豆豆staR -
这是组合问题
a.b.c三本书放在A与B两个抽屉里
有两种情况
1
A，a.b.c
B,0
2
A,a.b
B.c
据上可知，
始终有一个抽屉内有两本书
左迁 -
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的抽屉原理。
抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。”
抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。它是组合数学中一个重要的原理。
一． 抽屉原理最常见的形式
原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
[证明]（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能.
原理2 把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
[证明]（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能.
原理1 2都是第一抽屉原理的表述
第二抽屉原理：
把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
[证明]（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能
二．应用抽屉原理解题
抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。
例1：400人中至少有两个人的生日相同.
解：将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有两人的生日相同.
又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同.
“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。”
“从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。”
例2： 幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.
解 ：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同.
上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用.（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.）
抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。下面我们来研究有关的一些问题。
（一） 整除问题
把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1，m+1，2m＋1，3m＋1，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。
例1 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。
分析与解答 在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数。
例2：对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除.
证明∵任何数除以3所得余数只能是0，1，2，不妨分别构造为3个抽屉：
[0]，[1]，[2]
①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中，我们从这三个抽屉中各取1个，其和必能被3整除.
②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉，包含有3个余数（抽屉原理），而这三个余数之和或为0，或为3，或为6，故所对应的3个自然数之和是3的倍数.
③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中，很显然，必有3个自然数之和能被3整除.
例2′：对于任意的11个整数，证明其中一定有6个数，它们的和能被6整除.
证明：设这11个整数为：a1，a2，a3……a11 又6=2×3
①先考虑被3整除的情形
由例2知，在11个任意整数中，必存在：
3|a1+a2+a3，不妨设a1+a2+a3=b1；
同理，剩下的8个任意整数中，由例2，必存在：3 | a4+a5+a6.设a4+a5+a6=b2；
同理，其余的5个任意整数中，有：3|a7+a8+a9，设：a7+a8+a9=b3
②再考虑b1、b2、b3被2整除.
依据抽屉原理，b1、b2、b3这三个整数中，至少有两个是同奇或同偶，这两个同奇（或同偶）的整数之和必为偶数.不妨设2|b1+b2
则：6|b1+b2，即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6
∴任意11个整数，其中必有6个数的和是6的倍数.
例3： 任意给定7个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是10的倍数.
分析：注意到这些数队以10的余数即个位数字，以0，1，…，9为标准制造10个抽屉，标以[0]，[1]，…，[9].若有两数落入同一抽屉，其差是10的倍数，只是仅有7个自然数，似不便运用抽屉原则，再作调整：[6]，[7]，[8]，[9]四个抽屉分别与[4]，[3]，[2]，[1]合并，则可保证至少有一个抽屉里有两个数，它们的和或差是10的倍数.
（二）面积问题
例：九条直线中的每一条直线都将正方形分成面积比为2:3的梯形，证明：这九条直线中至少有三条经过同一点.
证明：如图，设直线EF将正方形分成两个梯形，作中位线MN。由于这两个梯形的高相等， 故它们的面积之比等于中位线长的比，即|MH|:|NH| 。于是点H有确定的位置（它在正方形一对对边中点的连线上，且|MH|:|NH|＝2:3）. 由几何上的对称性，这种点共有四个（即图中的H、J、I、K）.已知的九条适合条件的分割直线中的每一条必须经过H、J、I、K这四点中的一点.把H、J、I、K看成四个抽屉，九条直线当成9个物体，即可得出必定有3条分割线经过同一点.
（三）染色问题
例1正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同.
证明：把两种颜色当作两个抽屉，把正方体六个面当作物体，那么6=2×2+2，根据原理二，至少有三个面涂上相同的颜色.
例2 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。
分析与解答 首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.根据抽屉原理，至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。
例3：假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？
解：首先可以从这六个点中任意选择一点，然后把这一点到其他五点间连五条线段，如图，在这五条线段中，至少有三条线段是同一种颜色，假定是红色，现在我们再单独来研究这三条红色的线。这三条线段的另一端或许是不同颜色，假设这三条线段（虚线）中其中一条是红色的，那么这条红色的线段和其他两条红色的线段便组成了我们所需要的同色三角形，如果这三条线段都是蓝色的，那么这三条线段也组成我们所需要的同色三角形。因而无论怎样着色，在这六点之间的所有线段中至少能找到一个同色三角形。
例3′（六人集会问题）证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。”
例3”：17个科学家中每个人与其余16个人通信，他们通信所讨论的仅有三个问题，而任两个科学家之间通信讨论的是同一个问题。证明：至少有三个科学家通信时讨论的是同一个问题。
解：不妨设A是某科学家，他与其余16位讨论仅三个问题，由鸽笼原理知，他至少与其中的6位讨论同一问题。设这6位科学家为B，C，D，E，F，G，讨论的是甲问题。
若这6位中有两位之间也讨论甲问题，则结论成立。否则他们6位只讨论乙、丙两问题。这样又由鸽笼原理知B至少与另三位讨论同一问题，不妨设这三位是C，D，E，且讨论的是乙问题。
若C，D，E中有两人也讨论乙问题，则结论也就成立了。否则，他们间只讨论丙问题，这样结论也成立。
三．制造抽屉是运用原则的一大关键
例1 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。
分析与解答 我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉：
凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34。
例2：从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。
分析与解答在这20个自然数中，差是12的有以下8对：｛20，8｝，｛19，7｝，｛18，6｝，｛17，5｝，｛16，4｝，｛15，3｝，｛14，2｝，｛13，1｝。
另外还有4个不能配对的数｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成12个抽屉（每个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于12，根据抽屉原理至少任选13个数，即可办到（取12个数：从12个抽屉中各取一个数（例如取1，2，3，…，12），那么这12个数中任意两个数的差必不等于12）。
例3： 从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。
分析与解答 根据题目所要求证的问题，应考虑按照同一抽屉中，任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.把这20个数按奇数及其倍数分成以下十组，看成10个抽屉（显然，它们具有上述性质）：
｛1，2，4，8，16｝，｛3，6，12｝，｛5，10，20｝，｛7，14｝，｛9，18｝，｛11｝，｛13｝，｛15｝，｛17｝，｛19｝。
从这10个数组的20个数中任取11个数，根据抽屉原理，至少有两个数取自同一个抽屉.由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系，所以这两个数中，其中一个数一定是另一个数的倍数。
例4：某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况，在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。
分析与解答 共有n位校友，每个人握手的次数最少是0次，即这个人与其他校友都没有握过手；最多有n-1次，即这个人与每位到会校友都握了手.然而，如果有一个校友握手的次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n-2次；如果有一个校友握手的次数是n-1次，那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0、1、2、…、n-2，还是后一种状态1、2、3、…、n-1，握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉，到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉，则这两个人握手的次数一样多。
在有些问题中，“抽屉”和“物体”不是很明显的，需要精心制造“抽屉”和“物体”.如何制造“抽屉”和“物体”可能是很困难的，一方面需要认真地分析题目中的条件和问题，另一方面需要多做一些题积累经验。
抽屉原理
把八个苹果任意地放进七个抽屉里，不论怎样放，至少有一个抽屉放有两个或两个以上的苹果。抽屉原则有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个重要的原理。把它推广到一般情形有以下几种表现形式。
形式一：证明：设把n＋1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示这n个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个ai大于或等于2（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜2，则因为ai是整数，应有ai≤1，于是有：
a1＋a2＋…＋an≤1＋1＋…＋1＝n＜n＋1这与题设矛盾。所以，至少有一个ai≥2，即必有一个集合中含有两个或两个以上的元素。
形式二：设把n•m＋1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示这n个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个ai大于或等于m＋1。用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜m＋1，则因为ai是整数，应有ai≤m，于是有：
a1＋a2＋…＋an≤m＋m＋…＋m＝n•m＜n•m＋1
n个m 这与题设相矛盾。所以，至少有存在一个ai≥m＋1
高斯函数：对任意的实数x,[x]表示“不大于x的最大整数”.
例如：[3.5]＝3，[2.9]＝2，[－2.5]＝－3，[7]＝7，……一般地，我们有：[x]≤x＜[x]＋1
形式三：证明：设把n个元素分为k个集合A1，A2，…，Ak，用a1，a2，…，ak表示这k个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个ai大于或等于[n/k]。（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜[n/k]，于是有：
a1＋a2＋…＋ak＜[n/k]+[n/k]+…+[n/k] ＝k•[n/k]≤k•(n/k)＝n
k个[n/k] ∴ a1＋a2＋…＋ak＜n 这与题设相矛盾。所以，必有一个集合中元素个数大于或等于[n/k]
形式四：证明：设把q1＋q2＋…＋qn－n＋1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示这n个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个i，使得ai大于或等于qi。（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜qi，因为ai为整数，应有ai≤qi－1，于是有：a1＋a2＋…＋an≤q1＋q2＋…＋qn－n ＜q1＋q2＋…＋qn－n＋1这与题设矛盾。
所以，假设不成立，故必有一个i,在第i个集合中元素个数ai≥qi
形式五：证明：（用反证法）将无穷多个元素分为有限个集合，假设这有限个集合中的元素的个数都是有限个，则有限个有限数相加，所得的数必是有限数，这就与题设产生矛盾，所以，假设不成立，故必有一个集合含有无穷多个元素。
例题1：400人中至少有两个人的生日相同.分析：生日从1月1日排到12月31日，共有366个不相同的生日，我们把366个不同的生日看作366个抽屉，400人视为400个苹果，由表现形式1可知，至少有两人在同一个抽屉里，所以这400人中有两人的生日相同.
解：将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个苹果，由抽屉原理的表现形式1可以得知：至少有两人的生日相同.
例题2：任取5个整数，必然能够从中选出三个，使它们的和能够被3整除.
证明：任意给一个整数，它被3除，余数可能为0，1，2，我们把被3除余数为0，1，2的整数各归入类r0，r1，r2.至少有一类包含所给5个数中的至少两个.因此可能出现两种情况：1°.某一类至少包含三个数；2°.某两类各含两个数，第三类包含一个数.
若是第一种情况，就在至少包含三个数的那一类中任取三数，其和一定能被3整除；若是第二种情况，在三类中各取一个数，其和也能被3整除..综上所述，原命题正确.
例题3：某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，则至少有5人植树的株数相同.
证明：按植树的多少，从50到100株可以构造51个抽屉，则个问题就转化为至少有5人植树的株数在同一个抽屉里.
(用反证法)假设无5人或5人以上植树的株数在同一个抽屉里，那只有5人以下植树的株数在同一个抽屉里，而参加植树的人数为204人，所以，每个抽屉最多有4人，故植树的总株数最多有：
4(50＋51＋…＋100)＝4× ＝15300＜15301得出矛盾.因此，至少有5人植树的株数相同.
练习：1．边长为1的等边三角形内有5个点，那么这5个点中一定有距离小于0.5的两点.
2．边长为1的等边三角形内，若有n2＋1个点，则至少存在2点距离小于 .
3．求证：任意四个整数中，至少有两个整数的差能够被3整除.
4．某校高一某班有50名新生，试说明其中一定有二人的熟人一样多.
5．某个年级有202人参加考试，满分为100分，且得分都为整数，总得分为10101分，则至少有3人得分相同.
“任意367个人中，必有生日相同的人。”
“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。”
“从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。”
... ...
大家都会认为上面所述结论是正确的。这些结论是依据什么原理得出的呢？这个原理叫做抽屉原理。它的内容可以用形象的语言表述为：
“把m个东西任意分放进n个空抽屉里（m>n），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西。”
在上面的第一个结论中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。这相当于把367个东西放入 366个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。在第二个结论中，不妨想象将5双手套分别编号，即号码为1，2，...，5的手套各有两只，同号的两只是一双。任取6只手套，它们的编号至多有5种，因此其中至少有两只的号码相同。这相当于把6个东西放入5个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。
抽屉原理的一种更一般的表述为：
“把多于kn个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。”
利用上述原理容易证明：“任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。”因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能，所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同，即它们两两之差是3的倍数。
如果问题所讨论的对象有无限多个，抽屉原理还有另一种表述：
“把无限多个东西任意分放进n个空抽屉（n是自然数），那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西。”
抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。
1958年6/7月号的《美国数学月刊》上有这样一道题目：
“证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。”
这个问题可以用如下方法简单明了地证出：
在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线。考虑A点与其余各点间的5条连线AB，AC，...，AF，它们的颜色不超过2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设AB，AC，AD同为红色。如果BC，BD ，CD 3条连线中有一条（不妨设为BC）也为红色，那么三角形ABC即一个红色三角形，A、B、C代表的3个人以前彼此相识：如果BC、BD、CD 3条连线全为蓝色，那么三角形BCD即一个蓝色三角形，B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生，都符合问题的结论。
六人集会问题是组合数学中著名的拉姆塞定理的一个最简单的特例，这个简单问题的证明思想可用来得出另外一些深入的结论。这些结论构成了组合数学中的重要内容-----拉姆塞理论。从六人集会问题的证明中，我们又一次看到了抽屉原理的应用。
望采纳
康康map -
一楼说的太精彩了！实在是佩服！！！
没有什么可以再补充的了，我再把这个问题的理解过程简单的说一下，
3本书2个抽屉，无论你怎么放，都不可能让每个抽屉都少于2本（就是只放1本），你可能会说“那怎么了，我就放得少一点”，但总共有3本书，必须要全放进去，这个少了，那个就一定会多。
让思维卡壳的地方就在于，总觉得完全可以少放啊。
事实上，抽屉原理中所引含内容的是：找最多的那一个抽屉里最少有几本。注意！是在有最多书的抽屉里最少有几本，这是一个存在性问题，结论一般是"肯定存在一个抽屉(这个抽屉指的就是放书最多的那个抽屉)至少放了几本。
一个最多一个最少，总存在一个最多，问题在于最多的抽屉（也就是题中表述的一定存在的那个抽屉）里至少几本。
希望我说的没有让你越听越乱，能合你的胃口。
西柚不是西游 -
3-2=1多一本所以有一个抽屉必有1+1=2
同余关系的介绍
所谓同余关系，顾名思义：相同余数，用数学语言描述就是：x,y∈s， 当且仅当 x≡y （mod）n（x≡y （mod）n 表示x，y除以n的余数相同）称此关系为模n的同余关系。举例：5和1除以2都余1 ，300和2除以2都余0，这些都叫同余。2023-05-22 00:33:491
同余关系定义
同余关系是代数系统的集合中的等价关系，并且在运算的作用下，能够保持关系的等价类。以二元运算为例，在a1*a2中，如果用集合S中与a1等价的任何其他元素b1代换a1，并且用与a2等价的任何其他元素b2代换a2，则所求的结果b1*b2与a1*a2位于同一等价类之中。此外，同余关系与运算密切相关。如果一个代数结构中有多个运算，则需要考察等价关系对于所有这些运算是否都有代换性质。如果等价关系在一个运算上不满足代换性质，该等价关系就不是代数系统上的同余关系。2023-05-22 00:34:331
什么是同余
同余，指的是同余定理，数论中的重要概念。给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系。数学上，两个整数除以同一个整数，若得相同余数，则二整数同余（英文：Modular arithmetic，德文：Kongruenz）。同余理论常被用于数论中。最先引用同余的概念与符号者为德国数学家高斯。同余理论是初等数论的重要组成部分，是研究整数问题的重要工具之一，利用同余来论证某些整除性的问题是很简便的。同余是数学竞赛的重要组成部分。1、同余符号两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m。记作：a≡b (mod m)，读作：a同余于b模m，或读作a与b对模m同余，例如26≡2(mod 12)。2、定义设m是大于1的正整数，a、b是整数，如果m|(a-b)，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a与b对模m同余。显然,有如下事实（1）若a≡0(mod m)，则m|a；（2）a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除，余数相同。2023-05-22 00:34:501
什么是同余式？
同余式的意义：表示同余关系的数学表达式，与等式相似。将等式中的等号“=”换成同余符号“≡”，必要时在式尾缀以(mod m) 注明模m（即除数），就是同余式。含有未知数的同余式叫做同余方程，通常要求整数解。定义：如果两个正整数 a和 b之差能被 n整除，那么我们就说 a和 b对模n同余，记作：a ≡b (mod n)运算：同余式运算类似于等式的运算，在等号两边可进行加减乘除的算术运算。如 a≡b (mod n) ，则有：a + c ≡b + c (mod n)a - c ≡b - c (mod n)a ·c ≡b ·c (mod n)但在应用除法运算时应特别注意:若c与n互质,则有 a / c ≡ b / c ( mod n )简单解释: 如果ac≡bc(mod m)，且c和m互质，则a≡b(mod m) （就是说同余式两边可以同时除以一个和模数互质的数）。证明：条件告诉我们，ac-mp = bc-mq，移项可得ac-bc = mp-mq，也就是说(a-b)c = m(p-q)。这表明，(a-b)c里需要含有因子m，但c和m互质，因此只有可能是a-b被m整除，也即a≡b(mod m)。若a / c ≡ b / c ( mod n ) , 则不一定有c与n互质.反例: 4 ≡ 64 (mod 10) 两边同除以c = 2 (n = 10)2 ≡ 32 (mod 10)2023-05-22 00:34:571
中对同余关系的定义和相关理解
正整数集S，x，y∈S，定义关系R：＜x，y＞∈R 当且仅当 x≡y （mod）n（x≡y （mod）n 表示x，y除以n的余数相同）称此关系为模n的同余关系。可以验证此关系是一个等价关系2023-05-22 00:35:061
一个数可以整除a b c都余零算同余吗
当然算是同余关系。余数都是0，也是余数相同，所以也是关于这个数的同余关系。例如4；6；8都能被2整除。所以4；6；8关于2同余。2023-05-22 00:35:131
同余定理如何证明
一个关系满足自反、对称、传递叫做等价关系。模M同余关系作为关系的一种，也满足以上三条，当然是同余关系了。比如10与10模3同余，这是自反；10与4模3同余，则4与10模3同余，即模3同余有等价性。10与4模3同余，4与7模3同余，则10与7模3同余，这是传递性。2023-05-22 00:35:211
同余关系的群的同余、正规子群和理想
在群的特殊情况下，同余关系可以用基本术语描述为: 如果 G 是群(带有单位元 e)并且 ~ 是在 G 上的二元关系，则 ~ 是同余只要:给定 G 的任何元素 a，a ~ a (自反关系)。给定 G 任何的元素 a 和 b，如果 a ~ b，则 b ~ a (对称关系)。给定 G 的任何元素 a, b 和 c，如果 a ~ b 并且 b ~ c，则 a ~ c (传递关系)。给定 G 的任何元素 a, a" , b 和 b" ，如果 a ~ a" 并且 b ~ b" ， 则 a * b ~ a" * b" 。给定 G 的任何元素 a 和 a" ，如果 a ~ a" ，则 a^(-1) ~ a"^(-1) (这个条件可以从其他四个条件证明，所以严格上是冗余的)。2023-05-22 00:35:271
同余式的介绍
同余式是表示同余关系的数学表达式，与等式相似。将等式中的等号“=”换成同余符号“≡”，必要时在式尾缀以(mod m) 注明模m（即除数），就是同余式。2023-05-22 00:35:401
整数集上的模n同余关系
Z={3k|k属于Z}U{3k+1|k属于Z}U{3k+2|k属于Z}2023-05-22 00:36:041
同余关系的条件 1, 2 和 3 声称 ~ 是等价关系。
同余 ~ 完全确定自 G 的同余于单位元的那些元素的集合 {a ∈ G : a ~ e}，而这个集合是正规子群。特别是，a ~ b 当且仅当 b * a ~ e。所以替代谈论在群上同余，人们通常以正规子群的方式谈论它们；事实上，所有同余都唯一的对应于 G 的某个正规子群。2023-05-22 00:36:111
模4的同余关系把整数集分成几类
如同任何同余关系，对于模同余是一种等价关系，整数的等价类是一个集合，标记为。由对于模同余的所有整数组成的这个集合称为同余类（congruence class或residue class）；假若从上下文知道模，则也可标记为。同余类中的每个元素都可以拿来代表该同余类，称为该同余类的代表数。2023-05-22 00:36:261
f: z→z, f(j)=j mod 3请问这个为什么是函数？同余关系是怎么运算的？
这不是数学函数的吧，绕道2023-05-22 00:36:332
求解答： 证明或反证群G的正规子群个数与群上的同余关系个数相等。 希望尽量详细些
我不太清楚同余关系的定义, 按我的理解给个定义:G上的一个等价关系"≡", 若满足对任意a ≡ b, c ≡ d, 恒有ab ≡ cd, 则称"≡"为G上的一个同余关系.如果是这种定义, 那么G上的同余关系与G的正规子群是一一对应的.设"≡"是G上的一个同余关系, e为G的单位元.考虑G的子集H = {h ∈ G | h ≡ e}.可以验证H是G的一个子群:1. 任意a, b ∈ H, 有a ≡ e, b ≡ e, 由"≡"是同余关系, 得ab ≡ e, 即有ab ∈ H.2. 任意a ∈ H, 有a ≡ e, 而由"≡"是等价关系, 有a^(-1) ≡ a^(-1), 于是e = a·a^(-1) ≡ a^(-1).即a^(-1) ≡ e, 也即a^(-1) ∈ H.进而可以验证H是G的正规子群:对任意a ∈ H, g ∈ G, 有g^(-1) ≡ g^(-1), a ≡ e, g ≡ g, 于是g^(-1)·a·g ≡ g^(-1)·g = e.即g^(-1)·a·g ∈ H.设H是G的一个正规子群.定义G上的关系: a ≡ b当且仅当a^(-1)·b ∈ H (其实就是按左陪集分类).可以验证"≡"是一个等价关系:1. 对任意a ∈ G, 有a^(-1)·a = e ∈ H (H是子群, 故包含单位元), 即有a ≡ a.2. 若a, b ∈ G满足a ≡ b, 即有a^(-1)·b ∈ H.由H是子群, 有b^(-1)·a = (a^(-1)·b)^(-1) ∈ H, 即有b ≡ a.3, 若a, b, c ∈ G满足a ≡ b, b ≡ c, 即有a^(-1)·b, b^(-1)·c ∈ H.由H是子群, 有a^(-1)·c = (a^(-1)·b)·(b^(-1)·c) ∈ H, 即有a ≡ c.进而可以验证"≡"是一个同余关系:若a, b, c, d ∈ G满足a ≡ b, c ≡ d, 即有a^(-1)·b, c^(-1)·d ∈ H.由H是正规, 有c^(-1)·(a^(-1)·b)·c ∈ H.于是(ac)^(-1)·(bd) = (c^(-1)·a^(-1)·b·c)·(c^(-1)·d) ∈ H, 即有ac ≡ bd.上述由同余关系构造正规子群以及由正规子群构造同余关系的过程是互逆的.给定同余关系"≡", 可构造正规子群H = {h ∈ G | h ≡ e}.可知a ≡ b当且仅当a^(-1)·b ∈ H (即a^(-1)·b ≡ e).反之, 给定正规子群H, 可构造同余关系: a ≡ b当且仅当a^(-1)·b ∈ H.可知H = {h ∈ G | h ≡ e}.综上, G上的同余关系与正规子群可以建立一一对应.当一个有限时另一个也有限且二者个数相等.2023-05-22 00:36:401
离散数学：给出集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，R为模4同余关系，则元素2的等价类[2]R=？
其实说穿了特别简单就是除以4余数相同的数的集合[2]R = {2,6}2023-05-22 00:36:483
设集合A{1.2.3........16}R是A上的模5同余关系写出商集A/R？
集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}，R是A上的模5同余关系。商集 A/R 表示的是 A 中所有元素所对应的等价类，也就是模5同余的元素所组成的集合。A/R = { [1], [2], [3], [4] }其中 [1] 表示模5余1的元素{1,6,11,16}，[2] 表示模5余2的元素{2,7,12}，[3] 表示模5余3的元素{3,8,13}， [4] 表示模5余4的元素{4,9,14}。因此商集 A/R = { [1], [2], [3], [4] }.2023-05-22 00:37:011
同余关系,同陪关系,同态关系都是等价关系？
我觉得是的，说白了其实就是等价交换。2023-05-22 00:37:082
同余理论与k次剩余理论区别
同余理论和k次剩余理论都属于数论的分支，它们都涉及到了模运算的概念，但是它们的具体应用场景有所区别。同余理论主要研究了整数之间的模运算，即两个整数除以一个模数所得到的余数是否相等。在同余理论中，我们可以利用同余关系将整数划分为若干个同余类，这在数学中的应用非常广泛。例如，在密码学中，同余理论可以用来生成公钥和私钥，保证密码的安全性。而k次剩余理论则更加关注的是某个数在模意义下是否有平方根，即是否存在一个数b，使得b的k次方在模意义下等于给定的数a。k次剩余理论的应用非常广泛，例如在密码学中，RSA加密算法就是基于k次剩余理论的基础上发展出来的。因此，同余理论和k次剩余理论虽然都涉及到了模运算，但由于其研究的具体内容和应用场景不同，所以两者有所区别。2023-05-22 00:37:152
求模的同余类的定义
同余类定义：对给定的模m,整数的同余关系是一个等价关系，故整数集合可以根据对模m的同余关系，构造整数集合的一个划分。关于集合的划分与等价关系之间的关系详细阐述如下。定义：R是 A上的关系，a A ,b A, c A,若aRb且bRc,有aRc，则R是传递的。定义：自反的、对称的、传递的关系，称为等价关系。定义：设A是非空集合，P是A的非空子集构成的集合，并且满足以下条件：1.A的每个元素属于P中某个集合；定理1：设P是集合A的一个划分，A上关系R定义为:aRb当且仅当a,b属于P的同一块,则R是A上的等价关系。2023-05-22 00:37:221
亲们！这道数学题怎么写？快些，很急！
(1)证明：A==R mod 3<=>A-R |: 3 这里用以等价地表示 3 |A-R从而R-A |: 3<=> R==Amod 3这就证明了互反性。同时易证A==A mod 3， 即自反性。另外再证：A==R , R==B mod 3 可以推出A==B mod 3前提即存在x,y使得 A=R+xm, R=B+ym, 于是A=B+xm+ym=B+(x+y)m, 于是A==B mod 3于是传递性成立。于是，A,R是同余关系即是等价关系。(2)不懂怎么回答(3)余0：{3}余1：{1,4}余2：{2,5}PS:表示我就大学水平，貌似没学过这个，以上答案根据度娘得出的，希望能够帮到你2023-05-22 00:37:391
y=x mod a （a为常数）的逆函数怎么求？请写出计算过程。谢谢。
因y=xmoda,则y=ka+x,（k为整数），x=y-ka，所以逆函数为y=x-ka,y=(-k)a+x,y=sa+x(s=-k),故逆函数可以写成y=xmoda（从同余关系的角度出发，y=xmoda就是X,模a同余，即x,y属于一个同余类，因此逆函数就是自身）2023-05-22 00:37:461
离散数学问题
1.R是实数集，A集合里面的任何两个元素的乘积仍在R中，所以R是A上的全域关系。即：{ab,ac,ad,ae,af,ag,bc,bd,be,bf,bg,cd,ce,cf,cg,de,df,dg,ef,dg,fg}=R2.{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(f,f),(g,g)}=R3.R={2ka+1,2kb+1,2kc+1,2kd+1,2kf+1,2ke+1,2kg+1|k取任意数}2023-05-22 00:37:531
离散数学(等价关系)
设 R 是非空集合 A 上的关系, 如果 R 是自反的、对称的、传递的，则称 R 为 A 上的等 价关系(equivalent relation). 设 n 为正整数，定义整数集合 Z 上的以 n 为模的同余关系 R = {< x, y > |n|(x − y)}, 证 明 R 是一个等价关系 设 R 是非空集合 A 上的等价关系，对任意 x ∈ A，称集合 [x]R = {y|y ∈ A, < x, y >∈ R}为 x 关于 R 的等价类(equivalence class)，或叫作由 x 生成的一个 R 等价类，其中 x 称为 [x]R 的生成元(代表元或典型元)(generator). 设 R 是非空集合 A 上的等价关系，由 R 确定的一切等价类的集合，称为集合 A 上关于R 的商集(quotient set)，记为A/R，即 A/R = {[x]R|x ∈ A}. 在等价关系中我们已经发现, 同一个等价类中的元素具有相同的属性，因而可将集合 中的元素分成不同的类别，对应于集合的划分。 设 R 是非空集合 A 上的等价关系，则 A 对 R 的商集 A/R 是 A 的一个划分，称为由 R 所导出的等价划分. 给定集合 A 的一个划分 π = {S1, S2, · · · , Sm}, 则由该划分确定的关系 R = (S1 × S1) ∪ (S2 × S2) ∪ · · · ∪ (Sm × Sm) 是 A 上的等价关系。我们称该关系 R 为由划分 π 所导出的等价关系。 设 R 是非空集合 A 上的关系, 如果 R 是自反的、反对称的、传递的，则称 R 为 A 上 的偏序关系(partial order relation), 记为“⩽”. 读作“小于等于”, 并将“< a, b >∈⩽”记为 a ⩽ b. 序偶 < A, ⩽> 称为偏序集 (partial order set).2023-05-22 00:38:011
说一下奥数题(同余的概念及性质)急、急啊，非常谢谢大家了7X
数论中的重要概念。给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能被m整除，即m|(a-b)，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系。1 反身性 a≡a (mod m)2 对称性 若a≡b(mod m)，则b≡a (mod m)3 传递性 若a≡b (mod m)，b≡c (mod m)，则a≡c (mod m)4 同余式相加 若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，则a+-c≡b+-d (mod m)5 同余式相乘 若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd (mod m)【证明】上述性质很容易证明,下面仅证明(3).∵a≡b(mod m)∴m|(a-b) 同理m|(b-c),∴m|[(a-b)+(b-c)]∴m|(a-c).故a≡c(mod m).4 线性运算如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m),那么(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)，(2)a * c ≡ b * d (mod m)【证明】(1)∵a≡b(mod m),∴m|(a-b) 同理 m|(c-d)∴m|[(a-b)±(c-d)] ∴m|[(a±c)-(b±d)]∴a ± c ≡ b ± d (mod m)(2)∵ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d)又 m|(a-b) , m|(c-d) ∴m|(ac-bd)∴a * c ≡ b * d (mod m)5 除法若ac ≡ bc (mod m) c1=0 则 a≡ b (mod m/(c,m)) 其中(c,m)表示c,m的最大公约数特殊地 (c,m)=1 则a ≡ b (mod m)6 乘方如果a ≡ b (mod m)，那么a^n ≡ b^n (mod m)7 若a ≡ b (mod m)，n|m,则 a ≡ b (mod n)8 若a ≡ b (mod mi） i=1,2...n 则 a ≡ b (mod [m1,m2,...mn]) 其中[m1,m2,...mn]表示m1,m2,...mn的最小公倍数9 欧拉定理设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(φ(m))≡1(mod m)(注:φ(m)指模m的简系个数， φ(m)=m-1, 如果m是素数；φ(m=q1^r1 * q2^r2 * ...*qi^ri)=m (1-1/q1)(1-1/q2)...(1-1/qi))推论: 费马小定理: 若p为质数，则a^p ≡ a (mod p) 即a^(p-1) ≡ 1 (mod p)（但是当p|a时不等价）10 中国剩余定理设整数m1,m2,m3,......,mn 两两互素，令m=m1m2m3m4m5...mn（mi的连乘）。则对于任意的J在（1,n)整数，下列联立的同余式有解：{xj≡1(mod mj){xj≡0(mod mi) i不等于j令x为从1到najxj的和，则x适合下列联立同余式x≡aj（mod mj）, j=1,2,3,.....,n另：求自然数a的个位数字，就是求a与哪一个一位数对于模10同余2023-05-22 00:38:081
我 的数学问题谁救救我啊
等我今天上午考完了就给你说部分答案2023-05-22 00:38:187
同余两边能平方吗
同余两边不一定能平方。同余是指两个数除以同一个数的余数相等，它是一种等价关系，在数论中非常有用。但是，同余关系并不意味着平方后的结果也是相等的。例如，5和7模3同余，但52和72模3并不相等。当然也有一些特殊情况，比如当模数为2或3时同余两边可以平方，但这并不是绝对的，需要具体问题具体分析。2023-05-22 00:38:321
线性同余方程的求解（逆模）过程中某一步推理的依据
3x==4 mod 7解一乘以-2得-6x==-8 mod 7因为-6x==x mod 7依下面所讲到的同余式的传递性，即有：-6x==-8==x mod 7即x==-8==-1==6 mod 7解二：3x==4==-3 mod 7据下面讲到的消去律得x==-1 mod 7 ==6 mod 7下面是我最近的一个答题内容。供参考。1。同余号的性质。(0)在同余式两侧，与各个平行的加号平行的那个等号，可以换成同余号。如a=b, 则对于任何模m, a==b mod m.(1)等价性。反身性(自对称性)，互反性(互对称性)，传递性(滑移对称性)。即a==a; a==b则b==a; a==b,b==c，则a==c, 或写作a==b==c.等号，同余号，对应于相等关系，同余关系，均为等价关系。具有上面三类性质。 2。等价式的性质。即同余式类似于等式的性质。(1)同时乘以一组等价项之一，或除以一组非零的等价项之一，同余式成立。如a==b mod m , A ==B mod m则aA==bB mod m.其中非零项这样解释，若a不==0 mod m，则a为非零项。 外一则，反一则：0==mk mod m, 零项就是形如mk这样的项。这个性质有几个重要的特例。(11)消去律。对于ax==ab mod m, 如a不==0 mod m, 则x==b mod m.(12)取负或取幂的情况。(121)取倒数的情况。例如3x ==1 mod 16，那么x称为模16之下，3的同余倒数，或称同余逆，或模逆，或乘率。洪伯阳先生推荐写成：x==1/3 mod 16. == 5 mod 16.(2)同时加减一组等价项之一，同余式仍成立。其中有一个情况要注意，0==mk mod 0，因此 mk这样的项，可以任意地在与==同级的整体项或任意部分项上，任意添加或删减。 2。模的性质。a==b mod m这个mod m，实际就是一个可以在同余式的同余号==两侧平行移动的一个代数和项，即是m的一个任意整数倍数，只要晓得它是存在的就行，不必计较它对于m的倍数的大小与正负，不必计较是加法还是减法，只要知道是代数和的形式就行。在此理解下，同余式是一种更自由的不定方程而已，并且与不定方程是完全可以等价的，只是我们的着眼的关键点在于a与b二者，相对于模m的滑移对称性。而模m这个东东，这个m的不定倍数，就是一个自由变化的绳圈，将a,b和诸如此类的珠子串起来了而已。 3。心法。简单的同余式，可以按我上面的举例，注意不要拘泥于正负号。复杂的同余式，将它作为等式或比例式，使用比例式的性质，分数的性质，利用洪伯阳方法来解。网上可搜 wsktuuyth 洪伯阳方法。举例：13x==5 mod 23x==5/13==10/26==10/3==33/3==11 mod 13 5x==13 mod 23x==13/5==65/25==65/2==42/2==21 mod 23或 x==13/5==2+3/5==2-20/5=2-4=-2==21 mod 23 也可以用不定方程来解。对于不定方程，我也提出了一种个人认为很是巧妙的方法，这种方法的过程，恰好表现的同余式与不定方程的等效性，并互为利用。将二者的形式统而为一，十分简明。以下是我在百度答题与博文中提到的不定方程解法，可搜索wsktuuytyh 不定方程或wsktuuytyh 同余式可以这样解得到。其中wsktuuytyh是我的百度账号，来自于我的现用名字 的五笔编码。wsk 何 tuu 冬 ytyh 州当然了解了其中的过程之后，可以用来尝试解不定方程13x=5+23y及5x=13+23y这样就是利用不定方程来解同余式。 举例：47x=89+111y两边mod 47，或者说将47的倍数集中，得47a==-5+17y (两式相减知x-a=2+2y)同理mod17得，-4a==-5+17b （两式相减知 3a=y-b)取b=1,顺次逆求：a=-3, y=-8, x=2-16-3=-17==94 mod 1112023-05-22 00:38:401
初等数论初步中大衍求一术的介绍中的k1,k2…kn代表什么,又是怎样得出的
AAA 百度可以搜到大衍求一术、乘率等相关内容。乘率，同余逆，同余倒数，模逆，都是说的同一概念。例如，ax==1 mod m其中的 a与x互称为基于(关于、对于)模m的乘率，简称乘率。若已知a求x, 就说求a关于模m的乘率，或简单地说求a的乘率.这个同余式也相当于ax+my=1，于是my==1 mod a, 此时m与y也互为关于模a的乘率。其中为打字方便，用双等号==取代三线等号≡表示同余。BBB 注意事项：一、求乘率，就是求解同余式，该同余式有一侧为定值1；或者是求解含有常数1作为和项的二元一次三项不定方程。否则一般不称为求乘率。二、利用中国剩余定理同余式组，利用到乘率。但是，不利用乘率也可以直接解同余式组的，就像解多元方程组的矩阵方法，并不是一定要求逆矩阵一样。中国剩余定理解同余式，与解多元一次方程组或矩阵方程中用到的线性叠加方法原理是一样的，我们应当利用线性叠加原理而灵活变化。CCC 求乘率的例子CCC 例1(求乘率)： 13x==1 mod 23方法1-1：13x==1 mod 23两边乘2得26x==2 mod 233x==-21 mod 23x==-7==16 mod 23用洪伯阳同余记法，可用分数形式表示同余，再转换为整数形式，如下：x==1/13==2/26==-21/3==-7==16 mod 23方法1-2：13x==1 mod 23-10x==1 mod 23-10x==70x==-7==16用洪伯阳同余记法，即x==1/13==1/-10==70/-10==-7==16 mod 23方法2-1：使用不定方程。对于较复杂的情况，很适用。下面是经我改写了的一种解不定方程的方法，较常规教科书思路略有不同，计算较为方便。后文有略微复杂的几个例子，作了详细说明。13x==1 mod 2313x=1+23y 将13的倍数合并到13x这一项上并使用新的变量，得13z=1-3y 易见可取特值y=-4，代入即得 x=-7。于是x==-7==16 mod 23.DDD 注意对mod的一个重要认识：由13z==1-3y 也可直接解出 y=-4 mod 13，或写成 y=-4+13t 代入13x=1+23y 立即得 x= -7+ 23t == -7 mod 23 事实上，我们应当认为 mod 13 与 +13t 地位相当本质相同。（mod 13） 本质上即是 +13 的任意倍数，我常常写成 +13**或13**+（放在左边时用13**+）， 表明不使用具体的符号来表示出这个任意的倍数。将mod13看作成+13**，于是立即知道它可以在同余式的代数和项或乘积的因数项上任意加减、滑移（包括等式左右两边移项）而不影响式子的性质。任意加减与滑移，只是这个任意倍数**发生了变值（包括改变正负号），而我们不关心因子**的值，故不需要去管它的形式，照样用**代替即是。使用 （mod 13）这种形式，就已经不再注意这个任意倍数了，其加减与滑移特性赋予了它极大的自由；使得它成为一个平台，相当于物理学中的“以太”一样了；而同时让我们将着眼点更好的放在其他变量的分析上。而使用 （+13 t ）这样的形式，则便于对变量进行称名引用。这种形式下，同余式即是不定方程，，方便于对模13的倍数进行定量跟踪分析，还可以在转换到（即重定位到）其它模与变量时不致混淆关注点（视点）。而转换模与变量，在解复杂的、难于计算的不定方程（包括同余式转化来的不定方程）是很好的方便的手段之一。方法2-213x==1 mod 2313x=1+23y13z=1+10y易见可取z=7, y=9，代入得x=16 mod 23这个代入计算的过程略微不便计算，可以这样简化：将两式比较，得x-z=y, 故 x=z+y=16 mod 23CCC例2(求乘率)：103x==1(mod211)解：206x==2 -5x==2*1-5x==2*-210x==84洪伯阳表示法：x==1/103==2/206==2*1/-5==2*-210/-5==84CCC例3(求乘率)开譆历上元积年377873x≡1(mod499067)的乘率解：用洪伯阳记号解，由于不便于重定位模对象，故此在不做为首选方法，见后文。先用我改写了的不定方程解法来解。这种不定方程解法的要点：要点1，其中使用双等号==取代等号=，以保证在使用同余关系时的扩展，从而使用了连等式，连等式各项使用同余关系相关联。一个连等式系列之中，取最前与最后二者，可改用等号连接形成等式，以此为依据进行变量的定量化分析。要点2，辗转相除法求最大公约数或求乘率、大衍求一术求乘率均可以用我这种思路改写成为不定方程。要点3，使用连等式，可保留中间计算过程，利于辅助记忆。如果笔算或口算或心算，记忆起来轻松一些，下面的过程主体是我一边打字一边心算完成的。要点4，其中变量便于称名引用，过程中的对象位置能够方便的对应，思路很为连续方便。要点5，在不定方程中使用了具体的变量名，因而转换到（即重定位到）其它模与变量时不致混淆关注点（视点）。而转换模与变量，在解复杂的、难于计算的不定方程（包括同余式转化来的不定方程）是很好的方便的手段之一。这一点前文也讲到过了。要点6，开始步骤与中间步骤都是对上一个不定方程式按较小的模进行并项得到下一个不定方程，并使用新的变量而不使用累次的代换关系，也不涉及复杂的分式，简洁明快。要点7，最后反推步骤，利用到了最后一个显然易解的不定方程，及所得到的所有相邻不定方程之间相比较得到的关系式，使计算涉及到的数值总体减小。在求值时，可以使用具体值参予计算，也可以继续使用变量，很自由方便。377873x==1+499067y 377873z==1+121194y 注：即将377873的倍数集中到原来的377873x这一项上并改用新变量。014291z==1+121194a014291b==1-021716a==1+6866a 注意，与前一式相比，14291的因子变量被改写。注意，此处使用了连等式，连等式对模14291构成同余等价关系。在连等式中以最前与最后二者以等号连接构成等式而进行定量分析。559b==1+6866c 559d==1+1276c==1+158c 注意，此处连等式对模559构成同余等价关系。-73d==1+158e-73f==1+12e取e=6, 逆求之可得解。过程可以如下：{将保留下来的各个算式，相邻两式两两比较，顺次得到：x-z=y3z=y-az-b=8a2b=a-cb-d=12c4d=c-e-d+f=2e 将e=6,f=-1代入，逆求。原先发文曾略去计算过程。此次补充，逆求如下：d=-13,c=-46,b=d+12c,a=2b+c=2d+25cz=b+8a=17d+212cy=3z+a=53d+661c,x=z+y=70d+873c=(-910+873*(-46))将上面的项复制到windows计算器(在windows操作系统开始菜单-运行：calc.exe-科学型)，算得x==-41068 mod 499067x==457999}用计算器检验，457999*377873 mod 499067 ==1检验正确.一般取正数为乘率，取负数也是不影响计算的，故二者均均可做为乘率。CCC例3续：以下用洪伯阳记号来解377873x==1(mod499067)用洪伯阳记号来解，可以有一个相当于下面的过程：-121194x==1-484776x==414291x==4（#1#）142910x==4021716x==41（#2#）（#1#）*-3+（#2#）*2得 （这在洪伯阳表示式，即分数形式的同余表示中，相当于对分数连等式使合比定理，以下类似。）559x==70（#3#）由（#2,3#）得 注：21716=559*39-85 -85x==41-70*39==-2689 （#4#）由 （#4,3#）得 注：559=85*6+4949x==70+-2689*6=-16064 （#4#）由 （#4,5#）得-36x==-18753故12x==6251==-492816x==-41068x==457999用洪伯阳表示，写作：x==1/377873 ==1/-121194==4/-484776==4/14291==41/21716==70/559==-2689/-85==-16064/49==-18753/-36=6251/12==-492816/12==-41068==457999注：用洪伯阳记号解，由于不便于重定位模与变量对象，中途利用合比定理略嫌复杂，故此在不做为首选方法，以不定方程法为最佳。CCC例4(求乘率)907X≡2107（mod731）的两个乘率注：后文将另行求解同余式907X≡2107（mod731），使用不定方程 907x+731y=2107来解。由前面讲过的乘率的概念，我们认为此题求乘率即是求解两个同余式： 907x==1 mod 731 及 731y==1 mod 907，这两个同余式是等价的，可互相转换的，仅是着眼点不同。同时也相当于不定方程 907x+731y=1.解：907x+731y=1176x+731z=1176a+27z=114a+27b=1取a=2，反推即可求出x,y。下面采用另一种方式以简捷计算。比较上述各式之两邻相式，分别得x+y-z=0x-a+4z=06a+z-b=0下面已知a=2,b=-1,故z=-13,x=54,y=-67也可以这样： 907x+731y=1176x+731z=1176a+27z=1-13a+27b=1，由a=2反推。比较上述各式之两邻两式分别得x+y-z=0, x-a+4z=0,7a+z-b=0, 由a=2,b=1得z=-13,x=54,y=67CCC例5（求乘率）3800k≡1（mod27）注：转化为解不定方程3800x+27y=120x+27z=1易见或取z=3,x=-4; 两式比较得140x+y-z=0，故y=-140x+z=563EEE 非求乘率型的同余式的求解EEE 例6 方法1103x==57(mod211)x==57/103==114/-5==325/-5==-65 mod 211方法2:不定方程法：103x=57+211y 将103x的倍数集中到103x上并使用新的变量:103z=57+5y易见可取z=-1, y=-32，这时可以代入计算出x,也可以用下面的思路简化计算。上述两式比较，易见 x-z=2y, 故x=z+2y=-65. 即原同余式解为 x==-65 mod 211.EEE 例7 解同余式 907X≡2107（mod731）相当于求解不定方程 907x+731y=2107解：176x+731z=-86176a+27z=-86-13a+27b=-5(-13c+b=-5)取b=-5,c=0逆求即可。当然也可以由-13a+27b=-5这一步直接看出可取b=-5，a=-10进行逆求。但引入-13c+b=-5会减轻心算之记忆负担。比较上述各式之两两相邻式子，得x+y-z=3x-a+4z=07a+z-b=-3(-a+c+2b=0)于是由c=0,b=-5,a=-10得 z=-7a+b-3=62,x=a-4z=-258,y=-x+z+3=258+62+3=3232023-05-22 00:38:481
a的逆代表的是一个数还是一类数
当然是代表一类数。 只不过，你可以从每一类数里选一个代表元。 就用这个代表元来称呼整个这一类数。 这是近世代数最基本内容。楼主如果初学，可以看丁石孙写的《近世代数》。此书通俗易懂，最适合初学者。从代数角度看，同余关系是等价关系，所以整数集合可以按照等价关系分成互不相交等价类的并。 从每个等价类中随便选一个元素做代表元。这些代表元组成的集合上仍有加减乘运算。 对某些代表元，它还有逆元。2023-05-22 00:39:191
求负一除以八的余数
-1=-1*8+7-1除以8，商-1,余7.外一则：取余运算是模运算的特例，因为我们所谈及的余数，绝对值比模(除数)小；而模运算，考虑同余关系，无数的大小的限制。a除以m余r，建议记成 a mod m =r,或 mod(a,m)=r.a与r对模(除数)m同余,一般写作：a==r mod m 也可写作 a mod m==r. 其中==一般写成≡,称作同余号，读作同余。有时也记作=.有时略去 mod m.如-1==7 mod 8; -1 mod 8 =72023-05-22 00:39:271
f(c)=(c-a1)(c-a2)...(c-an)/n!f(c)
≡ 恒等于或同余 同余：数论中的重要概念.给定一个正整数m,如果二整数α、b)满足m│α-b)(α-b)被m整除),就称整数α、b)对模m同余,记作α呏b)(mod m).对模m同余是整数的一个等价关系.2023-05-22 00:39:341
整数关系中2/x+y等价关系吗
整数关系中2/x+y等价关系，等价关系是从“等于”、“相似”、“平行”、“同余”等等关系中提炼它们的共同点得到的。这也是数学中比较精髓的一点—抽象。2023-05-22 00:39:411
听说1500年前的孙子算经中的剩余定理能够解＂59x+153y=107，求x、y的整数解＂这类问题
59x+153y=107此不定方程与一次同余式59x==107 mod 153 或 153y==107 mod 59等价。中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem)，即孙子定理，用于解同余式组(即同一未知元的多个一次同余式)。而本题只涉及一个同余式，故不必用到中国剩余定理。下面用我设计的一种新方法解此不定方程，十分方便。59x+153y=107 （#1#）将59的倍数集中到59x这一项上面，并改用新变量，（注：相当于原式mod59）, 如下：59a-24y=48==-9 （注：48==-9 mod 59; 着眼于 59的倍数已集中到59a之上，不必写出 mod 59; 将全式作为等式处理时，使用最后一个==后面的项，即59a-24y=-9）同理，再将24的倍数集中到24y，改用新变量。此时发现使用59a-24y=48 更好。故重新申明：59a-24y=48 （#2#）即有11a-24b=0 （#3#）于是取b=11, 逆推，a=24, y=57（注：在用心算算不出来时，结果笔算，用到一个小技巧是比较前后相邻的式子，得到未知数之间的关系）比较 （#1,2#）两式，得到x-a+3y=1，故x=a-3y+1=24-171+1 =-146验算：开始菜单-运行-calc.exe-科学型-输入或复制下面一行到计算器输入框59*(-146)+ 153*57=得到结果为107，即检验无误。2023-05-22 00:39:551
您好，我是准高一，请问高中的全国数学奥赛想要参加的话需要现在怎样准备呢？
2023-05-22 00:40:041
AES加密算法原理
AES是分组密钥，算法输入128位数据，密钥长度也是128位。用Nr表示对一个数据分组加密的轮数（加密轮数与密钥长度的关系如表1所列）。每一轮都需要一个与输入分组具有相同长度的扩展密钥Expandedkey(i)的参与。由于外部输入的加密密钥K长度有限,所以在算法中要用一个密钥扩展程序(Keyexpansion)把外部密钥K扩展成更长的比特串,以生成各轮的加密和解密密钥。x0dx0a1.1圈变化x0dx0aAES每一个圈变换由以下三个层组成:x0dx0a非线性层——进行Subbyte变换；x0dx0a线行混合层——进行ShiftRow和MixColumn运算；x0dx0a密钥加层——进行AddRoundKey运算。x0dx0a① Subbyte变换是作用在状态中每个字节上的一种非线性字节转换,可以通过计算出来的S盒进行映射。x0dx0ax0dx0a② ShiftRow是一个字节换位。它将状态中的行按照不同的偏移量进行循环移位，而这个偏移量也是根据Nb的不同而选择的[3]。x0dx0ax0dx0a③ 在MixColumn变换中,把状态中的每一列看作GF(28)上的多项式a(x)与固定多项式c(x)相乘的结果。 b(x)=c(x)*a(x)的系数这样计算:x0dx0a*运算不是普通的乘法运算,而是特殊的运算，即 b(x)=c(x)·a(x)(mod x4+1) 对于这个运算 b0=02。a0+03。a1+a2+a3 令xtime(a0)=02。a0x0dx0a其中，符号“。”表示模一个八次不可约多项式的同余乘法[3]。x0dx0ax0dx0a对于逆变化,其矩阵C要改变成相应的D,即b(x)=d(x)＊a(x)。x0dx0a④ 密钥加层运算(addround)是将圈密钥状态中的对应字节按位“异或”。x0dx0ax0dx0a⑤ 根据线性变化的性质[1],解密运算是加密变化的逆变化。2023-05-22 00:40:131
非线性方程的发展史
十一世纪，阿拉伯的阿尔·卡尔希第一次解出了二次方程的根。十一世纪，阿拉伯的卡牙姆完成了一部系统研究三次方程的书《代数学》。十一世纪，埃及的阿尔·海赛姆解决了“海赛姆”问题，即要在圆的平面上两点作两条线相交于圆周上一点，并与在该点的法线成等角。十一世纪中叶，中国宋朝的贾宪在《黄帝九章算术细草》中，创造了开任意高次幂的“增乘开方法”，并列出了二项式定理系数表，这是现代“组合数学”的早期发现。后人所称的“杨辉三角”即指此法。 十三世纪，印度的拜斯迦罗著《立刺瓦提》一书，这是东方算术和计算方面的重要著作。1202年，意大利的裴波那契发表《计算之书》，把印度—阿拉伯记数法介绍到西方。1220年，意大利的裴波那契发表《几何学实习》一书，介绍了许多阿拉伯资料中没有的示例。1247年，中国宋朝的秦九韶著《数书九章》共十八卷，推广了“增乘开方法”。书中提出的联立一次同余式的解法，比西方早五百七十余年。1248年，中国宋朝的李治著《测圆海镜》十二卷，这是第一部系统论述“天元术”的著作。1261年，中国宋朝的杨辉著《详解九章算法》，用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。1274年，中国宋朝的杨辉发表《乘除通变本末》，叙述“九归”捷法，介绍了筹算乘除的各种运算法。1280年，元朝《授时历》用招差法编制日月的方位表(中国 王恂、郭守敬等)。十四世纪中叶前，中国开始应用珠算盘。 1464年，德国的约·米勒在《论各种三角形》(1533年出版)中，系统地总结了三角学。1494年，意大利的帕奇欧里发表《算术集成》，反映了当时所知道的关于算术、代数和三角学的知识。 1545年，意大利的卡尔达诺、费尔诺在《大法》中发表了求三次方程一般代数解的公式。1550～1572年，意大利的邦别利出版《代数学》，其中引入了虚数，完全解决了三次方程的代数解问题。1591年左右，德国的韦达在《美妙的代数》中首次使用字母表示数字系数的一般符号，推进了代数问题的一般讨论。1596～1613年，德国的奥脱、皮提斯库斯完成了六个三角函数的每间隔10秒的十五位小数表。 1614年，英国的耐普尔制定了对数。1615年，德国的开卜勒发表《酒桶的立体几何学》，研究了圆锥曲线旋转体的体积。1635年，意大利的卡瓦列利发表《不可分连续量的几何学》，书中避免无穷小量，用不可分量制定了一种简单形式的微积分。1637年，法国的笛卡尔出版《几何学》，提出了解析几何，把变量引进数学，成为“数学中的转折点”。1638年，法国的费尔玛开始用微分法求极大、极小问题。1638年，意大利的伽里略发表《关于两种新科学的数学证明的论说》，研究距离、速度和加速度之间的关系，提出了无穷集合的概念，这本书被认为是伽里略重要的科学成就。1639年，法国的迪沙格发表了《企图研究圆锥和平面的相交所发生的事的草案》，这是近世射影几何学的早期工作。1641年，法国的帕斯卡发现关于圆锥内接六边形的“帕斯卡定理”。1649年，法国的帕斯卡制成帕斯卡计算器，它是近代计算机的先驱。1654年，法国的帕斯卡、费尔玛研究了概率论的基础。1655年，英国的瓦里斯出版《无穷算术》一书，第一次把代数学扩展到分析学。1657年，荷兰的惠更斯发表了关于概率论的早期论文《论机会游戏的演算》。1658年，法国的帕斯卡出版《摆线通论》，对“摆线”进行了充分的研究。1665～1676年，牛顿(1665～1666年)先于莱布尼茨(1673～1676年)制定了微积分，莱布尼茨(1684～1686年)早于牛顿(1704～1736年)发表了微积分。1669年，英国的牛顿、雷夫逊发明解非线性方程的牛顿—雷夫逊方法。1670年，法国的费尔玛提出“费尔玛大定理”。1673年，荷兰的惠更斯发表了《摆动的时钟》，其中研究了平面曲线的渐屈线和渐伸线。1684年，德国的莱布尼茨发表了关于微分法的著作《关于极大极小以及切线的新方法》。1686年，德国的莱布尼茨发表了关于积分法的著作。1691年，瑞士的约·贝努利出版《微分学初步》，这促进了微积分在物理学和力学上的应用及研究。1696年，法国的洛比达发明求不定式极限的“洛比达法则”。1697年，瑞士的约·贝努利解决了一些变分问题，发现最速下降线和测地线。 1704年，英国的牛顿发表《三次曲线枚举》《利用无穷级数求曲线的面积和长度》《流数法》。1711年，英国的牛顿发表《使用级数、流数等等的分析》。1713年，瑞士的雅·贝努利出版了概率论的第一本著作《猜度术》。1715年，英国的布·泰勒发表《增量方法及其他》。1731年，法国的克雷洛出版《关于双重曲率的曲线的研究》，这是研究空间解析几何和微分几何的最初尝试。1733年，英国的德·勒哈佛尔发现正态概率曲线。1734年，英国的贝克莱发表《分析学者》，副标题是《致不信神的数学家》，攻击牛顿的《流数法》，引起所谓第二次数学危机。1736年，英国的牛顿发表《流数法和无穷级数》。1736年，瑞士的欧拉出版《力学、或解析地叙述运动的理论》，这是用分析方法发展牛顿的质点动力学的第一本著作。1742年，英国的麦克劳林引进了函数的幂级数展开法。1744年，瑞士的欧拉导出了变分法的欧拉方程，发现某些极小曲面。1747年，法国的达朗贝尔等由弦振动的研究而开创偏微分方程论。1748年，瑞士的欧拉出版了系统研究分析数学的《无穷分析概要》，这是欧拉的主要著作之一。1755～1774年，瑞士的欧拉出版了《微分学》和《积分学》三卷。书中包括微分方程论和一些特殊的函数。1760～1761年，法国的拉格朗日系统地研究了变分法及其在力学上的应用。1767年，法国的拉格朗日发现分离代数方程实根的方法和求其近似值的方法。1770～1771年，法国的拉格朗日把置换群用于代数方程式求解，这是群论的开始。1772年，法国的拉格朗日给出三体问题最初的特解。1788年，法国的拉格朗日出版了《解析力学》，把新发展的解析法应用于质点、刚体力学。1794年，法国的勒让德出版流传很广的初等几何学课本《几何学概要》。1794年，德国的高斯从研究测量误差，提出最小二乘法，于1809年发表。1797年，法国的拉格朗日发表《解析函数论》，不用极限的概念而用代数方法建立微分学。1799年，法国的蒙日创立画法几何学，在工程技术中应用颇多。1799年，德国的高斯证明了代数学的一个基本定理：实系数代数方程必有根。2023-05-22 00:40:201
什么是模3同余关系
a和b模p同余是指(a-b)是p的倍数2023-05-22 00:40:543
中对同余关系的定义和相关理解
正整数集S,x,y∈S,定义关系R： ＜x,y＞∈R 当且仅当 x≡y （mod）n （x≡y （mod）n 表示x,y除以n的余数相同） 称此关系为模n的同余关系. 可以验证此关系是一个等价关系2023-05-22 00:41:011
什么是模3同余关系
就是除以三的余数相同比如5和2除以3都余2300和3除以三都余0这些都叫同余2023-05-22 00:41:091
模3同余 是等价关系,求证明
不难证明推广的结果：同余关系是等价关系。证：a==b mod m<=>a-b |: m 这里用以等价地表示 m | a-b从而b-a |: m<=> b==a mod m这就证明了互反性。同时易证a==a mod m， 即自反性。另外再证： a==b , b==c mod m 可以推出 a==c mod m前提即存在 r,s使得 a=b+sm, b=c+rm, 于是a=c+rm+sm=c+(r+s)m, 于是a==c mod m于是传递性成立。于是，同余关系是等价关系。2023-05-22 00:41:171
教教我同余式？？？最好通俗易懂！采纳！
表示同余关系的数学表达式，与等式相似。将等式中的等号“=”换成同余符号“≡”，必要时在式尾缀以(mod m) 注明模m（即除数），就是同余式。含有未知数的同余式叫做同余方程，通常要求整数解。同余式的定义如果两个正整数 a和 b之差能被 n整除，那么我们就说 a和 b对模n同余，记作：a ≡b (mod n)同余式的运算同余式运算类似于等式的运算，在等号两边可进行加减乘除的算术运算。如 a≡b (mod n) ，则有：a + c ≡b + c (mod n)a - c ≡b - c (mod n)a ·c ≡b ·c (mod n)但在应用除法运算时应特别注意，仅在除数与模互质时，才能去除同余式的两边，如：a /c ≡b / c (mod n) ，必须c 与 n要互质，就c 与 n须没有公因数。2023-05-22 00:41:241
如何证明在离散数学上说：模M同余关系是等价关系
一个关系满足自反、对称、传递叫做等价关系.模M同余关系作为关系的一种,也满足以上三条,当然是同余关系了.比如10与10模3同余,这是自反；10与4模3同余,则4与10模3同余,即模3同余有等价性.10与4模3同余,4与7模3同余,则10与7模3同余,这是传递性.2023-05-22 00:41:321
什么是模3同余关系 请通俗一点
就是除以三的余数相同 比如5和2除以3都余2 300和3除以三都余0 这些都叫同余2023-05-22 00:41:391
模7同余的例子有哪些性质（）。
模7同余的例子有哪些性质（）。 A.如果a和b有模7同余关系，那么b和a有模7同余关系。B.a和b是模7同余关系，那么a=b。C.如果a和b有模7同余关系，b和c有模7同余关系，那么a和c有模7同余关系。D.a和a是模7同余关系。正确答案：ACD2023-05-22 00:41:461
1. 非空集合上的同余关系一定是等价关系吗?反之如何?(举例加以说明)
搜一下：1.非空集合上的同余关系一定是等价关系吗?反之如何?(举例加以说明)2023-05-22 00:41:532
集合A={1,2,3,4,5},求下列等价关系所对应的划分.（1）R是A上的模2同余关系
{2,4} {1,3,5}2023-05-22 00:42:001
能不能就a≡b(mod m),同余关系,举个简单易懂的例子
25≡13(mod 6)就是说25和13除以6的余数相同2023-05-22 00:42:171
为什么可以说-2和10是同余关系?
mod n?总得有模呀2023-05-22 00:42:241
离散数学高手请入，关于子群，陪集和同余关系
搜一下：离散数学高手请入，关于子群，陪集和同余关系2023-05-22 00:42:311
为什么可以说-2和10是同余关系？
mod n?总得有模呀2023-05-22 00:42:441