复数是怎么计算的？

(A)复数的极式：

若点P代表z=x+iy，O为原点，线段OP与x轴正向所夹的有向角为 。

令OP=r，则r, ,x,y有如下的关系：x=rcos ，y=rsin ，上述的r称为复数

z的绝对值，以 表示。 称为复数的幅角，以argz表示，我们规定介於0，

2之间的幅角称为主幅角，以Argz表示。一个复数的幅角很多，但主幅角只

有一个。即 ，0Argz<2

结论：将复数z=x+iy表示成 则称为复数z的极式。

[例题1] 将下列各复数化为极式：

(1)z=33i (2)z= (3)z=sin15+icos15(4)z=cos13+icos77

[例题2] 设z为复数，且| z1z |= 12，Arg(z1z)= 3 ，则z=？ Ans：1+33 i

(B)复数极式的乘除法：

(1)复数的乘法：

设z1，z2之极式分别为z1=r1(cos+isin)，z2=r2(cos+isin)

则

即将复数z1,z2相乘时，其绝对值相乘而其幅角相加。

(2)复数的除法：

(a)若 ，则 。

(b)若 ，则

(3)棣美弗定理：n为整数，若设 ，则zn=|z|n(cosn+isinn)。

[例题3] 试求下列之值：

(1)(cos100+isin100)(cos10isin10)(2) Ans：(1)i (2)12+32i

(C)解一元n次方程式：

(1)解zn=1之根：

例子：试解z7=1之根。(求1的7次方根)

结论：zn=1之根(1的n次方根)可表为 ，其中 。

(2)解zn=a之根：

例子：求1+i的7次方根。

结论： 之解(a的n次方根)为

。

[例题4] (1)试求1的5次方根，并将代表它们的点描在座标平面上。

(2)解方程式z4+z3+z2+z+1=0。

[例题5] 试求解 (z2)5=16+163 i。

(3) 的性质：设 则

(a)

(b)

(c) 的根为 。

(d)

[例题6] 设=cos25+i sin25，则求下列各小题：

(1)5=？ (2)1++2+3+4=？

(3)(1)(12)(13)(14) (4) (2+)(2+2)(2+3)(2+4)

Ans：(1)1 (2)0 (3)5 (4)11

(D)极坐标：

(1)在引进复数的极式时，我们可知要描述复数平面上一P(a+bi)，除了知道实

部a，虚部b之外，只要能指出P点离原点O多远，及P点是哪一个有向角

的终边上，亦可标示出P点。

(2)在平面上选定一点O，再过O作一数线L，以其正向为始边，绕定点O旋

转，使P点恰在其上。若其旋转量，为一有向角(逆时针为正、顺时针为

负)， =r，我们就可以利用r，来描述P点的位置，符号：P[r,]。这种

表示法就是极坐标表示法，其中O点称为该极坐标系的极(或极点)，数线L

称为极轴。并以[r,]为P点的极坐标。

例如：在极坐标上点P[2,56]

P点的直角坐标为(2cos56，2sin56)=(3 ,1)

例如：在直角坐标上Q(1，3)

设在极坐标上Q[r,]

rcos =1且rsin =3

r=2且 =23+2n，n为整数

Q点的极坐标可表为Q[2, 23+2n]

[例题7] 设在极坐标中A[1,6]、B[3,56]，试求AB=？ Ans：13

(E)复数在几何上的应用：

复数运算的几何意义：

(1)复数绝对值的几何意义：

复数z=a+bi的绝对值定义为复数z到原点O的距离

 |z|=|a+bi|=a2+b2

复数平面上有两个点P(z1)、Q(z2)，其中z1=a+bi、z2=c+di

PQ=|z1z2|

(2)复数加法的几何意义：

在复数平面上给定A1(z1)、A2(z2)，其中z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，

以OA1、OA2为邻边作平行四边形OA1PA2，

则P点的复数坐标为z1+z2，OP=|z1+z2|。

(3)复数乘法与除法的几何意义：

设z1=r1(cos1+i sin1)，z2=r2(cos2+i sin2)，其中ri=|zi|，i=1,2

根据复数乘法的原则z1z2= r1 r2(cos(1+2)+i sin(1+2))

我们令P(z1)、Q(z2)、R(z1z2)

(a)旋转运动：当r2=1时

因为OR=| z1z2|=r1r2=r1，且方向角为1+2，故R点是由P点绕原点O逆时针

旋转2得到的。

(b)伸缩运动：当2=0时，

OR=| z1z2|=r1r2，且方向角为1+2=1，因此R点是由P点以原点O为伸缩中

心，伸缩|z2|倍得到的点。

(3)旋转与伸缩：

设z1=r1(cos1+i sin1)，z2=r2(cos2+i sin2)，其中ri=|zi|，i=1,2

根据复数乘法的原则z1z2= r1 r2(cos(1+2)+i sin(1+2))

令P(z1)、Q(z2)、R(z1z2)，则R点是由P点绕原点旋转2角度

且以原点为中心伸缩r2倍所得到的点。

[例题8] 右图是一正方形OABC，已知A(2+i)，试求B、C点的复数坐标。

Ans：B(1+3i)、C(1+2i)

[例题9] 复数平面上，设原点O为正三角形ABC的重心，已知A(1+i)，求复数B、C。 Ans：132 + 312 i，312  3+12 i

[例题10] 利用棣美弗定理证明：sin3=3sin 4sin3 ，cos3=4cos33cos 。

复习评量

(A)学科能力测验、联考试题试题观摩：

1. 若复数z与 之积为 ，则z的主幅角为。(86日大自)Ans：23

2. 设z1=2+ai，z2=2b+(2b)i，其中a,b为实数，i=1 ，若|z1|=2|z2|，且z1z2的辐角为4，则数对(a,b)=？ (85 自) Ans：(103 , 43 )

3. 令z为复数且 z6=1, z1 ，则下列选项何者为真？

(A) |z|=1(B) z2=1 (C) z3=1或z3=-1(D) |z4|=1 (E) 1+z+z2+z3+z4+z5=0

Ans：(A) (C) (D) (E) (90学科)

4. 令z=2(cos7+isin7)，且zi=2(cosa+isina)，试求a=？ Ans：914 (91学科)

(B)重要问题复习：

5. 设复数z= ，求|z|=？ Ans：13065

6. 试求下列各复数的极式：

(1)z=3+3i (2)z=4 (3)z= 2i

Ans：(1)z=32(cos34+isin34) (2)z=4(cos0+isin0) (3)z=2(cos2+isin2)

7. 试求下列各复数的极式：

(1)z=sin20+i cos20 (2)z=cos135isin45 (3)z= 3(cos25+i sin25)

Ans：(1)z=cos70+i sin70 (2)z=cos225+i sin225(3)z=3(cos205+i sin205)

8. 利用数学归纳法证明棣美弗定理。

9. (1)(cos100+i sin100)(cos10i sin10) (2)[2(1+i)][3+i]

(3)(1+3 i)10 (4)(3+i2)30 (5)

(6)

Ans：(1)i (2)4(cos512+i sin512) (3)512+5123 i (4)215 (5)261

(6)

10. 解方程式：(1)(z+2)3+8=0 (2)z44z3+6z24z+17=0并求以各根为顶点的正多边形的面积。

Ans：(1)4，22，222，面积33

(2)z=1+2[cos(2k+1)4+i sin(2k+1)4]，k=0,1,2,3 面积=8

11. (1)求512i的二个平方根。

(2)再求复系数方程式z22(1+i)z5+14i=0 Ans：(1)3+2i，32i (2)2+3i，4i

12. 求下列各点的直角坐标：

(1)A[4,43] (2)B[2,712] (3)C[0,5] (4) D[5,1] (5)E[3,cos135]

Ans：(1)(2,23 ) (2)(262,6+22)

(3)(0,0) (4)(5cos1,5sin1) (5)(95,125)

13. 求下列各点的极坐标：

(1)A(2,2) (2)B(1+3 ,13 ) (3)C(4cos7,4sin7)(4)D(0,3)

Ans：(1)[22 ,34] (2)[22 ,12] (3)[4, 7] (4)[3,32]

14. 如图，给定z点的位置，且|z|=2，试描绘出1z的位置。

15. 如图，设OAB为一正三角形，其中A的坐标为(1,4)

试求B的坐标。Ans：(1223 ，2+32)

(c)进阶问题：

16. 设z1=cos78+isin78，z2=cos18+isin18

(1)求复数z1z2的主辐角。

(2)若(z1z2)5=a+bi，a,b为实数，求(a,b)=？

Ans：(1)138 (2)(32,12)

17. 设=cos27+i sin27

试求(1)1++2+3+4+5+6=？

(2)(1)(12)(13)(14)(15)(16)=？

Ans：(1)0 (2)7

18. 设zn=(1+i)(1+i2)(1+i3)(1+in)，n为自然数，则

(1)|zn|=？ (2)|zn+1zn|=？ Ans：(1)n+1 (2)1

19. 设 =2n，n为大於1的自然数，试证： ， 。

20. 在极坐标平面上二点，A(52 ,4)、B(2,cos135)，则AB=？Ans：58

21. (1)设n为自然数，若z+1z =2cos，则证明：zn+1zn =2cosn。

(2)若z为复数，且满足 ，则 =?

22. 设z1，z2为复数，|z1|=2，|z2|=1，求|z1+z2|2+|z1z2|2=？Ans：10

(提示：若w为复数，则|w|2=w )

23. 已知z1=1+i，z2=i，试求z3使得z1z2z3为正三角形。

Ans：123 +32i或12+3 32i

24. A,B,C,D表x4x2+1=0的四个根，P点代表i，试求PA、PB、PC、PD之积。

Ans：3

实部与实部相等，虚部与虚部相等，a=2,b=1

复数就是多了虚部（含有i的项），计算方法，也就多了这方面。i^2=-1

1/(a+bi)，分子分母都乘a-bi，

得a-bi/(a^2+b^2)

^2代表平方知道的吧。其他自己想下。我只给个比较典型的

就把负号当减号喽

b=1,a=-2

加法：实部与实部相加为实部，虚部与虚部相加为虚部。

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

减法：实部与实部相减为实部，虚部与虚部相减为虚i。

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

乘法：按多项式的乘法运算来做

(a+bi)*(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2(i^2=-1)

=(ac-bd)+(ad+bc)i

除法：把除法写成分数的形式，再将分母实数化（就是乘其共轭复数）

(a+bi)/(c+di)=(a+bi)*(c-di)/[(c+di)(c-di)]

=[ac+bd-(ad-bc)i]/(c^2+d^2)