裂相相消，错位相减，倒序相加分别适用于哪些形式的数列？

1分组求和法:

就是将数列的项分成二项，而这两项往往是常数或是等差（比）数列，它们的和当然就好求了。

例如：求1/2+3/4+7/8+9/16+......+(2^n-1)/(2^n)的话，

可以将通项(2^n-1)/(2^n)写成1-2^(-n)这样就变成每一项都是1-X（X为通项）的公式

对于通项-2^(-n)是一个等比数列，这个你就可以直接套用公式了

2数列累加法

逐差累加法

例3 已知a1=1, an+1=an+2n 求an

解：由递推公式知：a2-a1=2, a3-a2=22,a4-a3=23, …an-an-1=2n-1

将以上n-1个式子相加可得

an=a1+2+22+23+24+…+2n-1=1+2+22+23+…+2n-1=2n-1

注：对递推公式形如an+1=an+f(n)的数列均可用逐差累加法

求通项公式，特别的，当f(n)为常数时，数列即为等差数列。

逐商叠乘法

例4 已知a1=1, an=2nan-1(n≥2)求an

解：当n≥2时， =22, =23, =24,… =2n

将以上n-1个式子相乘可得

an=a1.22+3+4+…+n=2

当n=1时，a1=1满足上式

故an=2 (n∈N*)

注：对递推公式形如an+1an=g(n)的数列均可用逐商叠乘法求通项公式，特别的，当g (n)为常数时，数列即为等比数列

3裂项求和：

当一项可以拆时需要注意是否为了考察裂项求和，最有名的就是分数：1/2+1/6+1/12+……+1/n*（n+1）

可拆为 1-1/2+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+……+（1/n-1/（n+1））

然后你会发现从-1/2 到1/n全部能想消掉，故只剩下首项和末项。

4倒序相加：

最简单的是等差数列用倒序相加求和：

1到9 1+9=10 2+8=10。。。所以便有首项加末项乘以项数除以二。1+1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/99*100

=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/99-1/100)(裂项）

=1+1-1/2+1/2-1/3+...-1/99+1/99-1/100(消元）

=2-1/100

=199/100

一、基本概念：

1、 数列的定义及表示方法：

2、 数列的项与项数：

3、 有穷数列与无穷数列：

4、 递增（减）、摆动、循环数列：

5、 数列{an}的通项公式an：

6、 数列的前n项和公式Sn:

7、 等差数列、公差d、等差数列的结构：

8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：

二、基本公式：

三、9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=

四、10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

五、11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=

当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。

六、12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k

(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

七、13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1 (是关于n的正比例式)；

当q≠1时，Sn=Sn=

三、有关等差、等比数列的结论

八、14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。

九、15、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则

十、16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则

十一、17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等比数列。

十二、18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

十三、19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

{an bn}、 、 仍为等比数列。

十四、20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

十五、21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

十六、22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

十七、23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；

四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)

十八、24、{an}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。

十九、25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c1) 是等差数列。

二十、26. 在等差数列 中：

（1）若项数为 ，则

（2）若数为 则， ，

二十一、27. 在等比数列 中：

（1） 若项数为 ，则

（2）若数为 则，

四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。

二十二、28、分组法求数列的和：如an=2n+3n

29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n

二十三、30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)

二十四、31、倒序相加法求和：如an=

二十五、32、求数列{an}的最大、最小项的方法：

① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

② (an>0) 如an=

③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=

二十六、33、在等差数列 中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当 >0,d<0时，满足 的项数m使得 取最大值.

(2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得 取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用

5错位相减：

这个可以求出和与求通项公式和首相的关系，常用与等比数列，Sn乘上q（等比的比例常数） 如：Sn（数列和）=1+2+4+8+……2^(n-1)+2^n 左右乘上2：2Sn=2+4+8+16+……2^n+2^(n+1) 用后式-前式:Sn=2^(n+1)-1 这就得出了总和与通项式的关系 。

分组求和：此为裂项求和的反运算，但是没有裂项求和用的频繁，那个是有分式首先就想到裂项求和，如1+3+4+9+……+2^n+3^n 实际上可以看成两个或多个数列，但有时混在一起而且条件不充分时不容易发现。

裂项相消法最常见的就是an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

Sn=1/1*2+1/2*3+.+1/n(n+1)

=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)（中间相消,最后只剩首尾两项）

=1-1/(n+1)

错位相减法

这个在求等比数列求和公式时就用了

Sn=1/2+1/4+1/8+.+1/2^n

两边同时乘以1/2

1/2Sn=1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同,这样写看的更清楚些）

两式相减

1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)

Sn=1-1/2^n

倒序相加法

这个在证明等差数列求和公式时就应用了

Sn=1+2+..+n

Sn=n+n-1+.+2+1

两式相加

2Sn=(1+n)+(2+n-1)+...+(n+1)

=(n+1)*n

Sn=n(n+1)/2