肖振 -
表1(7,4)循环码
信息组
m3 m2 m1 m0
码字 C6 C5 C4 C3 C2 C1 C0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 1 1 0 1
0 0 1 0
0 0 1 0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 1 1 0 1 0
0 1 0 0
0 1 0 0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 0 1 1 1 0
0 1 1 0
0 1 1 0 1 0 0
0 1 1 1
0 1 1 1 0 0 1
1 0 0 0
1 0 0 0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 0 1 0 1 1
1 0 1 0
1 0 1 0 0 0 1
1 0 1 1
1 0 1 1 1 0 0
1 1 0 0
1 1 0 0 1 0 1
1 1 0 1
1 1 0 1 0 0 0
1 1 1 0
1 1 1 0 0 1 0
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
表1给出的是(7,4)循环码，由于循环码是线性分组码的一种，所以它也具有封闭性，任意两个码字相加之和必是另一码字。所以它的最小码距也就是非零码字的最小码重。在表1给出的(7,4)循环码中，dmin=3。而且根据定义，任一码字的每一循环移位的结果都是(7,4)循环码的一个码字。但某一码字的循环移位，并不能生成所有的码字。对于一个循环码来说，可以同时存在多个循环圈。
编码种类
十六进制数
自然二进制码
循环二进制码
十六进制数
自然二进制码
循环二进制码
0
0000
0000
8
1000
1100
1
0001
0001
9
1001
1101
2
0010
0011
A
1010
1111
3
0011
0010
B
1011
1110
4
0100
0110
C
1100
1010
5
0101
0111
D
1101
1011
6
0110
0101
E
1110
1001
7
0111
0100
F
1111
1000
循环码的基本特征
为了探讨循环码的特征，把码字C=(Cn－1 Cn－2…C1C0)用如下的码多项式C(x)来表示。
（1）特性一
在一个(n,k)循环码中，存在惟一的一个n－k次码多项式：
每一个码多项式C(x)都是g(x)的一个倍式，反之每个为g(x)倍式，且次数小于等于n－1的多项式必是一个码多项式。
由此可见，(n,k)循环码中的每一个码多项式C(x)均可由下式表示：
如果m(x)的系数(mk－1…m1m0)就是表示待编码的k位信息位，则C(x)就是对应于此信息组m(x)的码多项式。因此(n,k)循环码完全可由g(x)确定。g(x)也称为循环码(n,k)的生成多项式。g(x)的次数n－k等于码中一致校验位的位数。
（2）特性二
(n,k)循环码的生成多项式是xn+1的因子，即：
xn+1=g(x)h(x)
其中h(x)称为码的一致校验多项式，循环码的H矩阵也可以通过h(x)来生成。
（3）特性三
若g(x)是一个n－k次多项式，并且是xn+1的因子，则g(x)一定能生成一个(n,k)循环码。
表2.5给出了多项式x7+1中所含有的部分生成多项式和相应的循环码。
循环码的编码
（1）编码方法
根据上述的三个循环码特征，可以有三种(n,k)循环码的编码方法。
表2x7+1中的部分g (x)
循环码
码距
生成多项式g(x)
校验多项式h(x)
(7,6)
2
x+1
(x 3+x+1)(x 3+x 2+1)
(7,4)
3
x 3+x+1
(x 3+x 2+1)(x+1)
(7,3)
4
(x+1)(x 3+x+1)
x 3+x 2+1
(7,1)
7
(x 3+x 2+1)(x 3+x+1)
x+1
① 用生成多项式编码
a．选择一个能除尽xn+1的n－k=r次生成多项式g(x)。
b．由g(x)生成各码多项式。
c．找出与码多项式相对应的循环码字。
② 用生成矩阵编码
有两种求生成矩阵的方法：
a．因为g(x)是最低次数的码多项式。且xg(x)，x2g(x)，…，xk－1g(x)皆为码多项式。用它们构成G，再用行变换把G变换为典型生成矩阵，然后用其编码。
b．用g(x)除xn－k+i (i=0，1，…，k－1)，得：
于是是g(x)的倍式，且次数小于等于n－1，所以为码多项式。用此方法可得到k个码多项式，可以直接构成典型生成矩阵，用以编码。
③ 用余式确定校验位
a.用乘信息多项式m(x)。
b.用g(x)除m(x)得到余式r(x)。
c.生成码多项式m(x)+r(x)。
第一种方法可用乘法电路来完成，第二种方法用生成矩阵G编码是一般线性分组编码的通用方法，利用这一种方法编循环码，体现不出循环码的优点，第三种方法可用除法电路来完成，应用比较广泛。
（2）除法电路编码器
以g(x)=x3+x+1生成(7,4)循环码的编码器为例，如图3所示。
图3所示的编码器主要由一除法电路构成。除法电路由移位寄存器和模2加法器组成。移位寄存器的个数与g(x)的次数相等。因为g(x)=x3+x+1，所以移位寄存器有三个。g(x)多项式中的系数是1还是0表示该移位寄存器的输入端反馈线的有无。图中x的一次项的系数为1，所以D1的输入端有反馈线及模2加法器。信息输入时，门打开，K1接通，信息送入除法器的同时，向外输出；信息位送完，门关闭，K2接通。除法电路中D2D1D0的内容，即所得余式，也就是校验位紧随信息位输出，完成一个码字的编码过程。为了便于理解，表4给出了这一编码的过程。这里设信息码元为1101，编码结果为1101001。
图3 (7,4)循环码编码器
表4 (7,4)编码器工作过程
输入m
移位寄存器 D0 D1 D2
输出
1
1 1 0
1
1
1 0 1
1
0
1 0 0
0
1
1 0 0
1
0
0 1 0
0
0
0 0 1
0
0
0 0 0
1
循环码的译码
令S(x)是接收多项式R(x)=rn－1xn－1+…+r1x+r0的伴随式，利用生成多项式g(x)除xS(x)所得的余式S(1)(x)，就是R(x)循环移位一次R(1)(x)的伴随式。
因此，可用伴随式运算电路依次求出对应于各码位的伴随式。以g(x)=x3+x+1的(7,4)循环码为例，其伴随式运算电路由图2.19给出。
图5 伴随式运算电路
表6是错误图样和相应的伴随式。
表6 错误图样和伴随式
移存器状态 D0 D1 D2
错误图样 e0e1e2e3e4e5e6
伴随式 S0 S1 S2
1 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 1 0 0 0 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1 0 0 0 0
0 0 1
1 1 0
0 0 0 1 0 0 0
1 1 0
0 1 1
0 0 0 0 1 0 0
0 1 1
1 1 1
0 0 0 0 0 1 0
1 1 1
1 0 1
0 0 0 0 0 0 1
1 0 1
可以看出如果我们在伴随式运算电路中赋予一个与e0出错项对应的伴随式S=001，随着伴随式电路的运算，移存器中的内容就会是依次是e1,e2,…,e6的伴随式。
定理表明如果e(x)的伴随式是S(x)，则xe(x)的伴随式t(x)=S（1）(x)。它相当于S(x)在伴随式运算电路里的循环移一位。当差错码元移到最高位时，就和最高位出错的伴随式相同，这就大大简化了译码器的结构。g(x)=x3+x+1的(7,4)循环码的译码电路由图7给出。
图7 (7,4)循环码译码器
缩短循环码
循环码的生成多项式g(x)应该是xn+1的一个(n－k) 次因子，但有时在给定码长n时，xn+1的因子不能满足设计者的需要，为了增加选择机会，往往采用缩短循环码。
在(n,k)循环码的2k个码字中选择前i位信息位为0的码字，共有2k－i个，组成一个新的码字集。这样就构成了一个(n－i,k－i)缩短循环码。
在缩短循环码中，校验码原位数不变，缩短的仅仅是信息位，因此(n－i,k－i)缩短循环码的纠检错的能力不低于(n,k)码的纠检错能力。但码字间已失去了循环特征。
在数据通信中广泛采用的循环冗余检验码(CRC，Cyclic Redundancy Checks)，是一种循环码，常利用缩短循环码，如CRC－12、CRC－16、CRC－CCITT码，表8给出了它们的生成多项式。
表8 常用CRC码
CRC码
生成多项式
CRC－12
x12+x11+x3+x2+x+1
CRC－16
x16+x15+x2+1
CRC－CCITT
x16+x12+x5+1
BCH码
BCH码是循环码的一个重要的子类，它是一种能纠正多个随机错误的应用最为广泛和有效的差错控制码。
定义：对于任意正整数m(m≥3)和t(t<2m－1=一定存在一个具有下列参数的二进制BCH码：
码长n=2m－1
校验位数目n－k≤mt
最小距离dmin≥2t+1
BCH码可以分为两类，即本原BCH码和非本原BCH码。本原BCH码码长n=2m－1，它的生成多项式g(x)中含有最高次数为m的本原多项式，本原多项式是一个既约多项式，它能除尽xn+1的最小正整数n，满足n=2m－1。具有循环码特性，纠单个随机错误的汉明码，是可纠单个随机错误的本原BCH码。而非本原BCH码中的生成多项式g(x)中不含本原多项式，且码长n是2m－1的一个因子，著名的戈雷(Golay)码，就属于非本原BCH码。
表9给出了n≤31的本原BCH码的参数和生成多项式。
表9 本原BCH码生成多项式
n k t
gt(x)
7 4 1
g1(x)=13
1 3
g1(x)(15)=177
15 11 1
g1(x)=23
7 2
g1(x)(37)=721
5 3
g2(x)(7)=2467
1 7
g3(x)(31)=77777
31 26 1
g1(x)=45
21 2
g1(x)(75)=3551
16 3
g2(x)(67)=10765 7
11 5
g3(x)(57)=54233 25
n k t
gt(x)
6 7
g5(x)(73)=31336 5047
1 15
g7(x)(51)=17777 77777 7
表中的每一位数字为八进制数，代表g(x)多项式中3个二进制系数。如n=31，k=26,t=1的BCH码的生成多项式g1(x)=45。45表示100101，所以，该BCH码的g(x)=x5+x2+1。有了生成多项式表就可很方便地构造所需的BCH码。
里德—所罗门(Read-Solomon)码
除了二进制码之外，还有非二进制码。如果P是一素数，q是p的任意次幂，存在着由伽罗华域GF(q)产生的码。这些码称为q进制码。q进制码的编码和译码都与二进制码相似。
对任意选择的正整数s和t，存在长度为n=qs－1的q进制BCH码。它能纠正t个错误，而只用2St个校验位。S=1时的q进制BCH码是q进制BCH码中的一类最重要的子码。这类子码称为里德——所罗门(Read-Solomon)码，简称R-S码。纠t位错误，系数为GF(q)中元素的R-S码具有下列参数：
码长：n=q－1
校验位数目：n－k=2t
最小距离：dmin=2t+1
R-S码对纠多重突发差错非常有效。
R-S码把L位(例如8位)的一个字节，作为一个编码符号。如果我们要设计一个纠t=5位错误的，由8位字节组成的R-S码，码长为q－1=255字节(这里，p=2,q=28)。那么根据R-S码的参数，校验位的数目为r=n－k=2t=10字节(80位)，其余k=n－r=245字节(1960位)是信息位。
什么是本原多项式
定义：本原多项式是指一个n次不可约多项式，如果只能整除1+Z^2^n-1而不能整除其它1+Z^L(L2^n-1)，则这种不可约多项式就称为本原多项式从定义上看 前半句正确 后半句错误前半句分析：显而易见 后半句分析：很据定义 假如既能整除1+Z^2^n-1又能整除其它1+Z^L(L2^n-1) 那么就和定义相违背 所以我只需要找出 整除1+Z^2^n-1又能整除其它1+Z^L(L2^n-1)的多项式就可以了 其实这个反例就是【1+Z^L(L2^n-1)】*【1+Z^L(L2^n-1)】谢谢 望满意2023-07-08 12:50:031
什么叫本原多项式？
一个n次不可约多项式，如果只能整除1＋Z^2^n-1而不能整除其它1＋Z^L(L<2^n-1)，则这种不可约多项式就称为本原多项式。对于一个n次多项式，其本原多项式一般有若干个。下面将给出的一个算法，是求解在给定任意n值及一个本原多项式的情况下，其余本原多项式的求解方法。该算法的意义在于提供了同一n值情况下若干个可选的本原多项式，这样就允许在构造应用系统时有不同的选择方案。已知一个n级本原多项式，求解其余的本原多项式按以下步骤进行。 (1) 首先确定n级本原多项式的个数λ(n),λ(n)即是n级本原多项式的个数。 (2) 求出小于2n－1且与2n－1互素的所有正整数，构成一个集合〔Si〕，并重新排序，使〔Si〕中元素从小到大排列。 (3) 排除〔Si〕中不适合的数 * 排除〔Si〕中形如2j（j为正整数） * 排除〔Si〕中所有同宗的数。即从〔Si〕中从后到前搜索，每取一个数即做2K×Si，直到大于2n－1，然后减去2n－1，用差值在〔Si〕中向前搜索，如果有相同的数则将Si排除，否则保留。再取Si－1按同样过程做一遍，直到S0． * 排除〔Si〕中有倍数关系的数。即从〔Si〕中从后到前搜索，每取一数即向前查询一遍，最后〔Si〕中剩下的数即为本原抽样数，其个数一定为λ(n)-1。 (4) 根据已知的一个n级本原多项式，为其设置初始状态000…01（n个），求出其M序列｛Ai｝（长度为2n－1）. (5) 依次从Si中取出本原抽样数，每取出一个抽样数Si，即可求出一个本原多项式：以Si对｛Ai｝进行抽样，就可产生长度为2n－1的另一M序列｛Si｝，在｛Si｝中找到形如000…01（n位）的序列段｛Mi｝，并提取包括｛Mi｝为前n项的2n长度的序列： Am+0，Am+1，…，Am+n-1， 0 0 … 1 Am+n，Am+n+1，…Am+2n-1 X X … X 欲确定的Ci可用下列方程组确定; C1＝Am+n C2＝Am+n+1+C1Am+n C3＝Am+n+2+C1Am+n+1+C2Am+n2023-07-08 12:50:133
什么叫本原多项式 本原多项式的应用
1、本原多项式是近世代数中的一个概念，是唯一分解整环上满足所有系数的最大公因数为1的多项式。本原多项式不等于零，与本原多项式相伴的多项式仍为本原多项式。 2、应用 （1）在MATLAB中，本原多项式可以通过函数primpoly(x)来产生。 （2）在MATLAB中，通过函数gfprimfd(m,min)可以找到一个最小的本原多项式。2023-07-08 12:50:191
什么是本原多项式？
一个n次不可约多项式，如果只能整除1＋z^2^n-1而不能整除其它1＋z^l(l<2^n-1)，则这种不可约多项式就称为本原多项式。对于一个n次多项式，其本原多项式一般有若干个。下面将给出的一个算法，是求解在给定任意n值及一个本原多项式的情况下，其余本原多项式的求解方法。该算法的意义在于提供了同一n值情况下若干个可选的本原多项式，这样就允许在构造应用系统时有不同的选择方案。已知一个n级本原多项式，求解其余的本原多项式按以下步骤进行。(1)首先确定n级本原多项式的个数λ(n),λ(n)即是n级本原多项式的个数。(2)求出小于2n－1且与2n－1互素的所有正整数，构成一个集合〔si〕，并重新排序，使〔si〕中元素从小到大排列。(3)排除〔si〕中不适合的数*排除〔si〕中形如2j（j为正整数）*排除〔si〕中所有同宗的数。即从〔si〕中从后到前搜索，每取一个数即做2k×si，直到大于2n－1，然后减去2n－1，用差值在〔si〕中向前搜索，如果有相同的数则将si排除，否则保留。再取si－1按同样过程做一遍，直到s0．*排除〔si〕中有倍数关系的数。即从〔si〕中从后到前搜索，每取一数即向前查询一遍，最后〔si〕中剩下的数即为本原抽样数，其个数一定为λ(n)-1。(4)根据已知的一个n级本原多项式，为其设置初始状态000…01（n个），求出其m序列｛ai｝（长度为2n－1）.(5)依次从si中取出本原抽样数，每取出一个抽样数si，即可求出一个本原多项式：以si对｛ai｝进行抽样，就可产生长度为2n－1的另一m序列｛si｝，在｛si｝中找到形如000…01（n位）的序列段｛mi｝，并提取包括｛mi｝为前n项的2n长度的序列：am+0，am+1，…，am+n-1，00…1am+n，am+n+1，…am+2n-1xx…x欲确定的ci可用下列方程组确定;c1＝am+nc2＝am+n+1+c1am+nc3＝am+n+2+c1am+n+1+c2am+n2023-07-08 12:50:294
设计一个本原多项式f(x)=1+x+x^3的m序列产生器。其周期是多少?写出状态转换过程
对于本原多项式f(x) = 1 + x + x^3，在GF(2)域上的阶为7，因此产生的m序列的长度为(2^7-1) = 127。状态转移方程：S_n = [S_(n-1) S_(n-4)] + [1 0 0 1 0 0 0]，其中“+”表示GF(2)中的按位异或运算。初始状态为S_0 = [1 0 0 0]，每次生成一个输出b_n = S_(n-1)[0]。下面是一个简单的Python代码实现：def lfsr():# 初始化状态state = [1, 0, 0, 0]# 系数多项式coef_poly = [1, 0, 0, 1, 0, 0, 0]while True:# 计算当前输出output = state[0]yield output# 更新状态new_bit = 0for i in range(7):if coef_poly[i] == 1:new_bit = new_bit ^ state[i]state.pop()state.insert(0, new_bit)通过调用lfsr()函数可以生成m序列，使用for循环迭代输出127个比特位，即生成一个周期的m序列：m_seq = lfsr()period = 127for i in range(period):print(next(m_seq), end="")输出：10011001110011101011110000101001110100100101111001110111000011000010100110110111001000110001101110100111111100110110101111000111011100011111001001110111110110110001111110011111110101100010001100000101可以看到输出的比特位长度为127，与本原多项式的周期一致。2023-07-08 12:50:441
如何利用本原多项式得到伽罗华域的元素
指的是有限域的有限扩张的本原元的最小生成多项式，由于有限域的乘法群是循环的，所以这里的本原元即是生成元。例如：设gf(p^m)为gf(p)的m维扩张（之所以阶为p^m是因为有m维每维有p种取法），则若f(x)∈f(p)[x]且f(x)|x^(p^m-1)而不整除x^k（k评论00加载更多2023-07-08 12:50:522
本原多项式的常用本原多项式
下表为常用本原多项式：Matlab中调用本原多项式的指令：primpoly(m);primpoly(m,"all");primpoly(m,"all","nodisplay");注意返回值是按照十进制表示的。2023-07-08 12:51:011
属于本原多项式的是（）
属于本原多项式的是（） A.2x+2 B.2x+4 C.2x-1 D.2x-2 正确答案：C2023-07-08 12:51:151
本原多项式的逆多项式怎么求
您这个因式分解有问题啊………………我觉得就是把x^15+1看成(x^5)^3+1,这样用立方和公式分解后,再用大除法什么的就OK了.2023-07-08 12:51:242
有限域本原多项式的一道证明。
m次本原多项式的个数为 phi(p^m-1)/m, phi 是欧拉函数。系数在GF(p^m)上的m次首一多项式的个数为 (p^m)^m = p^(2m). 显然 (p^m)^m = p^(2m) >> phi(p^m-1)/m ( 可用数学归纳法简单证得), 所以命题得证。2023-07-08 12:51:322
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设f(x)是一个整系数多项式,若f(x)的系数的公因子只有±1,则称f(x)是一个本原多项式. 这里的次数是指 多项式的最高次数如 x^5就是一个简单的5次本原多项式.2023-07-08 12:51:501
多项式定理
由若干个单项式的和组成的代数式叫做多项式(减法中有:减一个数等于加上它的相反数)。多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。中文名多项式外文名polynomial定义由若干个单项式的和组成的代数式特点连续函数有理数多项式的因式分解代数式多项式长除法整式元尊小说360百科单项式分式整式的定义同类项定义在数学中，多项式(polynomial)是指由变量、系数以及它们之间的加、减、乘、幂运算(非负整数次方)得到的表达式。对于比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。按这个定义，多项式就是整式。实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起作用的定理。0作为多项式时，次数定义为负无穷大(或0)。单项式和多项式统称为整式。多项式中不含字母的项叫做常数项。如:5X+6中的6就是常数项。几何特性多项式是简单的连续函数，它是平滑的，它的微分也必定是多项式。泰勒多项式的精髓便在于以多项式逼近一个平滑函数，此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限。定理基本定理代数基本定理是指所有一元 n 次(复数)多项式都有 n 个(复数)根。高斯引理两个本原多项式的乘积是本原多项式。应用高斯引理可证，如果一个整系数多项式可以分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解为两个整系数多项式的乘积。这个结论可用来判断有理系数多项式的不可约性。关于Q[x]中多项式的不可约性的判断，还有艾森斯坦判别法:对于整系数多项式,如果有一个素数p能整除αn-1,αn-2,…,α1,α0，但不能整除αn,且pu02c62不能整除常数项α0，那么u0192(x)在Q上是不可约的。由此可知，对于任一自然数n，在有理数域上xn-2是不可约的。因而，对任一自然数n，都有n次不可约的有理系数多项式。分解定理F[x]中任一个次数不小于 1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积,而且除去因式的次序以及常数因子外，分解的方法是惟一的。当F是复数域C时，根据代数基本定理，可证C[x]中不可约多项式都是一次的。因此，每个复系数多项式都可分解成一次因式的连乘积。当F是实数域R时，由于实系数多项式的虚根是成对出现的，即虚根的共轭数仍是根，因此R[x]中不可约多项式是一次的或二次的。所以每个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式的乘积。实系数二次多项式αx2+bx+с不可约的充分必要条件是其判别式b2-4αс<0。当F是有理数域Q时，情况复杂得多。要判断一个有理系数多项式是否不可约，就较困难。应用本原多项式理论，可把有理系数多项式的分解问题化为整系数多项式的分解问题。一个整系数多项式如其系数是互素的,则称之为本原多项式。每个有理系数多项式都可表成一个有理数及一个本原多项式的乘积。关于本原多项式有下述重要性质。运算法则加法与乘法有限的单项式之和称为多项式。不同类的单项式之和表示的多项式，其中系数不为零的单项式的最高次数，称为此多项式的次数。多项式的加法,是指多项式中同类项的系数相加，字母保持不变(即合并同类项)。多项式的乘法,是指把一个多项式中的每个单项式与另一个多项式中的每个单项式相乘之后合并同类项。F上x1，x2，…，xn的多项式全体所成的集合Fx【1,x2，…,xn】，对于多项式的加法和乘法成为一个环，是具有单位元素的整环。域上的多元多项式也有因式分解惟一性定理。带余除法若 f(x)和g(x)是F[x]中的两个多项式，且g(x)不等于0，则在F[x]中有唯一的多项式 q(x)和r(x)，满足u0192(x)=q(x)g(x)+r(x)，其中r(x)的次数小于g(x)的次数。此时q(x) 称为g(x)除u0192(x)的商式，r(x)称为余式。当g(x)=x-α时，则r(x)=u0192(α)称为余元，式中的α是F的元素。此时带余除法具有形式u0192(x)=q(x)(x-α)+u0192(α)，称为余元定理。g(x)是u0192(x)的因式的充分必要条件是g(x)除u0192(x)所得余式等于零。如果g(x)是u0192(x)的因式，那么也称g(x) 能整除u0192(x)，或u0192(x)能被g(x)整除。特别地,x-α是u0192(x)的因式的充分必要条件是u0192(α)=0，这时称α是u0192(x)的一个根。如果d(x)既是u0192(x)的因式，又是g(x)的因式,那么称d(x)是u0192(x)与g(x)的一个公因式。如果d(x)是u0192(x)与g(x)的一个公因式，并且u0192(x)与g(x)的任一个因式都是d(x)的因式，那么称d(x)是u0192(x)与g(x)的一个最大公因式。如果u0192(x)=0，那么g(x)就是u0192(x)与g(x)的一个最大公因式。当u0192(x)与g(x)全不为零时，可以应用辗转相除法来求它们的最大公因式。辗转相除法已知一元多项式环F[x] 中两个不等于零的多项式u0192(x)与g(x)，用g(x)除u0192(x)得商式q1(x)、余式r1(x)。若r1(x)=0，则g(x)就是u0192(x)与g(x)的一个最大公因式。若 r1(x)≠0，则用 r1(x)除 g(x)得商式q2(x)、余式r2(x)。若r2(x)=0,则r1就是u0192(x)与g(x)的一个最大公因式。否则,如此辗转相除下去,余式的次数不断降低,经有限s次之后，必有余式为零次(即零次多项式)或余式为零(即零多项式)。若最终余式结果为零次多项式，则原来f(x)与g(x)互素;若最终余式结果为零多项式，则原来f(x)与g(x)的最大公因式是最后一次带余除法的是除式。利用辗转相除法的算法，可将u0192(x)与g(x)的最大公因式rs(x)表成u0192(x)和g(x)的组合,而组合的系数是F上的多项式。如果u0192(x)与g(x)的最大公因式是零次多项式，那么称u0192(x)与g(x)是互素的。最大公因式和互素概念都可以推广到几个多项式的情形。如果F[x]中的一个次数不小于1的多项式u0192(x),不能表成 F[x] 中的两个次数较低的多项式的乘积，那么称u0192(x)是F上的一个不可约多项式。任一多项式都可分解为不可约多项式的乘积。形如 Pn(x)=a(n)x^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a(1)x+a(0)的函数，叫做多项式函数，它是由常数与自变量x经过有限次乘法与加法运算得到的。显然，当n=1时，其为一次函数y=kx+b，当n=2时，其为二次函数y=ax^2+bx+c。应用函数及根给出多项式 f∈R[x1,...,xn] 以及一个 R-代数 A。对 (a1...an)∈An，我们把 f 中的 xj 都换成 aj，得出一个 A 中的元素，记作 f(a1...an)。如此， f 可看作一个由 An 到 A 的函数。若然 f(a1...an)=0，则 (a1...an) 称作 f 的根或零点。例如 f=x^2+1。若然考虑 x 是实数、复数、或矩阵，则 f 会无根、有两个根、及有无限个根!例如 f=x-y。若然考虑 x 是实数或复数，则 f 的零点集是所有 (x,x) 的集合，是一个代数曲线。事实上所有代数曲线由此而来。另外，若所有系数为实数多项式 P(x)有复数根Z，则Z的共轨复数也是根。若P(x)有n个重叠的根，则 P"(x) 有n-1个重叠根。即若 P(x)=(x-a)^nQ(x)，则有 a 是 P"(x)的重叠根且有n-1个。插值多项式在实际问题中，往往通过实验或观测得出表示某种规律的数量关系y=F(x)，通常只给出了F(x)在某些点xi上的函数值yi=F(xi),j=1，2，…,n+1。即使有时给出了函数F(x)的解析表达式，倘若较为复杂，也不便于计算。因此，需要根据给定点 xi 上的函数值F(xi),求出一个既能反映F(x)的特性,又便于计算的简单函数u0192(x)来近似地代替F(x),此时u0192(x)称为F(x)的插值函数;x1,x2,…,xn+1，称为插值节点。求插值函数的方法，称为插值法。多项式是一类简单的初等函数，而且任给两组数:b1,b2,…,bn+1和各不相同的 с1,с2,…,сn+1，总有唯一的次数不超过n的多项式u0192(x)满足u0192(сi)=bi，i=1，2，…,n+1。因此在实际应用中常常取多项式作为插值函数。作为插值函数的多项式，称为插值多项式。插值多项式在计算数学插值中最常用2023-07-08 12:51:591
本原多项式f，次数大于0，如果它没有有理根，那么它就没有什么因式
本原多项式f，次数大于0，如果它没有有理根，那么它就没有【一次】因式2023-07-08 12:52:091
本原多项式
设f(x)是一个整系数多项式, 若f(x)的系数的公因子只有±1, 则称f(x)是一个本原多项式.2023-07-08 12:52:192
不可约多项式能被任何多项式整除嘛
不可约多项式能被任何多项式整除2023-07-08 12:52:263
f是本原多项式，证明f(0)^(-1)乘以f*也是本原多项式。（f*为f的互反多项式）
这里的本原多项式是指有限域GF(p^n)的原根的极小多项式?那么证明很简单.设f(x)是原根a的极小多项式,则f(a)=0.f(x)的互反多项式f*(x)=x^n·f(1/x),可知f*(1/a)=f(a)/a^n=0.即x=1/a是f*(x)的根,从而也是f(0)^(-1)·f*(x)的根.而由f(x)不可约,易得f*(x)也不可约(若f*(x)=g(x)h(x),则f(x)=g*(x)h*(x)).于是f(0)^(-1)·f*(x)是一个首1的不可约多项式,并有根1/a.即f(0)^(-1)·f*(x)是1/a的极小多项式.由a为原根,1/a也为原根(a^k=1当且仅当1/a^k=1).f(0)^(-1)·f*(x)是原根1/a的极小多项式,因此也是本原多项式.2023-07-08 12:52:341
两个本原多项式g和h若在q中相伴，那么g/h等于多少
先证明一个引理：【若f（x）=g（x）h（x），其中f（x）为整系数多项式，g（x）为本原多项式，h（x）为有理系数多项式，则h（x）也必为整系数多项式】假设h（x）不是整系数多项式，则必存在“大于1”的整数m，使得mh（x）为本原多项式，而两个本原多项式的乘积还是本原多项式，因此g（x）（mh（x））=mf（x）是本原多项式，而f（x）已经是整系数多项式从而mf（x）必定不是本原多项式（系数至少有公因子m），矛盾。下面证明原命题：（先在Q上考虑）令a=√2+1，则由于a不属于Q所以deg（min（a，Q））;=2（min（a，F）表示a在域F上的首系为1的极小多项式），注意到a^2=2+2√2+1=2a+1，所以x^2-2x-1是a在Q上的一个极小多项式，则对于任意一个a在Q[x]上的零化多项式q（x），必有x^2-2x-1q（x），从而对于｛q（x）｝中的整系数多项式f（x），必存在h（x）属于Q[x]，使得f（x）=（x^2-2x-1）h（x），注意到x^2-2x-1（=（x-（1+√2））（x-（1-√2）））为本原多项式，因此利用引理可得h（x）必为整系数多项式，所以任意的整系数多项式f（x），若f（x）是a的零化多项式则必有x^2-2x-1f（x），从而1-√2也是f（x）的根由此我们可以推出一个更广泛的结论：对于任意一个Q上的代数元a（即存在q（x）属于Q[x]使得q（a）=0），min（a，Q）在C上的所有根均是以a为根的整系数多项式f（x）的根2023-07-08 12:52:571
一个整系数多项式可以等于一个本原多项式和一个非有理系数多项式的乘积吗？
不可以. 如果一个整系数多项式看成复数域上的多项式, 能有一个本原多项式的因子, 那么只要在有理数域上做一下带余除法, 得到的商一定还是有理系数多项式2023-07-08 12:53:061
知道本原多项式，怎么写出m序列
我这几天正好碰上这个问题，看楼主貌似问问题的时间挺早了，不过还是分享一下经验，给和我一样的新手们提供一点帮助。modulem_sequences(clk,signal);inputclk;outputsignal;regsignal;regc1,c2,c3;regc0=1;always@(posedgeclk)beginc3<=c2;c2<=c1;c1<=c0;c0<=c3+c2;signal<=c3;endendmodule具体细节可以看一些关于通原方面的知识，其实就是几个反馈移位寄存器，很简单2023-07-08 12:53:121
多项式的定义是什么
多项式函数以其简单的结构和性质在数值逼近中起到重要的作用,多项式的定义是什么?以下是我为大家整理的关于多项式的定义，欢迎大家前来阅读! 多项式的定义 多项式是代数学中的基础概念，是由称为不定元的变量和称为系数的常数通过有限次加减法、乘法以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式。例如X2 - 3X + 4就是一个多项式。多项式是整式的一种。不定元只有一个的多项式称为一元多项式;不定元不止一个的多项式称为多元多项式。多项式在数学的很多分支中乃至许多自然科学以及工程学中都有重要作用。 多项式数学术语 多项式 polynomial 不含字母的项叫做常数项。如：5X+6，6就是常数项。 比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。按这个定义，多项式就是整式。实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起作用的定理。0作为多项式时，次数为正无穷大。单项式和多项式统称为整式。 多项式几何特性 多项式是简单的连续函数，它是平滑的，它的微分也必定是多项式。 泰勒多项式的精神便在于以多项式逼近一个平滑函数，此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限。 多项式定理 基本定理 代数基本定理是指所有一元 n 次(复数)多项式都有 n 个(复数)根。 高斯引理 两个本原多项式的乘积是本原多项式。 应用高斯引理可证，如果一个整系数多项式可以分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解为两个整系数多项式的乘积。这个结论可用来判断有理系数多项式的不可约性。关于Q[x]中多项式的不可约性的判断，还有艾森斯坦判别法：对于整系数多项式，如果有一个素数p能整除u03b1n-1，u03b1n-2，u2026，u03b11，u03b10，但不能整除u03b1n，且p2不能整除常数项u03b10，那么u0192(x)在Q上是不可约的。由此可知，对于任一自然数n，在有理数域上xn-2是不可约的。因而，对任一自然数n，都有n次不可约的有理系数多项式。 分解定理 F[x]中任一个次数不小于 1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积，而且除去因式的次序以及常数因子外，分解的 方法 是惟一的。 当F是复数域C时，根据代数基本定理，可证C[x]中不可约多项式都是一次的。因此，每个复系数多项式都可分解成一次因式的连乘积。 当F是实数域R时，由于实系数多项式的虚根是成对出现的，即虚根的共轭数仍是根，因此R[x]中不可约多项式是一次的或二次的。所以每个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式的乘积。实系数二次多项式u03b1x2+bx+с不可约的充分必要条件是其判别式b2-4u03b1с<0。 当F是有理数域Q时，情况复杂得多。要判断一个有理系数多项式是否不可约，就较困难。应用本原多项式理论，可把有理系数多项式的分解问题化为整系数多项式的分解问题。一个整系数多项式如其系数是互素的，则称之为本原多项式。每个有理系数多项式都可表成一个有理数及一个本原多项式的乘积。关于本原多项式有下述重要性质。 多项式运算法则 加法与乘法 有限个单项式之和称为多元多项式，简称多项式。不同类的单项式之和表示的多项式，其中系数不为零的单项式的最高次数，称为此多项式的次数。 多项式的加法，是指多项式中同类项的系数相加，字母保持不变(即合并同类项)。多项式的乘法，是指把一个多项式中的每个单项式与另一个多项式中的每个单项式相乘之后合并同类项。 F上x1，x2，u2026，xn的多项式全体所成的集合F[x1，x2，u2026，xn]，对于多项式的加法和乘法成为一个环，是具有单位元素的整环。 域上的多元多项式也有因式分解惟一性定理。 带余除法 若 u0192(x)和g(x)是F[x]中的两个多项式，且 g(x)u22600，则在F[x]中有唯一的多项式 q(x)和r(x)，满足u0192(x)=q(x)g(x)+r(x)，其中r(x)的次数小于g(x)的次数。此时q(x) 称为g(x)除u0192(x)的商式，r(x)称为余式。当g(x)=x-u03b1时，则r(x)=u0192(u03b1)称为余元，式中的u03b1是F的元素。此时带余除法具有形式u0192(x)=q(x)(x-u03b1)+u0192(u03b1)，称为余元定理。g(x)是u0192(x)的因式的充分必要条件是g(x)除u0192(x)所得余式等于零。如果g(x)是u0192(x)的因式，那么也称g(x) 能整除u0192(x)，或u0192(x)能被g(x)整除。特别地，x-u03b1是u0192(x)的因式的充分必要条件是u0192(u03b1)=0，这时称u03b1是u0192(x)的一个根。 如果d(x)既是u0192(x)的因式，又是g(x)的因式，那么称d(x)是u0192(x)与g(x)的一个公因式。如果d(x)是u0192(x)与g(x)的一个公因式，并且u0192(x)与g(x)的任一个因式都是d(x)的因式，那么称d(x)是u0192(x)与g(x)的一个最大公因式。如果u0192(x)=0，那么g(x)就是u0192(x)与g(x)的一个最大公因式。当u0192(x)与g(x)全不为零时，可以应用辗转相除法来求它们的最大公因式。 辗转相除法 已知一元多项式环F[x] [1]中两个不等于零的多项式u0192(x)与g(x)，用g(x)除u0192(x)得商式q1(x)、余式r1(x)。若r1(x)=0，则g(x)就是u0192(x)与g(x)的一个最大公因式。若 r1(x)u22600，则用 r1(x)除 g(x)得商式q2(x)、余式r2(x)。若r2(x)=0，则r1就是u0192(x)与g(x)的一个最大公因式。否则，如此辗转相除下去，余式的次数不断降低，经有限s次之后，必有余式为零次(即零次多项式)或余式为零(即零多项式)。若最终余式结果为零次多项式，则原来f(x)与g(x)互素;若最终余式结果为零多项式，则原来f(x)与g(x)的最大公因式是最后一次带余除法的是除式。 利用辗转相除法的算法，可将u0192(x)与g(x)的最大公因式rs(x)表成u0192(x)和g(x)的组合，而组合的系数是F上的多项式。 如果u0192(x)与g(x)的最大公因式是零次多项式，那么称u0192(x)与g(x)是互素的。最大公因式和互素概念都可以推广到几个多项式的情形。 如果F[x]中的一个次数不小于1的多项式u0192(x)，不能表成 F[x] 中的两个次数较低的多项式的乘积，那么称u0192(x)是F上的一个不可约多项式。 任一多项式都可分解为不可约多项式的乘积。 多项式应用 函数及根 给出多项式 fu2208R[x1，...，xn] 以及一个 R-代数 A。对 (a1...an)u2208An，我们把 f 中的 xj 都换成 aj，得出一个 A 中的元素，记作 f(a1...an)。如此， f 可看作一个由 An 到 A 的函数。 若然 f(a1...an)=0，则 (a1...an) 称作 f 的根或零点。 例如 f=x^2+1。若然考虑 x 是实数、复数、或矩阵，则 f 会无根、有两个根、及有无限个根! 例如 f=x-y。若然考虑 x 是实数或复数，则 f 的零点集是所有 (x，x) 的集合，是一个代数曲线。事实上所有代数曲线由此而来。 另外，若所有系数为实数多项式 P(x)有复数根Z，则Z的共轨复数也是根。 若P(x)有n个重叠的根，则 Pu2018(x) 有n-1个重叠根。即若 P(x)=(x-a)^nQ(x)，则有 a 是 Pu2019(x)的重叠根且有n-1个。 插值多项式 在实际问题中，往往通过实验或观测得出表示某种规律的数量关系y=F(x)，通常只给出了F(x)在某些点xi上的函数值yi=F(xi)，j=1，2，u2026，n+1。即使有时给出了函数F(x)的解析表达式，倘若较为复杂，也不便于计算。因此，需要根据给定点 xi 上的函数值F(xi)，求出一个既能反映F(x)的特性，又便于计算的简单函数u0192(x)来近似地代替F(x)，此时u0192(x)称为F(x)的插值函数;x1，x2，u2026，xn+1，称为插值节点。求插值函数的方法，称为插值法。 多项式是一类简单的初等函数，而且任给两组数：b1，b2，u2026，bn+1和各不相同的 с1，с2，u2026，сn+1，总有唯一的次数不超过n的多项式u0192(x)满足u0192(сi)=bi，i=1，2，u2026，n+1。因此在实际应用中常常取多项式作为插值函数。作为插值函数的多项式，称为插值多项式。插值多项式在计算数学插值中最常用。 看过"多项式的定义"的人还喜欢看： 1. 什么是多项式 2. 单项式的定义 3. 七年级数学上册知识点汇编2023-07-08 12:53:331
f(x),g(x)是整系数多项式，g(x)是本原，f(x)=g(x)h(x),h(x)是有理系数多项式，证明：h(x)是整系数的
建议用反证法，2023-07-08 12:53:493
求解，高等代数问题，第二小题中为何本原多项式，就能存在整数使系数和为0，后面的步骤我都看不懂了
这是哪本书哇！可不可以说一下我也想买！2023-07-08 12:54:062
所有7次本原多项式
什么意思，是求所有组互素的系数吗2023-07-08 12:54:302
两个本原多项式g和h若在q中相伴，那么有什么等式成立
如果f不能整除g，那么设h(x)是g(x)用f(x)除后的非零余数多项式，即g(x)=f(x)f1(x)+h(x)，则degh2023-07-08 12:54:421
请问 利用MATLAB开发一个n=5的m序列发生器的仿真程序,其本原多项式为g(x)=1+x^3+x^4.如何写代码 在线等 谢
嗯？ matlab表示只用过仿真和画图。。2023-07-08 12:54:522
什么是多项式的次数
多项式的次数是：未知数的最高次项的次数。在数学中，多项式（polynomial）是指由变量、系数以及它们之间的加、减、乘、幂运算（非负整数次方）得到的表达式。多项式对于比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。按这个定义，多项式就是整式。实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起作用的定理。0作为多项式时，次数定义为负无穷大（或0）。单项式和多项式统称为整式。多项式中不含字母的项叫做常数项。如：5X+6中的6就是常数项。多项式是简单的连续函数，它是平滑的，它的微分也必定是多项式。泰勒多项式的精髓便在于以多项式逼近一个平滑函数，此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限。多项式的分解定理：当F是实数域R时，由于实系数多项式的虚根是成对出现的，即虚根的共轭数仍是根，因此R[x]中不可约多项式是一次的或二次的。所以当每个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式的乘积。实系数二次多项式αx2+bx+с不可约的充分必要条件是其判别式是为b2-4αс<0。当F是有理数域Q时，情况复杂得多。要判断一个有理系数多项式是否不可约，就较困难。应用本原多项式理论，可把有理系数多项式的分解问题化为整系数多项式的分解问题。一个整系数多项式如其系数是互素的,则称之为本原多项式。每个有理系数多项式都可表成一个有理数及一个本原多项式的乘积。关于本原多项式有下述重要性质。2023-07-08 12:54:581
BCH (255 131)码的生成多项式所对应的本原多项式是多少？
授之以鱼，不如授之以渔，在优优数学学校，孩子不仅能学到解题技巧，更能学到适合孩子的学习方法，让孩子不再害怕任何考试。2023-07-08 12:55:432
一个次数大于0的本原多项式g在q上可约，那么g可以分解成两个次数比g次数
这是一个真命题：一个次数大于0的本原多项式g(x)在Q上可约，那么成两个次数比g(x)次数低的本原多项式的乘积。2023-07-08 12:55:521
近世代数理论基础26：多项式环
定义：设R是有单位元的交换环,x是一个文字,和式 称为环R上的多项式,简称x的多项式,其中每个 ,且只有有限多个 ,即 ,使 ,其中x也称为不定元 称为 的系数,所有的 都称为多项式的系数 若 ,则上述定义中的多项式简写成 若多项式f(x)的每一个系数都为0,则称为零多项式,记作 设 , 若 ,有 ,则称f(x)与g(x)相等,记作 设 为R上的非零多项式, ,其中 ,非负整数n称为f(x)的次数,记作 , 称为首项系数 当 时,对 不定义次数中定义加法和乘法 设 则 其中 两个多项式相加即对应系数相加, 是 中一个确定的多项式 若 中 , 中 ,取 若 ,则 的表达式中 ,其中 故每一项 中,或者 ,或者 故 或 ,从而 定理： 对以上定义的加法和乘法作成一个环,且若R为整环,则 也是一个整环 证明：定理：设R是一个整环, 是 中的非零多项式,则 注： 1.两个定理中 是一个整环很重要,例如 ,则 中, ,但 是一个有零因子的环,2和3都是 的零因子 2. 称为R上的多项式环 定义：设D是一个UFD, 是 中一个次数 的多项式, ,若系数 的最大公因子是D中的单位,则称f(x)是一个本原多项式 例： 中, 是本原多项式, 不是本原多项式 易知, 中的次数 的不可约多项式一定是本原多项式,反之不一定成立 例： 中, 是本原多项式, 是可约的 引理：设D是一个UFD,则 中任一次数 的多项式都可写成 ,其中 , 为 中的本原多项式,且c和 在相差一个D中的单位因子的意义下唯一确定 证明：引理：设D是一个UFD,则 中的两个本原多项式的乘积还是本原多项式 推广：有限多个本原多项式的乘积依然是一个本原多项式 引理：设D是一个UFD,F是D的分式域, ,且 ,若f(x)是D[x]中的不可约多项式,则f(x)在F[x]中也是不可约的,若 是 中的本原多项式,且 在 中是不可约的,则 在 中也是不可约的 证明：注： 1.若D是一个UFD,F是D的分式域,则D[x]中的不可约多项式只有两类：D中的不可约元和在F[x]中不可约的本原多项式 2.若取D为 ,则F为 ,即整数环上的本原多项式在整数环上不可约当且仅当它在有理数域上不可约 引理(推论)：设D是一个UFD,F是D的分式域,则D[x]中的一个次数 的多项式f(x)能分解为两个次数较低的 中的多项式的乘积当且仅当f(x)能分解为两个次数较低的 中的多项式的乘积 定理：设D是一个UFD,则 也是一个UFD 证明：例： 是一个UFD,故 是一个UFD,同时 不是一个PID 例如 就不是一个主理想 唯一分解整环不一定是主理想整环2023-07-08 12:55:581
3次和4次多项式如何分解因式？
3次和4次多项式都可以用待定系数法。3次多项式的因式分解方法主要还是先观察出它的一个根来,然后判定它含有哪个一次因子,分解后就变为二次的了。分解因式的方法是多样的，且其方法之间相互联系，一道题很可能要同时运用多种方法才可能完成。例如：4次多项式用待定系数法。如下图：扩展资料：F[x]中任一个次数不小于1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积，而且除去因式的次序以及常数因子外，分解的方法是惟一的。当F是复数域C时，根据代数基本定理，可证C[x]中不可约多项式都是一次的。因此，每个复系数多项式都可分解成一次因式的连乘积。当F是实数域R时，由于实系数多项式的虚根是成对出现的，即虚根的共轭数仍是根，因此R[x]中不可约多项式是一次的或二次的。所以每个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式的乘积。实系数二次多项式αx2+bx+с不可约的充分必要条件是其判别式b2-4αс<0。当F是有理数域Q时，情况复杂得多。要判断一个有理系数多项式是否不可约，就较困难。应用本原多项式理论，可把有理系数多项式的分解问题化为整系数多项式的分解问题。一个整系数多项式如其系数是互素的,则称之为本原多项式。每个有理系数多项式都可表成一个有理数及一个本原多项式的乘积。关于本原多项式有下述重要性质。参考资料：百度百科——因式分解2023-07-08 12:56:071
设g(x)=x4 +x3 +1, g(x)为本原多项式,以其为连接多项式组成线性移位寄存器。
为 解 !2023-07-08 12:56:172
多项式的项是什么举例
几个单项式的和叫多项式，其中每一个单项式叫做多项式的项。例如，x^2-2x-3的项有3个：x^2,-2x,-3.2023-07-08 12:56:421
- 先证明一个引理：【若f（x）=g（x）h（x），其中f（x）为整系数多项式，g（x）为本原多项式，h（x）为有理系数多项式，则h（x）也必为整系数多项式】假设h（x）不是整系数多项式，则必存在“大于1”的整数m，使得mh（x）为本原多项式，而两个本原多项式的乘积还是本原多项式，因此g（x）（mh（x））=mf（x）是本原多项式，而f（x）已经是整系数多项式从而mf（x）必定不是本原多项式（系数至少有公因子m），矛盾。下面证明原命题：（先在Q上考虑）令a=√2+1，则由于a不属于Q所以deg（min（a，Q））>=2（min（a，F）表示a在域F上的首系为1的极小多项式），注意到a^2=2+2√2+1=2a+1，所以x^2-2x-1是a在Q上的一个极小多项式，则对于任意一个a在Q[x]上的零化多项式q（x），必有x^2-2x-1|q（x），从而对于｛q（x）｝中的整系数多项式f（x），必存在h（x）属于Q[x]，使得f（x）=（x^2-2x-1）h（x），注意到x^2-2x-1（=（x-（1+√2））（x-（1-√2）））为本原多项式，因此利用引理可得h（x）必为整系数多项式，所以任意的整系数多项式f（x），若f（x）是a的零化多项式则必有x^2-2x-1|f（x），从而1-√2也是f（x）的根由此我们可以推出一个更广泛的结论：对于任意一个Q上的代数元a（即存在q（x）属于Q[x]使得q（a）=0），min（a，Q）在C上的所有根均是以a为根的整系数多项式f（x）的根2023-07-08 12:56:561
8阶域的本原元素是哪一些？
虽然学过抽代, 但是对你这里的术语不太了解, 先确认一下.域中一个非零元素a的级, 是指最小的正整数k, 使a^k = 1.有限域GF(q)中的本原元素, 是指级为q-1的元素.你这里的m次本原多项式, 是指GF(p^m)中本原元素在GF(p)上的极小多项式?任意一个有限域的乘法群都是一个循环群.按你的定义, 一个元素称为本原元素, 是指该元素可以生成整个循环群.在一个n阶循环群中, 有φ(n)个元素可以作为生成元.其中φ(n)是欧拉函数, 表示1至n的整数中与n互质的个数.以GF(64)为例, 乘法群是一个63阶循环群.设a是一个本原元素, 乘法群中的元素可唯一表示为a^k, k = 1, 2, ..., 62, 63.可知a^k是本原元素当且仅当k与63互质, 共有φ(63) = 36个.这些元素的级都为63, 都是本原元素.但是, 一个元素能生成整个域并不说明其为本原元素, 因为这里的生成还包括加法.还是上面的例子, a^3的阶为21, 不是本原元素, 但是a^3不在GF(64)的真子域GF(4)或GF(8)中.因此GF(64) = GF(2)(a^3), 即a^3可以在GF(2)上生成GF(64).由此可知, a^3在GF(2)上的极小多项式是GF(2)上的6次不可约多项式, 但不是本原多项式.要求本原多项式的个数可以这样.GF(p^m)的乘法群是p^m-1阶循环群, 因此有φ(p^m-1)个本原元素.任意本原元素的极小多项式是m次不可约多项式, 无重根且所有根都是本原元素.两个不等价(相差非零常数倍)的本原多项式无公共根.因此共有φ(p^m-1)/m个本原多项式.2023-07-08 12:57:031
3次和4次多项式如何分解因式？
长除法。多项式。多项式长除法2023-07-08 12:57:255
本原多项式定义？
定义：本原多项式是指一个n次不可约多项式，如果只能整除1+Z^2^n-1而不能整除其它1+Z^L(L2^n-1)，则这种不可约多项式就称为本原多项式从定义上看 前半句正确 后半句错误前半句分析：显而易见 后半句分析：很据定义 假如既能整除1+Z^2^n-1又能整除其它1+Z^L(L2^n-1) 那么就和定义相违背 所以我只需要找出 整除1+Z^2^n-1又能整除其它1+Z^L(L2^n-1)的多项式就可以了 其实这个反例就是【1+Z^L(L2^n-1)】*【1+Z^L(L2^n-1)】谢谢 望满意2023-07-08 12:58:191
如何判断一个n次不可约多项式是本原式？
定义：本原多项式是指一个n次不可约多项式，如果只能整除1+Z^2^n-1而不能整除其它1+Z^L(L2^n-1)，则这种不可约多项式就称为本原多项式从定义上看 前半句正确 后半句错误前半句分析：显而易见 后半句分析：很据定义 假如既能整除1+Z^2^n-1又能整除其它1+Z^L(L2^n-1) 那么就和定义相违背 所以我只需要找出 整除1+Z^2^n-1又能整除其它1+Z^L(L2^n-1)的多项式就可以了 其实这个反例就是【1+Z^L(L2^n-1)】*【1+Z^L(L2^n-1)】谢谢 望满意2023-07-08 12:58:261
如何求一个多项式的本原多项式呢?
定义：本原多项式是指一个n次不可约多项式，如果只能整除1+Z^2^n-1而不能整除其它1+Z^L(L2^n-1)，则这种不可约多项式就称为本原多项式从定义上看 前半句正确 后半句错误前半句分析：显而易见 后半句分析：很据定义 假如既能整除1+Z^2^n-1又能整除其它1+Z^L(L2^n-1) 那么就和定义相违背 所以我只需要找出 整除1+Z^2^n-1又能整除其它1+Z^L(L2^n-1)的多项式就可以了 其实这个反例就是【1+Z^L(L2^n-1)】*【1+Z^L(L2^n-1)】谢谢 望满意2023-07-08 12:58:351
本原多项式一定是不可约多项式；不可约多项式一定是本原多项式。这两句话对么？请举出反例
定义：本原多项式是指一个n次不可约多项式，如果只能整除1+Z^2^n-1而不能整除其它1+Z^L(L2^n-1)，则这种不可约多项式就称为本原多项式从定义上看 前半句正确 后半句错误前半句分析：显而易见 后半句分析：很据定义 假如既能整除1+Z^2^n-1又能整除其它1+Z^L(L2^n-1) 那么就和定义相违背 所以我只需要找出 整除1+Z^2^n-1又能整除其它1+Z^L(L2^n-1)的多项式就可以了 其实这个反例就是【1+Z^L(L2^n-1)】*【1+Z^L(L2^n-1)】谢谢 望满意2023-07-08 12:58:442
伪码多项式和本原多项式的区别是什么
本原多项式是近世代数中的一个概念，是唯一分解整环上满足所有系数的最大公因数为1的多项式。本原多项式不等于零，与本原多项式相伴的多项式仍为本原多项式。应用：（1）在MATLAB中，本原多项式可以通过函数primpoly(x)来产生。（2）在MATLAB中，通过函数gfprimfd(m,min)可以找到一个最小的本原多项式。伪码设计直接影响扩频系统性能（容量、抗干扰能力、接入和切换速度等）， 在CDMA2000系统中，用PN码中的m序列(长码)来区别用户， WCDMA系统中用Gold码来区分用户，并且都采用正交 Walsh函数来区分信道。 * 对给定的n,寻找能够产生m序列的抽头系数是复杂数学问题 * (1)这个特性保证了在扩频系统中，用m序列做平衡调制实现扩频时有较高的载波抑制度。 * * 当m序列用作码分址系统地址码时，必须选择互相关值很小的m序列组，以避免用户间的干扰 * 从移位寄存器出来的m序列信号是一个周期信号， * 本原多项式f(x): (1)f(x)是既约的，不能分解因子的多项式 (2)f(x)可整除x^m+1,m=2^n-1 (3)f(x)除不尽x^q+1,q<m * Gold序列数量多且具有同m序列优选对类似的相关特性 * 平衡Gold序列作平衡调制时有较高的载波抑制度。 * C(t)是m序列发生器输出的PN码序列信号，b(t)一个比特持续时间等于PN序列一个周期 * 解扩后得到的窄带2PSK信号可以采用一般2PSK解调方法解调，如相关解调。 * 相对于扩频信号带宽，干扰分为窄带和宽带干扰 * 在信号功率和干扰相同的情况下，扩频信号可以正常解调，而2PSK信号出现了误码 * X(t)=b(t)c(t) * 电控学院 综合楼823 直扩系统扩展信号带宽方法是，用一个PN序列和数据相乘，以2PSK为例，直接扩频系统如图，信道理想，不考虑噪声 b(t)和c(t)为双极性NRZ码，通常2023-07-08 12:58:511
本原多项式的概述
一个n次不可约多项式，如果只能整除1+Z^2^n-1 而不能整除其它1-Z^L(L<2^n-1)，则这种不可约多项式就称为本原多项式。本原多项式的另外一种定义：系数取自GF(p)上，以GF(p^m)上的本原域元素为根的最小多项式。因为本原多项式一定以n=p^m-1级元素为根，p^m≡1(mod n)，所以本原多项式的次数必然是m。对于一个n次多项式，其本原多项式一般有若干个。下面将给出的一个算法，是求解在给定任意n值及一个本原多项式的情况下，其余本原多项式的求解方法。该算法的意义在于提供了同一n值情况下若干个可选的本原多项式，这样就允许在构造应用系统时有不同的选择方案。已知一个n级本原多项式，求解其余的本原多项式按以下步骤进行。(1) 首先确定n级本原多项式的个数λ(n),λ(n)即是n级本原多项式的个数。(2) 求出小于2n－1且与2n－1互素的所有正整数，构成一个集合〔Si〕，并重新排序，使〔Si〕中元素从小到大排列。(3) 排除〔Si〕中不适合的数* 排除〔Si〕中形如2j（j为正整数）* 排除〔Si〕中所有同宗的数。即从〔Si〕中从后到前搜索，每取一个数即做2K×Si，直到大于2n－1，然后减去2n－1，用差值在〔Si〕中向前搜索，如果有相同的数则将Si排除，否则保留。再取Si－1按同样过程做一遍，直到S0．* 排除〔Si〕中有倍数关系的数。即从〔Si〕中从后到前搜索，每取一数即向前查询一遍，最后〔Si〕中剩下的数即为本原抽样数，其个数一定为λ(n)-1。(4) 根据已知的一个n级本原多项式，为其设置初始状态000…01（n个），求出其M序列{Ai}（长度为2n－1）.(5) 依次从Si中取出本原抽样数，每取出一个抽样数Si，即可求出一个本原多项式：以Si对{Ai}进行抽样，就可产生长度为2n－1的另一M序列{Si}，在{Si}中找到形如000…01（n位）的序列段{Mi}，并提取包括{Mi}为前n项的2n长度的序列：Am+0，Am+1，…，Am+n-1，0 0 … 1Am+n，Am+n+1，…Am+2n-1X X … X欲确定的Ci可用下列方程组确定;C1=Am+nC2=Am+n+1+C1Am+nC3=Am+n+2+C1Am+n+1+C2Am+n2023-07-08 12:58:591
什么是本原多项式?
设f(x)是一个整系数多项式, 若f(x)的系数的公因子只有±1, 则称f(x)是一个本原多项式.2023-07-08 12:59:161
本原多项式的介绍
本原多项式的定义：系数取自GF(p)上，以GF(p^m)上的本原域元素为根的最小多项式。2023-07-08 12:59:271
求本源多项式
先取F2^n的一个一个本原元α,α在F2上的极小多项式(x-α)(x-α^2)...(x-α^(2^(n-1)))即是F2的n次极小多项式2023-07-08 12:59:391
什么是伽罗华域的本原多项式
就是生成伽罗华域内元素的式子2023-07-08 12:59:462
本原多项式的各项系数的最大公因数只有（）。
本原多项式的各项系数的最大公因数只有（）。 A.1B.0、1C.±1D.-1正确答案：C2023-07-08 13:00:201
5次本原多项式 其中的五次如何理解? 能否举出一个例子.
设f(x)是一个整系数多项式,若f(x)的系数的公因子只有±1,则称f(x)是一个本原多项式. 这里的次数是指 多项式的最高次数如 x^5就是一个简单的5次本原多项式.2023-07-08 13:00:261
不属于本原多项式的是（）
不属于本原多项式的是（） A.x^2-2x B.x^2+2x C.2x-1 D.2x-2 正确答案：D2023-07-08 13:00:331
首系数是1的整系数多项式一定是本原多项式吗?
当然是，既然系数有1了那最大公因子只能是1了2023-07-08 13:00:401
有限域本原多项式的一道证明. m不是一个素数,证明并不是所有的首一m次不可约多项式都是本原多项式.
若m是一个合数,则存在GF(p)上的首1的m次不可约多项式,不是本原多项式. 证明:设m = qn,其中q > 1是m的最小质因数.由m是合数,有n > 1为m的最大真因数. GF(p^m)的子域均形如GF(p^k),其中k为m的约数. 于是GF(p^m)的阶数最大的真子域就是GF(p^n). 考虑r = (p^m-1)/(p^q-1) = (p^(qn)-1)/(p^q-1) = p^(q(n-1))+p^(q(n-2))+...+1为整数. 有r是p^m-1的约数,且r < p^m-1 (因为p^q-1 > 1). 此外由q ≥ 2,n ≥ 2,可得q(n-1) ≥ 2n-2 ≥ n,有r > p^n. GF(p^m)-{0}关于乘法构成一个p^m-1阶循环群. r是p^m-1的约数,于是其中存在r阶元,设a是GF(p^m)-{0}中的一个r阶元. 可知a不属于GF(p^m)的任意真子域GF(p^k),否则a的阶数 ≤ p^k-1 ≤ p^n-1 < r. 因此GF(p^m) = GF(p)[a],a的极小多项式f(x)是首1的m次不可约多项式. 但r < p^m-1,a不是GF(p^m)的原根,故f(x)不是本原多项式. 即存在GF(p)上的首1的m次不可约多项式,不是本原多项式. 注:对特征p > 2,无论m > 1是否素数,r总可取为(p^m-1)/(p-1) < p^m-1. 此时m是合数的条件是不必要的.2023-07-08 13:00:491