约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷的狄利克雷定理

狄利克雷函数表达式如下图所示：狄利克雷函数表达式中k，j为整数，也可以简单地表示分段函数的形式D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数）。狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。基本性质：1、定义域为整个实数域R；2、值域为{0，1}；3、函数为偶函数；4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在；5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）。

实数域上的狄里克莱（Dirichlet）函数表示为：D(x)=lim(n→∞){lim(m→∞)[cosπm!x]^n}也可以简单地表示分段函数的形式D(x) = 0 (x是无理数) 或1 (x是有理数)

实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数表示为：（k，j为整数）也可以简单地表示分段函数的形式D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数）

狄利克雷函数是：当x是有理数时，f(x)=1；当x是无理数时，f(x)=0。显然该函数是个偶函数，因为x和-x要么都是有理数，要么都是无理数。容易看出任何正的有理数都是该函数的周期，比如1，0.5都是它的周期，不过由于没有最小的正有理数，它没有最小正周期。

狄利克雷函数对于指导我国社会福利改革、提高全民幸福指数、深化劳动制度创新方面，具有重要意义。这个函数的特点为：(1)没有解析式：使函数概念从解析式中解放了出来。即没有特定的解决问题的套路(2)没有图形：使函数概念从几何直观中解放了出来。即没有证据能证明所述为事实(3)没有实际背景：使函数概念从客观世界的束缚中解放了出来。即任何反驳都没有客观应用场景(4) 周期性：任意的非零有理数都是它的周期；但是任何的无理数都不是。即在任意周期内，一件事既可以发生，也可以不发生。狄利克雷函数在我国已经有了非常多的实际应用，其中，以西贝莜面村的“715工作制”最负盛名，但这一福报曾被很多人误解为是对劳动者的残酷剥削。假设：以F(x)=0,表示工作时间；以F(x)=1,表示休息时间，由狄利克雷函数定义可知，其定义域和值域均为实数，同时我们可以取任意有理数为其区间，且函数在这区间内不连续，且为周期函数。这里我们取24小时为其区间。

实数上的狄利克雷（dirichlet）函数定义是这是一个处处不连续的可测函数.狄利克雷函数的性质1.定义在整个数轴上.2.无法画出图像.3.以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）.4.处处无极限、不连续、不可导.5.在任何区间上不黎曼可积.6.是偶函数.7.它在[0,1]上勒贝格可积在很多时候,只是为了来说明某些问题的.这个函数挺特殊,作为很多事情的反例,这个函数在任意一点都不存在极限且是以任意有理数为周期的周期函数（有理数相加得有理数,无理数加有理数还是无理数）,同时这个函数在积分上也有应用,该函数黎曼不可积,而在其它一些积分中是可积的.

研究质数最有力的工具之一是 狄利克雷特征理论 。1805年，一位天才在法国诞生。他的名字叫彼得·古斯塔夫·列琼·狄利克雷。狄利克雷12岁时就对数学感兴趣，1822年他去巴黎学习。几年后，他证明了费马大定理的一个特殊情况，即n = 5的情况。这使他在数学界名声大噪。1832年，狄利克雷成为普鲁士科学院最年轻的成员，只有27岁。 1837年，狄利克雷开始思考一个问题，它彻底改变了我们研究整数的方法。数学家们知道素数有无限多（公元前300年欧几里得证明了这一点），但在当时，研究自然数子集中的素数似乎是遥不可及的。但后来狄利克雷有了一个好的想法。当时的先驱们正在积极地发展复变分析，创造出了许多分析工具。他利用这些工具来研究整数，从而将复分析和数论结合起来。 他想要解决的问题是： 对于任意两个互质整数a和m，有无穷多个a + nm形式的质数，其中n是一个正整数。 狄利克雷证明了这个命题，现在这个定理以他的名字命名，叫做 等差级数的狄利克雷定理 。为了证明这一点，狄利克雷发明了一类完全乘性函数，现在称为 狄利克雷特征（ Dirichlet characters ） 。 狄利克雷特征 设m为自然数。模m的狄利克雷特征是函数χ：ℤ→ℂ，从整数到复数，满足以下条件。 从这些性质，还可以推导出其他一些性质。例如，根据上面的第二个性质：χ(1)≠0，因此，我们可以除以它，得到χ(1)χ(1) = χ(1)⋅1 = χ(1)，这意味着，对所有特征都有χ(1) = 1。所以我们有 我们称这个符号为特征的奇偶校验；如果χ(-1) = 1，则称其为偶，如果χ(-1) = -1，则称其为奇。注意，对于任何模m，有一个特殊的特征称为 主特征 χ0 mod m。它由以下方法定义 其他一些属性是可派生的。其最重要的性质之一是它们都是 乘法群之间的同态 ，因此在复平面的单位圆上取值。我们在这里不讨论特征的群方面，开始之前，有两个知识需要知道。 第一个是 欧拉函数 ϕ。我们定义ϕ (n)为小于n的正整数中与n互质的数的数目。即自然数k＜n使gcd(k, n) = 1。例如，ϕ(10) = 4，因为有4个小于10的自然数与10互质。 我们需要知道的第二个知识是关于狄利克雷特征的一个事实叫做正交关系， 这里求和是所有模为m的特征，第一个特征上的横杠是这个特征的复共轭。 从欧拉函数到L-函数 欧拉研究了ζ函数，发现素数和自然数之间有一个美丽的联系，称为 欧拉乘积 。令s＞1，那么 s实际上可以是复数（由黎曼推广），但在欧拉的时代，复数分析还处于初级阶段，他只考虑s为实值。 这实际上给出了“有无限多个素数”的另一个证明。欧拉注意到如果对方程两边取对数会发生一些有趣的事情， 现在回想一下对数的泰勒级数展开 因此我们得到， 当s向右趋近于1。 我们看到，log ζ(s) =∑1/p^s加上某个有界函数。有很多方法来证明这个 渐近界O（1） 。一种方法是回到对数的和。我们可以用微积分的各种方法证明，如果0 < x ≤ 1/2 ，那么 -log(1 - x) < x + x²。 因为对于所有质数p和s > 1，1/p^s ≤ 1/2，我们可以用这个引理代入得到 这显示了一个显式的边界和 欧拉著名的巴塞尔问题解 的一个很好的应用。通过这种方法，我们不仅确定了有无限多个质数，而且知道∑1/p是发散的。这样，我们就可以有把握地说， 质数在自然数中比平方数的密度大。 尽管质数倒数的和发散的速度很慢。实际上，我们可以从上面看到它的发散近似于 loglogx 。这是一个增长极其缓慢的函数。例如，这个函数要超过数字4，需要x大于 这是一个有24位的数字。狄利克雷的想法是试图将这个结果推广到素数的子集即等差数列中的素数。注意下面的等差数列 可以表示为 换句话说，狄利克雷想要证明，如果gcd(a, m) = 1，我们得到的结果 是发散的。 为了做到这一点，狄利克雷有了第二个奇迹般的洞察。结果是ζ函数有很多“表亲” ， 它们显示出和ζ函数相同的性质包括 欧拉乘积 。这类函数是狄利克雷的第二大发现。 由于狄利克雷特征是完全乘性的，因此它们对应的狄利克雷级数也有欧拉积。具体地说，我们有关于χ的狄利克雷L-级数的定义： 我们假设s > 1。 这也可以定义为复数s。通过解析延拓，这个函数可以扩展为整个复平面上的亚纯函数，称为 狄利克雷L-函数。 在复平面上定义ζ函数时，称为黎曼ζ函数。 因为所有的狄利克雷特征都是完全乘性的，这个级数也有一个欧拉积， 注意，对于具有平凡特征的狄利克雷L-级数的定义，即χ(n) = 1对于所有n，给出了通常的带有欧拉乘积的ζ函数。这使得 狄利克雷L-函数成为了ζ函数的推广 。 事实上，这些函数与黎曼ζ函数非常相似，它们不仅具有等价的欧拉乘积，而且在Re(s) = 1/2这条线周围有一个漂亮的对称关系。此外，它们被期望满足一个与黎曼假设等价的命题，但这尚未得到证明。 狄利克雷的证明 一旦狄利克雷建立了特征的欧拉积，接下来的逻辑步骤是对两边取对数，得到质数的和 再一次，通过类似于上面的论证，我们可以用渐近函数来重写它 这仅仅意味着，当s→1时，右边的和的增长近似于左边。从这里，狄利克雷有了一个伟大的想法。他用正交关系把它变成了他想要的形式。具体地说，如果我们在上面的方程两边乘以χ (a)的复共轭，然后用模m对所有的特征求和，我们得到如下结果 这太神奇了。狄利克雷用他的特征定义了一个（全纯）函数，它是等差数列 中所有素数的和。 现在，狄利克雷“只”需要证明左边在s→1时发散。 证明这一点的策略是，通过将特征分组到三个不相交的集合， 这样做的原因之一是，对于任何非主特征的χ，结果表明级数L(s，χ)对于s>0是收敛的。 其策略是证明L(s，χ0)在s = 1处有一个简单的极，即对应的L级数是发散的，如果χ是一个非主特征，则L(1，χ)≠0。 第二个原因是，我们需要确保L(s，χ0)的极点不会被“log(0)”这样形式的负无穷吞噬。 第一个（主特征），很简单，可以用很多方法证明。例如，我们可以检验， 观察一下，右边除模m的质数的乘积总是有限的——事实上，当s = 1时，你可以检查它等于ϕ(m)/m。所以左边的级数从ζ (s = 1)继承了极点。 因此，最重要的是证明L(1，χ)对任何非主特征都不等于0。 复数的情况比较简单，因为如果我们对相应的L级数的所有特征取一个乘积， 那么首先，可以证明 我们可以把L-级数的对数写成另一个级数，在这种情况下更容易处理。 第二（复特征），由于主特征的L-级数在s→1时发散，乘积中最多只能有一个零因子，否则，它将是0，与它大于1相矛盾。但如果χ是一个复数，那么它的共轭复数也是不同的，但如果一个是0，另一个也是不同的。因此，对于复χ， L(1，χ)≠0。 二次特征的情况更加微妙，超出了本文的范围。 狄利克雷发明了一个新的数学领域和许多新的抽象方法。在这个证明中，他使用了一些现代的抽象方法。需要注意的是，狄利克雷在他的证明中使用的符号与我们现代的符号非常不同。 我认为这是最具创新和美丽的证明之一。

狄利克雷函数（英语：dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域为不连续的函数。狄利克雷函数的图像Y轴以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可积分。这是一个处处不连续的可测函数。

狄里克莱函数运用的反例：因为震荡的太厉害所以不可积并不是每个函数都有最小周期的设 S_n(x)={(1, x*n!∈Z), (0, 当x为其他值)} 且x∈[0,1]，利用逐项求积分法讨论这个函数的可积性。当x是无理数时，Sn(x)的极限函数是S(x)=D(x)，因此根据逐项求积分法可得Sn(x)在[0,1]上是不可积的。有理数时显然。其他（一致连续，可导性，连续性）东西就自行脑补下然后自己做做吧，比如连续性是不可能的。主要就这几个。。

狄利克雷函数是：当x是有理数时，f(x)=1；当x是无理数时，f(x)=0。显然该函数是个偶函数，因为x和-x要么都是有理数，要么都是无理数。容易看出任何正的有理数都是该函数的周期，比如1，0.5都是它的周期，不过由于没有最小的正有理数，它没有最小正周期。

狄利克雷函数表达式在数学中，狄利克雷边界条件（Dirichlet boundary condition）也被称为常微分方程或偏微分方程的“第一类边界条件”，指定微分方程的解在边界处的值。求出这样的方程的解的问题被称为狄利克雷问题。在常微分方程情况下，如在区间[0,1]，狄利克雷边界条件有如下形式：y(0)=α1y(1)=α2其中α1和α2是给定的数值。一个区域上的偏微分方程，如Δy+y=0(Δ表示拉普拉斯算子，狄利克雷边界条件有如下的形式这里，ν表示边界处(向外的)法向；f是给定的已知函数。在热力学中，第一类边界条件的表述为：将大平板看成一维问题处理时，平板一侧温度恒定。半无限大物体在导热方向上，当其边界温度一定为第一类。数学描述为：T(x,0)=T1;T(0,t)=Ts。

狄利克雷函数是一种特殊的函数，其图像处处不连续，故不可导。可导函数应当满足其图像足够光滑且连续，而狄利克雷函数不能满足这一条件。

取T为任意一个确定的有理数，则当x是有理数时f(x)=1，且x+T是有理数，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T)；当x是无理数时，f(x)=0，且x+T是无理数，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T)。综上，狄利克雷函数是周期函数。 狄利克雷函数和周期函数的定义 狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。 对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。 狄利克雷函数 额 基本性质 1、定义域为整个实数域R。 2、值域为{0,1}。 3、函数为偶函数。 4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在。 5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）。

狄利克雷定理的证明依赖狄利克雷L级数，我们定义如下： 考察其对数形式为：将上式分开写为：易知：在s=1处解析（因为绝对收敛）。下面我们构造狄利克雷算术级数素数部分的和函数：上式之所以成立是由狄利克雷特征的正交性决定的，将其改写为：显然当时解析，当时我们有：因此我们有：至此，我们已经证明了：故存在无穷多个素数，且其分布密度为。

狄利克雷函数的周期性：狄利克雷函数即f(x)=1(当x为有理数）；f(x)=0(当x为无理数）；而周期函数的定义是对任意x，若f(x)=f(x+T)，则f(x)是周期为T的周期函数。显然，取T为任意一个确定的有理数，则当x是有理数时f(x)=1，且x+T是有理数，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T)；当x是无理数时，f(x)=0，且x+T是无理数，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T)。综上，狄利克雷函数是周期函数，其周期可以是任意个有理数，所以没有最小正周期。狄利克雷函数狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。

根据是收敛定理，也称狄里克雷收敛定理；定理结论是：在f(x)的连续点x处，级数收敛到f(x);在f(x)的间断点x处，级数收敛到（f(x+0)+f(x-0))/2。1827年在波兰布雷斯劳大学任讲师。1829年任柏林大学讲师，1839年升为教授。1855年，高斯逝世后，他作为高斯的继任者被哥廷根大学聘任为教授，直至逝世。1831年，他被选为普鲁士科学院院士，1855年被选为英国皇家学会会员。人物介绍狄利克雷（1805～1859）　Dirichlet，Peter Gustav Lejeune　德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格丁根。中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆。1822～1826年在巴黎求学，深受J.-B.-J.傅里叶的影响。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。1839年任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。

D（x）=1（x为自然数） 0（x不为自然数）

左导等于右导的为第一类间断点，不属于第一类间断点的均为第二类间断点，狄利克雷函数处处不连续，处处不可导，所以为第二类间断点

不一定。狄利克雷函数（英语：dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域为不连续的函数。狄利克雷函数的图像Y轴以Y轴为对称轴，是一个偶函数；它处处不连续；处处极限不存在；不可积分。这是一个处处不连续的可测函数。狄利克雷函数即f(x)=1(当x为有理数）；f(x)=0(当x为无理数）；而周期函数的定义是对任意x，若f(x)=f(x+T)，则f(x)是周期为T的周期函数。显然，取T为任意一个确定的有理数，则当x是有理数时f(x)=1，且x+T是有理数，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T)；当x是无理数时，f(x)=0，且x+T是无理数，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T)。综上，狄利克雷函数是周期函数，其周期可以是任意个有理数，所以没有最小正周期。周期函数的性质共分以下几个类型：（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。

就是一种图形无法画的函数

对于①，∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0，∴当x为有理数时，f（f（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1，即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①错误；对于②，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以对任意x∈R，都有f（-x）=f（x），故②正确； 对于③，若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确； 对于④，取x1=-33，x2=0，x3=33，可得A（-33，0）、B（0，1）、C（33，0）三点恰好构成等边三角形，故④正确．综上所述，真命题是②③④，故选：D．

不是所有周期函数都有最小正周期。周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，存在没有最小正周期的函数，而这个函数就是狄利克雷函数。狄利克雷函数（是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数表示为：（k，j为整数）也可以简单地表示分段函数的形式D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数）假设f(x)=0，x为无理数f(x)=1，x为有理数由有理数和无理数的运算法则可以知道，所有的有理数与有理数的和都是有理数，与无理数的和都是无理数。那么对于这个函数而言，取T为任意有理数，就都满足了，无论x是有理数还是无理数，这就意味着狄利克雷就是一个周期函数。它的最小正周期是最小的有理数，而显然是不存在最小的有理数的，因而这个函数也就没有最小正周期了。扩展资料对于函数f(x)，如果存在一个不为0的正数T，使得当x取定义域中的每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数，T称为这个函数的周期。如果函数f(x的所有周期中存在最小值T0，称T0为周期函数f(x)的最小正周期。周期函数的性质共分以下几个类型：1、若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。2、若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。3、若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。4、若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。5、若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。6、周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。参考资料来源：百度百科-狄利克雷函数参考资料来源：百度百科-周期函数

当1属于Q 0不属于Q时 X集合为Q当1不属于Q 0属于Q时 X集合为非Q其他情况为空集

数学 分类参考 ◆ 数学史 * 中国数学史 * 外国数学史：巴比伦数学，埃及古代数学，希腊古代数学，印度古代数学，玛雅数学，阿拉伯数学，欧洲中世纪数学，十六、十七世纪数学，十八世纪数学，十九世纪数学。 * 中国数学家：刘徽　祖冲之　祖暅　王孝通　李冶　秦九韶　杨辉　王恂　郭守敬　朱世杰　程大位　徐光启　梅文鼎　年希尧　明安图　汪莱　李锐　项名达　戴煦　李善兰　华蘅芳　姜立夫　钱宝琮　李俨　陈建功　熊庆来　苏步青　江泽涵　许宝騄　华罗庚　陈省身　林家翘　吴文俊　陈景润　丘成桐　 * 国外数字家：泰勒斯　毕达哥拉斯　欧多克索斯　欧几里得　阿基米德　阿波罗尼奥斯　丢番图　帕普斯　许帕提娅　阿耶波多第一　博伊西斯,A.M.S.　婆罗摩笈多　花拉子米　巴塔尼　阿布·瓦法　奥马·海亚姆　婆什迦罗第二　斐波那契,L.　纳西尔丁·图西　布雷德沃丁,T.　奥尔斯姆,N.　卡西　雷格蒙塔努斯,J.　塔尔塔利亚,N.　卡尔达诺,G.　费拉里,L.　邦贝利,R.　韦达,F.　斯蒂文,S.　纳皮尔,J.　德扎格,G.　笛卡尔,R.　卡瓦列里,(F)B.　费马,P.de　沃利斯,J.　帕斯卡,B.　巴罗,I.　格雷果里,J.　関孝和　牛顿,I.　莱布尼茨,G.W.　洛必达,G.-F.-A.de　伯努利家族　棣莫弗,A.　泰勒,B.　马克劳林,C.　欧拉,L.　克莱罗,A.-C.　达朗贝尔,J.le R.　蒙蒂克拉,J.E.　朗伯,J.H.　贝祖,E.　拉格朗日,J.-L.　蒙日,G.　拉普拉斯,P.-S.　勒让德,A.-M.　傅里叶,J.-B.-J.　热尔岗,J.-D.　高斯,C.F.　泊松,S.-D.　波尔查诺,B.　贝塞尔,F.W.　彭赛列,J.-V.　柯西,A.-L.　麦比乌斯,A.F.　皮科克,G.　罗巴切夫斯基　格林,G　沙勒,M.　拉梅,G.　施泰纳,J.　施陶特,K.G.C.von 　普吕克,J.　奥斯特罗格拉茨基,M.B.　阿贝尔,N.H.　波尔约,J.　斯图姆,C.-F.　雅可比,C.G.J.　狄利克雷,P.G.L.　哈密顿,W.R.　德·摩根,A.　刘维尔,J.　格拉斯曼,H.G.　库默尔,E.E.　伽罗瓦,E.　西尔维斯特,J.J.　外尔斯特拉斯,K.(T.W.)　布尔,G.　斯托克斯,G.G.　切比雪夫　凯莱,A.　埃尔米特,C.　艾森斯坦,F.G.M.　贝蒂,E.　克罗内克,L.　黎曼,(G.F.)B.　康托尔,M.B.　克里斯托费尔,E.B.　戴德金(J.W.)R.　杜布瓦-雷P.D.G.　诺伊曼,C.G.von　李普希茨,R.(O.S.).　克莱布什,R.F.A.　富克斯,I.L.　贝尔特拉米,E.　哥尔丹,P.A.　若尔当,C.　韦伯,H.　达布,(J.-)G.　李,M.S.　施瓦兹,H.A.　诺特,M.　康托尔,G.(F.P.)　克利福德,W.K.　米塔-列夫勒,(M.)G.　弗雷格,(F.L.)G.　克莱因,(C.)F.　弗罗贝尼乌斯,F.G.　柯瓦列夫斯卡娅,C.B.　亥维赛,O.　里奇,G.　庞加莱,(J.-)H.　马尔可夫,A.A.　皮卡,(C.-)E.　斯蒂尔杰斯,T.(J.)　李亚普诺夫,A.M.　皮亚诺,G.　胡尔维茨,A.　沃尔泰拉,V.　亨泽尔,K.　希尔伯特,D.　班勒卫,P.　闵科夫斯基,H.　阿达尔,J.(-S.)　弗雷德霍姆,(E.)I.　豪斯多夫,F.　嘉当,E.(-J.)　波莱尔,(F.-E.-J.-E)　策梅洛,E.F.F.　罗素,B.A.W.　列维-齐维塔,T.　卡拉西奥多里,C.　高木贞治　勒贝格,H.L.　哈代,G.H.　弗雷歇,M.-R.　富比尼,G.　里斯,F.(F.)　伯恩施坦,C.H.　布劳威尔,L.E.J.　诺特,(A.)E.　米泽斯,R.von　卢津,H.H.　伯克霍夫,G.D.　莱夫谢茨,S.　李特尔伍德,J.E.　外尔,(C.H.)H.　莱维,P.　赫克,E.　拉马努金,S.A.　费希尔,R.A.　维诺克拉多夫　莫尔斯　巴拿赫,S.　辛钦　霍普夫,H.　维纳,N.　奈望林纳,R.　西格尔,C.L.　阿廷,E.　哈塞,H.　扎里斯基,O.　博赫纳,S.　布饶尔,R.(D.)　塔尔斯基,A.　瓦尔德,A.　柯尔莫哥洛夫,A.H.　冯·诺伊曼,J.　嘉当,H.　卢伊,H.　哥德尔,K.　韦伊,A.　勒雷,.J.　惠特尼,H.　克列因　阿尔福斯,L.V.　庞特里亚金　谢瓦莱,C.　坎托罗维奇　盖尔范德　爱尔特希　施瓦尔茨　小平邦彦。 * 数字著作：《算数书》《算经十书》《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《张丘建算经》《五曹算经》《五经算术》《缀术》《数术记遗》《夏侯阳算经》《缉古算经》《数理精蕴》《畴人传》《数书九章》《测圆海镜》《益古演段》《四元玉鉴》《算法统宗》《则古昔斋算学》《几何原本》《自然哲学的数学原理》《几何基础》 * 中国古代数学计算方法：筹算，珠算，孙子剩余定理，增乘开方法，贾宪三角，招差法，盈不足术，百鸡术。 * 其他：纵横图，记数法，黄金分割，希腊几何三大问题，计算工具，和算，费尔兹奖，沃尔夫奖，希尔伯特数学问题，国际数学教育委员会，国际数学联合会，国际数学家大会，数学刊物，中国数学教育，中国数学研究机构，中国数学会。 ◆ 数学基础：逻辑主义，形式主义，直觉主义。 ◆ 数理逻辑 * 逻辑演算：命题、一阶、高阶、无穷、多值-模糊、模态、构造逻辑等。 * 模型论：模态模型论，非标准模型等。 * 公理集合论：集合论公理系统，力迫方法，选择公理，连续统假设等。 * 逆归论：算法，递归函数，递归可枚举集，不可解度，广义递归论，判断问题，分层理论等。 * 证明论：数学无矛盾性，哥德尔不完备性定理，构造性数学，希尔伯计划等。 ◆ 集合论：集合，映射，序数，基数，超限归纳法，悖论，数系（实数，虚数），组合数学，图论（四色问题）、算术等。 ◆ 代数学 * 多项式：代数方程等。 * 线性代数：行列式，线性方程组，矩阵，自向量空间，欧几里得空间，线性变换，线性型，二次性，多重线性代数等。 * 群：有限群、多面群体、置换群、群表示论、有限单群等。 * 无限群：交换群，典型群，线性代数群，拓扑群，李群，变换群，算术群，半群等。 * 环：交换环，交换代数，结合代数，非结合代数-李代数，模，格-布尔代数等。 * 乏代数 * 范畴 * 同调代数-代数理论 * 域：代数扩张，超越扩张，伽罗瓦理论-代数基本定理，序域，赋值，代数函数域，有限域，p进数域等。 ◆ 数论 * 初等数论：整除，同余，二次剩余，连分数，完全数，费马数，梅森数，伯努利数，数论函数，抽屉原理等。 * 不定方程：费马大定理等。 * 解析数论：筛法，素分布法，黎曼ζ函数，狄利克雷特征，狄利克雷L函数，堆垒数论-整数分拆，格点问题，欧拉常数等。 * 代数数论：库默尔扩张，分圆域，类域论等。 * 数的几何 * 丢番图逼近 * 一致分布 * 超越数论 * 概率数论 * 模型式论 * 二次型的算术理论 * 代数几何 ◆ 几何学 * 欧几里得几何学-希尔伯特公理系统：欧里几得空间，坐标系，圆周率，多边形，多面体等。 * 解析几何学：直线，平面，二次曲线，二次曲面，二次曲线束，二次曲面束，初等几何变换，几何度量等。 * 三角学 * 综合几何学：尺规作图-希腊几何三大问题等。 * 仿射几何学：仿射变换等。 * 射影几何学：对偶原理，射影坐标，射影测度，绝对形，交比-圆点，直线几何等。 * 埃尔朗根纲领 * 百欧几里得几何学 * 微分几何学：曲线，曲面-直纹面-可展曲面-极小曲面等。 * 微分流形：张量，张量分析，外微分形式，流形上的偏微分算子，复流形，辛流形，黎曼几何学，常曲率黎曼空间-齐性空间-黎曼流形的变换群-闵科夫斯基空间，广义相对论，联络论，杨-米尔斯理论，射影微分几何学，仿射微分几何学，一般空间微分几何学，线汇论，积分几何学等。 ◆ 拓扑学 * 一般拓扑学（拓扑空间，度量空间，维数，多值映射 * 代数拓扑学（同调论，同伦论-CW复形，纤维丛-复叠空间，不动点理论-闭曲面的分类-庞加莱猜想 * 微分拓扑学（流形-横截性 * 纽结理论 * 可微映射的奇点理论 * 突变理论 * 莫尔斯理论 ◆ 分析学 * 微积分学 ** 函数：初等函数，隐函数等。 ** 极限：函数的连续性等。 ** 级数 ** 微分学：导数，微分，中值定理，极值等。 ** 积分学：积分，原函数，积分法，广义积分，含参变量积分等。 ** 多元微积分学：偏导数，全微分，方向导数，雅可比矩阵，雅可比行列式，向量，向量分析，场论等。 * 复变函数论：复变函数（解析函数，柯西积分定理，解析函数项级数，幂级数，泰勒级数，洛朗级数，留数，调和函数，最大模原理，共形映射，特殊函数，整函数，亚纯函数，解析开拓，椭圆函数，代数函数，模函数，函数值分布论，黎曼曲线，单叶函数，正规族，拟共形映射，解析函数边值问题，狄利克雷级数，解析函数边界性质，拉普拉斯变换，积分变换，泰希米勒空间，广义解析几何等）。 * 多复变函数论 * 实变函数论：勒贝格积分，有界变差函数，测度论，黎曼-斯蒂尔杰斯积分，赫尔德不等式，施瓦兹不等式，闵科夫斯基不等式，延森不等式等。 * 泛函分析：泛函数，函数空间，索伯列夫空间，拓扑线性空间，巴拿赫空间，半序线性空间，希尔伯特空间，谱论，向量值积分，线性算子，全连续算子，谱算子，线性算子扰动理论，赋范代数，广义函数，非线性算子（泛函积分，算子半群，遍历理论，不变子空间问题）等。 * 变分法：变分法，大范围变分法等。 * 函数逼近论：函数构造论，复变函数逼近（外尔斯特拉斯-斯通定理，拉格朗日插值多项式逼近，埃尔米特插值多项式逼近，三角多项式，连续模，强迫逼近，有理函数逼近，正交多项式，帕德逼近，沃外尔什逼近，联合逼近，抽象逼近，宽度，熵，线性正算子逼近，傅里叶和）等 * 傅里叶分析：三角函数，傅里叶级数，傅里叶变换-积分（傅里叶积分算子，乘子，共轭函数，卢津问题，李特尔伍德-佩利理论，正交系，极大函数，面积积分，奇异积分，算子内插，BMO空间，Hp空间，奇异积分的变换子，佩利-维纳定理，卷积，Ap权），概周期函数，群上调和分析（哈尔测度，正定函数，谱综合）等。 * 流形上的分析：霍奇理论，几何测度论，位势论等。 * 凸分析 * 非标准分析 ◆ 微分方程 * 常微分方程（初等常数微分方程,线性常微分方程,常微分方程初值问题,常微分方程边值问题,常微分方程解析理论,常微分方程变换群理论,常微分方程定性理论,常微分方程运动稳定性理论,哈密顿系统,概周期微分方程,抽象空间微分方程,泛函数分方程-微分差分方程,常微分方程摄动方法,常微分方程近似解似解,动力系统-拓扑动力系统-微分动力系统 * 偏微分方程（数学物理方程,一阶偏微分方程,哈密顿-雅可比理论,偏微分方程特征理论,椭圆型偏微分方程-拉普拉斯方程,双曲型偏微分方程-波动方程,双曲守恒律的间断解,抛物型偏微分方程-热传导方程,混合型偏微分方程,孤立子,索伯列夫空间,偏微分方程的基本解,局部可解性,偏微分算子的特征值与特征函数,数学物理中的反问题,自由边界问题,分歧理论,发展方程,不适定问题 * 积分方程：弗雷德霍姆积分方程,沃尔泰拉积分方程,对称核积分方程,奇异积分方程,维纳-霍普夫方程,维纳-霍普夫方法等。 ◆ 计算数学 * 数值分析：数值微分等。 * 数值逼近：插值，曲线拟合等。 * 计算几何：样条函数值积分-数论网格求积分法，有限差演算，有限差方程等。 * 常微分方程初值问题数值解法：单步法，多步法，龙格-库塔法，亚当斯法等。 * 常微分方程边值问题数值解法：打靶法等。 * 高次代数方程求根 * 超越方程数值解法 * 非线性方程组数值解法：迭代法，牛顿法等。 * 最优化 * 线性规划：单纯形方法等。 * 无约束优化方法 * 约束优化方法 * 概率统计计算 * 蒙特卡罗达：伪随机数等。 * 代数特征值问题数值解法：广义特征值问题数值解法等。 * 线性代数方程组数值解法：稀疏矩阵，广义逆矩阵，对角优势矩阵，病态矩阵，消元法-高斯消去法，松驰法，共轭梯度法等。 * 偏微分方程边值问题差分方法 * 偏微分方程初值问题差分方法：计算流体力学，特片线法，守恒格式，分步法（局部一维方法、交替方向隐式法、显式差分方法、隐式差分方法），有限差分方法，有限元方法，里茨-加廖金方法（里茨法、加廖金法），玻耳兹曼方程数值解法，算图-诺模图等。 * 数值软件：并行算法，误差，最小二乘法，外推极限法，快速傅里叶变换-快速数论变换，数值稳定性，区间分析，计算复杂性等。 ◆ 概率论 * 概率分布（数学期望，方差，矩，正态分布，二项分布，泊松分布 * 随机过程（马尔可夫过程，平稳过程，鞅，独立增量过程，点过程，布朗运动，泊松过程，分支过程，随机积分，随机微分方程，随机过程的极限定理，随机过程统计，滤波，无穷粒子随机系统等。 * 概率，随机变量 * 概率论中的收敛 * 大数律 * 中心极限定理 * 条件期望 ◆ 数理统计学 * 参数估计：点估计，区间估计等。 * 假设检验：列联表等。 * 线性统计模型：回归分析，方差分析等。 * 多元统计分析：相关分析等。 * 统计质量管理：控制图，抽样检验，寿命数据统计分析，概率纸等。 * 总体 * 样本 * 统计量 * 实验设计法 * 抽样调查 * 统计推断 * 大样本统计 * 统计决策理论 * 序贯分析 * 非参数统计 * 稳健统计 * 贝叶斯统计 * 时间序列分析 * 随机逼近 * 数据分析 ◆ 运筹学 * 数学规则：线性规划，非线性规划，无约束优化方法，约束优化方法，几何规划，整数规划，多目标规划，动态规划-策略迭代法，不动点算法，组合最优化-网络流，投入产出分析等。 * 军事运筹学：彻斯特方程，对抗模拟，对策论，最优化等。 * 马尔可夫决策过程 * 搜索论 * 排队论 * 库存论 * 决策分析 * 可靠性数学理论 * 计算机模拟 * 统筹学 * 优选学 ◆ 数学物理 ◆ 控制理论 ◆ 信息论 ◆ 理论计算机科学 ◆ 模糊性数学

狄利克雷函数不可积，因为每个点都不连续，不连续的点的个数大于有理数的个数。狄利克雷不可积是因为“分割，求和，取极限”三步中，先分割，若对每个小区间的取值为1，则求和取极限后积出来是1(仅限于定义域在[0，1]上)；若对每个小区间取值为零，则求和取极限后积出来是0。这样，一个函数有两个极限，而这是不可能的，所以狄利克雷函数(类似的)不可积。狄利克雷条件是一个信号存在傅里叶变换的充分不必要条件。狄利克雷条件括三方面：（1 ）在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点。（2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。（3）在一周期内，信号是绝对可积的。傅里叶在提出傅里叶级数时坚持认为，任何一个周期信号都可以展开成傅里叶级数，虽然这个结论在当时引起许多争议，但持异议者却不能给出有力的不同论据。直到20年后(1829年)狄利克雷才对这个问题作出了令人信服的回答，狄利克雷认为，只有在满足一定条件时，周期信号才能展开成傅里叶级数。这个条件被称为狄利克雷条件。

以任意有理数为周期（有理数相加得有理数，无理数加有理数还是无理数）

根据是收敛定理,也称狄里克雷收敛定理;定理结论是:在f(x)的连续点x处,级数收敛到f(x); 在f(x)的间断点x处,级数收敛到(f(x+0)+f(x-0))/2。1827年在波兰布雷斯劳大学任讲师。1829年任柏林大学讲师，1839年升为教授。1855年，高斯逝世后，他作为高斯的继任者被哥廷根大学聘任为教授，直至逝世。1831年，他被选为普鲁士科学院院士，1855年被选为英国皇家学会会员。狄利克雷是德国数学家，1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于哥廷根。狄利克雷出生于一个具有法兰西血统的家庭。自幼喜欢数学，在12岁前就将零用钱积攒起来买数学书阅读。16岁中学毕业后，父母希望他学习法律，但狄利克雷却决心攻读数学。他先在迪伦学习，后到哥廷根受业于高斯。1822年到1827年间旅居巴黎当家庭教师。在此期间，他参加了以傅里叶为首的青年数学家小组的活动，深受傅里叶学术思想的影响。

有跳跃间断点的函数的变上限积分函数连续的。变上限积分函数应该出现的是类似于|x|这样分段的函数，分段点连续，但是不可导的情况。所以如果是有第二类间断点，如无穷间断点，震荡间断点，是有可能（但也只是有可能，不是一定）不可积。而如果是有限个第一类（无论是跳跃间断点，还是可去间断点），都必然是可积的。函数可积的充分条件：1、定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。2、定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。3、定理3设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。扩展资料：任何一个可积函数一定是有界的，但是需要注意的是，有界函数不一定可积。在其定义域上的每一点都不连续的函数。狄利克雷函数是处处不连续函数的一个例子。若f(x)为一函数，定义域和值域都是实数，若针对每一个x，都存在ε>0 ，使得针对每一个δ>0，都可以找到y，使下式成立，则f(x)为处处不连续函数：0< |x−y|<δ 且|f(x)−f(y)|≥ε。不论距固定点多近，都有距固定点更近的点使函数的值偏离固定点对应的值。例如狄利克雷函数就是一个处处不连续函数。实数函数f为处处不连续，若其超实数延伸有以下的特性：每一个无限接近一个x都有一个无限接近的点y，使得距离f(x)-f(y)不是无穷小量。参考资料来源：百度百科——处处不连续函数参考资料来源：百度百科——可积函数

连续如下：不是处处连续。狄利克雷函数的跳动不是一般的函数波动，而是捉摸不到的、极其迅速的跳变。因此狄利克雷函数是极度不连续的。所以，狄利克雷函数的一个重要特点就是：无法作图。你可以试着把x轴上的有理数和无理数进行分离，属于有理数的点上升一个单位，属于无理数的点停留在原处。当然，这只能存在于想象中，图形无法表示。简介：函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

甭听楼上乱讲，狄利克雷函数是处处不连续的

你得先知道它是个什么函数，狄利克雷函数函数是x取无理数时，为0，x取有理数时，为1；有理数和无理数在数轴上的点是基本没法区分开的，请采纳，谢谢

狄利克雷函数D（x）是周期函数，但没有最小正周期。当x趋向于x。时，D（x）并不能趋向于一个确定的值，因此极限不存在，当然不连续，更不可导。

以任意有理数为周期。通过查看狄利克雷函数的定义，狄利克雷函数是在实数范围上、值域不连续的函数。该函数图像以Y轴为对称轴,是一个偶函数，处处不连续，处处极限不存在。狄利克雷函数因为以任意有理数为周期是周期函数，有理数相加得有理数，无理数加有理数还是无理数。狄利克雷函数在整个实数轴上都没有连续点，因此在数学分析、函数论等领域中具有一些特殊的性质和应用。

在勒贝格积分意义下,狄利克雷函数在区间（0,1）上可积.积分值为0, 因为按勒贝格测度,狄利克雷函数在区间（0,1）上几乎处处为0. 在黎曼积分意义下,狄利克雷函数在区间（0,1）上不可积. 区间（0,1）上函数f(x)黎曼可积的充要条件是f(x)间断点集合的勒贝格测度为0.

该函数在有理数点不连续，无理数点连续。证明思路：因为实数域上有理数是可列的（有理数可表示为｛N/M},N,M均为全体整数），古有理数点都是离散的点，故函数值为1的点（有理数点）均离散。根据实数的连续性，任意两个相邻的有理数间有无穷多个无理数，这些无理数对应的函数值均为0，故在该函数无理数点连续。（1）当x=0时，f(x)=0，在R上是连续的。（2）当x不等于0时。若x为有理数，则f(x)=x，若x是无理数，则f(x)=0。从而由极限定义易得，f(x)在x处无极限，从而不连续。学数学的小窍门1、学数学要善于思考，自己想出来的答案远比别人讲出来的答案印象深刻。2、课前要做好预习，这样上数学课时才能把不会的知识点更好的消化吸收掉。3、数学公式一定要记熟，并且还要会推导，能举一反三。4、学好数学最基础的就是把课本知识点及课后习题都掌握好。5、数学80%的分数来源于基础知识，20%的分数属于难点，所以考120分并不难。6、数学需要沉下心去做，浮躁的人很难学好数学，踏踏实实做题才是硬道理。

狄利克雷函数（英语：dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。

狄利克雷函数(类似的)不可积。狄利克雷不可积是因为“分割，求和，取极限”三步中，先分割，若对每个小区间的取值为1，则求和取极限后积出来是1(仅限于定义域在[0，1]上)；若对每个小区间取值为零，则求和取极限后积出来是0。这样，一个函数有两个极限，而这是不可能的。 狄利克雷函数（英语：dirichletfunction）是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。

狄利克雷函数 　　实数上的狄利克雷（Dirichlet）函数定义是 　　这是一个处处不连续的可测函数。 　　狄利克雷函数的性质 　　1. 定义在整个数轴上。 　　2. 无法画出图像。 　　3. 以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）。 　　4. 处处无极限、不连续、不可导。 　　5. 在任何区间上不黎曼可积。 　　6. 是偶函数。 　　7.它在[0,1]上勒贝格可积 　　狄利克雷狄利克雷（1805～1859）　Dirichlet，Peter Gustav Lejeune　德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格丁根。中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆；1822～1826年在巴黎求学，深受J.-B.-J.傅里叶的影响 。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。1839年任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。　在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。　在数论方面，他是高斯思想的传播者和拓广者。1863年狄利克雷撰写了《数论讲义》，对高斯划时代的著作《算术研究》作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播。1837年，他构造了狄利克雷级数。1838～1839年，他得到确定二次型 类数的公式。1846年，使用抽屉原理。阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。　在数学物理方面，他对椭球体产生的引力、球在不可压缩流体中的运动、由太阳系稳定性导出的一般稳定性等课题都有重要论著。1850年发表了有关位势理论的文章，论及著名的第一边界值问题，现称狄利克雷问题。其实这就是一个数学游戏，关键是这个函数的性质：处处无极限，不可导，不连续，不黎曼可积

它是这样一个函数：当x为有理数时函数值为1，当x为无理数时，函数值为0

实数上的狄利克雷（Dirichlet）函数定义是这是一个处处不连续的可测函数.狄利克雷函数的性质1.定义在整个数轴上.2.无法画出图像.3.以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）.4.处处无极限、不连续、不可导.5.在任何区间上不黎曼可积.6.是偶函数.7.它在[0,1]上勒贝格可积在很多时候,只是为了来说明某些问题的.这个函数挺特殊,作为很多事情的反例,这个函数在任意一点都不存在极限且是以任意有理数为周期的周期函数（有理数相加得有理数,无理数加有理数还是无理数）,同时这个函数在积分上也有应用,该函数黎曼不可积,而在其它一些积分中是可积的.

这个函数很奇特，图像不好画，不能画，他是用分段函数解析式表达出来的。 狄利克雷函数D(x)={1,当x为有理数；0，当x为无理数。} 对任何正有理数T，X+T与X同为有理数或无理数，

不用证明，狄利克雷函数(英语:dirichlet function)是一个定义在实数范围上、值域为不连续的函数。狄里克雷(1805~1859) Dirichlet，Peter Gustav Lejeune 德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格丁根。中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆;1822~1826年在巴黎求学，深受J.-B.-J.傅里叶的影响 。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。1839年任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。在数论方面，他是高斯思想的传播者和拓广者。1833年狄里克莱撰写了《数论讲义》，对高斯划时代的著作《算术研究》作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播。1837年，他构造了狄里克雷级数。1838~1839年，他得到确定二次型类数的公式。1846年，使用抽屉原理。阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。在数学物理方面，他对椭球体产生的引力、球在不可压缩流体中的运动、由太阳系稳定性导出的一般稳定性等课题都有重要论著。1850年发表了有关位势理论的文章，论及著名的第一边界值问题，现称狄里克雷问题。

是的，因为狄利克雷函数点点不连续，所以处处不可导。其函数图像理论上客观存在，但无法画出确切图形。狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。 狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。 狄里克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意负有理数和正有理数。因为不存在最小负有理数和正有理数，所以狄里克莱函数不存在最小正周期。

函数表示为： D(x)=lim(n→∞){lim(m→∞)[cosπm!x]^n} 也可以简单地表示分段函数的形式D(x) = 0 (x是无理数) 或1 (x是有理数)

在[0,1]上勒贝格可积 在很多时候,只是为了来说明某些问题的. 这个函数挺特殊,作为很多事情的反例,这个函数在任意一点都不存在极限且是以任意有理数为周期的周期函数（有理数相加得有理数,无理数加有理数还是无理数）,同时这个函数在积分上也有应用,该函数黎曼不可积,而在其它一些积分中是可积的.

函数表示为： D(x)=lim(n→∞){lim(m→∞)[cosπm!x]^n} 也可以简单地表示分段函数的形式D(x) = 0 (x是无理数) 或1 (x是有理数)

狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。基本性质1、定义域为整个实数域R。2、值域为{0,1}。3、函数为偶函数。4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在。5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）。

狄利克雷函数处处不连续，当然处处不可导。

狄利克雷函数不可积。狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。狄利克雷函数基本性质是：定义域为整个实数域R；值域为{0,1}；函数为偶函数；无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在；以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）。

当然是这样啦。Dirichlet函数：当x为有理数时，d(x)=1；当x为无理数时，d(x)=0。所以无论x是有理数还是无理数，d(x)都是有理数，因为d(x)只能是1或者0。所以对任意x，d(d(x))=1。