等比与等差数列前N项和公式？

等比：

1.当公比q=1时,Sn=na1

2.当q不等于1时,Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或 Sn=(a1-an*q)/(1-q)

等差：

1.Sn=n(a1+an)/2

2. Sn=na1+n(n-1)d/2

等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式。另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。

拓展资料;

等比的故事：

根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的．据说，有位印度教宰相见国王自负虚浮，决定给他一个教训。

他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏．国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情．

国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宰相，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐。

宰相开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了。 “好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宗师的这个谦卑的请求．

这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？稍微算一下就可以得出：1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1，直接写出数字来就是18，446，744，073，709，551，615粒，这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！

如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或在日地之间打个来回。

国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债。

正当国王一筹莫展之际，王太子的数学教师知道了这件事，他笑着对国王说：“陛下，这个问题很简单啊，就像1+1=2一样容易，您怎么会被它难倒？”国王大怒：“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他？”年轻的教师说：“没有必要啊，陛下。

其实，您只要让宰相大人到粮仓去，自己数出那些麦子就可以了。假如宰相大人一秒钟数一粒，数完18，446，744，073，709，551，615粒麦子所需要的时间，大约是5800亿年（大家可以自己用计算器算一下！）。

就算宰相大人日夜不停地数，数到他自己魂归极乐，也只是数出了那些麦粒中极小的一部分。这样的话，就不是陛下无法支付赏赐，而是宰相大人自己没有能力取走赏赐。”国王恍然大悟，当下就召来宰相，将教师的方法告诉了他。 

西萨·班·达依尔沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超过了我，那些赏赐……我也只好不要了！”当然，最后宰相还是获得了很多赏赐（没有麦子）。

等比数列求和公式为：Sn=n*a1(q=1)、Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-anq)/(1-q) （q不等于 1）

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。 注：q=1 时，a^n为常数列。

等差数列求和公式：Sn=(a1+an)n/2 ；Sn=na1+n(n-1)d/2（d为公差）； Sn=An2+Bn；A=d/2，B=a1-(d/2) 。

证明：

Sn=a1+a2+a3+。。。+an①

Sn=an+a（n-1）+a（n-2）+。。。+a1②

①+②得：

2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](当n为偶数时)

Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2

Sn=n（A1+An）/2 (a1，an，可以用a1+（n-1）d这种形式表示可以发现括号里面的数都是一个定值，即（A1+An）

拓展资料：

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

例如：1,3,5,7,9……1+2(n-1)。等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)前n项和公式为：na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。 以上n均属于正整数。

1.等差数列和公式

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)/2 d

2.等比数列求和公式 q≠1时 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)

q=1时Sn=na1

(a1为首项,an为第n项,d为公差,q 为等比)

拓展知识

按一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number）。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，排在第n位的数称为这个数列的第n项。传说古希腊毕达哥拉斯（约公元前570-约公元前500年）学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数。比如，他们研究过1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91…由于这些数可以三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数。类似地，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169…被称为正方形数，因为这些数能够表示成正方形。因此，按照一定顺序排列的一列数成为数列。

1.等差数列和公式 ：Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)/2 d 

2.等比数列求和公式 ：q≠1时 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)，q=1时Sn=na1 

下面用数学归纳法证明Sn=na1+n(n-1)d/2和Sn=[a1(1-qⁿ)]/(1-q)

（一）等差数列前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d/2证明(1)n=1,S1=a1，成立。(2)设Sk=ka1+k(k-1)d/2,则S(k+1)=Sk+a(k+1)=ka1+k(k-1)d/2+a1+kd=(k+1)a1+(k+1)kd/2所以n=k+1也成立。所以等差数列前n项和公式为Sn=na1+n(n-1)d/2。

（二）等比数列前n项和公式Sn=[a1(1-qⁿ)]/(1-q)证明：(1)n=1,S1=a1成立，(2)设Sk=[a1(1-q^k)]/(1-q)。S(k+1)=Sk+a(k+1)=a1(1-q^k)/(1-q)+a1q^k=[a1/(1-q)][1-q^k+q^k-q^(k+1)]=a1[1-q^(k+1)]/(1-q)所以n=k+1时公式仍成立。所以等比数列前n项和公式Sn=[a1(1-qⁿ)]/(1-q)。

等差数列和公式 ：Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)/2 d 

等比数列求和公式：当 q≠1时 ，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)

当q=1时Sn=na1

(a1为首项,an为第n项,d为公差,q 为等比)

扩展资料：

1等差数列 ：等差数列的通项公式为：

an=a1+(n-1)d (1)

前n项和公式为：

Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)

从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有

am+an=ap+aq

Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。

2.等比数列：（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）

（2）前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)

且任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)

（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}

（4）若m，n，p，q∈N*，则有：ap·aq=am·an，等比中项：aq·ap=2ar   ar则为ap，aq等比中项。

记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

an:第n项 Sn：前n项和，d：等差数列公差，q：等比数列公比，k：大于0，小于n的整数。

等差数列公式：an=a1+(n-1)d=ak+(n-k)*d，ak=an-(n-k)*d，d=(an-ak)/(n-k)，a(n+k)=(n*an-k*ak)/(n-k)，a(n+m)=(n*an-m*am)/(n-m)，Sn=n*(a1+an)/2=n*a1+(n*(n-1)/2)*d，n+m=r+p => an+am=ar+ap，S(n+m)=(n+m)*(an+am)/2，S(3m)=3*(S(2m)+Sm))。

等比数列公式：an=a1*q^(n-1)=ak*q^(n-k)，ak=an/q^(n-k)，a1=an/q^(n-1)，q=±(an/ak)^(n-k)=±(an/a1)^(n-1)，a1*q^n=an*q=a(1+k)*q^(n-k)，Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)，(a2+a3+a4)/(a1+a2+a3)=q。

设等差数列an=a1+(n-1)d，等比数列bn=b1q^(n-1)，其积cn=anbn,cn的和为Sn，Sn=a1b1+a2b2+...+anbn，qSn= a1b2+...+a(n-1)bn+anb(n+1)，两式相减：（1-q)Sn=a1b1+db2+...+dbn-anb(n+1)=a1b1+d(b2+...bn)-，anb(n+1)=a1b2+db2[1-q^(n-1)]/(1-q)- anb(n+1)，因此Sn=a1b2/(1-q)+db2[1-q^(n-1)]/(1-q)^2-anb(n+1)/(1-q)。

拓展资料：

1. 等差数列前n项和公式，Sn=n(a1+an)/2Sn=na1+n(n-1)d/2

2.等比数列前n项和公式，当公比q=1时,Sn=na1当q不等于1时,Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或 Sn=(a1-an*q)/(1-q)。

等差数列前n项和公式：Sn=(a1+an)n/2=na1+n(n-1)d/2

等比数列前n项和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q) (q≠1)，当q=1时，Sn=na1.

1. 等差数列前n项和公式

   (1) Sn=n(a1+an)/2

   (2) Sn=na1+n(n-1)d/2

2. 等比数列前n项和公式

   (1)当公比q=1时,Sn=na1

   (2)当q不等于1时,

   Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或 Sn=(a1-an*q)/(1-q)

拓展内容:

等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。例如：1,3,5,7,9……（2n-1)。等差数列{an}的通项公式为：an=a1+(n-1)d。前n项和公式为：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。注意： 以上n均属于正整数。

等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式。另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。

等差数列和公式

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)/2 d

等比数列求和公式

q≠1时 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)

q=1时Sn=na1

(a1为首项,an为第n项,d为公差,q 为等比)

答：1.等差数列前n项和。设首项为a1，公差为d，第n项为an，前n项和为Sn。

那么前n项和公式为Sn=na1+n(n-1)d/2=(a1+an)n/2。

2.等比数列前n项和。设首项为a1，公比为q，第n项为an，前n项和为Sn。

那么前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)

等比数列前n项和公式：Sn=[a1*(1-q^n)]/(1-q) ，n=1时为常数列。

等差数列前n项和公式：Sn=n(a1+an)/2，a1为首项.

等比数列前N项和公式Sn=(a1-anq)/(1-q) (q不等于1)

等差数列前N项和公式Sn=(a1+an)*n/2

等差：Sn＝n×首项＋n(n－1)×公差÷2

等比：Sn＝首项×(1－公比^n)÷(1－公比)

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)