调和级数收敛吗？

如果An是全部不为0的等差数列，则1/An就称为调和数列，求和所得即为调和级数，易得，所有调和级数都是发散于无穷的。

调和级数 an=1/n；发散，证明好证，自己练习，不会再问

调和级数（英语：Harmonic series）是一个发散的无穷级数。调和级数是由调和数列各元素相加所得的和。中世纪后期的数学家Oresme证明了所有调和级数都是发散于无穷的。但是调和级数的拉马努金和存在，且为欧拉常数。早在14世纪，尼克尔·奥里斯姆已经证明调和级数发散，但知道的人不多。17世纪时，皮耶特罗·曼戈里、约翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部证明工作。扩展资料当n越来越大时，调和级数的项变得越来越小，然而，慢慢地——非常慢慢地——它的和将增大并超过任何一个有限值。调和级数的这种特性使一代又一代的数学家困惑并为之着迷。下面的数字将有助于我们更好地理解这个级数。这个级数的前1000项相加约为7.485；前100万项相加约为14.357；前10亿项相加约为21；前一万亿项相加约为28，等等。更有学者估计过，为了使调和级数的和等于100，必须把10的43次方项加起来。参考资料来源：百度百科-调和级数

什么叫调和级数？ 形如1/1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数，它是 p=1 的p级数。 调和级数是发散级数。珐n趋于无穷时其部分和没有极限（或部分和为无穷大）。 调和级数 是什么 调和级数 ∑ u(n) 满足： { 1/ u(n) } 为等差数列， 最简单的调和级数∑ 1/n 交错级数 ∑ u(n) , { u(n) } 是正负项相间的数列， 例如：∑ (-1)^n / n 什么叫调和级数和p级数？ p级数指的是∑1/n^p，这个级数当且仅当p>1时收敛；p=1时就是调和级数就是∑1/n。 调和级数为什么叫做“调和”级数？ 调和级数是一个发散的无穷级数。这个级数名字源于泛音及泛音列（泛音列与调和级数英文同为harmonic series）：一条振动的弦的泛音的波长依次是基本波长的1/2、1/3、1/4……等等。调和序列中，第一项之后的每一项都是相邻两项的调和平均数；而“调和平均数”一词同样地也是源自音乐。 调和级数是什么 由调和数列各元素相加所得的和为调和级数，易得，所有调和级数都是发散于无穷的。精。。。。。锐。。。。。。教。。。。。。。师。。。。。。。为。。。。。你。。。。。。。。解。。。。。。。答。。。。。。 什么是调和级数？！ 调和级数一般项趋于零，但是级数不收敛。

是一个发散的无穷级数。调和级数是由调和数列各元素相加所得的和。早在14世纪，尼克尔·奥里斯姆已经证明调和级数发散，但知道的人不多。中世纪后期的数学家Oresme证明了所有调和级数都是发散于无穷的。但是调和级数的拉马努金和存在，且为欧拉常数。调和级数是数学中最古老和最基本的级数之一。它的名字来源于音乐中的调和音程，即两个音符的频率之比为整数比的音程。调和级数的性质在数学史上有着重要的地位，它与素数、欧拉常数、黎曼ζ函数等概念都有着密切的联系。

形如1/1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数,它是 p=1 的p级数.调和级数是发散级数.在n趋于无穷时其部分和没有极限（或部分和为无穷大）.1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...　　1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+...

调和数有：1+1/2+1/3+1/4；1，6，28，140，270，496，672，1638，2970，6200，8128，8190等等。调和级数是各项倒数为等差数列的级数，各项倒数所成的数列（不改变次序）为等差数列。从第2项起，它的每一项是前后相邻两项的调和平均，故名调和级数。

自然数的倒数组成的数列,称为调和数列,即：1/1+1/2+1/3+...+1/n 这个数组是发散的，所以没有求和公式，只有一个近似的求解方法： 1+1/2+1/3+......+1/n ≈ lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)当n很大时，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n)0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数 1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。 自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)

取An=Σ1/an（ 其中an为等差数列） 称An为调和级数最典型的调和级数也许是1/1+1/2+1/3+1/4+.......+1/n+.............另外，值得一提的是，调和级数虽然每一项都比前一项小，但却是发散的（证明方法很多，比如放缩法，映射法....）一个概念而已，没必要太认真

证明1、比较审敛法因此该级数发散。2、积分判别法通过将调和级数的和与一个瑕积分作比较可证此级数发散。考虑右图中长方形的排列。每个长方形宽1个单位、高1/n个单位（换句话说，每个长方形的面积都是1/n），所以所有长方形的总面积就是调和级数的和： 矩形面积和： 而曲线y=1/x以下、从1到正无穷部分的面积由以下瑕积分给出： 曲线下面积： 由于这一部分面积真包含于（换言之，小于）长方形总面积，长方形的总面积也必定趋于无穷。更准确地说，这证明了：这个方法的拓展即积分判别法。3、反证法假设调和级数收敛 , 则：但与 矛盾，故假设不真，即调和级数发散。扩展资料调和级数是各项倒数为等差数列的级数，通常指项级数各项倒数所成的数列（不改变次序）为等差数列。从第2项起，它的每一项是前后相邻两项的调和平均，故名调和级数。推而广之，具有这种性质的每一个级数，即形如的级数也称为调和级数，其中 a,b 是常数. 调和级数是发散的，但其部分和增长极慢。欧拉 (Euler,L.) 计算过 与 是等价无穷大，更准确地，有 其中 C=0.557 215... 是欧拉常数， 这是欧拉于1740 年发现的，更一般地，级数称为广义调和级数，亦简称调和级数，它的通俗名称是 p 级数，当 p>1 时收敛，p<=1 时发散。参考资料来源：百度百科-调和数列参考资料来源：百度百科-调和级数

调和级数可以看做是一个每阶宽度为1，值为1/n的阶梯形下的面积和s1，而lnn则是1/x下的面积s2，随着n的增大，那个阶梯形和1/x的图象越来越接近，使s1与s2越来越接近，在极限的情况下它们之间的差是一个常数，叫做欧拉常数。你根据图像的关系可以加深对调和级数的理解

http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-XUSJ199402002.htm《高等数学研究》 1994年02介绍调和级数发散性的两种证法调和级数 外文名称Harmonic series形如1/1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数，它是 p=1 的p级数。 调和级数是发散级数。在n趋于无穷时其部分和没有极限（或部分和为无穷大）。 发源 1360年 学科 数学名称定义形如1/1+1/2+1/3+……+1/n+……的级数 又称p级数是发散级数 在n趋于无穷时没有极限很早就有数学家研究，比如中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的。他的方法很简单：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+...1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...注意后一个级数每一项对应的分数都小数调合级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调合级数也是发散的。级数推导随后很长一段时间，人们无法使用公式去逼近调合级数，直到无穷级数理论逐步成熟。1665年Newton(牛顿)在他的著名著作<流数法>中推导出第一个幂级数：ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - ...Euler(欧拉)在1734年，利用Newton的成果，首先获得了调和级数有限多项和的值。结果是：1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量)他的证明是这样的：根据Newton的幂级数有：ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...于是：1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...代入x=1,2,...,n，就给出：1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - .........1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...相加，就得到：1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ......后面那一串和都是收敛的，我们可以定义1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + rEuler近似地计算了r的值，约为0.577218。这个数字就是后来称作的欧拉常数。不过遗憾的是，我们对这个常量还知之甚少，连这个数是有理数还是无理数都还是个谜。关于思考调和级数是发散的，这是一个令人困惑的事情，事实上调和级数以令人不耐烦地慢向无穷大靠近，我们可以很容易的看到这个事实，因为S2n-Sn>1/2,而调和级数的第一项是1，也就是说调和级数的和要想达到51那么它需要有2的100次方那个多项才OK。而2的100次方这个项是一个大到我们能够处理范围以外的数字，在计算机元科学领域，这属于一个不可解的数。p-级数在P>1的时候是收敛的，也就是说对于任意ε>0,n的1+ε次方的倒数这个级数是收敛的,在我们直观上看来,好像调和级数下面的n只要大了一小点,或者说调和级数的每一项只要小一小点点,那么这个级数就是收敛的了,但是事实上并不是这样sin1/n这个级数的发散的,但是在1/n>0的时候,sin1/n<1/n是一个人尽皆知的事实,但是它却并不收敛,这个令人困惑的问题恰恰说明了一个问题,数轴上数的稠密性.在分母换成素数的时候又会产生两个令人困惑不解的事实:设所有的素数的倒数和为:s=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+...在我们直观的看来,素数比自然数要少的多,但是很不幸这个级数是发散的.但是在同时所有孪生素数的倒数和:b=(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+...这个级数是收敛的,现在这个常数就被称为布隆常数:b=1.90216054...另外一个我们取调和级数的一个子数列,例如取n=4k,级数仍然是发散的,但是这样却产生了另一个困惑,我们如果取n为所有不含有数字8的自然数,所得的级数是收敛的,这个事实可以这样解释,在无限的范围以内,每个自然数几乎含有所有的10个数字.

问题一：为什么调和级数发散？ 书上好多证明方法 反证 设前n项和sn,前2n项和s2n 假如调和级数收敛，有sn=s2n=a(常数) (级数收敛部分项和存在) s2n-sn=1/(n+1)+1/(n+2)+~1/2n≠0与s2n=sn=a矛盾 所以级数发散 问题二：为什么调和级数是发散的？ 1+1/2+1/3+1/4+... 分段 =1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+1/10...+1/16)+... 放缩法，每个括号里统一分母 >1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+(1/16+1/16...+1/16)+... =1+1/2+2/4+4/8+8/16... =1+1/2+1/2+1/2+... 有无穷多个1/2 所以是趋于无穷大的 调和级数缩小后尚且趋于无穷大，说明调和级数本身也是趋于无穷大的，故发散。 问题三：证明调和级数发散，这个是什么意思？具体解释一下 对常数1/k进行积分，就可以获得结果为1/k，因为积分区间的长度为1. 问题四：什么叫调和级数？ 形如1/1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数，它是 p=1 的p级数。 调和级数是发散级数。珐n趋于无穷时其部分和没有极限（或部分和为无穷大）。 问题五：为什么调和级数是发散的？ 30分 数列的收敛和级数的收敛是不一样的， 级数收敛是指它的部分和的极限存在 问题六：调和级数 是什么 调和级数 ∑ u(n) 满足： { 1/ u(n) } 为等差数列， 最简单的调和级数∑ 1/n 交错级数 ∑ u(n) , { u(n) } 是正负项相间的数列， 例如：∑ (-1)^n / n

p级数指的是∑1/n^p，这个级数当且仅当p>1时收敛；p=1时就是调和级数就是∑1/n。

从更广泛的意义上讲,如果An是全部不为0的等差数列，则1/An就称为调和数列，求和所得即为调和级数，易得，所有调和级数都是发散于无穷的。n所以类似于1/2+1/4+1/6+1/8+……+1/2n……这样的，也是调和级数。

调和级数，上高中的时候学。调和级数形如1/1+1/2+1/3+1/n的级数称为调和级数，它是p=1的p级数。调和级数是发散级数。在n趋于无穷时其部分和没有极限（或部分和为无穷大）。注意后一个级数每一项对应的分数都小数调合级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调合级数也是发散的。建立的概念贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。

采用定积分来估算：即因此当级数的值近似为62的时候，有从上图就可以看到n大概有多大了。如果编写程序来计算n的临界值，那么定义的整型变量就会溢出。

任意项级数就是没有限定，没有特点的级数。

不是调和级数就是1+1/2+1/3+……+1/n+……

定义1：自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.　　定义2：若数列{an}满足1/a（n+1）-1/an=d（n∈N*，d为常数），则称数列{an}调和数列　　人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时):　　1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......称作欧拉初始,专为调和级数所用，至今不知是有理数还是无理数)　　人们倾向于认为它没有一个简洁的求和公式.　　但是,不是因为它是发散的,才没有求和公式.相反的,例如等差数列是发散的,公比的绝对值大于1的等比数列也是发散的,它们都有求和公式.　　当n→∞时　　1＋1/2＋1/3＋1/4＋…＋1/n　　这个级数是发散的。简单的说，结果为∞　　－－－－－－－－－－－－－－－－－－　　用高中知识也是可以证明的，如下：　　1/2≥1/2　　1/3＋1/4＞1/2　　1/5＋1/6＋1/7＋1/8＞1/2　　……　　1/[2^(k-1)+1]＋1/[2^(k-1)+2]＋…＋1/2^k＞[2^(k-1)](1/2^k)＝1/2　　对于任意一个正数a，把a分成有限个1/2　　必然能够找到k，使得　　1＋1/2＋1/3＋1/4＋…＋1/2^k＞a　　所以n→∞时，1＋1/2＋1/3＋1/4＋…＋1/n→∞

级数∑1/n^2的前n项和sn=1+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2是递增的,且sn

调和级数是一个发散的无穷级数。这个级数名字源于泛音及泛音列（泛音列与调和级数英文同为harmonic series）：一条振动的弦的泛音的波长依次是基本波长的1/2、1/3、1/4……等等。调和序列中，第一项之后的每一项都是相邻两项的调和平均数；而“调和平均数”一词同样地也是源自音乐。

只要证明它大于某一固定数，即可证明不收敛。

交错级数(条件收敛)，∑_{n=1}^{∞}(-1)^n 1/n；调和级数(发散)，∑_{n=1}^{∞}1/n；几何级数(绝对收敛)，∑_{n=1}^{∞}r^{n－1}=1/(1－r)，其中|r|＜1，且r≠0。

我直接说一下最佳答案下面的评论的问题。最佳答案是没有问题的。下面是最佳答案的图片，借用一下。评论说“x=1处发散的”都没弄懂  函数项级数的收敛域（尤其是端点处），收敛区间， 和函数的定义域，这几者的区别。1.首先，函数项级数的 收敛区间是（-1,1）不错，但是x取1时，是交错调和级数，是收敛的，x=-1时，退化成调和级数，发散，所以 收敛域 要添加1这个端点，收敛域是(-1,1]。2.也就是说，当我们反观 和函数 时，ln（x+1）在(-1,1]都是代表着 函数项级数的极限值的。3.ps：判断“x=1处发散的”可能都是用了比值判别法，或者根值判别法，但是比值和根值判别法，在极限等于1时都是失效的，x=1，函数项级数 变成 交错调和级数，由莱布尼茨判别法知，此时收敛（提问者本来就在问收敛到一个具体值怎么算的）。

级数是无穷项相加它主要用于近似计算方面。你的数学用表就是用级数算出来的。要计算机应用上很方便应用特别广的是傅立叶级数。它在电磁学上有广泛应用。电学上经常要用到它微积分是它的基础。

1+1/2+1/3+...+1/n+...这是调和级数

调和级数有以下性质：f(n)-f(n-1)=1/n我们可以寻找一个函数G(x)，他在定义域内此性质恒成立，且其经过所有的调和级数。我们暂定其定义域为（0，）则G（0）=G(1)-1/1=0G(n+1)-G(n)=1/(n+1) (n>=0) 恒成立G(x)为连续的凸函数（重要）则有无数曲线即有无数函数满足以上要求。我们将其中为凸函数的一个求出，作为调和级数在实数上的合理拓延。以下求解过程在定义域内完成，不作赘述。G(x+1)-G(x)=1/(x+1) ①G(x+1+m)-G(x+m)=1/(x+1+m) ②②-①在除以m得[G(x+1+m)-G(x+1)]/m - [G(x+m)-G(x)]/m = 1/(x+1) - 1/(x+1+m)m趋于无穷小时，g(x)表示G(x)的导数 得g(x+1)-g(x)=-1/(x+1)^2 ③因为G(x)为凸函数，所以有以下性质1/(x+1)<g(x)<1/x ④由③④可以推出g(x)=+g(x+n) n 为正整数⑤n趋于正无穷时有g(x+n)趋于0所以g(x)=⑥由微积分知道 ⑦此式在非负整数上都成立即调和级数的实数拓延为注：此式在x趋于无穷时失效，因为那时精度不够，因为那时被省略的 g(x+n)项 所累积的值会逐渐增大， x 趋于正无穷时 ，该值趋于 ln2。计算方法为将省略项用积分算出。但由于总有省略项的存在，只能得到某种精度的结果。如上式在x 为非无穷时完全成立。非省略的式子为此式在用积乘求阶乘中十分重要。

调和级数∑(1/n)是发散的；a+∑(1/n)或a∑(1/n)仍然是发散的(其中a≠0.

　　教材上肯定有详细介绍的。调和级数是一个级数：　　　∑(n≥1)(1/n)；交错级数是一类级数，形如　　　∑(n≥1)[(-1)^n]a(n)，其中，a(n)>0。

S=1+1/2+1/3+...+1/n:S>0 n=1S>1 n=2S>2 n=4S>3 n=11S>4 n=31S>5 n=83S>6 n=227S>7 n=616S>8 n=1674S>9 n=4550S>10 n=12367S>11 n=33617S>12 n=91380S>13 n=248397S>14 n=675214S>15 n=1835421......计算机程序（C）：注意：本程序由于浮点误差，当S>=16时不保证结果准确；但算法是正确的，仅供参考。#include<stdio.h>int main(){int k,i=0;double tot=0;scanf("%d",&k);while(tot<=k){ i++;tot+=1.0/i;}printf("%d ",i);system("pause");}或者#include<stdio.h>int main(void){int i,n;double sum=0;printf("please intput n： ");scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++){sum+=1.0/i;printf("%-20.16lf",sum);}return 0;}

因为是趋于无穷大，所以极限是1而不是小于一

可以证明数列是发散的

调和级数的和趋于无穷大（发散），交错调和级数的和敛于ln2，前者减去后者所得的级数必然趋于无穷大（发散）

调和级数是发散的。

把n变为2N S4N S2N> = 1 / 2建立以次类推S8n S4N>至无限远这里显然是总是有m = 2n个的Sm-Sn的|> = 1/ 0，M，正> S下标2 ^海里> = k / 2个再次作出的k->无穷大，即2 ^ k个n-> = 1/2 小号标2 ^ KN-S标准2 ^（K-1）N> = 1/：存在一系列限制：全部S2N锡> = 1/2 建立一个任意;无穷大;2 所有的都概括BR /，则S无穷大=无穷大方法，使用的最终收敛的定义。

发散

形如1/1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数，它是 p=1 的p级数。 调和级数是发散级数。在n趋于无穷时其部分和没有极限（或部分和为无穷大）。

调和级数（英语：Harmonic series）是一个发散的无穷级数。它是级数中一种确定的，重要的级数。在解题中，调和级数作为一把“ 尺子 ”，在判别另外一个级数发散起着重要作用。关于调和级数的发散性，早在14世纪，尼克尔·奥里斯姆就已经证明了，但知道的人不多。17世纪时，皮耶特罗·曼戈里、约翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部证明工作。很早就有数学家研究，比如中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的。他的方法很简单：1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...注意后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。从更广泛的意义上讲，如果An是全部不为0的等差数列，则1/An就称为调和数列，求和所得即为调和级数，易得，所有调和级数都是发散于无穷的。扩展资料关于调和级数发散性的证明有很多，门戈利（Pietro Mengoli）在1647年证明了这个结论，40年后，约翰·伯努利（Johann Bernoulli）再次证明，不久，约翰的哥哥雅各布（Jakob Bernoulli）第四次证明。不知道是因为什么原因，国内多种课本给出的都是使用反证法。他们似乎都忘记了奥雷姆（Nicole d"Oresme）在14世纪使用普通算数给出的证明。参考资料来源：百度百科-调和级数

问题一：什么是调和级数？它发散吗？为什么？ 形如1/1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数，它是 p=1 的p级数。 调和级数是发散级数。在n趋于无穷时其部分和没有极限（或部分和为无穷大）。 1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +... 1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+... 注意后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。 从更广泛的意义上讲,如果An是不全部为0的等差数列，则1/An就称为调和数列，求和所得即为调和级数，易得，所有调和级数都是发散于无穷的。 问题二：调和级数 是什么 调和级数 ∑ u(n) 满足： { 1/ u(n) } 为等差数列， 最简单的调和级数∑ 1/n 交错级数 ∑ u(n) , { u(n) } 是正负项相间的数列， 例如：∑ (-1)^n / n 问题三：什么叫调和级数和p级数？ p级数指的是∑1/n^p，这个级数当且仅当p>1时收敛；p=1时就是调和级数就是∑1/n。 问题四：调和级数是什么 由调和数列各元素相加所得的和为调和级数，易得，所有调和级数都是发散于无穷的。精。。。。。锐。。。。。。教。。。。。。。师。。。。。。。为。。。。。你。。。。。。。。解。。。。。。。答。。。。。。 问题五：调和级数的定义 10分 如果An是全部不为0的等差数列，则1/An就称为调和数列，求和所得即为调和级骇，易得，所有调和级数都是发散于无穷的。

级数就是数列的和。 调和就是倒数， 调和级数就是正整数数列的倒数的和。

调和级数（英语：Harmonic series）是一个发散的无穷级数。它是级数中一种确定的，重要的级数。在解题中，调和级数作为一把“ 尺子 ”，在判别另外一个级数发散起着重要作用。关于调和级数的发散性，早在14世纪，尼克尔·奥里斯姆就已经证明了，但知道的人不多。17世纪时，皮耶特罗·曼戈里、约翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部证明工作。很早就有数学家研究，比如中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的。他的方法很简单：1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...注意后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。从更广泛的意义上讲，如果An是全部不为0的等差数列，则1/An就称为调和数列，求和所得即为调和级数，易得，所有调和级数都是发散于无穷的。扩展资料关于调和级数发散性的证明有很多，门戈利（Pietro Mengoli）在1647年证明了这个结论，40年后，约翰·伯努利（Johann Bernoulli）再次证明，不久，约翰的哥哥雅各布（Jakob Bernoulli）第四次证明。不知道是因为什么原因，国内多种课本给出的都是使用反证法。他们似乎都忘记了奥雷姆（Nicole d"Oresme）在14世纪使用普通算数给出的证明。参考资料来源：百度百科-调和级数

负数或者前面系数，不改变1/n的收敛性

形如1/1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数,它是 p=1 的p级数.调和级数是发散级数.在n趋于无穷时其部分和没有极限（或部分和为无穷大）.

通项为An=1/n的无穷级数叫做调和级数，可以证明它是发散的

形如1/1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数,它是 p=1 的p级数.调和级数是发散级数.在n趋于无穷时其部分和没有极限（或部分和为无穷大）.

调和级数 ∑ u(n) 满足： { 1/ u(n) } 为等差数列， 最简单的调和级数∑ 1/n 交错级数 ∑ u(n) , { u(n) } 是正负项相间的数列， 例如：∑ (-1)^n / n

调和数有：1+1/2+1/3+1/4；1，6，28，140，270，496，672，1638，2970，6200，8128，8190等等。调和级数是各项倒数为等差数列的级数，各项倒数所成的数列（不改变次序）为等差数列。从第2项起，它的每一项是前后相邻两项的调和平均，故名调和级数。

调和级数 an=1/n；发散。证明方法如下：一、即当p≤1p≤1时，有1np≥1n1np≥1n，调和级数是发散的，按照比较审敛法： 若vnvn是发散的，在n>N,总有un≥vnun≥vn,则unun也是发散的。 调和级数1n1n是发散的，那么p级数也是发散的。二、当p>1时，证明的思路大概就是对于每一个整数，取一个邻域区间，使邻域区间间x∈[k,k−1]x∈[k,k−1]使得某个函数在[k,k−1][k,k−1]邻域区间内的积分小于1xp1xp在这个邻域区间的积分。然后目的当然是通过积分求指数原函数解决问题。这个证明的比较函数取的很巧妙，令k1≤x≤kk1≤x≤k,那么1kp≤1xp1kp≤1xp。利用比较审敛法的感觉，应该找一个比p级数的一般式大的收敛数列，证明p级数收敛。这个就有点反套路了。 1kp=∫kk−11kpdx(这里是对x积分而不是k)≤∫kk−11xp1kp=∫k−1k1kpdx(这里是对x积分而不是k)≤∫k−1k1xp。其中（k=2,3....）（k=2,3....）。讨论级数和,用k的形式代表p级数，并且用一个大于它的函数来求得极限。 sn=1+∑k=2n1kp（p级数）≤1+∑k=2n∫k−1k1xp=1+∫n11xpdxsn=1+∑k=2n1kp（p级数）≤1+∑k=2n∫kk−11xp=1+∫1n1xpdx。这里利用积分区间的可加性: ∫D1f(x)dx+∫D2f(x)dx=∫D1+D2f(x)dx。1、级数将数列 unun 的项 u1,u2,…,un,…u1,u2,…,un,…，依次用加号连接起来的函数。数项级数的简称。如： u1+u2+…+un+…u1+u2+…+un+… ，简写为 ∑un∑un ， unun 称为级数的通项，记 Sn=∑unSn=∑un 称之为级数的部分和。如果当 n→∞n→∞ 时 ，数列有极限，则说级数收敛，并以 SS 为其和，记为 ∑un=S∑un=S ；否则就说级数发散。2、简单证明基本手段-放缩级数 n+1−−−−−√−n−√n+1−n 的敛散性：∑n+1−−−−−√−n−−√=∑1n+1−−−−−√+n−−√>∑12n+1−−−−−√>∑12(n+1)，因此其是发散的。

作为数列1/n是收敛的，以1/n作为通项构成的级数是发散的。中世纪后期的数学家Oresme在1360年证明了这个级数是发散的，1+1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...，1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...，后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项，后面级数的括号中的数值和都为1/2，后一个级数是趋向无穷大的，所以调和级数也是发散的。 扩展资料 1+1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...，1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...，后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项，后面级数的括号中的"数值和都为1/2，后一个级数是趋向无穷大的，所以调和级数也是发散的。