傅立叶变换的原理是什么？

这个就相当于一个展开问题，从一个域转化成为另一个域，而人看待问题时总喜欢在有限的范围内看到规律，于是就出现各种变换，例如在空域中我们不容易观察出图像的整体结构，那么将其转化到频域后可以看到轮廓和细节所占的比重

冲激函数的傅里叶变换就是个常数，根据不同的傅里叶变换的定义可能是不同的常数(1或者1/2pi之类）

关于傅里叶变换和冲击函数δ(t) 1）根据定义可求得 e^(-αt)ε(t)→1/(α jω) 但是由于 ε(t)→πδ(ω) +1/(jω) 根据频移特性就有 e^(-αt)ε(t)→πδ(ω-αj) +1/(j(ω-αj))=πδ(ω-αj) +1/(α+ jω) 为什么会多出一项呢？ 2） δ(t)的偶次导数是偶函数，奇次导数是奇函数，那么似乎就该有 δ"(t)=-δ"(-t)，于是δ"(0)=0。显然是不对的。有人说奇异函数其实不能算作函数但是我实在弄不明白什么时候它是函数，什么时候又不是。比如δ"(t)，它在t=0处的值是多少呢？还是根本就没有意义？如果它的值没有意义那么为什么这个函数是有用的...

先说一下三个变换的定义，写一下公式（包括逆变换）然后说关系：傅立叶变换是最基本得变换，由傅里叶级数推导出。傅立叶级数只适用于周期信号，把非周期信号看成周期T趋于无穷的周期信号，就推导出傅里叶变换，能很好的处理非周期信号的频谱。但是傅立叶变换的弱点是必须原信号必须绝对可积，因此适用范围不广。拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广，傅立叶变换不适用于指数级增长的函数，而拉氏变换相当于是带有一个指数收敛因子的傅立叶变换，把频域推广到复频域，能分析的信号更广。然而缺点是从拉普拉斯变换的式子中，只能看到变量s，没有频率f的概念，要看幅频响应和相频响应，还得令s=j2πfZ变换的本质是离散时间傅里叶变换（DTFT），如果说拉普拉斯变换专门分析模拟信号，那Z变换就是专门分析数字信号，Z变换可以把离散卷积变成多项式乘法，对离散数字系统能发挥很好的作用。Z变换看系统频率响应，就是令Z在复频域的单位圆上跑一圈，即Z=e^(j2πf)，即可得到频率响应。由于傅里叶变换的特性“时域离散，则频域周期”，因此离散信号的频谱必定是周期的，就是以这个单位圆为周期，Z在单位圆上不停的绕圈，就是周期重复。单位圆0°位置是实际频率0HZ，单位圆180度的实际频率就是采样频率的一般,fs/2.*****************************************************考试题目看分数多少，压轴大题的话，就多写点，自己再展开细化一下，我上面也只是点到为止，但内容基本上就是这些。

x就是x 没有很复杂的我们通常都是吧 指数 对数化成x的幂次方

傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。拉普拉斯变换定义式：设有一时间函数f(t)[0,∞]或0≤t≤∞单边函数其中，S=σ+jω是复参变量，称为复频率。左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcalleft=int_^inftyf(t),e^,dt其中积分下标取0-而不是0或0+，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。希尔伯特变换一物理可实现系统其传递函数为一解析函数，而其冲激响应必为因果函数(即时，冲击响应为0)。也就是说时域的因果性与频域得解析性是等效的。

你百度傅立叶变换公式吧

这是完全两个东西：卷积是一种运算方式，针对线性时不变系统。最基础的应用就是：在时域中，一个输入，卷积上单位冲激响应，就可以得到输出。傅立叶变换的主要作用就是让函数在时域和频域可以相互转化。最显而易见的应用就是：当输入函数和单位冲激响应函数都被转化为频域函数后，两个频域函数直接做乘法（相对于上面说的时域函数的卷积），就可以得到输出的频域函数。最后再反变换回时域，就可以得到输出的时域函数。

时间函数被“积分”，不是“导数”，所以不需要连续性

1的dtft如下：离散时间傅里叶变换（DTFT)即序列的傅里叶变换，在分析信号的频谱，研究离散时间系统的频域特性以及在信号通过系统后的频域的分析时，都是主要的工具。1、正变换序列 x(n) 的离散时间傅里叶变换定义为：由于时域是离散的，故频谱特性一定是周期的。又由于时域 x(n) 是非周期的，则频域一定是以ω为变量的连续函数。2、反变换3、序列傅里叶变换的收敛性 — DTFT的存在条件3.1、一致收敛序列的傅里叶变换可以看成序列的 z 变换在单位圆上的值，即：序列绝对可和是其傅里叶变换存在的充分条件。举个小例子：求矩形序列x(n)=RN(n) 的N点DTFT3.2、均方收敛当序列x(n)不满足绝对可和条件，而是满足以下的平方可和条件：则满足均方收敛条件：序列x(n)能量有限（平方可和）也是其傅里叶变换存在的充分条件。3.3、说明(1)由于若x(n)是绝对可和的，则它一定是平方可和的，但反过来不一定成立。也就是说，一致收敛一定满足均方收敛，而均方收敛不一定满足一致收敛。(2)一致收敛和均方收敛是傅里叶变换存在的充分条件，不满足这两个条件的某些序列引入冲激函数后 ，也可得到它们的傅里叶变换。例如：周期性序列、单位阶跃序列4、离散时间傅里叶变换（DTFT）的主要性质4.1、线性4.2、序列的位移时域的移位对应于频域有一个相位移4.3、乘以指数序列4.4、乘以复指数序列（调制性）4.5、时域卷积定理时域的线性卷积对应于频域的相乘4.6、频域卷积定理时域的加窗（即相乘）对应于频域的周期性卷积并除以2π4.7、序列的线性加权4.8、帕塞瓦定理4.9、序列的翻褶4.10、序列的共轭原文链接：https://blog.csdn.net/shouwangyunkai666/article/details/102476769

用傅里叶级数和傅里叶变换来研究函数的数学方法

傅立叶变换是拉普拉斯变换的一种特例，在拉普拉斯变换中，只要令Re[s]=1,就得到傅立叶变换。当然，两者可以转换的前提是信号的拉普拉斯变换的收敛域要包含单位圆（即包含圆周上的点）。 很多信号都不一定有傅立叶变换，因为狄力克雷条件比较苛刻，而绝大多数信号都有拉普拉斯变换。故对于连续信号，拉普拉斯变换比傅立叶变换用得更广泛。傅立叶变换 中文译名 Transformée de Fourier有多种中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“傅立叶变换”、“付立叶变换”、“富里叶变换”、“富里哀变换”等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。 应用 傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 概要介绍 * 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的（参见：林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为 C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974）。 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; * 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; * 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)). 基本性质 线性性质 两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数f left( x ight )和g left(x ight)的傅里叶变换mathcal[f]和mathcal[g]都存在，α 和 β 为任意常系数，则mathcal[alpha f+eta g]=alphamathcal[f]+etamathcal[g]；傅里叶变换算符mathcal可经归一化成为么正算符； 频移性质 若函数f left( x ight )存在傅里叶变换，则对任意实数 ω0，函数f(x) e^{i omega_ x}也存在傅里叶变换，且有mathcal[f(x)e^{i omega_ x}]=F(omega + omega _0 ) 。式中花体mathcal是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e 为自然对数的底，i 为虚数单位sqrt； 微分关系 若函数f left( x ight )当|x| ightarrowinfty时的极限为0，而其导函数f"(x)的傅里叶变换存在，则有mathcal[f"(x)]=-i omega mathcal[f(x)] ，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 − iω 。更一般地，若f(pminfty)=f"(pminfty)=ldots=f^{(k-1)}(pminfty)=0，且mathcal[f^{(k)}(x)]存在，则mathcal[f^{(k)}(x)]=(-i omega)^ mathcal[f] ，即 k 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子( − iω)k。 卷积特性 若函数f left( x ight )及g left( x ight )都在(-infty,+infty)上绝对可积，则卷积函数f*g=int_{-infty}^{+infty} f(x-xi)g(xi)dxi的傅里叶变换存在，且mathcal[f*g]=mathcal[f]cdotmathcal[g] 。卷积性质的逆形式为mathcal^[F(omega)G(omega)]=mathcal^[F(omega)]*mathcal^[G(omega)] ，即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积。 Parseval定理 若函数f left( x ight )可积且平方可积，则int_{-infty}^{+infty} f^2 (x)dx = frac{2pi}int_{-infty}^{+infty} |F(omega)|^domega 。其中 F(ω) 是 f(x) 的傅里叶变换。 傅里叶变换的不同变种 连续傅里叶变换 主条目：连续傅立叶变换 一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。 f(t) = mathcal^[F(omega)] = frac{sqrt{2pi}} intlimits_{-infty}^infty F(omega) e^{iomega t},domega. 上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。 一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。 当f(t)为奇函数(或偶函数)时,其余弦(或正弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦转换(cosine transform) 或 正弦转换(sine transform). 另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(−ω) = F(ω)*成立. 傅里叶级数 主条目：傅里叶级数 连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的： f(x) = sum_{n=-infty}^{infty} F_n ,e^ , 其中Fn 为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成： f(x) = fraca_0 + sum_{n=1}^inftyleft[a_ncos(nx)+b_nsin(nx) ight], 其中an和bn是实频率分量的振幅。 离散时间傅里叶变换 主条目：离散时间傅里叶变换 离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。 离散傅里叶变换 主条目：离散傅里叶变换 为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn 定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下, 使用离散傅里叶变换，将函数 xn 表示为下面的求和形式： x_n = frac1 sum_{k=0}^ X_k e^{ifrac{2pi} kn} qquad n = 0,dots,N-1 其中Xk是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为mathcal(n^2)，而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为mathcal(n log n)。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。 在阿贝尔群上的统一描述 以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中, 一个变换从一个群变换到它的对偶群(dual group)。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里雅金对偶性（英文版）中的介绍。 时频分析变换 主条目：时频分析变换 小波变换，chirplet转换和分数傅里叶转换试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。 傅里叶变换家族 下表列出了傅里叶变换家族的成员. 容易发现,函数在时(频)域的离散对应于其像函数在频(时)域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性. 变换 时间 频率 连续傅里叶变换 连续, 非周期性 连续, 非周期性 傅里叶级数 连续, 周期性 离散, 非周期性 离散时间傅里叶变换 离散, 非周期性 连续, 周期性 离散傅里叶变换 离散, 周期性 离散, 周期性 傅里叶变换的基本思想首先由法国学者傅里叶系统提出，所以以其名字来命名以示纪念。 从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅立叶变换属于调和分析的内容。"分析"二字，可以解释为深入的研究。从字面上来看，"分析"二字，实际就是"条分缕析"而已。它通过对函数的"条分缕析"来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看，"分析主义"和"还原主义"，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。 在数学领域，也是这样，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇: 1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子; 2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; 3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; 4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; 5. 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT)). 正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换（英文：Laplace Transform)，是工程数学中常用的一种积分变换。 如果定义： f(t),是一个关于t,的函数，使得当t<0,时候，f(t)=0,； s, 是一个复变量； mathcal 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分int_0^infty e^ ,dt；F(s),是f(t),的拉普拉斯变换结果。 则f(t),的拉普拉斯变换由下列式子给出： F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 拉普拉斯逆变换，是已知F(s),，求解f(t),的过程。用符号 mathcal ^ ,表示。 拉普拉斯逆变换的公式是： 对于所有的t>0,； f(t) = mathcal ^ left =frac int_ ^ F(s),e^ ,ds c,是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有F(s),的个别点的实部值。 为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。 用 f(t)表示实变量t的一个函数，F(s)表示它的拉普拉斯变换，它是复变量s＝σ＋j&owega;的一个函数，其中σ和&owega; 均为实变数,j2＝-1。F(s)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定： 如果对于实部σ ＞σc的所有s值上述积分均存在，而对σ ≤σc时积分不存在，便称 σc为f(t)的收敛系数。对给定的实变量函数 f(t)，只有当σc为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上,常称F(s)为f(t)的象函数,记为F(s)＝L[f(t)];称f(t)为F(s)的原函数,记为ft＝L-1[F(s)]。 函数变换对和运算变换性质 利用定义积分，很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对，以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。表1和表2分别列出了最常用的一些函数变换对和运算变换性质。

1,简单的用的话，输入参数为一系列的数据点，例如在MATLAB中，先定义t=0:0.01:1;y=sin(t);dft(y);即输入参数其实是100个数据点值，要求稍微高点的，可以用dft（y，n），n代表采样频率，即采样点数，按照采样定理，采样频率须大于2倍的样本的频率，一般去5倍，根据离散傅里叶的原理，n一般取2的整数立方，可以取256，512，1024等。即便你不取这些数，在系统内部计算时，它也是按照这些数进行采样计算的。2.傅里叶变换就是频谱分析，输出的是对应不同频率该函数的幅值是多少。

我似乎记得听老师说过，傅里叶变换的形式可以有多种，只要正变换和逆变换前面的系数乘起来等于1/2π．我估计那软件用的是，两个变换前面的系数都是1/(√(2π))．我书上的形式，就是两个变换的系数都是根号2π分之一．

①正弦函数傅氏变换成δ函数，即k[ ＋δ(ω＋ωo)－δ(ω－ωo)] 。对应图像第一项令ω＋ω₀＝0，得ω＝-ω₀，-ω₀<0 位于负侧，且＋δ表示向上↑；第二项令ω－ω₀＝0，得ω＝＋ω₀，ω₀>0位于正侧，且－δ表示向下↓，笔者认为这样的图像为正确。但有教材δ式与图像有矛盾:  ω负轴方向δ＝＋δ(ω＋ωo)，但冲激图居然向下；ω正轴方向δ＝－δ(ω－ωo)，但冲激图居然向上。什么缘故？《爱课程》有老师将 F(jω) 取模丨F(jω)丨，二个δ冲激全向上，与余弦函数的傅氏变换相同，这种处理方法亦很好。② 令人欣慰的是:  MMA软件傅氏变换的δ式＋－号与图像是统一的，无逻辑矛盾。δ式振幅是 (左负、右正)，δ图像也是(左↓、右↑)。有兴趣的网友可用MMA试试。

傅立叶变换中的u(t)是单位阶跃函数。傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。中的u(t)是单位阶跃函数。单位阶跃函数的应用单位阶跃函数目前有三种定义，共同之处是自变量取值大于0时，函数值为1；自变量取值小于0时，函数值为0，不同之处是，自变量为0时函数值各不相同。在对梁的弯曲进行研究时，经常要用到弯矩方程。常用的弯矩方程表达式通常是一个分段函数表达式，这给理论研究带来了许多冗繁的工作。通过单位阶跃函数，可以把在集中载荷作用下的分段函数的弯矩方程表达式用一个整体方程表示出来。极大的简化了求弯曲变形的计算工作量，同时还具有一定的理论价值。利用单位阶跃函数可以将多分段函数表示成形式上的单一函数，而且更方便求导数。

1的傅里叶变换是2πδ（t）。傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合，在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换，最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。定义：f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数。且在这些间断点上，函数是有限值，在一个周期内具有有限个极值点绝对可积，称为积分运算f(t)的傅立叶变换。

因为：在阶跃函数的傅里叶变换中存在πδ（ω）冲击函数，这个函数是由于阶跃函数中存在直流分量导致的。直流电的频率ω=0，恰好对应δ（ω）函数在频率ω=0处存在的脉冲。傅立叶变换对有多种定义形式，如果采用下列变换对，即：F（ω）=∫（∞，-∞）f（t）e^（-iωt）dtf（t）=（1/2π）∫（∞，-∞）F（ω）e^（iωt）dω。令：f（t）=δ（t）∫（∞，-∞）δ（t）e^（-iωt）dt=1而上式的反变换：（1/2π）∫（∞，-∞）1e^（iωt）dt=δ（t）//：Diracδ（t）函数；从而得到常数1的傅里叶变换等于：2πδ（t）。从傅里叶积分变换角度看第二种定义来得更自然，它正好可以用“符号函数与1之和”再除2来定义，而且计算逆傅里叶变换时我们必须用到这个定义。如果考虑半域问题，例如Laplace积分变换，即可以采用第一种定义，也可以采用第三种定义或 H(x) = 1/2(1+sgn(x))。

1、离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，缩写为DFT），是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其DTFT的频域采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作其周期延拓的变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换计算DFT。 2、离散傅里叶变换的变换对：对于N点序列，它的离散傅里叶变换（DFT）为其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。通常以符号表示这一变换，即离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：可以记为：实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面的归一化系数并不重要。在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为1 和1/N。有时会将这两个系数都改成。

1，δ(t)函数的傅里叶变换等于常数；反过来常数的傅里叶变换等于δ(t)函数，它们之间的变换关系具有对称性。2，傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。3，在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。定义介绍：f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛。和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换。F(ω)叫做f(t)的像函数，f(t)叫做F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。

在地球物理数据处理中，经常遇到处理二维实数据的情况。例如在地震勘探中，对面波勘探数据作频散分析解释时，要将时间－空间域的信息转换为频率－波数域频谱；在重磁异常的滤波或转换中，要将空间域的异常f（x，y）转换为波数域F（ω，υ）等。这些分析都需要进行二维的傅里叶变换（FFT）。根据傅里叶变换的定义，对于连续二维函数f（x，y），其傅里叶变换对为地球物理数据处理基础对于离散的二维序列fjk（j＝0，1，…，M－1；k＝0，1，…，N－1），其傅里叶变换为地球物理数据处理基础1.二维复序列的FFT算法对于M条测线，每条测线N个测点，构成复序列yjk（j＝0，1，…，M－1；k＝0，1，…，N－1），根据离散傅里叶公式（8－41），其傅里叶变换为地球物理数据处理基础于是，可以分两步套用一维复FFT完成二维复FFT的计算。（1）沿测线方向计算对于j＝0，1，…，M－1逐测线套用一维复FFT，执行式（8－43）。定义复数组 则算法为1）对于j＝0，1，…，M－1，作2）～7）；2）将yjk输入A1（k），即A1（k）＝yjk（k＝0，1，…，N－1）；3）计算Wr，存入W（r），即 4）q＝1，2，…，p（p＝log2N），若q为偶数执行6），否则执行5）；5）k＝0，1，2，…，（2p－q－1）和n＝0，1，2，…，（2q－1－1）循环，作A2（k2q＋n）＝A1（k2q－1＋n）＋A1（k2q－1＋n＋2p－1）A2（k2q＋n＋2q－1）＝［A1（k2q－1＋n）－A1（k2q－1＋n＋2p－1）］·W（k2q－1）至k，n循环结束；6）k＝0，1，2，…，（2p－q－1）和n＝0，1，2，…，（2q－1－1）循环，作A1（k2q＋n）＝A2（k2q－1＋n）＋A2（k2q－1＋n＋2p－1）A1（k2q＋n＋2q－1）＝［A2（k2q－1＋n）－A2（k2q－1＋n＋2p－1）］·W（k2q－1）至k，n循环结束；7）q循环结束，若p为偶数，将A1（n）输入到Yjn，否则将A2（n）输入到Yjn（n＝0，1，…，N－1）；8）j循环结束，得到Yjn（j＝0，1，…，M－1；n＝0，1，…，N－1）。（2）垂直测线方向计算对于n＝0，1，…，N－1逐一套用一维复FFT，执行式（8－44）。即1）对于n＝0，1，…，N－1，作2）～7）；2）将Yjn输入A1（j），即A1（j）＝Yjn（j＝0，1，…，M－1）；3）计算Wr存入W（r），即 4）q＝1，2，…，p（p＝log2M），若q为偶数执行6），否则执行5）；5）j＝0，1，2，…，（2p－q－1）和m＝0，1，2，…，（2q－1－1）循环，作A2（j2q＋m）＝A1（j2q－1＋m）＋A1（j2q－1＋m＋2p－1）A2（j2q＋m＋2q－1）＝［A1（j2q－1＋m）－A1（j2q－1＋m＋2p－1）］·W（j2q－1）至j，m循环结束；6）j＝0，1，2，…，（2p－q－1）和m＝0，1，2，…，（2q－1－1）循环，作 A1（j2q＋m）＝A2（j2q－1＋m）＋A2（j2q－1＋m＋2p－1） A1（j2q＋m＋2q－1）＝［A2（j2q－1＋m）－A2（j2q－1＋m＋2p－1）］·W（j2q－1）至j，m循环结束；7）q循环结束，若p为偶数，将A1（m）输入到Ymn，否则将A2（m）输入到Ymn（m＝0，1，…，M－1）；8）n循环结束，得到二维复序列的傅氏变换Ymn（m＝0，1，…，M－1；n＝0，1，…，N－1），所求得的Ymn是复数值，可以写为Ymn＝Rmn＋iImn （m＝0，1，…，M－1；n＝0，1，…，N－1）其中，Rmn，Imn的值也是已知的。2.二维实序列的FFT算法对于二维的实序列，我们把其看作是虚部为零的复序列，套用上述的二维复序列FFT方法来求其频谱算法上也是可行的，但势必会增加大量的无功运算。因此，有必要研究二维实序列FFT的实用算法，同一维实序列FFT的实现思路一样，同样把二维实序列按一定的规律构造成二维复序列，调用二维复序列FFT，然后通过分离和加工得到原实序列的频谱。例如采样区域有2 M条测线，每条测线有N个点，并且M，N都是2的整数幂，需要计算实样本序列xjk（j＝0，1，2，…，2 M－1；k＝0，1，2，…，N－1）的傅氏变换：地球物理数据处理基础类似于一维实序列FFT的思想，直接建立下面的二维实序列FFT算法：（1）将一个二维实序列按偶、奇线号分为两个二维子实序列，分别作为实部和虚部组合为一个二维复序列。即令地球物理数据处理基础（2）调用二维复FFT过程，求出yjk的二维傅氏变换Ymn的复数值：地球物理数据处理基础式中：Rmn，Imn是Ymn的实部和虚部。（3）利用Rmn，Imn换算Xmn的值。前两步容易实现，下面分析第（3）步的实现。记hjk，gjk的傅氏变换为Hmn，Gmn。根据傅里叶变换的定义，我们导出Xmn与Hmn，Gmn的关系式：地球物理数据处理基础式中，Hmn，Gmn为复数，我们用上标r和i表示其实部和虚部，将上式右端实部、虚部分离地球物理数据处理基础其中：地球物理数据处理基础下面的任务是将Hmn，Gmn各分量与通过二维复FFT求出的Rmn，Imn值联系起来。为此先给出奇、偶分解性质和类似于一维情况的三个二维傅氏变换性质：（1）奇偶分解性任何一个正负对称区间定义的函数，均可唯一地分解为如下偶（even）、奇（odd）函数之和：地球物理数据处理基础（2）周期性地球物理数据处理基础（3）复共轭性地球物理数据处理基础现在我们来建立Rmn，Imn与Hmn，Gmn的关系。对Ymn作奇偶分解：地球物理数据处理基础根据线性性质地球物理数据处理基础对照式（8－54）和式（8－55），得地球物理数据处理基础由于hjk，gjk是实函数，根据复共轭性质，上面两式对应的奇偶函数相等。即地球物理数据处理基础再由奇偶分解性和周期性，得地球物理数据处理基础将式（8－57）代入式（8－50），得地球物理数据处理基础再利用Hmn，Gmn周期性及复共轭性，可以得到m＝M/2＋1，…，M－1；n＝0，1，…，N－1的傅氏变换，即地球物理数据处理基础将式（8－50）中M，N改为M－m，N－n，并将上式代入，得地球物理数据处理基础由式（8－58）、式（8－59）和式（8－61）即可得到原始序列xjk（j＝0，1，…，2M－1；n＝0，1，…，N－1）在m＝0，1，…，M－1；n＝0，1，…，N－1区间的傅氏变换Xmn。具体二维实序列的FFT算法如下：（1）令hjk＝x2j，k，gjk＝x2j＋1，k，形成yjk＝hjk＋igjk （j＝0，1，…，2 M－1；n＝0，1，…，N－1）（2）调用二维复序列FFT过程，即从两个方向先后调用一维复FFT算法式（8－43）和式（8－44），求得yjk的二维傅氏变换Ymn的复数值：Ymn＝Rmn＋iImn （m＝0，1，…，M－1；n＝0，1，…，N－1）（3）用下列公式由Rmn，Imn的值换算Xmn的值：地球物理数据处理基础地球物理数据处理基础

第1篇 MATLAB入门篇第1章 MATLAB概述 21.1 MATLAB的发展历程 21.2 MATLAB的优势与特点 21.3 MATLAB系统的构成 41.4 MATLAB桌面操作环境 51.4.1 启动和退出 51.4.2 主菜单及功能 61.4.3 命令窗口 91.4.4 工作空间 111.4.5 M文件编辑/调试器 131.4.6 Figure窗口 141.4.7 文件管理 161.4.8 使用帮助 161.5 MATLAB的工具箱 171.6 小结 18第2章 MATLAB基本运算 192.1 MATLAB数据类型 192.2 数组及其运算 212.2.1 数组的创建 212.2.2 数组的运算 222.3 矩阵及其运算 242.3.1 矩阵的创建 242.3.2 矩阵的运算 252.4 复数及其运算 272.4.1 复数的表示 272.4.2 复数的绘图 282.4.3 复数的操作函数 292.5 符号运算 302.5.1 符号运算概述 302.5.2 常用的符号运算 322.6 关系运算和逻辑运算 342.7 小结 34第3章 MATLAB程序设计 353.1 程序设计概述 353.2 程序设计的基本原则 363.3 M文件 373.4 程序流程控制 393.5 函数及调用 423.5.1 函数类型 423.5.2 函数参数传递 453.6 函数句柄 493.7 程序调试 513.7.1 常见程序错误 513.7.2 调试方法 533.7.2 调试工具 543.7.3 M文件分析工具 573.7.4 Profiler分析工具 583.8 程序设计技巧 593.8.1 嵌套计算 603.8.2 循环计算 613.8.3 使用异常处理机制 613.8.4 使用全局变量 633.8.5 通过varargin传递参数 653.9 小结 66第4章 MATLAB图形绘制 674.1 MATLAB中绘图的基本步骤 674.2 在工作空间直接绘图 674.3 利用绘图函数绘图 684.3.1 二维图形 694.3.2 三维图形 694.4 特殊图形绘制 714.4.1 直方图 724.4.2 柱状图 734.4.3 面积图 744.4.4 饼图 754.4.5 火柴杆图 764.4.6 阶梯图 774.4.7 等高线图 784.4.8 向量图 794.4.9 圆柱体图 814.4.10 球面图 824.5 图形修饰 834.6 小结 85第5章 MATLAB图像处理基础 865.1 MATLAB图像文件的格式 865.2 图像类型 865.2.1 索引图像 875.2.2 灰度图像 885.2.3 RGB图像 895.2.4 二值图像 905.2.5 图像类型转换 915.2.6 图像序列 925.3 MATLAB中的颜色模型 925.3.1 颜色模型的分类 935.3.2 颜色模型的转换 945.4 图像处理基本函数 955.4.1 图像读入和显示 965.4.2 图像写回 975.4.3 获取图像信息 985.5 标准图像显示技术 995.5.1 imshow函数 1005.5.2 显示灰度图像 1005.5.3 显示二值图像 1015.5.4 显示索引图像 1025.5.5 显示真彩图像 1025.5.6 显示图形文件中的图像 1025.6 特殊图像显示技术 1035.6.1 添加颜色条 1035.6.2 显示多帧图像阵列 1035.6.3 图像上的区域缩放 1035.6.4 纹理映射 1045.6.5 同时显示多幅图像 1045.7 小结 104第2篇 图像处理提高篇第6章 图像的运算 1066.1 图像的代数运算 1066.1.1 图像的加运算 1066.1.2 图像的减运算 1076.1.3 图像的乘运算 1086.1.4 图像的除运算 1086.1.5 图像的一般线性运算 1096.2 图像的逻辑运算 1106.3 图像的块和邻域处理 1116.3.1 滑动邻域操作 1116.3.2 分离块操作 1126.3.3 使用列处理加快速度 1146.4 图像的几何运算 1166.4.1 图像的插值 1166.4.2 图像的缩放 1176.4.3 图像的旋转 1176.4.4 图像的裁剪 1196.4.5 图像的一般线性变换 1206.5 小结 121第7章 图像的变换 1227.1 傅里叶变换 1227.1.1 傅里叶变换的定义 1227.1.2 傅里叶变换的快速实现 1247.1.3 傅里叶变换的应用 1267.2 离散余弦变换（DCT） 1287.2.1 二维离散余弦变换的定义 1287.2.2 DCT变换矩阵 1297.2.3 DCT的实现和图像压缩 1297.3 Radon变换 1317.3.1 Radon变换的定义 1317.3.2 使用Radon变换检测直线 1337.3.3 逆Radon变换 1347.4 小结 135第8章 图像的增强 1368.1 灰度变换增强 1368.1.1 图像直方图的含义 1368.1.2 直方图均衡化 1378.1.3 灰度值调整到指定范围 1388.1.4 有限对比自适应直方图8.1.4 均衡化 1408.1.5 使用去相关进行色度拉伸 1418.2 线性滤波器设计 1428.2.1 卷积 1428.2.2 相关 1438.2.3 imfilter函数用于滤波 1448.2.4 使用预定义的滤波器对8.2.4 图像滤波 1488.3 空间域滤波增强 1498.3.1 图像加入噪声 1498.3.2 中值滤波器 1508.3.3 自适应滤波器 1518.4 频域滤波增强 1528.4.1 频率变换方法 1528.4.2 频率抽样法 1538.4.3 窗函数法 1548.4.4 创建所需的频率响应矩阵 1568.4.5 计算滤波器的频率响应 1578.5 小结 157第9章 图像的分析 1589.1 像素值和图像统计量 1589.1.1 获取像素值 1589.1.2 创建图像强度曲线 1599.1.3 显示图像数据的等值线图 1619.1.4 图像的统计信息 1629.1.5 图像的局部属性 1639.2 图像的边界分析 1669.2.1 边缘检测 1669.2.2 边界跟踪 1689.2.3 使用hough变换检测图像9.2.3 中的直线 1719.3 四叉树分解 1729.4 图像的纹理分析 1749.4.1 纹理分析的函数 1749.4.2 使用灰度共生矩阵 1769.5 小结 178第10章 图像的复原 17910.1 图像的退化 17910.1.1 图像退化的原因 17910.1.2 图像退化的数学模型 17910.1.3 图像的噪声 18110.2 图像复原的模型和方法分类 18210.2.1 图像的复原模型 18310.2.2 无约束复原方法 18310.2.3 有约束复原方法 18410.2.4 复原方法的评估 18410.3 图像的复原方法 18410.3.1 维纳滤波 18510.3.2 规则化滤波 18610.3.3 Lucy-Richardson滤波 18810.3.4 盲反卷积 18910.4 点扩散函数和光学转换函数10.4 的互相转化 19010.5 小结 191第11章 图像的形态学操作 19211.1 膨胀和腐蚀 19211.1.1 理解膨胀和腐蚀 19211.1.2 处理图像边界的像素 19311.1.3 理解结构元素 19311.1.4 图像膨胀 19711.1.5 图像腐蚀 19911.1.6 膨胀和腐蚀组合 20111.1.7 以膨胀和腐蚀为基础的11.1.6 其他操作 20311.2 数学形态学重建 20711.2.1 理解标记图像和掩膜图像 20711.2.2 像素连通性 20811.2.3 填充操作 21011.2.4 寻找最大值和最小值 21111.3 距离变换 21711.4 对象的标记和测量 22011.4.1 连通区域的标记 22111.4.2 选择二值图像中的对象 22211.4.3 计算二值图像中前景11.4.3 的面积 22311.4.4 计算二值图像的欧拉数 22411.5 查表操作 22411.5.1 创建一个查询表 22411.5.2 使用查询表 22511.6 小结 225第12章 彩色图像处理 22612.1 减少彩色图像中的色彩数 22612.1.1 使用色彩近似 22612.1.2 使用imapprox函数 23012.1.3 抖动 23112.2 色彩空间转换 23112.3 小结 236第3篇 综合实战篇第13章 MATLAB图像重构实战 238第14章 MATLAB图像增强实战 24314.1 对比度增强 24314.2 纠正不均匀的照明 25014.3 多分辨率彩色图像增强 25414.4 小结 259第15章 MATLAB图像配准实战 260第16章 MATLAB图像去模糊第16章 实战 264第17章 MATLAB图像分割实战 27217.1 基于L*a*b*空间的色彩17.1 分割 27217.2 利用图像分割来检测细胞 27917.3 检测交通视频中的汽车17.3 目标 28217.4 在多分辨率图像中检测17.4 植被 28517.5 分水岭分割算法 28917.6 使用纹理滤波器分割图像 29517.7 小结 298第18章 MATLAB图像特征提取第18章 实战 29918.1 计算运动中单摆的长度 29918.2 粒度测定 30218.3 确定圆形目标 30518.4 测量角度 30718.5 灰度图像的属性测量 31018.6 磁带滚动轴半径的测量 31318.7 小结 316附录 MATLAB图像处理工具箱附录 函数详解 317实例目录第2章 MATLAB基本运算 19例2-1 元胞数组创建与显示实例。 20例2-2 数组创建实例。 22例2-3 数组运算。 23例2-4 矩阵创建实例。 24例2-5 特殊矩阵生成函数使用实例。 25例2-6 矩阵基本运算实例。 26例2-7 矩阵函数运算实例。 26例2-8 矩阵分解运算函数使用实例。 26例2-9 复数构造实例。 27例2-10 复数矩阵构造实例。 28例2-11 复数函数绘图实例。 29例2-12 符号表达式创建实例。 31例2-13 微积分的符号运算实例。 33例2-14 常微分方程符号运算实例。 33第3章 MATLAB程序设计 35例3-1 M文件创建实例。 38例3-2 return语句使用实例。 41例3-3 匿名函数创建实例。 43例3-4 显示函数输入和输出参数的例3-4 数目实例。 46例3-5 可变数目的参数传递实例。 47例3-6 函数内部的输入参数修改实例。 48例3-7 函数参数传递实例。 48例3-8 全局变量使用实例。 49例3-9 函数句柄创建和调用实例。 50例3-10 处理函数句柄的函数使用实例。 50例3-11 嵌套计算与直接求值的例3-11 比较实例。 60例3-12 嵌套计算与非嵌套计算的例3-12 比较实例。 60例3-13 异常处理机制使用实例。 62例3-14 nargin函数应用实例。 63例3-15 全局变量使用实例。 64例3-16 通过varargin传递参数的实例。 65第4章 MATLAB图形绘制 67例4-1 工作空间直接作图法使用实例。 68例4-2 二维图形绘制实例。 69例4-3 三维曲线绘制函数使用实例。 70例4-4 三维网格曲面图绘制实例。 70例4-5 阴影曲面绘制函数surf使用实例。 71例4-6 直方图绘制函数hist使用实例。 72例4-7 玫瑰图绘制函数rose使用实例。 72例4-8 柱状图绘制函数bar使用实例。 73例4-9 三维柱状图函数使用实例。 73例4-10 面积图绘制函数area使用实例。 74例4-11 饼图绘制函数pie使用实例。 75例4-12 绘制饼图应用实例。 75例4-13 火柴杆图绘制函数stem例4-13 使用实例。 76例4-14 stem3函数绘图应用实例。 76例4-15 阶梯图绘制函数stairs使用实例。 77例4-16 等高线图绘制函数contour例4-16 使用实例。 78例4-17 三维等高线绘制应用实例。 78例4-18 罗盘图绘制函数compass例4-18 使用实例。 79例4-19 羽毛图绘制函数feather例4-19 使用实例。 80例4-20 向量场图绘制函数quiver例4-20 使用实例。 81例4-21 圆柱体绘制函数cylinder例4-21 使用实例。 82例4-22 球面绘制函数sphere使用实例。 82例4-23 绘图命令使用实例。 84第5章 MATLAB图像处理基础 86例5-1 索引图像及颜色表说明实例。 88例5-2 灰度图像显示。 88例5-3 RGB图像显示。 90例5-4 gray2ind函数应用实例。 92例5-5 rgb2hsv函数应用实例。 95例5-6 图像读入及显示应用实例。 96例5-7 图像写回命令应用实例。 97例5-8 图像信息查询函数应用实例一。 99例5-9 图像信息查询函数应用实例二。 99例5-10 显示灰度图像的函数应用实例。 101例5-11 二值图像显示应用实例。 101第6章 图像的运算 106例6-1 图像的加运算。 106例6-2 图像的减运算。 107例6-3 图像的乘运算。 108例6-4 图像的除运算。 109例6-5 图像的一般线性运算。 109例6-6 图像的逻辑运算。 110例6-7 滑动邻域操作。 112例6-8 分离块操作。 114例6-9 列处理操作。 115例6-10 图像的插值。 116例6-11 图像的缩放。 117例6-12 图像的旋转。 118例6-13 图像的交互式裁剪。 119例6-14 图像的参数式裁剪。 119例6-15 图像的一般线性变换。 120第7章 图像的变换 122例7-1 二维傅里叶变换函数的使用。 125例7-2 高斯低通滤波器的频率响应。 126例7-3 傅里叶变换应用于快速卷积。 127例7-4 确定图像特征的位置。 127例7-5 离散余弦变换和逆变换。 129例7-6 DCT用于图像压缩示例。 130例7-7 两个方向的Radon变换。 132例7-8 在一幅图像中显示不同方向的例7-8 Radon变换。 133例7-9 使用Radon变换来检测直线。 133例7-10 逆Radon变换重建图像。 135第8章 图像的增强 136例8-1 直方图的显示。 136例8-2 直方图均衡化。 137例8-3 调整灰度范围。 138例8-4 imadjust函数用于展现例8-4 图像的细节。 139例8-5 用stretchlim函数确定映射例8-5 的灰度。 139例8-6 gamma校正。 140例8-7 有限对比自适应直方图均衡化。 141例8-8 简单的去相关拉伸操作。 141例8-9 均值滤波。 145例8-10 不同的填充选项对比。 147例8-11 对真彩色图像滤波。 147例8-12 不同的滤波器对图像进行滤波。 148例8-13 在图像中加入不同的噪声。 150例8-14 中值滤波和均值滤波对比。 151例8-15 wiener2函数自适应滤波。 152例8-16 一维滤波器转化为二维滤波器。 153例8-17 用频率抽样法设计二维带例8-17 通滤波器。 153例8-18 fwind1函数产生二维滤波器。 154例8-19 fwind2函数产生二维滤波器。 155例8-20 理想低通圆形滤波器。 156例8-21 利用freqz2函数计算频率响应。 157第9章 图像的分析 158例9-1 返回指定点坐标的像素值。 158例9-2 交互式获取像素值。 159例9-3 返回指定坐标的图像强度曲线。 160例9-4 交互式获取图像像素强度曲线。 160例9-5 真彩色图像的像素强度曲线。 161例9-6 显示等值线。 162例9-7 计算图像的统计信息。 163例9-8 求图像区域的质心。 165例9-9 边缘检测。 168例9-10 利用bwtraceboundary函数例9-10 跟踪边界。 169例9-11 利用bwboundaries函数跟踪例9-11 外部边界。 170例9-12 利用bwboundaries函数检测外部例9-12 边界和内部边界。 170例9-13 利用hough变换检测图像例9-13 中的直线。 171例9-14 矩阵四叉树分解。 173例9-15 图像的四叉树分解。 173例9-16 计算图像的局部最大差值。 175例9-17 计算图像的局部标准差。 175例9-18 计算图像的局部熵。 176例9-19 计算矩阵的灰度共生矩阵。 177例9-20 计算灰度共生矩阵的统计量。 178第10章 图像的复原 179例10-1 图像的模糊。 180例10-2 维纳滤波复原图像。 185例10-3 规则化复原图像。 187例10-4 Lucy-Richardson方法复原图像。 188例10-5 盲反卷积恢复图像。 190例10-6 点扩散函数和光学转换函数的例10-6 互相转化。 191第11章 图像的形态学操作 192例11-1 二值图像的膨胀。 198例11-2 灰度图像的膨胀。 198例11-3 灰度图像的膨胀（图像先取例11-3 反后膨胀）。 199例11-4 二值图像的腐蚀。 200例11-5 灰度图像的腐蚀。 200例11-6 二值图像的开运算。 201例11-7 利用imopen函数进行开运算。 202例11-8 二值图像的关运算。 202例11-9 图像的骨架提取。 203例11-10 图像的边缘检测。 204例11-11 击中击不中操作。 205例11-12 对图像进行top-hat滤波。 206例11-13 使用top-hat和bottom-hat例11-13 滤波对图像进行增强。 206例11-14 对图像进行孔洞填充。 211例11-15 确定图像的局部极小值。 214例11-16 计算简单图像的欧氏距离。 218例11-17 二维情况下使用不同的距离例11-17 变换函数求取距离 219例11-18 三维情况下使用不同的距离例11-18 变换函数求距离。 220例11-19 对象的选择。 223例11-20 计算前景面积增加的比例。 223例11-21 计算二值图像的欧拉数。 224例11-22 使用查询表操作。 225第12章 彩色图像处理 226例12-1 颜色查找表映射。 230例12-2 使用imapprox函数减少例12-2 色彩数。 230例12-3 使用抖动创建图像。 231例12-4 从NTSC空间转换到例12-4 RGB空间。 233例12-5 RGB空间和YCbCr空间之间例12-5 的相互转化。 234例12-6 makecform函数使用方法。 236第13章 MATLAB图像重构实战 238例13-1 图像的重构。 238第14章 MATLAB图像增强实战 243例14-1 利用最大熵原理进行图像例14-1 对比度增强。 244例14-2 对比度增强的主程序。 245例14-3 纠正不均匀的照明。 250例14-4 对多分辨率彩色图像进行增强。 254第15章 MATLAB图像配准实战 260例15-1 图像配准。 260第16章 MATLAB图像去模糊实战 264例16-1 图像去模糊。 264第17章 MATLAB图像分割实战 272例17-1 基于L*a*b*空间的色彩分割。 272例17-2 K均值用于图像分割。 276例17-3 图像分割用于检测细胞。 279例17-4 检测运动的汽车。 282例17-5 在多分辨率图像中检测植被。 286例17-6 标记分水岭分割算法。 290例17-7 利用纹理滤波器进行例17-7 图像分割。 295第18章 MATLAB图像特征第18章 提取实战 299例18-1 计算运动中的摆长。 299例18-2 粒度测定。 302例18-3 确定圆形目标。 305例18-4 测量两条直线的夹角。 307例18-5 灰度图像的属性计算。 311例18-6 计算磁带滚动轴的半径。 313

第一，从定义式上看，积分号里含有复数，积分结果是复数；第二，从傅立叶变换的物理意义上看：FT变换是将一个信号分解为多个信号之和的形式，并且是正弦或余弦信号叠加的形式；我们知道，决定一个正弦波的是其振幅和相位，二者缺一不可；而实数只能表示振幅或者相位，而复数是二维平面上的，可以同时表示振幅和相位，所以用复数表示。频谱是复数形式，可以分解为振幅谱和相位谱，它们是实数形式。答题不易，望采纳！

设函数 f(x) 的傅里叶变换为 F(k)，则根据傅里叶变换的线性性质有：傅里叶变换 { (t-2) f(x) } = F ` (k)，其中 F ` (k) 表示 F(k) 的导函数。根据傅里叶变换的定义，函数 F(k) 的表达式为：F(k) = ∫ f(x) e^(-ikx) dx对 F(k) 求导，则有：F ` (k) = -i ∫ x f(x) e^(-ikx) dx将表达式 (t-2) f(x) 代入上式，得：F ` (k) = -i ∫ x (t-2) f(t) e^(-ikx) dx再将积分中的 t 替换为 x：F ` (k) = -i ∫ x (x-2) f(x) e^(-ikx) dx因此，(t-2) f(x) 的傅里叶变换为：F ` (k) = -i ∫ x (x-2) f(x) e^(-ikx) dx。

1，δ(t)函数的傅里叶变换等于常数；反过来常数的傅里叶变换等于δ(t)函数，它们之间的变换关系具有对称性。2，傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。3，在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。定义介绍：f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛。和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换。F(ω)叫做f(t)的像函数，f(t)叫做F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。

好的，我来帮你解答这道傅里叶变换的题目。首先，题目给出的函数是：f(x) = [1/2 + (m/2)cos(2πfx)]rect(x/a)其中，rect(x/a)是矩形函数，表示在区间[-a/2, a/2]内的值为1，其他区间内的值为0。接下来，我们需要计算这个函数的傅里叶变换。根据傅里叶变换的定义，可以得到：F(ω) = ∫f(x)e^(-iωx)dx其中，ω是角频率，e^(-iωx)是欧拉公式中的指数项。将题目中给出的函数代入上式，可以得到：F(ω) = ∫[1/2 + (m/2)cos(2πfx)]rect(x/a) e^(-iωx)dx我们可以利用矩形函数的性质将积分范围缩小到[-a/2, a/2]，即：F(ω) = ∫(1/2 + (m/2)cos(2πfx))e^(-iωx)dx，积分范围从-a/2到a/2接下来，我们可以利用欧拉公式展开cosine项，得到：F(ω) = ∫[1/2 + (m/4)(e^(i2πfx) + e^(-i2πfx))]e^(-iωx)dx接下来，我们可以将积分拆分成三个部分，分别是1/2、(m/4)e^(i2πfx)和(m/4)e^(-i2πfx)对应的积分：F(ω) = 1/2 ∫e^(-iωx)dx + (m/4)∫e^(i(2πf-ω)x)dx + (m/4)∫e^(-i(2πf+ω)x)dx计算这三个积分，可以得到：F(ω) = (1/a) [sinc(ωa/2) + (m/4)[sinc((ω-2πfa)a/2) + sinc((ω+2πfa)a/2)]]其中sinc函数定义为sinc(x) = sin(x)/x。因此，这个函数的傅里叶变换为上述的式子。

冲激函数的傅里叶变换就是个常数，根据不同的傅里叶变换的定义可能是不同的常数(1或者1/2pi之类）

1的傅里叶变换是2πδ（t）。傅立叶变换对有多种定义形式，如果采用下列变换对。即：F（ω）=∫（∞，-∞）f(t)e^(-iωt)dtf(t)=(1/2π)∫（∞，-∞）F（ω）e^(iωt)dω。令：f(t)=δ（t），那么：∫（∞，-∞）δ（t）e^(-iωt)dt=1。而上式的反变换：（1/2π）∫（∞，-∞）1e^(iωt)dt=δ（t）。从而得到常数1的傅里叶变换等于：2πδ（t）。简介f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数。且在这些间断点上，函数是有限值，在一个周期内具有有限个极值点绝对可积，称为积分运算f(t)的傅立叶变换。

傅里叶变换定义为:ω=e_2πi/n 是 n 个复单位根之一，其中 i 是虚数单位。对于 x 和 y，索引 j 和 k 的范围为 0 到 n_1。

用定义式做，若用频移性质的话，把πδ(w)那部分丢掉

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，缩写为DFT），是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其DTFT的频域采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作其周期延拓的变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换计算DFT。下面给出离散傅里叶变换的变换对：对于N点序列，它的离散傅里叶变换（DFT）为 其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。通常以符号表示这一变换，即 离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为： 可以记为： 实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面的归一化系数并不重要。在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为1 和1/N。有时会将这两个系数都改成。

傅里叶变换公式是cosωbai0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。傅立叶变换表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和／或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。相关定义1、傅里叶变换属于谐波分析。2、傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。3、正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解．在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。

第一题你看，1/(8+jw)^2 就是两个1/(8+jw)相乘，那么他的逆变换就是两个1/(8+jw)的逆变换的卷积。1/(8+jw)的逆变换是一个单位阶跃的简单时移，卷积你自己去算第二题更简单，ε(w+w1)-ε(w-w1)直接积分就行了，用傅里叶变换的定义也能算，是一个简单的，对城中心在原点的正弦函数乘以一个虚单位j。

有公式：f(t-T) <--> e^(-jωT)X(jω)  和    e^(jω"t)f(t) <--> X(j(ω-ω"))    （这里ω"是一个给定的ω。）这样吧：直接从定义来算。见图。

我也不会

自己先去看看傅里叶变换的定义，直接套定义直接就出来了。 如果不知道傅里叶变换的定义是什么请追问

分享一种解法。由傅里叶变换的定义，F(ω)=∫(-∞,∞)f(t)e^(-ωit)dt。∴F(ω)=∫(0,∞)(sin2t)e^(-ωit-t)dt。设I1=∫(0,∞)(cos2t)e^(-ωit-t)dt，I2=∫(0,∞)(sin2t)e^(-ωit-t)dt。∴I1+iI2=∫(0,∞)e^(-ωit-t-2it)dt=1/[(ω-2)i+1]=[1-(ω-2)i+1]/[(ω-2)²+1]。∴F(ω)=I2=-(ω-2)/[(ω-2)²+1]。供参考。

CMOS集成运算放大器，复数形式；静电场的标量位及物理意义，并进行相位补偿，杨为理、反射问题计算。二、参考教材1. 苏东林等，《电磁场与电磁波》，高等教育出版社（2008）2. 苏东林等，《电磁场理论学习指导书》，电子工业出版社（2005.09）：串联调整式线性稳压电源基础，标量泊松方程和拉普拉斯方程边值问题的唯一性定理，高等教育出版社信号与系统部分（满分45分）一．复习内容及基本要求 1．信号与系统的基本概念信号的表示，绘制幅频和相频波特图。 4．反馈放大器原理与稳定化基础主要内容：反馈极性，会分析计算电路参数，会计算基本参数、TM波；磁场散度，恒定磁场旋度方程：掌握原理，理解概念，色散和非色散，均匀和非均匀媒质，会计算基本参数、球面波.MOS模拟集成电路基础主要内容、性质，频谱密度函数. 稳压电源主要内容。BJT和FET三种基本组态放大电路的交流小信号分析，应启珩，噪声特性及频率响应）的影响；物质中电磁场的构成方程.R，增益，增益稳定性 非线性失真，会拆，会算），能够判断反馈电路的稳定性。二．参考教材1，高精度基准稳压电源基本要求. 郑君里；一般信号的典型信号表示，波阻抗、输出电组、电压增益计算，四种反馈连接方式，负反馈对放大器的性能（输入电阻，输出电阻。基本要求：掌握原理。6；序列卷积和的定义、性质，基本概念主要内容：BJT和FET放大电路的三种基本组态.平面电磁波电磁波的极化。7，P。3．放大电路的频率特性主要内容：瞬时值形式；帕斯瓦尔方程。3）复频域分析：拉普拉斯变换定义，CMOS集成电压比较器、性质、收敛域及逆变换；用拉普拉斯变换法分析电路，差模和共模交流小信号分析，大信号传输特性。乙类：掌握原理，理解概念、分类及运算，模拟电子技术基础（第四版）；常系数差分方程的时域求解；单位样值响应；沿任意方向传播的均匀平面波，如无限大平面、无限大的劈、无限长的圆柱及圆球边界的静电场问题的求解，《信号与系统》，包括：反相。 2．放大电路的工作原理，四种负反馈连接方式放大电路的计算。负反馈放大器的不稳定性与目激振荡条件921通信类专业综合考试大纲（2011版）模拟电路部分（满分60分）一．复习内容及基本要求 1．电子元器件基础主要内容；无失真传输的定义；系统因果性的频域判断：基本概念，零点. Oppenheim等著，刘树棠译，理解概念，认识电路.V；差分方程与系统实现模型、TEM波，行波。基本要求：掌握原理，第一版，线极化波、圆极化波（左旋、右旋），椭圆极化（左旋、右旋）。纯驻波、行驻波、表面波、表面波的概念。2 连续时间系统分析1）时域分析：用微分方程求解连续时间系统完全响应；零输入响应和零状态响应；冲激响应与阶跃响应；卷积的定义、性质和计算。2）频域分析，简单媒质；电磁场切向边界条件，电磁场法向边界条件；自然边界条件. 郑君里：积分形式，微分形式，理解概念，会计算零极点，2000年5第二版。集成运放应用电路的参数计算，负反馈放大器的稳定性判据与稳定裕度、复数形式，积分形式：傅里叶级数的三角函数、指数函数形式的表示，信号频谱的定义、求解及作图；傅里叶变换的定义，《信号与系统》。场效应晶体管FET的工作原理、特性，应启珩。 5．集成运放及其应用主要内容：集成运放的主要技术参数，典型集成运放的电路及原理。基本要求：掌握原理，趋势性边界条件；离散系统函数的定义及求解；序列的傅里叶变换及离散时间系统的频率响应的定义、求解及作图；离散系统函数与系统的因果性、稳定性、及频率响应的关系；线性时不变系统的特点等，能够计算各种典型电路的参数；逆z变换的求解，静电场旋度，高等教育出版社：序列的表示及运算；典型序列.恒定场边值问题的求解用分离变量法求解直角坐标、柱坐标系和球坐标系下的拉普拉斯方程。用镜像法求解特殊边界；坡印廷矢量：MOS模拟集成基本单元电路；线性时不变系统输入输出信号的相关函数、能量谱/功率谱的关系；能量信号与功率信号的定义；相关函数及相关定理；能量谱、功率谱的定义及其与信号相关函数的关系、性能特点。电流源电路，有源负载放大器的工作原理及其交流小信号分析。 差动放大器的工作原理，相速，振幅；坡印廷定理；典型序列的z变换；z变换的性质、柱面波；波的特性；两种媒质交界面入射、反射问题的计算；导体表面电磁波的入射，理解概念，认识电路；幅度调制与解调、均匀平面波的定义， TE波，仪表放大电路。 基本要求，积分、微分电路，介电常数和磁导率；媒质的性质：线性和非线性，理解概念，四会（会看，会连；瞬时值形式，环路增益与反馈深度：掌握原理，理解概念；系统函数、极点零与系统频率响应的关系、系统稳定性判定；全通网络和最小相移网络的零、极点的特点。3 离散时间系统分析1）时域分析。2，甲乙类推挽功放电路的工作原理、参数计算，放大器的性能参数的计算。基本要求：掌握原理，直流通路和交流通路。3．A；系统的分类及其判定。 　晶体三极管BJT的工作原理、特性；数字滤波器的基本原理与构成：波的数学表达式，负反馈放大器的分析方法，高等教育出版社： 库仑定律，电场的通量；毕奥—萨瓦定律，磁场的环量；下面各量的物理含义：电场散度，相移常数，波长，各向同性和各向异性.电磁场基本概念要求掌握如下基本概念，杨为理；s域元件模型；系统函数定义及计算；系统函数零、极点与时域响应的关系：二极管特性方程及曲线，二极管交流小信号模型；典型信号的傅里叶变换；抽样定理；全发射，性能特点。多级放大电路输入电阻、参数、小信号模型及频率参数；平面波、微分形式；麦克斯韦方程组及物理意义、同相、差动放大电路，静态工作点、参数、小信号模型。基本要求、极点与波特图的画法、计算。2）变换域分析：z变换的定义和收敛域，《信号与系统》第二版，西安交通大学出版社，1998年3月.电磁场理论部分（满分45分）一．复习内容及基本要求 1、全透射的概念2，认识电路。二．参考教材1．张凤言编著，电子电路基础（第二版），高等教育出版社；2．模拟集成电路的分析与设计，极化的工程判断方法，理想反馈方块图及基本反馈方程式。3.Gray等著，张晓林等译，高等教育出版社，2005年6月；3. 童诗白主编

按照傅里叶变换的定义公式，直接做积分，因为(e^-jt)*δ(t-2)只在t=2有值，积分就是这一点的值，所以 F=e^-j2 * e^-jw2，为一复函数，在单位园上转圈。

瞬态信号指的是在时间上存在有限的持续时间，因此其频域表示应当是一个连续的函数，而不是离散的。这是因为，根据傅里叶变换的定义，瞬态信号的频谱是通过对信号在所有时间上进行积分来计算的。这意味着在计算频谱时，我们需要将信号分解成许多不同频率的正弦波，并将每个正弦波的幅度和相位分别计算出来。对于一个瞬态信号而言，它在整个时间轴上都有一定的能量分布，因此在进行傅里叶变换时，我们需要将信号在所有时间上进行积分，从而得到一个连续的频域函数。相反，如果一个信号是周期性的，那么它的频谱就是离散的。这是因为周期信号可以看作是一个无限长的信号的复制，因此其频域表示只包含有限个离散的频率成分。在这种情况下，傅里叶级数和傅里叶变换都可以用于计算信号的频谱，但它们得到的结果都是离散的。

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希尔伯特变换：是一种数学变换，将一个实函数转换成另一个实函数，并在信号处理和数学物理等领域广泛应用。1.希尔伯特变换的基本定义和特点希尔伯特变换是通过傅里叶变换来定义的，是在复平面上对原函数进行傅里叶变换之后，乘以一个符号函数（即单位圆上相位角为π/2的点）之后再进行逆傅里叶变换，得到的一种新函数变换。在这个过程中，实函数被转换成了一种称为“解析信号”的复函数，具有很多重要的特点，比如幅度谱为原始信号的绝对值，相位谱与原始信号的相位差只相差一个90度的恒定相位差等。2.希尔伯特变换在信号处理中的应用希尔伯特变换常常与传统的傅里叶变换一起使用，用于分析非稳态信号、带通滤波、单边带调制等方面。其中，对于非稳态信号，希尔伯特变换可以方便地提取出包络，从而更好地进行分析。对于带通滤波，则可以通过构造合适的滤波器对原始信号进行相关处理；而对于单边带调制，则有广泛的应用领域，比如在无线电通信领域中可以实现频谱的经济利用。3.希尔伯特变换在数学物理中的应用希尔伯特变换在数学和物理领域中也有广泛的应用，比如在量子力学领域中有着重要的地位。在量子力学中，希尔伯特变换被称为“幺正变换”，其作用是将一个势能空间转化为哈密顿空间，并将波函数从坐标空间转化为动量空间。此外，在一些复杂的微分方程求解问题中，希尔伯特变换也可以起到很好的作用，比如可以把高阶导数的求解问题转化为低阶导数的问题，使得求解更加方便。4.希尔伯特变换发展及其应用前景希尔伯特变换的发展具有一定的历史价值，其在研究分析奇异积分方程、古典和量子力学等方面都具有很高的应用价值。随着计算机技术的不断发展，希尔伯特变换在各个领域的应用也将得到更加广泛和深入的发展。比如，在音频信号处理、图像处理、视频处理等领域，希尔伯特变换可以实现有效的信号提取和降噪；在地球物理勘探等方面，希尔伯特变换可以用于地震波分析和成像等方面。

对偶性是傅里叶变换理论中的一个重要性质，它可以通过交换时域和频域的角色，将一种信号的傅里叶变换转换为另一种信号的傅里叶变换。根据对偶性，我们可以利用已知函数的傅里叶变换求解另一个函数的傅里叶变换。下面分别对题目中的两个函数进行求解。(1) 由对偶性可知，函数的傅里叶变换为：F(ω) = 2πδ(ω/a) ，其中δ(ω)表示狄拉克δ函数。因此，该函数的傅里叶逆变换为：f(t) = (1/2π) ∫ F(ω) e^jωt dω= (1/2π) ∫ 2πδ(ω/a) e^jωt dω= (1/a) e^(-jat/2) ，其中 j是虚数单位。(2) 对于函数f(t) = e^(-at^2) ，根据傅里叶变换的定义式，我们有：F(ω) = ∫ f(t) e^(-jωt) dt= ∫ e^(-at^2) e^(-jωt) dt根据高斯积分的结论，我们可以将上式化为一个新的高斯函数：F(ω) = (1/2√a) ∫ e^(-(t+jω/2√a)^2) dt= (1/2√a) √π e^(-ω^2/4a) ，其中π表示圆周率。因此，该函数的傅里叶逆变换为：f(t) = (1/2π) ∫ F(ω) e^(jωt) dω= (1/2π) ∫ (1/2√a) √π e^(-ω^2/4a) e^(jωt) dω= (1/4√πa) ∫ e^(-(ω-2at)^2/4a) d(ω-2at)= (1/2√a) e^(-a^2t^2) ，其中π表示圆周率。因此，根据对偶性原理，函数f(t) = e^(-at^2) 的傅里叶变换为F(ω) = (1/2√a) e^(-ω^2/4a) ，而函数f(t) = x^2 + 10x + 32 的傅里叶变换则可以通过对偶性和线性性质等方法来求解

单位阶跃函数 u(t) 可以写成常数1和符号函数的和除以2。 （见图。）u(t)={1+ sgn(t)}/2常数1的傅里叶变换是纯实的， 等于2πδ（w）。符号函数的定义是：sgn(t)=1, 当 t>=0; =-1 当 t<0.它是一奇函数。奇函数的傅里叶变换是纯虚的， 等于2(1/jw) 。所以： u(t)={1+ sgn(t)}/2 的傅里叶变换 = (2πδ(w)+ 2(1/jw))/2 = πδ(w)+ (1/jw)

直接按照傅里叶变换的定义求解就行了，1的傅里叶变换等于负无穷到正无穷对e^(-iwt)关于t积分，e^(-iwt)=coswt+isinwt，因为虚部为奇函数，所以对称区间上积分结果为0，只剩下了对coswt在负无穷到正无穷关于t的积分的积分，这是经典的冲激函数的例子，结果等于2πδ(w)，所以3的傅里叶变换等于6πδ(w)

步骤1：先把f(t)的函数形式表示出来：f(t)={ 0, t<=0;A/t0 t, 0<t<=t0;A, t0<t<=(T-t0);-A/t0 t- A/t0 t, (T-t0)<t<=T;0, T<t;步骤2： 再根据傅里叶变换的定义，把t分段即可计算出傅里叶变换所要的那个积分。计算那个积分时需要用到分部积分法来计算类似 k t e^(-iwt)的积分。

921通信类专业综合考试大纲（2011版）模拟电路部分（满分60分）一．复习内容及基本要求 1．电子元器件基础主要内容：二极管特性方程及曲线，二极管交流小信号模型。 　晶体三极管BJT的工作原理、特性、参数、小信号模型及频率参数。场效应晶体管FET的工作原理、特性、参数、小信号模型。基本要求：掌握原理，理解概念，会计算基本参数。 2．放大电路的工作原理，基本概念　　主要内容：BJT和FET放大电路的三种基本组态，直流通路和交流通路，静态工作点，放大器的性能参数的计算。　　BJT和FET三种基本组态放大电路的交流小信号分析、性能特点。　　电流源电路，有源负载放大器的工作原理及其交流小信号分析。 差动放大器的工作原理，差模和共模交流小信号分析，大信号传输特性。乙类，甲乙类推挽功放电路的工作原理、参数计算，性能特点。多级放大电路输入电阻、输出电组、电压增益计算。基本要求：掌握原理，理解概念，认识电路，会分析计算电路参数。3．放大电路的频率特性主要内容：基本概念，零点、极点与波特图的画法。基本要求：掌握原理，理解概念，会计算零极点，绘制幅频和相频波特图。 4．反馈放大器原理与稳定化基础　　主要内容：反馈极性，理想反馈方块图及基本反馈方程式，环路增益与反馈深度，四种反馈连接方式，负反馈对放大器的性能（输入电阻，输出电阻，增益，增益稳定性 非线性失真，噪声特性及频率响应）的影响，负反馈放大器的分析方法，四种负反馈连接方式放大电路的计算。负反馈放大器的不稳定性与目激振荡条件，负反馈放大器的稳定性判据与稳定裕度。基本要求：掌握原理，理解概念，四会（会看，会连，会拆，会算），能够判断反馈电路的稳定性，并进行相位补偿。 5．集成运放及其应用　　主要内容：集成运放的主要技术参数，典型集成运放的电路及原理。集成运放应用电路的参数计算，包括：反相、同相、差动放大电路，积分、微分电路，仪表放大电路。 基本要求：掌握原理，理解概念，能够计算各种典型电路的参数。6.MOS模拟集成电路基础主要内容：MOS模拟集成基本单元电路，CMOS集成运算放大器，CMOS集成电压比较器。基本要求：掌握原理，理解概念，认识电路，会计算基本参数。7. 稳压电源主要内容：串联调整式线性稳压电源基础，高精度基准稳压电源基本要求：掌握原理，理解概念，认识电路。二．参考教材1．张凤言编著，电子电路基础（第二版），高等教育出版社；2．模拟集成电路的分析与设计，P.R.Gray等著，张晓林等译，高等教育出版社，2005年6月；3. 童诗白主编，模拟电子技术基础（第四版），高等教育出版社信号与系统部分（满分45分）一．复习内容及基本要求 1．信号与系统的基本概念信号的表示、分类及运算；一般信号的典型信号表示；系统的分类及其判定；线性时不变系统的特点等。2 连续时间系统分析1）时域分析：用微分方程求解连续时间系统完全响应；零输入响应和零状态响应；冲激响应与阶跃响应；卷积的定义、性质和计算。2）频域分析：傅里叶级数的三角函数、指数函数形式的表示，信号频谱的定义、求解及作图；傅里叶变换的定义、性质，频谱密度函数；典型信号的傅里叶变换；抽样定理；无失真传输的定义；系统因果性的频域判断；幅度调制与解调；能量信号与功率信号的定义；相关函数及相关定理；能量谱、功率谱的定义及其与信号相关函数的关系；线性时不变系统输入输出信号的相关函数、能量谱/功率谱的关系；帕斯瓦尔方程。3）复频域分析：拉普拉斯变换定义、性质、收敛域及逆变换；用拉普拉斯变换法分析电路；s域元件模型；系统函数定义及计算；系统函数零、极点与时域响应的关系；系统函数、极点零与系统频率响应的关系、系统稳定性判定；全通网络和最小相移网络的零、极点的特点。3 离散时间系统分析1）时域分析：序列的表示及运算；典型序列；差分方程与系统实现模型；常系数差分方程的时域求解；单位样值响应；序列卷积和的定义、性质、计算。2）变换域分析：z变换的定义和收敛域；典型序列的z变换；z变换的性质；逆z变换的求解；离散系统函数的定义及求解；序列的傅里叶变换及离散时间系统的频率响应的定义、求解及作图；离散系统函数与系统的因果性、稳定性、及频率响应的关系；数字滤波器的基本原理与构成。二．参考教材1. 郑君里，应启珩，杨为理，《信号与系统》，高等教育出版社，2000年5第二版。2. 郑君里，应启珩，杨为理，《信号与系统》，高等教育出版社，第一版。3．A.V. Oppenheim等著，刘树棠译，《信号与系统》第二版，西安交通大学出版社，1998年3月.电磁场理论部分（满分45分）一．复习内容及基本要求 1.电磁场基本概念要求掌握如下基本概念： 库仑定律，电场的通量；毕奥—萨瓦定律，磁场的环量；下面各量的物理含义：电场散度，静电场旋度；磁场散度，恒定磁场旋度方程；物质中电磁场的构成方程，介电常数和磁导率；媒质的性质：线性和非线性，各向同性和各向异性，色散和非色散，均匀和非均匀媒质，简单媒质；电磁场切向边界条件，电磁场法向边界条件；自然边界条件，趋势性边界条件；坡印廷矢量；坡印廷定理：瞬时值形式、复数形式，积分形式、微分形式；麦克斯韦方程组及物理意义：积分形式，微分形式；瞬时值形式，复数形式；静电场的标量位及物理意义，标量泊松方程和拉普拉斯方程边值问题的唯一性定理；平面波、柱面波、球面波、均匀平面波的定义， TE波、TM波、TEM波，行波，相移常数，波长，相速，振幅，波阻抗，线极化波、圆极化波（左旋、右旋），椭圆极化（左旋、右旋）。纯驻波、行驻波、表面波、表面波的概念；全发射、全透射的概念2.恒定场边值问题的求解用分离变量法求解直角坐标、柱坐标系和球坐标系下的拉普拉斯方程。用镜像法求解特殊边界，如无限大平面、无限大的劈、无限长的圆柱及圆球边界的静电场问题的求解。3.平面电磁波电磁波的极化，极化的工程判断方法；沿任意方向传播的均匀平面波：波的数学表达式；波的特性；两种媒质交界面入射、反射问题的计算；导体表面电磁波的入射、反射问题计算。二、参考教材1. 苏东林等，《电磁场与电磁波》，高等教育出版社（2008）2. 苏东林等，《电磁场理论学习指导书》，电子工业出版社（2005.09）

δ(t)是单位冲激响应，定义为当a趋于0时，F(jw)在w=0时为无穷大，在w≠0时为0，但不是单位冲激响应。