第三周：统计学之几种常见的数据分布

【理论】概率分布

基本概念：

随机变量；古典概率；条件概率；离散变量；连续变量；期望值

离散变量概率分布

二项分布；伯努利分布；泊松分布

连续变量概率分布

均匀分布；正态分布；指数分布；伽玛分布；偏态分布；贝塔分布；威布尔分布；卡方分布；F分布

一、基本概念

随机变量：

随机变量（random variable）表示随机试验各种结果的实值单值函数。简单地说，随机变量是指随机事件的数量表现。例如一批注入某种毒物的动物，在一定时间内死亡的只数；某地若干名男性健康成人中，每人血红蛋白量的测定值；等等。

古典概率：

古典概率通常又叫事前概率，是指当随机事件中各种可能发生的结果及其出现的次数都可以由演绎或外推法得知，而无需经过任何统计试验即可计算各种可能发生结果的概率。

因为古典事件的结果数目已知，且每种结果对应的发生概率相等。例如扔骰子，不管如何扔，出现某个点数的概率等于1/6

条件概率：

变量

离散变量

连续变量

期望值

期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。

二、离散变量概率分布

二项分布

二项分布是由伯努利提出的概念，指的是重复n次独立的伯努利试验，发生的结果只有两个。

特点：

1.每次试验只有两种可能得结果：“成功”与“失败”，两个结果只会出现一个；

2.每次试验前，如果“成功”的概率是p，那么“失败”的概率是(1-p)；

3.每次试验相互独立，每次试验结果不受其他各次试验结果的影响

伯努利分布

伯努利分布是二项分布在n=1时的特例.

伯努利分布又称为两点分布, 需要引入伯努利实验.

伯努利试验是只有两种结果的单次随机试验,

进行一次伯努利试验, 成功(X=1)概率为p(0<=p<=1), 失败(X=0)的概率1-p, 则称随机变量X服从伯努利分布

泊松分布

泊松概率分布是在连续时间或空间单位上发生随机事件次数的概率。通俗解释就是基于过去某个随机事件在某段时间或某个空间内发生的平均次数，预测该随机事件在未来同样长的时间或同样大的空间内发生n次的概率。

应用：经常被用于销售较低的商品库存控制，特别是价格昂贵、需求量不大的商品

连续性变量概率分布

指数分布：

指数分布描述的事两次随机事件发生的时间间隔的概率分布情况，这里的时间间隔指的是一次随机事件发生到下一次随机事件再发生的时间间隔。

指数分布与泊松分布正好互补

均匀分布

均匀概率分布是古典概率分布的连续形式，是指随机事件的可能结果是连续型数据变量，所有的连续型数据结果所对应的概率相等。

概率密度函数如下：

则称X在区间（a，b）上服从均匀分布. 记为X~U(a，b）

正态分布

正态概率分布是所有概率分布中最重要的形式，它能够表示被测事物处于稳定状态的原因。正态分布曲线酷似古代的大钟，曲线被穿过均值的垂线分成完全相等的两半。

曲线的总面积为1，代表100%的概率，其中50%位于均值垂线的左侧，另外50%位于均值垂线的右侧。

普通的正态分布概率密度公式:

当出现均值=0, 标准差=1, 标准正态分布时:

正态分布中还具有特殊的性质:经验法则(6西格玛法则)

68.3% 的数据会分布在均值± 1个标准差范围内;

95.4% 的数据会分布在均值± 2个标准差范围内;

99.7% 的数据会分布在均值± 3 个标准差范围内.

卡方分布

卡方分布是概率统计里常用的一种概率分布，也是统计推断里应用最广泛的概率分布之一，在假设检验与置信区间的计算中经常能见到卡方分布的身影。

卡方分布能用于从样本方差到总体方差的推断性分析，甚至还能用于非参数检验，被称为卡方检验

beta分布

贝塔分布（Beta Distribution) 是一个作为伯努利分布和二项式分布的共轭先验分布的密度函数，在机器学习和数理统计学中有重要应用。在概率论中，贝塔分布，也称Β分布，是指一组定义在(0,1) 区间的连续概率分布。