什么是法向量？

法向量的定义1,如果向量垂直于平面,那么向量叫做平面的法向量.2,如果向量垂直于异面直线与,那么向量叫做异面直线的法向量.

法向量是空间解析几何的一个概念,垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量.由于空间内有无数个直线垂直于已知平面,而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量,但是这些法向量之间相互平行.从理论上述,空间零向量是任何平面的法向量,但是由于零向量不能表示平面的信息.一般不选择零向量为平面的法向量. 　　如果已知直线与平面垂直,可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；如果不存在这样的直线,可用设元法求一个平面的法向量；步骤如下：首先设平面的法向量m(x,y,z),然后寻找平面内任意两个不共线的向量AB(x1,y1,z1)和CD(x2,y2,z2).由于平面法向量垂直于平面内所有的向量,因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0.由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解,因为其它方程和上述两个方程是等价的),无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的).为了得到确定法向量,可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量),但是这步并不是必须的.因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的. 　　法向量的主要应用如下： 　　1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余.利用这个原理也可以证明线面平行； 　　2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补； 　　3、点到面的距离： 任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量,D为平面内任意一点,向量n为平面α的法向量).利用这个原理也可以求异面直线的距离 　　法向量方法是高考数学可以采用的方法之一,他的优点在于思路简单,容易操作.只要能够建立出直角坐标系,都可以写出最后答案.缺点在于同一般立体几何方法相比,其计算量巨大,特别是在计算二面角的时候. 　　（一）直线 的方向向量和平面 的法向量分别为 ,则直线 和平面 所成的角 等于向量 所成的锐角（若所成的角为钝角,则为其补角）的余角,即 . 　　例题 　　(2003全国（理）18题) 如图,直三棱柱中,底面是等腰直角三角形, ,侧棱,分别是与的中点,点在平面上的射影是的重心, 　　（Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； 　　（Ⅱ）求点到平面的距离. 　　（Ⅰ）以为坐标原点,建立如图所示的坐标系, 　　设,则, , , 　　, , , 　　∴ , , 　　∴ , , 　　由 得, , 　　∴ , , ,设平面的法向量为 ,则 , ,由, 得, 　　,令 得, , 　　∴平面 的一个法向量为 , 　　∴ 与的夹角的余弦值是 , 　　∴ 与平面所成角为 . 　　当直线与平面平行时,直线与平面所成的角为,此时直线的方向向量与平面的法向量垂直,我们可利用这一特征来证明直线与平面平行. 　　（二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直,那么这条直线和这个平面平行. 　　例题 　　（2004年高考湖南（理）19题）如图,在底面是菱形的四棱锥中, , ,点在上,且 , 　　（I）证明： ； 　　（II）求以为棱, 与为面的二面角的大小； 　　（Ⅲ）在棱上是否存在一点,使?证明你的结论. 　　（Ⅲ）以为坐标原点,直线分别为轴、轴,过点垂直平面的直线为轴,建立空间直角坐标系（如图）,由题设条件,相关各点的坐标分别为, , 　　∴ , , 　　设平面的法向量为,则由题意可知, , 　　由 得, 　　∴ 令得, , 　　∴平面的一个法向量为 　　设点是棱上的点,则 　　, 　　由 得, 　　∴ , ∴当是棱的中点时, . 　　同样,当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为,此时直线的方向向量与平面的法向量平行,我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直. 　　（三）设二面角的两个半平面和的法向量分别为,设二面角的大小为,则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补,当二面角的锐角时, ；当二面角为钝角时, . 　　例题 　　2004年高考湖南（理）19题： 　　（Ⅱ）由题意可知, , , 　　∵ ∴ 为平面的一个法向量, 　　设平面的法向量为 ,则由题意可知, , 　　由 得, 　　∴ 令 得, , 　　∴平面的一个法向量为, 　　∴向量与夹角的余弦值是 , ∴ , 　　由题意可知,以为棱,与为面的二面角是锐角, 　　∴所求二面角的大小为 . 　　我们知道当两个平面的法向量互相垂直时,两个平面所成的二面角为直角,此时两个平面垂直,我们可用这一特征来证明两个平面垂直. 　　（四）设两个平面和的法向量分别为,若,则这两个平面垂直. 　　例题 　　（1996年全国（文）23题）在正三棱柱中, , 分别是上的点,且 ,求证：平面平面 . 　　证明：以为坐标原点,建立如图所示的坐标系, 　　则 , , , , 　　∴ , , 　　设平面的法向量为 ,则由题意可知, 　　由 得, 　　∴ 令得, , 　　∴平面的一个法向量为 , 　　由题意可知,平面的一个法向量为 　　∴ ∴平面平面 　　（五）设平面的法向量为,是平面外一点, 是平面内一点,则点到平面的距离等于在法向量上的投影的绝对值,即 . 　　我们再来看2003年全国（理）18题： 　　（Ⅱ）设 ,则 , , , , 　　∴ , , 　　设平面 的法向量为 ,则 , , 　　由 , 得, 　　,令 得, , 　　∴平面的一个法向量为 ,而 , 　　∴点 到平面的距离 . 　　我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离,故此法同样可以解决直线与平面、两个平行平面的距离. 　　（六）设向量与两异面直线都垂直（我们也把向量称为两异面直线的法向量）,分别为异面直线上的点,则两异面直线的距离等于法向量上的投影的绝对值,即. 　　例题 　　（1999年全国（理）21题）如图,已知正四棱柱中,点在棱上,截面 ,且面与底面所成的角为 ,求异面直线与之间的距离. 　　以为坐标原点,建立如图所示的坐标系 , 　　连结交于 ,连结 ,则就是 　　面 与底面所成的角的平面角, 　　∴= ,∴ 　　又∵截面 ,为的中点, 　　∴ 为的中点,∴ , 　　则 , , , 　　∴ , , 　　设向量 与两异面直线都垂直,由 ,得, 　　∴ ,∴ , 　　∴异面直线与之间的距离 　　前面介绍了利用法向量解决空间几何的证明与计算问题,实现了几何问题的代数化,将复杂的几何证明转化为代数运算,从而避免了几何作图,减少了逻辑推理,降低了难度.但公式的应用也有一定的局限性,一般地,在能建立空间直角坐标系的情况下,利用法向量较为有效.

含义：垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量，一个平面都存在无数个法向量。 应用范围：求斜线与平面所成的角；求二面角；点到面的距离。 优点：思路简单，容易操作。只要能够建立出直角坐标系，都可以写出最后答案。 缺点：同一般立体几何方法相比，其计算量巨大，特别是在计算二面角的时候。

法向量的定义1,如果向量垂直于平面,那么向量叫做平面的法向量.2,如果向量垂直于异面直线与,那么向量叫做异面直线的法向量.

法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量，但是这些法向量之间相互平行。　垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。一个平面都存在无数个法向量。望采纳！希望我能帮到你！如采纳请帮忙打分！不胜感谢！

就是垂直于某条直线或者某个平面的向量，如果模为1，则为单位法向量

法向量是空间几何的一个概念，它是垂直于一个平面上的一条直线，因为平面是无限延伸的，所以一个平面拥有无限的法向量。法向量经常被人们用来计算空间几何中的余弦值或正弦值。为了让大家更好地了解法向量，为此拿一个例题试试：（求法向量的）（2）已知底面ABCD为正方形∴∠ADC=90º分别作AD中点O，BC中点M，连接OM,OP分别以ON,OA,OP为X,Y,Z轴建立空间直角坐标系A（0,1,0）

1)首先从简单开始,如果是平面F(x,y)=0一般形式是Ax+By+C=0法向量是(A,B).因为任意一点(x0,y0)在平面上,A*x0+B*y0+C=0那么A*(x-x0)+B*(y-y0)=0,即向量(A,B)*(x-x0,y-y0)=02)对于一般曲面 F(x,y,z,……)=0两边微分(偏导用大写D),有dF=DF/DX*dx + DF/DY*dy + DF/DZ*dz + ……= d0 = 0那么向量(DF/DX ,DF/DY ,DF/DZ ,……) * (dx ,dy ,dz,……)=0其中向量(dx ,dy ,dz,……)必定在平面上(d是微分嘛,曲面的微小变化量)所以向量(DF/DX ,DF/DY ,DF/DZ ,……) 是曲面的法向量

法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量，但相互平行。

曲面在某一点的法向量垂直于该点的切面，平面的法向量垂直于平面。

法向量公式是设a=（x,y）,b=(x",y")。平面的法向量确定平面位置的重要向量，指与平面垂直的非零向量，一个平面的法向量可有无限多个，但单位法向量有且仅有两个。例如在空间直角坐标系中平面Ax+By+Cz+D=0的法向量为n=(A,B,C)，而它的单位法向量即法向量除以法向量的长度，正负代表方向。法向量的定义：三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangent plane）的向量。法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normal vector）。在电脑图学（computer graphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。

设法向量为n＝(x,y,z)然后利用这个向量与目标平面内的两条直线上的向量（方向向量）垂直，每一个垂直可以获得一个关于x,y,z的方程，这样你就获得了两个方程组成的方程组，这个方程组有无数组解（事实上，平面的法向量是不确定的，就其方向来说，也有两大类，再加上模不确定），那么这些，你可以由上面的方程组里，目测一下，哪个量的绝对值较小，便取这个量为1（当然2等等也可以，这样就可以确定出所有的坐标了）如：得到2x+3y-z=0,x-2y=0这样的方程组后，可以发现x是y的两倍，便设y＝1，这样x＝2，则z＝9，于是便可取法向量n＝（2，1，9），事实上，所有与这个向量共线的向量均为法向量，如（1，1/2,9/2）等

曲面的法向量是空间解析几何的一个概念。垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。法向量定义三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量，曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangentplane）的向量，法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normalvector）。在电脑图学（computergraphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（lightsource）的浓淡处理（FlatShading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向，如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。

设A是曲线上的一点,过A点作曲线的切线,再通过A点做切线的垂线,那么与该垂线平行,且指向曲线内部或外部的向量就是法向量,有正负之分 方向向量至于某一直线平行的非零向量,有正负之分

法向量的求法如下：1、建立恰当的直角坐标系；2、设平面法向量n=（x，y，z）；3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）；4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0；5、解方程组，取其中一组解即可。关于法向量微分几何的计算方式，这涉及到曲面的表示方式。通常曲面的表示方式为：（1）隐函数：F(x,y,z)=0， 如平面x+y+z=0;（2）（参数化的）向量形式：r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k. 因为曲面的维度为2，所以一般是两个参数u,v。比如：x+y+z=0 可表示为：r(u,v)=ui+vj+(-u-v)k.对应的，计算法向量的方式分别为：（1）grad(F). 即隐函数F(x,y,z)的梯度grad(F) 即为曲面在点(x,y,z)处的法向量，也即，法向量为F(x,y,z)=C变化率最大的方向。

垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量 空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示,该向量称为这条直线的一个方向向量

法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，而且每条直线可以存在不同的法向量，因此一个平面存在无数个法向量，这些法向量相互平行。

设曲线为r(s)=(x(s),y(s),z(s)),s为弧长参数. T(s)=r"(s)=(x",y",z") 称为r(s)的单位切向量,容易验证|T(S)|=1 T"(s)=k(s)N(S)=(x"",y"",z"") 其中N(S)称为曲线的单位法向量. k(s)是一个标量,k(s)=|T"| 咯,这是微分几何的相关定义. 直观的例子,圆上某点的切向量就是该点带方向的切线. 圆上某点的法向量就是该点与圆心的连线上的向量,方向可以朝向圆心,也可以背向圆心. 对一般曲线,其上某点的法向量就是,把该点周围的很小一段曲线看成一段圆弧,然后就同圆的情况来讨论了.

从理论上说，空间零向量是任何平面的法向量，但是由于零向量不能表示平面的信息。一般不选择零向量为平面的法向量。 如果已知直线与平面垂直，可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；如果不存在这样的直线，可用设元法求一个平面的法向量；步骤如下：首先设平面的法向量m(x,y,z)，然后寻找平面内任意两个不平行的向量AB(x1,y1,z1)和CD(x2,y2,z2)。由于平面法向量垂直于平面内所有的向量，因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0。由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解，因为其它方程和上述两个方程是等价的)，无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的)。为了得到确定法向量，可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量)，但是这步并不是必须的。因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的。

单位法向量是法向量的一种，是长度为单位1的法向量所以任何曲线在任何点的法向量可以有无数个，但是其中是单位法向量的只有两个，这两个单位法向量方向相反，长度都是1；至于法向量，就只要求方向，长度只要不是0就可以了，不限定必须是单位1。法向量，是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。法向量适用于解析几何。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。

参考答案: 君乘之觞于瑶池之上兮，三光罗列而在下。

你划线的部分就是解释啊：首先，第三个式子（点法式）是法向量（A,B,C）且过点（x0,y0,z0）的平面方程，这个没问题吧？然后，前两个式子的推导过程表明第一个式子（也就是你说的式2）和第三个式子是等价的，既然二者等价，那么它也同样表示那个法向量（A,B,C）的平面，因此Ax+By+Cz+D=0的法向为（A,B,C）

　　法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。一般不选择零向量为平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。

是不一样的。法线向量要求向量垂直整个平面，而法向量只要求垂直平面中的直线。垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量，但是这些法向量之间相互平行。

如图所示：根据平面的点法式方程得出设一平面通过已知点M0（x1,y1,z1）且垂直于非零向量n=(A,B，C)，则有：A（x-x1）+B(y-y1)+C(z-z1)=0上式称为平面的点法式方程由x+y+z=0可知，该平面通过原点（因为D=0），当D=0时，Ax+By+Cz=0的平面过原点将原点代入平面的点法式方程得Ax+By+Cz=0即A=1，B=1，C=1法向量n=(1,1,1)扩展资料法向量的主要应用如下：1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余.利用这个原理也可以证明线面平行；2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补；3、点到面的距离： 任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|（等式右边全为向量,D为平面内任意一点,向量n为平面α的法向量）。利用这个原理也可以求异面直线的距离。

与该平面垂直的向量为平面的法向量,它和该平面上任意向量的乘积都是0

对于直线的法向量：就是和已知的直线垂直的一个直线的方向向量. 对于平面的法向量：就是和已知的平面垂直的一个直线的方向向量.

法向量指平面的法向量，确定一个平面，法向量与所在平面垂直。 方向向量是确定一条直线及其方向的向量。

单位法向量的模长为1 其他的就没了

平面的法向量就是和这个平面中的每一个向量都垂直，方向当然就只有一个啦。平面方程的写法有很多，但化简之后的形式都是一样的

垂直于平面的向量设出法向量（a,b,c），找到平面内两个已知向量与法向量做数量积，因为垂直所以数量积为0，这样得到两个a,b,c的关系式，找出a,b,c的比例，随便取一组即可。主要是用在求角（线面角，二面角）问题中，当然也能用来证明垂直。

单位向量中的一种,垂直于某个面的单位向量就是单位法向量,与之对应的是单位切向量（与某个面相切或平行的单位向量）

只有一个o

垂直于平面的方向向量,有正负,如果平面的方程式3x+y+7z-5=0,则平面的法向量是(3,1,7)

法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量，但是这些法向量之间相互平行。概念垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。一个平面都存在无数个法向量。编辑本段计算方法从理论上说，空间零向量是任何平面的法向量，但是由于零向量不能表示平面的信息。一般不选择零向量为平面的法向量。如果已知直线与平面垂直，可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；如果不存在这样的直线，可用设元法求一个平面的法向量；步骤如下：首先设平面的法向量m(x,y,z)，然后寻找平面内任意两个不平行的向量AB(x1,y1,z1)和CD(x2,y2,z2)。由于平面法向量垂直于平面内所有的向量，因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0。由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解，因为其它方程和上述两个方程是等价的)，无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的)。为了得到确定法向量，可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量)，但是这步并不是必须的。因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的。平面法向量的具体步骤：（待定系数法）1、建立恰当的直角坐标系2、设平面法向量n=（x，y，z）3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2,a3）b=（b1，b2，b3）4、根据法向量的定义建立方程组①n*a=0②n*b=05、解方程组，取其中一组解即可。关于法向量微分几何的计算方式，这涉及到曲面的表示方式。通常曲面的表示方式为：1).隐函数：F(x,y,z)=0，如平面x+y+z=0;2).（参数化的）向量形式：r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k.因为曲面的维度为2，所以一般是两个参数u,v。比如：x+y+z=0可表示为：r(u,v)=ui+vj+(-u-v)k.对应的，计算法向量的方式分别为：1).grad(F).即隐函数F(x,y,z)的梯度grad(F)即为曲面在点(x,y,z)处的法向量，也即，法向量为F(x,y,z)=C变化率最大的方向。2).偏导的叉乘给出法向量

法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量，但是这些法向量之间相互平行。从理论上述，空间零向量是任何平面的法向量，但是由于零向量不能表示平面的信息。一般不选择零向量为平面的法向量。　　如果已知直线与平面平行，可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；如果不存在这样的直线，可用设元法求一个平面的法向量；步骤如下：首先设平面的法向量m(x,y,z)，然后寻找平面内任意两个不共线的向量AB(x1,y1,z1)和CD(x2,y2,z2)。由于平面法向量垂直于平面内所有的向量，因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0。由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解，因为其它方程和上述两个方程是等价的)，无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的)。为了得到确定法向量，可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量)，但是这步并不是必须的。因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的。　　法向量的主要应用如下：　　1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角，这个角和斜线与平面所成的角互余。利用这个原理也可以证明线面平行；　　2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角，这个角与二面角相等或互补；　　3、点到面的距离：任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量，D为平面内任意一点，向量n为平面α的法向量)。利用这个原理也可以求异面直线的距离　　法向量方法是高考数学可以采用的方法之一，他的优点在于思路简单，容易操作。只要能够建立出直角坐标系，都可以写出最后答案。缺点在于同一般立体几何方法相比，其计算量巨大，特别是在计算二面角的时候。

垂直于平面/曲面的向量叫法向量

直线(3,8)他的斜率为8/3就是（1，8/3）一切直线的斜率（1，k)

向量是空间解析几何的一个概念；因此一个平面都存在无数个法向量，而且每条直线可以存在不同的法向量，但是这些法向量之间相互平行，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面

法向量是与原向量乘积为零的向量，一个原向量有多个法向量。

1、法向量，是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。法向量适用于解析几何。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。 2、垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。

法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。一般不选择零向量为平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。

和平面垂直的向量，不唯一

直线的法向量是与方向向量相垂直的向量。法向量，是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。法向量适用于解析几何。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normal vector）。在电脑图学（computer graphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。

法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量

法向量是空间解析几何的一个概念,垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量.由于空间内有无数个直线垂直于已知平面,而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量,但是这些法向量之间相互平行.从理论上述,空间零向量是任何平面的法向量,但是由于零向量不能表示平面的信息.一般不选择零向量为平面的法向量. 如果已知直线与平面垂直,可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；如果不存在这样的直线,可用设元法求一个平面的法向量；步骤如下：首先设平面的法向量m(x,y,z),然后寻找平面内任意两个不共线的向量AB(x1,y1,z1)和 CD(x2,y2,z2).由于平面法向量垂直于平面内所有的向量,因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0.由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解,因为其它方程和上述两个方程是等价的),无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的).为了得到确定法向量,可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量),但是这步并不是必须的.因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的. 法向量的主要应用如下： 1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余.利用这个原理也可以证明线面平行； 2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补； 3、点到面的距离： 任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量,D为平面内任意一点,向量n为平面α的法向量).利用这个原理也可以求异面直线的距离 法向量方法是高考数学可以采用的方法之一,他的优点在于思路简单,容易操作.只要能够建立出直角坐标系,都可以写出最后答案.缺点在于同一般立体几何方法相比,其计算量巨大,特别是在计算二面角的时候. （一）直线 的方向向量和平面 的法向量分别为 ,则直线 和平面 所成的角 等于向量 所成的锐角（若所成的角为钝角,则为其补角）的余角,即 . 例题 (2003全国（理）18题) 如图,直三棱柱中,底面是等腰直角三角形, ,侧棱,分别是与的中点,点在平面上的射影是的重心, （Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点到平面的距离. （Ⅰ）以为坐标原点,建立如图所示的坐标系, 设,则, , , , , , ∴ , , ∴ , , 由 得, , ∴ , , ,设平面的法向量为 ,则 , ,由, 得, ,令 得, , ∴平面 的一个法向量为 , ∴ 与的夹角的余弦值是 , ∴ 与平面所成角为 . 当直线与平面平行时,直线与平面所成的角为,此时直线的方向向量与平面的法向量垂直,我们可利用这一特征来证明直线与平面平行. （二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直,那么这条直线和这个平面平行. 例题 （2004年高考湖南（理）19题）如图,在底面是菱形的四棱锥中, , ,点在上,且 , （I）证明： ； （II）求以为棱, 与为面的二面角的大小； （Ⅲ）在棱上是否存在一点,使?证明你的结论. （Ⅲ）以为坐标原点,直线分别为轴、轴,过点垂直平面的直线为轴,建立空间直角坐标系（如图）,由题设条件,相关各点的坐标分别为, , ∴ , , 设平面的法向量为,则由题意可知, , 由 得, ∴ 令得, , ∴平面的一个法向量为 设点是棱上的点,则 , 由 得, ∴ , ∴当是棱的中点时, . 同样,当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为,此时直线的方向向量与平面的法向量平行,我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直. （三）设二面角的两个半平面和的法向量分别为,设二面角的大小为,则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补,当二面角的锐角时, ；当二面角为钝角时, . 例题 2004年高考湖南（理）19题： （Ⅱ）由题意可知, , , ∵ ∴ 为平面的一个法向量, 设平面的法向量为 ,则由题意可知, , 由 得, ∴ 令 得, , ∴平面的一个法向量为, ∴向量与夹角的余弦值是 , ∴ , 由题意可知,以为棱,与为面的二面角是锐角, ∴所求二面角的大小为 . 我们知道当两个平面的法向量互相垂直时,两个平面所成的二面角为直角,此时两个平面垂直,我们可用这一特征来证明两个平面垂直. （四）设两个平面和的法向量分别为,若,则这两个平面垂直. 例题 （1996年全国（文）23题）在正三棱柱中, , 分别是上的点,且 ,求证：平面平面 . 证明：以为坐标原点,建立如图所示的坐标系, 则 , , , , ∴ , , 设平面的法向量为 ,则由题意可知, 由 得, ∴ 令得, , ∴平面的一个法向量为 , 由题意可知,平面的一个法向量为 ∴ ∴平面平面 （五）设平面的法向量为,是平面外一点, 是平面内一点,则点到平面的距离等于在法向量上的投影的绝对值,即 . 我们再来看2003年全国（理）18题： （Ⅱ）设 ,则 , , , , ∴ , , 设平面 的法向量为 ,则 , , 由 , 得, ,令 得, , ∴平面的一个法向量为 ,而 , ∴点 到平面的距离 . 我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离,故此法同样可以解决直线与平面、两个平行平面的距离. （六）设向量与两异面直线都垂直（我们也把向量称为两异面直线的法向量）,分别为异面直线上的点,则两异面直线的距离等于法向量上的投影的绝对值,即. 例题 （1999年全国（理）21题）如图,已知正四棱柱中,点在棱上,截面 ,且面与底面所成的角为 ,求异面直线与之间的距离. 以为坐标原点,建立如图所示的坐标系 , 连结交于 ,连结 ,则就是 面 与底面所成的角的平面角, ∴= ,∴ 又∵截面 ,为的中点, ∴ 为的中点,∴ , 则 , , , ∴ , , 设向量 与两异面直线都垂直,由 ,得, ∴ ,∴ , ∴异面直线与之间的距离 前面介绍了利用法向量解决空间几何的证明与计算问题,实现了几何问题的代数化,将复杂的几何证明转化为代数运算,从而避免了几何作图,减少了逻辑推理,降低了难度.但公式的应用也有一定的局限性,一般地,在能建立空间直角坐标系的情况下,利用法向量较为有效.

垂直于平面的一个向量叫做法向量。

空间中平面方程的一般形式为: Ax+By+Cz=0.其中x,y,z的系数A，B，C是平面的法向量的一组方向数，平行于x轴的平面方程的一般形式为： By+Cz+D=0. （0，B,C）是它的一个法向量。因为X轴垂直于YOZ平面，则YOZ平面内的任何一条过原点的直线L，它的方向向量为（0，B,C），都有一个平面α与之垂直，而这个平面α就平行于X轴。（0，B,C）是α的一个法向量。

方向向量就是用直线上任意两点坐标相减得到的向量，法向量是与方向向量相垂直的向量。譬如一直线有两点(1，2)(3，4)则方向向量为(2，1)，设法向量为(a，x)则2a+x=0→x=-2a，即法向量为(a，-2a)

法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量，但是这些法向量之间相互平行。从理论上述，空间零向量是任何平面的法向量，但是由于零向量不能表示平面的信息。一般不选择零向量为平面的法向量。　　如果已知直线与平面垂直，可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；如果不存在这样的直线，可用设元法求一个平面的法向量；步骤如下：首先设平面的法向量m(x,y,z)，然后寻找平面内任意两个不共线的向量AB(x1,y1,z1)和CD(x2,y2,z2)。由于平面法向量垂直于平面内所有的向量，因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0。由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解，因为其它方程和上述两个方程是等价的)，无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的)。为了得到确定法向量，可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量)，但是这步并不是必须的。因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的。　　法向量的主要应用如下：　　1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角，这个角和斜线与平面所成的角互余。利用这个原理也可以证明线面平行；　　2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角，这个角与二面角相等或互补；　　3、点到面的距离： 任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量，D为平面内任意一点，向量n为平面α的法向量)。利用这个原理也可以求异面直线的距离　　法向量方法是高考数学可以采用的方法之一，他的优点在于思路简单，容易操作。只要能够建立出直角坐标系，都可以写出最后答案。缺点在于同一般立体几何方法相比，其计算量巨大，特别是在计算二面角的时候。　　（一）直线 的方向向量和平面 的法向量分别为 ，则直线 和平面 所成的角 等于向量 所成的锐角（若所成的角为钝角，则为其补角）的余角，即 。　　例题　　(2003全国（理）18题) 如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形, ，侧棱，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，　　（Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；　　（Ⅱ）求点到平面的距离。　　（Ⅰ）解：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，　　设，则， ， ，　　， ， ，　　∴ , ， 　　∴ ， ，　　由 得， ，　　∴ ， ， ，设平面的法向量为 ，则 ， ，由， 得，　　，令 得， ，　　∴平面 的一个法向量为 ，　　∴ 与的夹角的余弦值是 ，　　∴ 与平面所成角为 。　　当直线与平面平行时，直线与平面所成的角为，此时直线的方向向量与平面的法向量垂直，我们可利用这一特征来证明直线与平面平行。　　（二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直，那么这条直线和这个平面平行。　　例题　　（2004年高考湖南（理）19题）如图，在底面是菱形的四棱锥中， , ，，点在上，且 ，　　（I）证明： ；　　（II）求以为棱， 与为面的二面角的大小；　　（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使？证明你的结论。　　（Ⅲ）解：以为坐标原点，直线分别为轴、轴，过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别为， ，　　∴ ， ，　　设平面的法向量为，则由题意可知， ，　　由 得， 　　∴ 令得， ，　　∴平面的一个法向量为 　　设点是棱上的点，，则　　，　　由 得， 　　∴ ， ∴当是棱的中点时， 。　　同样，当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为，此时直线的方向向量与平面的法向量平行，我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直。　　（三）设二面角的两个半平面和的法向量分别为，设二面角的大小为，则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补，当二面角的锐角时， ；当二面角为钝角时， 。　　例题　　2004年高考湖南（理）19题：　　（Ⅱ）解：由题意可知， , ,　　∵ ∴ 为平面的一个法向量，　　设平面的法向量为 ，则由题意可知， ,　　由 得， 　　∴ 令 得， ，　　∴平面的一个法向量为，　　∴向量与夹角的余弦值是 ， ∴ ，　　由题意可知，以为棱，与为面的二面角是锐角，　　∴所求二面角的大小为 。　　我们知道当两个平面的法向量互相垂直时，两个平面所成的二面角为直角，此时两个平面垂直，我们可用这一特征来证明两个平面垂直。　　（四）设两个平面和的法向量分别为，若，则这两个平面垂直。　　例题　　（1996年全国（文）23题）在正三棱柱中， ， 分别是上的点，且 ，求证：平面平面 。　　证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，　　则 ， ， ，， ，　　∴ ， ，　　设平面的法向量为 ，则由题意可知，，　　由 得， 　　∴ 令得， ，　　∴平面的一个法向量为 ，　　由题意可知，平面的一个法向量为 　　∴ ∴平面平面 　　（五）设平面的法向量为，是平面外一点， 是平面内一点，则点到平面的距离等于在法向量上的投影的绝对值，即 。　　我们再来看2003年全国（理）18题：　　（Ⅱ）解：设 ，则 ， ， ， ， 　　∴ ， ，　　设平面 的法向量为 ，则 ， ，　　由 ， 得，　　，令 得， ，　　∴平面的一个法向量为 ，而 ，　　∴点 到平面的距离 。　　我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离，故此法同样可以解决直线与平面、两个平行平面的距离。　　（六）设向量与两异面直线都垂直（我们也把向量称为两异面直线的法向量），分别为异面直线上的点，则两异面直线的距离等于法向量上的投影的绝对值，即。　　例题　　（1999年全国（理）21题）如图，已知正四棱柱中，点在棱上，截面 ，且面与底面所成的角为 ，，求异面直线与之间的距离。　　解：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系 ，　　连结交于 ，连结 ，则就是　　面 与底面所成的角的平面角，　　∴= ，∴ 　　又∵截面 ，为的中点，　　∴ 为的中点，∴ ，　　则 ， ， ，，　　∴ ， ，　　设向量 与两异面直线都垂直，由 ，得，　　∴ ，∴ ，　　∴异面直线与之间的距离 　　前面介绍了利用法向量解决空间几何的证明与计算问题，实现了几何问题的代数化，将复杂的几何证明转化为代数运算，从而避免了几何作图，减少了逻辑推理，降低了难度。但公式的应用也有一定的局限性，一般地，在能建立空间直角坐标系的情况下，利用法向量较为有效。