在于：基准回归旨在拟合数值型数据，而逻辑回归旨在处理分类问题。

不属于。逻辑回归属于概率型的非线性回归，分为二分类和多分类的回归模型。分层回归的理解其实是对两个或多个回归模型进行比较。分组数据的逻辑回归模型也可以称为分层逻辑回归。分层回归将核心研究的变量放在最后一步进入模型，以考察在排除了其他变量的贡献的情况下，该变量对回归方程的贡献。如果变量仍然有明显的贡献，那么就可以做出该变量确实具有其他变量所不能替代的独特作用的结论。这种方法主要用于，当自变量之间有较高的相关，其中一个自变量的独特贡献难以确定的情况。常用于中介作用或者调节作用研究中。概念logistic回归是一种广义线性回归（generalized linear model），因此与多重线性回归分析有很多相同之处。它们的模型形式基本上相同，都具有w‘x+b，其中w和b是待求参数，其区别在于他们的因变量不同，多重线性回归直接将w‘x+b作为因变量，即y =w‘x+b。而logistic回归则通过函数L将w‘x+b对应一个隐状态p，p =L(w‘x+b),然后根据p与1-p的大小决定因变量的值。如果L是logistic函数，就是logistic回归，如果L是多项式函数就是多项式回归。logistic回归的因变量可以是二分类的，也可以是多分类的，但是二分类的更为常用，也更加容易解释，多类可以使用softmax方法进行处理。实际中最为常用的就是二分类的logistic回归。

1、打开spss统计软件，然后单击“Analyze  -  Regression  -  Binary Logistic”。2、出现“逻辑回归”窗口。将“高血压”放入“依赖变量”框，并将其他变量（如“性别”和“体重指数”）放入“分隔符”框中。3、单击“分类”将分类变量的自变量放入右侧的“分类协变量”框中。在这种情况下，自变量“性别”，“饮食习惯，体育锻炼”是分类变量。在右侧的框中选择变量。 “参考类别”选择“最后”或“第一”，此处选择默认的“最后”。点击“继续”。4、单击“保存”，选中“概率”，“组成员”，然后“继续”。5、点击“选项”，勾选“Hosmer-Lymeshaw Fitting Goodness”和“95％Confidence Interval”，然后点击“Continue”。6、方法“选择”输入“最后”确定“。

我们在学习机器学习的时候自然会涉及到很多算法，而这些算法都是能够帮助我们处理更多的问题。其中，逻辑回归是机器学习中一个常见的算法，在这篇文章中我们给大家介绍一下关于逻辑回归的优缺点，大家有兴趣的一定要好好阅读哟。 首先我们给大家介绍一下逻辑回归的相关知识，逻辑回归的英文就是Logistic Regression。一般来说，逻辑回归属于判别式模型，同时伴有很多模型正则化的方法，具体有L0， L1，L2，etc等等，当然我们没有必要像在用朴素贝叶斯那样担心我的特征是否相关。这种算法与决策树、SVM相比，我们还会得到一个不错的概率解释，当然，我们还可以轻松地利用新数据来更新模型，比如说使用在线梯度下降算法-online gradient descent。如果我们需要一个概率架构，比如说，简单地调节分类阈值，指明不确定性，或者是要获得置信区间，或者我们希望以后将更多的训练数据快速整合到模型中去，我们可以使用这个这个算法。 那么逻辑回归算法的优点是什么呢？其实逻辑回归的优点具体体现在5点，第一就是实现简单，广泛的应用于工业问题上。第二就是分类时计算量非常小，速度很快，存储资源低。第三就是便利的观测样本概率分数。第四就是对逻辑回归而言，多重共线性并不是问题，它可以结合L2正则化来解决该问题。第五就是计算代价不高，易于理解和实现。当然，逻辑回归的缺点也是十分明显的，同样，具体体现在五点，第一就是当特征空间很大时，逻辑回归的性能不是很好。第二就是容易欠拟合，一般准确度不太高。第三就是不能很好地处理大量多类特征或变量。第四个缺点就是只能处理两分类问题，且必须线性可分。第五个缺点就是对于非线性特征，需要进行转换。 那么逻辑回归应用领域都有哪些呢？逻辑回归的应用领域还是比较广泛的，比如说逻辑回归可以用于二分类领域，可以得出概率值，适用于根据分类概率排名的领域，如搜索排名等、逻辑回归的扩展softmax可以应用于多分类领域，如手写字识别等。当然，在信用评估也有逻辑回归的使用，同时逻辑回归可以测量市场营销的成功度。当然，也可以预测某个产品的收益。最后一个功能比较有意思，那就是可以预定特定的某天是否会发生地震。 我们在这篇文章中给大家介绍了关于机器学习中逻辑回归算法的相关知识，从中我们具体为大家介绍了逻辑回归算法的优缺点以及应用领域。相信大家能够通过这篇文章能够更好的理解逻辑回归算法。

逻辑回归：y=sigmoid(w"x)线性回归：y=w"x也就是逻辑回归比线性回归多了一个sigmoid函数，sigmoid(x)=1/(1+exp(-x))，其实就是对x进行归一化操作，使得sigmoid(x)位于0~1逻辑回归通常用于二分类模型，目标函数是二类交叉熵，y的值表示属于第1类的概率，用户可以自己设置一个分类阈值。线性回归用来拟合数据，目标函数是平法和误差

逻辑回归和判别分析的区别:和逻辑回归相比: (1)判别分析可以用于多分类情况; (2)线性判别分析比逻辑回归更稳定; (3)利用贝叶斯定理计算后验概率,当条件概率分布是正态分布,和逻辑回归很相似。

不属于。逻辑回归属于概率型的非线性回归,分为二分类和多分类的回归模型。分层回归的理解其实是对两个或多个回归模型进行比较。分组数据的逻辑回归模型也可以称为分层逻辑回归。逻辑（Logistic）回归用于研究Y为定类数据时X和Y之间的影响关系情况，如果Y为两类比如0和1（比如1为愿意和0为不愿意，1为购买和0为不购买），此时就叫二元逻辑回归；如果Y为三类以上,此时就称为多分类逻辑回归。自变量并不一定非要定类变量，它们也可以是定量变量。如果X是定类数据，此时需要对X进行哑变量设置。

关联分析。逻辑回归是一种关联分析方法用于探究两个或多个变量之间的关系，并预测一个二元分类结果；逻辑回归建立了自变量和因变量之间的关系，但不能确定因变量是由自变量引起的，因此不能进行因果分析。因果分析是一种统计学方法，用于探究某个事件或行为对另一个事件或行为的影响，即确定因果关系。

都可以做预测，但它们之间不存在包含关系。逻辑回归用在二值预测，比如预测一个客户是否会流失，只有0-不流失，1-流失；线性回归用来进行连续值预测，比如预测投入一定的营销费用时会带来多少收益。

加入一个虚拟变量，并对其进行分别赋值 。回归分析的时候把这个虚拟变量一并纳入变量进行分析。拓展资料：logistic回归又称logistic回归分析，是一种广义的线性回归分析模型，常用于数据挖掘，疾病自动诊断，经济预测等领域。例如，探讨引发疾病的危险因素，并根据危险因素预测疾病发生的概率等。自变量既可以是连续的，也可以是分类的。logistic回归的因变量可以是二分类的，也可以是多分类的，但是二分类的更为常用，也更加容易解释，多类可以使用softmax方法进行处理。实际中最为常用的就是二分类的logistic回归。以上资料来源于网络。网页链接

首先，优化目标不同。LR的目标函数是logloss，SVM是最大化分类面间距。其次呢是对非线性问题的处理方式不同。LR主要靠特征构造，必须组合交叉特征，特征离散化。SVM也可以这样，还可以通过kernel。最后是处理的数据规模不同。LR一般用来处理大规模的学习问题。如十亿级别的样本，亿级别的特征。但是对计算机来说，归根结底还是优化目标， 也就是损失函数的不同造成两种模型的差异。 LR是logloss, SVM是hinge loss. 我一般将SVM的损失函数理解为最关键的点造成的损失。其他的区别并没有特别重要。

分类。。。。只是很多时候，对于逻辑回归的某些应用场合，最终要的结果可能不是分类的结果，而是计算出的概率。这里可能会混淆认知。

多因素逻辑回归的控制变量需要虚拟变量。将因变量和自变量放入格子的列表里，上面的是因变量，下面的是自变量（单变量拉入一个，多因素拉入多个）。设置回归方法，是将所有的变量一次纳入到方程。等级资料，连续资料不需要设置虚拟变量。多因素逻辑回归的控制变量需要设置虚拟变量。

from sklearn import linear_model#线性回归clf = linear_model.LinearRegression()#训练clf.fit ([[0, 0], [1, 1], [2, 2]], [0, 1, 2])#表达式参数clf.coef_#测试improt numpy as npx = np.array([1,1])y = x.dot(clf.coef_)

机器学习故事汇-逻辑回归算法今天我们要来讨论的一个分类算法-逻辑回归（你有没有搞错，这不还是回归吗，虽然名字带上了回归其实它是一个非常实用的分类算法）。，适合对数学很头疼的同学们，小板凳走起！先来吹一吹逻辑回归的应用，基本上所有的机器学习分类问题都可以使用逻辑回归来求解，当前拿到一份数据想做一个分类任务的时候第一手准备一定要拿逻辑回归来尝试（虽然有很多复杂的模型比如神经网络，支持向量机的名气更大，但是逻辑回归却更接地气，用的最多的还是它）！在机器学习中无论是算法的推导还是实际的应用一直有这样的一种思想，如果一个问题能用简单的算法去解决那么绝对没必要去套用复杂的模型。在逻辑回归中最核心的概念就是Sigmoid函数了，首先我们先来观察一下它的自变量取值范围以及值域，自变量可以是任何实数（这没啥特别的！）但是我们观察值域的范围是[0,1]也就是任意的一个输入都会映射到[0,1]的区间上，我们来想一想这个区间有什么特别的含义吗？在我们做分类任务的时候一般我都都会认为一个数据来了它要么是0要么是1（只考虑二分类问题），我们其实可以更细致一点得出来它是0或者1的可能性有多大，由此我们就得出了一个输入属于某一个类别的概率值，这个[0,1]不就恰好是这个概率吗！在这里我们的预测函数还是跟线性回归没有多大差别，只不过我们将结果又输入到Sigmoid函数中，这样得到了数据属于类别的概率值。在推导过程中，我们假定分类是两个类别的（逻辑回归是经典的而分类器）。设定y（标签）要么取0要么取1，这样就可以把两个类别进行整合，得到一个更直观的表达。对于逻辑回归的求解，已然沿用我们上次跟大家讨论的梯度下降算法。给出似然函数，转换对数似然（跟线性回归一致），但是我们现在的优化目标却跟之前不太一样了，线性回归的时候我们要求解的是最小值（最小二乘法），但是现在我们想得到的却是使得该事件发生得最大值，为了沿用梯度下降来求解，可以做一个简单的转换添加一个负号以及一个常数很简单的两步就可以把原始问题依然转换成梯度下降可以求解的问题。此处求导过程看起来有些长，但也都是非常非常基本的运算了，感兴趣拿起一支笔来实际算算吧！最终就是参数更新了，迭代更新是机器学习的常规套路了。但是我们来简单想一想另外的一个问题，现在我们说的逻辑回归是一个二分类算法，那如果我的实际问题是一个多分类该怎么办呢？这个时候就需要Softmax啦，引入了归一化机制，来将得分值映射成概率值。最后一句话总结一下吧，任何时候（没错就是这么狠）当我们一个实际任务来了，第一个算法就是逻辑回归啦，可以把它当成我们的基础模型，然后不断改进对比！

这里给出一个(2×2)矩阵A，在QR分解后用迭代法求解特征值的过程，仅供参考。

矩阵相似有很多必要条件，比如行列式相等，特征值相等，迹相等，相同的特征多项式。但这些不是充分条件，当然定义是充要条件。bd虽然特征值相同，但几何重数不同，故不选。

如果所有特征根都不相等，绝对可以对角化，有等根，只需要等根（也就是重特征值）对应的那几个特征向量是线性无关的，那么也可以对角化，如果不是，那么就不能了。矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。判断方阵是否可相似对角化的条件：(1)充要条件：An可相似对角化的充要条件是：An有n个线性无关的特征向量。(2)充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足n-r(λE-A)=k。(3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化。(4)充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。n阶单位矩阵的所有特征值都是1，但是它仍然有n个线性无关的特征向量，因此单位矩阵可以对角化。

把A分解成A=CC^T,其中C可逆 那么AB=CC^TB相似于C^TBC,后者的特征值都是实数

没有太具体的含义，只不过是你自己选取的两个符号比如u，v。如果称u，v为频率，那么如果傅立叶变换后的图像集中在高频处，则原灰度图的灰度变化率较大；若集中在低频部分，原灰度图的灰度变化率较小，或者说原图颜色变化不剧烈，色泽变化平缓。

分类: 教育/科学 >> 升学入学 >> 考研 解析: 维恩图：用于显示元素间的重迭关系。 摩根定律： 所谓加法关系a+b中的素数分布问题，是指，任意充分大的正整数M表为两个正整数之和时，其表为两个奇素数之和的个数问题。由于当x→∞时，加法关系只能赋予∞+∞=2∞之极限。所以，研究加法关系a+b中的素数分布问题，只能在区间(0,2∞)之间进行。则有： 2∞=1+(2∞-1)=2+(2∞-2)=...=∞+∞显然，在加法关系a+b中，当a→∞时，则b只能以超越自然数的∞+1、∞+2、...、∞+n、...等共尾序数的形式表之。所以，在加法关系a+b中，其基数已超出了自然数集N的基数。归纳给定了的M之加法关系a+b中的元素为 *** G，与自然数集N一样， *** G中的元素，具有①传递性。②三岐性。③对于每一元素a+b，只要它位于区间(1,∞)之内，它就一定是一后继数。④良基性。所以，加法关系a+b是符合外延公理及正则公理，因为在无穷 *** G的元素中的b之值，本来就是自然数的延伸而已。对无穷 *** G进行良序化，应用埃拉托色尼筛法显然是不行的。因为埃拉托色尼筛法只是针对自然数列而为，其p=x-H只适用于所考察的元素只具一个自然数之性质。在自然数列中，筛掉任何一个自然数，并不会影响其它自然数的存在。但是，在加法关系a+b中则不然，因为 *** G中的元素是由两个自然数之和所组成，筛掉任何一个自然数，势必会影响另一个自然数的存在与否。由量变到质变，在自然数列中所得到的规律并不适宜应用于加法关系a+b中。 考察加法关系a+b中两个正整数之和的有关素数或合数的性质，有：素数加素数、素数加合数、合数加合数这三大类情况(此处将与1相加之情况排除在外)。所以，在 *** G中，根据完备性原则，有： 素数加素数=G-素数加合数-合数加合数用符号表之，有 p(1,1)=G-{(p,H)+H(1,1)}此式即是 *** 论中著名的摩根定律：A~∩B~=(A∪B)~应用于加法关系a+b中的素数分布问题的求解方法。 因为在加法关系a+b中，设M为所取之值，则 *** G中有元素M=1+(M-1)=2+(M-2)=...=M/2+M/2共有M/2个。将摩根定律应用于加法关系a+b中：设在区间(1,M/2]中，凡具有合数性质的元素a+b被归纳为 *** A；再设在区间[M/2,M)中，凡具有合数性质的a+b被归纳为 *** B；则有A∪B=(p,H)+H(1,1)以及 (A∪B)~=G-(p,H)-H(1,1)而 *** A的补集A~为区间(1,M/2]中，凡具有素数性质的元素之 *** ； *** B的补集B~为区间[M/2,M)中，凡具有素数性质的元素之 *** 。所以，有A~∩B~=p(1,1) 综合以上所述，有 A~∩B~=p(1,1)=G-(p,H)-H(1,1)=(A∪B)~摩根定律所讲述的就是区域内具有两个以上 *** 时的完备性问题，对于加法关系a+b而言，由于元素只是两个自然数之和，所以并不需要拓展摩根定律，用最简单的形式：A~∩B~=(A∪B)~，就可以了。 既然是加法关系，也就必须应用加法环中的公式。当设定M为所取之值时，根据唯一分解定理： M=(p_i)^α*(p_j)^β*...*(p_k)^γ有 M=np=(n-m)p+mp 从此公式中可知，凡是具有M的素约数的合数，总是与另一具有M的素约数的合数相加于同一元素之中。由唯一分解定理所确定的a+b，我们将其谓之为特征值。由于p的倍数总是在同一元素中相加，所以，每隔p之值，就会出现一个p的倍数相加之元素。故在M=a+b中，特征值p的倍数有出现概率1/p，则与之互素的元素有出现概率为(1-1/p)。 另外，根据剩余类环 M=nq+r=(n-m)q+mq+r之公式中可知，凡不是M的素约数的素数q的倍数，总是不能与具有素约数q的合数相加在同一元素之中，r是它们相差之位。为区别于特征值，我们根据其由剩余类环而求得的，将其谓之为剩余值。由于r＜q，所以，每隔q之值，会出现两个具有素约数q的元素，一个在a中，一个在b中。故在M=a+b中，剩余值q的倍数有出现概率2/q，则与之互素的元素有出现概率为(1-2/q)。 对于与特征值p互素的系数(1-1/p)，由欧拉函数ψ(N)中可知，特征值p中的系数是可积函数：M/2{∏p|M}(1-1/p)。那么，对于剩余值q的系数是否也是可积函数?由于与剩余值互素的系数(1-2/q)，以前并无人涉及，是鄙人之首创，故必须对其是否为可积函数的性质作些论证。 设N=nq+r=(n-m)q+mq+r，化mq+r成为p的倍数，即mq+r=kp，可知,“q不能整除kp，那么，(q-1)个数：p、2p、...、(q-1)p分别同余1到q-1，并且对模q互不同余：{k_1}p≠{k_2}p(mod q)”(费马小定理)。由于k＜q，因此，在M=a+b中与q的倍数相加于同一元素中的p之倍数，起始于M=(n-m)q+kp，不断地加减pq，则有M=(n-m-ip)q+(k+iq)p；1≤i≤M/pq乃是每隔pq之数值而出现一次。 因此，在M=a+b中，q的倍数与p互素不仅须对(n-m)q自身中具p之素因数的元素进行筛除，而且还须对与之构成元素对mq+r=kp的合数中具p之素因数的合数进行筛除。因此在M=a+b中，由q之倍数而构成的元素a+b中，与p互素的个数是M/q(1-2/p)。 在M=a+b中，如果p⊥M，q⊥M (其中，符号⊥表示不整除)，则与p,q互素的元素a+b分别有：M/2(1-2/p)，M/2(1-2/q)，而与p，q互素的元素a+b在总体上有： M/2(1-2/p)-M/q(1-2/p)=(M/2-M/q)(1-2/p)=M/2(1-2/p)(1-2/q)可知，在M=a+b中，对于剩余值的系数也是可积函数。换言之，在M=a+b中，与不大于√M的素数互素的系数，用逐步淘汰原则进行计算，不管是特征值抑或是剩余值，均是可积函数。 通过分析，获知在M=a+b中，无论是特征值或非特征值，都是可积函数。因此在M=a+b中，与小于√M的素数互素的个数有： P(1,1)=M/2{∏p|M}(1-1/p){∏p⊥M}(1-2/p)此公式就是加法关系a+b中的一般之解。从公式的系数中可以清晰地看到摩根定律所起的作用：用不大于√M的素数作筛子，对于是M的素约数的素数之倍数，筛除的系数是(1-1/p);对于非M的素约数的素数之倍数，筛除的系数是(1-2/p)。 当M为奇数时，由于素数2不是特征值，从剩余值的系数中可知，因存在着零因子：(1-2/2)=0，所以当M为奇数时表为两个奇素数之和的个数为零。 由此可知，在加法关系a+b中，欲求p(1,1)的个数，M之值必须是偶数，即素数2必须是特征值，才能获得p(1,1)之个数。从(1-1/p)＞(1-2/p)中可知，若存在其它不大于√M的素数为特征值时，则系数不可能是最小的。因此，只有当M=2^n时，才会有最小值的系数，而且p(1,1)=M/4∏(1-2/p)=M/4∏({p-2}/p)，p＞2(1)只有当乘积是无穷时，系数才会达到最小之值。 根据自然数列中素数之值依位序列而言，由于合数的存在，相邻的两个素数之值的差有大于2的，至少是不小于2，因此有(p_n)-2≥(p_{n-1})，(2)将不等式(2)的结论代入到(1)式中，用后一因式的分子与前一因式的分母相约，并保留所谓的最后因式的分母，我们可以获得p(1,1)≥M/4(1/p)≥M/4(1/√M)=√M/4，当M→∞时，有√M/4→∞。换言之，在大偶数表为两个奇素数之和中，其个数不会少于√M/4个。所以，设M为偶数时，就是欲称哥德巴赫猜想，当a→∞时，哥德巴赫猜想是为真。 由于所求的一般之解是设M为无穷大时求得的，因此，当M为有限值时，会产生一定值的误差。纵然如此，系数也是能很好地反映出大偶数表为两个奇素数之和的规律。因为从系数上分析：对于具相同特征值的M，M越大，p(1,1)的个数越多：p(1,1)≥Lim(√N/4)→∞。 对于不同特征值的N，特征值越小，p(1,1)的个数越多：若p＜q ,则(1-1/p)(1-2/q)＞(1-1/q)(1-2/p)。 特征值越多，p(1,1)的个数也越多： (1-1/p)＞(1-2/p)。 当然，这三个因素必须有机地结合起来，才能如实地反映p(1,1)的个数。 关于H(1,1)中具有相同的出现概率却互不相交的剩余类值的诸子集，有： φ,H(f,e),H(g,e),...,H(α,e),H(β,e),H(γ,e),... H(e,f),φ,H(g,f),...,H(α,f),H(β,f),H(γ,f),... H(e,g),H(f,g),φ,...,H(α,g),H(β,g),H(γ,G),... ...... H(e,α),H(f,α),H(g,α),...,φ,H(β,α),H(γ,α),... H(e,β),H(f,β),H(g,β),...,H(α,β),φ,H(γ,β),... H(e,γ),H(f,γ),H(g,γ),...,H(α,γ),H(β,γ),φ,... 其中e＜f＜g＜...＜α＜β＜γ∈W≤√N。我们对以上诸子集进行商集化分割，不失一般性，设有子集H(β,α)，由于H(α,x)∩H(x,α)=φ，显然有H(α,e)∩H(β,α)=φ，H(α,f)∩H(β,α)=φ，H(α,g)∩H(β,α)=φ，...，H(α,β)∩H(β,α)=φH(e,β)∩H(β,α)=φ，H(f,β)∩H(β,α)=φ，H(g,β)∩H(β,α)=φ，...，H(α,β)∩H(β,α)=φ除处以外，其它的诸子集与H(β,α)显然有交集： H(f,e)∩H(β,α)=H(fβ,eα)，H(g,e)∩H(β,α)=H(gβ,eα),...，H(β,e)∩H(β,α)=H(β,eα)...等。但是对于诸非同模类的子集之交，我们有： H(fβ,eα)∈H(β,eα)，H(gβ,eα)∈H(β,eα)，...由子集的包含性，可知此类子集之交已被同模类的子集之交所包涵，因此可以直接删掉。(因找不到包含符号，故用属于∈代之)。 于是，在分割子集H(β,α)的元素时，可以按子集H(β,α)所在行列的方向上与诸同模的子集进行商集化的分割。 从行的方向而言，有诸子集H(e,α)，H(f,α)，H(g,α)，...等与其有交集： H(e,α)∩H(β,α)=H(eβ,α)，H(f,α)∩H(β,α)=H(fβ,α)，H(g,α)∩H(β,α)=H(gβ,α)，...。 从列的方向而言，有诸子集H(β,e)，H(β,f)，H(β,g)，...等与其有交集： H(β,e)∩H(β,α)=H(β,eα)，H(β,f)∩H(β,α)=H(β,fα)，H(β,g)∩H(β,α)=H(β,gα)，...。 但由于在行与列两方向上存在有不相交的子集： H(e,α)∩H(β,e)=φ，H(f,α)∩H(β,f)=φ，H(g,α)∩H(β,g)=φ，...。因而在与H(β,α)的交集中产生了不相交的平行子集： H(eβ,α)∩H(β,eα)=φ，H(fβ,α)∩H(β,fα)=φ，H(gβ,α)∩H(β,gα)=φ，...。所谓不相交的平行子集乃指诸互不相交的子集在出现概率的数值上是相同的。 但是对于诸非平行的子集，显然有： H(eβ,α)∩H(fβ,α)=H(efβ,α)，H(β,eα)∩H(fβ,α)=H(fβ,eα)，H(eβ,α)∩H(β,fα)=H(eβ,fα)，H(β,eα)∩H(β,fα)=H(β,efα)...等交集。从而又产生了诸互不相交的平行子集： H(efβ,α)∩H(fβ,eα)=φ，H(efβ,α)∩H(eβ,fα)=φ，...。 根据行与列两方向上所存在的不相交子集的几何性质，可知对于诸不相交的平行子集的数目，按几何等级2^n构成。 综上所述，在对子集H(β,α)作商集化分割时，由于存在有互不相交的平行子集，显然现行的逐步淘汰原则已不再适用于计算这样的商集化子集(否则将十分繁琐)，必须寻找新的方法。 由于诸互不相交的平行子集在出现概率的数值上是相同的，因此我们可以将诸互不相交的平行子集以同一符号表之，而在其旁配以系数表示诸互不相交的平行子集的数目。因诸互不相交的平行子集属于且仅属于某一商集化子集，所以系数对于该子集中的元素并不产生影响，而逐步淘汰原则恰能作用于该元素上。如此而为，可保持逐步淘汰原则的一般形式。于是，对于位于对角线右上方的诸商集化子集可以有类似于逐步淘汰原则的计算方法: H(f,e),H(g,e)-H(fg,e),H(h,e)-H(fh,e)-H(gh,e)+H(fgh,e),...。 －－－－H(g,f)-2H(eg,f),H(h,f)-2H(eh,f)-H(gh,f)+2H(egh,f),...。 －－－－－－－－－－－－H(h,g)-2H(eh,g)-2H(fh,g)+4H(efh,g),...。 －－－－－－－－－－－－－...... 以上诸字母e，f，g，...等皆代表为不大于√N且非M的素约数的素数。 设p_1＜p_2＜...＜p_t∈W≤√N，且位于对角线右上方的第n行第m列的子集是H(p_m,p_n)，且有n＜m。从行的方向而言，有m-2个子集与其有交集，从列的方向而言，有n-1个子集与其有交集。由于n＜m，可知n-1≤m-2，因而所产生的诸不相交的平行子集的个数最多为2^(n-1)个。 从类似逐步淘汰原则的表中寻找出第n行第m列方法中进行商集化分割，可以有如下的计算方法： π{H(p_m,p_n)}/(N/2)=(1/{p_n}{p_m}){1-({n-1∑i=1}(2/p_i)+{m-1∑i=n+1}(1/p_i))+({∑1≤i＜j＜n}(4/{p_i}{p_j})+{∑1≤i＜n,n＜j≤m-1}(2/{p_i}{p_j})+{∑n＜i＜j≤m-1}(1/{p_i}{p_j}))-...+(-1)^{m-2}(2^{n-1}/{p_1}{p_2}...{p_(n-1)}{p_(n+1)}...{p_(m-1)})}=(1/{p_n}{p_m})(1-2/p_1)(1-2/p_2)...(1-2/p_{n-1})(1-1/p_{n+1})...(1-1/p_{m-1})=(1/{p_n}{p_m}){n-1∏i=1}(1-2/p_i){m-1∏i=n+1}(1-1/p_i). 由于H(p_m,p_n)与H(p_n,p_m)的元素之个数上是相同的，且商集化的对象在数值上也是相同的，显然，位于对角线右上方的诸商集化子集的出现概率之总和等于位于对角线左下方的诸商集化子集的出现概率之总和。因此，我们只要对n＜m时的诸商集化子集求出现概率，将求得的总和之值乘以2就可。 显然， *** 中的元素由几个自然数所构成，不同的数量有不同的筛选法，不能等同视之。π(x)函数筛选的是自然数列，并不能用于加法关系a+b中的筛选。 用摩根定律来解加法关系a+b中的素数分布问题，本是一项十分简单的事，与埃拉托色尼筛法一样，只要应用否定之否定法则，就可求之。诚然，与埃拉托色尼筛法相比，加法关系a+b中的素数分布问题，难度确比自然数列中求素数的个数难了一些。但只要懂得由量变到质变，按照规律办事，所谓的难度也就迎刃而解了。因为无论是自然数列中素数分布问题，抑或加法关系a+b中的素数分布问题，都是有序 *** 中的问题，而有序 *** 的规律性为之提供了必要且充分的方法来求解。只要我们充分注意到所求 *** 的完备性，解题的方法即呈面前。 根据加法关系a+b的有序 *** ，从有关的加法的公式：x=np=(n-m)p+mp和x=np+r=(n-m)p+mp+r中进行分析，可以很简便地写出加法关系a+b的良序化之链。但由于获得的一般之解中，包含了无穷多个特殊之解，所以，只能列举少许的特殊之解来阐述。 当M取值为奇数时，由于存在着零因子，所以无论其特征值是什么？在良序化之链中，总有：2=2＜...之标识。以最小素约数来归纳，所有的自然数都被这两个不相交的商集化 *** 所归纳，故而有p(1,1)=0。 设M=2^n，此时只有唯一的素数2为特征值，所以，其良序化之链的标识是： 2＜3=3＜5=5＜7=7＜11=11＜13=13＜... 为偏序的，其p(1,1)的出现概率是p(1,1)/(M/2)=1/2∏(1-2/p)，p＞2。 综上所述，可知，所谓的大偶数表为两个奇素数之和的个数，仅仅是用选择公理来归纳按最小素约数为条件的加法关系a+b中的不可归纳的最小元素而已。 但是，目前的数论，并不是按照规律性的东西来办事，相反，欲以某些莫须有的东西来混淆。以陈氏定理为例，陈景润先生在其论文的开头言道： 【命P_x(1,2)为适合下列条件的素数p的个数： x-p=p_1或x-p=(p_2)*(p_3)其中p_1,p_2,p_3都是素数。 用x表一充分大的偶数。 命Cx={∏p|x,p>2}(p-1)/(p-2){∏p>2}(1-1/(p-1)^2)对于任意给定的偶数h及充分大的x，用xh(1,2)表示满足下面条件的素数p的个数： p≤x,p+h＝p_1或h+p＝(p_2)*(p_3)，其中p_1,p_2,p_3都是素数。 本文的目的在于证明并改进作者在文献〔10〕内所提及的全部结果，现在详述如下。】显然，x-p=p_1或x-p=(p_2)*(p_3)是其研究哥德巴赫猜想时的前提。而Cx的表达式，只是说明其所用的方法乃是解析数论的方法，以通常研究哥德巴赫猜想时的工具而为之。 简短的开场白若不细加分析，很难发现有什么谬误而被疏忽。然而，正是这样的疏忽，导致陈氏定理可以从莫须有的情况下发挥出称誉数学界的一条定理。让我们细析陈氏定理的前提x-p，将适合该条件的自然数作一番考察(注意并非是对适合该条件的素数p进行考察，适合条件的素数p的考察是陈景润先生在进行)。 用x表一充分大的偶数，且将自然数列中的素数p按序列出为： p=2,3,5,7,11,13,17,19,23,...。 则x-p之数列为： x-p=x-2,x-3,x-5,x-7,x-11,x-13,x-17,x-19,x-23,...。 若以给定的偶数h来叙述，设h=50，则h-p的数列为： 50-p=48,47,45,43,39,37,33,31,27,...。 设h=52，则h-p的数列为： 52-p=50,49,47,45,41,39,35,33,29,...。 设h=54，则h-p的数列为： 54-p=52,51,49,47,43,41,37,35,31,...。 ...等等。 对x-p抑或h-p之自然数进行考察，已十分明确地告诉了我们，所考察的自然数呈现的并非是等差的数列，而且所考察的自然数随偶数之值的不同而不同(即在此所谓的数列中出现的自然数而在彼数列中并不一定会出现)。换言之，在x-p的自然数之排列中，无法确定究竟会出现什么样的自然数，故而x-p是一些没有一定规则的自然数之堆积。在这不确定的自然数之堆积中，连究竟会出现什么样的自然数都无法知道，那么，怎样来确定该自然数是素数抑或是合数呢？显然，陈景润先生所设定的：“命P_x(1,2)为适合下列条件的素数p的个数：x-p=p_1或x-p=(p_2)*(p_3)”乃是无的放矢，仅凭想象而作的假设，根本就不曾进行过实践的考察。 从对x-p的不规则的自然数的堆积中进行考察后得知，该堆积并非是等差的数列。但在数论中，所谓的研究哥德巴赫猜想的工具，却是一个专门研究等差数列的。用学术权威自己的话来说： 【对等差数列中素数分布的研究是一个十分困难但又非常重要的问题，它是研究哥德巴赫猜测的基本工具。若我们用π(x;k,l)表示在等差数列l+kn中不超过x的素数个数，则已证明了下面的定理： 定理3.3若k≤log^20x，则有π(x;k,l)={Lix/ψ(x)}+o{xe^(-c(logx^1/2)).(3.53)这里ψ(k)为欧拉函数，c为一正常数。 定理3.3是解析数论中一个重要的定理，它是经过了许多数学家的努力才得到的，是我们研究哥德巴赫猜测的基本定理。由于定理的证明要用到极为深刻的解析方法，我们在这里就不再给出它们的证明了。 注：这儿的条件k≤log^20x，仅是为了叙述方便，事实上当k≤log^A x时定理亦成立，其中A为一任意固定的正常数。】见潘承洞教授著《素数分布与哥德巴赫猜想》第65页。 由此可知，陈氏定理中的Cx所采用的解析数论，只是对等差数列可以发挥作用，而对x-p此类非等差的不确定之数堆毫无用处(任何方法对于x-p此类的不定数堆都是无用的)。陈景润先生在谬误的前提下所研究出来的定理，能是正确的吗？ 只要稍具逻辑思惟的人都知道，将一些风马牛不相及的东西拼凑在一起，并不能找出规律性的东西的。但目前数论的作为，恰恰是连最起码的逻辑也不讲。

这个问题首先要知道什么是正定阵,以及实对称矩阵的性质. 第一正定阵定义:A正定,就是任意非零列向量x,x"Ax>0[这里注意x"Ax按照矩阵乘法后是一个数,既不是矩阵也不是向量] 第二谱分解定理:实对称矩阵A,存在正交矩阵P,使得 P"AP为对角形,对角线上是A的n个特征值,即P"AP=diag. 我们先来证明充分性 A实对称,则存在正交矩阵P"AP=diag,对角线上是n个特征值. 当对角线上特征值全是正数时:对任意的非零向量x,y=Px(此时x和y一一对应).则y"Ay=x"P"APx=x"diagx 此时x"diagx按照矩阵乘法展开,可见是正数.这就说明了这样一个结论:任意非零向量y,令x=P逆y,则y"Ay>0,满足正定定义. 反之,当A正定时,任意的向量尤其列向量x=(1,0...0)",令y=Px,那么y"Ay=x"P"APx=x"diagx=k1(对角阵的第一个元素,也就是A的第一个特征值).按照正定定义y"Ay>0,所以k1>0. 一下分别取x=(0,1,...0)"直到x=(0,.,0,1),就会有对角阵上(2,2)位(3,3)位直到(n,n)位的元素是正数,因此n个特征值都大于0. 本题的关键是要会运用正定性的定义(非零向量x的任意性,二次型是个数),谱分解定理(P是由A唯一决定的,对角阵对角线上是n个特征值)

A^2=A又Ax=YxA^2x=AYx=YAx=YAx=Y^2xA(Y^2-Y)x=0故特征值是0和1这里面Y表示什么自己应该知道吧可逆：主要证明|A+E|值不为零

n阶矩阵A可逆的充要条件：1、|A|不等于0。2、r（A）=n。3、A的列（行）向量组线性无关。4、A的特征值中没有0。5、A可以分解为若干初等矩阵的乘积。一、可逆矩阵的定义：矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。二、逆矩阵的性质：1、可逆矩阵一定是方阵。2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。三、矩阵代数应用：矩阵代数提供了对矩阵方程进行运算的工具，许多工具与普通代数运算有相似的地方，矩阵代数中逆矩阵对应的就是代数运算中的除法。它本身就是一种计算工具。在求解矩阵方程、非奇异矩阵的伴随矩阵、对角化等都会用到逆矩阵的概念。出了具体的线性代数课本，逆矩阵在工程方面的应用其实有很多。如弹性矩阵的逆矩阵称为刚性矩阵。

可以没有实特征值,但一定有复特征值. 原因是矩阵的特征多项式在复数域内一定能分解成一次因式.在实数域内就不一定了～

相似的前提是 方阵

1、二重特征值是指矩阵的特征值是特征多项式的2重根。 2、矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。 3、矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

A的列线性相关说明A有零特征值, 没什么奇怪的

楼主的问题不是很清楚，请详细说下！！！

我就说说复数域上有限维线性空间的情况吧。有限维线性空间的自同态就是线性变换，这个线性变换记为A。A一定存在特征多项式f(x), f(x) 在复数域上可以分解为一次因式的乘积，把它的标准分解写出来，f(x)=(x-x1)^s1(x-x2)^s2...(x-xk)^sk，那么线性空间就可以根据这个分解式有一个根子空间的直和分解。每一个根子空间特征值只有一个，通过变化可以把它转化成研究幂零线性变换的问题，研究结果是，每一个幂零子空间可以继续分解，分解成循环子空间的直和，于是每一个根子空间也可以对应地分解。我们可以证明循环子空间已经是最细的分解，不可再分了。最后，从每个“最细的”子空间里选出一组“适当的”基，线性变换A在这组基下对应的矩阵就是Jordan标准型。以上就是复数域上有限维线性空间Jordan标准型存在性的几何证明的大概思路。If you want to learn more details about it, please refer to "Basic Algebra" (written by N.Jacobson).

构造一个对角矩阵算算。或者用分解因式法证明：|2E-A|=0；|4E-A^2|=0；|4/3E-(1/3A^(2))|=0；|3/4E-（1/3A^2）^(-1)）|=0,

mode 中选6 matrix先定义你要的一个矩阵（最多是3*3）按Ac结束shift+4，选1定义另一个矩阵。若要该数据则选2.除了要按shift+4+3/4/5选择矩阵，与普通乘法一样输入即可。

矩阵的迹，就是矩阵主对角线上元素之和，英文叫Trace(迹)。迹的最重要性质:一个矩阵的迹，和该矩阵的特征值之和，相等。

function l = rqrtz(A,M)%瑞利商位移的QR算法求矩阵全部特征值%已知矩阵:A%迭代步数:M%求得的矩阵特征值:lA = hess(A);for(i=1:M) N = size(A); n = N(1,1); u = A(n,n); [q,r]=qr(A-u*eye(n,n)); A = r*q+u*eye(n,n); l = diag(A);end4.4 QR算 法 QR算法也是一种迭代算法,是目前计算任意实的非奇异矩阵全部特征值问题的最有效的方法之一.该方法的基础是构造矩阵序列 ,并对它进行QR分解. 由线性代数知识知道,若A为非奇异方阵,则A可以分解为正交矩阵Q与上三角形矩阵R的乘积,即A=QR,而且当R的对角线元素符号取定时,分解式是唯一的. 若A为奇异方阵,则零为A的特征值.任取一数p不是A的特征值,则A-pI为非奇异方阵.只要求出A-pI的特征值,就很容易求出A的特征值,所以假设A为非奇异方阵,并不妨碍讨论的一般性. 设A为非奇异方阵,令 ,对 进行QR分解,即把 分解为正交矩阵 与上三角形矩阵 的乘积 = 做矩阵 继续对 进行QR分解 并定义 一般地,递推公式为 QR算法就是利用矩阵的QR分解,按上述递推公式构造矩阵序列 .只要A为非奇异方阵,则由QR算法就完全确定 .这个矩阵序列 具有下列性质. 性质1 所有 都相似,它们具有相同的特征值. 证明 因为 若令 ,则 为正交阵,且有 因此 与A相似,它们具有相同的特征值. 性质2 的QR分解式为 其中 证明 用归纳法.显然当k=1时,有 假设 有分解式 于是 因为 ,所以 因为 都是正交阵,所以 也是正交阵,同样 也是上三角形阵,从而 的QR分解式为 由前面的讨论知 .这说明QR算法的收敛性有正交矩阵序列 的性质决定. 定理1 如果 收敛于非奇异矩阵 为上三角形矩阵,则 存在并且是上三角形矩阵. 证明 因为 收敛,故下面极限存在 由于 为上三角形矩阵,所以 为上三角形矩阵.又因为 所以 存在,并且是上三角形矩阵. 定理2 (QR算法的收敛性)设A为n 阶实矩阵,且1) A的特征值满足: 2) ,其中 且设 有三角分解式 =LU(L为单位下三角阵,U为上三角阵),则由QR算法得到的矩阵序列 本质上收敛于上三角形矩阵.即 满足 当 当 的极限不一定存在 证明 因为 ,矩阵 决定 的收敛性.又 我们利用 求 ,然后讨论 的收敛性. 由定理条件 得 令 其中 的(i,j)元素 为 于是 由假设,当i>j时, 故 设方阵X的QR分解式为 由 由 知,对充分大的 非奇异,它应有唯一的QR分解式 ,并且 于是 但上三角阵 的对角线元素不一定大于零.为此,引入对角矩阵 以便保证( )的对角线元素都是正数,从而得到 的QR分解式 由 的QR分解式的唯一性得到 从而 由于 ,所以 从而 其中 于是 因为 为上三角阵, 为对角阵,且元素为1或-1,所以 当 当 的极限不一定存在 例 用QR算法求矩阵 的特征值.A的特征值为-1,4,1+2i,1-2i. 解 令 ,用施密特正交化过程将 分解为 将 与 逆序相乘,求出 用 代替A重复上面过程,计算11次得 由 不难看出,矩阵A的一个特征值是4,另一个特征值是-1,其他两个特征值是方程 的根.求得为

矩阵特征值的个数等于其阶数，因此有4个特征值又有P-1AP=∧，A与∧具有相同的秩，其中∧=diag（λ1，λ2，λ3，λ4）R（A）=1，所以R（∧）=1，可以判断矩阵A有3个为零的重根∑λi=∑aii，a11+a22+a33+a44=30所以得到λ1=30

矩阵的秩的定义：是其行向量或列向量的极大无关组中包含向量的个数。能这么定义的根本原因是：矩阵的行秩和列秩相等（证明可利用n+1个n维向量必线性相关）矩阵的秩的几何意义如下：在n维线性空间V中定义线性变换，可以证明：在一组给定的基下，任一个线性变换都可以与一个n阶矩阵一一对应；而且保持线性；换言之，所有线性变换组成的空间End<F>(V)与所有矩阵组成的空间M(n)<F>是同构的。扩展资料：A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。特别规定零矩阵的秩为零。显然rA≤min(m,n) 易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。由行列式的性质知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵与增广行或列组成），满足A = U*B*VU和V中分别是A的奇异向量，而B是A的奇异值。AA"的特征向量组成U，特征值组成B"B，A"A的特征向量组成V，特征值（与AA"相同）组成BB"。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。如果A是复矩阵，B中的奇异值仍然是实数。SVD提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（B的阶数）和A的阶数相同，一旦阶数确定，那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。参考资料来源：百度百科——矩阵的秩

我说个技巧性的方法吧：求三阶行列式的特征值的问题最后会变成求一元三次方程的解。对于一般的一元三次方程组通常不易求解，但考试的时候一般都会给比较特殊的一般题目给出的特征值不会是几分之几倍根号几，一般都是整数通过观察可以得出其中一个解，比如x=1，那么用原多项式除以(x-1)就得到一个二次多项式，再求剩下两个解就简单了

一定，一个n阶矩阵一定有n个特征值（包括重根），也可能是复根。一个n阶实对称矩阵一定有n个实特征值（包括重根）。每一个特征值至少有一个特征向量（不止一个）。不同特征值对应特征向量线性无关。矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。扩展资料：在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P。若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值唯一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。参考资料来源：百度百科--矩阵参考资料来源：百度百科--特征值