应用状态转移方程法构建含有协变量的地下水管理模型

3.3.3.1 状态转移方程法的基本原理

为研究方便，通常将地下水系统在某一时期随时间的变化过程划分为若干个时段。状态转移方程法就是把每一时段的末刻水位看成为该时段的初始水位及人工可控输入（人工开采和人工补给）的函数。运用一阶泰勒级数展开式，把末刻水位用初始水位和人工可控输入近似地表达出来，构成状态转移方程。根据动态规划的思想，每个时段起点的状态，称为该时段的状态，它既是本时段的起点，同时也是前一时段的终点。如果给定了k时段的状态变量h_k和人工可控输入变量（决策变量）p_k，由状态转移方程，k+1时段的状态h_k+1就完全确定了。把上述h_k+1随h_k和p_k的变化而变化的数量关系，我们用h_k+1=T_k（h_k，p_k）表示。该式即为状态转移方程的一般表达式。地下水系统的状态转移方程表达了地下水系统从某一时段到下一时段的状态转移规律，它是地下水系统模拟模型的代表，是地下水系统模拟模型的转换形式^［111］。

3.3.3.1.1 状态转移方程的建立

将第k个时段的初始水位记为h_k，末刻水位同时也是k+1时段的初始水位记为h_k+1。k时段的人工可控输入记为p_k。其中h_k、h_k+1均为n维列向量，p_k为m维列向量。如果给定k时段的初始水位为h_k，人工可控输入的试估值为p_k，通过求解地下水系统的模拟模型，得到k时段的末刻水位记为h_k+1。那么任意的h_k+1就可以用在h_k和p_k附近展开的泰勒级数多项式来表达。这里分为两种情形，一种情形是当描述地下水系统的模拟模型中的偏微方程是线性偏微分方程时（如模拟承压水流的方程），则有如下的表达式：

含有协变量的地下水动态规划管理模型研究

另一种情形是当描述地下水系统的模拟模型中的偏微分方程是非线性偏微分方程时（如模拟潜水流的方程），忽略一阶以上的高阶微量，则h_i，k+1可近似地表达为：

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上面的导数均在）处求值。上面的两个式子可统一表达为（当模拟方程为非线性偏微分方程时，将一阶以上的高阶微量忽略不计）：

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（3.19）式即为地下水系统的状态转移方程，其中F_k和G_k为Jacobian矩阵，它们的第i行第j列上的元素分别为u2202h_i，k+1/u2202h_j，k和u2202h_i，k+1/u2202p_j，k。

3.3.3.1.2 获得Jacobian矩阵的方法

Jacobian矩阵可以利用模拟模型离散后所形成的代数方程组来求得。具体过程有以下两种情形。

一种情形当模拟模型中的偏微分方程是线性偏微分方程时（如模拟承压水流的方程），模拟模型经过离散化方法处理后，总能得到如下形式的代数方程组：

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其中A、B是与地下水系统的参数（导水系数和贮水系数）及剖分单元的大小、形状有关的n×n阶的系数矩阵，C为对角矩阵，D为n维列向量，表示地下水系统的边界条件及降水入渗等因素。将代数方程组中的每个方程左右两边都对h_j，k求导，然后再解方程组，就得到（3.18）式中Jacobian矩阵F_k的第j列。同样将代数方程组中的每个方程都对p_j，k求导，然后再解方程组，就得到了（3.18）式中Jacobian矩阵G_k的第j列。无论是对h_j，k还是对p_j，k而言，求导后所得到的方程组左边的系数矩阵都是相等的，所以只要求解一个具有n+m个右端项的方程组就可同时得到Jacobian矩阵F_k和G_k。这里仍假定水位h_k为n维列向量，人工可控输入p_k为m维列向量。

另一种情形是当模拟模型中的偏微分方程是非线性方程时（如模拟潜水流的方程），预测模型经离散化方法（如伽辽金有限元法）处理后，得到如下形式的代数方程组：

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将（3.20）式中的第i个方程左右两边对h_j，k求导，再进行线性化处理后，即可同时获得Jacobian矩阵F_k和G_k，在此不再详述。

3.3.3.2 含有协变量的地下水系统状态转移方程的建立

假设规划时段数k=1，2，…，N，在任一规划时段内，为减少截断误差又划分为τ=1，2，…，n个差分时段，假设每个差分时段步长相等。在规划时段k内第（τ，τ+1）个差分时段内，由式（3.6）可得：

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将3.21式系数合并得：

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式中：A=G+，E_τ=W_τ+CZ

再将方程两边都乘以A^-1，整理后可得：

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式（3.23）称为差分时段（τ，τ+1）的状态转移方程，对于n个差分时段，将所得水头逐一代入下一个时段，可得到规划时段k到k+1的状态转移方程：

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式中：F_k=M_nM_n-1…M₂M₁

V_k=N_n+M_nN_n-1+…+M_nM_n-1…M₃M₂N₁

J_k=f_n+M_nf_n-1+…+M_nM_n-1…M₃M₂f₁

式（3.24）即为含有协变量的地下水系统的状态转移方程。协变量的处理与式（3.7）相同。

3.3.3.3 含有协变量的地下水动态规划管理模型的建立

运用状态转移方程法来构建管理模型就是利用地下水系统模拟模型的转化形式——状态转移方程，把各时段需要加以控制的末刻水位用初始水位可控输入变量（决策变量）表达出来，在此基础上，综合考虑其他因素，完成管理模型的构建，从而实现地下水系统模拟模型与优化模型的耦合连接。

以抽水费用最小为目标的地下水管理模型为例，建立含有协变量的地下水动态规划管理模型。由于地下水抽水费用不仅仅与抽水量有关，而且与抽水扬程（取决于地下水位的埋深）有关。以地下水系统的状态转移方程为基础，地下水位和需水量作为约束条件，建立的地下水动态规划管理模型为：

目标函数：

约束条件：

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式中：Z——总抽水费用（万元/a）；

N——总抽水时段数；

M——具有开采井的单元（或网格数）；

G_i——第i单元中单位体积的水量被提升单位高度的费用（元/m⁴）；

P_ik——第i单元在k时段的抽水量（m³/a）；

hl_i——第i单元的地表高程（m）；

h_k+1——抽水井在k+1时段初的水位（m）；

h_k——抽水井在k时段初的水位（m）；——在k+1时段各水位控制点的水位（m）；

φ——各水位控制点数；

ω_k——研究区k时段各单元的需水总量。

其中，（3.25）式为目标函数表达式，以抽水费用最小为目标函数，hl_i-h_k+1代表抽水扬程；（3.26）式为含有协变量的地下水流系统状态转移方程；（3.27）式为水位约束；（3.28）式要求k时段各单元的抽水总量满足研究区需水量w_k。

将状态转移方程（3.26）代入式（3.25）中，可得到一个二次目标、线性约束条件的动态规划管理模型：

目标函数：

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约束条件：

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