工程制图长圆孔叫什么孔

他非常厉害，要知道世界难题基本上是没有人能解得出来的。但是这个教授才26岁就解出来了，所以见得他有多厉害。

1996年，利用郑绍远-丘成桐引进的一个自伴算子，通过一些巧妙的估计，得到球空间中紧致具常数量曲率超曲面的刚性定理，结果发表在最有影响的国际权威数学期刊之一Math. Ann. 上；1997年与陈维桓教授合作，给出了3维空间形式中Bonnet曲面的分类，A.I. Bobenko, U. Eitner 2002年的专著Lecture Notes in Math. , Vol. 1753， 收录了我们的结果；与王长平等教授合作建立了球空间中Moebius曲面理论，计算了球空间中Willmore子流形的第二变分，并证明Willmore环面的稳定性，得到球空间中Moebius子流形的一系列基本结果；Willmore子流形的研究结果，包括构造(n+p)-维球面中紧致Willmore子流形的基本例子，如：Willmore环面，Einstein极小子流形，发现球面中紧致Willmore子流形的Simons型积分不等式，并用来刻划Willmore环面和Veronese曲面等。特别最近几年关于Willmore子流形的几何与拓扑的系列研究结果取得突出成绩，开创了高维Willmore 子流形的几何与拓扑研究方向，并应邀在美国哈佛大学数学系， 德国柏林工业大学数学研究所， 西班牙格林拉达大学， 巴西圣保罗大学， 日本佐贺大学， 波兰Banach数学研究中心， 巴西第13次国际微分几何会议等报告这方面研究成果。2012年与清华大学数学中心的安杰明(Ben Andrews)教授 合作，解决了著名的Pinkall-Sterling猜想：3维球面中任意的嵌入环面一定是旋转对称的。更进一步的，他们给出了3维球面中嵌入环面的完全分类 ，其中令人惊奇的是当平均曲率为0或 时，唯一的嵌入环面只能是Clifford（乘积类型）环面。平均曲率为0的曲面称为极小曲面，此种情形即为S.Brendle证明的Lawson猜想 ；而3维球面中平均曲率为 的嵌入环面的唯一性则是一个非常出乎意料的发现。该研究成果于2015年初发表在国际著名数学期刊JDG第99卷第2期 。 在2013年7月台北举行的第六届世界华人数学家大会上，李海中教授受邀做一小时大会报告 ，报告了这一项研究成果。 同时，近年来李海中教授在JDG, Adv. Math, Calc. PDE, Trans. AMS, Asian J. Math, Math. Res. Letters, Math. Ann., Math. Z., AGAG 等国内外著名数学期刊发表学术论文120余篇。 1993年获国务院政府特殊津贴，1997年获清华大学曹光彪奖，2000年获清华大学青年教师教学优秀奖，2002年获清华大学学术新人奖 。现为美国数学会Math Review评论员，德国 Zentralblatt Math 评论员，《Results in Mathematics》 ，《Communications in Mathematics》 和《 数学学报》期刊编委 ，北京市学位委员会学科评议组专家，北京市高校数学研究会副理事长。

爱因斯坦所提出的引力理论。这一理论把引力场和时空结构联系起来，引入了四维洛伦茨流形作为现实时空的模型，这种流形的几何学在很小范围中接近于四维闵科夫斯基空间R3,1的几何学，但从较大范围来看,它和闵科夫斯基空间有显著的差别，是一种弯曲的时空。 一个四维的洛伦茨流形M4,是具有洛伦茨度量的四维微分流形。其意义如下:在M4的每点x的切空间Tx,均定义了向量的内积,但和黎曼流形的情况不同,这种内积不是欧几里得式的,而是闵科夫斯基式的(见闵科夫斯基空间)。对M4的每一坐标邻域,可在其中各点x的切空间Tx中引入自然标架,即由4个切向量所组成的标架。参考于这个标架,Tx的任一切向量λ可表示为，两个向量λ ,μ的内积应具形式 ，这里(gij)构成一个符号为(+,+,+,-)的对称阵。M4在这个坐标区域中的洛伦茨度量就用 来表示。 和黎曼几何一样，依据流形的度量，可以作它的克里斯托费尔记号（列维-齐维塔联络）,曲率张量和里奇张量。由于曲率张量一般不是0,所以说广义相对论的时空是弯曲的时空。依照切空间的内积，流形的切向量可分为类时、类空、类光等三类，粒子运动的轨线就表示为M4的一条曲线，称为世界线,它的切向量不能是类空的。 爱因斯坦的广义相对论的基本思想是：四维时空的几何结构和其中的物质分布与运动是互相联系的，这种联系可以用引力场方程来表示，这里ij是里奇张量，R是数量曲率，G是引力常数,ij是表示物质分布和运动的能量动量张量。特别在真空区域中就应成立。

截面曲率、里奇曲率以及数量曲率是非常重要的几何量。研究这些量与黎曼流形的几何性质以及拓扑性质之间的关系是黎曼几何的一个重要课题。例如，嘉当－阿达马定理断言：若一个n维单连通完备黎曼流形的截面曲率处处不大于零，那么它与Rn微分同胚。再如迈尔斯定理断言：若完备黎曼流形的里奇曲率处处大于一个正常数h，那么它必是紧流形而且基本群有限。W.克林格贝格和M.伯热证明的球定理断言：如果完备单连通n维黎曼流形M的截面曲率KM 满足，那么M与n维欧氏球面Sn同胚。这些结果显示了流形的拓扑性质与度量性质之间有密切的联系。在这方面还有许多未解决的问题。

应该算是顶尖级别的。年纪轻轻，实力不俗，能加盟中科大毕竟有很优秀的成绩。

数学，易到生活中的几个数字，难到让学生瞠目结舌的习题，再到通过大型计算机才能计算的公式，抽象而又神秘。但丁伟岳却在这个知识上一扑数十年，凭借着对数学的热爱和科研的毅力，攻克了众多的难题。1945年4月26日，丁伟岳出生于上海市。毕业于北京大学的他之后又获得中科院数学研究所的硕士学位和博士学位。毕业后，丁伟岳一直从事数学方面的研究，曾在北京大学数学研究所任所长，曾任中国数学会副理事长等职位，并于1997年当选为中国科学院院士。多年来，丁伟岳在科研工作上不懈努力，关心青年人才的成长。作为国内最早在几何分析领域从事研究的数学家之一，他在为学和为人两方面能以身作则，去影响和帮助他所指导的学生和他所关心的青年人健康成长。他为几何分析在中国的发展以及该领域人才队伍的建设做出了一定的贡献。丁伟岳早期致力于常微分方程周期解存在性的研究，把著名的Poincare-Birkhoff不动点定理推广为便于应用于周期解问题的形式，该项工作至今仍不断被人引用。后来他又转向非线性偏微分方程及其几何应用的研究。他与他的学生合作关于二维球面预定数量曲率的共形度量存在性的工作，是在没有对称假设条件下的该问题的最早成果之一。他关于欧氏空间上Yamabe方程存在无穷多个整体变号解的工作，以及该方程在有界可缩域上正解存在性的工作，均为当时引人注目的成果。在著名的Nirenberg问题研究上，丁伟岳也取得了突破性进展。他首次证明了该问题有解的一种充分条件在调和映射的存在性与调和映射的热流的奇点研究方面取得了一系列成果。2014年11月11日，丁伟岳因病在北京逝世。丁伟岳教授为人正直，谦虚而憨厚，治学一丝不苟，始终保持着昂然向上的奋斗精神。学识渊博，思想敏锐，洞察力强，具有开拓精神。他梦绕魂牵的是民族振兴和中国数学的基础，因此为祖国培养青年数学家殚精竭虑，不遗余力。本作品为“科普中国-科技名家风采录”原创 转载时务请注明出处

60分万岁！

数学是一门很flexible的学科。就拿黎曼几何，可以有正截面曲率、负截面曲率、非正截面曲率、非负截面曲率、几乎非正（负）截面曲率、强非正（负）截面曲率、正（负）Ricci曲率、常Ricci曲率（Einstein流形）、常数量曲率、正（负）数量曲率等一堆乱七八糟的不同情形，然后你如果觉得还不过瘾的话，还可以把黎曼流形换成Finsler流形，换成复流形，换成orbifold，换成algebraic variety，换成scheme, stack...如果你想在数学里面找什么具有“唯一的、本质的”特性的东西，那么不好意思，我觉得你应该找不到。数学的精彩之处一部分就在于它的多样性，它的可变性，它的发散性，它的不可预测性，它的“乱来”性。。数学里面几乎没有什么“绝对的”标准，就连数学的逻辑基础——集合论，你也可以选择承认选择公理，你也可以选择承认选择公理的否定——决定性公理。你还可以选择不用集合论作为构建数学的基础，比如用category theory，type theory, etc.在我看来，数学其实就有点像一种游戏，一种可以调参数、改规则的游戏，只不过有些规则下面比较好玩，能走得更远，发现更多东西，然后人们就采用了这一套规则——这个规则可以是某套公理体系，也可以是某些新数学概念的可以随着时间改变而改变的定义，等等。如果你想从这样多变的数学里找出某种永恒不变的、优先于其他东西的、类似于上帝的“神性”的东西，我觉得是很有难度的。。说实话，宗教的绝对性、神圣性、以及某种意义上的限制性，和数学的创新气质、无穷无尽的想象力，是不太相搭配的。

叶片角度应该理解为与动力的特性相关联，如扭力够大的动力可以将角度做得大一些，直至35度。但这样会给风扇的柄提出更高的要求。所以，这些方面都讲究一个最佳分割点。我有个源自于经验值的发现，就是在相同功率下，应用低转速大直径时，风扇的效率会提得更高。

由于曲线比较诡异所以，这里采用三次插值的方法来做，这样可以是曲线比较平滑，三次插值是分段插值，使得曲线平滑，如果使用取对数后在进行最小二乘法来做的话那么得到的误差将会是十分大，我是用MATLAB的曲线拟合工具箱来做的，结果只有用三次样条插值的方法拟合的曲线才比较令人满意，由于曲线拟合有多种理论，所以选择好的拟合方法很重要通过拟合后的曲线，并进行一二次导数后，得到的最大曲率值为10.02334723在点x=-3.5570处，最小曲率为0在点x=-1处 补充下：由于题目中给定的问题中可知，x ,y 之间的函数表达式是不知道的，也即是说x,y 之间可能有一个函数关系式，也可能是有一个分段函数的关系式，或者根本上就没有函数关系式，那么楼下所作的取对数后在进行最小二乘法拟合，那么说明楼下已经承认了x,y之间有一个指数函数的关系，这种做法我认为是不可取的，除非提问者已经说明了存在这个关系式，（其实我们知道，最小二乘法的原理就是知道了函数关系式，才来进行系数的拟合的，求出系数来）而且通过楼下的拟合可以看出，有大多数点没有被通过，数据没有被充分利用（在这种只有数据的情况下，数据就是我们唯一知道的信息，所以我们要充分利用），误差较大，而且由于x,y之间的数量及较大，取对数后减小了这种差别，在还原后那么误差就会进一步放大；因此在不知道x,y 之间的确切的函数关系式那么，用三次插值是比较好的，应为这有效利用了数据信息，并且图像时光滑的，这个满足数据所反应的信息，以及其变化趋势，正应为这样才能求出比较精确的曲率值 关于楼下所说的计算所取得最大曲率值和我的值不一样，我不知道楼主是怎么算的，我先说下我是怎么算的，根据分段插值得到多个分段的三次函数，然后用这些函数计算在相关段内等间距的离散点的一二次导数数值，这样可以得到以个关于曲率k的数组，找出这组数中的最大最小值，一二次导数是MATLAB计算出来的，所以不可能会错，最大值最小值当然也不会错。关于到底是使用什么方法来做拟合或是插值，我想我在上面已经说得够清楚了，因此不在此赘述！作者说最大最小曲率值在图上貌似不再那点，我想说，由于想x，y的值相差太大，y的坐标刻度经过了缩放，x,y的坐标刻度不再是等距的了，因此图上一般是看不出来的！ 还有我想楼下提醒下，就题论题，你不要扯得太远了，如果是那样的话这道题就知道一组数据没有任何其他条件，要你求曲率，按你的说法，什么精度，什么点可能存在的误差.....，这里没有那么多条件，是不是你就不能做啦，我想说当然不是,好了。

配眼镜的时候要用到曲率半径。曲率半径：曲率半径的倒数是曲率，曲率是描述一个物体弯曲程度的数量，我们可以通过曲率了解一个物体的弯曲程度。

曲率圆方程的表达式：(x-α)^2+(x-β)^2=R^2。其中R是曲线y=f(x)在P(x0,y0)点处的曲率半径，圆心(α,β)称为曲线y=f(x)在P(x0,y0)点处的曲率中心，且α=x0-f"(x0){1+[f"(x0)]^2}/f""(x0),β=y0+{1+[f"(x0)]^2}/f""(x0)。使以O为圆心，R为半径作圆，这个圆叫做曲线在点处的曲率。数学：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

意思是该舰船可以建造的数量上限。根据无尽的拉格朗日游戏官方资料，服役限制表示该舰船可以建造的数量上限，曲率速度代表曲率航行时的移动速度，曲率航行时移动速度为常规航行的5倍。无尽的拉格朗日是一款以太空宇宙为题材的SLG手游，在这款游戏中我们将拥有扮演一名航空员。

有人说宇宙膨胀，有人说曲率引擎，其实这两个都还无法证实，或者制造出来！真正超光速现象是NASA观测到的一次天体大爆炸，它的冲击波扩散速度达到了光速的几倍（2-3倍），之后还公布了最大一次的观测结果是光速的8倍，这里面可能存在距离上的误差，但是误差率不会达到8倍这样恐惧，所以这个可作为一个真实的超光速现象！有速度超过了30万公里每秒！

-9，因为光波长都是纳米级别的，都是-9。

所有的干涉条纹都不可能只是一条细线，而是一个具有一定几何尺寸的条纹，因为振幅只有在某点完全抵消，在这附近虽然振幅叠加不为零，但是绝对强度还很小，用眼睛看还是可以认为是暗纹。平常经过计算得到的暗纹位置实际就是暗纹的几何中心的位置，暗纹宽度当然也是可以计算的。

相对论运用时空事件的四维世界把最小作用量原理解释为能够从可能的世界线中挑选出实际的世界线的原理。在这种情况下相对论并没有给最小作用原理添加进新的物理内容。这种物理内容可以为量子物理所引入。只有作出某种把相对论和微观世界联系在一起的解释的情况下，根据更为一般的设想，相对论或许有“推出”最小作用原理的可能。在建立广义相对论时爱因斯坦用过最小作用原理。此时作用量的概念得到某些新的解释。如所周知，在决定空间和时间的曲率时借助于四个恒等式，并且力求排除表征空间时间特性但不表征曲率的多余的参量。这些恒等式按其物理意义而言表示不同坐标系中空间和时间曲率的同一性，曲率张量取决于能量冲量张量。在研究此问题时，爱因斯坦指出，上述四个恒等式有物理意义，也就是具有守恒定律的意义，并且表示了空间时间的特性。然而，现在当我们谈能量冲量张量时，空间的首要特性，即其均匀性对应于冲量分量守恒；而时间的均匀性对应于能量守恒。这样，守恒定律就对应于曲率张量之间恒等的数量关系，作为与这种或那种坐标表示无关的物理特性的曲率对应于作用量。爱丁顿提出在广义相对论中对作用量这一概念意义的极为精细、深刻的说法。他指出：对时空连续统而言，作用量扮演着类似于能量在空间关系上所扮演的角色。在四维世界里，作用量是曲率的量度，即决定质点运动的四维连续统的基本特性的量度。我们顺便指出：在叙述魏尔的统一场论时爱丁顿曾顺带提到对作用量的一种很有益的解释。爱丁顿说，可能作用量就是概率的函数，然而当把一些概率连乘，则作用量就相加，从而作用量可以认为是概率的对数。由于概率的对数是负数，所以作用量就要看成是概率的对数再加上负号，此时最小作用原理则表示实际实现的运动的最大概率。在现代量子力学中最小作用量原理起着重要作用。不但如此，对于作用量概念的思考也激起对现存理论进行总结的尝试。表征微观世界之基本量，即作用量子和引入到宏观力学的基本数量关系中的量，即由能量按时间积分，这两个量的量纲一致，促使近代理论家在一系列设想上尽管没有引出什么具体的物理理论，但是却引出一些看来是很有前途的物理理论。

中国，肯定是中国人的

算得上是天才，因为他年纪轻轻就已经是教授了，让很多的人都非常的羡慕。

法国天文学家、数学家拉普拉斯，被称作法国的牛顿。他运用牛顿的数学及物理学模型，将研究领域拓展到整个宇宙，是天体力学的奠基人。在数学、物理方面都颇有所长。他在科学领域的成就举世瞩目，在私德上却总是为历史学家诟病。他对贵族头衔十分贪婪，竭力隐瞒自己的低微出身，努力试图跻身贵族；在政治上善于见风使舵，在法国大革命的风雨飘摇中，他历经数任政府依然屹立不倒，甚至每次政府垮台他都能得到一个更高的位置；他也偶尔抄袭“借鉴”同行的研究成果，希望后人以为是他一个人独创了天体运行的数学理论。1785年，是拉普拉斯的命运转折之年。正是在这一年里，他成为了拿破仑的老师，在当年的军事学校考试里，他作为拿破仑的主考官，通过了后者的入校考试。

仿射变换是种基本的图像变换。研究表明，在特殊情况下，非线性的透射变换退变为线性的仿射变换；在多数情况下，透射变换可以用仿射变换很好地近似，这为透射变换的目标识别指出了一条新的途径。一组新的由低阶中心矩构成的仿射不变量验证了推导的正确性

仿射变换是指保持原有物体内部平行关系的变换，包括平移、旋转、缩放、剪切等变换。仿射变换可以用矩阵来表示，其基本定理如下：                                    对于平面上的点集S，经过仿射变换后得到的点集S"，可以表示为S" = AS + b，其中A为2×2的矩阵，b为2维向量。其中，矩阵A可以表示为线性变换和平移变换的复合。设P和P"为平面上的两个点，且它们之间的向量为v，则A可以表示为一个线性变换和一个平移变换的复合，即A = TRv，其中T为线性变换矩阵，Rv为沿向量v旋转的矩阵。矩阵A的行列式不等于0，则仿射变换保持面积比例不变。这也是仿射变换在计算机视觉中的重要应用之一。仿射变换还有许多其他的性质和应用，如特征点匹配、图像对齐等。在计算机图形学、计算机视觉、机器学习等领域中都有广泛的应用。                                    

在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量b给出，它可以写作A和一个附加的列b。一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到矩阵的底下，这一行全部是0除了最右边是一个1，而列向量的底下要加上一个1。AffineTransform类描述了一种二维仿射变换的功能，它是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直性”（译注： straightness，即变换后直线还是直线不会打弯，圆弧还是圆弧）和“平行性”（译注：parallelness，其实是指保持二维图形间的相对位置关系不变，平行线还是平行线，而直线上点的位置顺序不变，另特别注意向量间夹角可能会发生变化。）仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括：平移（Translation）、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和错切（Shear）。此类变换可以用一个3×3的矩阵来表示，其最后一行为(0, 0, 1)。该变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x", y")，这里原坐标和新坐标皆视为最末一行为(1)的三维列向量，原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量：

title: 仿射变换 date: 2020/03/23 周一 11:58:40.00 tags: affine transformation categories: GIS Algorithm author:Tamkery (1-1)式 输入至少4个点在两个不同坐标下的坐标，计算6个变换参数（A~F）。 比如一个点P在 坐标框架下的位置信息为 (x,y);在另一个 坐标框架下的位置信息为 (X,Y)。 那么同一个点在两个不同坐标框架下就可得两套位置信息的坐标： (x,y)和 (X,Y)。 图出自《GPS卫星导航基础：让-马利-佐格》 利用仿射变换公式： 可将点 (x,y)转换到 (X,Y)。 那么关于六参数矩阵的算法 1-1式 如何推导呢？ 输入至少4个点在两个不同坐标下的坐标，计算6个变换参数（A~F）。 在这个条件下，n的最小值为4，那么就以4个控制点为基础开始公式的构建： 当n=4，即输入为4个控制点时候，有16个数据项。 把点数从4个推广到很多个，n个方程相加可得 1-2式 。 注意： 在1-2式中【x,y,X,Y】是点的坐标位置，也就是已经数据。公式中的未知变量其实是A到F六个字母。 六个未知数，两个方程，这种情况是求不出未知数的。所以至少再需要4个方程。 同理，又可得： （这个不想敲Latex了） 于是得到： 1.《地理信息系统导论》【美】kang-tsung Chang 第八版 2.《GPS卫星导航基础》【瑞士】让-马利-佐格

仿射变换是仿射平面（或空间）到自身的一类变换，最重要的性质是保持点的共线性（或共面性）以及保持直线的平行性。

在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量b给出，它可以写作A和一个附加的列b。一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到矩阵的底下，这一行全部是0除了最右边是一个1，而列向量的底下要加上一个1。

我们考虑二维平面的仿射变换；缩放，旋转，平移变换；假设两个点P1(x1,y1),p2(x2,y2) 经过仿射变换后变为 P1"(x1",y1"),P2"(x2",y2") 如果两张图之间只有仿射变换，那么在通过特征点匹配算法得到两张图之间的匹配关系后；我们如何进行仿射变换参数的估量？ 一种通用方法是将变换整体考虑，例如计算单应矩阵，然后根据单应矩阵推算仿射变换参数 但是在一些场景下，例如我们需要一些快速算法，或者一些可解释性的场景，我们可以利用仿射变换的性质分别进行缩放/旋转/平移参数的估算 缩放和旋转参数需要首先进行估算；其一，缩放参数不受旋转和平移参数的影响，其次，缩放参数会影响旋转和平移参数的估算； 旋转参数的估算类似缩放参数的估算，旋转参数的估算可以在缩放参数估算前或者之后； 基本思路类似类似缩放参数，以一个匹配点作为参考点，计算其他匹配点的向量旋转角度 参考资料： 为什么坐标变换的顺序必须是： 缩放->旋转->平移

①橡皮页变换用于纠正几何变形②仿射变换和相似变换都属于空间校正变换，用于坐标系内移动、平移数据或者转换单位仿射变换主要包括平移变换、旋转变换、尺度变换、倾斜变换（也叫错切变换、剪切变换、偏移变换）、翻转变换，一共有六个自由度（平移包括x方向平移和y方向平移，算两个自由度）。各变换的矩阵的形式：仿射变换主要包括平移变换、旋转变换、尺度变换、倾斜变换（也叫错切变换、剪切变换、偏移变换）、翻转变换，一共有六个自由度（平移包括x方向平移和y方向平移，算两个自由度）。各变换的矩阵的形式：      1> 平移变换请点击输入图片描述      2> 旋转变换     3> 尺度变换     4> 错切变换仿射变换保持二维图形的平直性和平行性，但是角度会改变，仿射变换的6个自由度中旋转占4个，另外两个是平移。它能保持平行性，但是不能保持垂直性（因为存在倾斜变换）。      1> 平直性：变换后直线还是直线、圆弧依旧是圆弧；      2> 平行性：平行线依旧平行，直线上点的位置顺序不变。相似变换相当于等距变换和均匀缩放的一个复合，即为：左上角2*2矩阵为旋转部分，右上角为平移因子。它有四个自由度，即旋转、x方向平移、y方向平移和缩放因子s。相似变换后长度比、夹角保持不变，其与相似三角形类似。因为相似变换中不存在倾斜变换（也叫错切变换、剪切变换、偏移变换）、翻转变换，而仿射变换中存在。虽然相似变换和仿射变换的变换矩阵一样，但是其定义不一样。

总结Wikipedia文档 https://www.cnblogs.com/ghj1976/p/5199086.html 仿射变换 1. 定义 2. 组成core：function that preserves points,straight lines and planes. 特性： (1)preserves parallel after an affine transformation. (2)not preserves distances between points and angles between lines, but preserves the ratios of distances between points lying on a straight lines. 常见的仿射变换有 translation 平移 scaling 尺度变换 homothety similarity transformation reflection rotation shear mapping compositions of all above wikipedia中针对上述仿射变化的介绍从形象的介绍（带图片），表达式，矩阵表示，齐次线性坐标系下的矩阵表示 定义： 核心词汇：same distance. In  Euclidean geometry , a translation is a  geometric transformation  that moves every point of a figure or a space by the same distance in a given direction. 数学表示： A translation can also be interpreted as the addition of a constant  vector  to every point, or as shifting the  origin  of the  coordinate system . 矩阵表示： 欧式空间中无法表示这种向量相加的变换（A translation is an  affine transformation  with  no   fixed points . Matrix multiplications  always  have the  origin  as a fixed point. ），因此采用齐次线性坐标系中的矩阵来表示。 Write the 3-dimensional vector  w  = ( w x ,  w y ,  w z ) using 4 homogeneous coordinates as  w  = ( w x ,  w y ,  w z , 1) 2.1 定义 uniform scaling(isotropic scaling) non-uniform scaling(anisotropic scaling) 变形，伸缩 尺度变换的方向和尺度变换的大小 2. 矩阵表示 unifom scalingIing 对角阵，变换尺度为v，则矩阵为vI。I为单位阵。 non-uniform scaling 对称矩阵，eigenvectors and eigenvalues！特征值为变换尺度，特征向量为尺度变换的方向。 作为属于不同本征空间的两个或更多个非零向量的组合的向量将朝向具有最大特征值的本征空间倾斜。 3. 齐次线性坐标系矩阵表示定义： 更确切地说，可以通过均匀缩放（放大或缩小），可能通过额外的平移，旋转和反射从另一个获得。 Two  geometrical  objects are called  similar  if they both have the same  shape , or one has the same shape as the mirror image of the other.  This means that either object can be rescaled, repositioned, and reflected, so as to coincide precisely with the other object. If two objects are similar, each is  congruent  to the result of a particular uniform scaling of the other. A modern and novel perspective of similarity is to consider geometrical objects similar if one appears congruent to the other when zoomed in or out at some level. 定义： hyperplane In  mathematics , a  reflection  (also spelled  reflexion ) [1]  is a  mapping  from a  Euclidean space  to itself that is an  isometry  with a   hyperplane   as a set of  fixed points ; this set is called the  axis  (in dimension 2) or  plane  (in dimension 3) of reflection. The image of a figure by a reflection is its  mirror image  in the axis or plane of reflection. For example the mirror image of the small Latin letter  p  for a reflection with respect to a vertical axis would look like  q . Its image by reflection in a horizontal axis would look like  b . A reflection is an  involution : when applied twice in succession, every point returns to its original location, and every geometrical object is restored to its original state. 6. rotation 旋转变换 Rotation  in  mathematics  is a concept originating in  geometry . Any rotation is a  motion  of a certain  space  that preserves at least one  point . It can describe, for example, the motion of a  rigid body  around a fixed point. A rotation is different from other types of motions:  translations , which have no fixed points, and  (hyperplane) reflections , each of them having an entire ( n − 1)-dimensional  flat  of fixed points in a n- dimensional  space. A clockwise rotation is a negative magnitude so a counterclockwise turn has a positive magnitude. Mathematically, a rotation is a  map . All rotations about a fixed point form a  group  under  composition  called the  rotation group  (of a particular space). But in  mechanics  and, more generally, in  physics , this concept is frequently understood as a  coordinate transformation  (importantly, a transformation of an  orthonormal basis ), because for any motion of a body there is an inverse transformation which if applied to the  frame of reference  results in the body being at the same coordinates. For example, in two dimensions rotating a body  clockwise  about a point keeping the axes fixed is equivalent to rotating the axes counterclockwise about the same point while the body is kept fixed. These two types of rotation are called  active and passive transformations . 正交矩阵！ 7. shear mapping 剪切映射 在平面几何中，剪切映射是一个线性映射，它将固定方向上的每个点移位一个与其与该方向平行并穿过原点的线的符号距离成比例的量。[1] 这种类型的映射也称为剪切变换，横向变换或仅剪切。

posted @ 2019-05-30 17:37  shine-lee 阅读(7203)  评论(7)  编辑   收藏 分类:  传统计算机视觉 目录 写在前面 仿射变换：平移、旋转、放缩、剪切、反射 变换矩阵形式 变换矩阵的理解与记忆 变换矩阵的参数估计 参考 博客： blog.shinelee.me  |  博客园  |  CSDN 写在前面 2D图像常见的坐标变换如下图所示：这篇文章不包含 透视变换 （projective/perspective transformation），而将重点放在 仿射变换 （affine transformation），将介绍仿射变换所包含的各种变换，以及变换矩阵该如何理解记忆。 仿射变换：平移、旋转、放缩、剪切、反射 仿射变换包括如下所有变换，以及这些变换任意次序次数的组合 ：平移 （translation）和 旋转 （rotation）顾名思义，两者的组合称之为 欧式变换 （Euclidean transformation）或 刚体变换 （rigid transformation）； 放缩 （scaling）可进一步分为 uniform scaling 和 non-uniform scaling ，前者每个坐标轴放缩系数相同（各向同性），后者不同；如果放缩系数为负，则会叠加上 反射 （reflection）——reflection可以看成是特殊的scaling； 刚体变换+uniform scaling 称之为， 相似变换 （similarity transformation），即平移+旋转+各向同性的放缩； 剪切变换 （shear mapping）将所有点沿某一指定方向成比例地平移，语言描述不如上面图示直观。 各种变换间的关系如下面的venn图所示：通过变换矩阵可以更清晰地看出这些变换间的关系和区别。 变换矩阵形式 没有平移或者平移量为0的所有仿射变换可以用如下变换矩阵描述： [x′y′]=[acbd][xy][x′y′]=[abcd][xy] 不同变换对应的a,b,c,da,b,c,d约束不同，排除了平移变换的所有仿射变换为 线性变换 （linear transformation），其涵盖的变换如上面的venn图所示，其特点是 原点位置不变 ， 多次线性变换的结果仍是线性变换 。 为了涵盖平移，引入 齐次坐标 ，在原有2维坐标的基础上，增广1个维度，如下所示： ⎡⎣⎢x′y′1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢ad0be0cf1⎤⎦⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥[x′y′1]=[abcdef001][xy1] 所以，仿射变换的变换矩阵统一用 ⎡⎣⎢ad0be0cf1⎤⎦⎥[abcdef001]来描述，不同基础变换的a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f约束不同，如下所示：此外，旋转和平移相乘得到刚体变换的变换矩阵，如下，有3个自由度（θ,tx,tyθ,tx,ty），这里旋转方向为逆时针方向，因此与上图中的正负号不同， ⎡⎣⎢cos(θ)sin(θ)0−sin(θ)cos(θ)0txty1⎤⎦⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢x′y′1⎤⎦⎥[cos⁡(θ)−sin⁡(θ)txsin⁡(θ)cos⁡(θ)ty001][xy1]=[x′y′1] 再乘上uniform scaling得到相似变换，有4个自由度（s,θ,tx,tys,θ,tx,ty），如下： ⎡⎣⎢scos(θ)ssin(θ)0−ssin(θ)scos(θ)0txty1⎤⎦⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢x′y′1⎤⎦⎥[scos⁡(θ)−ssin⁡(θ)txssin⁡(θ)scos⁡(θ)ty001][xy1]=[x′y′1] 自然，仿射变换的变换矩阵有6个自由度（a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f）。 变换矩阵的理解与记忆坐标系 由 坐标原点 和 基向量 决定， 坐标原点 和 基向量 确定了，坐标系也就确定了。 对于坐标系中的位置(x,y)(x,y)，其相对坐标原点在[1,0][1,0]方向上的投影为xx，在[0,1][0,1]方向上的投影为yy——这里投影的意思是过(x,y)(x,y)做坐标轴的平行线与坐标轴的交点到原点的距离，即(x,y)(x,y)实际为： [xy]=x[10]+y[01]=[1001][xy][xy]=x[10]+y[01]=[1001][xy] 当坐标系变化，坐标系中的点也跟着变化 ，但 点相对新坐标系 （x′−y′x′−y′坐标系） 的位置不变 仍为(x,y)(x,y)，以旋转变换为例，新坐标轴的基向量则变为[cos(θ),sin(θ)][cos⁡(θ),sin⁡(θ)]和[−sin(θ),cos(θ)][−sin⁡(θ),cos⁡(θ)]，所以点变化到新位置为： [x′y′]=x[cos(θ)sin(θ)]+y[−sin(θ)cos(θ)]=[cos(θ)sin(θ)−sin(θ)cos(θ)][xy][x′y′]=x[cos⁡(θ)sin⁡(θ)]+y[−sin⁡(θ)cos⁡(θ)]=[cos⁡(θ)−sin⁡(θ)sin⁡(θ)cos⁡(θ)][xy] 新位置和新基向量是相对绝对坐标系(x−yx−y坐标系）而言的。其他变换矩阵同理。 总结一下： 所有变换矩阵只需关注一点： 坐标系的变化 ，即 基向量和原点的变化 ； 坐标系变化到哪里，坐标系中的所有点也跟着做同样的变化 ； 坐标系的变换分为  基向量的变化  以及  坐标原点的变化 ，在仿射变换矩阵 ⎡⎣⎢ad0be0cf1⎤⎦⎥[abcdef001]中， [ad][ad]和[be][be]为新的基向量，[cf][cf]为新的坐标原点，先变化基向量，再变化坐标原点； 这时再对照上面的各种变换矩阵，就很好理解了。变换矩阵的参数估计 如果给定两个对应点集，如何估计指定变换矩阵的参数？ 一对对应点可以列两个线性方程，多个对应点可以列出线性方程组，为了求解参数，需要的对应点数至少为自由度的一半，多个点时构成超定方程组，可以基于最小二乘或者SVD分解等方法进行求解，这里不再展开。 参考 Image Alignment and Stitching: A Tutorial wiki: Affine transformation Geometric Transformation Coordinates and Transformations Transformations Geometric Transformations Image Geometry 原文链接： https://www.cnblogs.com/shine-lee/p/10950963.html

更多图片(10张)在几何上定义为两个向量空间之间的一个仿射变换或者仿射映射（来自拉丁语，affine，“和。..相关”）由一个线性变换接上一个平移组成。

旋转 (线性变换)，平移(向量加)．缩放(线性变换)，错切，反转 仿射变换是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，它保持了二维图形的“平直性”（直线经过变换之后依然是直线）和“平行性”（二维图形之间的相对位置关系保持不变，平行线依然是平行线，且直线上点的位置顺序不变）。任意的仿射变换都能表示为乘以一个矩阵(线性变换)，再加上一个向量 (平移) 的形式． 以上公式将点(x,y)映射到(x",y")，在OpenCV中通过指定一个2x3矩阵实现此功能（公式中的m矩阵，是线性变换和平移的组合，m11,m12,m21,m22为线性变化参数，m13,m23为平移参数，其最后一行固定为0,0,1，因此，将3x3矩阵简化为2x3） a) 以原点为中心旋转，2x3矩阵为： [ cos(theta), -sin(theta), 0 ], [ sin(theta), cos(theta), 0 ] 则 x" = x * cos(theta) - sin(theta) * y y" = x * sin(theta) + cos(theta) * y b) 平移，2x3矩阵为 [1,0,tx], [0,1,ty] 则 x" = x * 1 + y * 0 + tx = x + tx y" = x * 0 + y * 1 + ty = y + ty 在OpenCV中，仿射变换通过函数cvWrapAffine(src,dst,mat)实现，其中mat是2x3的仿射矩阵，该矩阵可以利用函数cvGetAffineTransform(srcTri,dstTri,mat)得到，其中mat是被该函数填充的仿射矩阵，srcTri和dstTri分别是由三个顶点定义的平行四边形（由于是平行四边形，只需要指定三个顶点即可确定），即：给出变换前的ABCD和变换后的A"B"C"D" 将2D矩阵图像变换成3D的空间显示效果，全景拼接． 透视变换是将图片投影到一个新的视平面，也称作投影映射．它是二维（x,y）到三维(X,Y,Z)，再到另一个二维(x",y")空间的映射．相对于仿射变换，它提供了更大的灵活性，将一个四边形区域映射到另一个四边形区域（不一定是平行四边形）．它不止是线性变换．但也是通过矩阵乘法实现的，使用的是一个3x3的矩阵，矩阵的前两行与仿射矩阵相同(m11,m12,m13,m21,m22,m23)，也实现了线性变换和平移，第三行用于实现透视变换． 以上公式设变换之前的点是z值为1的点，它三维平面上的值是x,y,1，在二维平面上的投影是x,y，通过矩阵变换成三维中的点X,Y,Z，再通过除以三维中Z轴的值，转换成二维中的点x",y".从以上公式可知，仿射变换是透视变换的一种特殊情况．它把二维转到三维，变换后，再转映射回之前的二维空间（而不是另一个二维空间）． 在OpenCV中，透视变换通过函数cvWrapPerspective(src,dst,mat)实现, 与仿射变换不同的是，透视矩阵是一个3x3的矩阵，在计算矩阵时，可利用函数cvGetPerspectiveTransform(srcQuad,dstQuad,mat)，由于不再是平行四边形，需要提供四边形的四个顶点 仿射变换后平行四边形的各边仍操持平行，透视变换结果允许是梯形等四边形，所以仿射变换是透视变换的子集

这是对 MIT Foundation of 3D Computer Graphics 第3章的翻译，本章讲解了仿射变换的基本概念，变换矩阵的由来以及分解、通用法线变换的推导等内容。本书内容仍在不断的学习中，因此本文内容会不断的改进。若有任何建议，请不吝赐教 ninetymiles@icloud.com 已经完成的章节 将点和矢量看作是两种不同的概念是有用的。点表示在几何世界中的某种固定位置，而矢量表示世界中两个点之间的运动。我们会使用两种不同的标记区分点和矢量。矢量 会有一个箭头在顶部，而点 会有波浪线在顶部。 如果我们认为矢量表达两点之间的运动，那么矢量操作（加法和标量乘法）就有明确的意义。如果我们把两个矢量加起来，我们在表达两个运动的串接（concatenation）。如果我们用一个标量乘以矢量，我们就在通过某个因子增加或减少运动。零矢量（zero vector）为一个特别矢量，其代表没有运动。 这些操作对于点不会真正产生任何意义。把两个点加起来应该表示什么含义，比如说，哈佛广场加上剑桥肯德尔广场（这里是两个地点名称）是什么？一个点被一个标量相乘又指得什么？什么是北极点的7倍？是否存在一个零点（zero point）和其它点的行为不一样？ 存在一种在两个点之间确实有意义的操作：减法。当我们从另一个点减去一个点，我们应该会得到从第二个点到第一个点路径之间的运动， 反过来说，如果我们从一个点开始，然后移动一个矢量（位移），我们应该会到达另一个点。 对一个点应用线性变换同样有意义。例如我们可以想象一个点围绕某个固定原点的旋转。而且平移点也是有意义的（但是这个概念对于矢量没有任何意义）。要表达平移，我们需要开发仿射变换（或并行变换 affine transformation）的概念。要完成这个任务，我们借助 矩阵。这些矩阵不仅对于处理本章的仿射（并行）变换很方便，而且对于描述（随后在第十章会看到的）相机投射变换也是很有帮助。 在仿射空间（affine space）中，我们描述任何点 首先从某个原点 开始，然后给其加上一个矢量的线性组合。这些矢量使用坐标 和一个矢量基（basis of vectors）来表示。 此处 被定义为 。 而下面这行表达 被称为一个仿射帧（affine space）；它就像一个基（basis），但是由3个矢量和一个点组成。 为了借助一个帧指定一个点，我们使用拥有4个条目（entries）的4部件坐标矢量（coordinate 4-vector），其中最后一个条目总为1。要借助一个帧表达一个矢量，我们使用一个让0作为第4坐标的坐标矢量（也就是说，它只是基矢量之和）。当我们建模针孔相机的行为时，要表达几何形状（还有 矩阵），4部件坐标矢量的使用都会很便利。 相似于线性变换的情形，我们想要通过在一个4部件坐标矢量和一个帧之间放置一个合适的矩阵的形式，来定义出仿射变换的概念。 让我们将仿射矩阵定义为一个如下形式的 矩阵 然后我们对一个点 应用仿射变换如下 或者简写为 我们可以验证上面表达的第二行描述了一个有效的点，因为乘法 给出了我们一个带有1作为第4条目的4部件坐标矢量。另一方面，我们也能够看到乘法 此处 被定义为 ，给出了一个由3个矢量和一个原点组成的有效帧。 同时也要注意到，如果矩阵的最后一行不是 这种形式，变换就通常给出一个无效的结果。 类似于线性变换的情形，我们可以针对一个帧应用仿射变换（affine transformation）为 或者简写为 假如我们有一个表达线性变换的 矩阵。我们可以将其嵌入 矩阵的左上方角落，并且借助这个更大的矩阵对一个点（或者帧）应用变换。 这个变换在 上拥有相同效果，就如之前其所参与的线性变换。如果我们把点 当作从原点 偏移矢量 ，我们就明白这个变换和应用线性变换到偏移矢量上具有相同效果。因而，以例子来说，如果 矩阵为旋转矩阵，这个变换将围绕原点旋转这个点（参考图示 ）。正如下面我们将在第4章中看到的，当对一个点应用一个线性变换，帧的原点位置扮演了一个重要的角色。 我们借助下列缩写用于描述一个 矩阵，其只是应用了一个线性变换。 此处 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，右上角的0代表 由0组成的矩阵，右下角的1是一个标量(scalar)。 可以对点应用平移变换是很有用的。这种变换不是线性的（参考课后练习6)。仿射变换的主要新威力就是在线性变换之上表达平移的能力。实际上，如果我们应用变换 我们看到变换在坐标上的效果为 针对平移，我们使用简写 此处 为 一个 矩阵， 为一个 同一矩阵（identity matrix），右上角的 为一个表达平移的 矩阵，左下角的0表示一个由0组成的 矩阵，右下角的1为一个变量。 注意如果 在第4坐标中为0，如此就表达了一个矢量而不是一个点，从而不会被平移所影响。 任何仿射矩阵（affine matrix）都可以被分解为线性部分和平移部分。 或者简写为 注意因为矩阵乘法不是可互换顺序的，乘法 中的顺序很关键。一个仿射矩阵（affine matrix）也可以借助一个不同的平移矩阵 被分解为 （线性部分是不会发生变化的），但是我们不会使用这种形式。 如果 ， 的线性部分，是一个旋转，我们把这种形式记作 在这种情形中，我们称 矩阵为刚体矩阵(rigid body matrix)，它所对应的变化，刚体变换（rigid body transform），简称 。刚体变换保留了矢量之间的点积（dot product），基的手（螺旋）性（handedness），还有点之间的距离。 在计算机图形学中，我们经常借助表面法线确定一个表面点如何被着色。所以当表面点经历由矩阵 表示的仿射变换时，我们需要懂得表面法线是如何变换的。 你可能猜测我们只要用矩阵 乘以法线的坐标就可以了。例如，如果我们旋转几何形状，法线会以完全相同的方式旋转。但是事实上使用矩阵 不总是正确的。例如在图示 中，我们顺着 轴挤压一个球体。在这种情形中，实际的法线变换会顺着 轴拉伸而不是挤压。在这里我们要推导出可以应用在所有情形中的正确变换。 让我们定义位于点上平滑表面的法线为一个矢量，这个矢量正交于那个点表面的切线平面。切线平面是矢量平面，这个矢量平面通过临近的（距离无限小地）表面点之间的减法来定义，所以，针对法线 和两个非常接近的点 和 ，我们有如下表达。 在某种固定的正交标准化坐标系中，这可以被表达为 在这个公式中我们在前面的插槽中使用 是因为它被0乘，从而和结果不相关。 假设存在一个由仿射矩阵 表示的仿射变换，我们把这个变换应用到所有的点上。什么矢量会和任意的切线矢量保持正交状态？让我们重写方程式(3.4)为 如果我们定义 为被变换点的坐标，同时让 ，那么我们就得到如下表达 并且我们看到 是被变换的几何体法线的坐标（要依靠伸缩变换来获得标准态）。 注意因为我们不关注 值，因而我们不需要关注 的第四列。同时，因为A是一个仿射矩阵（affine matrix），所以 也是，进而剩下三列的第四行全部是0，从而可以安全地被忽略。因而，参考简写方式 我们可以得到这种关系 此时调换整个表达式，我们就获得最终表达式 此处 是 矩阵的反转加调换（等价于调换加反转）。注意如果 为一个旋转矩阵，且这个矩阵是正交标准化的，那么它的反转加调换事实上仍然是 。在这种情形中法线的坐标表现的就像点的坐标一样。然而对于其它线性变换，法线的表现就不相同了。（参考图示 。）同时也要注意到A的平移部分对法线没有影响。

仿射几何增加了无穷远点和无穷远直线，因此和欧式几何本质上不同。仿射直线是封闭的，欧式直线是两端无限延伸的。仿射直线的点偶关系和欧式直线不同，仿射直线的点偶没有顺序的概念，只能谈分离不分离。仿射平面也是封闭的，而欧式平面是各方向无限伸展的。仿射平面有不可定向性。从模型上看，仿射直线和圆周同构，仿射平面和实心圆盘拓扑等价，欧式平面和去掉圆周的圆盘内部拓扑等价。还有，仿射几何里，仿射直线和添加了无穷远点的所谓拓广点地位是对等的，体现了对偶原理，而欧式几何两者不对等。

在仿射变换下 菱形性质不变的有：1、点之间的共线性，例如通过同一线之点（即称为共线点）在变换后仍呈共线。对应菱形是轴对称图形，它有两条对称轴。2、向量沿着一线的比例，例如对相异共线三点与的比例同于及。对应菱形的四条边相等。3、平面上任意两条直线，经仿射变换后，仍然保持平行。对应菱形的邻边相等且平行。概念：仿射变换是在几何上定义为两个向量空间之间的一个仿射变换或者仿射映射由一个非奇异的线性变换（运用一次函数进行的变换）接上一个平移变换组成。在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量b给出，它可以写作A和一个附加的列b。

非对角元为0，对角元为1的张量

四阶反对称张量和三阶反对称张量之间有一定的联系。首先，我们来看一下它们的定义。四阶反对称张量是一个具有四个指标的张量，满足任意交换两个指标都会改变其符号。具体而言，设$T_{ijkl}$为四阶张量，则有$T_{ijkl}=-T_{jikl}=-T_{ijlk}=T_{jilk}=-T_{ikjl}=T_{kilj}$等。而三阶反对称张量是一个具有三个指标的张量，同样满足任意交换两个指标都会改变其符号。具体而言，设$A_{ijk}$为三阶张量，则有$A_{ijk}=-A_{jik}=-A_{ikj}=A_{kij}=A_{jki}=-A_{ikj}$等。我们可以发现，四阶反对称张量可以通过三阶反对称张量来构造。具体而言，可以定义一个新的四阶张量$T_{ijkl}=A_{ijk}delta_{l}^{m}+A_{ijl}delta_{k}^{m}-A_{ikl}delta_{j}^{m}-A_{jkl}delta_{i}^{m}$，其中$delta_{i}^{j}$为克罗内克δ符号。可以验证，这个新构造的四阶张量满足反对称性，即任意交换两个指标都会改变其符号。因此，四阶反对称张量和三阶反对称张量之间有一定的联系，可以通过一个特定的构造方式相互转化。

f(x)=1/xf"(x)=-1/x^2f"(x)=lim△x->0 [f(△x+x)-f(x)]/[(△x+x)-x]=lim△x->0 [1/(△x+x)-1/x]/△x=lim△x->0 [x-(△x+x)/x△x(△x+x)]=lim△x->0 -△x/x△x(△x+x)=-lim△x->0 1/x(△x+x)=-1/x^2K=f"(1)=-1/1^2=-1f(1)=1∴切线方程是y-1=-1(x-1)=-x+1y=-x+2

标量有大小，虽然标量也是张量，但是，除了标量，其他张量没有大小。要说明一下，矢量也是张量，可以定义大小或者长度或者模，但是矢量的模需要额外的定义，这个额外的定义就是需要定义度规张量（或者叫度量）。所以严格来说，在没有度规的情况下，矢量是没有办法比较大小的。

在弹塑性力学中，一般情况下，某一点处的应力状态可分为两部分，一部分是各向相等的压(或拉)应力σ，即球张量，另一部分记为Sij (ij为下脚标)，即为应力偏量。球张量仅引起体积变化，偏张量仅引起形状的改变。

张量：一个物理量如果必须用n阶方阵描述，且满足某几种特定的运算规则（也就是说，这方阵通过这几种运算后得到的结果是规则指出的），则这个方阵描述的物理量称为张量。

通俗的理解：标量: 对于每个时空坐标，用一个值就能刻画的物理量。比如高度。任意一个时空点，用一个数字就可以表示海拔高度。矢量：对于每个时空坐标，用三个值来刻画的物理量。比如速度。任意一个时空点，用三个分量来表示一个速度（即使有的分量为零，还是三个分量）。当然，你可以通俗的理解为，这里是带有方向和大小的一个箭头。张量：对于每个时空坐标，用一个矩阵来刻画物理量。比如电磁张量。任意一个时空点，用16个分量表示这里的电磁性质。当然，你可以通俗的理解为，这一点可以张开成一个小空间，由好几个带着方向和箭头的量撑着。更本质的理解呢，矢量和张量都是一种映射，矢量的作用是让流形上的曲线按照某种规则变成数轴上的一个点，张量是让矢量按照某种规则变成数轴上的一个点。也就是说，张量是一种映射的映射，可以把某种映射变换成一个点。当然，你可以想象，可以继续定义某种量，可以把张量映射为一个点，也就是高阶张量啦。

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二阶张量的元素单位是向量。对于空间内的一个点，给定一个位置，就有一个压强的值。然后开始做压强的梯度场。标量的梯度场是向量，也就是1阶张量。对于空间内的一个位置，就有一个向量的值。但是更有意义的是，对于空间内的一个位置，对于任意的一个单位向量，都可以求出在这个点的领域内，沿着这个单位向量方向压强的变化，也就是压强梯度点乘单位向量的值。例子张量可以表述为一个值的序列，用一个向量值的定义域和一个标量值的值域的函数表示。这些定义域中的向量是自然数的向量，而这些数字称为指标。例如，3阶张量可以有尺寸2、5和7。这里，指标的范围是从<1，1，1，>到<2，5，7>。张量可以在指标为<1，1，1>有一个值，在指标为<1，1，2>有另一个值，等等一共70个值。以上内容参考：百度百科-张量

1：（tensor)是几何与代数中的基本概念之一。 从代数角度讲， 它是向量的推广。我们知道， 向量可以看成一维的“表格”（即分量按照顺序排成一排）， 矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位置排列）， 那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。

符合变量。

这里你有一个很大的误解. 张量是一个数学概念, 限于篇幅这里不多解释. 只给一个直观的说明: 标量是零阶张量, 矢量是一阶张量, 而一个方阵是二阶张量. 对于一个二阶张量来说, 它所表示的物理意义和它本身无关, 不能说它表示椭球或者长方体什么的. 在连续介质力学中, 我们所考虑二阶张量之一就是它的内应力张量(一般用sigma表示), 内应力张量的定义可以参见任何一本弹性力学教材, 它表示在材料内部一点的应力状况, 由于应力状况很复杂, 标量和矢量都不足以表达, 所以要使用张量来表示. 另一个二阶张量就是应变张量, 它的导数为应变率张量. 应力应变关系称为本构关系或者物性参数, 体现了材料变形的能力(是流体, 固体, 弹性的, 塑性的等等)流体力学作为连续介质力学的特例, 对于牛顿流体而言, 应力张量是和应变率张量呈线性关系(参见任何一本用张量形式来写的流体力学教材). 流体的应力张量确实表示了该点流体的受力情况. 应变的张量(矩阵)可以分解为球应变和偏应变, 同样应力也有球应力和偏应力. 前者由挤压或拉伸产生, 改变体积. 后者由摩擦剪切引起, 不改变体积但改变形状(比如原先一个方形的物质块会变成菱形的). 对于流体而言压强是什么可以参见N-S方程(可压缩的和不可压缩的). 散度是张量可以进行的一种运算. 对张量进行散度运算会减少张量一阶. 参见张量分析教材. 水下爆炸问题很复杂, 首先流体在这种强动态问题下不能考虑为不可压缩. 第二, 二阶张量对角线的数字之和称为矩阵的第一不变量, 代表的物理意义并不是可以简单说清楚的. 如果你是力学专业的而且不是很工程的话, 建议好好学习一下: 线性代数, 微积分, 张量分析, 连续介质力学 四门循序渐进的课程. 不是的话, 除非真的有需要对流体的本质有一个深入的理解, 否则不要过于纠结这个问题.

刚体绕某一点转动的惯性可由更普遍的惯性张量描述。惯性张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。出于简单的角度考虑，这里仅给出绕质心的转动惯量张量的定义及其在力矩方程中的表达式。设有一个刚体A,其质心为C,刚体A绕其质心C的转动惯量张量 定义为 该积分遍及整个刚体A，其中， ，是刚体质心C到刚体上任一点B的矢径；表达式 是两个矢量的并乘；而 为单位张量，标架 是一个典型的单位正交曲线标架； 是刚体的密度。转动惯量张量的力矩方程设刚体A所受到的绕其质心C的合力矩矢量为 ，刚体A在惯性系下的角速度矢量为 ，角加速度矢量为 ，A绕其质心的转动惯量张量为 ，则有如下的力矩方程： 将上面的矢量形式的力矩方程向各个坐标轴投影（或者，更确切地说，与各个坐标轴的单位方向矢量相点乘），就可以获得各个坐标轴分量方向的标量形式的力矩方程。转动惯量张量 是一个二阶张量，虽然在标架 下它有九个分量，但是因为它是一个对称张量，故其实际独立的分量只有六个。

张力儿子张量结婚了。根据中国名人网资料，2017年5月，张量与龙茜在悉尼结了婚，她比张量小12岁，两人算是门当户对，龙茜的爸爸是一位贵州知名地产商，与张力有业务往来。

几何代数中定义的张量是基于向量和矩阵的推广，通俗一点理解的话，我们可以将标量视为零阶张量，矢量视为一阶张量，那么矩阵就是二阶张量。 设 A 为m*p的矩阵， B 为p*n 的矩阵，那么称m*n的矩阵C为矩阵A与B的乘积，  记作 C = AB  其中矩阵C中的第 行第 列元素可以表示为：  m*n矩阵 A 与m*n矩阵 B 的Hadamard积记为A*B. 其元素定义为两个矩阵对应元素的乘积:  Kronecker积是两个任意大小的矩阵间的运算，又称为直积或张量积 CNN： 是一类包含 卷积 计算且具有深度结构的 前馈神经网络 （Feedforward Neural Networks），是 深度学习 （deep learning）的代表算法之一。 图中是一个图形识别的CNN模型。可以看出最左边的船的图像就是我们的输入层，计算机理解为输入若干个矩阵，这点和DNN基本相同。 接着是卷积层（Convolution Layer）,这个是CNN特有的，我们后面专门来讲。卷积层的激活函数使用的是ReLU。我们在DNN中介绍过ReLU的激活函数，它其实很简单，就是ReLU(x)=max(0,x)ReLU(x)=max(0,x)。在卷积层后面是池化层(Pooling layer)，这个也是CNN特有的，我们后面也会专门来讲。需要注意的是，池化层没有激活函数。 　　卷积层+池化层的组合可以在隐藏层出现很多次，上图中出现两次。而实际上这个次数是根据模型的需要而来的。当然我们也可以灵活使用使用卷积层+卷积层，或者卷积层+卷积层+池化层的组合，这些在构建模型的时候没有限制。但是最常见的CNN都是若干卷积层+池化层的组合，如上图中的CNN结构。 　　在若干卷积层+池化层后面是全连接层（Fully Connected Layer, 简称FC），全连接层其实就是我们前面讲的DNN结构，只是输出层使用了Softmax激活函数来做图像识别的分类，这点我们在DNN中也有讲述。 　　从上面CNN的模型描述可以看出，CNN相对于DNN，比较特殊的是卷积层和池化层，如果我们熟悉DNN，只要把卷积层和池化层的原理搞清楚了，那么搞清楚CNN就容易很多了。 首先，我们去学习卷积层的模型原理，在学习卷积层的模型原理前，我们需要了解什么是卷积，以及CNN中的卷积是什么样子的。 大家学习数学时都有学过卷积的知识，微积分中卷积的表达式为：  S(t)=∫x(t−a)w(a)daS(t)=∫x(t−a)w(a)da 离散形式是：  s(t)=∑ax(t−a)w(a)s(t)=∑ax(t−a)w(a) 这个式子如果用矩阵表示可以为：  s(t)=(X∗W)(t)s(t)=(X∗W)(t) 其中星号表示卷积。 如果是二维的卷积，则表示式为： s(i,j)=(X∗W)(i,j)=∑m∑nx(i−m,j−n)w(m,n)s(i,j)=(X∗W)(i,j)=∑m∑nx(i−m,j−n)w(m,n)         在CNN中，虽然我们也是说卷积，但是我们的卷积公式和严格意义数学中的定义稍有不同,比如对于二维的卷积，定义为： s(i,j)=(X∗W)(i,j)=∑m∑nx(i+m,j+n)w(m,n)s(i,j)=(X∗W)(i,j)=∑m∑nx(i+m,j+n)w(m,n)         这个式子虽然从数学上讲不是严格意义上的卷积，但是大牛们都这么叫了，那么我们也跟着这么叫了。后面讲的CNN的卷积都是指的上面的最后一个式子。 　　其中，我们叫W为我们的卷积核，而X则为我们的输入。如果X是一个二维输入的矩阵，而W也是一个二维的矩阵。但是如果X是多维张量，那么W也是一个多维的张量。 　　有了卷积的基本知识，我们现在来看看CNN中的卷积，假如是对图像卷积，回想我们的上一节的卷积公式，其实就是对输出的图像的不同局部的矩阵和卷积核矩阵各个位置的元素相乘，然后相加得到。 举个例子如下，图中的输入是一个二维的3x4的矩阵，而卷积核是一个2x2的矩阵。这里我们假设卷积是一次移动一个像素来卷积的，那么首先我们对输入的左上角2x2局部和卷积核卷积，即各个位置的元素相乘再相加，得到的输出矩阵S的S00S00的元素，值为aw+bx+ey+fzaw+bx+ey+fz。接着我们将输入的局部向右平移一个像素，现在是(b,c,f,g)四个元素构成的矩阵和卷积核来卷积，这样我们得到了输出矩阵S的S01S01的元素，同样的方法，我们可以得到输出矩阵S的S02，S10，S11，S12S02，S10，S11，S12的元素。  最终我们得到卷积输出的矩阵为一个2x3的矩阵S。 再举一个：这里面输入是3个7x7的矩阵。实际上原输入是3个5x5的矩阵。只是在原来的输入周围加上了1的padding，即将周围都填充一圈的0，变成了3个7x7的矩阵。 　　例子里面使用了两个卷积核，我们先关注于卷积核W0。和上面的例子相比，由于输入是3个7x7的矩阵，或者说是7x7x3的张量，则我们对应的卷积核W0也必须最后一维是3的张量，这里卷积核W0的单个子矩阵维度为3x3。那么卷积核W0实际上是一个3x3x3的张量。同时和上面的例子比，这里的步幅为2，也就是每次卷积后会移动2个像素的位置。 　　最终的卷积过程和上面的2维矩阵类似，上面是矩阵的卷积，即两个矩阵对应位置的元素相乘后相加。这里是张量的卷积，即两个张量的3个子矩阵卷积后，再把卷积的结果相加后再加上偏倚b。 　　7x7x3的张量和3x3x3的卷积核张量W0卷积的结果是一个3x3的矩阵。由于我们有两个卷积核W0和W1，因此最后卷积的结果是两个3x3的矩阵。或者说卷积的结果是一个3x3x2的张量。 仔细回味下卷积的过程，输入是7x7x3的张量，卷积核是两个3x3x3的张量。卷积步幅为2，最后得到了输出是3x3x2的张量。如果把上面的卷积过程用数学公式表达出来就是： s(i,j)=(X∗W)(i,j)+b=∑k=1n_in(Xk∗Wk)(i,j)+bs(i,j)=(X∗W)(i,j)+b=∑k=1n_in(Xk∗Wk)(i,j)+b 其中，n_inn_in为输入矩阵的个数，或者是张量的最后一维的维数。XkXk代表第k个输入矩阵。WkWk代表卷积核的第k个子卷积核矩阵。s(i,j)s(i,j)即卷积核WW对应的输出矩阵的对应位置元素的值。 对于卷积后的输出，一般会通过ReLU激活函数，将输出的张量中的小于0的位置对应的元素值都变为0。         相比卷积层的复杂，池化层则要简单的多，所谓的池化，个人理解就是对输入张量的各个子矩阵进行压缩。假如是2x2的池化，那么就将子矩阵的每2x2个元素变成一个元素，如果是3x3的池化，那么就将子矩阵的每3x3个元素变成一个元素，这样输入矩阵的维度就变小了。 　　要想将输入子矩阵的每nxn个元素变成一个元素，那么需要一个池化标准。常见的池化标准有2个，MAX或者是Average。即取对应区域的最大值或者平均值作为池化后的元素值。 　　下面这个例子采用取最大值的池化方法。同时采用的是2x2的池化。步幅为2。 　　首先对红色2x2区域进行池化，由于此2x2区域的最大值为6.那么对应的池化输出位置的值为6，由于步幅为2，此时移动到绿色的位置去进行池化，输出的最大值为8.同样的方法，可以得到黄色区域和蓝色区域的输出值。最终，我们的输入4x4的矩阵在池化后变成了2x2的矩阵。进行了压缩。 以AlexNet网络为例，以下是该网络的参数结构图 AlexNet网络的层结构如下： 1.Input:  图像的尺寸是227*227*3. 2.Conv-1:  第1层卷积层的核大小11*11，96个核。步长(stride)为4，边缘填充（padding）为0。 3.MaxPool-1:  池化层-1对Conv-1进行池化，尺寸为3*3，步长为2. 4.Conv-2:  核尺寸：5*5，数量：256，步长：1，填充：2 5. MaxPool-2:  尺寸：3*3，步长：2 6.Conv-3:  核尺寸：3*3，数量：384，步长：1，填充：1 7: Conv-4:  结构同Conv-3. 8. Conv-5:  核尺寸：3*3，数量：256，步长：1，填充：1 9. MaxPool-3 : 尺寸：3*3，步长：2 10.FC-1:  全连接层1共有4096个神经元。 11.FC-1:  全连接层2共有4096个神经元。 12.FC-3:  全连接层3共有1000个神经元。 接下来，我们对以上的网络结构进行描述： 1.如何计算张量（图像）的尺寸； 2.如何计算网络的总参数； 卷积层（Conv Layer）的输出张量（图像）的大小 定义如下： O=输出图像的尺寸。 I=输入图像的尺寸。 K=卷积层的核尺寸 N=核数量 S=移动步长 P =填充数 输出图像尺寸的计算公式如下： 输出图像的通道数等于核数量N。 示例：AlexNet中输入图像的尺寸为227*227*3.第一个卷积层有96个尺寸为11*11*3的核。步长为4，填充为0. 输出的图像为55*55*96（每个核对应1个通道）。 池化层（MaxPool Layer）的输出张量（图像）的大小 定义如下： O=输出图像的尺寸。 I=输入图像的尺寸。 S=移动步长 PS=池化层尺寸 输出图像尺寸的计算公式如下： 不同于卷积层，池化层的输出通道数不改变。 示例：每1层卷积层后的池化层的池化层尺寸为3*3，步长为2。根据前面卷积层的输出为55*55*96。池化层的输出图像尺寸如下： 输出尺寸为27*27*96。 全连接层（Fully Connected Layer）的输出张量（图像）的大小 全连接层输出向量长度等于神经元的数量。 通过AlexNet改变张量（图像）的尺寸的结构如下: 在AlexNet网络中，输出的图像尺寸为227*227*3. Conv-1,尺寸变为55*55*96,池化层后变为27*27*96。 Conv-2,尺寸变为27*27*256,池化层后变为13*13*256. Conv-3,尺寸变为13*13*384,经过Conv-4和Conv-5变回13*13*256. 最后,MaxPool-3尺寸缩小至6*6*256. 图像通过FC-1转换为向量4096*1.通过FC-2尺寸未改变.最终,通过FC-3输出1000*1的尺寸张量. 接下来,计算每层的参数数量. Conv Layer参数数量 在CNN中,每层有两种类型的参数:weights 和biases.总参数数量为所有weights和biases的总和. 定义如下: WC=卷积层的weights数量 BC=卷积层的biases数量 PC=所有参数的数量 K=核尺寸 N=核数量 C =输入图像通道数 卷积层中,核的深度等于输入图像的通道数.于是每个核有K*K个参数.并且有N个核.由此得出以下的公式. 示例:AlexNet网络中,第1个卷积层,输入图像的通道数(C)是3,核尺寸(K)是11*11,核数量是96. 该层的参数计算如下： 计算出Conv-2, Conv-3, Conv-4, Conv-5 的参数分别为 614656 , 885120, 1327488 和884992.卷积层的总参数就达到3,747,200. MaxPool Layer参数数量 没有与MaxPool layer相关的参数量.尺寸,步长和填充数都是超参数. Fully Connected (FC) Layer参数数量 在CNN中有两种类型的全连接层.第1种是连接到最后1个卷积层,另外1种的FC层是连接到其他的FC层.两种情况我们分开讨论. 类型1: 连接到Conv Layer 定义如下: Wcf= weights的数量 Bcf= biases的数量 O= 前卷积层的输出图像的尺寸 N = 前卷积层的核数量 F = 全连接层的神经元数量 示例:  AlexNet网络中第1个FC层连接至Conv Layer.该层的O为6,N为256,F为4096. 参数数目远大于所有Conv Layer的参数和. 类型2: 连接到FC Layer 定义如下: Wff= weights的数量 Bff= biases的数量 Pff= 总参数的数量 F= 当前FC层的神经元数量 F-1= 前FC层的神经元数量 示例: AlexNet的最后1个全连接层,  F-1=4096,F=1000. AlexNet网络中张量(图像)尺寸和参数数量 AlexNet网络中总共有5个卷积层和3个全连接层.总共有62,378,344个参数.以下是汇总表.         TensorFlow是谷歌基于DistBelief进行研发的第二代人工智能学习系统，其命名来源于本身的运行原理。Tensor(张量)意味着N维数组，Flow(流)意味着基于数据流图的计算，TensorFlow为张量从流图的一端流动到另一端计算过程。TensorFlow是将复杂的数据结构传输至人工智能神经网中进行分析和处理过程的系统。TensorFlow可被用于语音识别或图像识别等多项机器深度学习领域，对2011年开发的深度学习基础架构DistBelief进行了各方面的改进，它可在小到一部智能手机、大到数千台数据中心服务器的各种设备上运行。