对数的概念

1对数的概念 如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 由定义知： ①负数和零没有对数; ②a>0且a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. 2对数式与指数式的互化 式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质 如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMN=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (n∈R). 问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1，M>0,N>0? ②logaan=? (n∈R) ③对数式与指数式的比较.(学生填表) 式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数 b— N—a—对数的底数 b— N—运 算 性 质am·an=am+n am÷an= (am)n= (a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN logaMN= logaMn=(n∈R) (a>0,a≠1,M>0,N>0) 难点疑点突破 对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1? 理由如下： ①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28? ②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数? ③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数? 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数? 解题方法技巧 1 (1)将下列指数式写成对数式： ①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=5?73. （2）将下列对数式写成指数式： ①log1216=-4；②log2128=7； ③log327=x；④lg0.01=-2； ⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k. 解析由对数定义：ab=N?logaN=b. 解答(1)①log5625=4.②log2164=-6. ③log327=x.④log135.73=m. 解题方法 指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N?logaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27. ④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π. 2 根据下列条件分别求x的值： (1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0； (3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1. 解析(1)对数式化指数式，得：x=8-23=? (2)log5x=20=1. x=? (3)31+log32=3×3log32=?27=x? (4)2+3=x-1=1x. x=? 解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14. (2)log5x=20=1，x=51=5. (3)logx27=3×3log32=3×2=6， ∴x6=27=33=(3)6,故x=3. (4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3. 解题技巧 ①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化. ②熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3 已知logax=4,logay=5，求A=〔x·3x-1y2〕12的值. 解析思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值； 思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值? 解答解法一∵logax=4,logay=5, ∴x=a4,y=a5, ∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1. 解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得 logaA=loga(x512y-13) =512logax-13logay=512×4-13×5=0, ∴A=1. 解题技巧 有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算.4 设x,y均为正数，且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范围. 解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数? 解答∵x>0,y>0,x·y1+lgx=1, 两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0. 即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1). 令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t≠-1). ∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t. 解题规律 对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解. ∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0, 故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞). 5 求值： (1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2； (2)2log32-log3329+log38-52log53； (3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值; (4)求7lg20·12lg0.7的值. 解析(1)25=52,50=5×10.都化成lg2与lg5的关系式. (2)转化为log32的关系式. (3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b之间的关系，能否从中求出ab的值呢? (4)7lg20·12lg0.7是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数， 设x=7lg20·12lg0.7能否先求出lgx，再求x? 解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2 =2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2 =lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2 =lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2 =(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2 =2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2. (2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59 =2log32-5log32+2+3log32-9 =-7. (3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0), ∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0. ∴ab=1或ab=4，这里a>0,b>0. 若ab=1，则a-2b<0, ∴ab=1（ 舍去）. ∴ab=4, ∴log2a-log2b=log2ab=log24=2. (4)设x=7lg20·12lg0.7,则 lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg12 =(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2) =lg7+lg2=14, ∴x=14, 故原式=14. 解题规律 ①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如(3). ②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4).6 证明(1)logaN=logcNlogca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)； (2)logab·logbc=logac； (3)logab=1logba(b>0,b≠1)； (4)loganbm=mnlogab. 解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证. (2)中logbc能否也换成以a为底的对数. (3)应用(1)将logab换成以b为底的对数. (4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数. 解答(1)设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN, ∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca. (2)由(1)logbc=logaclogab. 所以 logab·logbc=logab·logaclogab=logac. (3)由(1)logab=logbblogba=1logba. 解题规律 (1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式，(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用. 对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab. 7 已知log67=a,3b=4,求log127. 解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢? 解答已知log67=a,log34=b, ∴log127=log67log612=a1+log62. 又log62=log32log36=log321+log32, 由log34=b,得2log32=b. ∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b. ∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b. 解题技巧 利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧?8 已知x,y,z∈R+，且3x=4y=6z. (1)求满足2x=py的p值； (2)求与p最接近的整数值； (3)求证：12y=1z-1x. 解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z?又想，对于指数式能否用对数的方法去解答? 解答（1）解法一3x=4y?log33x=log34y?x=ylog34?2x=2ylog34=ylog316, ∴p=log316. 解法二设3x=4y=m,取对数得： x·lg3=lgm，ylg4=lgm, ∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4. 由2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4, ∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316. (2)∵2=log39<log316<log327=3, ∴2<p<3. 又3-p=log327-log316=log32716, p-2=log316-log39=log3169, 而2716<169, ∴log32716<log3169,∴p-2>3-p. ∴与p最接近的整数是3. 解题思想 ①提倡一题多解.不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢? ②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因为底3>1，所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，y，z∈R+， ∴k>1，则 x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6, 所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12·lg4lgm=lg2lgm， 故12y=1z-1x. 解法二3x=4y=6z=m， 则有3=m1x①,4=m1y②，6=m1z③， ③÷①，得m1z-1x=63=2=m12y. ∴1z-1x=12y. 9 已知正数a,b满足a2+b2=7ab.求证：logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m≠1). 解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab? 解答logma+b3=logm(a+b3)212= 解题技巧 ①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一. ②应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9. ∵a2+b2=7ab, ∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb), 即logma+b3=12(logma+logmb). 思维拓展发散 1 数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘. 解析由已知，对N=a×10n取常用对数得，lgN=n+lga.真数与对数有何联系? 解答lgN=lg(a×10n)=n+lga.n∈Z,1≤a<10， ∴lga∈〔0,1). 我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用对数的尾数，它是正的纯小数或0. 小结：①lgN的首数就是N中10n的指数，尾数就是lga,0≤lga<1; ②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同； ③当N≥1时，lgN的首数n比它的整数位数少1，当N∈(0，1)时，lgN的首数n是负整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同. 师生互动 什么叫做科学记数法？ N>0,lgN的首数和尾数与a×10n有什么联系？ 有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？ 2 若lgx的首数比lg1x的首数大9，lgx的尾数比lg1x的尾数小0?380 4，且lg0.203 4=1.308 3,求lgx,x,lg1x的值. 解析①lg0.203 4=1?308 3,即lg0.203 4=1+0.308 3，1是对数的首数，0.308 3是对数的尾数，是正的纯小数；②若设lgx=n+lga，则lg1x也可表出. 解答设lgx=n+lga,依题意lg1x=(n-9)+(lga+0.380 4). 又lg1x=-lgx=-(n+lga), ∴(n-9)+(lga+0?380 4)=-n-lga，其中n-9是首数，lga+0?380 4是尾数，-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首数1-lga是尾数，所以： n-9=-(n+1) lga+0.380 4=1-lga?n=4, lga=0.308 3. ∴lgx=4+0.308 3=4.308 3, ∵lg0.203 4=1.308 3,∴x=2.034×104. ∴lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7.

高中数学中log知识点如下：1、对数公式是数学中的一种常见公式，如果a^x=N(a>0,且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记做x=log(a)(N)，其中a要写于log右下。其中a叫做对数的底，N叫做真数。2、通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数。3、对数的公式都有loga(1)=0loga(a)=1，负数与零无对数loga(MN)=logaM+logaN，loga(M/N)=logaM－logaN，对logaM中M的n次方有＝nlogaMa^(log(a)(b))=blog(a)，（MN)=log(a)(M)+log(a)(N)，log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N)，log(a)(M^n)=nlog(a)(M)，log(a^n)M=1/nlog(a)(M)。log的换底公式推导步骤设b=a^m，a=c^n，则b=(c^n)^m=c^(mn)①对①取以a为底的对数，有：log(a)(b)=m②对①取以c为底的对数，有：log(c)(b)=mn③③／②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)

对数的概念如下：对数的概念：在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字（基数）的指数。在简单的情况下，乘数中的对数计数因子。更一般来说，乘幂允许将任何正实数提高到任何实际功率，总是产生正的结果，因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。如果a的x次方等于N（a>0，且a不等于1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。对数的定义：一般地，函数y=logax（a>0，且a-1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。对数函数的实际应用：在实数域中，真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零（若为负数，则值为虚数），底数则要大于0且不为1。对数的历史：16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急。约翰·纳皮尔（J.Napier，1550-1617）正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，对数的发明是数学史上的重大事件，天文学界更是以近乎狂喜的心情迎接这一发明。恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立称为17世纪数学的三大成就，伽利略也说过：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。”

如果ab=N(a>0,a≠1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做底数，N叫做真数。对数符号log出自拉丁文logarithm，最早由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri）所使用。20世纪初，形成了对数的现代表示。为了使用方便，人们逐渐把以10为底的常用对数及以无理数e为底的自然对数分别记作lgN和lnN。对数的定义特别地，我们称以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并记为lgN。称以无理数e（e=2.71828…）为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并记为lnN。零没有对数。在实数范围内，负数无对数。在虚数范围内，负数是有对数的。

它是指一个数在某个给定的底数下所对应的指数。比如，以底数为2的对数，表示一个数在2的幂次方下所对应的指数。例如，2的3次方等于8，因此以底数为2的对数，log2(8) = 3。对数常常被用来简化复杂的计算，例如在求幂、求根、求积分等问题中，对数都有着重要的应用。

㏒ laoge ㏑ laoin

对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，其是六类基本初等函数之一。如果a^x=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，一般地，函数y=logaX（a>0，且a≠1）就叫做对数函数，其中“log”是拉丁文logarithm（对数）的缩写。对数函数的运算公式当a>0且a≠1时，M>0，N>0，那么：（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)。（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)。（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M)（n∈R）。（4）log(a^n)(M)=（1/n）log(a)(M)(n∈R)。（5）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）。（6）a^(log(b)n)=n^(log(b)a)。（7）对数恒等式：a^log（a)N=N。

a^y=x→y=log(a)(x) [y=log以a为底x的对数]这就是将指数转换为对数。对数函数的一般形式为 y=logax，它实际上就是指数函数的反函数（图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=a^y，因此指数函数里对于a存在规定——a>0且a≠1，对于不同大小a会形成不同的函数图形：关于X轴对称，当a>1时，a越大，图像越靠近x轴、当0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴。a叫做对数的底数，N叫做真数：1、特别地，我们称以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并记为lgN。2、称以无理数e（e=2.71828…）为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并记为lnN。3、零没有对数。4、在实数范围内，负数无对数。在虚数范围内，负数是有对数的。

比如说2的3次方＝88对2取对数就是3log28=3其中log叫对数符号（音译：咯格）2为底数这就是对数的含义log10x就简写为lgx

对数。自然对数以常数e为底数的对数。记作lnN(N>0)。在物理学，生物学等自然科学中有重要的意义。一般表示方法为lnx。数学中也常见以logx表示自然对数。在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。 这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字（基数）的指数。 在简单的情况下，乘数中的对数计数因子。扩展资料：在1614年开始有对数概念，约翰·纳皮尔以及Jost Bürgi（英语：Jost Bürgi）在6年后，分别发表了独立编制的对数表，当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算，来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数，当时还没出现有理数幂的概念。1742年William Jones（英语：William Jones (mathematician)）才发表了幂指数概念。按后来人的观点，Jost Bürgi的底数1.0001相当接近自然对数的底数e，而约翰·纳皮尔的底数0.99999999相当接近1/e。实际上不需要做开高次方这种艰难运算，约翰·纳皮尔用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算，Henry Briggs（英语：Henry Briggs (mathematician)）建议纳皮尔改用10为底数未果，他用自己的方法于1624年部份完成了常用对数表的编制。参考资料来源：百度百科-自然对数

如果ab=N(a>0,a≠1),那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做底数,N叫做真数。负数和零没有对数。对数由指数而来。对数式logaN＝b是由指数式ab＝N而来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N，而对数值b是指数式中的幂指数。对数记号logaN只有在a＞0且a≠1，N＞0时才有意义。常用对数：定义：以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN。自然对数：以e＝2.71828…为底的对数叫做自然对数，logeN通常记作lnN。

对数的定义：一般地,如果a^x=N（a>0,且a≠1）,那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=loga(N),读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 对数函数：一般地,函数y=loga(x)（a>0,且a≠1）叫做对数函数,也就是说以幂为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数.其中x是自变量,函数的定义域是（0,+∞）.它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=ay.因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数.

对数的性质及推导　　定义： 　　若a^n=b(a>0且a≠1) 　　则n=log(a)(b) 　　基本性质： 　　1、a^(log(a)(b))=b 　　2、log(a)(a^b)=b　　3、log(a)(MN)=log(a)(M) log(a)(N); 　　4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 　　5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 　　6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)　　推导 　　1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。 　　2、因为a^b=a^b　　令t=a^b　　所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)　　3、MN=M×N 　　由基本性质1(换掉M和N) 　　a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N)　　由指数的性质 　　a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] [log(a)(N)]} 　　两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定　　又因为指数函数是单调函数，所以 　　log(a)(MN) = log(a)(M) log(a)(N) 　　4、与（3）类似处理 　　MN=M÷N 　　由基本性质1(换掉M和N) 　　a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 　　由指数的性质 　　a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 　　又因为指数函数是单调函数，所以 　　log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 　　5、与（3）类似处理 　　M^n=M^n 　　由基本性质1(换掉M) 　　a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 　　由指数的性质 　　a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 　　又因为指数函数是单调函数，所以 　　log(a)(M^n)=nlog(a)(M)　　基本性质4推广　　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]　　推导如下：　　由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底] 　　log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)　　换底公式的推导：　　设e^x=b^m,e^y=a^n　　则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y　　x=ln(b^m),y=ln(a^n)　　得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)　　由基本性质4可得　　log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}　　再由换底公式　　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------（性质及推导 完）

英语名词：logarithms 　　如果a^b=n，那么log(a)(n)=b。其中，a叫做“底数”，n叫做“真数”，b叫做“以a为底的n的对数”。 　　log(a)(n)函数叫做对数函数。对数函数中n的定义域是n>0，零和负数没有对数；a的定义域是a>0且a≠1。　　对数的历史　　约翰·纳皮尔/约翰·奈皮尔（john napier，1550～1617），苏格兰数学家、神学家，对数的发明者。　　napier出身贵族，于1550年在苏格兰爱丁堡附近的小镇梅奇斯顿（merchistoncastle,edinburgh,scotland）出生，是merchiston城堡的第八代地主，未曾有过正式的职业。　　年轻时正值欧洲掀起宗教革命，他行旅其间，颇有感触。苏格兰转向新教，他也成了写文章攻击旧教（天主教）的急先锋（主要文章于1593年写成）。其时传出天主教的西班牙要派无敌舰队来攻打，napier就研究兵器（包括拏炮、装甲马车、潜水艇等）准备与其拚命。虽然napier的兵器还没制成，英国已把无敌舰队击垮，他还是成了英雄人物。　　他一生研究数学，以发明对数运算而著称。那时候天文学家tychobrahe（第谷，1546～1601）等人做了很多的观察，需要很多的计算，而且要算几个数的连乘，因此苦不堪言。1594年，他为了寻求一种球面三角计算的简便方法，运用了独特的方法构造出对数方法。这让他在数学史上被重重地记上一笔，然而完成此对数却整整花了他20年的工夫。1614年6月在爱丁堡出版的第一本对数专著《奇妙的对数表的描述》（"mirificilogarithmorumcanonisdescriptio"）中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数：naplogx。1616年briggs（亨利·布里格斯，1561-1630）去拜访纳皮尔，建议将对数改良一下以十为基底的对数表最为方便，这也就是后来常用的对数了。可惜纳皮尔隔年于1617年春天去世，后来就由briggs以毕生精力继承纳皮尔的未竟事业，以10为底列出一个很详细的对数表。并且于1619年发表了《奇妙对数规则的结构》，于书中详细阐述了对数计算和造对表的方法。　　纳皮尔对数字计算特别有研究，他的兴趣在于球面三角学的运算，而球面三角学乃因应天文学的活动而兴起的。他重新建立了用于解球面直角三角形的10个公式的巧妙记法——圆的部分法则（"纳皮尔圆部法则"）和解球面非直角三角形的两个公式——"纳皮尔比拟式"，以及做乘除法用的"纳皮尔算筹"。此外，他还发明了纳皮尔尺，这种尺子可以机械地进行数的乘除运算和求数的平方根。

对数基本运算公式是：x=log（a）（N）。对数公式是数学中的一种常见公式，如果a^x=N(a&gt;0,且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数。如果a^x=N（a>0,且a不等于1），则数x叫做以a为底N的对数，记做x=log（a）（N），其中a要写于log右下。对数性质与运算法则如下。loga（1）=0；loga（a）=1；负数与零无对数，并且a^logaN=N（a>0，a≠1）。求导数（xlogax）"=logax+1/lna其中，logax中的a为底数，x为真数；（logax）"=1/xlna特殊的即a=e时有（logex）"=（lnx）"=1/x。换底公式的推导： 设e^x=b^m,e^y=a^n 则log（a^n）（b^m）=log（e^y）（e^x）=x/y x=ln（b^m），y=ln（a^n）得：log（a^n）（b^m）=ln（b^m）÷ln（a^n）。

若aⁿ=b(a>0，且a≠1)，称为a的n次幂等于b。在这里，a叫作底数，n叫作指数，b叫作以a为底的n次幂。若写成对数形式就是：在这里，a仍然叫作底数，b叫作真数，而n叫作以a为底b的对数。由此可见，指数和对数都是n，即它们是指同一个东西，只是在不同场合叫不同的名字。按此定义，立得一个很重要的等式：

1)性质：①loga(1)=0；②loga(a)=1；③负数与零无对数.2)运算法则：①loga(MN)=logaM+logaN；②loga(M/N)=logaM－logaN；③对logaM中M的n次方有=nlogaM；如果a=e^m，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数的底。3)换底公式logaN=(logmN)/(logma)换底公式4)推导公式log(1/a)(1/b)=loga(b)loga(b)*logb(a)=15)求导数(logax)"=1/xlna特殊的即a=e时有(lnx)"=1/x

对数基本恒等式：a^log_a_N=N 积的对数等于对数的和log(MN)=logM+logN 省略底数a 商的对数等于对数的差log(M/N)=logM-logN 幂的对数等于对数的对数乘指数log(N^m)=mlogN 根式的对数等于被开方数的对数除以根指数log[N^(1/n)]=(1/n)logN对数的换底公式：log_b_N=log_a_N/log_a_b

对数的概念　　如果a^n=b，那么logab=n。其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对数”。 　　相应地，函数y=logaX叫做对数函数。对数函数的定义域是（0，+∞)。零和负数没有对数。底数a为常数，其取值范围是(0，1)∪(1，+∞)。 对数的性质及推导定义　　若a^n=b(a>0且a≠1) 　　则n=log(a)(b) 基本性质　　如果a>0,且a≠1，M>0,N>0,那么：　　1、a^log(a)(b)=b 　　2、log(a)(a)=1 　　3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 　　4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 　　 第5条的公式写法5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 　　6、log(a)[M^（1/n）]=log(a)(M)/n 　　（注：下文^均为上标符号，例：a^1即为a）推导　　1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。 　　2、因为a^b=a^b 　　令t=a^b 　　所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b) 　　令b=1，则1=log(a)(a) 　　3、MN=M×N 　　由基本性质1(换掉M和N) 　　a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N) 　　由指数的性质 　　a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 　　两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定　　又因为指数函数是单调函数，所以 　　log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 　　4、与（3）类似处理 　　M/N=M÷N 　　由基本性质1(换掉M和N) 　　a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 　　由指数的性质 　　a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 　　又因为指数函数是单调函数，所以 　　log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 　　5、与（3）类似处理 　　M^n=M^n 　　由基本性质1(换掉M) 　　a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 　　由指数的性质 　　a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 　　又因为指数函数是单调函数，所以 　　log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 　　基本性质4推广　　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 　　推导如下：　　由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底] 　　log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 　　换底公式的推导： 　　设e^x=b^m,e^y=a^n 　　则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y 　　x=ln(b^m),y=ln(a^n) 　　得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 　　由基本性质4可得　　log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]} 　　再由换底公式　　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------（性质及推导 完） 函数图象　　1.对数函数的图象都过(1,0)点. 　　2.对于y=log(a)(n)函数, 　　①,当0<a<1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着a 的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1. 　　②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的减小,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1. 　　3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称. 其他性质性质一：换底公式　　log(a)(N)=log(b){N}÷log(b){a} 　　推导如下：　　N = a^[log(a){N}] 　　a = b^[log(b){a}] 　　综合两式可得　　N = {b^[log(b){a}]}^[log(a){N}] = b^{[log(a){N}]*[log(b){a}]} 　　又因为N=b^[log(b){N}] 　　所以 b^[log(b){N}] = b^{[log(a){N}]*[log(b){a}]} 　　所以 log(b){N} = [log(a){N}]*[log(b){a}]...... [这步不明白或有疑问看上面的] 　　所以log(a){N}=log(b){N} / log(b){a}

对数的概念：如果a^b＝N（a＞0，a≠1），那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做底数，N叫做真数。负数和零没有对数。(a^b就是a的b次方)

定数的解释(1) [God"s will;destiny;fate]∶ 一定 的气数;定命 在迷信的人看来,什么事都有一个定数 (2) [rated]∶确定的数量 这台机车的牵引定数,由原来拉一千多吨 提高 到二千三百吨 详细解释 (1).计定数量。 《荀子·正名》 ：“此事之所以稽实定数也。” 《后汉书·律历志上》 ：“竹声不可以度调，故作准以定数。” (2).气数； 命运 。 * 认为 国家 的兴亡、人世的祸福皆由天命或 某种 不可知的力量所 决定 ，因称为“定数”。 南朝 梁 刘孝标 《辩命论》 ：“宁前愚而后智，先非而终是？将荣悴有定数，天命有至极而谬生妍蚩？” 宋 范成大 《河豚叹》 诗：“生死有定数，断命乌可续。” 元 无名氏 《 梧桐 叶》 第二折：“小生想来，夫妻会合聚散，自有定数。” 《红楼梦》 第一一八回：“ 宝钗 点头微笑道：‘功名自有定数，中与不中，倒也不在用功的迟早。"” 巴金 《秋》 一：“我也 不知 道八字可靠不可靠，不过我 相信 命运是实在的。什么事都有一个定数。” (3).定则；定理。 严复 《＜天演论＞自序》 ：“内籀云者，察其曲而知其全者也，执其微以会其通者也；外籀云者，据公理以断众事者也，设定数以逆未然者也。” 词语分解 定的解释 定 ì 不动的，不变的：定额。定价。定律。定论。定期。定型。 定义 。定都（?）。定稿。定数（?）（a．规定数额；b．指天命；c．规定的数额）。断定。规定。鉴定。 使不变动：定案。定罪。决定。确定。 平安 数的解释 数 （数） ù 表示、划分或 计算 出来的量：数目。数量。数词。数论（数学的一支，主要 研究 正整数的 性质 以及和它有关的 规律 ）。数控。 几，几个：数人。数日。 技艺 ，学术：“今夫弈之为数，小数也”。 命运，天

对数在数学, 对数 作用是指数函数的反面。对数是被替代在计算用其它数字, 他们负担这样关系行动执行在后者由更加简单的行动代表进行在前的数字。对数转换增殖成加法、部门成减法(做他们isomorphisms 在室外操作之间), 取幂成增殖, 和根成部门(使他们关键对计算尺建设) 。历史1614 年对数方法第一次被提议了, 在书由 John Napier (latinized Neperus) 题为Mirifici Logarithmorum Canonis Merchiston 的Descriptio, 男爵在苏格兰, 是出生大约1550 年, 1618 年并且死, 四年在他难忘的发明的出版物以后。这个方法对科学前进, 和特别是天文贡献了, 由促进那前进不能被做了的困难的演算。在计算器和计算机之前出现, 它经常被利用了在调查, 航海, 和实用数学其它分支。除他们的有用性以外在计算, 对数并且填补一个重要地方在更高的理论数学。Joost B5urgi, 瑞士clockmaker 在Hesse 卡塞尔公爵的使用, 然而, 第一次设想了对数, 但以后只出版了。词对数, 归结于Napier, 被形成从oo (商标), 比率、和o (arithmos), 数字, 和手段 表明一个比率的数字。 它提到由Napier 做了他的根本定理的提议, 那二个对数区别确定数字比率他们代表, 以便对数算术系列对应于数字一个几何级数。定义对数 系统的基地是 所有数字 被提到在那个系统的一个固定的数字。它也许有正面价值除了团结。一个 数字的 对数在任一个系统是系统基地必须被上升对产物编号力量的方次数。数值?/b> 反对数是指定的数字是对数的那个数字; 换句话说, 这是指定的数字是方次数的那基地的力量。如此, 在8 是基地对数的系统,日志8 = 1, antilog 1 = 8 日志64 = 2, antilog 2 = 64 日志512 = 3, antilog 3 = 512 日志4096 = 4, antilog 4 = 4096 总之, 如果x 和u 安排任何如此价值至于满足等式 u = x, 我们有, 在系统a 是基地, u = 日志 x 并且 x = antilog u 并且或者二个后者等式也许被认为等值对前。Napier 在第一个叫的对数 人为数字, 和反对数 自然数字。 词 反对数 被介绍了在1800"s 并且, 然而方便, 其用途从未普遍。用法图象如果 b> 0 和 x = by, y 然后 是x 对数 在基地 b (意思 y 是我们必须引起b 对 的 力量, 为了得到 x), 并且我们写日志bx = y。例如,日志 10 100 = 2, {从那以后} 10 2 = 100。 日志 2 8 = 3, {从那以后} 2 3 = 8。 作用日志b(x) 被定义每当 x 是一个正面实数并且 b 是一个正面实数与1 不同。参见对数身分为几个规则治理对数作用。对数是有用为了解决未知数出现在方次数的等式, 并且他们经常发生作为微分方程的办法由于他们简单的衍生物。此外, 各种各样的数量在科学由他们的对数表达; 参见对数标度为解释和名单。为整数 a 和 b, 数字日志ba 是不合理(即, 不是二个整数商数) 如果一个 a 和 b 有其他不的一个头等因素(和特别是如果他们是coprime 和两大于1) 。共同性, 或十, 对数十, 或 小数, 系统是那有第号10 为其基地。在实用计算没有电子计算器或类似物, 它比其他系统是方便由于其关系对算术普通的数字系统。为细节, 包括基地10 对数特征和尾数的角色在计算, 参见常用对数。1617 年它提议由亨利·布里格斯, 然后教授几何在Gresham 学院, 伦敦, 和之后Savilian 教授几何在牛津大学。布里格斯是在一之中认可对数的发明的重要性, 并且他做了二次旅途对苏格兰为拜访Napier 的目的, 在他形成了他的新系统- 系统与原始一个被区别不仅在建立在第号10, 而且在理论的一些重要简单化的咨询。历史上, 十的对数有时叫做 Briggsian 或 粗俗 对数, 但最后采取了举行的条款是 常用对数。几乎一个对数的任一个未声明的基地, 除了在某些应用, 被承担是10; 以对对数表的实用用途现在罕见, 这不再是实际情形。自然对数主要条款: 自然对数。有有有用的 物产 的一个特别基地e (大约2.718281828459045) 。对数对这个基地称自然对数。当应付对数对基地e, 它特别是是通常表示 日志 e 由 ln 特别是如果有读者也许认为的任一可能基地10 或基地2 对数也许意味。在多数纯净的数学工作, 日志 或 ln 被利用表示 日志 e ; 在多数工程学工作, 日志 意味 日志 10 ; 然而在信息理论上, 日志 经常意味 日志 2 , 传统上被写 ld (从拉丁 logarithmus dualis), 而且有时被写 ．每当一种可能性为二义性存在, 这二义性由明确地写出解决基地。二进制对数依照被提及, 基地广泛地被使用在信息理论和计算机科学是二进制对数, 基地2 。它频繁地被利用因为许多算法和计算机应用分裂项目成二个次级项目, 以划分和征服方式。二进制对数是有用的在确定时间或空间复杂的特征的这样算法。对数的基地明确地几乎不曾经被提及当分析算法的渐进复杂就大O 记法来说, 从那以后 O (日志 b n) = O (日志 c n) 为所有合法的基地 b 和 c。Shannon 的法律依靠对基地2 对数的用途当就信息而论基本的单位位, 一般是最有用的形式。基地的变动基地某人的选择以对数不是关键的, 因为对数可能相当容易地被转换从一个基地到另一个。例如, 计算基地的对数的价值除10 之外, 基于可能只处理基地10 的表或计算器, 以下惯例改变基地到任一个选上的基地(假设, a 、b, 和k 是所有正面实数并且 一 1 并且 k 1) 采伐 b = 采伐 k b采伐 k a 那里 k 是任一个合法的基地。让 k=b 基于 采伐 b = 1采伐 b a ． 对数表在计算机和计算器之前出现, 使用对数意味使用对数表, 必须手工被创造。基地10 对数是有用的在计算当电子手段不是可利用的。参见常用对数为细节, 包括对通常(即, 基地10) 对数特征和尾数的用途。1617 年, 布里格斯出版了常用对数他自己的表的第一分期付款, 遏制所有整数对数在小数以下1000 年到八个地方。这他跟随了, 1624 年, 由他的 Arithmetica Logarithmica, 遏制所有整数对数从1 到20,000 和从小数90,000 个到100,000 个到十四个地方, 与博学的介绍一起, 在里对对数的理论和用途充分地被开发。间隔时间从20,000 到90,000 由Adrian ·Vlacq, 荷兰计算机填满了; 但在他的表里, 1628 年出现, 对数基于只小数十个地方。Vlacq 的表是更晚对发现遏制603 个错误, 但"这无法被认为一个了不起的数字, 当它被考虑表是原始的演算的结果, 并且超过2,100,000 个打印的数字是有义务的对错误。" (Athenaeum, 1872 年6月15 日。参见 皇家天文学社会的月度通知 1872 年5月。) Vlacq 的工作的编辑, 遏制许多更正, 被发布了在莱比锡在1794 在标题 分类词词典Logarithmorum Completus 之下 由乔治·Vega 。Callet 的七地方表(巴黎, 1795), 而不是停止在100,000, 基于数字的八地方对数在100,000 和108,000 之间, 为了减少插值法错误, 是最大的在表的早期部分; 并且这加法一般包括在七地方表里。Vlacq 的表唯一的重要出版引伸在Sang 先生的1871 年以前做了, 表遏制了所有数字七地方对数在200,000 以下。布里格斯和Vlacq 并且出版了三角函数的对数的原始的表。除表以外以上提到, 一件了不起的收藏品, 称 Tables du Cadastre, 被修建了根据Prony 的方向, 由原始的计算, 在1700"s 的法国共和党政府的恩惠外。这工作, 遏制了所有数字对数由100,000 个到十九个地方决定, 和数字在100,000 个和200,000 个到二十四个地方之间, 存在只在原稿里, "在十七极大的对开纸," 在巴黎观测所。1792 年它开始了; 并且"演算, 获取更加巨大的准确性一式两份执行了, 并且二个原稿的整体随后校对了以关心, 被完成了在二年短的空间。" (英国Cyclopaedia 、传记、 卷IV., 条款"Prony 。") 立方体插值法能使用发现任一个数字对数对相似的准确性。对有计算器的好处的现代学生, 工作投入了入表被提及是一个小征兆对数的重要。应用在结石计算一个对数作用的衍生物, 以下惯例使用 ddx 日志 b x = 1x ln b = 日志 b ex 那里 ln 是自然对数, 即以基地 e。让 b=e: ddx ln(x) = 1x , 1x dx = ln x + C 你能然后看, 以下惯例基于对数的积分式 采伐 b (x) dx = x 日志 b (x) - xln b + C = x 日志 b(xe) + C 复杂形势对数对数也许并且被定义为复杂论据。这被解释在自然对数页。小组理论在有限小组的理论上有分离对数的一个相关概念。为一些有限小组, 它被相信, 分离对数是非常困难计算, 但是分离exponentials 相当容易。这非对称有应用在密码学。关系在二进制和常用对数之间好奇巧合是略计日志2(x) ≈ 日志10(x) + ln(x), 准确对大约99.4% 或2 个有效数字; 这是因为 1/ln 2 − 1/ln 10 是大约1 (实际上1.0084.) 。其它有趣的巧合是, 近似地, 采伐102 = 0.3 (实际价值是大约0.301029995); 这最后归结于, 到在3% 之内, 2 10 =10 3 的事实 (即1024 年是大约1000 年; 参见二进制前缀) 。来源许多对数的历史从对数的 元素被获得以对数和三角函数三和四地方表的解释, 由詹姆斯·Mills Peirce, 大学教授数学在哈佛大学1873 年。

对数函数的定义域是：对数函数的真数g(x)＞0；对数函数的底数f(x)＞0，且f(x)≠1。一般地，函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。相关性质：对数函数的一般形式为 y=㏒ax，它实际上就是指数函数的反函数（图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1），右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：关于X轴对称、当a>1时，a越大，图像越靠近x轴、当0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴。可以看到，对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

对数是对求幂的逆运算,正如除法是乘法的逆运算,反之亦然。对数的历史：16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急。约翰·纳皮尔（J. Napier，1550~1617）正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，天文学界更是以近乎狂喜的心情迎接这一发明。恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立称为17世纪数学的三大成就，伽利略也说过：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。”将对数加以改造使之广泛流传的是纳皮尔的朋友布里格斯（H. Briggs，1561~1631），他通过研究《奇妙的对数定律说明书》，感到其中的对数用起来很不方便，于是与纳皮尔商定，使1的对数为0，10的对数为1，这样就得到了以10为底的常用对数。由于所用的数系是十进制，因此它在数值上计算具有优越性。1624年，布里格斯出版了《对数算术》，公布了以10为底包含1~20000及90000~100000的14位常用对数表。

对数的概念：如果a^b＝n（a＞0，a≠1），那么数b叫做以a为底n的对数，记作logan＝b，其中a叫做底数，n叫做真数。负数和零没有对数。(a^b就是a的b次方)

1对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.由定义知：①负数和零没有对数;②a>0且a≠1,N>0;③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN.2对数式与指数式的互化式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么(1)loga(MN)=logaM+logaN.(2)logaMN=logaM-logaN.(3)logaMn=nlogaM (n∈R).问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1，M>0,N>0?②logaan=? (n∈R)③对数式与指数式的比较.(学生填表)式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数b—N—a—对数的底数b—N—运算性质am·an=am+nam÷an=(am)n=(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaNlogaMN=logaMn=(n∈R)(a>0,a≠1,M>0,N>0)难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1?理由如下：①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28?②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数?③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数?为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?解题方法技巧1(1)将下列指数式写成对数式：①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=5?73.（2）将下列对数式写成指数式：①log1216=-4；②log2128=7；③log327=x；④lg0.01=-2；⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k.解析由对数定义：ab=N?logaN=b.解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.③log327=x.④log135.73=m.解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N?logaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.2根据下列条件分别求x的值：(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.解析(1)对数式化指数式，得：x=8-23=?(2)log5x=20=1. x=?(3)31+log32=3×3log32=?27=x?(4)2+3=x-1=1x. x=?解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.(2)log5x=20=1，x=51=5.(3)logx27=3×3log32=3×2=6，∴x6=27=33=(3)6,故x=3.(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.解题技巧①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化.②熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3已知logax=4,logay=5，求A=〔x·3x-1y2〕12的值.解析思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值?解答解法一∵logax=4,logay=5,∴x=a4,y=a5,∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得logaA=loga(x512y-13)=512logax-13logay=512×4-13×5=0,∴A=1.解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算.4设x,y均为正数，且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范围.解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?解答∵x>0,y>0,x·y1+lgx=1,两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0.即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t≠-1).∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.解题规律对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0,故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).5求值：(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；(2)2log32-log3329+log38-52log53；(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值;(4)求7lg20·12lg0.7的值.解析(1)25=52,50=5×10.都化成lg2与lg5的关系式.(2)转化为log32的关系式.(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b之间的关系，能否从中求出ab的值呢?(4)7lg20·12lg0.7是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数，设x=7lg20·12lg0.7能否先求出lgx，再求x?解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59=2log32-5log32+2+3log32-9=-7.(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0.∴ab=1或ab=4，这里a>0,b>0.若ab=1，则a-2b<0, ∴ab=1（ 舍去）.∴ab=4,∴log2a-log2b=log2ab=log24=2.(4)设x=7lg20·12lg0.7,则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg12=(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2)=lg7+lg2=14,∴x=14, 故原式=14.解题规律①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如(3).②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4).6证明(1)logaN=logcNlogca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)；(2)logab·logbc=logac；(3)logab=1logba(b>0,b≠1)；(4)loganbm=mnlogab.解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证.(2)中logbc能否也换成以a为底的对数.(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数.(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数.解答(1)设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN,∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.(2)由(1)logbc=logaclogab.所以 logab·logbc=logab·logaclogab=logac.(3)由(1)logab=logbblogba=1logba.解题规律(1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式，(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用. 对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab.7已知log67=a,3b=4,求log127.解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢?解答已知log67=a,log34=b,∴log127=log67log612=a1+log62.又log62=log32log36=log321+log32,由log34=b,得2log32=b.∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b.∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.解题技巧利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧?8已知x,y,z∈R+，且3x=4y=6z.(1)求满足2x=py的p值；(2)求与p最接近的整数值；(3)求证：12y=1z-1x.解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z?又想，对于指数式能否用对数的方法去解答?解答（1）解法一3x=4y?log33x=log34y?x=ylog34?2x=2ylog34=ylog316,∴p=log316.解法二设3x=4y=m,取对数得：x·lg3=lgm，ylg4=lgm,∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.由2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4,∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.(2)∵2=log39<log316<log327=3,∴2<p<3.又3-p=log327-log316=log32716,p-2=log316-log39=log3169,而2716<169,∴log32716<log3169,∴p-2>3-p.∴与p最接近的整数是3.解题思想①提倡一题多解.不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢?②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因为底3>1，所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，y，z∈R+，∴k>1，则 x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6,所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12·lg4lgm=lg2lgm，故12y=1z-1x.解法二3x=4y=6z=m，则有3=m1x①,4=m1y②，6=m1z③，③÷①，得m1z-1x=63=2=m12y.∴1z-1x=12y.9已知正数a,b满足a2+b2=7ab.求证：logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m≠1).解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab?解答logma+b3=logm(a+b3)212=解题技巧①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.②应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.∵a2+b2=7ab,∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),即logma+b3=12(logma+logmb).思维拓展发散1数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘.解析由已知，对N=a×10n取常用对数得，lgN=n+lga.真数与对数有何联系?解答lgN=lg(a×10n)=n+lga.n∈Z,1≤a<10，∴lga∈〔0,1).我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用对数的尾数，它是正的纯小数或0.小结：①lgN的首数就是N中10n的指数，尾数就是lga,0≤lga<1;②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；③当N≥1时，lgN的首数n比它的整数位数少1，当N∈(0，1)时，lgN的首数n是负整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.师生互动什么叫做科学记数法？N>0,lgN的首数和尾数与a×10n有什么联系？有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？2若lgx的首数比lg1x的首数大9，lgx的尾数比lg1x的尾数小0?380 4，且lg0.203 4=1.308 3,求lgx,x,lg1x的值.解析①lg0.203 4=1?308 3,即lg0.203 4=1+0.308 3，1是对数的首数，0.308 3是对数的尾数，是正的纯小数；②若设lgx=n+lga，则lg1x也可表出.解答设lgx=n+lga,依题意lg1x=(n-9)+(lga+0.380 4).又lg1x=-lgx=-(n+lga),∴(n-9)+(lga+0?380 4)=-n-lga，其中n-9是首数，lga+0?380 4是尾数，-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首数1-lga是尾数，所以：n-9=-(n+1)lga+0.380 4=1-lga?n=4,lga=0.308 3.∴lgx=4+0.308 3=4.308 3,∵lg0.203 4=1.308 3,∴x=2.034×104.∴lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7.解题规律把lgx的首数和尾数，lg1x的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法.3计算：(1)log2-3(2+3)+log6(2+3+2-3);(2)2lg(lga100)2+lg(lga).解析(1)中.2+3与2-3有何关系?2+3+2-3双重根号，如何化简?(2)中分母已无法化简，分子能化简吗?解题方法认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒.解答(1)原式=log2-3(2-3）-1+12log6(2+3+2-3)2=-1+12log6(4+22+3·2-3)=-1+12log66=-12.(2)原式=2lg(100lga)2+lg(lga)=2〔lg100+lg(lga)〕2+lg(lga)=2〔2+lg(lga)〕2+lg(lga)=2.4已知log2x=log3y=log5z<0,比较x,3y,5z的大小.解析已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂，所以，对数等式应设法转化为指数式.解答设log2x=log3y=log5z=m<0.则x=2m,y=3m,z=5m.x=(2)m,3y=(33)m,5z=(55)m.下面只需比较2与33,55的大小：(2)6=23=8,(33)6=32=9，所以2<33.又(2)10=25=32,(55)10=52=25,∴2>55.∴55<2<33. 又m<0,图2-7-1考查指数函数y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x在第二象限的图像，如图2-7-1?解题规律①转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化.②比较指数相同，底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较?①是y=(55)x,②是y=(2)x,③是y=(33)x.指数m<0时，图像在第二象限从下到上，底从大到小.所以(33)m<(2)m<(55)m,故3y<x<5z.潜能挑战测试1(1)将下列指数式化为对数式:①73=343;②14-2=16;③e-5=m.(2)将下列对数式化为指数式：①log128=-3;②lg10000=4;③ln3.5=p.2计算：(1)24+log23;(2)2723-log32;(3)2513log527+2log52.3(1)已知lg2=0.301 0，lg3=0.477 1，求lg45;(2)若lg3.127=a，求lg0.031 27.4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是()A若logx+1(x+1)=1 ,则x的取值范围是()A已知ab=M(a>0,b>0,M≠1),且logMb=x，则logMa的值为()A若log63=0.673 1，log6x=-0.326 9, 则x为()A若log5〔log3(log2x)〕=0，则x=.98log87·log76·log65=.10如果方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2·lg3=0的两根为x1、x2,那么x1·x2的值为.11生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中 (Hn表示第n个营养级，n=1，2，3，4，5，6).已知对H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量?12已知x，y，z∈R+且3x=4y=6z，比较3x，4y，6z的大小.13已知a,b均为不等于1的正数，且axby=aybx=1，求证x2=y2.14已知2a·5b=2c·5d=10，证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).15设集合M=｛x|lg〔ax2-2(a+1)x-1〕>0｝，若M≠?，M?｛x|x<0｝，求实数a的取值范围.16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384 000 000 000次.用科学记数法表示这个数为N=,若已知lg3.840=0.584 3,则lgN=.17某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年，生产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3, lg3=0.48)18某厂为适应改革开放，完善管理机制，满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%，那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f(x)的解析式f(x)=.名师助你成长1.(1)①log7343=3.②log1416=-2.③lnm=-5.(2)①12-3=8.②104=10 000.③ep=3.5.2.(1)48点拨：先应用积的乘方，再用对数恒等式.(2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式.(3)144点拨：应用对数运算性质和积的乘方.3.(1)0.826 6点拨：lg45=12lg45=12lg902=12(lg32+lg10-lg2).(2)lg0.031 27=lg(3.127×10-2)=-2+lg3.127=-2+a4.C点拨：a≠0,a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义.5.B点拨：底x+1>0且x+1≠1;真数x+1>0.6.A点拨：对ab=M取以M为底的对数.7.C点拨：注意0.673 1+0.326 9=1,log61x=0.326 9，所以log63+log61x=log63x=1.∴3x=6, x=12.8.x=8点拨：由外向内.log3(log2x)=1, log2x=3, x=23.9.5点拨：log87·log76·log65=log85, 8log85=5.10.16点拨：关于lgx的一元二次方程的两根是lgx1,lgx2.由lgx1=-lg2,lgx2=-lg3，得x1=12,x2=13.11.设第n个营养级能获得100千焦的能量，依题意:106·10100n-1=100,化简得:107-n=102,利用同底幂相等，得7-n=2,或者两边取常用对数也得7-n=2.∴n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.12?设3x=4y=6z=k,因为x，y，z∈R+，所以k>1.取以k为底的对数，得：x=1logk3,y=1logk4,z=1logk6.∴3x=3logk3=113logk3=1logk33,同理得：4y=1logk44,6z=1logk66.而33=1281,44=1264,66=1236,∴logk33>logk44>logk66.又k>1,33>44>66>1,∴logk33>logk44>logk66>0,∴3x<4y<6z.13.∵axby=aybx=1,∴lg(axby)=lg(aybx)=0,即xlga+ylgb=ylga+xlgb=0.(※)两式相加,得x(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0.即(lga+lgb)(x+y)=0.∴lga+lgb=0 或x+y=0.当lga+lgb=0时,代入xlga+ylgb=0,得:(x-y)lga=0, a是不为1的正数lga≠0,∴x-y=0.∴x+y=0或x-y=0,∴x2=y2.14.∵2a5b=10,∴2a-1=51-b.两边取以2为底的对数,得：a-1=(1-b)log25.∴log25=a-11-b(b≠1). 同理得log25=c-11-d(d≠1).即b≠1,d≠1时,a-11-b=c-11-d.∴(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b),∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).当b=1,c=1时显然成立.15.设lg〔ax2-2(a+1)x-1〕=t (t>0),则ax2-2(a+1)x-1=10t(t>0).∴10t>1 ,ax2-2(a+1)x-1>1,∴ax2-2(a+1)x-2>0.①当a=0时,解集｛x|x<-1｝?｛x|x<0｝;当a≠0时,M≠?且M?｛x|x<0｝.∴方程ax2-2(a+1)x-2=0 必有两不等实根，设为x1,x2且x1<x2，则②当a>0时,M=｛x|x<x1，或x>x2｝,显然不是｛x|x<0｝的子集；③当a<0时，M=｛x|x1<x<x2｝只要：a<0，Δ=4(a+1)2+8a>0，x1+x2=2(a+1)a<0，x1·x2=-2a>0.解得3-2<a<0，综上所求，a的取值范围是：3-2<a≤0.16.N=3.840×1011, lgN=11.584 3.17.设经过x年，成本降为原来的40%.则(1-10%)x=40%,两边取常用对数，得：x·lg(1-10%)=lg40% ，即x=lg0.4lg0.9=lg4-1lg9-1=2lg2-12lg3-1=10.所以经过10年成本降低为原来的40%.18.f(x)=log1.104x〔或f(x)=lgxlg1.104〕.点拨：设原来一个季度产品为a，则a(1+10.4%)y=xa,∴y=log1.104x.

a^y=x→y=log(a)(x) [y=log以a为底x的对数]这就是将指数转换为对数。对数函数的一般形式为 y=logax，它实际上就是指数函数的反函数（图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=a^y，因此指数函数里对于a存在规定——a>0且a≠1，对于不同大小a会形成不同的函数图形：关于X轴对称，当a>1时，a越大，图像越靠近x轴、当0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴。a叫做对数的底数，N叫做真数：1、特别地，我们称以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并记为lgN。2、称以无理数e（e=2.71828…）为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并记为lnN。3、零没有对数。4、在实数范围内，负数无对数。在虚数范围内，负数是有对数的。

对数的概念如下：对数的概念：在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字（基数）的指数。在简单的情况下，乘数中的对数计数因子。更一般来说，乘幂允许将任何正实数提高到任何实际功率，总是产生正的结果，因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。如果a的x次方等于N（a>0，且a不等于1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。对数的定义：一般地，函数y=logax（a>0，且a-1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。对数函数的实际应用：在实数域中，真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零（若为负数，则值为虚数），底数则要大于0且不为1。对数的历史：16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急。约翰·纳皮尔（J.Napier，1550-1617）正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，对数的发明是数学史上的重大事件，天文学界更是以近乎狂喜的心情迎接这一发明。恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立称为17世纪数学的三大成就，伽利略也说过：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。”

对数是对求幂的逆运算。正如除法是乘法的倒数，反之亦然。这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字（基数）的指数。在简单的情况下，乘数中的对数计数因子。更一般来说，乘幂允许将任何正实数提高到任何实际功率，总是产生正的结果，因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。对数的历史：纳皮尔，J.16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急。约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，天文学界更是以近乎狂喜的心情迎接这一发明。恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立称为17世纪数学的三大成就，伽利略也说过：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。”应用：对数在数学内外有许多应用。这些事件中的一些与尺度不变性的概念有关。例如，鹦鹉螺的壳的每个室是下一个的大致副本，由常数因子缩放。这引起了对数螺旋。Benford关于领先数字分配的定律也可以通过尺度不变性来解释。

对数释义：一般地说，如果a是一个不等于1的正数，an=b时，n叫做以a为底b的对数，记作logab=n。如52=25中，2就叫做以5为底25的对数，记作log525=2。以10和e为底的对数分别叫做常用对数和自然对数，符号 分别为“lg”和“ln”。利用对数可以把乘方、开方转化为乘除；乘除转化为加减，从而简化运算。对数是苏格兰数学家纳皮尔在做天文研究是发现的一种乘法开方的逆算法，这一重大的发明，让许多数学研究家欣喜若狂，因为它解决了算术上的一个大难题。对数的形式有log和ln，形式的下标是乘数，上标是最终得数，等值的数是次方数，在我们现在看来这只不过是很简单的数学计算，而它的出现却能够给当时的各界行业的人带来震撼和喜悦，可见它的意义重大。其实对数的本质和基本的算术乘法和开方有直接关系，这是算数的三种表现形式，因此理解对数的含义，也需要从这三个形式的关系分析入手。对数简便了连乘的手写工序。最开始写算术乘法我们都是一个一个的乘，比如5*5*5，简短的几个不麻烦书写，也不会出现写漏和多写的情况，但乘得越来越多就会出现这些问题，因此将一串很长的算术整合成一个式子可以缩减书写量和提高正确率，运用次方就可以写成5^3,它的等值是125，写成对数形式就成了log5 125=3。

如果a^b=n，那么log(a)(n)=b。其中，a叫做“底数”，n叫做“真数”，b叫做“以a为底的n的对数”。对数函数的图形是相应的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。（1） 对数函数的定义域为大于0的实数集合。（2） 对数函数的值域为全部实数集合。（3） 函数总是通过（1，0）这点。（4） a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。（5） 显然对数函数无界。对数函数的运算性质：如果a〉0，且a不等于1,M>0,N>0，那么：（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n属于R）

对数 如果a的n次方等于x（a大于0，且a不等于1），那么数n叫做以a为底x的对数（logarithm），记作n=㏒ax其中，a叫做对数的底数，x叫做真数,n叫做“以a为底x的对数”。 1定义特别地，我们称以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把记为lg。称以无理数e（e=2.71828...）为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并把记为ln。零没有对数.[1]在实数范围内，负数无对数。在复数范围内，负数有对数。如：.而事实上，当θ=(2k+1)π时(k∈Z），，这样，ln(-1)的具有周期性的多个值，。这样，任意一个负数的自然对数都具有周期性的多个值。例如：  2基本性质如果，且，M>0，N>0，那么：1、a^loga N=N （对数恒等式）证：设a^t=N，（t∈R）则有logaN=ta^t=a^(logaN)=N.即证.[2]2、logaa=1证：因为a^b=a^b令t=a^b所以a^b=t，b=loga(t=logaab令b=1，则1=logaa3、logaM·N=logaM+logaN  公式54、logaM/N=logaM-logaN5、logaM^n=nlogaM6、logab*logba=17、logab=logcb÷logca （换底公式）8.  loga1/n=-logan基本性质5推广log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]推导如下：由换底公式log(a^n)(b^m)=ln(b^m）÷ln(a^n)换底公式的推导：设e^x=b^m,e^y=a^n则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x÷yx=ln(b^m),y=ln(a^n)得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m）÷ln(a^n)由基本性质5log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n）×{[ln(b)]÷[ln(a)]}再由换底公式可得log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]对数函数定义函数 y=log(a) x （a>0，且a≠1）叫做对数函数（logarithmic function）.其中x是自变量.对数函数的定义域是（0，+∞）.基本性质1、过定点（1,0），即x=1时，y=0.2、当 0<a<1 时，在（0，+∞）上是减函数；当a>1时，在（0，+∞）上是增函数.4发明缘由16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急。苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550—1617）正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，天文学界更是以近乎狂喜的心情迎接这一发明。恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立称为17世纪数学的三大成就，伽利略也说过：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。”对数发明之前，人们对三角运算中将三角函数的积化为三角函数的和或差的方法已很熟悉，而且德国数学家斯蒂弗尔（M.Stifel，约1487—1567）在《综合算术》（1544）中阐述的1，r，r^2，r^3，r^4，… （1）与 0，1，2，3，4…之间的对应关系（r^n→n）及运算性质（即上面一行数字的乘、除、乘方、开方对应于下面一行数字的加、减、乘、除）也已广为人知。经过对运算体系的多年研究，纳皮尔在1614年出版了《奇妙的对数定律说明书》，书中借助运动学，用几何术语阐述了对数方法。将对数加以改造使之广泛流传的是纳皮尔的朋友布里格斯（H.Briggs，1561—1631），他通过研究《奇妙的对数定律说明书》，感到其中的对数用起来很不方便，于是与纳皮尔商定，使1的对数为0，10的对数为1，这样就得到了以10为底的常用对数。由于我们的数系是十进制，因此它在数值上计算具有优越性。1624年，布里格斯出版了《对数算术》，公布了以10为底包含1~20000及90000~100000的14位常用对数表。根据对数运算原理，人们还发明了对数计算尺。300多年来，对数计算尺一直是科学工作者，特别是工程技术人员必备的计算工具，直到20世纪70年代才让位给电子计算器。尽管作为一种计算工具，对数计算尺、对数表都不再重要了，但是，对数的思想方法却仍然具有生命力。从对数的发明过程我们可以发现，纳皮尔在讨论对数概念时，并没有使用指数与对数的互逆关系，造成这种状况的主要原因是当时还没有明确的指数概念，就连指数符号也是在20多年后的1637年才由法国数学家笛卡儿（R.Descartes，1596—1650）开始使用。直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系。在1770年出版的一部著作中，欧拉首先使用y=a^x来定义x=log (a) y，他指出：“对数源于指数”。对数的发明先于指数，成为数学史上的珍闻。从对数的发明过程可以看到，社会生产、科学技术的需要是数学发展的主要动力。建立对数与指数之间的联系的过程表明，使用较好的符号体系对于数学的发展是至关重要的。实际上，好的数学符号能够大大地节省人的思维负担。数学家们对数学符号体系的发展与完善作出了长期而艰苦的努力。

对数的加法为log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)。对数的推导公式：log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)。loga(b)*logb(a)=1。loge(x)=ln(x)。lg(x)=log10(x)。对数公式是数学中的一种常见公式，如果a^x=N(a>0,且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数,记做x=log(a)(N)，其中a要写于log右下，其中a叫做对数的底，N叫做真数，通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数。对数的发现：16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急。约翰·纳皮尔（J. Napier，1550~1617）正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，天文学界更是以近乎狂喜的心情迎接这一发明。恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立称为17世纪数学的三大成就，伽利略也说过：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。”

英语名词：logarithms如果a^n=b，那么log(a)(b)=n。其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对数”。log(a)(b)函数叫做对数函数。对数函数中b的定义域是b>0，零和负数没有对数；a的定义域是a>0且a≠1。对数的历史

以a为底N的对数记作。对数符号log出自拉丁文logarithm，最早由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri）所使用。20世纪初，形成了对数的现代表示。为了使用方便，人们逐渐把以10为底的常用对数及以无理数e为底的自然对数分别记作lgN和lnN。

对数是为使某数等于一给定数而必须取的乘幂的幂指数。在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。 这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字（基数）的指数。 在简单的情况下，乘数中的对数计数因子。更一般来说，乘幂允许将任何正实数提高到任何实际功率，总是产生正的结果，因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。如果a的x次方等于N（a>0，且a不等于1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。对数例句：1、于是我用对数坐标，作了张图，列出了向心加速度，与平均距离的关系。2、主要研究了对数周期偶极子天线。3、将对数函数加进数字计算器和计算机后，这些过程就被进一步简化了。4、本文通过对数据的分析，说明我国建立机动车辆保险赔偿基金十分必要。5、传统方法是在数据读回后，用软件对数据进行搜索，然后显示峰值检测波形。6、注水开发油田累计产水量和累计产油量存在一定的相关性，在半对数坐标上呈近似直线关系。

对数的解释[logarithm] 为使某数等于一给定数而 必须 取的乘幂的幂指数。数学 名词 详细解释 数学名词。根据对数的基本 性质 ，可把乘、除、乘方、开方的运算分别以加、减、乘、除来代替。以10为底的对数称为常用对数，简记为lgb。以超越数e(＝2.71828…)为底的对数，称为 自然 对数，简记为lnb。 词语分解 对的解释 对 （对） ì 答，答话，回答：对答如流。无言以对。 朝着： 对酒当歌 。 处于 相反 方向的：对面。 跟，和：对他 商量 一下。 互相， 彼此 相向地： 对立 。对流。对接。 对称 （坣 ）。 对峙 。 说明事物的关系：对于。 数的解释 数 （数） ù 表示、划分或 计算 出来的量：数目。数量。数词。数论（数学的一支，主要 研究 正整数的性质以及和它有关的 规律 ）。数控。 几，几个：数人。数日。 技艺 ，学术：“今夫弈之为数，小数也”。 命运 ，天

对数的概念： 如果a^b＝N（a＞0，a≠1），那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做底数，N叫做真数。负数和零没有对数。 (a^b就是a的b次方) 下面的网站还有很多关于对数的具体介绍，对你会有帮助的： http://www.tjjy.com.cn/swin2000/gzdata/maths/Senior_Maths_V1/unit_02/lesson_07/HTML/gm1202072.htm

自然对数，lnX=log(e)X,底就是超越数e=2.718.。。。。 自然对数又称“双曲对数”。以超越数�e＝1＋1/1!＋1/2!＋1/3!＋…�＝2�71828…�为底的对数。有自然对数表可查。

对数运算(logarithmicoperations）是指对求幂的逆运算。此运算是一种特殊的运算方法，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。

对数的结构是：对(左右结构)数(左右结构)。对数的结构是：对(左右结构)数(左右结构)。注音是：ㄉㄨㄟ_ㄕㄨ_。拼音是：duìshù。词性是：名词。对数的具体解释是什么呢，我们通过以下几个方面为您介绍：一、词语解释【点此查看计划详细内容】对数duìshù。(1)为使某数等于一给定数而必须取的乘幂的幂指数。数学名词。二、引证解释⒈数学名词。根据对数的基本性质，可把乘、除、乘方、开方的运算分别以加、减、乘、除来代替。以10为底的对数称为常用对数，简记为lgb。以超越数e(＝2.71828)为底的对数，称为自然对数，简记为lnb。三、国语词典数学上指当x_＝b，n就叫做以x为底时b的对数。如：「对数以log表示，无特别标明时以10为底。」四、网络解释对数在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字（基数）的指数。在简单的情况下，乘数中的对数计数因子。更一般来说，乘幂允许将任何正实数提高到任何实际功率，总是产生正的结果，因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。如果a的x次方等于N（a>0，且a不等于1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。关于对数的诗词《吴波亭相对数峰极可爱》《偶书·小山相对数椽地》关于对数的诗句相对数步为漱玉亭开门对数峰楼头对数飘零关于对数的成语数米量柴擢发莫数论黄数黑空对空数一数二如数奉还滥竽充数数不胜数讳树数马关于对数的词语滥竽充数论黄数黑一目数行讳树数马擢发莫数不计其数数米量柴对不起数罪并罚如数奉还关于对数的造句1、主要研究了对数周期偶极子天线。2、我对数字的记忆非常出色，前一天价格变动的细节，他们的涨涨跌跌我都记得一清二楚。3、本文通过对数据的分析，说明我国建立机动车辆保险赔偿基金十分必要。4、先生强调，日漫的秘密在于它在形式和内容上都是没有限制的，而且在日本，漫画作品的绝对数量和可利用形式也远远超过其他国家。5、于是我用对数坐标，作了张图，列出了向心加速度，与平均距离的关系。点此查看更多关于对数的详细信息

对数的运算法则：1、log(a) (M·N）=log(a) M+log(a) N2、log(a) (M÷N)=log(a) M-log(a) N3、log(a) M^n=nlog(a) M4、log(a)b*log(b)a=15、log(a) b=log (c) b÷log (c) a对数的定义：如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。以上内容参考：百度百科-对数函数

常用对数表http://www.tlsh.tp.edu.tw/~h397/excel_gsp/index-A.xls使用说明1、整数部分是一位非零数字。lg2.573：在第1列找25再横行找“7”为4099，修正值“3”为5。所以lg2.573=0.4104。2、整数部分不是一位非零数字的。用科学记数法表示N×10^n。lg25730=lg(2.573×10^4)=lg2.573+4=4.4104。lg0.002573=lg[2.573×10^(-3)]=lg2.573+(-3)=-2.5896.3、查反对数时。正小数部分查表，整数部分决定小数点的位置。6.4104：由0.4104查出0.4104=lg2.573。则6.4104=lg2.573+6=lg(2.573×10*6)=lg2573000。负的对数化负整数+正纯小数。再同样查。

...有意思吗 很多名词都是人定的

在数学中，对数是对求幂的逆运算。对数公式是数学中的一种常见公式，如果a^x=N(a>0,且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数,记做x=log(a)(N)，其中a要写于log右下。其中a叫做对数的底，N叫做真数。通常我们将10以底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数

常用对数记作log10n，简写为lgn,直接读laoge（汉语拼音）n就好了。。我今儿刚学的，应该对吧

对数基本恒等式：a^log_a_n=n积的对数等于对数的和log(mn)=logm+logn省略底数a商的对数等于对数的差log(m/n)=logm-logn幂的对数等于对数的对数乘指数log(n^m)=mlogn根式的对数等于被开方数的对数除以根指数log[n^(1/n)]=(1/n)logn对数的换底公式：log_b_n=log_a_n/log_a_b

果a^b＝N（a＞0，a≠1），那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b

对数的诗词有：《吴波亭相对数峰极可爱》《偶书·小山相对数椽地》。对数的诗词有：《吴波亭相对数峰极可爱》《偶书·小山相对数椽地》。拼音是：duìshù。注音是：ㄉㄨㄟ_ㄕㄨ_。结构是：对(左右结构)数(左右结构)。词性是：名词。对数的具体解释是什么呢，我们通过以下几个方面为您介绍：一、词语解释【点此查看计划详细内容】对数duìshù。(1)为使某数等于一给定数而必须取的乘幂的幂指数。数学名词。二、引证解释⒈数学名词。根据对数的基本性质，可把乘、除、乘方、开方的运算分别以加、减、乘、除来代替。以10为底的对数称为常用对数，简记为lgb。以超越数e(＝2.71828)为底的对数，称为自然对数，简记为lnb。三、国语词典数学上指当x_＝b，n就叫做以x为底时b的对数。如：「对数以log表示，无特别标明时以10为底。」四、网络解释对数在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字（基数）的指数。在简单的情况下，乘数中的对数计数因子。更一般来说，乘幂允许将任何正实数提高到任何实际功率，总是产生正的结果，因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。如果a的x次方等于N（a>0，且a不等于1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。关于对数的诗句独对数株松刚对数峰青对数开宣室关于对数的成语数一数二论黄数黑数不胜数滥竽充数数米量柴如数奉还空对空擢发莫数讳树数马关于对数的词语滥竽充数论黄数黑数米量柴一目数行数罪并罚讳树数马如数奉还气数已衰擢发莫数对不起关于对数的造句1、我对数字的记忆非常出色，前一天价格变动的细节，他们的涨涨跌跌我都记得一清二楚。2、传统方法是在数据读回后，用软件对数据进行搜索，然后显示峰值检测波形。3、吉尔布瑞特规律认为，企业的成长是一个随机过程，进而导致企业规模分布收敛于对数正态分布。4、主要研究了对数周期偶极子天线。5、先生强调，日漫的秘密在于它在形式和内容上都是没有限制的，而且在日本，漫画作品的绝对数量和可利用形式也远远超过其他国家。点此查看更多关于对数的详细信息

常用对数的解释[common logarithm] 以10为底的对数 详细解释 又称“十进对数”。以10为底的对数，用记号“lg”表示。任一正数的常用对数都可表示成一个整数和一个正的纯小数(或零)的和；整数部分称为对数的“首数”，正的纯小数(或零)称为对数的“尾数”。常用对数有对数表可查。 词语分解 常用的解释 经常用的他过去最常用的 名字 详细解释经常使用；日常应用。《墨子·小取》：“是故辟（譬）侔援推之辞……不可不审也，不可常用也。”《商君书·开塞》：“过有厚薄，则刑有轻重；善有小大，则赏有多少。此二者，世 对数的解释 为使某数等于一给定数而 必须 取的乘幂的幂指数。数学 名词 详细解释数学名词。根据对数的基本 性质 ，可把乘、除、乘方、开方的运算分别以加、减、乘、除来代替。以为底的对数称为常用对数，简记为。以超越数＝.…为底