高一数学，平面向量的数量积问题

空间向量基本定理如下：1、共线向量定理两个空间向量a，b向量（b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。2、共面向量定理如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x，y使c=ax+by。3、空间向量分解定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。常识：1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB。2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1），则四点P、A、B、C共面。3、利用向量证a∥b，就是分别在a，b上取向量a=λb（λ∈R）。4、利用向量证a⊥b，就是分别在a，b上取向量ab=0。5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取a，b，求：<a，b>的问题。

楼上的不完整，若a=0,b不等于0，就没有b=ta了。可改为：b=ta或a=0. 共线的问题要考虑零向量。

平面向量基本定理：　如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，存在唯一一对有序实数(x 、y) ，使 a= xe1＋ ye2。 共面向量基本定理：如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使 p=xa+by。

如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。 证明： 1）充分性，对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由 实数与向量的积的定义 知，向量a与b共线。 2）必要性，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有 b =λa，当向量a与b反方向时，令 λ=-m，有 b=-λa。如果b=0，那么λ=0。 3）唯一性，如果 b=λa=μa，那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。 证毕。[编辑本段]推论推论1 两个向量a、b共线的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。 证明： 1）充分性，不妨设μ≠0，则由 λa+μb=0 得 b=(λ/μ)a。由 共线向量基本定理 知，向量a与b共线。 2）必要性，已知向量a与b共线，若a≠0，则由共线向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，实数λ、μ不全为零。若a=0，则取μ=0，取λ为任意一个不为零的实数，即有 λa+μb=0。 证毕。推论2 两个非零向量a、b共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。 证明： 1）充分性，∵μ≠0，∴由 λa+μb=0 可得 b=(λ/μ)a。由 共线向量基本定理 知，向量a与b共线。 2）必要性，∵向量a与b共线，且a≠0，则由 共线向量基本定理 知，b=λa；又∵b≠0，∴λ≠0； 取 μ=-1≠0，就有 λa+μb=0，实数λ、μ全不为零。 证毕。推论3 如果a、b是两个不共线的向量，且存在一对实数λ、μ，使得 λa+μb=0，那么λ=μ=0。 证明：（反证法） 不妨假设μ≠0，则由 推论1 知，向量a、b共线；这与已知向量a、b不共线矛盾，故假设是错的，所以λ=μ=0。 证毕。推论4 如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。（其中，向量AC=λ向量AB）。 证明： ∵三点P、A、B不共线，∴向量AB≠0， 由 共线向量基本定理 得， 点C在直线AB上 <=> 向量AC 与 向量AB 共线 <=> 存在唯一实数λ，使 向量AC=λ·向量AB ∵三点P、A、B不共线，∴向量PA 与 向量PB 不共线， ∴向量AC=λ·向量AB <=> 向量PC-向量PA=λ·(向量PB-向量PA) <=> 向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB。 证毕。推论5 如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一一对实数λ、μ，使得 向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1） 证明： 在推论4 中，令 1-λ=μ ，则λ+μ=1，知： 三点P、A、B不共线 <=> 点C在直线AB上的充要条件是：存在实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1） 下面证唯一性，若 向量PC=m向量PA+n向量PB，则 m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB， 即，（m-λ）向量PA+（n-μ）向量PB=0， ∵三点P、A、B不共线，∴向量PA 与 向量PB 不共线， 由 推论3 知，m=λ，n=μ。 证毕。推论6 如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ、ν，使得 λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。 证明： 1）充分性，由推论5 知，若三点P、A、B不共线，则 点C在直线AB上 <=> 存在实数λ、μ，使得 向量PC=λ向量PA+μ向量PB（其中，λ+μ=1）。 取ν=-1，则有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，且实数λ、μ、ν不全为零。 2）必要性，不妨设ν≠0，且有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，则 向量PC=（λ/ν)·向量PA+(μ/ν)·向量PB，（-λ/ν）+（-μ/ν）=1。由推论5 即知，点C在直线AB上。 证毕。推论7 点P是直线AB外任意一点，那么三不同点A、B、C共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ、ν，使得 λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。 证明：（反证法） ∵点P是直线AB外任意一点，∴向量PA≠0，向量PB≠0，向量PC≠0，且 向量PA、向量PB、向量PC两两不共线。 由推论6 知，实数λ、μ、ν不全为零， 1）假设实数λ、μ、ν中有两个为零，不妨设λ≠0，μ=0，ν=0。则 λ向量PA=0，∴向量PA=0。这与向量PA≠0。 2）假设实数λ、μ、ν中有一个为零，不妨设λ≠0，μ≠0，ν=0。则 λ向量PA+μ向量PB=0，∴向量PA=（μ/λ）·向量PB，∴向量PA 与 向量PB共线，这与向量PA 与 向量PB不共线矛盾。 证毕。[编辑本段]共线向量定理定理1 ⊿ABC中，点D在直线BC上的充要条件是 其中 都是其对应向量的数量。 证明：有推论5 即可证得。定理2 ⊿ABC中，点D在直线BC上的充要条件是 其中 都是有向面积。通常约定，顶点按逆时针方向排列的三角形面积为正，顶点按顺时针方向排列的三角形面积为负。 证明：由定理1 即可得证。

abc共线的条件，零向量与任何向量共线。非零向量共线条件是b=λa，其中a≠0，λ是唯一实数。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。平面向量共线的条件零向量与任何向量共线，以下考虑非零向量，三个方法（1）方向相同或相反（2）向量a=k向量b（3）a=(x1，y1)，b=(x2，y2)a//b等价于x1y2-x2y1=0共线向量基本定理如a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。证明：1）充分性：对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。2）必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即_b_=m_a_。那么当向量a与b同方向时，令λ=m，有b=λa，当向量a与b反方向时，令λ=-m，有b=λa。如果b=0，那么λ=0。3）唯一性：如果b=λa=μa，那么(λ-μ)a=0。但因a≠0，所以λ=μ。

平面向量基本定理如下;实质作用编辑 播报这项定理其实说明了平面向量可以沿任意指定的两方向分解，同时也说明了由任意两向量可以合成指定向量，即向量的合成与分解 。当两个方向相互垂直时，其实就是把他们在平面直角坐标系中分解，此时（x,y）就称为此向量的坐标。（此向量的起点为原点）所以此定理为向量的坐标表示提供了理论依据。坐标表示编辑 播报在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。有平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得向量OP=xi+yj。因此向量，a=xi+yj。我们把实数（x，y）对叫做向量的坐标，记作：a=（x，y）。显然，其中（x，y）就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。共面向量编辑 播报共面向量基本定理：如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=xa+yb。（x，y不全为零）归纳反思编辑 播报1．平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它说明同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合。2．在解具体问题时适当地选取基底，使其它向量能够用基底来表示，选择两个不共线的向量 ，平面内的任何一个向量都可以唯一表示，这样几何问题就可以转化为代数问题。

直线平行平面内的任何一条直线，直线平行平面。

共面向量基本定理：如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=xa+yb。

一定是中间的那一条。共线向量基本定理，数学术语。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。1、充分性：对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。2、必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即 _b_=m_a_。那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有 b=λa，当向量a与b反方向时，令 λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那么λ=0。3、唯一性：如果 b=λa=μa，那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。证毕。

零向量与任何向量平行。这是零向量性质若λ=0，b=0,与任意向量平行

推论1两个向量a、b共线的充要条件是:存在不全为零的实数λ、μ，使得λa+μb=0。证明:1)充分性，不妨设μ≠0，则由λa+μb=0得b=(λ/μ)a。由共线向量基本定理知，向量a与b共线。2)必要性，已知向量a与b共线，若a≠0，则由共线向量基本定理知，b=λa，所以λa-b=0，取μ=-1≠0，故有λa+μb=0，实数λ、μ不全为零。若a=0，则取μ=0，取λ为任意一个不为零的实数，即有λa+μb=0。证毕。推论2两个非零向量a、b共线的充要条件是:存在全不为零的实数λ、μ，使得λa+μb=0。证明:1)充分性，∵μ≠0，∴由λa+μb=0可得b=(λ/μ)a。由共线向量基本定理知，向量a与b共线。2)必要性，∵向量a与b共线，且a≠0，则由共线向量基本定理知，b=λa;又∵b≠0，∴λ≠0;取μ=-1≠0，就有λa+μb=0，实数λ、μ全不为零。证毕。推论3如果a、b是两个不共线的向量，且存在一对实数λ、μ，使得λa+μb=0，那么λ=μ=0。证明:(反证法)不妨假设μ≠0，则由推论1知，向量a、b共线;这与已知向量a、b不共线矛盾，故假设是错的，所以λ=μ=0。证毕。推论4如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是:存在唯一实数λ，使得向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。(其中，向量AC=λ向量AB)。证明:∵三点P、A、B不共线，∴向量AB≠0，由共线向量基本定理得，点C在直线AB上<=>向量AC与向量AB共线<=>存在唯一实数λ，使向量AC=λ·向量AB∵三点P、A、B不共线，∴向量PA与向量PB不共线，∴向量AC=λ·向量AB<=>向量PC-向量PA=λ·(向量PB-向量PA)<=>向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB。证毕。推论5如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是:存在唯一一对实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。(其中，λ+μ=1)证明:在推论4中，令1-λ=μ，则λ+μ=1，知:三点P、A、B不共线<=>点C在直线AB上的充要条件是:存在实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。(其中，λ+μ=1)下面证唯一性，若向量PC=m向量PA+n向量PB，则m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB，即，(m-λ)向量PA+(n-μ)向量PB=0，∵三点P、A、B不共线，∴向量PA与向量PB不共线，由推论3知，m=λ，n=μ。证毕。推论6如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是:存在不全为零的实数λ、μ、ν，使得λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。证明:1)充分性，由推论5知，若三点P、A、B不共线，则点C在直线AB上<=>存在实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB(其中，λ+μ=1)。取ν=-1，则有:λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，且实数λ、μ、ν不全为零。2)必要性，不妨设ν≠0，且有:λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，则向量PC=(λ/ν)·向量PA+(μ/ν)·向量PB，(-λ/ν)+(-μ/ν)=1。由推论5即知，点C在直线AB上。证毕。推论7点P是直线AB外任意一点，那么三不同点A、B、C共线的充要条件是:存在全不为零的实数λ、μ、ν，使得λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。证明:(反证法)∵点P是直线AB外任意一点，∴向量PA≠0，向量PB≠0，向量PC≠0，且向量PA、向量PB、向量PC两两不共线。由推论6知，实数λ、μ、ν不全为零，1)假设实数λ、μ、ν中有两个为零，不妨设λ≠0，μ=0，ν=0。则λ向量PA=0，∴向量PA=0。这与向量PA≠0。2)假设实数λ、μ、ν中有一个为零，不妨设λ≠0，μ≠0，ν=0。则λ向量PA+μ向量PB=0，∴向量PA=(μ/λ)·向量PB，∴向量PA与向量PB共线，这与向量PA与向量PB不共线矛盾。证毕。

空间向量公式如下：1、空间向量线面夹角公式是cosθ=（ab的内积）/（|a||b|）。2、|a|=√(x1^2+y1^2+z1^2)，|b|=√(x2^2+y2^2+z2^2)。3、空间向量的模公式：空间向量(x，y，z)，其中x，y，z分别是三轴上的坐标，模长是：²√x²+y²+z²，平面向量（x，y），模长是：²√x²+y²。空间向量基本定理：1、共线向量定理两个空间向量a、b向量，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。2、共面向量定理如果两个向量a、b不共线，则向量c与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x、y，使c=ax+by。

共面向量定理是能平移到同一平面上的三个向量叫做共面向量。共面向量定理是数学学科的基本定理之一。属于高中数学立体几何的教学范畴。主要用于证明两个向量共面，进而证明面面垂直等一系列复杂问题。共面定理得内容为：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在有序实数对（x，y)，使p=xa+yb。推论：共面向量是一组有特殊位置关系的向量，即平行于同一个平面的一组向量、零向量与任何一组共面的向量共面，设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x,y,z)。空间任一点P位于平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对｛x.y}，使MP=xMA+yMB或对空间任一定点O，有OP=OM+xMA+yMB。

已知空间任意一点O和不共线的三点A.B.C，则点P位于平面ABC内的充要条件是：存在x.y.z∈R，满足x+y+z=1 使OP=xOA+yOB+zOC。 证明：（充分性） ∵x+y+z=1 ∴ z=1-x-y 又∵OP=xOA+yOB+zOC ∴ OP =xOA+yOB+（1-x-y）OC OP=x（OA-OC）+y（OB-OC）+OC OP-OC=x（OA-OC）+y（OB-OC） ∴ CP=xCA+yCB 又由已知条件A、B、C三点不共线可得CA、CB是不共线向量 ∴ 根据平面向量的基本定理可知，点P位于平面ABC内 ∴ 充分性成立（必要性） ∵点P位于平面ABC内 又由已知条件A、B、C三点不共线可得CA、CB是不共线向量 ∴ 根据平面向量的基本定理可知，存在实数x，y使得 CP=xCA+yCB ∴ OP-OC=x（OA-OC）+y（OB-OC） OP=x（OA-OC）+y（OB-OC）+OC OP =xOA+yOB+（1-x-y）OC 令z=1-x-y 则x+y+z=1 且 OP=xOA+yOB+zOC 即，存在实数x、y、z满足x+y+z=1，使得OP=xOA+yOB+zOC ∴ 必要性成立

这个题目的叙述是错误的.从来没有听说有这个说法.如令a=2*e1,此时λ=2,u=0,λ+u=2. 倒是有一个定理：点M与直线AB共线的充分必要条件是,对于取定的任意一点O有:OM=λ*OA+u*OB,其中λ+u=1

两个向量a,b平行：a=λb（b不是零向量）；两个向量垂直：数量积为0，即a•b=0平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。注意：(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性。(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关。(3)平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量。扩展资料：平面向量的其他知识：1、平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝λ1e1＋λ2e2。2、平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)。

它是假设a、tb、1/3（a+b） 在同一条直线上，即三者共线（共线向量有a=λb）

平面向量基本定理是在向量知识体系中占有核心地位的定理。一方面，平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与其坐标建立起了一一对应的关系，这为通过数的运算处理形的问题搭起了桥梁。另一方面，平面向量基本定理是平行向量基本定理由一维到二维的推广，揭示了平面向量的结构特征，将来还可以推广为空间向量基本定理．因此，平面向量基本定理在向量知识体系中起着承上启下的重要作用。特点（1）给定平面内两个不共线的向量，通过线性运算，可以构造出该平面内的所有向量。（2）通过线性运算构造平面内所有向量，至少需要两个不共线的向量。（3）平面内任意向量的问题都可以转化为基底中两个向量之间的问题，从而化任意为确定，化未知为已知。（4）选定基底后，平面内的任意向量与有序实数对一一对应，为通过数的运算处理形的问题搭起了桥梁，实现了形与数的统一。

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。向量加法有如下规律：＋=＋(交换律);(c)=()c（结合律）;0=＋(－)=0.1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。(1)｜｜=｜｜｜｜;(2)当＞0时，与的方向相同；当＜0时，与的方向相反；当=0时，=0．(3)若=（），则=（）．两个向量共线的充要条件：(1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=．(2)若=（）,b=（）则‖b．平面向量基本定理：若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得=e1e2．2．P分有向线段所成的比：设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使=，叫做点P分有向线段所成的比。当点P在线段上时，＞0；当点P在线段或的延长线上时，＜0；分点坐标公式：3．向量的数量积：（1）．向量的夹角：（2）．两个向量的数量积：（3）．向量的数量积的性质：(4)．向量的数量积的运算律：4.主要思想与方法：本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。

a,b是两个向量，a=（a1,a2），b=（b1,b2）。a//b：a1/b1=a2/b2或a1b1=a2b2或a=λb,λ是一个常数。a垂直b：a1b1+a2b2=0。 共线向量基本定理 如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。 证明： 1）充分性：对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。 2）必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令λ=m，有b=λa，当向量a与b反方向时，令λ=-m，有b=λa。如果b=0，那么λ=0。 3）唯一性：如果b=λa=μa，那么(λ-μ)a=0。但因a≠0，所以λ=μ。 平面向量基本定理 如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=xa+yb。 在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。有平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得 向量OP=xi+yj。 因此向量，a=xi+yj。 我们把实数（x，y）对叫做向量的坐标，记作：a=（x，y）。 显然，其中（x，y）就是点P的坐标。 向量OP称为点P的位置向量。

向量共线的充要条件是由实数与向量的积推出的,它是平面向量的基本定理的一种特殊情况,具体内容为:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa, 由于零向量与任一向量共线，故上述定理又可叙述为向量b与向量a共线的充要条件是：存在不全为0的实数λ1, λ2, 使得λ1a+λ2b=0, 它的逆否命题为：若向量a, b不共线，(a≠0, b≠0)，且λ1a+λ2b=0, 则λ1=λ2=0，这些结论可用来证明几何中三点共线与两直线平行等问题.

共线定理也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

向量a≠0，a,b共线，<==>存在实数m,使得b=ma,若a=(x1,y1)与b=x2,y2)共线，则x1/x2=y1/y2(允许分子分母同时为0).若A,B,C三点共线，则向量PC=xPA+(1-x)PB,其中x是实数。仅供参考。

平面向量共线定理：共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。证明：1、充分性：对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。2、必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令λ=m，有b=λa，当向量a与b反方向时，令λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那么λ=0。3、唯一性：如果b=λa=μa，那么(λ-μ)a=0。但因a≠0，所以λ=μ。

     一、平面向量共线定理：共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。 共线向量基本定理为如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。平面向量,共线的条件：1、方向相同或相反。2、向量a=k向量b。3、a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a//b等价于x1y2-x2y1=0

空间向量共线定理如下：共线向量基本定理，数学术语。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。共线向量基本定理如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。证明：1）充分性：对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。2）必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有 b=λa，当向量a与b反方向时，令 λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那么λ=0。3）唯一性：如果 b=λa=μa，那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。证毕。

m-n表示向量差。共线向量基本定理数学定理科普中国 | 本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核审阅专家 杜强共线向量基本定理，数学术语。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。中文名共线向量基本定理别名向量共线定理表达式b=λa适用领域几何应用学科数学共线向量基本定理推论共线向量定理TA说共线向量基本定理如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。证明：1）充分性：对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。2）必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有 b=λa，当向量a与b反方向时，令 λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那么λ=0。3）唯一性：如果 b=λa=μa，那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。证毕。[1]推论推论1两个向量a、b共线的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。证明：1）充分性，不妨设μ≠0，则由 λa+μb=0 得 -b=(λ/μ)a。由 共线向量基本定理 知，向量a与b共线。2）必要性，已知向量a与b共线，若a≠0，则由共线向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，实数λ、μ不全为零。若a=0，则取μ=0，取λ为任意一个不为零的实数，即有 λa+μb=0。证毕。推论2两个非零向量a、b共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。证明：1）充分性，∵μ≠0，∴由 λa+μb=0 可得 b=(λ/μ)a。由 共线向量基本定理 知，向量a与b共线。2）必要性，∵向量a与b共线，且a≠0，则由 共线向量基本定理 知，b=λa；又∵b≠0，∴λ≠0； 取 μ=-1≠0，就有 λa+μb=0，实数λ、μ全不为零。证毕。推论3如果a、b是两个不共线的向量，且存在一对实数λ、μ，使得 λa+μb=0，那么λ=μ=0。证明：（反证法）不妨假设μ≠0，则由 推论1 知，向量a、b共线；这与已知向量a、b不共线矛盾，故假设是错的，所以λ=μ=0。证毕。推论4如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一实数λ，使得向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。（其中，向量AC=λ向量AB）。证明：∵三点P、A、B不共线，∴向量AB≠0，由 共线向量基本定理 得，点C在直线AB上 <=> 向量AC 与 向量AB 共线 <=> 存在唯一实数λ，使 向量AC=λ·向量AB∵三点P、A、B不共线，∴向量PA 与 向量PB 不共线，∴向量AC=λ·向量AB <=> 向量PC-向量PA=λ·(向量PB-向量PA) <=> 向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB。证毕。推论5如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一一对实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）证明：在推论4 中，令 1-λ=μ ，则λ+μ=1，知：三点P、A、B不共线 <=> 点C在直线AB上的充要条件是：存在实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）下面证唯一性，若 向量PC=m向量PA+n向量PB，则 m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB，即，（m-λ）向量PA+（n-μ）向量PB=0，∵三点P、A、B不共线，∴向量PA 与 向量PB 不共线，由 推论3 知，m=λ，n=μ。证毕。推论6如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ、ν，使得λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。

向量共线定理：若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。两向量平行（共线）有且只有两种情况：两向量所在直线平行，换句话说就是，只要是两条平行直线上的两个向量，都可互称为平行向量（共线向量），与二者的位置、方向相同还是相反无关。两向量所在直线重合。换句话说就是，只要两个向量所在直线重合（或是同一条直线上的两个向量），则这两个向量互称为平行向量（共线向量）。与二者的位置、方向相同还是相反无关。

两个向量a、b共线的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。证明：1）充分性，不妨设μ≠0，则由 λa+μb=0 得 b=(λ/μ)a。由 共线向量基本定理 知，向量a与b共线。2）必要性，已知向量a与b共线，若a≠0，则由共线向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，实数λ、μ不全为零。若a=0，则取μ=0，取λ为任意一个不为零的实数，即有 λa+μb=0。证毕。 两个非零向量a、b共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。证明：1）充分性，∵μ≠0，∴由 λa+μb=0 可得 b=(λ/μ)a。由 共线向量基本定理 知，向量a与b共线。2）必要性，∵向量a与b共线，且a≠0，则由 共线向量基本定理 知，b=λa；又∵b≠0，∴λ≠0； 取 μ=-1≠0，就有 λa+μb=0，实数λ、μ全不为零。证毕。 如果a、b是两个不共线的向量，且存在一对实数λ、μ，使得 λa+μb=0，那么λ=μ=0。证明：（反证法）不妨假设μ≠0，则由 推论1 知，向量a、b共线；这与已知向量a、b不共线矛盾，故假设是错的，所以λ=μ=0。证毕。 如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一实数λ，使得向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。（其中，向量AC=λ向量AB）。证明：∵三点P、A、B不共线，∴向量AB≠0，由 共线向量基本定理 得，点C在直线AB上 <=> 向量AC 与 向量AB 共线 <=> 存在唯一实数λ，使 向量AC=λ·向量AB∵三点P、A、B不共线，∴向量PA 与 向量PB 不共线，∴向量AC=λ·向量AB <=> 向量PC-向量PA=λ·(向量PB-向量PA) <=> 向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB。证毕。 如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一一对实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）证明：在推论4 中，令 1-λ=μ ，则λ+μ=1，知：三点P、A、B不共线 <=> 点C在直线AB上的充要条件是：存在实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）下面证唯一性，若 向量PC=m向量PA+n向量PB，则 m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB，即，（m-λ）向量PA+（n-μ）向量PB=0，∵三点P、A、B不共线，∴向量PA 与 向量PB 不共线，由 推论3 知，m=λ，n=μ。证毕。 如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ、ν，使得λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。证明：1）充分性，由推论5 知，若三点P、A、B不共线，则 点C在直线AB上 <=> 存在实数λ、μ，使得 向量PC=λ向量PA+μ向量PB（其中，λ+μ=1）。取ν=-1，则有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，且实数λ、μ、ν不全为零。2）必要性，不妨设ν≠0，且有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，则 向量PC=（λ/ν)·向量PA+(μ/ν)·向量PB，（-λ/ν）+（-μ/ν）=1。由推论5 即知，点C在直线AB上。证毕。 点P是直线AB外任意一点，那么三不同点A、B、C共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ、ν，使得λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。证明：（反证法）∵点P是直线AB外任意一点，∴向量PA≠0，向量PB≠0，向量PC≠0，且 向量PA、向量PB、向量PC两两不共线。由推论6 知，实数λ、μ、ν不全为零，1）假设实数λ、μ、ν中有两个为零，不妨设λ≠0，μ=0，ν=0。则 λ向量PA=0，∴向量PA=0。这与向量PA≠0。2）假设实数λ、μ、ν中有一个为零，不妨设λ≠0，μ≠0，ν=0。则 λ向量PA+μ向量PB=0，∴向量PA=（μ/λ）·向量PB，∴向量PA 与 向量PB共线，这与向量PA 与 向量PB不共线矛盾。证毕。

只有两个定理：平面向量基本定理、共面向量基本定理。如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，存在唯一一对有序实数(x 、y) ，使 a= xe1＋ ye2。 向量组I（含有s个向量）可以由向量组II（含有t个向量）线性表示，则 秩(I)≤秩(II)。这时候得不出关于s与t的任何关系式，只能是 秩(I)≤秩(II)≤t。相关介绍：在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中称标量）。向量的记法：印刷体记作粗体的字母（如a、b、u、v）；手写体在字母顶上加一小箭头“→”。 如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

b=λa，λ不等于零。基本定理：如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。拓展资料：（1）共线向量基本定理如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。（2）推论1.两个非零向量a、b共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。2.如果a、b是两个不共线的向量，且存在一对实数λ、μ，使得 λa+μb=0，那么λ=μ=0。3.如果三点M、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一实数λ，使得向量MC=(1-λ)向量MA+λ向量MB。4.如果三点M、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一一对实数λ、μ，使得向量MC=λ向量MA+μ向量MB。5.如果三点M、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ、ν，使得λ向量MA+μ向量MB+ν向量MC=0，λ+μ+ν=0。6.点M是直线AB外任意一点，那么三不同点A、B、C共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ、ν，使得λ向量MA+μ向量MB+ν向量MC=0，λ+μ+ν=0。参考资料：百度百科

只有两个定理：平面向量基本定理。共面向量基本定理。如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，存在唯一一对有序实数(x 、y) ，使 a= xe1＋ ye2。 向量组I（含有s个向量）可以由向量组II（含有t个向量）线性表示，则 秩(I)≤秩(II)。这时候得不出关于s与t的任何关系式，只能是 秩(I)≤秩(II)≤t。比较共线向量与平行向量关系：由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量。平行向量与相等向量的关系：相等的向量一定平行，但是平行的向量并不一定相等。两个向量相等并不一定这两个向量一定要重合。只用这两个向量长度相等且方向相同即可。其中“方向相同”就包含着向量平行的含义。

读：兰亩达＋miu向量共线定理：若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。充分性：对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令λ=m，有 b=λa，当向量a与b反方向时，令λ=-m，有b=λa。如果b=0，那么λ=0。唯一性：如果b=λa=μa，那么(λ-μ)a=0。但因a≠0，所以λ=μ。

如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。共线向量的定义：共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。扩展资料：

向量共面的条件如下：设三个向量是向量a，向量b，向量c。则向量a，向量b，向量c共线的充要条件是：存在两个实数x，y，使得向量a=x向量b+y向量c。（即一个向量可以写成另外两个向量的线性组合）。在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。基本定理：共线向量定理：两个空间向量a,b向量（b向量不等于0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by。空间向量分解定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

向量等和线定理是相等的向量一定平行,但是平行的向量并不一定相等。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。证明：1）充分性：对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。2）必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有 b=λa，当向量a与b反方向时，令 λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那么λ=0。3）唯一性：如果 b=λa=μa，那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。

如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。共线向量的定义：共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。扩展资料：

如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=xa+yb。 坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。有平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得 向量OP=xi+yj。 因此向量，a=xi+yj。 我们把实数（x，y）对叫做向量的坐标，记作：a=（x，y）。 显然，其中（x，y）就是点P的坐标。 向量OP称为点P的位置向量。 共面向量 共面向量基本定理：如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=xa+yb。（x，y不全为零） 归纳反思 1．平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它说明同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合。 2．在解具体问题时适当地选取基底，使其它向量能够用基底来表示，选择两个不共线的向量 ，平面内的任何一个向量都可以唯一表示，这样几何问题就可以转化为代数问题。 平面向量基本定理 如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=xa+yb。事实上，这个定理表明，平面向量可以在任意给定的两个方向上分解，任意两个向量都可以合成一个给定的向量，即向量的合成和分解。 当两个方向相互垂直时，它们实际上是在直角坐标系中分解的，（x，y）称为矢量的坐标。（矢量的起点是原点）所以这个定理为矢量的坐标表示提供了理论基础。

平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，存在唯一一对有序实数(x 、y) ，使 a= xe1＋ ye2。分析，如果E1和E2共线，就会存在无数个有序实数对使得A=XE1+YE2。

证明线面平行的方法如下：1、利用定义：线面平行（即直线与平面无任何公共点）。2、利用判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）。3、利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必然平行于另一个平面。4、空间向量法：即证明直线的向量与平面的法向量垂直，就可以说明该直线与平面平行。线面平行，几何术语。定义为一条直线与一个平面无公共点(不相交)，称为直线与平面平行。判定定理如下：1、平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。已知：a∥b，a⊄α，b⊂α，求证：a//α。反证法证明：假设a与α不平行，则它们相交，设交点为A，那么A∈α。因为a//b，所以A不在b上，在α内过A作c//b，则a∩c=A，又因为 a//b，b//c，所以a//c，与a∩c=A矛盾，所以假设不成立，a//α。向量法证明：设a的方向向量为a，b的方向向量为b，面α的法向量为p。因为b⊂α，所以b⊥p，即p·b=0，因为a//b，由共线向量基本定理可知存在一实数k使得a=kb，那么p·a=p·kb=kp·b=0，即a⊥p，所以a//α。2、平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。已知：a⊥b，b⊥α，且a不在α上。求证：a//α。证明：设a与b的垂足为A，b与α的垂足为B。假设a与α不平行，那么它们相交，设a∩α=C，连接BC由于不在直线上的三个点确定一个平面，因此ABC首尾相连得到△ABC。因为B∈α，C∈α，b⊥α，所以b⊥BC，即∠ABC=90°，因为a⊥b，即∠BAC=90°，所以在△ABC中，有两个内角为90°，这是不可能的事情。所以假设不成立，a//α。

你好。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。

一、基本知识： 1．向量的概念及其表示方法：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向。2．向量的运算向量运算定义坐标运算运算律加法己知向量 、 ，在平面内任取一点 ，解 ， ，则向量 叫做 与 的和，记作 ；求两个向量和的运算，叫做向量的加法。减法向量 加上 的相反的向量，叫做 与 的差；求两个向量差的运算，叫做向量的减法实数与向量的积，其中当 与 同向， ；当 时 与 反向， 向量的数量职二、重要定理、公式 1．平面向量基本定理：若 、 是同一平面内的两个不共线的向量，那么，对该平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 、 ，使 2．两个向量平行的充要条件：∥ 若 ， 则∥ 3．两个非零向量垂直的充要条件：若 ， 则4．线段的定比分点坐标公式：设 ， ， ，且 ，则当 时，得中点坐标公式 5．平移公式：若点 按向量 平移至 ，则 6．正弦定理、余弦定理：（1）正弦定理： （2）余弦定理：三、学习要求和需要注意的问题 1．学习要求（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。（2）掌握向量的加法与减法的运算法则及运算律。（3）掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。（4）了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量可以处理有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件（6）掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟悉运用；掌握平移公式。（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。（8）通过解三角形的应用学习，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。2．需要注意的问题（1）这一章里，我们学习的向量具有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量。（2）共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础。（3）向量的数量积是一个数，当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积大于0；当两个向量的夹角是钝角时，它们的数量积小于0；当两个向量的夹角是90°时，它们的数量积等于0，零向量与任何向量的数量积等于0。（4）通过向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直。（5）数量积不满足结合律，这是因为 与 的结果都是数量，所以 与 都没有意义，当然就不可能相等。

性质定理：直线L平行于平面α，平面β经过L且与平面α相交于直线L‘，则L∥L‘；判定定理：直线L‘在平面α上，直线L不在平面α上，且L"∥L,则L∥α。判定定理、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，性质定理、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。线面平行证明已知：a∥b，a⊄α，b⊂α，求证：a∥α反证法证明：假设a与α不平行，则它们相交，设交点为A，那么A∈α∵a∥b，∴A不在b上在α内过A作c∥b，则a∩c=A又∵a∥b，b∥c，∴a∥c，与a∩c=A矛盾。∴假设不成立，a∥α向量法证明：设a的方向向量为a，b的方向向量为b，面α的法向量为p。∵b⊂α∴b⊥p，即p·b=0∵a∥b，由共线向量基本定理可知存在一实数k使得a=kb那么p·a=p·kb=kp·b=0即a⊥p∴a∥α以上内容参考：百度百科——线面平行

1.根据定义,平行于同一个平面的向量叫做共面向量. 2.空间中任意一个向量都可以平移. 因此 根据平面向量基本定理,平面中的任意一个向量的都可以用两个不共线的向量来表示. 如果这两个向量共线的话,只能表示与之平行的那些向量,而无法表示其它所有的向量.

重点在数量积部分，必考必考啊

平面基本向量和向量共线的区别在于，平面基本向量是指在平面上的两个向量，它们的方向不同，但是它们的终点都在同一个点上；而向量共线是指在平面上的两个向量，它们的方向相同，但是它们的终点不在同一个点上。它们的联系在于，它们都是在平面上的两个向量，它们都有自己的方向和终点。

共面向量定理是能平移到同一平面上的三个向量叫做共面向量。共面向量定理是数学学科的基本定理之一。属于高中数学立体几何的教学范畴。主要用于证明两个向量共面，进而证明面面垂直等一系列复杂问题。共面定理得内容为：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在有序实数对（x，y)，使p=xa+yb。推论：共面向量是一组有特殊位置关系的向量，即平行于同一个平面的一组向量、零向量与任何一组共面的向量共面，设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x,y,z)。空间任一点P位于平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对｛x.y}，使MP=xMA+yMB或对空间任一定点O，有OP=OM+xMA+yMB。

若a向量与b向量共线，a=kbk为常数追问：两者到底有什么区别追问：平面向量基本定理有什么作用？

如果两个向量a.b不共线，则向量p与向量a.b共面的充要条件是存在有序实数对(x.y),使　p=xa+yb定义为：能平移到同一平面上的三个向量叫做共面向量

该问题对空间向量的基本定理的表述不够准确，建议修改如下：已知空间任意一点O和不共线的三点A.B.C，则点P位于平面ABC内的充要条件是：存在x.y.z∈R，满足x+y+z=1使OP=xOA+yOB+zOC。证明：（充分性）∵x+y+z=1∴z=1-x-y又∵OP=xOA+yOB+zOC∴OP=xOA+yOB+（1-x-y）OCOP=x（OA-OC）+y（OB-OC）+OCOP-OC=x（OA-OC）+y（OB-OC）∴CP=xCA+yCB又由已知条件A、B、C三点不共线可得CA、CB是不共线向量∴根据平面向量的基本定理可知，点P位于平面ABC内∴充分性成立（必要性）∵点P位于平面ABC内又由已知条件A、B、C三点不共线可得CA、CB是不共线向量∴根据平面向量的基本定理可知，存在实数x，y使得CP=xCA+yCB∴OP-OC=x（OA-OC）+y（OB-OC）OP=x（OA-OC）+y（OB-OC）+OCOP=xOA+yOB+（1-x-y）OC令z=1-x-y则x+y+z=1且OP=xOA+yOB+zOC即，存在实数x、y、z满足x+y+z=1，使得OP=xOA+yOB+zOC∴必要性成立