广义黎曼猜想的黎曼

广义黎曼猜想与黎曼猜想的区别：1、广义黎曼猜想：两者范围不同，广义黎曼猜想是1859年由德国大数学家黎曼提出的几个猜想之一，其他均已被证明，现在只有广义黎曼猜想还未证明。2、黎曼猜想：黎曼猜想是有很多的，广义黎曼猜想只是一个，黎曼猜想关心的是非平凡零点。

广义黎曼猜想是1859年由德国大数学家黎曼提出的几个猜想之一，而其他猜想均已证明。这个猜想是指黎曼ζ函数：ζ(s)=∑1/n^s(n从1到无穷）的非平凡零点都在Re(s)=1/2的直线上．

在数学中我们碰到过许多函数，最常见的是多项式和三角函数。多项式的零点也就是代数方程 ζ(s)=0的根。根据代数基本定理，n次代数方程有n个根，它们可以是实根也可以是复根。因此，多项式函数有两种表示方法，即当s为大于1的实数时，n 为收敛的无穷级数，欧拉仿照多项式情形把它表示为乘积的情形，这时是无穷乘积，而且也不是零点的形式：但是，这样的用处不大，黎曼把它开拓到整个复数平面，成为复变量s就包含非常多的信息。正如多项式的情形一样，函数的信息大部分包含在其零点的信息当中，因此， 的零点就成为大家关心的头等大事。 有两类零点，一类是s=-2，-4，…-2n，…时的实零点，称为平凡零点；一类是复零点。黎曼猜想就是讲，这些复零点的实部都是，也就是所有复零点都在 这条直线（后称为临界线）上。这个看起来简单的问题并不容易。从历史上看，求多项式的的零点特别是求代数方程的复根都不是简单的问题。一个特殊函数的零点也不太容易找到。在85年前，哈代首先证明这条临界线上有无穷多个零点。10年前我们知道有2/5的复零点都在这条线上，而且这条线外至今也没有发现复零点，因此，黎曼猜想是对是错还在未定之中。

黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。在黎曼猜想的研究中， 数学家们把复平面上Re(s)=1/2的直线称为“critical line”。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于critical line上。这就是黎曼猜想的内容，它是黎曼在 1859 年提出的。从其表述上看，黎曼猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题，但我们很快将会看到，它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章。

黎曼猜想，即素数的分布最终归结为所谓的黎曼ζ函数的零点问题。黎曼在１８５９年在论文《在给定大小之下的素数个数》中做出这样的猜想：ζ（ｚ）函数位于０≤ｘ≤１之间的全部零点都在ReZ＝1／２之上，即零点的实部都是１／２，这至今仍是未解决的问题。黎曼猜想是说： 　　素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都是很重要的问题。素数在自然数域中分布并没有一定规则。黎曼（1826--1866）发现素数出现的频率与所谓黎曼ζ函数紧密相关。黎曼ζ函数的非平凡零点都在线 <math>operatorname z = frac</math> 上。　　1901年 Koch 指出，黎曼猜想与叙述 <math>pi left( x ight) = operatorname x + Oleft( {sqrt x ln x} ight)</math> 等价。　　现在已经验证了最初的1,500,000,000个解，猜想都是正确的。但是否对所有解是正确的，却没有证明，随着费马最后定理的获证，黎曼猜想作为最困难的数学问题的地位更加突出。　　黎曼假设、庞加莱猜想、霍奇猜想、波奇和斯温纳顿―戴尔猜想、纳威厄―斯托克斯方程、杨―米尔理论、Ｐ对ＮＰ问题被称为21世纪七大数学难题。2000年，美国克雷数学研究所将它们设为“千年大奖问题”，每个难题悬赏100万美元征求证明。 　　专家指出，黎曼假设一旦被攻克，将对加密学有帮助。其余的难题一旦破解，将会给航天、物理等领域带来突破性进展，并开辟全新的数学研究领域。 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

1、黎曼猜想（或称黎曼假设）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。德国数学家戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，其中便包括黎曼假设。现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼假设；2、虽然在知名度上，黎曼猜想不及费尔马猜想和哥德巴赫猜想，但它在数学上的重要性要远远超过后两者，是当今数学界最重要的数学难题，当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提；3、2018年9月，迈克尔·阿蒂亚声明证明黎曼猜想，于9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲。9月24日，迈克尔·阿蒂亚贴出了他证明黎曼假设（猜想）的预印本。黎曼猜想与费马大定理已经成为广义相对论和量子力学融合的m理论几何拓扑载体。

英国著名的数学家哈代（G．H．Hardy 1877—1947）是华罗庚在英国剑桥大学学习数论时的指导教授。英国自从出现牛顿以后，一向来数学工作者是注重应用数学，它的数学家不像欧陆的德国和法国在纯粹数学上有大的贡献和新的发现，至到19世纪末出了哈代之后，哈代以他在纯数学的工作使英国闻名于世。哈代先后在牛津和剑桥大学教书，他为了研究数学从来不想到成家，而是由妹妹照顾他。他个性是有些怪，在那宗教势力浓厚的学府里敢公然说：“上帝是我的敌人。”他从不踏进教堂，也不参予有宗教色彩仪式的会议。哈代是一个“板球（Cricket）迷”，每年夏天要等到板球季节过了，才会跑到欧陆度假，拜访他的几个好朋友与他们一起讨论研究数学。每次到丹麦就会见他的好朋友波尔（Harald Bohr），他们坐下来，先在一张纸上写上先要解决和讨论的一些议程，然后讨论一个小时后才一起出去散步。每一次见面时哈地在议程的第一条往往写上：“证明黎曼假设！”可是这个提议却一直没法子解决，一直到夏假结束他必须回去英国教书才作罢。第二年的夏天他回来丹麦又像前一年那样，两人每天把解决黎曼假设摆在议程的最前面，但是每次都不能解决。有一年的夏末，哈代要乘船渡北海回英国，那天浪涛汹涌天气很恶劣，而船又很小，因此他在船开之前就写了一张明信片寄给波尔，在上面简单的写下这几个字：“我已经证明了黎曼假设。哈代。”他是否真的证明了，要把这个好消息告诉他的好友呢？原来这明信片是有用意的：万一这船沉下去，哈地溺死了，世人就会认为哈地真的解决这个世界上的数学难题，而为这个解法及哈地一起埋在海底而惋惜。但是上帝既然是哈地的仇人，一定不会让哈代享有解决这个著名难题的声誉，因此本来这船该沉下去，它也设法不让它沉，于是哈地可以平安回到英国。这样这个明信片就是他的救命护身符了。你看了或许会笑，以为我们的哈代教授是这样幼稚可笑的人物，是的，有一些数学家他们想法和做事的天真幼稚就像6岁的儿童。可是他们研究的东西却深入和奥妙，不是普通人所能了解的。哈代逝世距现在已四十多年，但是他遗留下来的工作，许多是那么的艰深和难于明白，普通大学数学系毕业生也不是很容易就能领会。 荷兰三位数学家J．van de Lune，H．J．Riele te及D．T．Winter利用电子计算机来检验黎曼的假设，他们对最初的二亿个齐打函数的零点检验，证明黎曼的假设是对的，他们在1981年宣布他们的结果，目前他们还继续用电子计算机检验底下的一些零点。1982年11月苏联数学家马帝叶雪维奇在苏联杂志《Kibernetika》宣布，他利用电脑检验一个与黎曼猜想有关的数学问题，可以证明该问题是正确的，从而反过来可以支持黎曼的猜想很可能是正确的。1975年美国麻省理工学院的莱文森在他患癌症去世前证明了N0(T) ≥ 0.3474 N(T)。1980年中国数学家楼世拓、姚琦对莱文森的工作有一点改进，他们证明了No（T）>0.35N（T）。

黎曼猜想是包罗全部自然数的数论问题，即任何大于2的自然数都可以表示为两个质数之积。它被认为是数学上一个重要问题，因为它涉及到了非常复杂的数学结构，如质数、素数、整数、自然数等，它的解决将有助于深入理解自然数的数论结构。

知乎知名数学博主“TravorLZH”对该零点问题及黎曼猜想的关系有很系统的介绍，感兴趣的朋友可以值得一读

当年徐迟的一篇报告文学，中国人知道了陈景润和歌德巴赫猜想。 那么，什么是歌德巴赫猜想呢？ 哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，提出了以下的猜想: (a)任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。 这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。 从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的"明珠"。 人们对哥德巴赫猜想难题的热情，历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者，殚精竭虑，费尽心机，然而至今仍不得其解。 到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了哥德巴赫猜想。 目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式。 在陈景润之前，关於偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t”问题)之进展情况如下: 1920年，挪威的布朗证明了‘“9 + 9”。 1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。 1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。 1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。 1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。 1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。 1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1 + c”，其中c是一很大的自然数。 1956年，中国的王元证明了“3 + 4”。 1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”， 中国的王元证明了“1 + 4”。 1965年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，及 意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。 1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。 从1920年布朗证明"9＋9"到1966年陈景润攻下“1＋2”，历经46年。自"陈氏定理"诞生至今的30多年里，人们对哥德巴赫猜想猜想的进一步研究，均劳而无功。 布朗筛法的思路是这样的：即任一偶数(自然数)可以写为2n，这里n是一个自然数，2n可以表示为n个不同形式的一对自然数之和： 2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=3+(2n-3)=…=n+n 在筛去不适合哥德巴赫猜想结论的所有那些自然数对之后(例如1和2n-1;2i和(2n-2i),i=1，2,…;3j和(2n-3j)，j=2,3,…;等等)，如果能够证明至少还有一对自然数未被筛去，例如记其中的一对为p1和p2，那么p1和p2都是素数，即得n=p1+p2，这样哥德巴赫猜想就被证明了。前一部分的叙述是很自然的想法。关键就是要证明"至少还有一对自然数未被筛去"。目前世界上谁都未能对这一部分加以证明。要能证明，这个猜想也就解决了。 然而，因大偶数n（不小于6）等于其对应的奇数数列（首为3，尾为n-3）首尾挨次搭配相加的奇数之和。故根据该奇数之和以相关类型质数+质数（1+1）或质数+合数（1+2）（含合数+质数2+1或合数+合数2+2）（注：1+2 或 2+1 同属质数+合数类型）在参与无限次的"类别组合"时，所有可发生的种种有关联系即1+1或1+2完全一致的出现，1+1与1+2的交叉出现（不完全一致的出现），同2+1或2+2的"完全一致"，2+1与2+2的"不完全一致"等情况的排列组合所形成的各有关联系，就可导出的"类别组合"为1+1，1+1与1+2和2+2，1+1与1+2，1+2与2+2，1+1与2+2，1+2等六种方式。因为其中的1+2与2+2，1+2 两种"类别组合"方式不含1+1。所以1+1没有覆盖所有可形成的"类别组合"方式，即其存在是有交替的，至此，若可将1+2与2+2，以及1+2两种方式的存在排除，则1+1得证，反之，则1+1不成立得证。然而事实却是：1+2 与2+2，以及1+2（或至少有一种）是陈氏定理中（任何一个充分大的偶数都可以表示为两个素数的和，或一个素数与两个素数乘积的和），所揭示的某些规律（如1+2的存在而同时有1+1缺失的情况）存在的基础根据。所以1+2与2+2，以及1+2（或至少有一种）"类别组合"方式是确定的，客观的，也即是不可排除的。所以1+1成立是不可能的。这就彻底论证了布朗筛法不能证"1+1"。 由于素数本身的分布呈现无序性的变化，素数对的变化同偶数值的增长二者之间不存在简单正比例关系，偶数值增大时素数对值忽高忽低。能通过数学关系式把素数对的变化同偶数的变化联系起来吗？不能！偶数值与其素数对值之间的关系没有数量规律可循。二百多年来，人们的努力证明了这一点，最后选择放弃，另找途径。于是出现了用别的方法来证明歌德巴赫猜想的人们，他们的努力，只使数学的某些领域得到进步，而对歌德巴赫猜想证明没有一点作用。 歌德巴赫猜想本质是一个偶数与其素数对关系，表达一个偶数与其素数对关系的数学表达式，是不存在的。它可以从实践上证实，但逻辑上无法解决个别偶数与全部偶数的矛盾。个别如何等于一般呢？个别和一般在质上同一，量上对立。矛盾永远存在。歌德巴赫猜想是永远无法从理论上，逻辑上证明的数学结论。 “用当代语言来叙述，哥德巴赫猜想有两个内容，第一部分叫做奇数的猜想，第二部分叫做偶数的猜想。奇数的猜想指出，任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说，大于等于4的偶数一定是两个素数的和。”（引自《哥德巴赫猜想与潘承洞》） 关于歌德巴赫猜想的难度我就不想再说什么了，我要说一下为什么现代数学界对歌德巴赫猜想的兴趣不大，以及为什么中国有很多所谓的民间数学家对歌德巴赫猜想研究兴趣很大。 事实上，在1900年，伟大的数学家希尔伯特在世界数学家大会上作了一篇报告，提出了23个挑战性的问题。歌德巴赫猜想是第八个问题的一个子问题，这个问题还包含了黎曼猜想和孪生素数猜想。现代数学界中普遍认为最有价值的是广义黎曼猜想，若黎曼猜想成立，很多问题就都有了答案，而歌德巴赫猜想和孪生素数猜想相对来说比较孤立，若单纯的解决了这两个问题，对其他问题的解决意义不是很大。所以数学家倾向于在解决其它的更有价值的问题的同时，发现一些新的理论或新的工具，“顺便”解决歌德巴赫猜想。 例如：一个很有意义的问题是：素数的公式。若这个问题解决，关于素数的问题应该说就不是什么问题了。 为什么民间数学家们如此醉心于哥猜，而不关心黎曼猜想之类的更有意义的问题呢？ 一个重要的原因就是，黎曼猜想对于没有学过数学的人来说，想读明白是什么意思都很困难。而歌德巴赫猜想对于小学生来说都能读懂。 数学界普遍认为，这两个问题的难度不相上下。 民间数学家解决歌德巴赫猜想大多是在用初等数学来解决问题，一般认为，初等数学无法解决歌德巴赫猜想。退一步讲，即使那天有一个牛人，在初等数学框架下解决了歌德巴赫猜想，有什么意义呢？这样解决，恐怕和做了一道数学课的习题的意义差不多了。 当年柏努力兄弟向数学界提出挑战，提出了最速降线的问题。牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程，约翰·柏努力用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程，雅克布·柏努力用比较麻烦的办法解决了这个问题。虽然雅克布的方法最复杂，但是在他的方法上发展出了解决这类问题的普遍办法——变分法。现在来看，雅克布的方法是最有意义和价值的。 同样，当年希尔伯特曾经宣称自己解决了费尔马大定理，但却不公布自己的方法。别人问他为什么，他回答说：“这是一只下金蛋的鸡，我为什么要杀掉它？”的确，在解决费尔马大定理的历程中，很多有用的数学工具得到了进一步发展，如椭圆曲线、模形式等。 所以，现代数学界在努力的研究新的工具，新的方法，期待着歌德巴赫猜想这个“下金蛋的鸡”能够催生出更多的理论和工具。

“零点猜想”始于知名数学家黎曼的一种猜想，叫做黎曼猜想。这在数学领域也是困扰很多人的一个难题。

“用当代语言来叙述,哥德巴赫猜想有两个内容,第一部分叫做奇数的猜想,第二部分叫做偶数的猜想.奇数的猜想指出,任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和.偶数的猜想是说,大于等于4的偶数一定是两个素数的和.”（引自《哥德巴赫猜想与潘承洞》） 关于哥德巴赫猜想的难度我就不想再说什么了,我要说一下为什么现代数学界对哥德巴赫猜想的兴趣不大,以及为什么中国有很多所谓的民间数学家对哥德巴赫猜想研究兴趣很大.事实上,在1900年,伟大的数学家希尔伯特在世界数学家大会上作了一篇报告,提出了23个挑战性的问题.哥德巴赫猜想是第八个问题的一个子问题,这个问题还包含了黎曼猜想和孪生素数猜想.现代数学界中普遍认为最有价值的是广义黎曼猜想,若黎曼猜想能够成立,很多问题就都有了答案,而哥德巴赫猜想和孪生素数猜想相对来说比较孤立,若单纯的解决了这两个问题,对其他问题的解决意义不是很大.所以数学家倾向于在解决其它的更有价值的问题的同时,发现一些新的理论或新的工具,“顺便”解决哥德巴赫猜想.]例如：一个很有意义的问题是：素数的统一公式（素数普遍公式）.若这个问题解决,[关于素数的问]题应该说就不是什[么问题了.为什么民间数学家们如此醉心于哥猜,而不关心黎曼猜想之类的更有意义的问题呢?一个重要的原因就是,黎曼猜想对于没有学过数学的人来说,想读明白是什么意思都很困难.而哥德巴赫猜想对于小学生来说都能读懂.数学界普遍认为,这两个问题的难度不相上下.民间数学家解决哥德巴赫猜想大多是在用初等数学来解决问题,一般认为,初等数学无法解决哥德巴赫猜想.退一步讲,即使那天有一个牛人,在初等数学框架下解决了哥德巴赫猜想,有什么意义呢?这样解决,恐怕和做了一道数学课的习题的意义差不多了.当年柏努力兄弟向数学界提出挑战,提出了最速降线的问题.牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程,约翰·柏努力用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程,雅克布·柏努力用比较麻烦的办法解决了这个问题.虽然雅克布的方法最复杂,但是在他的方法上发展出了解决这类问题的普遍办法——变分法.现在来看,雅克布的方法是最有意义和价值的.同样,当年希尔伯特曾经宣称自己解决了费尔马大定理,但却不公布自己的方法.别人问他为什么,他回答说：“这是一只下金蛋的鸡,我为什么要杀掉它?”的确,在解决费尔马大定理的历程中,很多有用的数学工具得到了进一步发展,如椭圆曲线、模形式等.所以,现代数学界在努力的研究新的工具,新的方法,期待着哥德巴赫猜想这个“下金蛋的鸡”能够催生出更多的理论.]

不能，而且两个问题不大一样。

较早的关于这一猜想的特殊的或在一定条件下的研究成果如下：1923年，英国数学家哈代和李特尔伍德证明若广义黎曼猜想成立，弱哥德巴赫猜想对所有足够大的奇数成立。 1937年，苏联数学家维诺格拉多夫证明哈代和李特尔伍德的结论可以在不依赖广义黎曼猜想的情况下直接得到证明。 维诺格拉多夫原始的证明，由于使用了Siegel–Walfisz定理，无法给出“充分大”的下界。他的学生K. Borozdin在1956年证明3^3^15是充分大的。然而这一数字有6,846,169位，要验证比该数小的所有数是完全不可行的。 2002年，香港大学的廖明哲与王天泽把“充分大”的下限降至e^3100，即约2*10^1346。不过这仍然超出了计算机验证的范围（计算机仅对10^18以下的数验证过强哥德巴赫猜想，弱哥德巴赫猜想的验证范围比此略多）。 不过这一下限已经足够小，使得比其小的单个奇数都可以用现有的素性测试来验证，如椭圆曲线素性测试已被用来验证多达26,643位数的素性。 1997年，德国数学家Deshouillers、瑞典数学家Effinger、荷兰数学家te Riele与英国数学家Zinoviev证明，在广义黎曼猜想成立的前提下弱哥德巴赫猜想是完全成立的。这一结果由两部分构成，其一是证明了大于10^20时弱哥德巴赫猜想成立，而小于此数的情况则由计算机验证得到。 法国数学家Olivier Ramaré于1995年证明，不小于4的偶数都可以表示为最多六个素数之和，而Leszek Kaniecki则证明了在黎曼猜想成立的前提下，奇数都可表示为最多五个素数之和。 2012年，澳大利亚数学家陶哲轩在无需黎曼猜想的情形下证明了这一结论。 2012年到2013年，秘鲁数学家哈洛德·贺欧夫各特发表了两篇论文 ，将这个下界降至了约10^30。贺欧夫各特的同事 David Platt 用计算机验证在此之下的所有奇数都符合猜想，从而完成了弱哥德巴赫猜想的全部证明。

　　1、费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由17世纪法国数学家皮耶·德·费马提出。他断言当整数n>2时，关于x,y,z的方程x^n+y^n=z^n没有正整数解。 　　2、德国人沃尔夫斯凯尔曾宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。费马大定理被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年，英国数学家安德鲁·怀尔斯宣布自己证明了费马大定理。费马大定理与黎曼猜想已经成为广义相对论和量子力学融合的m理论几何拓扑载体。

1 定义 对整数a＞1，满足an≡a(modn)的合数n称为底为a的伪素数． 定理2．3 对每一个整数a＞1，有无限多个底为a的伪素数． 底为a的伪素数．我们有(a2－1)(n－1)=a2p－a2=a·(ap-1－1)(ap＋a)．由于ap与a的奇偶性相同，故2|ap＋a；又由费马小定理和pa得p|ap-1－1；由于p是奇数，则a2－1整除ap-1－1；而pa2－1，故有p(a2－1)|ap-1－1．因此，2p(a2－1)|(a2－1)(n－1)即2p|n－1．令n=1 ＋2pm。现在有a2p=n·(a2－1)＋1≡1(modn)．故an-1=a2pm≡1m=1(modn)．即an≡a(modn)，因此n是底为a的伪素数．由于对每个a＞1，满足p多个．因此，以a为底的伪素数有无限多个． 虽然底为2的伪素数有无限多个，但是，它们相对于素数而言是相当少的，隆德大学的波赫曼证明了小于1010×2的素数有882206716个，而塞尔弗来季和瓦格斯塔夫计算出底为2的伪素数在1到2×1010之间只有19865个．因此，在大多数情况下，我们的断言“如果2n≡2(modn)，则n是素数．”是正确的，用这个断言作素性判别，出错的概率很小，例如在n＜2×1010的范围内，出错的概率小于19865／(882206716 ＋19865)≈0.0000025．不过，这样的结果，在实际用来作素性判别时，用处不大，尽管它出错的概率很小，但它毕竟是会出错的．而且，对于特定的一个n，用上面的断言去判别它的素性，就不能排除错误就在此出现．(对于其它底a，可以作同样讨论．) 令人惊奇的是，存在这样的合数n，对任意的满足(a，n)=1的a＞1，n都是底为a的伪素数．这样的合数的存在是费马小定理的逆命题不成立的最合适的例证．因为它说明，即使对所有满足(a，n)=1的a有an-1≡1(modn)，仍不能断定n是素数．这样的合数是由卡米歇尔首先发现的，故叫卡米歇尔数． 例561是卡米歇尔数．这是卡米歇尔发现的第一个卡米歇尔数，也是最小的卡米歇尔数． 因为561=3×11×17，若gcd(a，561)=1， 则gcd(a，3)=gcd(a，11)=gcd(a，17)=1， 由费马小定理知，a2≡1(mod3)，a10≡1(mod11)，a16≡1(mod17)． 由于Lcm(2，10，16)=80， 故a80≡1(mod3)，a80≡1(mod11)，a80≡1(mod17)， 即得a80≡1(mod561)，故a500≡(a80)7≡17=1(mod561)． 所以561是卡米歇尔数． 一般地，我们有下面的定理． 定理2．4 (卡米歇尔)n是卡米歇尔数的充分必要条件是：i)n无平方因子；ii)n的每一个素因子p有p－1|n－1；iii)n是奇数且至少有三个不同的素因子． 证明 先证明充分性．设n满足条件i)， ii)， iii)，令n=p1p2…pk(k≥3)，p1，p2，…，pk是互不相同的奇素数． 现对任意的a＞1，若(a，n)=1，则(a，pi)=1， 由费马小定理得api-1≡1(mod pi)，i=1，2，…，k，而由条件ii)， 有Lcm(p1－1，p2－1，…，pk－1)|n－1，故得an-1≡1(modpi)(i=1，2，…，k)， 因而an-1≡1(modn)． 故n是卡米歇尔数． i=1，…，k．先证明n是奇数． 若n是偶数且含有一个奇素因子p． 这时，取a是p的奇原根， 由an-1≡1(modn)得an-1≡1(modp)． 因此，p－1|n－1，但p－1为偶数而n－1为奇数，这是不可能的． 又若n=2t，t＞1，取a=3，则(3，n)=1．1(mod2t)． 否则，，则， 但假设不符．故n必是奇数， 因而pi是奇素数，i=1，…，k．令gi是模piui的原根，i=1，…，k． 由中国剩余定理，可求 得a使a≡gi(modpiui)(i=1，…，k)．故gcd(a，n)=1． 因为n是卡米歇尔数，则an-1≡1(modn)，即有，an-1≡1(modpiui)，另一方面an-1≡gin-1(mod piui)，故有gin-1≡1(modpiui)．由原根的定义得φ(piui)|n－1，即是piui-1(pi－1)|n－1，i=1，…，k．而n－1=plu1…pkuk－1，故ui=1，i=1，…，k，因此，条件i)证得．又pi－1|n－1，i=1，…，k，即条件ii)证得．对iii)，若k＜3，由n是合数，则k=2，则有n=p1·p2(p1≠p2)，由于p1－1|p1p2－1，而p1p2－1=(p1－1)p2＋p2－1，故得p1－1|p2－1，同理可得，p2－1|p1－1，由此可得p1－1=p2－1，即p1=p2，这与假设不符，因而k≥3，即iii)证得． □ 例 由定理2.4可得2821=7·13·31，10585=5·29·73，27845=5·17·29·23，172081=7·13·31·61都是卡米歇尔数． 由于发现了卡米歇尔数，人们认识到利用费马小定理来作素性判别，不是件简单的事情．假如卡米歇尔数只有有限个，则可以给出一个上界M，这样，在n＞M的范围内对n作素性判别就变得容易起来．然而，卡米歇尔数可能有无限多个，这只是一个猜想，至今无人给出证明，但人们大都认为这个结果是正确的． 3．素性判别与广义黎曼猜想 1976年，缪内发现了素性判别与广义黎曼猜想(见附录)的一个深刻的关系．他得到的结果是：如果广义黎曼猜想(REH)成立，则有一个算法存在，它对每个n，可在log2n的多项式时间内判明n是否素数．即存在素性判别的多项式算法，而且可设计出这个算法． 这个关系的发现，也是以研究费马小定理为出发点的．下面熟知的欧拉的结果是费马小定理的推广． 定理2.11 若n是一个奇素数，则对任意的自然数a，na有 1976年初，勒默发表了一篇短小精悍的文章，证明了定理1的逆定理也成立，他得到了． 定理2.12 (勒默) 若n是奇合数，则存在自然数a，满足(a， 证明 若n含有因子pα，p是奇素数，α＞1．取a为pα的原根， 若n=p1p2…Pt，t≥2，P1，P2，…，Pt为互不相同的奇素数．由 即2≡0(modp2)，但p2是奇素数．这是不可能的．故必有a使(a， 尽管勒默的这个结果说明了，若n是合数，则在1到n之间到少存 也没有指明a在何处．对某个数n，当然，我们可以对1到n之间的每 这个计算量太大了．因此，我们希望能够改进勒默的这个结果．如果对 时只要对较少的a检验．这样就可望得出较有效的素性判别法． 缪内注意到，给定一个数n，在n的缩系组成的群Un={a(modn) 全体构成一个子群，设其为Mn．于是就可以利用下面的安克尼和蒙特哥梅利的结果． 定理2.13 (安—蒙)在广义黎曼猜想(REH)成立的条件下．存在一个常数C，对任何自然数n及Un到任何一个群G的非单位同态ψ，都存在q使1＜q≤C(log2n)2且ψ(qmodn)≠1(其中1是G的单位元)． 由此，缪内得到了下面的结果： 定理2.14 (缪内)在广义黎曼猜想的成立之前提下，存在一个常数C，对任何的自然数n，若n是合数，则存在1≤a≤C(logn)2 Un到Un的同态映射．因为n是合数，由定理2.12知，ψ不是单位同态映射．因此，由定理2.13，存在a使1＜a≤C(log2n)2使ψ(amodn) 注 定理2.14中的常数C可取作与定理2.13中的C相同． 维路于1978年指出，定理2.14中的常数C可以定为70． 由定理2.14，我们说，在广义黎曼猜想成立的前提下，素数判别的多项式算法是存在的．我们可以如下设计出这样一个算法： (modn)是否成立．若对其中的一个a成立，则停止检验，这时n是合数(由定理2.11)，若对每一个a都不成立，也就是说，对a=1，2，…， 上述算法可以完全确定地判别n是否素数， 其计算量就是作70 即工作量是O(log25)，因而这是一个多项式算法． 由此可见，只要广义黎曼猜想成立，则素性判别的多项式算法是找到了的．但证明广义黎曼猜想是相当困难的，这是数学家们一直关注的问题．这里的讨论也表明，素性判别是需要用较高深的方法来研究． 本文来自CSDN博客，转载请标明出处： http://blog.csdn.net/zhouq1986/archive/2008/04/06/2254784.aspx记得采纳啊

我！！！！

一加一等于几？ 在脑筋急转弯里，1+1可以等于（很多种答案）。 1，2，3，10，王，甲，由，申，田，丰， 在10进位制数学计算中，1+1=2；也是“数学大厦”的根基。 在2 进位制数学计算中，1+1=10； 1+1为什么等于2呢？ 这是经过数学家定义了的，因为2的定义就是两个1相加， 也就是公理，不需证明。 用反证法也可以证明。 难道 1+1等于3？ 有很多人联想到有人证明 1+1=2， 陈景润证明的哥德巴赫猜想不是指1+1=2 而是“两个质数相加一定是和数”，简称为1+1=2， 也就是，那个1+1=2 不是这个 1+1=2 一加一等于几？ 解答 数学上一加一等于二， 语文上一加一等于王。 在数学中等于二，在语文中可以等于田，在生物中可以等于一（捕食），可以等于二（互利共生），可以等于三、四、五……（繁衍），还有好多，我不知道的 1+1除等于2外，在不同的情况下有不同的答案： 1、布林代数时。1+1=1； 2、在二进位制时。1+1=10； 3、大舌头回答。如1加1等于爱； 4、作为代表时。如哥德巴赫猜想； 5、文字游戏时。如1夹1，答案是零； 6、在急转弯时。如1加1，答案是11； 7、单位不同时。如1小时加1分等于61分； 8、改变单位时。如1只手加1只手等于1双手； 9、实际需要时。如一尺布加一斤米等于一袋米； 10、智力测验时。如一滴水加一滴水等于一滴水； 11、特殊情况下。如一个男人加一个孕妇等于三个人； 12、搞笑回答时。如一只猫加一只老鼠等于一只吃饱了的猫； 13、在猜字谜时。如一加1，答案是十；一加一，答案是王、丰、卅等；一加一等于，答案是田、由、甲、申等； 14、…… 在数学方面1+1=21+1到底是多少原答案：可能性一：“1+1=2”按照常理来说，“1+1”一定等于“2”，这是准确无疑的。计算器上，生活当中，都足以能够证实这一点。比如：“1个苹果+1个苹果=2个苹果、1个CB+1个CB=2个CB、1个人+1个人=2个人……”这些例子貌似幼稚了点，但――却是证明“1+1=2”的有力证据！可能性二：“1+1=1”“1+1”还等于“1”？看到这里，你一定有所疑问，可这个原因却不足以为奇。聪明的你心里一定早就明白这其中的奥秘了！的确，在以下情况时，“1+1”它就是等于“1”！“1堆沙+1堆沙”，合起来，不还是1堆沙么？！“1滴水+1滴水”也等于一滴水！只要是可以现形溶解的物品，合起来，都会组合成为另一个新的物体。它的单位，仍旧是“1”，只不过体积有所变化。所以说，“1+1=1”的可能性也是不能排除滴！可能性三：“1+1=3”这个结果一定出乎在座的意料！“1+1”怎么会等于“3”呢？别着急，待我慢慢道来。说实在，这还是我从别人的口中“窃取”过来的。常言道：“一个生物与另一个生物结合会出现‘结晶"！”（好象不是‘常言"）这下你有点眉目了吧！对了！一个生物与另一个生物结合出来的“结晶”，再加上生物的本身，不就是3个生物了么？可见，“1+1”在此类情况下是等于“3”，无误的！（嘻嘻……想象力够猛吧！窃笑……）可能性四：“1+1=王”虽然说数学一定要数字，但是有了文字的渗入，又会得到另一种结果~！这个可能，完全是按“中西结合”的方法来计算的。首先，把“阿拉伯数字“1”改为“中文‘一"”，加号不改变，然后重新排列，就得到了：‘一"、‘+"和‘一"，这样的循序刚好成为了抒写文字“王”字的笔画循序！怎么样，神吧~！电脑前的你是不是正在“傻眼观看”此文呢？王田甲由申数学千变万化，结果谁能预料？往后，一定还会有的可能等待着各位“天才人士”们去开发、创造1+1=2当年徐迟的一篇报告文学，中国人知道了陈景润和哥德巴赫猜想。那么，什么是哥德巴赫猜想呢？哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家尤拉，提出了以下的猜想:(a)任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。(b)任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是著名的哥德巴赫猜想。尤拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连尤拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如:6=3+3,8=3+5,10=5+5=3+7,12=5+7,14=7+7=3+11,16=5+11,18=5+13,……等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的"明珠"。人们对哥德巴赫猜想难题的热情，历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者，殚精竭虑，费尽心机，然而至今仍不得其解。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（9+9）。这种缩小包围圈的法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了哥德巴赫猜想。目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为“1+2”的形式。在陈景润之前，关于偶数可表示为s个质数的乘积与t个质数的乘积之和(简称“s+t”问题)之进展情况如下:1920年，挪威的布朗证明了“9+9”。1924年，德国的拉特马赫证明了“7+7”。1932年，英国的埃斯特曼证明了“6+6”。1937年，义大利的蕾西先后证明了“5+7”，“4+9”，“3+15”和“2+366”。1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5+5”。1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4+4”。1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+C”，其中C是一个无穷大的整数。1956年，中国的王元证明了“3+4”。1957年，中国的王元证明了“3+3”和“2+3”。1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1+5”，中国的王元证明了“1+4”。1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及义大利的朋比利证明了“1+3”。1966年，中国的陈景润证明了“1+2”。从1920年布朗证明“9＋9”到1966年陈景润攻下“1＋2”，历经46年。自“陈氏定理”诞生至今的30多年里，人们对哥德巴赫猜想猜想的进一步研究，均劳而无功。-3j)，j=2,3,…;等等)，如果能够证明至少还有一对自然数未被筛去，例如记其中的一对为p1和p2，那么p1和p2都是素数，即得n=p1+p2，这样哥德巴赫猜想就被证明了。前一部分的叙述是很自然的想法。关键就是要证明"至少还有一对自然数未被筛去"。目前世界上谁都未能对这一部分加以证明。要能证明，这个猜想也就解决了。然而，因大偶数n（不小于6）等于其对应的奇数数列（首为3，尾为n-3）首尾挨次搭配相加的奇数之和。故根据该奇数之和以相关型别质数+质数（1+1）或质数+合数（1+2）（含合数+质数2+1或合数+合数2+2）（注：1+2或2+1同属质数+合数型别）在参与无限次的"类别组合"时，所有可发生的种种有关联络即1+1或1+2完全一致的出现，1+1与1+2的交叉出现（不完全一致的出现），同2+1或2+2的"完全一致"，2+1与2+2的"不完全一致"等情况的排列组合所形成的各有关联络，就可汇出的"类别组合"为1+1，1+1与1+2和2+2，1+1与1+2，1+2与2+2，1+1与2+2，1+2等六种方式。因为其中的1+2与2+2，1+2两种"类别组合"方式不含1+1。所以1+1没有覆盖所有可形成的"类别组合"方式，即其存在是有交替的，至此，若可将1+2与2+2，以及1+2两种方式的存在排除，则1+1得证，反之，则1+1不成立得证。然而事实却是：1+2与2+2，以及1+2（或至少有一种）是陈氏定理中（任何一个充分大的偶数都可以表示为两个素数的和，或一个素数与两个素数乘积的和），所揭示的某些规律（如1+2的存在而同时有1+1缺失的情况）存在的基础根据。所以1+2与2+2，以及1+2（或至少有一种）"类别组合"方式是确定的，客观的，也即是不可排除的。所以1+1成立是不可能的。这就彻底论证了布朗筛法不能证"1+1"。实际上：一、陈景润证明的不是哥德巴赫猜想陈景润与邵品宗合著的【哥德巴赫猜想】第118页（辽宁教育出版社）写道：陈景润定理的“1+1”结果，通俗地讲是指：对于任何一个大偶数N,那么总可以找到奇素数P",P",或者P1,P2,P3,使得下列两式至少一式成立：“N=P"+P"(A)N=P1+P2*P3(B)当然并不排除(A)(B)同时成立的情形，例如62=43+19，62=7+5X11。”众所周知，哥德巴赫猜想是指对于大于4的偶数（A)式成立，【1+2】是指对于大于10的偶数（B)式成立，两者是不同的两个命题，陈景润把两个毫不相关的命题混为一谈，并在申报奖项时偷换了概念（命题），陈景润也没有证明【1+2】，因为【1+2】比【1+1】难得多。二、陈景润使用了错误的推理形式陈采用的是相容选言推理的“肯定肯定式”：或者A，或者B，A，所以或者A或B，或A与B同时成立。这是一种错误的推理形式，模棱两可，牵强附会，言之无物，什么也没有肯定，正如算命先生那样“：李大嫂分娩，或者生男孩，或者生女孩，或者同时生男又生女（多胎）”。无论如何都是对的，这种判断在认识论上称为不可证伪，而可证伪性是科学与伪科学的分界。相容选言推理只有一种正确形式。否定肯定式：或者A，或者B，非A，所以B。相容选言推理有两条规则：1，否认一部分选言肢，就必须肯定另一部分选言肢；2，肯定一部分选言肢却不能否定另一部份选言肢。可见对陈景润的认可表明中国数学会思维混乱，缺乏基本的逻辑训练。三、陈景润大量使用错误概念陈在论文中大量使用“充分大”和“殆素数”这两个含糊不清的概念。而科学概念的特征就是：精确性，专义性，稳定性，系统性，可检验性。而“充分大”，陈指10的50万次方，这是不可检验的数。殆素数指很画素数，实际上是合数，拿相与不像从事严格的证明，是小孩子的游戏。四、陈景润的结论不能算定理陈的结论采用的是特称（某些，一些），即某些N是(A)，某些N是（B)，就不能算定理，因为所有严格的科学的定理，定律都是以全称（所有，一切，全部，每个）命题形式表现出来，一个全称命题陈述一个给定类的所有元素之间的一种不变关系，适用于一种无穷大的类，它在任何时候都无区别的成立。而陈景润的结论，连概念都算不上。五、陈景润的工作严重违背认识规律在没有找到素数普遍公式之前，哥氏猜想是无法解决的，正如化圆为方取决于圆周率的超越性是否搞清，事物质的规定性决定量的规定性。（哥德巴赫猜想传奇）王晓明1999，3期《中华传奇》责任编辑陶慧洁）布朗筛法的思路是这样的：即任一偶数(自然数)可以写为2n，这里n是一个自然数，2n可以表示为n个不同形式的一对自然数之和：2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=3+(2n-3)=…=n+n在筛去不适合哥德巴赫猜想结论的所有那些自然数对之后(例如1和2n-1;2i和(2n-2i),i=1，2,…;3j和(2n-3j)，j=2,3,…;等等)，如果能够证明至少还有一对自然数未被筛去，例如记其中的一对为p1和p2，那么p1和p2都是素数，即得n=p1+p2，这样哥德巴赫猜想就被证明了。前一部分的叙述是很自然的想法。关键就是要证明"至少还有一对自然数未被筛去"。目前世界上谁都未能对这一部分加以证明。要能证明，这个猜想也就解决了。然而，因大偶数n（不小于6）等于其对应的奇数数列（首为3，尾为n-3）首尾挨次搭配相加的奇数之和。故根据该奇数之和以相关型别质数+质数（1+1）或质数+合数（1+2）（含合数+质数2+1或合数+合数2+2）（注：1+2或2+1同属质数+合数型别）在参与无限次的"类别组合"时，所有可发生的种种有关联络即1+1或1+2完全一致的出现，1+1与1+2的交叉出现（不完全一致的出现），同2+1或2+2的"完全一致"，2+1与2+2的"不完全一致"等情况的排列组合所形成的各有关联络，就可汇出的"类别组合"为1+1，1+1与1+2和2+2，1+1与1+2，1+2与2+2，1+1与2+2，1+2等六种方式。因为其中的1+2与2+2，1+2两种"类别组合"方式不含1+1。所以1+1没有覆盖所有可形成的"类别组合"方式，即其存在是有交替的，至此，若可将1+2与2+2，以及1+2两种方式的存在排除，则1+1得证，反之，则1+1不成立得证。然而事实却是：1+2与2+2，以及1+2（或至少有一种）是陈氏定理中（任何一个充分大的偶数都可以表示为两个素数的和，或一个素数与两个素数乘积的和），所揭示的某些规律（如1+2的存在而同时有1+1缺失的情况）存在的基础根据。所以1+2与2+2，以及1+2（或至少有一种）"类别组合"方式是确定的，客观的，也即是不可排除的。所以1+1成立是不可能的。这就彻底论证了布朗筛法不能证"1+1"。由于素数本身的分布呈现无序性的变化，素数对的变化同偶数值的增长二者之间不存在简单正比例关系，偶数值增大时素数对值忽高忽低。能通过数学关系式把素数对的变化同偶数的变化联络起来吗？不能！偶数值与其素数对值之间的关系没有数量规律可循。二百多年来，人们的努力证明了这一点，最后选择放弃，另找途径。于是出现了用别的方法来证明歌德巴赫猜想的人们，他们的努力，只使数学的某些领域得到进步，而对哥德巴赫猜想证明没有一点作用。歌德巴赫猜想本质是一个偶数与其素数对关系，表达一个偶数与其素数对关系的数学表示式，是不存在的。它可以从实践上证实，但逻辑上无法解决个别偶数与全部偶数的矛盾。个别如何等于一般呢？个别和一般在质上同一，量上对立。矛盾永远存在。歌德巴赫猜想是永远无法从理论上，逻辑上证明的数学结论。“用当代语言来叙述，哥德巴赫猜想有两个内容，第一部分叫做奇数的猜想，第二部分叫做偶数的猜想。奇数的猜想指出，任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说，大于等于4的偶数一定是两个素数的和。”（引自《哥德巴赫猜想与潘承洞》）关于歌德巴赫猜想的难度我就不想再说什么了，我要说一下为什么现代数学界对哥德巴赫猜想的兴趣不大，以及为什么中国有很多所谓的民间数学家对哥德巴赫猜想研究兴趣很大。事实上，在1900年，伟大的数学家希尔伯特在世界数学家大会上作了一篇报告，提出了23个挑战性的问题。哥德巴赫猜想是第八个问题的一个子问题，这个问题还包含了黎曼猜想和孪生素数猜想。现代数学界中普遍认为最有价值的是广义黎曼猜想，若黎曼猜想成立，很多问题就都有了答案，而哥德巴赫猜想和孪生素数猜想相对来说比较孤立，若单纯的解决了这两个问题，对其他问题的解决意义不是很大。所以数学家倾向于在解决其它的更有价值的问题的同时，发现一些新的理论或新的工具，“顺便”解决哥德巴赫猜想。例如：一个很有意义的问题是：素数公式。若这个问题解决，（详见“素数普遍公式”“孪生素数普遍公式”）关于素数的问题应该说就不是什么问题了。为什么民间数学家们如此醉心于哥猜，而不关心黎曼猜想之类的更有意义的问题呢？一个重要的原因就是，黎曼猜想对于没有学过数学的人来说，想读明白是什么意思都很困难。而歌德巴赫猜想对于小学生来说都能读懂。数学界普遍认为，这两个问题的难度不相上下。民间数学家解决哥德巴赫猜想大多是在用初等数学来解决问题，一般认为，初等数学无法解决哥德巴赫猜想。退一步讲，即使那天有一个牛人，在初等数学框架下解决了哥德巴赫猜想，有什么意义呢？这样解决，恐怕和做了一道数学课的习题的意义差不多了。当年柏努力兄弟向数学界提出挑战，提出了最速降线的问题。牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程，约翰·柏努力用光学的法巧妙的也解出最速降线方程，雅克布·柏努力用比较麻烦的法解决了这个问题。虽然雅克布的方法最复杂，但是在他的方法上发展出了解决这类问题的普遍法——变分法。现在来看，雅克布的方法是最有意义和价值的。同样，当年希尔伯特曾经宣称自己解决了费尔马大定理，但却不公布自己的方法。别人问他为什么，他回答说：“这是一只下金蛋的鸡，我为什么要杀掉它？”的确，在解决费尔马大定理的历程中，很多有用的数学工具得到了进一步发展，如椭圆曲线、模形式等。所以，现代数学界在努力的研究新的工具，新的方法，期待着哥德巴赫猜想这个“下金蛋的鸡”能够催生出的理论和工具。[编辑本段]1+1=?人生公式1+1=？不就是等于二吗？是的，的确是这样。但是这个二却不可小觊。2可以分解成1+1、0.1+1.9、0.5+1.5……1里面的成分是：0.5+0.5、0.1+0.9、0.56+0.44…换个角度1+1虽然等于二但是却有许多含义。譬如说1+1=2分解后就是：0.5+0.5+1=2其中0.5+0.5=天生+后天培养；1=汗水。这是十分容易理解的一个公式。当然要是换个角度，聪明的人就知道凡事无绝对。答案不可能只有1个，含义亦是如此

质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。质数是与合数相对立的两个概念，二者构成了数论当中最基础的定义之一。基于质数定义的基础之上而建立的问题有很多世界级的难题，如哥德巴赫猜想等。截至2012年6月底，质数尚未完全找到通项公式。质数的无穷性的证明　　质数的个数是无穷的。最经典的证明由欧几里得证得，在他的《几何原本》中就有记载。它使用了现在证明常用的方法：反证法。具体的证明如下： 　　●假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设 N = p1 × p2 × …… × pn，那么，N+1是素数或者不是素数。 　　●如果N+1为素数，则N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。 　　●如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。 　　●因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。 　　●对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集合中的结论。 　　●所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。 　　其他数学家也给出了他们自己的证明。欧拉利用黎曼ζ函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，Hillel Furstenberg则用拓扑学加以了证明。 对于一定范围内的素数数目的计算　　尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100000以下有多少个素数?”，“一个随机的100位数多大可能是素数?”。素数定理可以回答此问题。 编辑本段著名问题哥德巴赫猜想　　在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。　今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。 　　从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。 　　若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。弱哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”，数学家认为弱哥德巴赫猜想已基本解决。 黎曼猜想　　黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼（1826--1866）于1859年提出。德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。黎曼猜想提出：黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点（在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值）的实数部份是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti（“临界线”（critical line））上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。至今尚无人给出一个令人信服的关于黎曼猜想的合理证明。 　　在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。 运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。 　　黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。 孪生质数猜想　　1849年，波林那克提出孪生质数猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生质数。 　　猜想中的“孪生质数”是指一对质数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生质数。 　　100以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，在100内共有25个质数。 费马数2^(2^n)+1　　被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)+1，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=4294967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。这便是费马数。费马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5是一个合数。 　　以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。 梅森质数　　17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1 ，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。 p=2，3，5，7时，2^p-1都是素数，但p=11时，所得2047=23×89却不是素数。 　　还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721×761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。 　　现在，数学家找到的最大的梅森质数是2^43112609－1。 编辑本段相关定理素数定理　　素数定理描述素数素数的大致分布情况。 素数的出现规律一直困惑著数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数x，定义π(x)为不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。 π(x)≈x/ln x 其中ln x为x的自然对数。上式的意思是当x趋近∞，π(x) 和x/ln x的比趋 近1（注：该结果为高斯所发现）。但这不表示它们的数值随着x增大而接近。 下面是对π(x)更好的估计： π(x)=Li (x) + O (x e^(-(ln x)^(1/2)/15)，当 x 趋近∞。 其中 Li(x) = ∫(dt/ln x2,x)，而关系式右边第二项是误差估计。　 　　素数定理可以给出第n个素数p(n)的渐近估计：p(n)～n/ln n. 它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。 这定理的式子於1798年法国数学家勒让德提出。1896年法国数学家哈达玛(Jacques Hadamard)和比利时数学家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。 因为黎曼ζ函数与π(x)关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家Helge von Koch证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的估计可改进为 :π(x)=Li (x) + O (x^(1/2) ln x) 至於大O项的常数则还未知道。　素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明於1949年由匈牙利数学家保罗·艾狄胥（“爱尔多斯”，或“爱尔多希”）和挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。 在此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的「深度」。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。这是凭感觉说出来的，觉得一些方法比别的更高等也更厉害，而素数定理的初等证明动摇了这论调。Selberg－艾狄胥的证明正好表示，看似初等的组合数学，威力也可以很大。 但是，有必要指出的是，虽然该初等证明只用到初等的办法，其难度甚至要比用到复分析的证明远为困难。 算术基本定理　　任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an) , 这里P_1<P_2<...<P_n是质数，其诸方幂 ai 是正整数。　 　　这样的分解称为N 的标准分解式。 　　算术基本定理的内容由两部分构成：分解的存在性、分解的唯一性（即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的）。 　　算术基本定理是初等数论中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。 　　此定理可推广至更一般的交换代数和代数数论。高斯证明复整数环Z[i]也有唯一分解定理。它也诱导了诸如唯一分解整环，欧几里得整环等等概念。 更一般的还有戴德金理想分解定理。 素数等差数列　　等差数列是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。类似7、37、67、97、107、137、167、197。这样由素数组成的数列叫做等差素数数列。2004年，格林和陶哲轩证明存在任意长的素数等差数列。2004年4月18日，两人宣布：他们证明了“存在任意长度的素数等差数列”，也就是说，对于任意值K，存在K个成等差级数的素数。例如 K=3，有素数序列3, 5, 7 （每两个差2）……K=10，有素数序列 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089 （每两个差210）[1]。 参考资料 1． 格林和陶哲轩的成果-证明存在任意长的素数等差数列 论文作者：Green, B. and Tao, T. ； 论文题目：The primes contain arbitrarily long and arithmetic progression, ； 投稿日期：2004年4月9日； 接受日期：2005年9月12日； 发表杂志：Annals

因为所以，科学道理小孩子不懂的，这么白痴的问题亏你问的出来`

《黎曼猜想漫谈一场攀登数学高峰的天才盛宴》（卢昌海）电子书网盘下载免费在线阅读链接：https://pan.baidu.com/s/1Kd7jsrGtKLIQWPRlpQuX8Q提取码：KBCZ    书名：黎曼猜想漫谈一场攀登数学高峰的天才盛宴豆瓣评分：8.7作者: 卢昌海出版社: 清华大学出版社副标题: 一场攀登数学高峰的天才盛宴出版年: 2016-8-20页数: 270内容简介：史上zui富有创造性的数学家——黎曼。他奉行恩师高斯的座右铭，宁肯少些，但要成熟。黎曼生前只发表10篇论文，却是很多领域的开拓者。他提出的黎曼猜想是数学史上的不朽谜语，被公认为是zui伟大的数学猜想。作者以非常明晰的数学阐释文字与优雅、生动、有趣的传记和历史篇章交替出现，对一个史诗般的数学之谜作了迷人而流畅的叙述，而这个谜还将继续挑战和刺激着世人。大师留给我们的岂止是一些公式、原理？还有他们对未知世界的探索精神，这都将激发人们对理想和美的追求。数学家王元院士的评价：“本书关于数学的阐述是严谨的，数学概念是清晰的。文字流畅，并间夹了一些流传的故事以增加趣味性与可读性。从这几方面来看，都是一本很好的雅俗共赏的数学科普图书。”《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》由原点阅读出品。作者简介：卢昌海，出生于杭州，本科就读于复旦大学物理系，毕业后赴美留学，于2000年获美国哥伦比亚大学物理学博士学位，目前旅居纽约。著有《那颗星星不在星图上：寻找太阳系的疆界》、《上下百亿年：太阳的故事》、《黎曼猜想漫谈》（获第七届吴大猷科学普及著作原创类金签奖）、《从奇点到虫洞：广义相对论专题选讲》、《小楼与大师：科学殿堂的人和事》（入选“2014中国好书”）、《因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦》、《霍金的派对：从科学天地到数码时代》等，并曾在《南方周末》、《科学画报》、《现代物理知识》、《数学文化》（任特约撰稿人）等报纸、杂志上发表一百多篇科普及专业科普作品。

霍奇猜想和黎曼猜想都很好。霍奇猜想是代数几何的一个重大的悬而未决的问题。由威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇提出，它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想，属于世界七大数学难题之一。霍奇猜想与费马大定理和黎曼猜想成为广义相对论和量子力学融合的m理论结构几何拓扑载体和工具。黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家黎曼于1859年提出。希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的制高点，其中便包括黎曼假设。现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼猜想。

黎曼猜想说的是关于黎曼函数的零点分布以及一些想法；研究它的作用可以促进一些学科的发展。

因为这道题目本身就是一种猜想，猜想可以分为很多种，所以这也是七大数学难题之一。

早着呢...世纪性的难题~~么的那么容易搞定吧..`-_-||

其实就是对于任意一个黎曼群，如果它的顶点不在黎曼空间里，那么在任何很小的正整数范围之内，这个函数就等于零。

《从奇点到虫洞》（卢昌海）电子书网盘下载免费在线阅读资源链接：链接：https://pan.baidu.com/s/1pLQWtQFjzb3uLdTsgfJ03w  提取码：ry2l    书名：从奇点到虫洞作者：卢昌海豆瓣评分：8.0出版社：清华大学出版社出版年份：2014-1-1页数：160内容简介：奇点、黑洞、白洞、虫洞、时间旅行……对这些科普和科幻作品中迷人概念的深度探索；霍金、彭罗斯、威顿、丘成桐、索恩……对这些著名科学家精彩工作的细致解读。作者是一个科幻爱好者也是一个严谨的科普作家，他从科学的严谨出发，探讨了大众对遥远星空世界的好奇、探索中一些非常有意思部分的物理规律，既有趣又严谨。本书以能量条件为线索，对能量条件在其他一些广义相对论课题——比如奇点与奇点定理、正质量定理、宇宙监督假设一并进行介绍。本书将以严谨的物理框架为基础，用生动的文笔，翔实的资料，为幻想般的问题寻找尽可能现实的答案。通过本书您将会明白以下问题，黑洞能被摧毁吗？什么是彭罗斯猜 想？白洞是真实还是幻想？虫洞可以构筑时间机器吗？时空的拓扑结构可以改变吗？黑洞能作为星际旅行的通道吗？什么是奇异物质？奇异物质存在吗？科幻影片中穿越虫洞的特技合乎物理吗？裸奇点会造成什么麻烦？“上帝” 憎恶裸奇点吗？奇点是物理时空中的点吗？奇点的存在有多大的普遍性？什么样的虫洞才能成为星际旅行的通道？那通道一定是捷径吗？为什么像“正质量”那样貌似显而易见的特性在广义相对论中会成为难题？作者简介：卢昌海，出生于杭州，本科就读于复旦大学物理系，毕业后赴美留学，于2000年获美国哥伦比亚大学物理学博士学位，目前旅居纽约。著有《那颗星星不在星图上：寻找太阳系的疆界》、《太阳的故事》和《黎曼猜想漫谈》，并曾在《中国青年报》、《数学文化》、《科幻世界》、《现代物理知识》、《中学生天地》、《科学画报》等报纸、杂志上发表几十篇科普及专业科普作品。

复变函数论的奠基人　　19世纪数学最独特的创造是复变函数理论的创立，它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯已对单值解析函数的理论进行了系统的研究，而对于多值函数仅有柯西和皮瑟有些孤立的结论。　　1851年，黎曼在高斯的指导下完成题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士论文，后来又在《数学杂志》上发表了四篇重要文章，对其博士论文中思想的做了进一步的阐述，一方面总结前人关于单值解析函数的成果，并用新的工具予以处理，同时创立多值解析函数的理论基础，并由此为几个不同方向的进展铺平了道路。　　柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要奠基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来，维尔斯特拉斯的思想可以从柯西—黎曼的观点推导出来。　　在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。通过黎曼面给多值函数以几何直观，且在黎曼面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼面上引入支点、横剖线、定义连通性，开展对函数性质的研究获得一系列成果。　　经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼—罗赫定理，首创的双有理变换构成19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。　　黎曼为完善其博士论文，在结束时给出其函数论在保形映射的几个应用，将高斯在1825年关于平面到平面的保形映射的结论推广到任意黎曼面上，并在文字的结尾给出著名的黎曼映射定理。 黎曼几何的创始人　　黎曼对数学最重要的贡献还在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系，对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。　　1854年，黎曼为了取得哥廷根大学编外讲师的资格，对全体教员作了一次演讲，该演讲在其逝世后的两年(1868年)以《关于作为几何学基础的假设》为题出版。演讲中，他对所有已知的几何，包括刚刚诞生的非欧几何之一的双曲几何作了纵贯古今的概要，并提出一种新的几何体系，后人称为黎曼几何。　　为竞争巴黎科学院的奖金，黎曼在1861年写了一篇关于热传导的文章，这篇文章后来被称为他的“巴黎之作”。文中对他1854年的文章作了技术性的加工，进一步阐明其几何思想。该文在他死后收集在1876年他的《文集》中。　　黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的途径，这同在欧几里得几何中或者在高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的非欧几何中把空间作为一个整体进行考虑是对立的。黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间。　　黎曼引入流形和微分流形的概念，把维空间称为一个流形，维流形中的一个点可以用个可变参数的一组特定值来表示，而所有这些点的全体构成流形本身，这个可变参数称为流形的坐标，而且是可微分的，当坐标连续变化时，对应的点就遍历这个流形。　　黎曼仿照传统的微分几何定义流形上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间的夹角。并以这些概念为基础，展开对维流形几何性质的研究。在维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻划曲面弯曲程度的曲率。他证明他在维流形上维数等于三时，欧几里得空间的情形与高斯等人得到的结果是一致的，因而黎曼几何是传统微分几何的推广。　　黎曼发展了高斯关于一张曲面本身就是一个空间的几何思想，开展对维流形内蕴性质的研究。黎曼的研究导致另一种非欧几何——椭圆几何学的诞生。　　在黎曼看来，有三种不同的几何学。它们的差别在于通过给定一点做关于定直线所作平行线的条数。如果只能作一条平行线，即为熟知的欧几里得几何学；如果一条都不能作，则为椭圆几何学；如果存在一组平行线，就得到第三种几何学，即罗巴切夫斯基几何学。黎曼因此继罗巴切夫斯基以后发展了空间的理论，使得一千多年来关于欧几里得平行公理的讨论宣告结束。他断言，客观空间是一种特殊的流形，预见具有某种特定性质的流形的存在性。这些逐渐被后人一一予以证实。　　由于黎曼考虑的对象是任意维数的几何空间，对复杂的客观空间有更深层的实用价值。所以在高维几何中，由于多变量微分的复杂性，黎曼采取了一些异于前人的手段使表述更简洁，并最终导致张量、外微分及联络等现代几何工具的诞生。爱因斯坦就是成功地以黎曼几何为工具，才将广义相对论几何化。现在，黎曼几何已成为现代理论物理必备的数学基础。 微积分理论的创造性贡献　　黎曼除对几何和复变函数方面的开拓性工作以外，还以其对l9世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献载入史册。　　18世纪末到l9世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支——微积分在概念和证明中表现出的不严密性。波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱进而到维尔斯特拉斯，都以全力的投入到分析的严密化工作中。黎曼由于在柏林大学从师狄利克莱研究数学，且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见解。　　1854年黎曼为取得哥廷根大学编外讲师的资格，需要他递交一篇反映他学术水平的论文。他交出的是《关于利用三角级数表示一个函数的可能性的》文章。这是一篇内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论产生深远的影响。　　柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来50年中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清连续与可微的关系。　　黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的必要充分条件。　　黎曼用自己独特的方法研究傅立叶级数，推广了保证博里叶展开式成立的狄利克莱条件，即关于三角级数收敛的黎曼条件，得出关于三角级数收敛、可积的一系列定理。他还证明：可以把任一条件收敛的级数的项适当重排，使新级数收敛于任何指定的和或者发散。 解析数论跨世纪的成果　　19世纪数论中的一个重要发展是由狄利克莱开创的解析方法和解析成果的导入，而黎曼开创了用复数解析函数研究数论问题的先例，取得跨世纪的成果。　　1859年，黎曼发表了《在给定大小之下的素数个数》的论文。这是一篇不到十页的内容极其深到的论文，他将素数的分布的问题归结为函数的问题，现在称为黎曼函数。黎曼证明了函数的一些重要性质，并简要地断言了其它的性质而未予证明。　　在黎曼死后的一百多年中，世界上许多最优秀的数学家尽了最大的努力想证明他的这些断言，并在作出这些努力的过程中为分析创立了新的内容丰富的新分支。如今，除了他的一个断言外，其余都按黎曼所期望的那样得到了解决。　　那个未解决的问题现称为“黎曼猜想”，即：在带形区域中的一切零点都位于去这条线上(希尔伯特23个问题中的第8个问题)，这个问题迄今没有人证明。对于某些其它的域，布尔巴基学派的成员已证明相应的黎曼猜想。数论中很多问题的解决有赖于这个猜想的解决。黎曼的这一工作既是对解析数论理论的贡献，也极大地丰富了复变函数论的内容。 组合拓扑的开拓者　　在黎曼博士论文发表以前，已有一些组合拓扑的零散结果，其中著名的如欧拉关于闭凸多面体的顶点、棱、面数关系的欧拉定理。还有一些看起来简单又长期得不到解决的问题：如哥尼斯堡七桥问题、四色问题，这些促使了人们对组合拓扑学(当时被人们称为位置几何学或位置分析学)的研究。但拓扑研究的最大推动力来自黎曼的复变函数论的工作。　　黎曼在1851年他的博士论文中，以及在他的阿贝尔函数的研究里都强调说，要研究函数，就不可避免地需要位置分析学的一些定理。按现代拓扑学术语来说，黎曼事实上已经对闭曲面按亏格分类。值得提到的是，在其学位论文中，他说到某些函数的全体组成(空间点的)连通闭区域的思想是最早的泛函思想。　　比萨大学的数学教授贝蒂曾在意大利与黎曼相会，黎曼由于当时病魔缠身，自身已无能力继续发展其思想，把方法传授给了贝蒂。贝蒂把黎曼面的拓扑分类推广到高维图形的连通性，并在拓扑学的其他领域作出杰出的贡献。黎曼是当之无愧的组合拓扑的先期开拓者。 代数几何的开源贡献　　19世纪后半叶，人们对黎曼研究阿贝尔积分和阿贝尔函数所创造的双有理变换的方法产生极大的兴趣。当时他们把代数不变量和双有理变换的研究称为代数几何。　　黎曼在1857年的论文中认为，所有能彼此双有理变换的方程(或曲面)属于同一类，它们有相同的亏格。黎曼把常量的个数叫做“类模数”，常量在双有理变换下是不变量。“类模数”的概念是现在“参模”的特殊情况，研究参模上的结构是现代最热门的领域之一。　　著名的代数几何学家克莱布什后来到哥廷根大学担任数学教授，他进一步熟悉了黎曼的工作，并对黎曼的工作给予新的发展。虽然黎曼英年早逝，但世人公认，研究曲线的双有理变换的第一个大的步骤是由黎曼的工作引起的。　　黎曼假设　2000年5月24日，美国克雷(Clay)数学研究所公布了7个千禧数学问题。每个问题的奖金均为100万美元。其中黎曼假设被公认为目前数学中(而不仅仅是这7个)最重要的猜想。黎曼假设并非第一次在社会上征寻解答，早在1900年的巴黎国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设(还包括孪生素数猜测和哥德巴赫猜想)。　　具体概述关于黎曼-希尔伯特问题是：具有给定单值群的线性微分方程的存在性证明。即：关于素数的方程的所有有意义的解都在一条直线上。　　有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。　　1730年，欧拉在研究调和级数：　　Σ1/n=1+1/2+1/3+...+1/n.....。　　时，发现：　　Σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)......=Π(1-1/p)^-1。　　其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，将n写成n^s(s>1),即可。如果黎曼假设正确：　　Π（x)=Li(x)+O(x^1/2*logx)　　证明了上式，即证明了黎曼猜想。 　　在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) =1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。 在数学物理、微分方程等其他领域的丰硕成果　　黎曼不但对纯数学作出了划时代的贡献，他也十分关心物理及数学与物理世界的关系，他写了一些关于热、光、磁、气体理论、流体力学及声学方面的有关论文。他是对冲击波作数学处理的第一个人，他试图将引力与光统一起来，并研究人耳的数学结构。他将物理问题抽象出的常微分方程、偏微分方程进行定论研究得到一系列丰硕成果。　　黎曼在1857年的论文《对可用高斯级数表示的函数的理论的补充》，及同年写的一个没有发表而后收集在其全集中的一个片断中，他处理了超几何微分方程和讨论带代数系数的阶线性微分方程。这是关于微分方程奇点理论的重要文献。　　19世纪后半期，许多数学家花了很多精力研究黎曼问题，然而都失败了，直到1905年希尔伯特和Kellogg借助当时已经发展了的积分方程理论，才第一次给出完全解。　　黎曼在常微分方程理论中自守函数的研究上也有建树，在他的1858～1859年关于超几何级数的讲义和1867年发表的关于极小正曲面的一篇遗著中，他建立了为研究二阶线性微分方程而引进的自守函数理论，即现在通称的黎曼——许瓦兹定理。　　在偏微分方程的理论和应用上，黎曼在1858年～1859年论文中，创造性的提出解波动方程初值问题的新方法，简化了许多物理问题的难度；他还推广了格林定理；对关于微分方程解的存在性的狄里克莱原理作了杰出的工作，……　　黎曼在物理学中使用的偏微分方程的讲义，后来由韦伯以《数学物理的微分方程》编辑出版，这是一本历史名著。　　不过，黎曼的创造性工作当时未能得到数学界的一致公认，一方面由于他的思想过于深邃，当时人们难以理解，如无自由移动概念非常曲率的黎曼空间就很难为人接受，直到广义相对论出现才平息了指责；另一方面也由于他的部分工作不够严谨，如在论证黎曼映射定理和黎曼—罗赫定理时，滥用了狄利克雷原理，曾经引起了很大的争议。　　黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。

德国人啊。

黎曼猜想，即素数的分布最终归结为所谓的黎曼ζ函数的零点问题。黎曼在１８５９年在论文《在给定大小之下的素数个数》中做出这样的猜想：ζ（ｚ）函数位于０≤ｘ≤１之间的全部零点都在ReZ＝1／２之上，即零点的实部都是１／２，这至今仍是未解决的问题。黎曼猜想是说： 　　素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都是很重要的问题。素数在自然数域中分布并没有一定规则。黎曼（1826--1866）发现素数出现的频率与所谓黎曼ζ函数紧密相关。黎曼ζ函数的非平凡零点都在线 <math>operatorname z = frac</math> 上。　　1901年 Koch 指出，黎曼猜想与叙述 <math>pi left( x ight) = operatorname x + Oleft( {sqrt x ln x} ight)</math> 等价。　　现在已经验证了最初的1,500,000,000个解，猜想都是正确的。但是否对所有解是正确的，却没有证明，随着费马最后定理的获证，黎曼猜想作为最困难的数学问题的地位更加突出。　　黎曼假设、庞加莱猜想、霍奇猜想、波奇和斯温纳顿―戴尔猜想、纳威厄―斯托克斯方程、杨―米尔理论、Ｐ对ＮＰ问题被称为21世纪七大数学难题。2000年，美国克雷数学研究所将它们设为“千年大奖问题”，每个难题悬赏100万美元征求证明。 　　专家指出，黎曼假设一旦被攻克，将对加密学有帮助。其余的难题一旦破解，将会给航天、物理等领域带来突破性进展，并开辟全新的数学研究领域。 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

　　1、黎曼猜想（或称黎曼假设）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。德国数学家戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，其中便包括黎曼假设。现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼假设； 　　2、虽然在知名度上，黎曼猜想不及费尔马猜想和哥德巴赫猜想，但它在数学上的重要性要远远超过后两者，是当今数学界最重要的数学难题，当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提； 　　3、2018年9月，迈克尔·阿蒂亚声明证明黎曼猜想，于9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲。9月24日，迈克尔·阿蒂亚贴出了他证明黎曼假设（猜想）的预印本。黎曼猜想与费马大定理已经成为广义相对论和量子力学融合的m理论几何拓扑载体。

当年徐迟的一篇报告文学，中国人知道了陈景润和歌德巴赫猜想。 那么，什么是歌德巴赫猜想呢？ 哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，提出了以下的猜想: (a)任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。 这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。 从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的"明珠"。 人们对哥德巴赫猜想难题的热情，历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者，殚精竭虑，费尽心机，然而至今仍不得其解。 到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了哥德巴赫猜想。 目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式。 在陈景润之前，关於偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t”问题)之进展情况如下: 1920年，挪威的布朗证明了‘“9 + 9”。 1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。 1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。 1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。 1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。 1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。 1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1 + c”，其中c是一很大的自然数。 1956年，中国的王元证明了“3 + 4”。 1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”， 中国的王元证明了“1 + 4”。 1965年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，及 意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。 1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。 从1920年布朗证明"9＋9"到1966年陈景润攻下“1＋2”，历经46年。自"陈氏定理"诞生至今的30多年里，人们对哥德巴赫猜想猜想的进一步研究，均劳而无功。 布朗筛法的思路是这样的：即任一偶数(自然数)可以写为2n，这里n是一个自然数，2n可以表示为n个不同形式的一对自然数之和： 2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=3+(2n-3)=…=n+n 在筛去不适合哥德巴赫猜想结论的所有那些自然数对之后(例如1和2n-1;2i和(2n-2i),i=1，2,…;3j和(2n-3j)，j=2,3,…;等等)，如果能够证明至少还有一对自然数未被筛去，例如记其中的一对为p1和p2，那么p1和p2都是素数，即得n=p1+p2，这样哥德巴赫猜想就被证明了。前一部分的叙述是很自然的想法。关键就是要证明"至少还有一对自然数未被筛去"。目前世界上谁都未能对这一部分加以证明。要能证明，这个猜想也就解决了。 然而，因大偶数n（不小于6）等于其对应的奇数数列（首为3，尾为n-3）首尾挨次搭配相加的奇数之和。故根据该奇数之和以相关类型质数+质数（1+1）或质数+合数（1+2）（含合数+质数2+1或合数+合数2+2）（注：1+2 或 2+1 同属质数+合数类型）在参与无限次的"类别组合"时，所有可发生的种种有关联系即1+1或1+2完全一致的出现，1+1与1+2的交叉出现（不完全一致的出现），同2+1或2+2的"完全一致"，2+1与2+2的"不完全一致"等情况的排列组合所形成的各有关联系，就可导出的"类别组合"为1+1，1+1与1+2和2+2，1+1与1+2，1+2与2+2，1+1与2+2，1+2等六种方式。因为其中的1+2与2+2，1+2 两种"类别组合"方式不含1+1。所以1+1没有覆盖所有可形成的"类别组合"方式，即其存在是有交替的，至此，若可将1+2与2+2，以及1+2两种方式的存在排除，则1+1得证，反之，则1+1不成立得证。然而事实却是：1+2 与2+2，以及1+2（或至少有一种）是陈氏定理中（任何一个充分大的偶数都可以表示为两个素数的和，或一个素数与两个素数乘积的和），所揭示的某些规律（如1+2的存在而同时有1+1缺失的情况）存在的基础根据。所以1+2与2+2，以及1+2（或至少有一种）"类别组合"方式是确定的，客观的，也即是不可排除的。所以1+1成立是不可能的。这就彻底论证了布朗筛法不能证"1+1"。 由于素数本身的分布呈现无序性的变化，素数对的变化同偶数值的增长二者之间不存在简单正比例关系，偶数值增大时素数对值忽高忽低。能通过数学关系式把素数对的变化同偶数的变化联系起来吗？不能！偶数值与其素数对值之间的关系没有数量规律可循。二百多年来，人们的努力证明了这一点，最后选择放弃，另找途径。于是出现了用别的方法来证明歌德巴赫猜想的人们，他们的努力，只使数学的某些领域得到进步，而对歌德巴赫猜想证明没有一点作用。 歌德巴赫猜想本质是一个偶数与其素数对关系，表达一个偶数与其素数对关系的数学表达式，是不存在的。它可以从实践上证实，但逻辑上无法解决个别偶数与全部偶数的矛盾。个别如何等于一般呢？个别和一般在质上同一，量上对立。矛盾永远存在。歌德巴赫猜想是永远无法从理论上，逻辑上证明的数学结论。 “用当代语言来叙述，哥德巴赫猜想有两个内容，第一部分叫做奇数的猜想，第二部分叫做偶数的猜想。奇数的猜想指出，任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说，大于等于4的偶数一定是两个素数的和。”（引自《哥德巴赫猜想与潘承洞》） 关于歌德巴赫猜想的难度我就不想再说什么了，我要说一下为什么现代数学界对歌德巴赫猜想的兴趣不大，以及为什么中国有很多所谓的民间数学家对歌德巴赫猜想研究兴趣很大。 事实上，在1900年，伟大的数学家希尔伯特在世界数学家大会上作了一篇报告，提出了23个挑战性的问题。歌德巴赫猜想是第八个问题的一个子问题，这个问题还包含了黎曼猜想和孪生素数猜想。现代数学界中普遍认为最有价值的是广义黎曼猜想，若黎曼猜想成立，很多问题就都有了答案，而歌德巴赫猜想和孪生素数猜想相对来说比较孤立，若单纯的解决了这两个问题，对其他问题的解决意义不是很大。所以数学家倾向于在解决其它的更有价值的问题的同时，发现一些新的理论或新的工具，“顺便”解决歌德巴赫猜想。 例如：一个很有意义的问题是：素数的公式。若这个问题解决，关于素数的问题应该说就不是什么问题了。 为什么民间数学家们如此醉心于哥猜，而不关心黎曼猜想之类的更有意义的问题呢？ 一个重要的原因就是，黎曼猜想对于没有学过数学的人来说，想读明白是什么意思都很困难。而歌德巴赫猜想对于小学生来说都能读懂。 数学界普遍认为，这两个问题的难度不相上下。 民间数学家解决歌德巴赫猜想大多是在用初等数学来解决问题，一般认为，初等数学无法解决歌德巴赫猜想。退一步讲，即使那天有一个牛人，在初等数学框架下解决了歌德巴赫猜想，有什么意义呢？这样解决，恐怕和做了一道数学课的习题的意义差不多了。 当年柏努力兄弟向数学界提出挑战，提出了最速降线的问题。牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程，约翰·柏努力用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程，雅克布·柏努力用比较麻烦的办法解决了这个问题。虽然雅克布的方法最复杂，但是在他的方法上发展出了解决这类问题的普遍办法——变分法。现在来看，雅克布的方法是最有意义和价值的。 同样，当年希尔伯特曾经宣称自己解决了费尔马大定理，但却不公布自己的方法。别人问他为什么，他回答说：“这是一只下金蛋的鸡，我为什么要杀掉它？”的确，在解决费尔马大定理的历程中，很多有用的数学工具得到了进一步发展，如椭圆曲线、模形式等。 所以，现代数学界在努力的研究新的工具，新的方法，期待着歌德巴赫猜想这个“下金蛋的鸡”能够催生出更多的理论和工具。 附：黎曼猜想： 黎曼ζ函数的非平凡零点的实部都为1/2。 关于黎曼猜想更详细的请查阅 维基百科

1、黎曼猜想（或称黎曼假设）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。德国数学家戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，其中便包括黎曼假设。现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼假设； 2、虽然在知名度上，黎曼猜想不及费尔马猜想和哥德巴赫猜想，但它在数学上的重要性要远远超过后两者，是当今数学界最重要的数学难题，当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提； 3、2018年9月，迈克尔·阿蒂亚声明证明黎曼猜想，于9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲。9月24日，迈克尔·阿蒂亚贴出了他证明黎曼假设（猜想）的预印本。黎曼猜想与费马大定理已经成为广义相对论和量子力学融合的m理论几何拓扑载体。

黎曼在1858年写的一篇只长8页关于素数分布的论文，就在这论文里他提出了有名的黎曼猜想（Riemanns Hypoth-esis）。这猜想提出已有一百多年了，许多有名的数学家曾尝试去证明，就像喜欢爬山的人希望能爬上珠穆朗玛峰一样——因为到达它的顶峰非常困难，目前已有人登上这世界高峰，可是却没有人能证明这猜想！那么这个让上帝如此吝啬的黎曼猜想究竟是一个什么样的猜想呢？在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数：黎曼ζ 函数。这个函数虽然挂着黎曼的大名，其实并不是黎曼首先提出的。但黎曼虽然不是这一函数的提出者， 他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解，为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。后人为了纪念黎曼的卓越贡献，就用他的名字命名了这一函数。那么究竟什么是黎曼ζ 函数呢？黎曼ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 (n 为正整数) ζ(s) = ∑n n^-s (Re(s) > 1) 在复平面上的解析延拓。 之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为 - 如我们已经注明的 - 这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 (否则级数不收敛)。黎曼找到了这一表达式的解析延拓 (当然黎曼没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函数论术语)。 运用路径积分， 解析延拓后的黎曼ζ 函数可以表示为：这里我们采用的是历史文献中的记号， 式中的积分实际是一个环绕正实轴 (即从 +∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近， 环绕原点积分至实轴下方， 再沿实轴下方积分至 +∞ - 离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0) 进行的围道积分； 式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广， 对于正整数 s>1： Γ(s)=(s-1)!。 可以证明， 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。 这就是黎曼ζ 函数的完整定义。运用上面的积分表达式可以证明，黎曼ζ 函数满足以下代数关系式：ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s)　从这个关系式中不难发现，黎曼ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零 - 因为 sin(πs/2) 为零[注三]。 复平面上的这种使黎曼ζ 函数取值为零的点被称为黎曼ζ 函数的零点。 因此 s=-2n (n 为正整数) 是黎曼ζ 函数的零点。 这些零点分布有序、 性质简单， 被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。 除了这些平凡零点外，黎曼ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros) 。

小学生不懂这个的

北大才俊张益唐已“做了”朗道—西格尔猜想，这一猜想简单来说便是黎曼猜想的某些类型。数学的应用十分广泛，支系遍及许多行业，例如基础数学、计算数学、应用数学、摡率论等。数学课讲的是空间形态和排列与组合的理论，懂的人对它们十分沉迷，不懂对它们好似残卷。在网络上一条吃惊物理学界消息造成大家关注，该信息是北大才俊张益唐已“做了”朗道—西格尔猜想。很多人都不知道这一猜想多么刺激，简单来说便是假如朗道—西格尔猜想颠覆了黎曼猜想，近现代数学课可能所有打倒重新来过。数学课涉及到的很广泛，黎曼猜想是物理学界七大猜想之一，被运用到许多世界数学难题中，假如黎曼猜想被打倒，那样现阶段运用黎曼猜想解除的世界数学难题也将被打倒，这会对全部物理学界是一次翻天覆地的更改。这一刺激消息立马让好多人跃跃欲试，很多人都在等候张益唐正式发布有关书面形式信息，现阶段张益唐仅仅口头上表明实现了朗道—西格尔猜想。朗道—西格尔猜想简单来说便是黎曼猜想的某些类型，它假如被认定，黎曼猜想便被验证是不正确的。朗道—西格尔猜想其实就是零点猜想，其本质就是证实狄利克雷L级数函数公式在传统（zeta函数公式）无零点区域是否存在零点。黎曼猜想觉得所有zeta函数的非平凡零点都坐落于实部为1/2的平行线，拥有一个出现异常零点。黎曼猜想被认定全过程十分艰难，朗道—西格尔猜想比处理黎曼猜想或是难处理。依据张益唐以前的专题讲座信息内容知道他对于朗道—西格尔猜想探讨了很长一段时间，并感觉广义黎曼猜想恰恰是朗道—西格尔猜想得填补标准。北大才俊张益唐已“做了”朗道—西格尔猜想，这一猜想简单来说便是黎曼猜想的某些类型。

你得问老陈才行了..这些基本属于国宝性质的东西吧?

如果黎曼猜想被证明，所有那些数学命题就全都可以荣升为定理。数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想的成立为前提。如果黎曼猜想被证明，所有那些数学命题就全都可以荣升为定理；反之，如果黎曼猜想被否证，则那些数学命题中起码有一部分将成为陪葬品。那些建立在黎曼猜想上的推论，可谓是一座根基不稳、摇摇欲坠、令人惶恐不安的大厦。一个数学猜想与为数如此众多的数学命题有着密切关联，这是世上极为罕有的，也许正是因为这样的关系，黎曼猜想的名气和光环变得更加显著，也越发让人着迷。因而，此次黎曼猜想是否成功证明，将牵一发而动全身，直接影响以黎曼猜想作为前提的数学体系。黎曼猜想（或称黎曼假设）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。德国数学家戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，其中便包括黎曼假设。现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼假设。虽然在知名度上，黎曼猜想不及费尔马猜想和哥德巴赫猜想，但它在数学上的重要性要远远超过后两者，是当今数学界最重要的数学难题，当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。2018年9月，迈克尔·阿蒂亚声明证明黎曼猜想，于9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲。9月24日，迈克尔·阿蒂亚贴出了他证明黎曼假设（猜想）的预印本，但是这一证明并不成立。黎曼猜想与费马大定理已经成为广义相对论和量子力学融合的m理论几何拓扑载体。

当年徐迟的一篇报告文学，中国人知道了陈景润和歌德巴赫猜想。 那么，什么是歌德巴赫猜想呢？ 哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，提出了以下的猜想: (a)任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。 这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。 从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的"明珠"。 人们对哥德巴赫猜想难题的热情，历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者，殚精竭虑，费尽心机，然而至今仍不得其解。 到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了哥德巴赫猜想。 目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式。 在陈景润之前，关於偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t”问题)之进展情况如下: 1920年，挪威的布朗证明了‘“9 + 9”。 1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。 1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。 1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。 1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。 1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。 1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1 + c”，其中c是一很大的自然数。 1956年，中国的王元证明了“3 + 4”。 1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”， 中国的王元证明了“1 + 4”。 1965年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，及 意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。 1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。 从1920年布朗证明"9＋9"到1966年陈景润攻下“1＋2”，历经46年。自"陈氏定理"诞生至今的30多年里，人们对哥德巴赫猜想猜想的进一步研究，均劳而无功。 布朗筛法的思路是这样的：即任一偶数(自然数)可以写为2n，这里n是一个自然数，2n可以表示为n个不同形式的一对自然数之和： 2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=3+(2n-3)=…=n+n 在筛去不适合哥德巴赫猜想结论的所有那些自然数对之后(例如1和2n-1;2i和(2n-2i),i=1，2,…;3j和(2n-3j)，j=2,3,…;等等)，如果能够证明至少还有一对自然数未被筛去，例如记其中的一对为p1和p2，那么p1和p2都是素数，即得n=p1+p2，这样哥德巴赫猜想就被证明了。前一部分的叙述是很自然的想法。关键就是要证明"至少还有一对自然数未被筛去"。目前世界上谁都未能对这一部分加以证明。要能证明，这个猜想也就解决了。 然而，因大偶数n（不小于6）等于其对应的奇数数列（首为3，尾为n-3）首尾挨次搭配相加的奇数之和。故根据该奇数之和以相关类型质数+质数（1+1）或质数+合数（1+2）（含合数+质数2+1或合数+合数2+2）（注：1+2 或 2+1 同属质数+合数类型）在参与无限次的"类别组合"时，所有可发生的种种有关联系即1+1或1+2完全一致的出现，1+1与1+2的交叉出现（不完全一致的出现），同2+1或2+2的"完全一致"，2+1与2+2的"不完全一致"等情况的排列组合所形成的各有关联系，就可导出的"类别组合"为1+1，1+1与1+2和2+2，1+1与1+2，1+2与2+2，1+1与2+2，1+2等六种方式。因为其中的1+2与2+2，1+2 两种"类别组合"方式不含1+1。所以1+1没有覆盖所有可形成的"类别组合"方式，即其存在是有交替的，至此，若可将1+2与2+2，以及1+2两种方式的存在排除，则1+1得证，反之，则1+1不成立得证。然而事实却是：1+2 与2+2，以及1+2（或至少有一种）是陈氏定理中（任何一个充分大的偶数都可以表示为两个素数的和，或一个素数与两个素数乘积的和），所揭示的某些规律（如1+2的存在而同时有1+1缺失的情况）存在的基础根据。所以1+2与2+2，以及1+2（或至少有一种）"类别组合"方式是确定的，客观的，也即是不可排除的。所以1+1成立是不可能的。这就彻底论证了布朗筛法不能证"1+1"。 由于素数本身的分布呈现无序性的变化，素数对的变化同偶数值的增长二者之间不存在简单正比例关系，偶数值增大时素数对值忽高忽低。能通过数学关系式把素数对的变化同偶数的变化联系起来吗？不能！偶数值与其素数对值之间的关系没有数量规律可循。二百多年来，人们的努力证明了这一点，最后选择放弃，另找途径。于是出现了用别的方法来证明歌德巴赫猜想的人们，他们的努力，只使数学的某些领域得到进步，而对歌德巴赫猜想证明没有一点作用。 歌德巴赫猜想本质是一个偶数与其素数对关系，表达一个偶数与其素数对关系的数学表达式，是不存在的。它可以从实践上证实，但逻辑上无法解决个别偶数与全部偶数的矛盾。个别如何等于一般呢？个别和一般在质上同一，量上对立。矛盾永远存在。歌德巴赫猜想是永远无法从理论上，逻辑上证明的数学结论。 “用当代语言来叙述，哥德巴赫猜想有两个内容，第一部分叫做奇数的猜想，第二部分叫做偶数的猜想。奇数的猜想指出，任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说，大于等于4的偶数一定是两个素数的和。”（引自《哥德巴赫猜想与潘承洞》） 关于歌德巴赫猜想的难度我就不想再说什么了，我要说一下为什么现代数学界对歌德巴赫猜想的兴趣不大，以及为什么中国有很多所谓的民间数学家对歌德巴赫猜想研究兴趣很大。 事实上，在1900年，伟大的数学家希尔伯特在世界数学家大会上作了一篇报告，提出了23个挑战性的问题。歌德巴赫猜想是第八个问题的一个子问题，这个问题还包含了黎曼猜想和孪生素数猜想。现代数学界中普遍认为最有价值的是广义黎曼猜想，若黎曼猜想成立，很多问题就都有了答案，而歌德巴赫猜想和孪生素数猜想相对来说比较孤立，若单纯的解决了这两个问题，对其他问题的解决意义不是很大。所以数学家倾向于在解决其它的更有价值的问题的同时，发现一些新的理论或新的工具，“顺便”解决歌德巴赫猜想。 例如：一个很有意义的问题是：素数的公式。若这个问题解决，关于素数的问题应该说就不是什么问题了。 为什么民间数学家们如此醉心于哥猜，而不关心黎曼猜想之类的更有意义的问题呢？ 一个重要的原因就是，黎曼猜想对于没有学过数学的人来说，想读明白是什么意思都很困难。而歌德巴赫猜想对于小学生来说都能读懂。 数学界普遍认为，这两个问题的难度不相上下。 民间数学家解决歌德巴赫猜想大多是在用初等数学来解决问题，一般认为，初等数学无法解决歌德巴赫猜想。退一步讲，即使那天有一个牛人，在初等数学框架下解决了歌德巴赫猜想，有什么意义呢？这样解决，恐怕和做了一道数学课的习题的意义差不多了。 当年柏努力兄弟向数学界提出挑战，提出了最速降线的问题。牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程，约翰·柏努力用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程，雅克布·柏努力用比较麻烦的办法解决了这个问题。虽然雅克布的方法最复杂，但是在他的方法上发展出了解决这类问题的普遍办法——变分法。现在来看，雅克布的方法是最有意义和价值的。 同样，当年希尔伯特曾经宣称自己解决了费尔马大定理，但却不公布自己的方法。别人问他为什么，他回答说：“这是一只下金蛋的鸡，我为什么要杀掉它？”的确，在解决费尔马大定理的历程中，很多有用的数学工具得到了进一步发展，如椭圆曲线、模形式等。 所以，现代数学界在努力的研究新的工具，新的方法，期待着歌德巴赫猜想这个“下金蛋的鸡”能够催生出更多的理论和工具。

数学题，是2.字谜，是王。生活题，可以是一，二，三等

本世纪十大精彩问题

1+1等于2是数学里的一个基础假设。没有它，什么数学理论都没有。

楼主你好，有两情况，一是算对等于二，二是算错时等于三，望采纳

一个加一个等于二吗

王？11？2？1~N？……脑子……出错了……………………偶爸刚弄死他……跟你说他…………

1+1=2希望我的回答对您有帮助，满意请采纳，谢谢。

你好同学，黎曼猜想（或称黎曼假设）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。德国数学家戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，其中便包括黎曼假设。现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼假设。 虽然在知名度上，黎曼猜想不及费尔马猜想和哥德巴赫猜想，但它在数学上的重要性要远远超过后两者，是当今数学界最重要的数学难题，当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。2018年9月，迈克尔·阿蒂亚声明证明黎曼猜想，于9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲。[1-4] 9月24日，迈克尔·阿蒂亚贴出了他证明黎曼假设（猜想）的预印本，但是这一证明并不成立 。黎曼猜想与费马大定理已经成为广义相对论和量子力学融合的m理论几何拓扑载体。具体请见：https://baike.baidu.com/item/黎曼猜想/1490284?fr=aladdin谢谢。

黎曼猜想是数学界关于大致等价于质数分布的问题的经典猜想，它被认为是公认的最难解决的数学问题之一。目前尚无正式证明或反证明。黎曼猜想的具体内容是：所有大于2的自然数都可以表示成2^p*q的形式（其中p是正整数，q是质数）。尽管黎曼猜想尚未被证明或反证明，但它已经对数论和计算机科学产生了重要影响，并成为这些领域的重要研究主题。目前为止，黎曼猜想尚未被证明或反证明。这是一个公认的难题，数学家们至今仍在努力试图证明或反证明它

如果黎曼猜想被证明，所有那些数学命题就全都可以荣升为定理。数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想的成立为前提。如果黎曼猜想被证明，所有那些数学命题就全都可以荣升为定理；反之，如果黎曼猜想被否证，则那些数学命题中起码有一部分将成为陪葬品。那些建立在黎曼猜想上的推论，可谓是一座根基不稳、摇摇欲坠、令人惶恐不安的大厦。一个数学猜想与为数如此众多的数学命题有着密切关联，这是世上极为罕有的，也许正是因为这样的关系，黎曼猜想的名气和光环变得更加显著，也越发让人着迷。因而，此次黎曼猜想是否成功证明，将牵一发而动全身，直接影响以黎曼猜想作为前提的数学体系。黎曼猜想（或称黎曼假设）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。德国数学家戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，其中便包括黎曼假设。现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼假设。虽然在知名度上，黎曼猜想不及费尔马猜想和哥德巴赫猜想，但它在数学上的重要性要远远超过后两者，是当今数学界最重要的数学难题，当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。2018年9月，迈克尔·阿蒂亚声明证明黎曼猜想，于9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲。9月24日，迈克尔·阿蒂亚贴出了他证明黎曼假设（猜想）的预印本，但是这一证明并不成立。黎曼猜想与费马大定理已经成为广义相对论和量子力学融合的m理论几何拓扑载体。