什么是欧拉坐标系统和拉格朗日坐标系？

拉格朗日方程拉格朗日方程（Lagrange equation），因数学物理学家约瑟夫·拉格朗日而命名，是分析力学的重要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。导引在分析力学里，有三种方法可以导引出拉格朗日方程。最原始的方法是使用达朗贝尔原理导引出拉格朗日方程（参阅达朗贝尔原理）；更进阶层面，可以从哈密顿原理推导出拉格朗日方程（参阅哈密顿原理）；最简明地，可以借用数学变分法的欧拉-拉格朗日方程来推导：设定函数和：其中，是自变数（independentvariable）。若使泛函取得局部平稳值，则在区间内，欧拉-拉格朗日方程成立：。现在，执行下述转换：设定独立变数为时间、设定函数为广义坐标、设定泛函为拉格朗日量，则可得到拉格朗日方程。为了满足这转换的正确性，广义坐标必须互相独立，所以，这系统必须是完整系统。拉格朗日量是动能减去位势，而位势必须是广义位势。所以，这系统必须是单演系统。半完整系统主项目：参阅半完整系统一个不是完整系统的物理系统是非完整系统，不能用上述形式论来分析。假若，一个非完整系统的约束可以以方程表示为；则称此系统为半完整系统。半完整系统可以用拉格朗日形式论来分析。更具体地说，分析半完整系统必须用到拉格朗日乘子：；其中，是未知函数。由于这个广义坐标中，有个相依的广义坐标，泛函不能直接被转换为拉格朗日量；必须加入拉格朗日乘子，将泛函转换为。这样，可以得到拉格朗日广义力方程：

欧拉-拉格朗日方程(Euler -Lagrange equation) 为变分法中的一条重要方程。它提供了求泛函的平稳值的一个方法，其最初的想法是初等微积分理论中的“可导的极值点一定是稳定点（临界点）”。当能量泛函包含微分时，用变分方法推导其证明过程，简单地说，假设当前的函数（即真实解）已知，那么这个解必然使能量泛函取全局最小值。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它分辨不出找到的是最大值还是最小值（或者两者都不是）。

拉格朗日方程（lagrange"s equations）：因约瑟夫·路易斯·拉格朗日而命名，是拉格朗日力学的主要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。

欧拉-拉格朗日方程，Eular-Lagrange equation，其数学意义不用多去讲了。在实际应用中，它对在动力学（特别是多体动力学和有限元的理论基础）分析中，得出系统的运动微分方程（组）进行分析有很大的价值。教科书和网络上关于这个方程的推导步骤和解释有很多，这里也写一下自己对推导过程的温习和理解。 极值的条件 先复习一下函数上的函数值处于极值的条件： 当函数值相对自变量的导数等于零时，即当自变量发生微小的变化（增加或减少）时，函数值仍不趋向发生改变，函数值处于极值，该点的自变量是产生函数极值的自变量。 函数的英文是function，经常使用小写。泛函的英文是Functional，经常使用大写。接下来极值条件延申到泛函集合中当泛函值处于极值的条件：当对其中一个函数施加一个微小的扰动（变分）使函数发生微小的变化后，函数所映射的泛函值仍不趋向发生改变时，其所映射的泛函值处于极值，该函数是使泛函值处于极值的函数。联想到函数极值下函数导数的条件，泛函值在处于极值时其对函数的扰动量（变分）求导也等于零。即它是一个即使施加了小小的扰动后也不趋于改变泛函值的函数。 泛函的积分表达式 泛函值的表达式是一个函数的起点和终点的积分表达式，每一个泛函积分值中的微元值由源函数所决定，包括函数的自变量值、函数值（因变量值）、以及函数的导数构成。函数到泛函值的映射关系是比较灵活的，它不止取决于当前的函数值，也取决于函数的自变量值和导数值，因此它的表达式为： 经常拿来做例题的泛函值有两个。一个泛函值是函数曲线从起点到终点的长度，例题要去证明最短长度的函数是两点间的直线；另一个例题是一个小球沿着函数曲线从起点到终点落下所需的时间，例题要去证明耗时最短的函数是一条摆线（最速降线）。在第一个例子中，泛函微分值等于微小的“弧长”单元；第二个例子中，泛函微分值等于微小的“时长”单元（“弧长”单元除以因势能转化为动能后所求得的瞬时速度） 泛函表达式在极值条件下的逐项推导 通过偏微分公式可以得出，泛函值对函数变分值的导数如下： 看这个部分：（泛函值对函数值的偏微分）乘以（变分） + （泛函值对函数值导数的偏微分）乘以（变分的导数）。一个乘子是变分，另一个乘子是变分的导数，需要通过方法将乘子统一，以便于进行进一步推导。 后者等于 （（泛函值对函数值导数的偏微分）乘以变分）在两端点上的差值 减去（（泛函值对函数值导数的偏微分）的导数 ）乘以 （变分） 因为两个端点是固定的，所以在两个端点处的变分为0，因此泛函对变分的导数为零的条件变为如下形式 变分是一个趋于零的无穷小量，因此需要的关系式变为 这便是欧拉-拉格朗日方程的表达式。也就是对函数使其泛函在处于极值下的要求。 公式能不能简单理解 感觉不太能。一开始想尝试好多思路去使用简单的比喻的方式，或者是直觉化的思路去理解这个公式，但想不太清楚。“两点之间直线最短”这种简单直觉所能理解的结论，直觉上好像不用去证明了，如果需要证明才能想清楚，那就不是直觉了。比如就尝试两点之间直线最短这个例子，想象起点是绳子的一端被钉子固定住，终点是一个位置固定的滑轮，当滑轮朝一个方向旋转时，绳子被“收紧”，绳子一部分的长度从AB两点之间收回终点的滑轮里，就像卷尺一样。朝另一个方向旋转时，绳子被“松弛”，藏在滑轮里的绳子被推出来。那么泛函是两点之间的绳子的长度，函数是绳子的形状。假设滑轮里有一个弹簧，就像卷尺一样，它趋向于减少绳子外露的长度。函数的变分，就好比我们用手去拨这个绳子让它产生形状的变化。泛函的变分，就是绳子形状变化的同时，绳子退回滑轮/伸出滑轮的长度。函数曲线的极值，就在绳子被拉直的时候，因为在那个时候去用手拨动绳子，就像琴弦一样，滑轮里绳子长度的变化趋向于不变。但是再往下就不好比喻了，因为这个比方里多了假设：绳子受到滑轮弹簧的力。目前还是没想到能直观理解拉格朗日方程的方法。 不过物理角度就容易一些，在最常见的保守系统中，物体的惯性力（质量乘以加速度）减去因势能差变化所产生的力等于零。 从数学到物理 为什么在保守体系的动力学运动微分方程中，拉格朗日量，也就是泛函值等于T-V 我这样理解：在保守体系中，物体在每一个时刻不是在增加动能减少势能的路上，就是在增加势能减少动能的路上。从而这个时间上微分值定义为动势能之差。因为动能和势能之间的转化关系，使得从起始时刻到最终时刻的泛函（作用量）处于最小值。 最后通过欧拉-拉格朗日公式可以得出运动微分方程的基本步骤： 1、获取系统总动能+总势能的表达式，得到拉格朗日量L=T-V的表达式； 2、将拉格朗日量通过欧拉-拉格朗日方程进行展开（对速度、加速度、位置求导），得出基于力、速度、加速度、位置的运动微分方程（组）； 3、如需分析系统的稳定性，对微分方程组进行转化可得到一个y"=Ay的特征矩阵乘以向量的方程。此时通过求解 Det(A)可得出特征矩阵的特征值lambda （当lambda<0时，系统趋于渐进稳定，当lambda>0时，系统趋于不稳定。当lambda中包括虚数部分时，系统在趋于稳定/稳定的总的趋势下存在震荡。一个系统会求解出不止一个特征值，每个特征值都会对应一个特征向量，通过特征值分析稳定性，并且通过特征向量得出稳定/不稳定的趋势方向） 关于欧拉-拉格朗日方程的推导和理解就先到这里。

动力学普遍方程 设 个质点组成的质点系具有完整约束，其自由度为 ，则任意给定时刻确定该质点系位置的 个坐标可由 个广义坐标 唯一确定，即 化成矢量形式 将式 两边对时间 求导，得 其中， 称为广义速度，与广义坐标一同 相互独立 ，且为时间 的单值连续函数。 式 两边对广义速度 求偏导，得 式 两边对广义坐标 求偏导，得 上述推导过程中利用了连续函数求偏导过程中可以交换求偏导顺序，以及式 的形式。 取式 的变分（虚位移），由于时间固定，所以 ，得 应用虚位移原理的相关知识，我们可以得到 其中 是对应于广义坐标 的广义力，具有以下形式 观察式 中的第二项 其中， 是质点系的动能，记为 ，则有 其中 称为对应广义坐标 的广义惯性力。于是广义坐标下动力学基本方程表示为 由于 相互独立，得 受理想约束的质点系在运动时，对应各广义坐标的广义力与广义惯性力平衡（虚位移原理：受理想约束的质点系在静止时，对应各广义坐标的广义力为零）。微分方程形式如下： 上式称为 第二类拉格朗日方程 ，简称 拉格朗日方程 。 若主动力全部是有势力，记系统的势能函数为 ，则对应于广义坐标 的广义力为 由于 ，故式 转化为 记 ， 称为 拉格朗日函数 或 动势 。势力场中的拉格朗日方程写为 若主动力只是部分有势，则将有势力记入拉格朗日函数，其他的非有势力单独计算其广义力，拉格朗日方程形式如下： 其中 是非有势力对应的广义力。 直接利用定义式 。 虚位移法。为求得广义坐标 对应的广义力 ，可以沿着广义坐标增大的方向取特殊的虚位移 ，而其余的 ，求出所有主动力（非有势力）在该虚位移上所做的虚功 ，则应有 由上面的推导我们可以看到，拉格朗日方程是一组二阶常微分方程，为了方便求解，对于某些系统，可以利用系统的相关特性给出某些首次积分。 首先观察质点系的动能 由此，将质点系的动能划分为三个部分：广义速度的二次齐次函数，记为 ；广义速度的一次齐次函数，记为 ；广义速度的零次齐次函数，记为 。即 。 在上述符号系统下，拉格朗日方程 ，具有以下形式 对于形如式 的方程，如果存在一个函数 ，在将方程的解代入其中后，有 则称 为方程（组）的一个 首次积分 （也称 第一积分 ）。 一般，拉格朗日函数可能不会显含某些广义坐标，此时可以得到循环积分， 中显缺的广义坐标称为 循环坐标 。 设质点系的后 个坐标是循环坐标，则有 由拉格朗日方程，得 可得 此为质点系得拉格朗日方程的 循环积分 ， 称为对应于广义坐标 的 广义动量 。循环积分的物理意义： 对应于循环坐标的广义动量守恒 。 在上述推导过程中默认不存在非有势力，而当存在非有势力时，只需考虑在某个循环坐标上非有势力的广义力为零的情况即可。 如果在拉格朗日函数中不显含时间 ，即 。有 当主动力均为有势力时，由拉格朗日方程得， ，代入上式得 由此得 故 由 及齐次函数的欧拉定理，有 最后得到首次积分 该积分表示质点系部分能量的关系，称为 广义能量积分 ，常出现在相对于非惯性系运动的质点系中。

拉格朗日方程的一般形式是： d/dt(偏L/偏qi导)-(偏L/偏qi)=Qi 式中T为用各广义坐标qi和广义速度 qi导 表示的系统的动能；Qi为对应qi的广义力。方程式的个数等于系统的自由度N。保守系统中存在势函数V（q1，q2，…，qN；t)，则广义力Q=偏V/偏qi，又因V中不含qi，即偏V/偏qi＝0， 所以完整保守系统的拉格朗日方程为： d/dt(偏L/偏qi)-(偏L/偏qi)=0（i＝1，2，…，N) 式中L＝T－U为拉格朗日函数。上式与变分问题中的欧拉方程形式相同

拉格朗日方程是描述力学系统的重要工具，可以用于推导系统的运动方程。在最降速线问题中，我们希望找到一条能够使得质点从起点到终点所需时间最短的路径。这个问题可以转化为一个优化问题，即在所有可能的路径中找到一条使得行动积分（即运动所需时间）最小的路径。设质点的位置为 $mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$，其速度为 $mathbf{v}(t)=(dot{x}(t),dot{y}(t),dot{z}(t))$，在最降速线问题中，我们希望质点从起点到终点所需时间最短，因此行动积分可以表示为：$$S=int_{t_1}^{t_2} dt = int_{t_1}^{t_2} sqrt{frac{dx}{dt}^2 + frac{dy}{dt}^2 + frac{dz}{dt}^2}$$为了将问题转化为最小化行动积分的问题，我们可以使用拉格朗日乘数法，通过引入一个约束条件来求解。在本问题中，由于我们希望路径为最降速线，即在路径上质点受到的力应该是沿着速度方向的，因此约束条件可以表示为：$$mathbf{F} cdot frac{mathbf{v}}{|mathbf{v}|} = 0$$其中，$mathbf{F}$ 为质点所受的外力。根据拉格朗日乘数法，我们可以将约束条件引入拉格朗日函数中：$$L(x,y,z,dot{x},dot{y},dot{z},lambda) = sqrt{dot{x}^2 + dot{y}^2 + dot{z}^2} + lambda (mathbf{F} cdot frac{mathbf{v}}{|mathbf{v}|})$$对于一个固定的起点和终点，我们希望找到一条使得行动积分最小的路径。这等价于在拉格朗日函数 $L$ 中，求取使得积分最小的路径 $mathbf{r}(t)$，即：$$deltaint_{t_1}^{t_2} L dt = 0$$利用欧拉-拉格朗日方程，我们可以得到：$$frac{partial L}{partial x} - frac{d}{dt} frac{partial L}{partial dot{x}} = 0$$$$frac{partial L}{partial y} - frac{d}{dt} frac{partial L}{partial dot{y}} = 0$$$$frac{partial L}{partial z} - frac{d}{dt} frac{partial L}{partial dot{z}} = 0$$

第一类拉格朗日方程既适用于完整约束，也适用于非完整约束，由于非完整约束方程的不可积性，第二类拉格朗日方程仅适用于理想的完整力学系统。 拉格朗日方程的特点： 1、是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形式简洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。 2、方程中不出现约束反力，因而在建立体系的方程时，只需分析已知的主动力，不必考虑未知的约束反力。 体系越复杂，约束条件越多，自由度越少，方程个数也越少，问题也就越简单。 3、拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理学的基本物理量而且是标量，因此拉氏方程为把力学规律推广到其他物理学领域开辟了可能性，成为力学与其他物理学分支相联系的桥梁。 生不逢时啊

1、词条作者：汪家訸．《中国大百科全书》74卷（第一版）力学 词条：拉格朗日方程：中国大百科全书出版社，1987 ：281-282页

，拉格朗日的定义就是，有多少个约束，每个约束乘以拉格朗日乘子再加上原目标，所以是累加。其实，构造这个公式的意义本身，是要求构造出的无约束问题L(w, b, alpha)与原问题等价。Hard-margin SVM:拉格朗日：在求解L(w, b, alpha)过程中，我们首先将b，w固定，然后在该固定的b，w下，调整alpha，对alpha求导，得到在该b，w下最大的L_max，那么在所有的L_max中选择一个最小的，其对应的b，w则是该拉格朗日问题的最优的b，w。并且与原Hard-margin SVM求得的b,w相同。该过程也就是而这两个问题为什么等价，也就是为什么上述两种方法求得的b，w相同呢？下面给一个简单的说明。假设由拉格朗日问题求得的b, w不满足原SVM的条件，即又因为alpha>=0,因此的最大值为正无穷。2. 假设求得的b, w满足原SVM的条件，即则要想取得最大值，上式中，只需要alpha_n=0,得到的最大值为即刚好与原问题等价。

先说用法吧，拉格朗日乘子法是用来求有限制的下最优解的，这里限制条件就是制约函数，求得就是在满足g（x）=b时f(x)的最值。下面说具体内容，举个栗子比较容易讲：假设f(x)是效用函数，g（x）=b是成本约束，为了简便x=x好了（只有一个约束），另外假设x的价格为p，后面会用到。那等式l=f(x)+λ[b-g(x)]的意义就是如何在花光b那么多预算的时候让f(x)最大，答案显而易见就是当b=g(x)时所有预算花光，剁手剁得很欢快。这时λ就是收入的边际效用，也就是b每增加1各单位，效用就会增加λ那么多。证明如下：对l求x和λ的一阶偏导，得到：1.dl/dx=f"(x)+λg"(x)=02.dl/dλ=b-g(x)=0第2个等式就是制约条件，意思就是预算被花光（因为完整的拉格朗日乘子法是允许不花光的）。等式1变形得3.λ=f"(x)/g"(x)λ的定义就出来了，也就是当b每增加1个单位，g"(x)=1/p，就是花在x上的钱多了1，同时买了1/p那么多的x，这时λ=f"(x)/p，就是1单位收入带来的额外效用。这时因为x是一元的所以最值不用另外求，就是当x=g^(-1)[b]时f(x)最大。现在变成二元的，x=(x,y)，g（.）依旧是成本，f（.）还是效用，但这时λ还是一样的意义，只不过一阶偏导变成了3个:dl/dx=0...展开先说用法吧，拉格朗日乘子法是用来求有限制的下最优解的，这里限制条件就是制约函数，求得就是在满足g（x）=b时f(x)的最值。下面说具体内容，举个栗子比较容易讲：假设f(x)是效用函数，g（x）=b是成本约束，为了简便x=x好了（只有一个约束），另外假设x的价格为p，后面会用到。那等式l=f(x)+λ[b-g(x)]的意义就是如何在花光b那么多预算的时候让f(x)最大，答案显而易见就是当b=g(x)时所有预算花光，剁手剁得很欢快。这时λ就是收入的边际效用，也就是b每增加1各单位，效用就会增加λ那么多。证明如下：对l求x和λ的一阶偏导，得到：1.dl/dx=f"(x)+λg"(x)=02.dl/dλ=b-g(x)=0第2个等式就是制约条件，意思就是预算被花光（因为完整的拉格朗日乘子法是允许不花光的）。等式1变形得3.λ=f"(x)/g"(x)λ的定义就出来了，也就是当b每增加1个单位，g"(x)=1/p，就是花在x上的钱多了1，同时买了1/p那么多的x，这时λ=f"(x)/p，就是1单位收入带来的额外效用。这时因为x是一元的所以最值不用另外求，就是当x=g^(-1)[b]时f(x)最大。现在变成二元的，x=(x,y)，g（.）依旧是成本，f（.）还是效用，但这时λ还是一样的意义，只不过一阶偏导变成了3个:dl/dx=0dl/dy=0dl/dλ=0三元一次方程组解出唯一解的话就是最优了。当x上升为n元时，也就意味着要同时考虑n个条件，就像是同时用b购买有n种商品，要求效用的最优解。这时唯一的不同只是方程组的未知数变多了，解法还是一样的。至于b的元数...你遇到更高元的限制条件再问吧...收起

其实，v那个式子就是在用拉格朗日乘法求解极值。拉格朗日乘法：设给定二元函数z=?(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=?(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数 ，其中λ为参数。求L(x,y)对x和y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立，即 L"x(x,y)=?"x(x,y)+λφ"x(x,y)=0， L"y(x,y)=?"y(x,y)+λφ"y(x,y)=0， φ(x,y)=0 由上述方程组解出x，y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=?(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。所以，v那个式子就是构造的拉格朗日高数，你们如果学了高数中多元函数极值，应该就很容易理解了，一般都是用拉格朗日乘法进行求解的。

第二类拉格朗日方程是一种基于能量函数的标量型微分方程，它能直接导出与每个独立广义坐标一一对应的全部运动微分方程。它已经找到两类首次积分，分别具有“厂一义动量守恒”和“广义能量守恒”的明确物理意义；它的解题过程规范化而不易出错基于这些优点。第二类拉格朗日方程是处理非自由质系（尤其是多自由度系统）动力学问题的重要理论基础，并能有效地应用于柔体或刚一柔祸合系统，因而被列为理论力学课程多学时教学大纲的基本要求，是我国相应理论力学教材的重要内容之一[一5]。第二类拉格朗日方程的导出过程涉及较多的高等数学变换和演绎过程，成为教学的一个难点。学生普遍反映“太抽象”、“为什么要这样变来变去”、“拉格朗日怎么会想出这些奇妙的变换的？”。从功率方程推导第二类拉格朗日方程：从功率方程推导第二类拉格朗日方程杨光（吉林工学院基础科学系，长春130012）摘要改变了作为分析力学基础方程——拉格朗日方程（Ⅱ）传统的推导方法，采用以广义速度和广义坐标表示功率方程的简捷直观的新的推导方法。关键词广义坐标广义速度分类号O313．30引言在理论力学求解非自由质点系的动力学问题时，传统上都是从动力学普遍方程来推导第二类拉格朗日方程，其中必须用到两个辅助性的关系式。这种推导方式思路迂回，不易理解。实际上，拉格朗日方程是一组以广义坐标表示的微分形式的能量方程，而功率方程也是表征系统能量变化关系的微分方程。因此，功率方程与拉格朗日方程之间存在着比动力学普遍方程与拉格朗日方程之间更近的“血缘关系”。如果将功率方程也用广义坐标和广义速度来表示，就会很方便地推导出拉格朗日方程。

计算过程与结果如图所示

函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。 拉格朗日 法国数学家。1754年开始研究数学，1766年接替了欧拉在柏林皇家科学院的职位，在那里工作达20年。1786年去法国，先后担任巴黎高等师范学校和多科工艺学校教授。他是18世纪仅次于欧拉的大数学家，工作涉及数论、代数方程论、微积分、微分方程、变分法、力学、天文学等许多领域。 在数学上，他最早的重要贡献是1759年解决了等周问题，从而开创了变分问题分析形式的一般解法。1766～1787年是他科学研究的多产时期，1766～1773年，他在数论方面做了一系列研究，1766年证明了所谓佩尔(Pell)方程(x-Ay=1)的解的存在性，1770年证明费马的著名命题，每个正整数可表为至多4个平方数之和；1771年证明了著名的所谓威尔逊(Wilson)定理;1773年关于整数的型表示问题获得关键性成果。 1767～1777年，他又系统地研究了代数方程论，引入对称多项式理论，置换理论及预解式概念，指出根的排列理论是整个问题的真谛，对后来伽罗华的工作产生了重要影响。在这期间，他还在微积分、微分方程、力学、天文学领域广泛开展研究，导致了他的两部不朽巨著《分析力学》(1788)、《微分原理中的解析函数论》(1797)。 著名的拉格朗日中值定理、拉格朗日余项、拉格朗日方程，对黎卡提方程的重要研究，对线性微分方程组的研究，对奇解与通解的联系的系统研究，都是这一时期的工作。他也是最先试图为微积分提供严格基础的数学家之一，这使他成为实变函数论的先驱。他还以在数学上追求简明与严格而被誉为第1个真正的分析学家。拿破仑曾评价说：“拉格朗日是数学科学方面高耸的金字塔。”

不是很清楚，之父是埃及人，直到三百年前，法国的数学家笛卡儿第一个提倡用字母代表未知数，才形成了现在的方程。

拉格朗日力学中，运动方程由 个二阶微分方程（拉格朗日方程）给出：其中Q为所对应的非保守的广义力。 拉格朗日方程的地位等同于牛顿力学中的牛顿第二定律。但具有更普遍的意义。

1638年，伽利略（Galileo Galilei）提出了「最速降线」应该是直线下方的某条线，引发了求解最值函数的需求，注意不是函数最值哦。1687年，牛顿在解决了最小阻力问题(Newton"s minimal resistance problem)，该问题被认为是首个变分问题，拉开了变分法的序幕。1696年，瑞士数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli）向所有数学家提出了挑战，收到了牛顿、他哥雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）等5人的答案，变分法思想已初步呈现。1733年，欧拉（Leonhard Euler）首次完成了欧拉方程。1755年，年仅17岁的拉格朗日将使用 delta 算符的工作寄给欧拉，欧拉看后放弃了自己使用部分几何的方法，转向拉格朗日纯分析的方法，欧拉-拉格朗日方程诞生！1756年，欧拉在其讲座中正式称这种方法为：变分（calculus of variations）

条件极值问题设Xi＞0,对任意i∈(1,2,3,.......n)已知X1X2......Xn=a求1/X1+1/X2+......+1/Xn最小值构造F(x)=1/X1+1/X2+......+1/Xn +t(X1X2......Xn-a)分别对Xi求导i∈(1,2,3,.......n)由FXi"(x)=-1/Xi^2+tX1X2....Xi-1*Xi+1.....Xn令偏导数为0有tX1X2....Xi-1*Xi+1.....Xn=1/Xi^2同时乘以Xi左边就是t*a=右边1/Xi 对任意i∈(1,2,3,.......n)均成立所以显然有Xi均相等所以Xi=a^1/n倒数之和最小为n/a^1/n

　　拉格朗日函数适用条件：函数需要满足完整约束。拉格朗日函数是在力学系上只有保守力的作用，是描述整个物理系统的动力状态的函数。在分析力学里，假设已知一个系统的拉格朗日函数，则可以将拉格朗日量直接代入拉格朗日方程，稍加运算，即可求得此系统的运动方程。在力学系上只有保守力的作用，则力学系及其运动条件就完全可以用拉格朗日函数表示出来。这里说的运动条件是指系统所受的主动力和约束。因此，给定了拉氏函数的明显形式就等于给出了一个确定的力学系。拉氏函数是力学系的特性函数。

第一类拉格朗日方程是用直角坐标表示的动力学普遍方程与用k个未定乘子和直角坐标表示的k个约束方程(包括微分约束)相结合而成的方程。这组方程可以解决用直角坐标描述的动力学问题和非完整系统的动力学问题。此方程还可变换成广义坐标表示的费勒斯方程，以求解一般包含线性速度约束的非完整系统的动力学问题。

一般来讲，需要写出广义坐标。一定要是完整约束，第一类拉格朗日方程这个就够了。第二类的话，就是一定要是定常约束，即约束条件不随时间变化

倒立摆系统是一种非线性、多变量和绝对不稳定系统，倒立摆系统的运动轨道可以是水平的， 还可以是倾斜的(这对实际机器人的步行稳定控制研究更有意义).对二级倒立摆系统的实时稳定 性进行研究是现代控制理论的一个挑战，而对倒立摆系统稳定性研究的实验则是控制理论的宝贵 经验.本文从两个角度对二级倒立摆的建模进行了研究，即从便于理解的运动合成角度和从便于 建模的Lagarange方程角度进行推导与比较，使具有基本力学知识的读者能对二级倒立摆系统的模 型有一个较好理解. 1 系统描述 实验中的二级倒立摆系统有以下部分组成:有 效长度为90 cm的光滑导轨，可以在导轨上来回移 动的小车，材料为铝的摆杆铰接在小车上，二级摆 杆以同样的方式与一级摆杆相连，它们的铰接方式 决定了它们在竖直平面运动，一级摆杆和二级摆杆 规格相同，有效长度为525 cm.小车的驱动系统由 一直流力矩伺服电机和同步带传动系统组成，小车 相对参考点(即导轨的中心位置)的相对位移由 电位器0测量传动带而得到，一级摆杆与竖直方向 的夹角由固定在一级摆杆和小车铰接处的电位器 1测量得到，二级摆杆与竖直方向的夹角由电位 器通过测量两个摆的角度差.目。而间接得到.直流 伺服电机产生驱动力F 使小车根据摆角的变化而 在导轨上运动，从而达到二级倒立摆系统的平衡. 二级倒立摆系统数学模型的建立及意义49 2 数学建模 ■级倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设: 1)每一级摆杆都是刚体. 2)在实验过程中同步带长度保持不变. 3)驱动力与放大器输入成正比并无延迟的直接施加于小车 4)实验过程中的库仑摩擦、动摩擦等所有I孽擦力足够小，在建模过程中可忽略不计 2,1根据牛顿力学、刚体动力学列写二级倒立摆的数学模型 利用运动合成原理:绝对运动相对运动+牵连运动， 首先对系统进行运动学分析，由于将动坐标系建在摆杆1、 摆杆2的质心处便于理解，分析过程以此为基础.利用牛顿 力学对系统进行动力学分析，由此得出二级倒立摆数学模型. ， 利用力学中的隔离法，将二级倒立摆系统分为小车、摆 杆1、摆杆2兰部分首先，对小车进行分析如图2所示， 将摆杆1对小车的作用力分解为竖直方向的分力和水平 方向的分力. 水平方向方程为:，一=mo2. 对摆杆1和摆杆2进行受力分析如图3、4所示. ● 摆杆】 / l ^. l/ - 一 Ⅲ-g 图3摆杆1的受力情况 图2小车受力分析 J 0 / 黼1 凡筐:/ F 图4摆杆2受力分析 利用牛顿第二定律和动量矩定理得一摆的运动学和动力学方程: 2一2=ml +ml，l萌cos0 L-m，l萌sin0 L m g一l+F2 = .，. .sin0l+m1fL~eos0l s_n )sin 。s 一(L. )COS 根据牛顿第二定律和动量矩定理得到二摆的运动学和动力学方程: 2=帕+m:L1O~cos0l+卅2厶/~2COSOz一卅2Ll sin0 一卅2 受sin m2g-Fz =m2L sin0l+m2L0~sin0:十m L P~eos0l+m2 cos02 : l12 sin02一L,cos02 d t 。 2.2拉格朗日方程 为了得到二级倒立摆系统的动态方程应用拉格朗日方程，首先可写出 L=T- =÷，卉+÷上+ 。+{m.{[音( + in )] +[击( 。s ] )+{ :( 击( +Lt sin口+ sin )] +[告(￡1COS +]2 COS )r)一m.gl c。s ] )一m2g(L,COS +t2 COS )拉格朗日方程的表达式为一等: _l_2u22ef 面一一“ J一" u22ef为自由度数，亦即广义坐标数.对二级倒立摆系统有s=3， 即: ， 日，由于在实验中口和的值很小，所以在建模化简过程中用到以下近似:≈ ≈0; 一≈0; COS( 一)≈1; sin( 一)≈ 一; COS ≈COS ≈1:sin ≈ : sin则线性化后整理得到方程组如下( 。+m + :) +( .，.+m2L.)萌+ : 反=F (1)( .t.+m ) +( + . +m )萌+m L.厶蘸=( ，.+ :L )gO: 量+ :L. 萌+( +m 厝) 叫赢g12(2)(3)其中各变量意义如下:o 为小车质量; 为摆杆1质量;m 为摆杆2质量;厶为摆杆的长度:F为小车驱动力; 为小车相对中心位置的位移; 为摆杆1与竖直方向的夹角; 为摆杆2与竖直方向夹角:，.为摆杆1质心到铰接点处距离: 为摆杆2质心到铰接点处距离.本买验中， o=2.328 7kg， -=0.22 kg， :=0.16 kg，L =0.5m，， =0.32m，t2=0.26m. 由于二级倒立摆系统的运动是绝对不稳定的鞍点运动，由数学模型和实验结果可知，状态反馈控制中的极配置应满足鞍点特性，可使二级倒立摆永立不倒.3 应用在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性.倒摆系统作为一种控制装置，它结构简单、价格低廉，便于模拟和数字实现多种不同的控制方法，作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速系统，只有采用行之有效的控制策略，才能使其稳定.倒立摆系统可以用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及人工神经元网络等，都能在倒立摆系统控制上得到实现，而且当一种新的控制理论和方法提出以后，在不能用理论加以严格证明时，可以考虑通过倒立摆装置来验证其正确性和实用性.倒摆系统在控制系统研究中受到普遍重视.“倒立摆系统”已被公认为自动控制理论中的典型试验设备，也是控制理论在教学和科研中不可多得的典型物理模型.通过对倒立摆系统的研究，二级倒立摆系统数学模型的建立及意义51不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的3个基础学科:力学、数学和电学(含计算机)有机的结合起来，在倒摆系统中进行综合应用.近代机械控制系统中，如直升飞机，火箭发射，人造卫星运行及机器人举重物、做体操和行走机器人步行控制等等，都存在有类似于倒立摆的稳定控制问题.在6O年代后期，作为一个典型的不稳定严重非线性系统的例证，倒立摆系统的概念被提了出来，人们习惯于用它来检验控制方法对不稳定、非线性和快速系统的控制处理能力.在实际教学中，作为验证控制策略的一种手段，倒立摆系统被提了出来.由于计算机仿真结果与实际实验总是存在很大的差别，二级倒立摆系统的研制为学生提供了理论与实践结合的可能.4 结论二级倒立摆系统是一个异常复杂而又对准确性、快速性要求很高的非线性不稳定控制问题.显然一个典型的非线性、不稳定系统的研究成果无论在理论上或是在方法论上都有重要的意义.而二级例立摆数学模型的建立对研究其稳定性具有指导作用.实验证明在此建模基础上采用状态反馈法对二级倒立摆系统的稳定控制相当成功，并可在此基础}=对其进行分析，为计算机控制提供 理论与实践的依据. 给分吧!!!!!

是变分法的关键定理。变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它分辨不出找到的是最大值还是最小值（或者两者都不是）。变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。最优控制的理论是变分法的一个推广。

拉格朗日微分方程假设一个物理系统符合完整系统的要求，即所有广义坐标都互相独立，则拉格朗日方程成立

对于无约束条件的函数求极值，主要利用导数求解法例如求解函数f(x,y)=x3-4x2+2xy-y2+1的极值。步骤如下：（1）求出f(x,y)的一阶偏导函数f"x(x,y),f"y(x,y)。f"x(x,y) = 3x2-8x+2yf"y(x,y) = 2x-2y（2）令f"x(x,y)=0,f"y(x,y)=0，解方程组。3x2-8x+2y = 02x-2y = 0得到解为(0,0),(2,2)。这两个解是f(x,y)的极值点。

系统的能量和坐标状态与时间无关。分析力学中的拉格朗日方程是通过对系统的能量和坐标运动状态进行分析，得出系统运动规律的方程。如果拉格朗日方程不显含时间t，即方程中不显式地包括时间t的项，那么说明系统的能量和坐标状态与时间无关。这意味着系统的守恒量不随时间变化而变化，系统的运动规律是稳定的、不变的。例如，系统的动量守恒，能量守恒等物理量随时间不变，系统的运动规律也就不受时间的影响。

拉格朗日公式：对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，通常系指第二类拉格朗日方程，是法国数学家J.-L.拉格朗日首先导出的。通常可写成：式中T为系统用各广义坐标qj和各广义速度q"j所表示的动能；Qj为对应于qj的广义力；N(=3n-k)为这完整系统的自由度；n为系统的质点数；k为完整约束方程个数。插值公式：线性插值也叫两点插值，已知函数y = f(x)在给定互异点x0, x1上的值为y0= f(x0)，y1= f(x1)线性插值就是构造一个一次多项式：P1(x) = ax + b。使它满足条件：P1(x0) = y0P1(x1) = y1其几何解释就是一条直线，通过已知点A (x0, y0)，B(x1, y1)。

从第3个方程得到2z(λ+1)=0，即z=0或者λ=-1然后分两类讨论z=0，第4个方程变成xy+x-y+4=0前两个方程消去λ可以得到x(x-1)=y(y+1)，整理成(x+y)(x-y-1)=0再分两种情况。 x=-y，代入xy+x-y+4=0得到一元二次方程，解出x=1±5^{1/2}，相应的y=-x,z=0。 x=y+1，同样解一个一元二次方程，此时没有实数解λ=-1，此时前两个方程是线性方程，很容易解出x=-1，y=1，代入第4个方程得到z=±1，把这些情况综合一下就得到(-1，1，±1)是离远点最近的点。 拉格朗日方程，因约瑟夫·路易斯·拉格朗日而命名，是拉格朗日力学的主要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。

拉格朗日方程，因约瑟夫·路易斯·拉格朗日而命名，是拉格朗日力学的主要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。

从第3个方程得到2z(λ+1)=0, 即z=0或者λ=-1 然后分两类讨论 z=0，第4个方程变成xy+x-y+4=0 前两个方程消去λ可以得到x(x-1)=y(y+1)，整理成(x+y)(x-y-1)=0 再分两种情况 。x=-y，代入xy+x-y+4=0得到一元二次方程，解出x=1±5^{1/2}，相应的y=-x, z=0x=y+1，同样解一个一元二次方程，此时没有实数解 λ=-1，此时前两个方程是线性方程，很容易解出x=-1, y=1, 代入第4个方程得到z=±1，把这些情况综合一下就得到(-1,1,±1)是离远点最近的点。拉格朗日方程，因约瑟夫·路易斯·拉格朗日而命名，是拉格朗日力学的主要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。扩展资料：从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程，将这两者结合起来，便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。用拉格朗日方程解题的优点是：①广义坐标个数通常比x坐标少，即N<3n，故拉氏方程个数比直角坐标的牛顿方程个数少，即运动微分方程组的阶数较低，问题易于求解；②广义坐标可根据约束条件作适当的选择，使力学问题的运算简化，并且不必考虑约束力；③T和L都是标量，比力的矢量关系式更易表达，因此较易列出动力方程。参考资料来源：百度百科——拉格朗日方程

用拉格朗日方程解题的优点是：①广义坐标个数通常比x坐标少，即N<3n，故拉氏方程个数比直角坐标的牛顿方程个数少，即运动微分方程组的阶数较低，问题易于求解；②广义坐标可根据约束条件作适当的选择，使力学问题的运算简化，并且不必考虑约束力；③T和L都是标量，比力的矢量关系式更易表达，因此较易列出动力方程。下面是两个例子： ①图1是一个半径为a、质量为m1的圆盘，它的中心用铰链与质量为m2的直杆相连。此杆的另一端用铰链固接在半径为b的空心圆筒的中心O；杆长l=b-a。圆盘绕O点摆动。杆的动能为 圆盘转动角关系为bθ=a(θ+φ)，圆盘绕O点转动动能为 系统以B点为标准的势能V和系统的动能T为： 代入

基本形式的拉格朗日方程适用于保守系。保守系的拉格朗日方程，称为拉格朗日函数，它具有能量的量纲。与系统的动能必须用系统的广义坐标表示一样。

拉格朗日方程的一般形式是： 　　式中T为用各广义坐标qi和广义速度 qi导 表示的系统的动能；Qi为对应qi的广义力。方程式的个数等于系统的自由度N。保守系统中存在势函数V（q1，q2，…，qN；t)，则广义力Q=?V/?qi，又因V中不含qi，即?V/?qi＝0， 　　故完整保守系统的拉格朗日方程为： 系统以B点为标准的势能V和系统的动能T为d/dt(?L/?qi)-(?L/?qi)=0（i＝1，2，…，N) 　　在非保守体系中，广义力不能用Q=？V/?qi表示，此时应引入广义势能U的概念，Q=?U/?qi-d/dt x?U/(dqi/dt).带入一般形式可以得到非保守体系的拉格朗日方程。 　　式中L＝T－U为拉格朗日函数，它等于系统的动势T与位势U之和。上式与变分问题中的欧拉方程形式相同，由此可导出哈密顿原理。 可得系统的运动方程 可得系统的运动方程

你好拉格朗日方法和欧拉方法一般是一起作对比出现的拉格朗日方法着眼于个别质点运动，所以要求质点能够辨识，一般出流体以外的质点运动都用拉格朗日方法欧拉方法着眼于一定空间内各个参数的变化，是场方法，一般用于流体研究。两者具体的定义公式可以参考流体力学的书籍，一般都哟介绍希望对你有帮助！

拉格朗日function y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif j~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end

高等数学里面的 最好找课本 从头到尾看一遍理解比较深刻

刚体在重力作用下，绕旋转对称轴上的定点转动（拉格朗日陀螺）的欧拉动力学方程的解，对三体问题的求解方法有重要贡献，解决了限制性三体运动的定型问题。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。拉格朗日方法是对积分进行极值化，函数y=y(x)待定．他不象欧拉和前人用改变极大或极小化曲线的个别坐标的办法，而是引进通过端点(x1，y1)，(x2，y2)的新曲线y(x)+δy(x)，δy(x)叫曲线y(x)的变分．J相应的增量△J按δy，δy′展开的一、二阶项叫一次变分δJ和二次变分δ2J．他用分析方法证明了δJ为零的必要条件就是欧拉方程他还继续讨论了端点变动时的情况以及两个自变量的重积分的情况，使这个分支继续发展．1770年以后，拉格朗日还研究了被积函数f包含高阶导数的单重和多重积分时的情况，现在已发展成为变分法的标准内容．2．微分方程．早在都灵时期，拉格朗日就对变系数常微分方程研究做出重大成果．他在降阶过程中提出了以后所称的伴随方程，并证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程的伴随方程，就是原方程的齐次方程．他还把欧拉关于常系数齐次方程的结果推广到变系数情况，证明了变系数齐次方程的通解可用一些独立特解乘上任意常数相加而成；而且在知道方程的m个特解后，可以把方程降低m价．在柏林时期，他对常微分方程的奇解和特解做出历史性贡献，在1774年完成的“关于微分方程特解的研究”(Sur les intégralesparticulieres des equations différentielles)中系统地研究了奇解和通解的关系，明确提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法；还指出奇解为原方程积分曲线族的包络线．当然，他的奇解理论还不完善，现代奇解理论的形式是由G．达布(Darboux)等人完成的．常微分方程组的研究在当时结合天体力学中的课题进行．拉格朗日在1772年完成的“论三体问题”(Essai sur le problémedes trois corps)中，找出了三体运动的常微分方程组的五个特解：三个是三体共线情况；两个是三体保持等边三角形；在天体力学中称为拉格朗日平动解．他同拉普拉斯一起完善的任意常数变异法，对多体问题方程组的近似解有重大作用，促进了摄动理论的建立．拉格朗日是一阶偏微分方程理论的建立者，他在1772年完成的。“关于一阶偏微分方程的积分”(Sur l"integration des équationau differences partielles du premier order)和1785年完成的“一阶线性偏微分方程的一般积分方法”(Méthode génèrale pourintégrer les equations partielles du premier order lorsque cesdifferences ne sont que linèaires)中，系统地完成了一阶偏微分方程的理论和解法．他首先提出了一阶非线性偏微分方程的解分类为完全解、奇解、通积分等，并给出它们之间的关系．还对形如的非线性方程，化为解线性方程后来又进一步证明了解线性方程Pp+Qq=R(P，Q，R为x，y，z的函数)(5)与解等价，而解(6)式又与解常微分方程组等价．(5)式至今仍称为拉格朗日方程．有趣的是，由上面已可看出，一阶非线性偏微分方程，可以化为解常微分方程组．但拉格朗日自己却不明确，他在1785年解一个特殊的一阶偏微分方程时，还说不能用这种方法，可能他忘记了自己在1772年的结果．现代也有时称此方法为拉格朗日方法，又称为柯西(Cauchy)的特征方法．因拉格朗日只讨论两个自变量情况，在推广到n个自变量时遇到困难，而后来由柯西在1819年克服．3．方程论．18世纪的代数学从属于分析，方程论是其中的活跃领域．拉格朗日在柏林的前十年，大量时间花在代数方程和超越方程的解法上．他在代数方程解法中有历史性贡献．在长篇论文“关于方程的代数解法的思考” (Réflexions sur le resolution algébrique desequations，《全集》Ⅲ， pp 205—421)中，把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，而且还分析出一般三、四次方程能用代数方法解出的原因．三次方程有一个二次辅助方程，其解为三次方程根的函数，在根的置换下只有两个值；四次方程的辅助方程的解则在根的置换下只有三个不同值，因而辅助方程为三次方程．拉格朗日称辅助方程的解为原方程根的预解函数(是有理函数)．他继续寻找5次方程的预解函数，希望这个函数是低于5次的方程的解，但没有成功．尽管如此，拉格朗日的想法已蕴含着置换群概念，而且使预解(有理)函数值不变的置换构成子群，子群的阶是原置换群阶的因子．因而拉格朗日是群论的先驱．他的思想为后来的N．H．阿贝尔(Abel)和 E．伽罗瓦(Galois)采用并发展，终于解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题．拉格朗日在1770年还提出一种超越方程的级数解法．设p为方程这就是后来在天体力学中常用的拉格朗日级数．他自己没有讨论收敛性，后来由柯西求出此级数的收敛范围．4．数论．拉格朗日到柏林初期就开始研究数论，第一篇论文“二阶不定问题的解”(Sur la solution des problémès in détèrminésdu seconde degrés和送交都灵《论丛》的“一个算术问题的解”(Solution d"un problème d"arithmetique)中，讨论了欧拉多年从事的费马(Fermat)方程x2-Ay2=1(x，y，A为整数)，(9)不定问题解的新方法”(Nouvelle méthode pour resoudveles problèmes indéteminés en nombres entiers)中得到更一般的费马方程x2-Ay2=B(B也为整数)(10)的解．还讨论了更广泛的二元二次整系数方程ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0，(11)并解决了整数解问题．

拉格朗日方程和哈密度正则方程由（）变换联系起来 A.勒让德变换B.洛伦兹变换C.伽利略变换D.被动态变换正确答案：A

拉格朗日function y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif j~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end

应该是sin2，不知道你上面的式子是哪里来的，你的看法是正确的

因为拉格朗日方程只与速度的平方有关系，拉格朗日的方程为（f（a）—f（b））/（a—b）=c，f（x）的方程是关于速度平方的函数，所以也就只依赖于速度的平方

如图

拉格朗日函数怎么构造方法如下：通过引入一个未知的乘子λ，将原函数f(x)和一个已知的函数g(x)相加，构造出一个新的函数L(x)=f(x)+λg(x)，然后通过求解L(x)的根来求出原函数f(x)的根。这个过程中，需要满足一定的条件，如罗尔中值定理中的F(a)=F(b)等。一、拉格朗日函数拉格朗日函数（Lagrangian function）是应用于将约束条件引入优化问题中的数学工具。它由意大利数学家约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）于18世纪提出。在优化问题中，我们通常需要在满足一些约束条件下最小化或最大化某个目标函数。拉格朗日函数的构造方法可以将这类问题转换为一个无约束的最优化问题。它通过引入拉格朗日乘子将约束条件融入目标函数，从而将原始问题转化为一个单目标的无约束优化问题。二、拉格朗日函数的运用主要有两个方面：1、约束优化问题：拉格朗日函数广泛应用于约束优化问题的求解。通过引入拉格朗日乘子，将约束条件融入目标函数，然后对拉格朗日函数进行求导或其他数值方法进行求解，可以得到优化问题的解。2、物理学中的变分原理：拉格朗日函数也用于描述物理系统的动力学行为。在经典力学中，拉格朗日函数可以由系统的动能和势能构造而成。然后，通过应用欧拉-拉格朗日方程来推导出系统的运动方程，从而描述系统的行为。拉格朗日方程是：对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，通常系指第二类拉格朗日方程，是法国数学家J.-L.拉格朗日首先导出的。通常可写成:式中T为系统用各广义坐标qj和各广义速度q"j所表示的动能;Qj为对应于qj的广义力;N(=3n-k)为这完整系统的自由度;n为系统的质点数;k为完整约束方程个数。三、用拉格朗日方程解题的优点是：1、广义坐标个数通常比x坐标少，即N<3n，故拉氏方程个数比直角坐标的牛顿方程个数少，即运动微分方程组的阶数较低，问题易于求解。2、广义坐标可根据约束条件作适当的选择，使力学问题的运算简化，并且不必考虑约束力。3、T和L都是标量，比力的矢量关系式更易表达，因此较易列出动力方程。

高大上

拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚，从此数学不再仅仅是其他学科的工具。 拉格朗日总结了18世纪的数学成果，同时又为19世纪的数学研究开辟了道路，堪称法国最杰出的数学大师。同时，他的关于月球运动(三体问题)、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学等方面的成果，在使天文学力学化、力学分析化上，也起到了历史性的作用，促进了力学和天体力学的进一步发展，成为这些领域的开创性或奠基性研究。 在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量时间花在代数方程和超越方程的解法上，作出了有价值的贡献，推动了代数学的发展。他提交给柏林科学院两篇著名的论文：《关于解数值方程》和《关于方程的代数解法的研究》 。把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，即把方程化为低一次的方程(称辅助方程或预解式)以求解。 他试图寻找五次方程的预解函数，希望这个函数是低于五次的方程的解，但未获得成功。然而，他的思想已蕴含着置换群概念，对后来阿贝尔和伽罗华起到启发性作用，最终解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题。因而也可以说拉格朗日是群论的先驱。 在数论方面，拉格朗日也显示出非凡的才能。他对费马提出的许多问题作出了解答。如，一个正整数是不多于4个平方数的和的问题等等，他还证明了圆周率的无理性。这些研究成果丰富了数论的内容。 在《解析函数论》以及他早在1772年的一篇论文中，在为微积分奠定理论基础方面作了独特的尝试，他企图把微分运算归结为代数运算，从而抛弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量，并想由此出发建立全部分析学。但是由于他没有考虑到无穷级数的收敛性问题，他自以为摆脱了极限概念，其实只是回避了极限概念，并没有能达到他想使微积分代数化、严密化的目的。不过，他用幂级数表示函数的处理方法对分析学的发展产生了影响，成为实变函数论的起点。 拉格朗日也是分析力学的创立者。拉格朗日在其名著《分析力学》中，在总结历史上各种力学基本原理的基础上，发展达朗贝尔、欧拉等人研究成果，引入了势和等势面的概念，进一步把数学分析应用于质点和刚体力学，提出了运用于静力学和动力学的普遍方程，引进广义坐标的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析力学形式，奠定了分析力学的基础，为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路。 他还给出刚体在重力作用下，绕旋转对称轴上的定点转动(拉格朗日陀螺)的欧拉动力学方程的解，对三体问题的求解方法有重要贡献，解决了限制性三体运动的定型问题。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。 拉格朗日的研究工作中，约有一半同天体力学有关。他用自己在分析力学中的原理和公式，建立起各类天体的运动方程。在天体运动方程的解法中，拉格朗日发现了三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解。此外，他还研究了彗星和小行星的摄动问题，提出了彗星起源假说等。 近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。被誉为“欧洲最大的数学家”。

ξ∈（x,x+△x)或ξ∈（x+△x，x)（因为不知道Δx的正负）这个开区间，中值定理只是指明这个点的存在性，但到目前为止还没有确定的方法，对任意的函数能把ξ准确的找出来。把ξ写成ξ=x +θΔx，(0<θ<1)就是反应出ξ∈（x,x+△x)或ξ∈（x+△x，x)。是把这个点的不确定性抛给了θ,也就是说我们只是知道0<θ<1，但不知道他的确切值。

从十八世纪开始，在力学发展史上出现了与矢量力学并驾齐驱的另一力学体系，即分析力学。这个体系的特点是对能量与功的分析代替对力与力矩的分析。为了避免未知理想约束力的出现，分析力学的一种方法是在理想约束力与约束方程间建立起一种直接的关系，导出了比矢量力学一般方法程式化更为明显的动力学方程－拉格朗日第一类方程。分析力学的另一种方法是从独立坐标出发，利用纯数学分析方法，将用独立坐标描述的动力学方程用统一的原理与公式进行表达，克服了在矢量动力学中建立这种方程依赖技巧的缺点。这种统一的方程即拉格朗日第二类方程。上述工作均由拉格朗日(J.L.Lagrange)于1788年奠定的。以拉格朗日方程为基础的分析力学，称为拉格朗日力学。1834年哈密顿(Hamilton)将拉格朗日第二类方程变换成一种正则形式，将动力学基本原理归纳为变分形式的哈密顿原理，从而建立了哈密顿力学。 对于一个动力学系统，尽管建立该系统的拉格朗日第二类方程或哈密顿正则方程不依赖于技巧，但它的数学推导过程相当繁琐，因此用来建立自由度比较多的系统动力学方程相当困难，并且容易出错。利用拉格朗日第一类方程解决系统的动力学问题，与矢量动力学的一般方法一样，尽管建立方程比较容易，但其求解规模很大。正是由于这个原因，在力学发展史上因拉格朗日第一类方程并不比矢量动力学一般方法优越，而被搁置一边。 　　随着近代计算技术的发展，解决具有程式化特征的数学问题，规模再大也能迎刃而解。故解决动力学问题的拉格朗日第一类方程又引起广泛的注意。可以这样说目前在解决复杂动力学问题成功的计算机辅助分析软件中，均采用拉格朗日第一类方程与加速度约束方程作为系统的动力学模型。 　　1788年拉格朗日出版的《分析力学》是世界上最早的一本分析力学的著作。分析力学是建立在虚功原理和达朗贝尔原理的基础上。两者结合，可得到动力学普遍方程，从而导出分析力学各种系统的动力方程。1760～1761年，拉格朗日用这两个原理和理想约束结合，得到了动力学的普遍方程，几乎所有的分析力学的动力学方程都是从这个方程直接或间接导出的。 　　1834年，哈密顿推得用广义坐标和广义动量联合表示的动力学方程，称为正则方程。哈密顿体系在多维空间中，可用代表一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题。 　　从1861年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始，到1899年阿佩尔在《理性力学》中提出阿佩尔方程为止，基本上已完成了线性非完整约束的理论。 　　20世纪分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进一步研究，对于运动的稳定性问题作了广泛的研究。

字体设置的缘故吧，ParkAvenue BT字体与这个有点相像。