你好 我想问下运筹学中的对偶问题符号关系对照表是什么样子的 可以给我列一个吗?谢谢了

对偶变量法的原理是利用线性规划的对偶原理计算解的检验数，从而通过检验数判断最优性。对偶变量法又称位势法，是以坐标原点为起点，以运动质点所在位置为终点的有向线段。位移和位矢虽然都是矢量，但二者是两个不同的概念。位矢是在某一时刻，以坐标原点为起点，以运动质点所在位置为终点的有向线段；而位移是在一段时间间隔内，从质点的起始位置引向质点的终止位置的有向线段。

Monte Carlo积分在积分限内生成均匀分布随机变量，通过平均值代替积分。那么在「∞」积分或者积分界里有参数的时候怎么办呢？我们来看一个例子：更广义的来讲，我们可以生成服从任意分布的随机变量，然后通过MC积分来模拟他们的期望。这里就利用到了我们上一节中讲到的生成随机变量的方法。我们进一步考虑通过MC方法模拟SE of Mean，这里我们用到了Plug-in的思想，具体Plug-in的介绍可以参考Bootstrap。因为有上面这个近似正态分布，所以当样本量足够大的时候，我们可以用这个近似正态分布来估计置信区间或者误差范围，也可以用来检验收敛性。例子我们来看一个Hit-or-Miss方法：在Hit-or-Miss方法中，我们「作弊」了，我们可以从给定分布中生成随机变量，相当于我们知道了分布函数，我们通过「计数的方式」来模拟累积分布函数。同时我们可以分析估计的误差。这里涉及两个方差：一个是统计量的「真实」方差，由于我们的统计量服从Bin，我们可以直接写出它的方差；另一个是MC模拟得到的方差，我们通过一个样本方差公式来计算。但注意，我们这里的统计量是一个Indicator Function，与真实分布无关，是一个模拟值。方差缩减技术MC方法中的方差回顾一下，MC积分问题实际上就是一个随机变量的期望问题。现在我们来计算一下这个估计的方差。我们证明了我们的MC估计是unbaised并且给出了方差的计算公式。并且我们知道，由CLT，大样本下我们有个正态分布的好性质。Hit-or-miss方法的方差的计算方式与上面的有差别。接下来我们的问题是，我们希望我们的估计精确度尽量高，我们怎么缩减方差呢？效率再介绍方差缩减技术之前，我们先引入一个效率的概念。方差小就是效率高。注意：增加实验次数可以提升方差，所以方差是相对的而不是绝对的。方差缩减从上面的公式可以看出，方差与样本数呈反比例关系，通过增加样本数来缩减方差效率非常低。实际中我们通过一下几种方式来缩减方差。对偶变量法使用负相关来减少方差。我们利用U和1-U是负相关的这一特点，在inverse transform中把一半的样本用U来生成，一半的样本用1-U来生成。但是什么时候是通过U和1-U生成的变量Y和Y‘也是负相关的呢？我们首先给出了多元函数单调性的定义。下面我们证明。根据这个结果，我们可以证明我们的推论：我们可以看一个例子：发布于 3 年前著作权归作者所有

从经济学的角度来说,对偶变量反映的是对应的原变量的边际效应,即每增加一单位的原变量使目标函数变化的值,当原变量在目标函数取得最优解时没有用完的情况下,原变量的增加不会改变目标函数的值,此时原变量的边际效应为0,即对偶变量为0,这就是强对偶理论.

从经济学的角度来说,对偶变量反映的是对应的原变量的边际效应，即每增加一单位的原变量使目标函数变化的值。当原变量在目标函数取得最优解时没有用完的情况下，原变量的增加不会改变目标函数的值，此时原变量的边际效应为0，即对偶变量为0，这就是强对偶理论。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。设原始问题为min{cx|Ax=b，x≥0}，则其对偶问题为max{yb|yA≤c}。当原始问题的一个基解满足最优性条件时,其检验数cBB-1A-c≤0。即知y＝cBB-1（称为单纯形算子）为对偶问题的可行解。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。扩展资料：设线性规划问题中P问题：min f = c"x ，Ax≥b ，且c"≥0；D问题：max g = y"b， y"A≤c"， 且y"≥0。问题 P和问题D互为对偶问题。其特点如下：目标函数的目标互为相反(max，min)；目标函数的系数是另一个约束条件右端的向量；约束系数矩阵是另一个的约束系数矩阵的转置；约束方程的个数与另一个的变量的个数相等。如果两个三角形的对应顶点的连线相会于一点，则这两个三角形的对应边的交点必定在同一直线上。（如果两个三角形的对应边的交点在同一直线上，则这两个三角形的对应顶点的连线必定相会于一点。）一个六边形的六个顶点在一条二次曲线上，当且仅当，该三对对边的交点在一条线上。（一个六边形的六条边切一条二次曲线，当且仅当，联该三对顶点的线交于一点。）参考资料来源：百度百科-对偶

antithetic variable method对偶变量法.很高兴为你解答！如有不懂，请追问。 谢谢！

1、线性规划 m+n-12、首先采用最小元素法，A1—B3的运费2最小，且产量17<销量18，故为A1—B3运17吨，同时划去B3列，将A1行的销量变为1。未被划去的格子中，A1—B1的运费3最小，且产量16>销量1，故为A1—B1运1吨，同时划去A1行，将B1列的产量变为15。未被划去的格子中，A3—B2的运费4最小，且产量12<销量15，故为A3—B2运12吨，同时划去B2列，将A3行的销量变为3。未被划去的格子中，A2—B1的运费5最小，且产量15>销量12，故为A2—B1运12吨，同时划去A2行，将B1列的产量变为3。未被划去的格子中，A3—B1的运费9最小，且产量3=销量3，故为A3—B1运3吨，同时划去A3行和B1列。至此，得出初始可行解。3/1 7/0 2/175/12 8/0 10/09/3 4/12 5/0采用对偶变量法，令A1行的对偶变量为0则B1列的对偶变量为3，B3列的为2则A2行的2，A3行的为6则B2列的为-2对于非基变量，A1B2的检验数=9A2B2的检验数=8A2B3的检验数=6A3B3的检验数=-3A3B3检验数小于0，故上述解不是最优解。采用闭合回路法，从A3B3出发，找到一条回路A3B3—A3B1—A1B1—A1B3—A3B3调整为A3B3运量+3，A3B1运量—3，A1B1运量+3，A1B3运量—3，同时将基变量A3B1换出，将非基变量A3B3换入基变量。得新运输表：3/4 7/0 2/145/12 8/0 10/09/0 4/12 5/3继续采用对偶变量法，令A1行的对偶变量为0则B1列的为3，B3列的为2，则A2行的为2，A3行的为3，则B2行的为1对于非基变量，A1B2的检验数=6A2B2的检验数=5A2B3的检验数=6A3B1的检验数=3所以非基变量检验数都大于0，故上述解是最优解，3/4 7/0 2/145/12 8/0 10/09/0 4/12 5/3即安排A1—B1：4吨A1—B3：14吨A2—B1：12吨A3—B2：12吨A3—B3：3吨得最小运费：3*4+2*14+5*12+4*12+5*3=163（百元）即16300元。3、该问题可看作一个对策问题，把采购员当成局中人I，他有三个策略：（1）在秋天买10吨、（2）15吨、（3）20吨，分别记作a1,a2,a3把大自然看作局中人II，它有三种策略：（1）出现较暖的、（2）正常的、（3）较冷的冬季，分别记作b1,b2,b3现在把该单位冬季取暖用煤实际费用（即秋季购煤时的用费与冬季不够时再补购的费用总和）作为局中人I的赢得，得矩阵如下： b1 b2 b3a1 -1000 -1750 -3000a2 -1500 -1500 -2500a3 -2000 -2000 -2000max min(aij)=min max(aij)=a33=-2000 i j j i故对策的解为（a3,b3），即秋季储煤20吨合理。

对偶变量(dual variable)是指对偶线性规划问题中的变量(参见“对称形式的对偶线性规划”)。原变量的增加不会改变目标函数的值,此时原变量的边际效应为0,即对偶变量为0,这就是强对偶理论.

是大自然中广泛存在的，呈“分形”形态分布的一种结构规律，及任何系统往下和往上均可找出对偶二象的结构关系，且二象间具有完全性、互补性、对立统一性、稳定性、互涨性和互根性。每一个线性规划问题都存在一个与其对偶的问题，原问题与对偶问题对一个实际问题从不同角度提出来，并进行描述，组成一对互为对偶的线性规划问题。对偶理论是研究线性规划中原始问题与对偶问题之间关系的理论。在线性规划早期发展中最重要的发现是对偶问题，即每一个线性规划问题（称为原问题）有一个与它对应的对偶线性规划问题（称为对偶问题）。1928年美籍匈牙利数学家J.von诺伊曼在研究对策论时，发现线性规划与对策论之间存在着密切的联系。经济意义对偶变量意义代表对一个单位第i种资源的估价，称为影子价格。影子价格不同于市场价格，b代表资源的拥有量。代表在资源最优利用条件下对单位资源的估价，但不是市场价，而是对资源在生产中做出的贡献的估价，一般称为影子价格。市场价格是已知的，而影子价格则与资源的利用情况有关，利用的总的经济效益产生的影响，因此对企业经营管理提供一些有价值的信息。

不是。基本不是。在已知运输表的基础上寻找初始基可行解。通常采用下列3种方法：1）西北角法（简便但求解效率低）；2）最小元素法（整体效率适中）；3）伏格尔（Vogel）法（效率最高，但求解过程繁琐）。通过计算初始基可行解的检验数来判断当前解的最优性。若已为最优解，则直接输出当前解；若非最优解，则转入下一步。判断最优性的方法主要有2种：1）闭回路法；2）位势法（对偶变量法）。对当前解进行调整，直到达到最优解。调整时通常采用闭回路法。

给定线性规划的原始问题, 本文介绍写如何方便地写出其对偶问题. 我们先给出互为对偶问题的两种基本形式, 作为后续写对偶问题的基础. 1. 原问题的约束是不等式 2. 原问题的约束是等式 总结 对原问题的每一个约束, 定义一个对偶变量 . 如果一个约束是等式, 其对偶变量无非负限制. 把对偶变量乘以原问题的约束. 约束右端 即为对偶问题的目标. 上一步把对偶变量乘以原问题的约束之后, 接着计算原问题约束中决策变量 的系数 , 从而得到对偶问题的约束 (假设原问题是最小化问题). 原问题 定义对偶变量 , , 分别对应原问题的约束 和 . 对偶问题 原问题 如上面所示, 我们定义对偶变量 , . 原问题的约束是等式约束, 因此不要求 非负. 用 乘以每个等式, 得到对偶问题的目标: . 下面计算对偶问题的约束: 为了方便描述, 我们使用新的下标 , 并计算 的系数. 详细的计算过程如下: 综合上面所有对偶问题的约束, 我们得到: 对偶问题 Ex1 原问题 对偶问题 Ex2 原问题 对偶问题

若原问题(P)为maxz=CTX，满足{AX≤b，x≤0 }，则对称的新问题(D)为minw=yTb，满足{yTA≥c，y≥0 }，这里y为m维列向量，新问题(D)称为原线性规划的对偶规划。对偶规划(dual programming)一类线性规划问题，指由原线性规划问题按如下对称规律构成的新线性规划问题。一般形式特征：1.一个问题求极大max，对应另一个问题求极小min。2.求极大问题中的约束条件为“≤”，求极小问题中的约束条件为“≥”。3.原问题中有个变量，对偶问题中就有个约束条件。原问题中有m个约束条件，对偶问题中就有m个变量（称为对偶变量）。4.原问题的目标函数中变量的系数就是对偶问题约束条件的常数项。原问题中约束条件的常数项就是对偶问题目标函数中变量的系数。5.两个互为对偶问题的约束条件的系数矩阵互为转置矩阵。6.原问题与对偶问题中的变量均有非负约束。

大M法和两阶段法同属于人工变量法,针对线性规划问题中约束条件是大于等于形式的情况,不能直接找到初始基可行解（单位矩阵）,采用人造基的方法. 对偶单纯形法是在原问题的初始解不一定是基可行解的情况下,利用对偶理论,从非基可行解开始迭代,适用于变量较少但约束条件很多的线性规划问题.

Farkas 引理在对偶理论中有重要的应用，并且还被用来证明KKT条件。 这个引理代数形式可以有多种，但是它的几何意义是恒定而简明的。 一个矩阵 的所有列向量可以张成一个锥，另一个向量 ，与这个锥的位置关系只有两种：在锥内，不然就在锥外。所以 在锥内和 在锥外时成立的代数关系，恰好只有一个也必然有一个是成立的，同时另一个就不成立了。 如果 在锥内，那么可以找到一组非负的系数，使得 能被 的列向量线性表示，即存在 。 如果 在锥外，那么根据点与凸集的分离定理， 和 的列向量张成的锥，可以被一个（过原点的）超平面分离，设这个超平面的法向量为 ，那么可以有： 。 这个定理也可以通过替代定理的方式去证明：上面两式与之前的代数形式本质上是一样的。现考虑一个线性规划问题和它的对偶问题：如果(1)式无解，那么LP问题的最优值 ，因为强对偶性成立，所以下方的对偶问题 ，从而(2)式必然有解（如果(2)式无解，那么 ）；如果(1)式有解，那么 ，(2)式无解。 这里很重要的一点就是LP成立强对偶性！ 除此以外，Farkas引理还有纯代数的证明：如果 ，使得 ，那么如果 ，就有 ；如果存在 使得 并且 ，那么如果 ， ，从而 。 Farkas引理可以用来论证线性规划的强对偶性。 设线性规划的原问题 和对偶问题 分别具有最优值 和 。弱对偶性是显然的，因为如果 满足 是原问题的最优值，那么 ，从而 。 现在借助Farkas引理说明强对偶性，设 ，以及： 现在 是原问题的一个严格下界，所以 是可行的，而 是不可行的。应用两次Farkas引理，设 ，我们有： 可知 、 ，从而 这样其实找到了对偶问题的一个可行点 ，从而： 因为 是任意的，所以 ，强对偶性成立！ 从强对偶性出发，关于对偶变量，我们能够得到以下等式： 上面的 是约束条件 的对偶变量。我们有： 因为 ，所以 必有一为0。

对偶量有电压对偶电流、电阻（抗）、电导（纳）。根据查询相关资料信息，对偶变量的意义代表对一个单位第i种资源的估价，正常表示为电压对偶电流，特殊情况可用电阻（抗）、电导（纳）。

原始问题和对偶问题的标准形式如下：原始问题　对偶问题max　z=cx　min　 w=ybs.t.　 　Ax≤b　s.t.　yA≥cx≥0　 　 y≥0式中max表示求极大值,min表示求极小值,s.t.表示“约束条件为”；z为原始问题的目标函数，w为对偶问题的目标函数；x为原始问题的决策变量列向量（n×1），y为对偶问题的决策变量行向量(1×m);A为原始问题的系数矩阵(m×n),b为原始问题的右端常数列向量（m×1），c为原始问题的目标函数系数行向量（1×n）。在原始问题与对偶问题之间存在着一系列深刻的关系，现已得到严格数学证明的有如下一些定理。 若上述原始问题和对偶问题分别有可行解x0和y0,且u0和v0分别为它们的松弛变量，则当且仅当v0x0=0 和u0y0=0时, x0和y0分别为它们的最优解。v0x0=0和u0y0=0这两个等式称为互补松弛条件。对称对偶线性规划 　具有对称形式的线性规划的特点是：①全部约束条件均为不等式，对极大化问题为≤，对极小化问题为≥。②全部变量均为非负。列出对称对偶线性规划的步骤是：①规定非负的对偶变量，变量数等于原始问题的约束方程数。②把原始问题的目标函数系数作为对偶问题约束不等式的右端常数。③把原始问题约束不等式的右端常数作为对偶问题的目标函数系数。④把原始问题的系数矩阵转置后作为对偶问题的系数矩阵。⑤把原始问题约束条件中的不等号反向作为对偶问题约束条件的不等号。⑥将原始问题目标函数取极大化改成对偶问题目标函数取极小化。非对称对偶线性规划 　有时线性规划并不以对称方式出现，如约束条件并不都是同向不等式，变量可以是非正的或没有符号约束。列写非对称对偶线性规划可参照原始-对偶表（见表）按下列步骤进行：①规定对偶变量，变量个数等于原始问题约束不等式数。②把原始问题的目标函数系数作为对偶问题约束不等式的右端常数。③把原始问题约束不等式的右端常数作为对偶问题的目标函数系数。④把原始问题的系数矩阵转置后作为对偶问题的系数矩阵。⑤根据原始问题的约束不等式情况，确定对偶变量的符号约束。⑥根据原始问题决策变量的符号约束，确定对偶问题约束不等式的符号方向。对偶问题的最优解 　从原始问题的最终单纯形表中（最优单纯形算子）可直接得到对偶问题的最优解。原始问题中松弛变量的检验数对应着对偶问题的解（符号相反）。在用单纯形法时每一步迭代可得到原始问题的可行解x0和对偶问题的补充解y0,且cx0=y0b,若x0不是原始问题的最优解，y0就不是对偶问题的可行解。最后一步迭代得到原始问题的最优解x*和对偶问题的补充最优解y*，且cx*=y*b。y*是原始问题的影子价格。

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根据互补松弛性很容易得出对偶问题的最优解，将原问题的最优解依次代入原问题的约束条件，如果约束条件为严格不等式则说明对偶问题的该变量非零，如果为不等式则说明对偶问题中该变量为0，把对偶问题写出来，将为0的变量代入可以求出其余的变量。对偶问题的最优解就是原问题松弛变量的检验数的相反数。可以直接读出，根据互补松弛。或者你可以根据原问题写出对偶问题，然后用单纯形法求最优解。扩展资料：对偶问题的最优解：从原始问题的最终单纯形表中（最优单纯形算子）可直接得到对偶问题的最优解。原始问题中松弛变量的检验数对应着对偶问题的解（符号相反）。在用单纯形法时每一步迭代可得到原始问题的可行解x0和对偶问题的补充解y0且cx0=y0b，若x0不是原始问题的最优解，y0就不是对偶问题的可行解。最后一步迭代得到原始问题的最优解x*和对偶问题的补充最优解y*，且cx*=y*b。y*是原始问题的影子价格。把原始的约束问题通过拉格朗日函数转化为无约束问题，如果原始问题求解棘手，在满足KKT的条件下用求解对偶问题来代替求解原始问题，使得问题求解更加容易。参考资料来源：百度百科-对偶理论

运输问题可以令几个队友变量为0，这个任何一个都不可能。

原问题和对偶问题解的关系是：对偶（min型）变量的最优解等于原问题松弛变量检验数的绝对值；对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题对应变量的检验数的绝对值；原问题和对偶问题是相互对偶的。原问题，又称原线性规划问题，是指每一个线性规划的原始问题，每个原问题均可以转化为与其对称的对偶问题。而在线性规划早期发展中最重要的发现就是对偶问题，即每一个线性规划问题（称为原始问题）都有一个与它对应的对偶线性规划问题（称为对偶问题）。对偶理论是研究线性规划中原始问题与对偶问题之间关系的理论。不管原问题是否标准，在最优解的单纯型表中，都有原问题虚变量（松弛或剩余）的检验数对应其对偶问题实变量（对偶变量）的最优解，原问题实变量（决策变量）的检验数对应其对偶问题虚变量（松弛或剩余变量）的最优解。

本次记录： 原问题与对偶问题的关系； 强对偶与弱对偶； 引入KKT的原因； 定义一个原问题： 写出拉格朗日： 对偶函数 θ 产生了一个原问题最优值p* 的一个下界，也就是，对于任意的λ>=0 以及 μ 来说，有： 好了，现在证明对偶问题是原问题的下界（假设 x* 是在可行域内）： 也就是说我们找到了原问题最优值的一个下界。既然我们找到了一个下界，显然我们要找到它最好的下界。什么是最好的下界的？显然就是所有下界当中最大的那一个。所以需要对 θ 最大化，即： 以上的对偶性质被称作是弱对偶性。 首先引入一个对偶间隙： p* - d* ，也就是原问题的最优值与通过拉个郎日对偶函数获得的其最好（最大）的下界之差。 那么有没有可能在某种情况下，对偶间隙消失了呢？也就是说对偶问题的最优值与原问题的最优值相等了呢？ 答案是，如果不等式约束 g(x) 满足严格的 < 0，那么可以使得 d* = p* 。 上面这个被称作 slater条件 ，可以证明凸优化问题，如果slater条件满足了，那么可以得到 d*=p* ，slater同时也是原问题可以等价为对偶问题的一个充分条件，该条件 确保了鞍点 的存在。 上述的对偶被称为强对偶。 如果对偶间隙消失，那么我们在证明 θ <= p* 的过程就会变为： 上图中的等号 1 说明原问题的最优点 x* 是使得 L 取得最小值的点 等号2 说明： 上式被称作互补条件，也就是说，只要一个不为0，另一个就必为0！ 这个互补条件在SVM中起到很大的作用，当 g(x) < 0 时，x* 是在可行域内的，这时不等式不起作用，此时 λ = 0。 而λ > 0使的点肯定是可行域边界的点，也就是g(x) = 0 也就是说，只有积极约束才有不为0的对偶变量，而这在支持向量机中有重要作用，原因： svm的约束为： 那么哪些不等式约束对应着不为0的对偶变量呢？显然只有当 d(wx+b) = 1时，这个约束对应的对偶变量才可能不为0，而d(wx+b) = 1同时意味着样本点x是在支持向量上的，也就是说，只有支持向量上的点对应的拉格朗日乘子不为0。 slater条件确保了鞍点的存在，但是无法确保鞍点一定是最优解，所以KKT条件的作用便体现出来。 KKT条件的作用：KKT条件是确保鞍点是原函数最优解的充分条件 KKT可以概括为以下三个条件： 1）最优点x必须满足所有等式及不等式限制条件, 也就是说最优点必须是一个可行解 2）在最优点x, u2207f 必须是 u2207gi 和 u2207hj 的线性组合（α和β是拉格朗日乘子）

这种情况有吗？是不是计算有误？要不比值相同的非基变量各当做换入变量，看看结果

首先，对偶理论和方法是最优化的基本工具，也是整数规划中内容最丰富、应用最广泛的松弛方法之一。在简单的实际问题中，可以利用拉格朗日松弛和对偶产生线性整数规划的界，从而用分支定界法求解规划问题的最优解。 其次，对偶理论中应用最为广泛...

对应的对偶变量无约束，选D

前提是你要得到标准形式问题的正确的，最优的，单纯形表。然后看图其他人提到的的添加人工变量法只是一种在初始基变量不容易找到的情况下常用的方法。类似的还有两阶段法。在应用这一类方法之前都得先学会基础的单纯形法。从最终表中，按照决策对应松弛原则，检验数的相反数就是对偶问题最优解

科学探究的一般方法:对比（比较法)寻找几个事物共同点或不同点的研究方法叫对比,这是一种常用的研究方法.例研究不同色光混合及不同颜料混合；研究蒸发和沸腾的相同点和不同点；研究凸透镜和凹透镜的相同点和不同点.在研究蒸发快慢的决定因素时,在应用控制变量的同时,也采用了对比的方法,比较哪一个蒸发快.2.控制变量法当研究的一个物理量与2个或2个以上的其它物理量有关时,常采用只改变一个物理量,而使其余物理量保持不变,从而得出被研究物理量和改变量的关系.如研究蒸发快慢决定因素；摩擦力大小决定因素；研究压强和压力、受力面积的关系；液体压强和液体密度、深度的关系；浮力大小的决定因素.动能大小和物体质量、速度的关系；重力势能大小和质量、举高高度的关系；物体吸热多少和物质种类、质量、升高温度三者之间的关系；电流和电压及电阻之间的关系；电功和电流、电压、及通电时间的关系.3.等效替代法根据作用效果相同的原理,作用在同一物体上的两个力,我们可以用一个合力来代替它.这种“等效方法”是物理学中常用的研究方法之一,它可使我们将研究的问题得到简化.4.实验推理法（理想化实验）人们常用推理的方法研究物理问题.在研究物体运动状态与力的关系时,伽利略通过如图（甲）所示的实验和对实验结果的推理得到如下结论：运动着的物体,如果不受外力作用,它的速度将保持不变,并且一直运动下去.5.转换法对于看不见,摸不着的东西或不易直接观察认识的问题,我们可以通过它所产生的作用或其他途径来认识它,这是物理学中常用的一种方法—转换法　例：声音是由发声体振动产生的,有些发声体的振动是人眼不易观察的,如用手敲打桌面时听到了声音,但看不到桌面的振动,对于这种问题该采用什么方法来解决呢?.（许多人眼不易观察的振动,我们可以通过它振动引起其他物体的变化来“看”它、“认识”它）,如敲打桌面发声时,可在桌面上放一些泡沫塑料粒子,通过观察塑料粒子的运动情况就可说明桌面在振动.其他类似方法的还有许多.（研究分子的无规则运动,研究磁体周围的磁声,研究电流的效应.）6.模型法①为了研究的需要,把物理实体或物理过程经过科学抽象转化为一定的模型,这种转化忽略了一些次要因素,突出主要因素,所以这种模型叫“假想模型法”又叫“理想模型”.它是物理教学的基础,可使物理教学简单化,形象直观化,又可使具体问题普遍化,便于学生发挥抽象思维、形象思维、发散思维.②建立模型可以帮助人们透过现象,忽略次要因素,从本质认识和处理问题；建立模型还可以帮助人们显示复杂事物及过程,帮助人们研究不易甚到无法直接观察的现象.例如：①研究分子、原子结构时,提出一种结构模型的猜想——原子核式模型（行星模型）；②研究撬棒撬石块时,把撬棒当做是杠杆模型……………………等等.希望我的回答对您有帮助 不同体系或者书本中对科学研究的方法总结也有所不同.

《概率论基础教程》作者:(美)罗斯第1章 组合分析1.1 引言1.2 计数基本法则1.3 排列1.4 组合1.5 多项式系数*1.6 方程的整数解个数小结习题理论习题自检习题第2章 概率论公理化2.1 简介2.2 样本空间和事件2.3 概率论公理2.4 几个简单命题2.5 等可能结果的样本空间*2.6 概率:连续集函数2.7 概率:确信程度的度量小结习题理论习题自检习题第3章 条件概率和独立性3.1 简介3.2 条件概率3.3 贝叶斯公式3.4 独立事件3.5 P(￠jF) 为概率小结习题理论习题自检习题第4章 随机变量4.1 随机变量4.2 离散型随机变量4.3 期望4.4 随机变量函数的期望4.5 方差4.6 伯努利随机变量和二项随机变量4.6.1 二项随机变量的性质4.6.2 计算二项分布函数4.7 泊松随机变量4.8 其他离散型分布4.8.1 几何随机变量4.8.2 负二项分布4.8.3 超几何随机变量4.8.4 3 (Zipf) 分布4.9 随机变量和的期望值4.10 分布函数的性质小结习题理论习题自检习题第5章 连续型随机变量5.1 简介5.2 连续型随机变量的期望和方差5.3 均匀分布的随机变量5.4 正态随机变量5.5 指数随机变量5.6 其他连续型分布5.6.1 Γ分布5.6.2 威布尔分布5.6.3 柯西分布5.6.4 ˉ 分布5.7 随机变量函数的分布小结习题理论习题自检习题第6章 随机变量的联合分布6.1 联合分布函数6.2 独立随机变量6.3 独立随机变量的和6.3.1 均匀分布的随机变量6.3.2 Γ随机变量6.3.3 正态随机变量6.3.4 泊松随机变量和二项随机变量6.3.5 几何随机变量6.4 离散情形下的条件分布6.5 连续情形下的条件分布*6.6 次序统计量6.7 随机变量函数的联合分布*6.8 可交换随机变量小结习题理论习题自检习题第7章 期望的性质7.1 引言7.2 随机变量和的期望*7.2.1 通过概率方法将期望值作为界*7.2.2 关于最大数与最小数的恒等式7.3 试验序列中事件发生次数的矩7.4 协方差、和的方差及相关系数7.5 条件期望7.5.1 定义7.5.2 利用条件计算期望7.5.3 利用条件计算概率7.5.4 条件方差7.6 条件期望及预测7.7 矩母函数7.8 正态随机变量进一步的性质7.8.1 多元正态分布7.8.2 样本均值与样本方差的联合分布7.9 期望的一般定义小结习题理论习题自检习题第8章 极限定理8.1 引言8.2 切比雪夫不等式及弱大数律8.3 中心极限定理8.4 强大数律8.5 其他不等式8.6 用泊松随机变量逼近独立的伯努利随机变量和的概率误差界小结习题理论习题自检习题第9章 概率论的其他课题9.1 泊松过程9.2 马尔可夫链9.3 惊奇、不确定性及熵9.4 编码定理及熵小结理论习题自检习题第10章 模拟10.1 引言10.2 具有连续分布函数的随机变量的模拟技术10.2.1 反变换方法10.2.2 舍取法10.3 模拟离散分布10.4 方差缩减技术10.4.1 利用对偶变量10.4.2 利用“条件”缩减方差10.4.3 控制变量小结习题自检习题

运输问题，一类具有特殊结构的线性规划问题。由于运输问题约束方程组的系数矩阵是完全么模的，即所有的子行列式为0或±1，存在着比单纯形法更简单的特殊解法。

看了很多关于SVM的博客，但是常常只能保存书签之后看，有时候有的博客就突然没了，这里就作为搬运工总结一下之后自己看吧。主要内容来自于： 支持向量机通俗导论（理解SVM的三层境界） 线性回归 给定数据集 , 其中, ,线性回归试图学习到一个线性模型,尽可能地输出正确标记. 如果我们要用线性回归算法来解决一个分类问题,(对于分类,y 取值为 0 或者 1),但如果你使用的是线性回归,那么假设函数的输出值可能远大于 1,或者远小于 0,就算所有训练样本的标签 y 都是 0 或 1但是如果算法得到的值远大于 1 或者远小于 0 的话,就会感觉很奇怪。所以我们在接下来的要研究的算法就叫做逻辑回归算法,这个算法的性质是:它的输出值永远在 0 到 1 之间。 所以逻辑回归就是一个分类算法,这个算法的输出值永远在 0 到 1 之间. 我们先看二分类的LR,具体做法是:利用sigmoid 函数,将每一个点的回归值映射到0,1之间.sigmoid函数特性如下: 如图所示,令 , 当 z > 0 , z 越大, sigmoid 返回值越接近1(但永远不会超过1). 反之,当z < 0时,z 越小, sigmoid 返回值越接近0(但永远不会小于0). 支持向量机 ，因其英文名为support vector machine，故一般简称SVM，通俗来讲，它是一种二类分类模型，其基本模型定义为 特征空间 上的间隔最大的线性分类器，其学习策略便是间隔最大化，最终可转化为一个凸二次规划问题的求解。 线性分类器 给定一些数据点，它们分别属于两个不同的类，现在要找到一个线性分类器把这些数据分成两类。如果用x表示数据点，用y表示类别（y可以取1或者-1，分别代表两个不同的类），一个线性分类器的学习目标便是要在n维的数据空间中找到一个超平面（hyper plane），这个超平面的方程可以表示为（ wT中的T代表转置）： logistic回归目的是从特征学习出一个0/1分类模型，而这个模型是将特性的线性组合作为自变量，由于自变量的取值范围是负无穷到正无穷。因此，使用logistic函数（或称作sigmoid函数）将自变量映射到(0,1)上，映射后的值被认为是属于y=1的概率。 假设函数: 其中x是n维特征向量，函数g就是logistic函数。 图像为： 在超平面w x+b=0确定的情况下，|w x+b|能够表示点x到距离超平面的远近，而通过观察w x+b的符号与类标记y的符号是否一致可判断分类是否正确，所以，可以用(y (w*x+b))的正负性来判定或表示分类的正确性。于此，我们便引出了函数间隔（functional margin）的概念。 定义函数间隔 （用表示）为 而超平面(w，b)关于T中所有样本点(xi，yi)的函数间隔最小值（其中，x是特征，y是结果标签，i表示第i个样本），便为超平面(w, b)关于训练数据集T的函数间隔： 但这样定义的函数间隔有问题，即如果成比例的改变w和b（如将它们改成2w和2b），则函数间隔的值f(x)却变成了原来的2倍（虽然此时超平面没有改变），所以只有函数间隔还远远不够。 事实上，我们可以对法向量w加些约束条件，从而引出真正定义点到超平面的距离--几何间隔（geometrical margin）的概念。 假定对于一个点 x ，令其垂直投影到超平面上的对应点为 x0 ，w 是垂直于超平面的一个向量， 为样本x到超平面的距离，如下图所示： 根据平面几何知识，有 其中||w||为w的二阶范数（范数是一个类似于模的表示长度的概念）， 是单位向量（一个向量除以它的模称之为单位向量）。 又由于x0 是超平面上的点，满足 f(x0)=0，代入超平面的方程 ,可得 ，即 随即让此式 的两边同时乘以 ，再根据 和 ，即可算出 ： 为了得到 的绝对值，令 乘上对应的类别 y，即可得出几何间隔（用 表示）的定义： 从上述函数间隔和几何间隔的定义可以看出：几何间隔就是函数间隔除以||w||，而且函数间隔y (wx+b) = y f(x)实际上就是|f(x)|，只是人为定义的一个间隔度量，而几何间隔|f(x)|/||w||才是直观上的点到超平面的距离。 对一个数据点进行分类，当超平面离数据点的“间隔”越大，分类的确信度（confidence）也越大。所以，为了使得分类的确信度尽量高，需要让所选择的超平面能够最大化这个“间隔”值。这个间隔就是下图中的Gap的一半。 通过由前面的分析可知：函数间隔不适合用来最大化间隔值，因为在超平面固定以后，可以等比例地缩放w的长度和b的值，这样可以使得 的值任意大，亦即函数间隔 可以在超平面保持不变的情况下被取得任意大。但几何间隔因为除上了 ，使得在缩放w和b的时候几何间隔的值 是不会改变的，它只随着超平面的变动而变动，因此，这是更加合适的一个间隔。换言之，这里要找的最大间隔分类超平面中的“间隔”指的是几何间隔。 于是最大间隔分类器（maximum margin classifier）的目标函数可以定义为 同时需满足一些条件，根据间隔的定义，有 回顾下几何间隔的定义 ，可知：如果令函数间隔 等于1（之所以令等于1，是为了方便推导和优化，且这样做对目标函数的优化没有影响），则有 = 1 / ||w||且 ，从而上述目标函数转化成了： 相当于在相应的约束条件 下，最大化这个1/||w||值，而1/||w||便是几何间隔。 据了解， 由于这个问题的特殊结构，还可以通过拉格朗日对偶性（Lagrange Duality）变换到对偶变量 (dual variable) 的优化问题，即通过求解与原问题等价的对偶问题（dual problem）得到原始问题的最优解，这就是线性可分条件下支持向量机的对偶算法，这样做的优点在于：一者对偶问题往往更容易求解；二者可以自然的引入核函数，进而推广到非线性分类问题。 那什么是拉格朗日对偶性呢？简单来讲，通过给每一个约束条件加上一个拉格朗日乘子 ,（Lagrange multiplier），定义拉格朗日函数（通过拉格朗日函数将约束条件融合到目标函数里去，从而只用一个函数表达式便能清楚的表达出我们的问题） 然后令： 容易验证，当某个约束条件不满足时，例如 ，那么显然有 （只要令 即可）。而当所有约束条件都满足时，则最优值为 ，亦即最初要最小化的量。 因此，在要求约束条件得到满足的情况下最小化 ，实际上等价于直接最小化 （当然，这里也有约束条件，就是 ≥0,i=1,…,n） ，因为如果约束条件没有得到满足， 会等于无穷大，自然不会是我们所要求的最小值。 具体写出来，目标函数变成了： 这里用 表示这个问题的最优值，且和最初的问题是等价的。如果直接求解，那么一上来便得面对w和b两个参数，而 又是不等式约束，这个求解过程不好做。不妨把最小和最大的位置交换一下，变成： 交换以后的新问题是原始问题的对偶问题，这个新问题的最优值用 来表示。而且有 ≤ ，在满足某些条件的情况下，这两者相等，这个时候就可以通过求解对偶问题来间接地求解原始问题。 换言之，之所以从minmax 的原始问题，转化为maxmin 的对偶问题，一者因为 是 的近似解，二者，转化为对偶问题后，更容易求解。 下面可以先求L 对w、b的极小，再求L对 的极大。 KKT条件 ≤ 在满足某些条件的情况下，两者等价，这所谓的“满足某些条件”就是要满足KKT条件。 要让两者等价需满足strong duality （强对偶），而后有学者在强对偶下提出了KKT条件，且KKT条件的成立要满足constraint qualifications，而constraint qualifications之一就是Slater条件。所谓Slater 条件，即指：凸优化问题，如果存在一个点x，使得所有等式约束都成立，并且所有不等式约束都严格成立（即取严格不等号，而非等号），则满足Slater 条件。对于此处，Slater 条件成立，所以 ≤ 可以取等号。 一般地，一个最优化数学模型能够表示成下列标准形式： 其中，f(x)是需要最小化的函数，h(x)是等式约束，g(x)是不等式约束，p和q分别为等式约束和不等式约束的数量。 KKT条件的意义：它是一个非线性规划（Nonlinear Programming）问题能有最优化解法的必要和充分条件。 而KKT条件就是指上面最优化数学模型的标准形式中的最小点 x* 必须满足下面的条件： 我们这里的问题是满足 KKT 条件的（首先已经满足Slater条件，再者f和gi也都是可微的，即L对w和b都可导），因此现在我们便转化为求解第二个问题。 也就是说，原始问题通过满足KKT条件，已经转化成了对偶问题。而求解这个对偶学习问题，分为3个步骤：首先要让L(w，b，a) 关于 w 和 b 最小化，然后求对 的极大，最后利用SMO算法求解对偶问题中的拉格朗日乘子。 对偶问题求解的3个步骤 将以上结果代入之前的L： 得到： 具体推导过程是比较复杂的，如下所示： 最后，得到： “倒数第4步”推导到“倒数第3步”使用了线性代数的转置运算，由于ai和yi都是实数，因此转置后与自身一样。“倒数第3步”推导到“倒数第2步”使用了(a+b+c+…)(a+b+c+…)=aa+ab+ac+ba+bb+bc+…的乘法运算法则。最后一步是上一步的顺序调整。 从上面的最后一个式子，我们可以看出，此时的拉格朗日函数只包含了一个变量，那就是 （求出了 便能求出w，和b，由此可见，则核心问题：分类函数 也就可以轻而易举的求出来了）。 上述式子要解决的是在参数上 求最大值W的问题，至于 和 都是已知数。要了解这个SMO算法是如何推导的，请跳到下文第3.5节、SMO算法。 总结 让我们再来看看上述推导过程中得到的一些有趣的形式。首先就是关于我们的 hyper plane ，对于一个数据点 x 进行分类，实际上是通过把 x 带入到 算出结果然后根据其正负号来进行类别划分的。而前面的推导中我们得到: 因此分类函数为： 这里的形式的有趣之处在于，对于新点 x的预测，只需要计算它与训练数据点的内积即可（表示向量内积），这一点至关重要，是之后使用 Kernel 进行非线性推广的基本前提。此外，所谓 Supporting Vector 也在这里显示出来——事实上，所有非Supporting Vector 所对应的系数 都是等于零的，因此对于新点的内积计算实际上只要针对少量的“支持向量”而不是所有的训练数据即可。 为什么非支持向量对应的 等于零呢？直观上来理解的话，就是这些“后方”的点——正如我们之前分析过的一样，对超平面是没有影响的，由于分类完全有超平面决定，所以这些无关的点并不会参与分类问题的计算，因而也就不会产生任何影响了。 回忆一下我们通过 Lagrange multiplier得到的目标函数： 注意到如果 xi 是支持向量的话，上式中红颜色的部分是等于 0 的（因为支持向量的 functional margin 等于 1 ），而对于非支持向量来说，functional margin 会大于 1 ，因此红颜色部分是大于零的，而 又是非负的，为了满足最大化， 必须等于 0 。这也就是这些非Supporting Vector 的点的局限性。 至此，我们便得到了一个maximum margin hyper plane classifier，这就是所谓的支持向量机（Support Vector Machine）。当然，到目前为止，我们的 SVM 还比较弱，只能处理线性的情况，不过，在得到了对偶dual 形式之后，通过 Kernel 推广到非线性的情况就变成了一件非常容易的事情了(通过求解对偶问题得到最优解，这就是线性可分条件下支持向量机的对偶算法，这样做的优点在于：一者对偶问题往往更容易求解；二者可以自然的引入核函数，进而推广到非线性分类问题”)。 事实上，大部分时候数据并不是线性可分的，这个时候满足这样条件的超平面就根本不存在。在上文中，我们已经了解到了SVM处理线性可分的情况，那对于非线性的数据SVM咋处理呢？对于非线性的情况，SVM 的处理方法是选择一个核函数 κ(u22c5,u22c5) ，通过将数据映射到高维空间，来解决在原始空间中线性不可分的问题。 具体来说，在线性不可分的情况下，支持向量机首先在低维空间中完成计算，然后通过核函数将输入空间映射到高维特征空间，最终在高维特征空间中构造出最优分离超平面，从而把平面上本身不好分的非线性数据分开。如图所示，一堆数据在二维空间无法划分，从而映射到三维空间里划分： 而在我们遇到核函数之前，如果用原始的方法，那么在用线性学习器学习一个非线性关系，需要选择一个非线性特征集，并且将数据写成新的表达形式，这等价于应用一个固定的非线性映射，将数据映射到特征空间，在特征空间中使用线性学习器，因此，考虑的假设集是这种类型的函数： 这里u03d5：X->F是从输入空间到某个特征空间的映射，这意味着建立非线性学习器分为两步： 首先使用一个非线性映射将数据变换到一个特征空间F， 然后在特征空间使用线性学习器分类。 而由于对偶形式就是线性学习器的一个重要性质，这意味着假设可以表达为训练点的线性组合，因此决策规则可以用测试点和训练点的内积来表示： 如果有一种方式可以在特征空间中直接计算内积〈φ(xi · φ(x)〉，就像在原始输入点的函数中一样，就有可能将两个步骤融合到一起建立一个非线性的学习器，这样直接计算法的方法称为核函数方法： 核是一个函数K，对所有x，z，满足 ，这里φ是从X到内积特征空间F的映射。 来看个核函数的例子。如下图所示的两类数据，分别分布为两个圆圈的形状，这样的数据本身就是线性不可分的，此时咱们该如何把这两类数据分开呢(下文将会有一个相应的三维空间图)？ 事实上，上图所述的这个数据集，是用两个半径不同的圆圈加上了少量的噪音生成得到的，所以，一个理想的分界应该是一个“圆圈”而不是一条线（超平面）。如果用 和 来表示这个二维平面的两个坐标的话，我们知道一条二次曲线（圆圈是二次曲线的一种特殊情况）的方程可以写作这样的形式： 注意上面的形式，如果我们构造另外一个五维的空间，其中五个坐标的值分别为 ，那么显然，上面的方程在新的坐标系下可以写作： 关于新的坐标 ，这正是一个 hyper plane 的方程！也就是说，如果我们做一个映射 ，将 按照上面的规则映射为 ，那么在新的空间中原来的数据将变成线性可分的，从而使用之前我们推导的线性分类算法就可以进行处理了。这正是 Kernel 方法处理非线性问题的基本思想。 再进一步描述 Kernel 的细节之前，不妨再来看看上述例子在映射过后的直观形态。当然，你我可能无法把 5 维空间画出来，不过由于我这里生成数据的时候用了特殊的情形，所以这里的超平面实际的方程是这个样子的（圆心在 轴上的一个正圆） 因此我只需要把它映射到 ，这样一个三维空间中即可，下图即是映射之后的结果，将坐标轴经过适当的旋转，就可以很明显地看出，数据是可以通过一个平面来分开的 核函数相当于把原来的分类函数： 映射成： 而其中的 可以通过求解如下 dual 问题而得到的： 这样一来问题就解决了吗？似乎是的：拿到非线性数据，就找一个映射

根据影子价格的数学意义，影子价格的数学模型可表述如下：考虑一对对称的对偶问题maxZ=CX minW=YbAX≤b YA≥C （P）s.t. （D）s.t.X≥0 Y≥0设B是问题（P）的最优基,由对偶理论可知,其目标函数的最优值为:Z*=CBB-1b=Y*b =y1* b1+y2*b2+……+yi*bi+……+ym*bm当bi变为bi+1时（其余的右端常数不变，并假设这种变化不影响最优基B），目标函数最优值变为：Z"*= y1* b1+y2*b2+……+ yi*（bi+1）+……+ym*bm则目标函数最优值的改变量为*= Z"*—Z*= yi*由上式可以看出yi*的意义，它表示当端常数bi增加一个单位时所引起的目标函数最优值的改变量，也可以写成 u018fZ* = yi* u018fbi 即 yi*表示 Z*对 bi的变化率，也即为第i个约束条件的影子价格。从以上分析中，可以看出，影子价格即为线性规划对偶模型中对偶变量的最优解，因此计算影子价格，可转化为求对偶问题的最优解Y*= CBB-1，则影子价格可采用以下几种方法计算求解：（1）根据原始单纯形法，直接求对偶问题的解（2）根据对偶单纯形法，直接求对偶问题的解（3）先求原问题的解，然后根据互补松弛定理，求出对偶问题的解： —AX*)=0—C) X*=0

一、线性规划 1. 线性规划具有无界解是指 "C" A.可行解集合无界 B.有相同的最小比值 C. 存在某个检验数 D. 最优表中所有非基变量的检验数非零 2. 线性规划具有唯一最优解是指 "A" A.最优表中非基变量检验数全部非零 B.不加入人工变量就可进行单纯形法计算 C.最优表中存在非基变量的检验数为零 D.可行解集合有界 3. 线性规划具有多重最优解是指 "B" A.目标函数系数与某约束系数对应成比例 B.最优表中存在非基变量的检验数为零 C.可行解集合无界 D.基变量全部大于零 4. 使函数 减少得最快的方向是 "B" A.(－1,1,2) B.(1,－1, －2) C. (1,1,2) D.(－1, －1, －2) 5. 当线性规划的可行解集合非空时一定 "D" A.包含点X=(0,0,···,0) B.有界 C.无界 D.是凸集 6. 线性规划的退化基可行解是指 "B" A.基可行解中存在为零的非基变量 B. 基可行解中存在为零的基变量 C.非基变量的检验数为零 D.所有基变量不等于零 7. 线性规划无可行解是指 "C" A.第一阶段最优目标函数值等于零 B.进基列系数非正 C.用大M 法求解时, 最优解中还有非零的人工变量 D.有两个相同的最小比值 8. 若线性规划不加入人工变量就可以进行单纯形法计算 "B" A. 一定有最优解 B.一定有可行解 C.可能无可行解 D.全部约束是小于等于的形式 9. 设线性规划的约束条件为 "D" 则非退化基本可行解是 A.(2， 0，0， 0) B.(0，2，0，0) C.(1，1，0，0) D.(0，0，2，4) 10. 设线性规划的约束条件为 "C" 则非可行解是 A.(2，0，0， 0) B.(0，1，1，2) C.(1，0，1，0) D.(1，1，0，0) 11. 线性规划可行域的顶点一定是 "A" A.可行解 B. 非基本解 C.非可行 D.是最优解 12. "A" A.无可行解 B.有唯一最优解 C.有无界解 D.有多重最优解 13. "B" A.无可行解 B.有唯一最优解 C.有多重最优解 D.有无界解 14.X 是线性规划的基本可行解则有 "A" A.X 中的基变量非负，非基变量为零 B.X 中的基变量非零，非基变量为零 C. X不是基本解 D.X不一定满足约束条件 15.X 是线性规划的可行解，则错误的结论是 "D" A.X可能是基本解 B. X可能是基本可行解 C.X 满足所有约束条件 D. X是基本可行解 16. 下例错误的说法是 "C" A. 标准型的目标函数是求最大值 B.标准型的目标函数是求最小值 C. 标准型的常数项非正D. 标准型的变量一定要非负 17. 为什么单纯形法迭代的每一个解都是可行解？答：因为遵循了下列规则 "A" A.按最小比值规则选择出基变量 B.先进基后出基规则 C.标准型要求变量非负规则 D.按检验数最大的变量进基规则 18. 线性规划标准型的系数矩阵A m ×n ，要求 "B" A. 秩(A)=m并且m 19. 下例错误的结论是 "D" A. 检验数是用来检验可行解是否是最优解的数 B.检验数是目标函数用非基变量表达的系数 C. 不同检验数的定义其检验标准也不同 D. 检验数就是目标函数的系数 20运筹学是一门 "C" A.定量分析的学科 B.定性分析的学科 C.定量与定性相结合的学科 D.定量与定性相结合的学科，其中分析与应用属于定性分析，建立模型与求解属于定量分析 二、对偶理论（每小题10分，共100分） 1. 如果决策变量数相等的两个线性规划的最优解相同，则两个线性规划 "D" A. 约束条件相同 B.模型相同 C.最优目标函数值相等 D.以上结论都不对 2. 对偶单纯形法的最小比值规划则是为了保证 "B" A.使原问题保持可行 B.使对偶问题保持可行 C. 逐步消除原问题不可行性 D.逐步消除对偶问题不可行性 3. 互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 "A" A. 一个问题具有无界解，另一问题无可行解 B 原问题无可行解，对偶问题也无可行解 C.若最优解存在，则最优解相同 D. 一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解 4.原问题与对偶问题都有可行解，则 "D" A.原问题有最优解，对偶问题可能没有最优解 B.原问题与对偶问题可能都没有最优解 C.可能一个问题有最优解，另一个问题具有无界解 D. 原问题与对偶问题都有最优解 5. 已知对称形式原问题（MAX ) 的最优表中的检验数为（λ1，λ2，... , λn ), 松弛变量的检验 数为（λn+1，λn+2，... , λn+m) ，则对偶问题的最优解为 "C" A. （λ1，λ2，... , λn )B. （λ1，λ2，... , λn )C. （λn+1，λn+2，... , λn+m) D. （λn+1，λn+2，... , λn+m) 6. 互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 "B" A.原问题有可行解，对偶问题也有可行解 B.一个有最优解，另一个也有最优解 C.一个无最优解，另一个可能有最优解 D. 一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解 7. 某个常数b i 波动时，最优表中引起变化的有 "A" A.B －1b B. C.B －1 D.B －1N 8. 某个常数b i 波动时，最优表中引起变化的有 "C" A.检验数 B.C B B －1 C.C B B －1b D.系数矩阵 9. 当基变量x i 的系数c i 波动时，最优表中引起变化的有 "B" A. 最优基B B.所有非基变量的检验数 C.第i 列的系数 10. 当非基变量x j 的系数c j 波动时，最优表中引起变化的有 "C" A.单纯形乘子 B.目标值 C.非基变量的检验数 D. 常数项 三、整数规划（每小题20分，共100分） D.基变量X B 121212121. 线性规划的最优解是（3.25，2.5），它的整数规划的最优解是 "A" max Z =3x +2x ,2x +3x ≤14, x +0.5x ≤4.5, x , x ≥0且为整数对应 A. (4，1) B.(4，3) C.(3，2) D.(2，4) 2. 下列说法正确的是 "D" A. 整数规划问题最优值优于其相应的线性规划问题的最优值 B.用割平面法求解整数规划问题，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解 C. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界，再进行比较剪枝 D. 分枝定界法在处理整数规划问题时，借用线性规划单纯形法的基本思想，在求相应的线性模型解的同时，逐步加入对各变量的整数要求限制，从而把原整数规划问题通过分枝迭代求出最优解。 578x 1-x 4+x 5=333 "C" 3. x 1要求是非负整数，它的来源行是 112x 4-x 5≤-33 B. －x 4-x 5≤-2 C. x 4＋x 5+S ＝2 D. x 4＋x 5－s ＝2 A.3 4. max Z =3x 1+x 2,4x 1+3x 2≤7, x 1+2x 2≤4, x 1, x 2=0或1，最优解是 "D" A.（0, 0） B. （0，1） C. （1，0） D. （1，1） 5 分枝定界法中 "B" a . 最大值问题的目标值是各分枝的下界 b. 最大值问题的目标值是各分枝的上界 c . 最小值问题的目标值是各分枝的上界 d . 最小值问题的目标值是各分枝的下界 e . 以上结论都不对 A. a,b B. b,d C. c,d D. e 四、目标规划（每小题20分，共100分） 2. 下列正确的目标规划的目标函数是 "C" A. max Z＝d －+d + B. max Z＝d －－d + C. min Z＝d －+d + D. min Z＝d －－d + 4. 目标规划 "D" －+min z =p 1(d 1+d 2) +P 2d 3+P 3d 4-- u23a7x 1+x 2+d 1--d 1+u23aa-+u23aax 1+x 2+d 2-d 2u23aa-+x 1+d 3-d 3u23a8-+u23aax +d -d 244u23aa-+u23aax , x , d , d 12i i u23a9=40=60=50=20≥0(i =1, , 4) 的满意解是 A.（50，20） B. （40，0） C. （0，60） D. （50，10） 5 下列线性规划与目标规划之间错误的关系是 "B" A.线性规划的目标函数由决策变量构成，目标规划的目标函数由偏差变量构成 B.线性规划模型不包含目标约束，目标规划模型不包含系统约束 C. 线性规划求最优解，目标规划求满意解 D. 线性规划模型只有系统约束，目标规划模型可以有系统约束和目标约束 E. 线性规划求最大值或最小值，目标规划只求最小值 五、运输问题（每小题10分，共100分） 1. 有6个产地7个销地的平衡运输问题模型的对偶模型具有特征 "B" A 有12个变量 B 有42个约束 C. 有13个约束 D ．有13个基变量 2. 有5个产地4个销地的平衡运输问题 "D" A.有9个变量 B. 有9个基变量 C. 有20个约束 D ．有8个基变量 3. 下列变量组是一个闭回路 "C" A.{x11,x 12,x 23,x 34,x 41,x 13} B.{x21,x 13,x 34,x 41,x 12} C.{x12,x 32,x 33,x 23,x 21,x 11} D.{x12,x 22,x 32,x 33,x 23,x 21} 4. m+n－1个变量构成一组基变量的充要条件是 "B" A.m+n－1个变量恰好构成一个闭回路 B.m+n－1个变量不包含任何闭回路 C.m+n－1个变量中部分变量构成一个闭回路 D.m+n－1个变量对应的系数列向量线性相关 5. 运输问题 "A" A. 是线性规划问题 B. 不是线性规划问题 C.可能存在无可行解 D. 可能无最优解 6. 下列结论正确的有 "A" A 运输问题的运价表第r 行的每个c ij 同时加上一个非零常数k ，其最优调运方案不变 B 运输问题的运价表第p 列的每个c ij 同时乘以一个非零常数k ，其最优调运方案不变 C.运输问题的运价表的所有c ij 同时乘以一个非零常数k, 其最优调运方案变化 D．不平衡运输问题不一定存在最优解 7. 下列说法正确的是 "D" A.若变量组B 包含有闭回路，则B 中的变量对应的列向量线性无关 B.运输问题的对偶问题不一定存在最优解 C. 平衡运输问题的对偶问题的变量非负 D．第i 行的位势u i 是第i 个对偶变量 8. 运输问题的数学模型属于 "C" A.0-1规划模型 B. 整数规划模型 C. 网络模型 D. 以上模型都是 9. 不满足匈牙利法的条件是 "D" A. 问题求最小值 B. 效率矩阵的元素非负C. 人数与工作数相等 D.问题求最大值 10. 下列错误的结论是 "A" A.将指派（分配）问题的效率矩阵每行分别乘以一个非零数后最优解不变 B.将指派问题的效率矩阵每行分别加上一个数后最优解不变 C.将指派问题的效率矩阵每个元素同时乘以一个非零数后最优解不变 D.指派问题的数学模型是整数规划模型 1．线性规划具有唯一最优解是指 A ．最优表中存在常数项为零 C ．最优表中存在非基变量的检验数为零D ．可行解集合有界 2．设线性规划的约束条件为 则基本可行解为 A ．(0, 0, 4, 3) B ．(3, 4, 0, 0)(2, 0, 1, 0) D ．(3, 0, 4, 0) 3．则 ．无可行解 B ．有唯一最优解mednC ．有多重最优解 D ．有无界解 4．互为对偶的两个线性规划 行解X 和Y ，存在关系 A ．Z > W B．Z = W C．Z≥W ．Z≤W 5．有6 个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征 A ．有10个变量24个约束 24个变量10个约束 C ．有24个变量9个约束 D ．有9个基变量10个非基变量 6. 下例错误的说法是 A ．标准型的目标函数是求最大值 B ．标准型的目标函数是求最小值 D ．标准型的变量一定要非负 7. m+n－1个变量构成一组基变量的充要条件是 A ．m+n－1个变量恰好构成一个闭回路m+n－1个变量不包含任何闭回路 Cm+n－1个变量中部分变量构成一个闭回路Dm+n－1个变量对应的系数列向量线性相关 8．互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A ．原问题无可行解，对偶问题也无可行解 C ．若最优解存在，则最优解相同D ．一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解 9. 有m 个产地n 个销地的平衡运输问题模型具有特征 , 对任意可 ．有mn 个变量m+n个约束 …m+n-1个基变量 B ．有m+n个变量mn 个约束 C ．有mn 个变量m+n－1约束D ．有m+n－1个基变量，mn －m －n －1个非基变量 11. 若线性规划无最优解则其可行域无界X 基本解为空 12. 凡基本解一定是可行解X 同19 13. 线性规划的最优解一定是基本最优解X 可能为负 14. 可行解集非空时, 则在极点上至少有一点达到最优值X 可能无穷 15. 互为对偶问题，或者同时都有最优解，或者同时都无最优解 16. 运输问题效率表中某一行元素分别乘以一个常数, 则最优解不变X 17. 要求不超过目标值的目标函数是 18. 求最小值问题的目标函数值是各分枝函数值的下界 19. 基本解对应的基是可行基X 当非负时为基本可行解，对应的基叫可行基 20. 对偶问题有可行解，则原问题也有可行解X 21. 原问题具有无界解，则对偶问题不可行 22.m+n－1个变量构成基变量组的充要条件是它们不包含闭回路 23. 目标约束含有偏差变量 24. 整数规划的最优解是先求相应的线性规划的最优解然后取整得到X 25. 匈牙利法是对指派问题求最小值的一种求解方法 11. × 12. × 13. × 14. × 15. √ 16. × 17. √ 18. √ × 20. × 21. √ 22. √ 23. √ 24. × 25. √ 1．线性规划最优解不唯一是指( ) A ．可行解集合无界 B ．存在某个检验数λk >0 且 C ．可行解集合是空集 ．最优表中存在非基变量的检验数非零 2．则( ) 19. ．无可行解 B ．有唯一最优解 C ．有无界解 D ．有多重解 3．原问题有5个变量3个约束，其对偶问题( ) 有3个变量5个约束 B 有5个变量3个约束C 有5个变量5个约D 有3个变量3个约束 4．有3个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征( ) A ．有7个变量 B ．有12个约束C ．有6约束 ．有6个基变量 5．线性规划可行域的顶点一定是( ) ．基本可行解 B ．非基本解 C ．非可行解 D ．最优解 6．X 是线性规划的基本可行解则有( ) A ．X 中的基变量非零，非基变量为零 B ．X 不一定满足约束条件 X 中的基变量非负，非基变量为零 D ．X 是最优解 7．互为对偶的两个问题存在关系( ) A ．原问题无可行解，对偶问题也无可行解B ． 对偶问题有可行解，原问题也有可行解 C ．原问题有最优解解，对偶问题可能没有最优解．原问题无界解，对偶问题无可行解 8．线性规划的约束条件为 则基本解为( ) A ．(0, 2, 3, 2) (3, 0, －1, 0) C．(0, 0, 6, 5) D ．(2, 0, 1, 2) 9．要求不低于目标值，其目标函数是( ) A ． ． C ． D ． 10．μ是关于可行流f 的一条增广链，则在μ上有( ) A ．对任意 B ．对任意 - D ． . 对任意(i , j ) ∈μ, 有f ij ≥0 11．线性规划的最优解是基本解× 12．可行解是基本解× 13．运输问题不一定存在最优解× 14．一对正负偏差变量至少一个等于零× 15．人工变量出基后还可能再进基× 16．将指派问题效率表中的每一元素同时减去一个数后最优解不变 17．求极大值的目标值是各分枝的上界 18．若原问题具有m 个约束，则它的对偶问题具有m 个变量 19．原问题求最大值，第i 个约束是“≥”约束，则第i 个对偶变量y i ≤0 20．要求不低于目标值的目标函数是min Z =d - 21．原问题无最优解，则对偶问题无可行解× 22．正偏差变量大于等于零，负偏差变量小于等于零× 23．要求不超过目标值的目标函数是min Z =d + 24．可行流的流量等于发点流出的合流 25．割集中弧的容量之和称为割量。 11. × 12.× 13. × 14. × 15 . × 16.× 17. √ 18. √ 19.√ 21. × 22. × 23. √ 24. √ 25. √ 20. √

一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f-1(x) 。反函数y=f -1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f (y)或者y=f-1（x）。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"−1"指的是函数幂，但不是指数幂。设函数y=f(x)的定义域是D，值域是f(D)。如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个y使得g(y)=x，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把该函数称为函数y=f(x)的反函数，记为由该定义可以很快得出函数f的定义域D和值域f(D)恰好就是反函数f-1的值域和定义域，并且f-1的反函数就是f，也就是说，函数f和f-1互为反函数，即：反函数与原函数的复合函数等于x，即：习惯上我们用x来表示自变量，用y来表示因变量，于是函数y=f(x)的反函数通常写成。例如，函数的反函数是。相对于反函数y=f-1(x)来说，原来的函数y=f(x)称为直接函数。反函数和直接函数的图像关于直线y=x对称。这是因为，如果设(a,b)是y=f(x)的图像上任意一点，即b=f(a)。根据反函数的定义，有a=f-1(b)，即点(b,a)在反函数y=f-1(x)的图像上。而点(a,b)和(b,a)关于直线y=x对称，由(a,b)的任意性可知f和f-1关于y=x对称。于是我们可以知道，如果两个函数的图像关于y=x对称，那么这两个函数互为反函数。这也可以看做是反函数的一个几何定义。在微积分里，f (n)(x)是用来指f的n次微分的。若一函数有反函数，此函数便称为可逆的（invertible）。希望我能帮助你解疑释惑。

从经济学的角度来说，对偶变量反映的是对应的原变量的边际效应，即每增加一单位的原变量使目标函数变化的值，当原变量在目标函数取得最优解时没有用完的情况下，原变量的增加不会改变目标函数的值，此时原变量的边际效应为0，即对偶变量为0，这就是强对偶理论。

从经济学的角度来说,对偶变量反映的是对应的原变量的边际效应，即每增加一单位的原变量使目标函数变化的值。当原变量在目标函数取得最优解时没有用完的情况下，原变量的增加不会改变目标函数的值，此时原变量的边际效应为0，即对偶变量为0，这就是强对偶理论。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。设原始问题为min{cx|Ax=b，x≥0}，则其对偶问题为max{yb|yA≤c}。当原始问题的一个基解满足最优性条件时,其检验数cBB-1A-c≤0。即知y＝cBB-1（称为单纯形算子）为对偶问题的可行解。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。扩展资料：设线性规划问题中P问题：min f = c"x ，Ax≥b ，且c"≥0；D问题：max g = y"b， y"A≤c"， 且y"≥0。问题 P和问题D互为对偶问题。其特点如下：目标函数的目标互为相反(max，min)；目标函数的系数是另一个约束条件右端的向量；约束系数矩阵是另一个的约束系数矩阵的转置；约束方程的个数与另一个的变量的个数相等。如果两个三角形的对应顶点的连线相会于一点，则这两个三角形的对应边的交点必定在同一直线上。（如果两个三角形的对应边的交点在同一直线上，则这两个三角形的对应顶点的连线必定相会于一点。）一个六边形的六个顶点在一条二次曲线上，当且仅当，该三对对边的交点在一条线上。（一个六边形的六条边切一条二次曲线，当且仅当，联该三对顶点的线交于一点。）参考资料来源：百度百科-对偶

产销平衡的运输问题对偶变量是什么？产销平衡的运输问题对偶变量反映的是对应的原变量的边际效应,即每增加一单位的原变量使目标函数变化的值,当原变量在目标函数取得最优解时没有用完的情况下,原变量的增加不会改变目标函数的值,此时原变量的边际效应为0,即对偶变量为0,这就是强对偶理论.

比如说卖冰棍,一根赚0.5圆,那你卖的冰棍和你赚的钱之间的关系就是函数关系,自变量就是卖的冰棍数,因变量就是你赚的钱.!!!YOUKNOW???知道了就快给分吧

线性规划模型的对偶性，对线性规划模型理论、求解有着很重要的意义。特别在应用上，线性规划对偶问题的最优解，就是资源的影子价格，它对于线性规划模型的经济分析，用于对经济管理工作的指导起了极为重要的作用。市场价格是已知的，而影子价格则与资源的利用情况有关，利用的好，影子价格就高，反之亦然。影子价格是一种边际价格（对偶变量在经济上表示原问题第i种资源的边际价值） 。影子价格又是一种机会成本。当市场价大于影子价格，卖出资源；当市场价小于影子价格，买入资源，组织生产。影子价格说明了不同资源对总的经济效益产生的影响，因此对企业经营管理提供一些有价值的信息。扩展资料对偶理论则广泛应用于经济分析中。例如，在经济均衡的分析中，可以通过设计优化模型，运用对偶理论和模型体系研究市场均衡及其实现均衡所需要的基本条件。对偶原理在现代数学特别是几何学、代数学、拓扑学等学科中有着广泛的应用，对于推动数学的发展起着很好的作用。举例来讲，在范畴论中，借助于对偶变换（对偶化），由始对象便可得终对象、由单态射得满态射、由核得上核、由积得上积；在同调代数中，由正向极限得反向极限、由内射模得投射模、由内射包得投射包、由投射分解（维数）得内射分解（维数）、由复形得上复形、由双复形得上双复形、由同调得上同调等。参考资料来源：百度百科-对偶参考资料来源：百度百科-对偶问题

线性规划模型的对偶性，对线性规划模型理论、求解有着很重要的意义。特别在应用上，线性规划对偶问题的最优解，就是资源的影子价格，它对于线性规划模型的经济分析，用于对经济管理工作的指导起了极为重要的作用。市场价格是已知的，而影子价格则与资源的利用情况有关，利用的好，影子价格就高，反之亦然。影子价格是一种边际价格（对偶变量在经济上表示原问题第i种资源的边际价值） 。影子价格又是一种机会成本。当市场价大于影子价格，卖出资源；当市场价小于影子价格，买入资源，组织生产。影子价格说明了不同资源对总的经济效益产生的影响，因此对企业经营管理提供一些有价值的信息。扩展资料对偶理论则广泛应用于经济分析中。例如，在经济均衡的分析中，可以通过设计优化模型，运用对偶理论和模型体系研究市场均衡及其实现均衡所需要的基本条件。对偶原理在现代数学特别是几何学、代数学、拓扑学等学科中有着广泛的应用，对于推动数学的发展起着很好的作用。举例来讲，在范畴论中，借助于对偶变换（对偶化），由始对象便可得终对象、由单态射得满态射、由核得上核、由积得上积；在同调代数中，由正向极限得反向极限、由内射模得投射模、由内射包得投射包、由投射分解（维数）得内射分解（维数）、由复形得上复形、由双复形得上双复形、由同调得上同调等。参考资料来源：百度百科-对偶参考资料来源：百度百科-对偶问题

根据互补松弛性很容易得出对偶问题的最优解，将原问题的最优解依次代入原问题的约束条件，如果约束条件为严格不等式则说明对偶问题的该变量非零，如果为不等式则说明对偶问题中该变量为0，把对偶问题写出来，将为0的变量代入可以求出其余的变量。对偶问题的最优解就是原问题松弛变量的检验数的相反数。可以直接读出，根据互补松弛。或者你可以根据原问题写出对偶问题，然后用单纯形法求最优解。扩展资料：对偶问题的最优解：从原始问题的最终单纯形表中（最优单纯形算子）可直接得到对偶问题的最优解。原始问题中松弛变量的检验数对应着对偶问题的解（符号相反）。在用单纯形法时每一步迭代可得到原始问题的可行解x0和对偶问题的补充解y0且cx0=y0b，若x0不是原始问题的最优解，y0就不是对偶问题的可行解。最后一步迭代得到原始问题的最优解x*和对偶问题的补充最优解y*，且cx*=y*b。y*是原始问题的影子价格。把原始的约束问题通过拉格朗日函数转化为无约束问题，如果原始问题求解棘手，在满足KKT的条件下用求解对偶问题来代替求解原始问题，使得问题求解更加容易。参考资料来源：百度百科-对偶理论

线性规划模型的对偶性，对线性规划模型理论、求解有着很重要的意义。特别在应用上，线性规划对偶问题的最优解，就是资源的影子价格，它对于线性规划模型的经济分析，用于对经济管理工作的指导起了极为重要的作用。市场价格是已知的，而影子价格则与资源的利用情况有关，利用的好，影子价格就高，反之亦然。影子价格是一种边际价格（对偶变量在经济上表示原问题第i种资源的边际价值） 。影子价格又是一种机会成本。当市场价大于影子价格，卖出资源；当市场价小于影子价格，买入资源，组织生产。影子价格说明了不同资源对总的经济效益产生的影响，因此对企业经营管理提供一些有价值的信息。扩展资料对偶理论则广泛应用于经济分析中。例如，在经济均衡的分析中，可以通过设计优化模型，运用对偶理论和模型体系研究市场均衡及其实现均衡所需要的基本条件。对偶原理在现代数学特别是几何学、代数学、拓扑学等学科中有着广泛的应用，对于推动数学的发展起着很好的作用。举例来讲，在范畴论中，借助于对偶变换（对偶化），由始对象便可得终对象、由单态射得满态射、由核得上核、由积得上积；在同调代数中，由正向极限得反向极限、由内射模得投射模、由内射包得投射包、由投射分解（维数）得内射分解（维数）、由复形得上复形、由双复形得上双复形、由同调得上同调等。参考资料来源：百度百科-对偶参考资料来源：百度百科-对偶问题

线性规划模型的对偶性，对线性规划模型理论、求解有着很重要的意义。特别在应用上，线性规划对偶问题的最优解，就是资源的影子价格，它对于线性规划模型的经济分析，用于对经济管理工作的指导起了极为重要的作用。市场价格是已知的，而影子价格则与资源的利用情况有关，利用的好，影子价格就高，反之亦然。影子价格是一种边际价格（对偶变量在经济上表示原问题第i种资源的边际价值） 。影子价格又是一种机会成本。当市场价大于影子价格，卖出资源；当市场价小于影子价格，买入资源，组织生产。影子价格说明了不同资源对总的经济效益产生的影响，因此对企业经营管理提供一些有价值的信息。扩展资料对偶理论则广泛应用于经济分析中。例如，在经济均衡的分析中，可以通过设计优化模型，运用对偶理论和模型体系研究市场均衡及其实现均衡所需要的基本条件。对偶原理在现代数学特别是几何学、代数学、拓扑学等学科中有着广泛的应用，对于推动数学的发展起着很好的作用。举例来讲，在范畴论中，借助于对偶变换（对偶化），由始对象便可得终对象、由单态射得满态射、由核得上核、由积得上积；在同调代数中，由正向极限得反向极限、由内射模得投射模、由内射包得投射包、由投射分解（维数）得内射分解（维数）、由复形得上复形、由双复形得上双复形、由同调得上同调等。参考资料来源：百度百科-对偶参考资料来源：百度百科-对偶问题

1、首先要树立科学的精神，学好专业知识，储备好将来报效祖国的本领。2、其次要树立服务的理念，把为人民服务作为一种习惯，使其成为一种人生的态度，通过参加各类志愿服务工作等平台，努力实现自身的价值。3、再次要勇于担当社会责任，通过在校加社团等参与活动，培养自己的责任感。4、我们要学习和弘扬以爱国主义为核心的民族精神和以改革创新为核心的时代精神。一方面以开放的心态,虚心学习世界其他民族的长处,另一方面树立坚定的民族自尊心、自信心和自豪感,自觉维护国家利益和民族尊严。5、坚持马克思主义的指导思想。我们要用马克思主义中国化的最新理论成果武装自己。

根据互补松弛性很容易得出对偶问题的最优解，将原问题的最优解依次代入原问题的约束条件，如果约束条件为严格不等式则说明对偶问题的该变量非零，如果为不等式则说明对偶问题中该变量为0，把对偶问题写出来，将为0的变量代入可以求出其余的变量。对偶问题的最优解就是原问题松弛变量的检验数的相反数。可以直接读出，根据互补松弛。或者你可以根据原问题写出对偶问题，然后用单纯形法求最优解。扩展资料：对偶问题的最优解：从原始问题的最终单纯形表中（最优单纯形算子）可直接得到对偶问题的最优解。原始问题中松弛变量的检验数对应着对偶问题的解（符号相反）。在用单纯形法时每一步迭代可得到原始问题的可行解x0和对偶问题的补充解y0且cx0=y0b，若x0不是原始问题的最优解，y0就不是对偶问题的可行解。最后一步迭代得到原始问题的最优解x*和对偶问题的补充最优解y*，且cx*=y*b。y*是原始问题的影子价格。把原始的约束问题通过拉格朗日函数转化为无约束问题，如果原始问题求解棘手，在满足KKT的条件下用求解对偶问题来代替求解原始问题，使得问题求解更加容易。参考资料来源：百度百科-对偶理论

用线性规则方法计算出来的反映资源最优使用效果的价格。用微积分描述资源的影子价格，即当资源增加一个数量而得到目标函数新的最大值时，目标函数最大值的增量与资源的增量的比值，就是目标函数对约束条件（即资源）的一阶偏导数

根据互补松弛性很容易得出对偶问题的最优解，将原问题的最优解依次代入原问题的约束条件，如果约束条件为严格不等式则说明对偶问题的该变量非零，如果为不等式则说明对偶问题中该变量为0，把对偶问题写出来，将为0的变量代入可以求出其余的变量。对偶问题的最优解就是原问题松弛变量的检验数的相反数。可以直接读出，根据互补松弛。或者你可以根据原问题写出对偶问题，然后用单纯形法求最优解。扩展资料：对偶问题的最优解：从原始问题的最终单纯形表中（最优单纯形算子）可直接得到对偶问题的最优解。原始问题中松弛变量的检验数对应着对偶问题的解（符号相反）。在用单纯形法时每一步迭代可得到原始问题的可行解x0和对偶问题的补充解y0且cx0=y0b，若x0不是原始问题的最优解，y0就不是对偶问题的可行解。最后一步迭代得到原始问题的最优解x*和对偶问题的补充最优解y*，且cx*=y*b。y*是原始问题的影子价格。把原始的约束问题通过拉格朗日函数转化为无约束问题，如果原始问题求解棘手，在满足KKT的条件下用求解对偶问题来代替求解原始问题，使得问题求解更加容易。参考资料来源：百度百科-对偶理论

根据互补松弛性很容易得出对偶问题的最优解！

我刚做了一道考研题，方法相近将原问题最优解代入原约束，判断第几个约束是严格约束，则相应的y=0，对偶问题中响应的约束也省区，其余约束变为等式，然后求解即可。

发表期刊论文80余篇，其中被SCI收录35篇。　　1. 高强, 郭杏林, 扬海天. 遗传算法求解粘弹性反问题. 大连理工大学学报, 40(6): 664-668, 2000. 　　2. Yang HaiTian, Gao Qiang, Guo XingLin, Wu ChengWei. A new algorithm of time stepping in the non-linear dynamic analysis. Communications in Numerical Methods in Engineering, 17(9): 579-611, 2001. 　　3. Yang HaiTian, Gao Qiang, Guo XingLin, Wu RuiFeng. A new algorithm of time stepping in dynamic viscoelastic problems. Applied Mathematics and Mechanics, 22(6): 650-657, 2001. 　　4. Yang HaiTian, Gao Qiang. A precise time stepping scheme to solve hyperbolic and parabolic heat transfer problems with radiative boundary condition. Heat and Mass Transfer, 39(7): 571-577, 2003. 　　5. 林家浩, 高强, 钟万勰. 分层岩层介质中平稳随机地震波传播的精细解法. 岩土力学, 24(5): 677-681, 2003. 　　6. 钟万勰, 林家浩, 高强. 分层介质中非平稳随机波的精细求解. 动力学与控制学报, 1(1): 2-8, 2003. 　　7. Gao Qiang, Zhong WanXie, Howson W P. A precise method for solving wave propagation problems in layered anisotropic media. Wave Motion, 40(3): 191-207, 2004. 　　8. 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Expectation-based approach for one-dimensional randomly disordered phononic crystals. Physics Letters A, online. 　　76. Yu Bo, Yao WeiAn, Gao XiaoWei, Gao Qiang. A combined approach of RIBEM and precise time integration algorithm for solving transient heat conduction problems. Numerical Heat Transfer Part B, 65: 155-173, 2014. 　　77. Yu Bo, Yao WeiAn, Gao Qiang(通讯作者). A precise integration boundary element method for solving transient heat conduction problems with variable thermal conductivity. Numerical Heat Transfer Part B, 45: 472-493, 2014. 　　78. 彭海军, 高强, 吴志刚. 最优轨迹规划方法及其平动点航天器编队均衡耗能重构应用. 计算力学学报, 31(1): 18-24, 2014. 　　79. 毛翎, 姚伟岸, 高强, 钟万勰. 空间各向异性弹性问题的八节点理性单元. 计算力学学报, 31(1): 31-36, 2014. 　　80. Zhang Liang, Gao Qiang, Zhang HongWu. Large displacement analysis of 2-D bimodular structures based on co-rotational approach and parametric variational principle. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 接受. 　　81. Peng HaiJun, Gao Qiang(通讯作者), Zhang HongWu, Wu ZhiGang, Zhong WanXie. Parametric Variational Solution of LQ Optimal Control Problems with Control Inequality Constraints. Applied Mathematics and Mechanics, 接受. 　　82. 毛翎, 姚伟岸, 高强, 钟万勰. 空间各向异性弹性问题的二十节点理性单元. 应用数学和力学, 接受.

通过几十年的发展，潮流算法日趋成熟。近几年，对潮流算法的研究仍然是如何改善传统的潮流算法，即高斯-塞德尔法、牛顿法和快速解耦法。牛顿法，由于其在求解非线性潮流方程时采用的是逐次线性化的方法，为了进一步提高算法的收敛性和计算速度，人们考虑采用将泰勒级数的高阶项或非线性项也考虑进来，于是产生了二阶潮流算法。后来又提出了根据直角坐标形式的潮流方程是一个二次代数方程的特点，提出了采用直角坐标的保留非线性快速潮流算法。对于保留非线性算法典型论文有：1.文献[保留非线性的电力系统概率潮流计算]提出了它在电力系统概率潮流计算中的应用。该文献提出了一种新的概率潮流计算方法，它保留了潮流方程的非线性，又利用了P－Q解耦方法，因而数学模型精度较高，且保留了P－Q解耦的优点，有利于大电网的随机潮流计算，用提出的方法对一个典型的系统进行了计算，其数值用MonteCarlo随机模拟作了验证，得到了满意的结果。2.文献[基于系统分割的保留非线性的快速P-Q解耦潮流计算法]分析研究了保留非线性的P-Q解耦快速潮流计算法。该文献提出了一种新的状态估计算法,既保留了量测方程非线性又利用了快速P-Q分解方法,因此数学模型精度高且保留了快速P-Q分解的优点,提高了状态估计的计算精度和速度.采用系统分割方法将大系统分割为多个小系统,分别对每个小系统进行状态估计,然后对各小系统的状态估计结果进行协调,得到整个系统具有同一参考节点的状态估计结果,这样可大大提高状态估计的计算速度,有利于进行大电网的状态估计.在18节点系统上进行的数字仿真实验验证了该方法的有效性。岩本伸一等提出了一种保留非线性的快速潮流计算法,但用的是直角坐标系,因而没法利用P-Q解耦。为了更有利于大电网的潮流计算,将此原理推广用于P-Q解耦。这样,既利用了保留非线性的快速算法,在迭代中使用常数雅可比矩阵,又保留了P-Q解耦的优点。对于一些病态系统，应用非线性潮流计算方法往往会造成计算过程的振荡或者不收敛，从数学上讲，非线性的潮流计算方程组本来就是无解的。这样，人们提出来了将潮流方程构造成一个函数，求此函数的最小值问题，称之为非线性规划潮流的计算方法。优点是原理上保证了计算过程永远不会发散。如果将数学规划原理和牛顿潮流算法有机结合一起就是最优乘子法。另外，为了优化系统的运行，从所有以上的可行潮流解中挑选出满足一定指标要求的一个最佳方案就是最优潮流问题。最优潮流是一种同时考虑经济性和安全性的电力网络分析优化问题。OPF 在电力系统的安全运行、经济调度、可靠性分析、能量管理以及电力定价等方面得到了广泛的应用。最优潮流方面的典型论文有：1.文献[电力系统最优潮流新算法的研究]以NCP 方法为基础,提出了一种新的求解最优潮流算法——投影渐近半光滑牛顿型算法。该文献以NCP方法为基础，提出了一种新的求解OPF算法——投影渐近半光滑牛顿型算法。针对电力系统的特点，本文的研究工作如下： 1.建立了与OPF问题的KKT系统等价的带界约束的半光滑方程系统。与已有的NCP方法相比，新的模型由于无需考虑界约束对应的对偶变量(乘子变量)，降低了问题的维数，从而适用于解大规模的电力系统问题。 2.基于建立的新模型，本文提出了一类新的Newton型算法，该算法一方面保持界约束的相容性，另一方面有较好的全局与局部超线性收敛性，同时，算法结构简单，易于实现。 3.考虑到电力系统固有的弱耦合特性，受传统解耦最优潮流方法的启示，在所提出的新Newton型方法的基础上，本文又设计了一类分解方法。新方法基于解耦——校正的策略实现算法，不仅充分利用了系统的弱耦合特性，同时保证分解算法在理论上的收敛性。 4.根据所提出的两种算法，用标准的IEEE电力测试系统进行数值实验，并与已有的其他方法进行比较。结果显示新算法具有良好的收敛性和计算效果，在电力系统的规划与运行方面将有广阔的应用前景。2.文献[基于可信域内点法的最优潮流问题研究]介绍了OPF内点法具有收敛性强、多项式时间复杂性等优点，是极具潜力的优秀算法之一。电力系统不断发展，使得OPF算法跻身于极其困难、非凸的大规模非线性规划行列。可信域和线性搜索方法是保证最优化算法全局收敛性能的两类技术，将内点法和可信域、线性搜索方法有机结合，构造新的优化算法，是数学规划领域的研究热点。此方面的典型文献有：1.文献[电力市场环境下基于最优潮流的输电容量充裕度研究]首先以最优潮流为工具,选取系统中的关键线路作为系统输电容量充裕度的研究对象,从电网运行的安全性、可靠性的角度系统地研究了输电线路稳定限额对输电容量充裕度的影响,指出稳定限额因子与影子价格的乘积可直接反应出稳定限额水平的经济价值,同时也可以较好的指示出系统运行相对安全、经济的稳定限额水平区间。2.文献[电力市场环境下基于最优潮流的节点实时电价和购电份额研究]为了为配电公司最优购电模型提供价格参考依据,以发电成本最小为目标函数,考虑电力需求价格弹性的影响,建立了实时电价模型。模型利用预测校正原对偶内点法求解,以IEEE30节点系统为算例验证了模型的可行性。3.文献[电力系统动态最优潮流的模型与算法研究]指出电力系统动态最优潮流是对调度周期内的系统状态进行统一优化的有效工具,对保证电力系统安全经济运行具有重要的理论意义和现实意义。文献结合内点法和免疫遗传算法,对经典动态最优潮流问题和动态无功优化问题的算法进行了深入的研究,提出了新的算法;并建立了含电压稳定约束、含无功型离散变量,以及含机组启停变量的动态最优潮流模型,将新算法推广应用于各种新模型,拓展了动态最优潮流的研究领域。对于一些特殊性质的潮流计算问题有直流潮流计算方法、随机潮流计算方法和三相潮流计算方法。直流潮流计算方法，文献[基于改进布罗伊登法的交直流潮流计算]主要介绍在分析求解非线性方程组的布罗伊登法和一种改进的布罗伊登法的基础上,针对交直流混联系统,运用改进的布罗伊登法,提出了一种潮流计算的统一迭代法,设计了算法的具体实现步骤,并以一个IEEE9节点修改系统进行仿真计算,结果表明本文采用的改进布罗伊登法交直流潮流计算方法有效可行。文献[基于直流潮流和分布因子三母线系统脆性源辨识技术]提出了基于直流潮流和分布因子法相结合,提出了快速找到系统脆性源的方法和步骤。通过对3节点电力系统脆性源的辨识,证明了此方法的有效性。文献[计及双馈风力发电机内部等值电路的电力系统随机潮流计算]研究了含变速恒频双馈式发电机的风电场接入系统后对电压质量的影响,在双馈式发电机简化等值电路的基础上建立了风电场的确定性潮流模型,建立了风力发电机的随机分析模型,并在这二者的基础上运用基于半不变量法的随机潮流进行计算。文献[计及分布式发电的配电系统随机潮流计算]提出了计及分布式发电的配电系统随机潮流计算。

《决疑数学》

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