平面向量的基本定理及坐标表示

既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a、b平行，记作a∥b，零向量与任意向量平行，即0∥a，在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量）长度等于0的向量叫做零向量，记作0。零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都垂直。长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。

平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。

从起点到终点做的一条有向线段。

平面向量知识点梳理有：1、向量的有关概念、名称、定义、备注、向量既有大小又有方向的量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量。2、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。3、向量与有向线段的区别：(1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量。(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段。4、向量的表示方法：①用有向线段表示。②用字母a、b(黑体，印刷用)等表示。③用有向线段的起点与终点字母表示。5、有向线段的三个要素：起点、方向、长度。

只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量），比如温度，功，路程等等。既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量叫做向量（物理学中叫做矢量），向量可以用小写黑体字母a，b，c，.......表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。在自然界中，有许多量既有大小又有方向，如力、速度等。我们为了研究这些量的这个共性，在它们的基础上提取出了向量这个概念。这样，研究清楚了向量的性质，当然用它来研究其它量，就会方便许多。在向量的定义中，在一平面内既有方向又有大小的量就叫平面向量 以下是一些补充：向量的几何表示　　具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。（AB是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个→）　　有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。　　有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。　　相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量：　　长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。　　两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，　　向量a、b平行，记作a//b，零向量与任意向量平行，即0//a，　　在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量）　　长度等于0的向量叫做零向量，记作0。（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的）　　零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都平行，垂直。　　模等于1个单位长度的向量叫做单位向量。平面向量的坐标表示　　在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得　　a=xi+yj　　我们把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作　　a=（x，y），　　其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。　　在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。　　注意：平面向量的坐标与点的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的。而点的坐标是绝对的。若一向量的起点在原点，例如该向量为（1，2）那么该向量上的所有点都可以用（a，2a）表示。即，若一向量的起点在原点，那么该向量上的任意一点的横纵坐标比例关系与向量坐标的比例关系是一样的。编辑本段向量的运算加法运算　　向量加法的定义　　已知向量a、b，在平面上任意取一点A，作AB=a，BC=b，再作向量AC，则向量AC叫做a与b的和，记做a+b，即a+b=AB+BC=AC　　AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。（首尾相连，连接首尾，指向终点) 同样，作AB=a,且AD=BC,再作平行AD的BC=b，连接DC，因为AD∥BC，且AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形，AC叫做a与b的和，表示为：AC=a+b.这种方法叫做向量加法的平行四边形法则。（共起点，对角连）。　　已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。　　对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。　　||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。　　向量的加法满足所有的加法运算定律。减法运算　　AB-AC=CB,这种计算法则叫做向量减法的三角形法则。（共起点，连终点，方向指向被减向量）　　与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。　　（1）a+(－a)=(－a)+a=0（2）a－b=a+(－b)。数乘运算　　实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ > 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ < 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa= 0。　　设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a= λ(μa)（2）(λ + μ)a= λa+ μa（3）λ(a± b) = λa± λb（4）(－λ)a=－(λa) = λ(－a)。　　向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。坐标运算　　已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则　　a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j）　　=(x1+x2)i+(y1+y2)j　　即 a+b=（x1+x2，y1+y2）。　　同理可得 a-b=（x1-x2，y1-y2）。　　这就是说， 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。　　由此可以得到：　　一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。　　根据上面的结论又可得　　若a=(x,y),则λa=(λx,λy)　　这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。向量的数量积　　向量数量积定义：　　（1）向量a与向量b的夹角：已知两个非零向量，过O点做向量OA=a，向量OB=b，则角AOB=θ叫做向量a与b的夹角。　　（2）已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a·b，θ是a与b的夹角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。　　a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。　　两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2　　向量的数量积的性质　　(1)a·a=∣a∣^2≥0　　(2)a·b=b·a　　(3)k(ab)=(ka)b=a(kb)　　(4)a·(b+c)=a·b+a·c　　(5)a·b=0<=>a⊥b　　（6）a=kb<=>a//b　　（7）e1·e2=|e1||e2|cosθ=cosθ　　向量的混合积　　定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c　　混合积具有下列性质：　　1、三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）　　2、上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0　　3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)　　4、(a×b)·c=a·(b×c)编辑本段平面向量的基本定理　　如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、μ，使a= λ*e1+ μ*e2。编辑本段相关练习　　1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0.　　2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0． 错（当a⊥b时，a · b=0）　　3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 错（当a和b都不为零，且a⊥b时，a · b=0）　　4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0. 错（可以都不为0，当a⊥b时，a · b=0成立）　　5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c 错（当b=0时）　　6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立． 错（a≠0且同时垂直于b，c时也成立）　　7．对任意向量 a 有a*a=∣a∣* ∣a∣编辑本段向量与三角形有关的特殊规律　　1.三角形ABC内一点O，向量OA·向量OB=向量OB·向量OC=向量OC·向量OA，则点O是三角形的垂心。　　2.若O是三角形ABC的外心,点M满足向量OA+向量OB+向量OC=向量OM，则M是三角形ABC的外心。　　3若O和三角形ABC共面，且满足向量OA+向量OB+向量OC=零向量，则O是三角形ABC的重心。

平面向量基本知识一、向量知识：（1）叫做向量。（2）向量的运算：运算定义或法则运算性质（运算律）坐标运算加法减法实数与向量的积数量积几何意义：（3）平面向量的基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线的向量，那么。（4）两个向量平行和垂直的充要条件：；‖；（5）夹角、模、距离等计算：夹角：与的夹角模：|＋|＝|－|＝|＋＋|＝模||＝两点距离公式：|PP|＝向量||=计算：求与＝(a，b)共线的单位向量（6）线段的定比分点坐标公式：设，且，则时，得中点坐标公式：可推出三角形重心坐标公式：（7）平移公式点按平移到，则点点P(a,b)点曲线y＝曲线y＝f(x)曲线y＝二、解斜三角形（1）正弦定理：==（2）余弦定理：（3）S＝＝＝（4）解三角形的几种类型及步骤：①已知两角一边：先用→再用。②已知两边及夹角：先用→再用。③已知两边及一边对角：先用（注意：解；内角和）→再用。④已知三边：先用→再用。（5）解应用问题的一般步骤：①→②→③→④

平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量。平面向量用a，b，c，上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。 相关知识点： 1、具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。 2、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 3、两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行。

｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜

亲爱的楼主：相关概念有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作或AB；向量的模：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|；零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作或0。（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆）；相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；平行向量（共线向量）：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，即0//a；单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e表示，平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。[1]3表示方法几何表示具有方向的线段叫做有向线段，我们以A为起点、B为终点的有向线段记作，则向量可以相应地记作。但是，区别于有向线段，在一般的数学研究中，向量是可以平移的。[2]坐标表示在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得： 向量的坐标表示a=xi+yj，我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作：a=(x,y)。其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。根据定义，任取平面上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则向量AB=(x2-x1,y2-y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标加法向量加法的三角形法则已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC，即有：AB+BC=AC。用坐标表示时，显然有：AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x2-x1+x3-x2,y2-y1+y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差三角形法则：AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则，简记为：首尾相连、连接首尾、指向终点。四边形法则：已知两个从同一点A出发的两个向量AC、AB，以AC、AB为邻边作平行四边形ACDB，则以A为起点的对角线AD就是向量 向量加法的四边形法则AC、AB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则，简记为：共起点 对角连。对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。向量的加法满足所有的加法运算定律，如：交换律、结合律。减法AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连终点、方向指向被减向量。-(-a)=a；a+(-a)=(-a)+a=0；a-b=a+(-b)。[2]数乘实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa=0。用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)设λ、μ是实数，那么满足如下运算性质：(λμ)a= λ(μa)(λ + μ)a= λa+ μaλ(a±b) = λa± λb(－λ)a=－(λa) = λ(－a)|λa|=|λ||a|[2]数量积已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积，记作a·b。零向量与任意向量的数量积为0。数量积a·b的几何意义是：a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2数量积具有以下性质：a·a=|a|2≥0a·b=b·ak(a·b)=(ka)b=a(kb)a·(b+c)=a·b+a·ca·b=0<=>a⊥ba=kb<=>a//be1·e2=|e1||e2|cosθ[2]向量积向量a与向量b的夹角：已知两个非零向量，过O点做向量OA=a，向量OB=b， 向量积示意图则∠AOB=θ 叫做向量a与b的夹角，记作<a,b>。已知两个非零向量a、b，那么a×b叫做a与b的向量积或外积。向量积几何意义是以a和b为边的平行四边形面积，即S=|a×b|。若a、b不共线，a×b是一个向量，其模是|a×b|=|a||b|sin<a,b>，a×b的方向为垂直于a和b，且a、b和a×b按次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。若a=(x1,y1,0),b=(x2,y2,0)，则有：向量积具有如下性质：a×a=0a‖b<=>a×b=0a×b=-b×a(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)(a+b)×c=a×c+b×c[3]混合积给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c混合积具有下列性质：三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）上条性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0(abc) = (bca) = (cab) = - (bac) = - (cba) = - (acb)[祝您步步高升期望你的采纳，谢谢

平面向量基本定理就是说一个任意的向量可以用一组基本向量e1，e2。表示此定理其实说明了平面向量可以沿任意指定的两方向分解，同时也说明了由任意两向量可以合成指定向量，即向量的合成与分解。当两个方向相互垂直时，其实就是把他们在直角坐标系中分解，此时（x,y）就称为此向量的坐标。所以此定理为向量的坐标表示提供了理论依据

学好对立体几何有帮助

平面向量也可以确定平面中的图形位置,如果函数图象的平移,我们初中就知道的“上加下减,左加右减”就是平面向量最直接的应用! 实际生活中来讲,还是在物理学中应用较广.

你这是问什么，光给一个平面向量，这该从何说起？

平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。扩展资料：有关推论三角形ABC内一点O，OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的垂心。若O是三角形ABC的外心,点M满足OA+OB+OC=OM，则M是三角形ABC的垂心。若O和三角形ABC共面，且满足OA+OB+OC=0，则O是三角形ABC的重心。三点共线：三点A,B,C共线推出OA=μOB+aOC(μ+a=1)平面三角形ABC内有一点O，则S△BCO*OA+S△ACO*OB+S△ABO*OC=0

简单计算一下，答案如图所示

知识点如图：平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。向量发展历程：向量(矢量)这个术语作为现代数学-物理学中的一个重要概念，首先是由英国数学家哈密顿使用的。向量的名词虽来自哈密顿，但向量作为一条有向线段的思想却由来已久。向量理论的起源与发展主要有三条线索：物理学中的速度和力的平行四边形法则、位置几何、复数的几何表示。物理学中的速度与力的平行四边形概念是向量理论的一个重要起源之一。18世纪中叶之后，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接导致了在19世纪中叶向量力学的建立。同时，向量概念是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景。它始于莱布尼兹的位置几何。现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。18世纪，由于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的热点。哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。随后，吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受。

平面向量的计算一般有两种方法，一种是直接利用几何关系，在一种是利用坐标关系。利用几何关系AB+BC=AC（这里用粗体字表示向量）在坐标系中我们设A、B、C坐标为别是(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)这样得到AB=(x2-x1,y2-y1)，BC=(x3-x2,y3,-y2)，AC=(x3-x1,y3-y1)这样AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3,-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC因此两种算法是统一的。在数学中，利用坐标解决向量问题更普遍。这样，利用向量就建立了几何和代数之间的关系，提供了一种利用代数解决几何问题的方法。另外，向量和复数之间也是有一一对应关系的比如一个复数z=a+bi，（这里i表示虚数单位满足i??=-1），这样z就对应着一个向量z=(a,b)，因此利用复数的计算也可以进行向量计算。利用复数计算向量的好处就是，对于向量的旋转问题有比较简单的算法。根据欧拉公式复数z可以化成z=re^θ，其中r是z的模，θ是相角，也就是向量z和x轴正方向的夹角。若是把向量z逆时针转45°角度，得到的向量就可以直接表示为re^(θ-π/4)，比利用向量的夹角公式要简便许多。

算法如图所示既有方向又有大小的量叫做向量.平面向量是工具性知识，平面向量的计算包括加法，减法和数乘的运算。求两个向量和的运算叫做向量的加法；求一个向量与另外一个向量的相反向量和的运算叫做向量的减法；求实数与向量积的运算叫做向量的数乘。1、相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性。2、共线向量即为平行向量，它们均与起点无关。3、向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量。

若向量a=(x,y) 向量b=(m,n) 1)a·b=xm+yn 2)a+b=(x+m,y+n)

起点，大小，方向

有向线段的要素；：起点，方向，长度。长度为零的向量为零向量，单位向量为一长度单位。方向相同或相反的非零向量为平行向量。0||a.。　如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，存在唯一一对有序实数(x 、y) ，使 a= xe1+ ye2。这里{e1、e2}称为这一平面内所有向量的一组基底，e1、e2称为基向量。

若其中一个是零向量，由于零向量的方向是任意的，所以零向量所在直线的方向也是任意的所以不能保证两向量所在直线平行，如果再加个前提条件：两向量非零那就对了。平面向量是在二维平面内既有方向（direction)又有大小（magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起。18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi（a,b为有理数，且不同时等于0），并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学中。

向量PB=向量OB-向量OP=（2，1）-（x,y）=(2-x,1-y)(向量PB)^2=(2-x)^2+(1-y)^2向量OA*向量OP<=2（1，1）*(x，y）<=2x+y<=2又因为x>0，y>0所以当所以=(2-x)^2+(1-y)^2=(x-2)^2+(y-1)^2<=(x-2)^2+(2-x-1)^2,求出<=(x-2)^2+(2-x-1)^2的最小值,(向量PB)^2就要小于这个值(1)同样的道理=(x-2)^2+(y-1)^2<=(2-y-2)^2+(y-1)^2的最小值,(向量PB)^2就要小于这个值(2)比较(1)(2)的大小,要小于更小者我的头好痛!看电脑太久了!不好意思,不能帮你解出来了!其实就是以为（2，1）为圆心的圆，圆上的点就是P点的坐标,半径就是这个的范围!

平面向量向量的概念既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。向量的几何表示具有方向的线段叫做有向线段，以a为起点，b为终点的有向线段记作ab。（ab是印刷体，书写体是上面加个→）有向线段ab的长度叫做向量的模，记作|ab|。有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。长度等于0的向量叫做零向量，记作0。零向量的方向是任意的；长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。相等向量与共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a、b平行，记作a//b，零向量与任意向量平行，即0//a，平行向量也叫做共线向量。向量的运算加法运算ab＋bc＝ac，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。已知两个从同一点o出发的两个向量oa、ob，以oa、ob为邻边作平行四边形oacb，则以o为起点的对角线oc就是向量oa、ob的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。对于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。|a＋b|≤|a|＋|b|。向量的加法满足所有的加法运算定律。减法运算与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量仍然是零向量。（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)。数乘运算实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ=0时，λa=0。设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a=λ(μa)（2）(λ+μ)a=λa+μa（3）λ(a±b)=λa±λb（4）(－λ)a=－(λa)=λ(－a)。向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。向量的数量积已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积，记作a•b，θ是a与b的夹角，|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。a•b的几何意义：数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

平面向量的概念是在二维平面内既有方向又有大小的量。平面向量是在二维平面内既有方向（direction）又有大小（magnitude）的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a、b、c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。向量这个术语作为现代数学物理中的一个重要概念，首先是由英国数学家哈密顿使用的。向量的名词虽来自哈密顿，但向量作为一条有向线段的思想却由来已久。向量理论的起源与发展主要有三条线索：物理学中的速度和力的平行四边形法则、位置几何、复数的几何表示。物理学中的速度与力的平行四边形概念是向量理论的一个重要起源之一。18世纪中叶之后，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接导致了在19世纪中叶向量力学的建立。同时向量概念是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景。它始于莱布尼兹的位置几何。现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。18世纪，由于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的热点。哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。随后吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受。

向量的概念既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），向量可以用小写黑体字母a，b，c表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。在自然界中，有许多量既有大小又有方向，如力、速度等。我们为了研究这些量的这个共性，在它们的基础上提取出了向量这个概念。这样研究清楚了向量的性质，当然用它来研究其它量，就会方便许多。

平面向量向量的概念既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。向量的几何表示具有方向的线段叫做有向线段，以a为起点，b为终点的有向线段记作ab。（ab是印刷体，书写体是上面加个→）有向线段ab的长度叫做向量的模，记作|ab|。有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。长度等于0的向量叫做零向量，记作0。零向量的方向是任意的；长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。相等向量与共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a、b平行，记作a//b，零向量与任意向量平行，即0//a，平行向量也叫做共线向量。向量的运算加法运算ab＋bc＝ac，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。已知两个从同一点o出发的两个向量oa、ob，以oa、ob为邻边作平行四边形oacb，则以o为起点的对角线oc就是向量oa、ob的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。对于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。|a＋b|≤|a|＋|b|。向量的加法满足所有的加法运算定律。减法运算与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量仍然是零向量。（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)。数乘运算实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ=0时，λa=0。设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a=λ(μa)（2）(λ+μ)a=λa+μa（3）λ(a±b)=λa±λb（4）(－λ)a=－(λa)=λ(－a)。向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。向量的数量积已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积，记作a•b，θ是a与b的夹角，|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。a•b的几何意义：数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

平面向量公式：AB+BC=(x2-x1，y2-y1)+(x3-x2，y3-y2)=(x2-x1+x3-x2，y2-y1+y3-y2)=(x3-x1，y3-y1)=AC。平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。平面向量用a，b，c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。

共面向量基本定理：如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使 p=xa+by。　　此定理其实说明了平面向量可以沿任意指定的两方向分解，同时也说明了由任意两向量可以合成指定向量，即向量的合成与分解 。　　当两个方向相互垂直时，其实就是把他们在直角坐标系中分解，此时（x,y）就称为此向量的坐标。所以此定理为向量的坐标表示提供了理论依据。3 坐标表示　　在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。有平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得向量OP=xi+yj。　　因此，a=xi+yj。　　我们把实数（x，y）对叫做向量的坐标，记作：a=（x，y）。　　显然，其中（x，y）就是点P的坐标。　　向量OP称为点P的位置向量。4 向量关系 　　1．若a=0，则对任一向量b，有a · b=0。　　2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a · b≠0． 错（当a⊥b时，a · b=0）。　　3．若a≠0，a · b =0，则b=0错（当a和b都不为零，且a⊥b时，a · b=0） 。　　4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0. 错（可以都不为0，当a⊥b时，a · b=0成立） 。　　5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c 错（当b=0时）。　　6．若a · b= a · c,则b≠c,当且仅当a= 0时成立． 错（a≠0且同时垂直于b，c时也成立） 。　　7．对任意向量 a有a*a=∣a∣* ∣a∣。　　平面向量的线性运算：加法为三角形法则"平行四边形法则"。定理：向量a与b共线，a不等于零，有且只有唯一一个实数c，使b=ca。

平面向量基本定理是在向量知识体系中占有核心地位的定理。一方面，平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与其坐标建立起了一一对应的关系，这为通过数的运算处理形的问题搭起了桥梁。另一方面，平面向量基本定理是平行向量基本定理由一维到二维的推广，揭示了平面向量的结构特征，将来还可以推广为空间向量基本定理。因此，平面向量基本定理在向量知识体系中起着承上启下的重要作用。

　　平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量。平面向量用a，b，c，上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。 　　相关知识点： 　　1、具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。 　　2、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 　　3、两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行。

平面向量坐标表示的介绍如下： 1、平面向量的概念。既有方向又有大小的量叫做向量，物理学中叫做矢量。只有大小没有方向的量叫做数量。物理学中叫做标量。 2、平面向量的因素。即包括起点，方向，长度，相等向量，平行向量，共线向量，零向量，单位向量。长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 两个方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。 3、平面向量可以使用坐标表示。在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。注意平面向量的坐标与点的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的。而点的坐标是绝对的。

平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中叫也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用小写加粗的字母a，b，c表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。

平面向量相乘1.数量积：设向量分别为x、y，乘积（是一个实数）为nn=xycosα其中α是将两个向量的起点平移到一个点上时两个向量的夹角。2.向量A=(X,Y)，向量B=(Z,K)A·B=XZ+YK

平面向量的基本概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。向量(矢量)这个术语作为现代数学-物理学中的一个重要概念，首先是由英国数学家哈密顿使用的。向量的名词虽来自哈密顿，但向量作为一条有向线段的思想却由来已久。向量理论的起源与发展主要有三条线索：物理学中的速度和力的平行四边形法则、位置几何、复数的几何表示。物理学中的速度与力的平行四边形概念是向量理论的一个重要起源之一。18世纪中叶之后，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接导致了在19世纪中叶向量力学的建立。同时，向量概念是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景。它始于莱布尼兹的位置几何。现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。18世纪，由于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的热点。哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。随后，吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受。

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平面向量坐标运算公式是：向量坐标=末点的坐标减去起始点的坐标。平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量。平面向量用a，b，c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。向量同数量一样，也可以进行运算。向量可以参与多种运算过程，包括线性运算、数量积、向量积与混合积等。三角形法则：这种计算法则叫做向量加法的三角形法则，简记为：首尾相连、连接首尾、指向终点。四边形法则：这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则，简记为：共起点对角连。

a∥b(a≠0)等价于b=λa(λ∈R)平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，存在唯一一对有序实数(x、y)，使a=xe1＋ye2。

平面向量加法：首尾相连手指向尾平面向量减法：尾尾相连为指向头

在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得：a=xi+yj，我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作：a=(x,y)。其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。根据定义，任取平面上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则向量AB=(x2-x1,y2-y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。 印刷体：只用小写字母表示时，采用加粗黑体；用首尾点大写字母表示时，需要在字母上加箭头，如；手写体：均需在字母上加箭头表示，如、。

平面向量基本定理公式：p=xa+yb。平面向量是在二维平面内既有方向（direction）又有大小（magnitude）的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a，b，c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

平面向量的计算一般有两种方法，一种是直接利用几何关系，在一种是利用坐标关系。利用几何关系 AB+BC=AC （这里用粗体字表示向量）在坐标系中我们设A、B、C坐标为别是(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)这样得到AB=(x2-x1,y2-y1)，BC=(x3-x2,y3,-y2)，AC=(x3-x1,y3-y1)这样AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3,-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC因此两种算法是统一的。在数学中，利用坐标解决向量问题更普遍。这样，利用向量就建立了几何和代数之间的关系，提供了一种利用代数解决几何问题的方法。另外，向量和复数之间也是有一一对应关系的比如一个复数z=a+bi，（这里i表示虚数单位满足i�0�5=-1），这样z就对应着一个向量z=(a,b)，因此利用复数的计算也可以进行向量计算。利用复数计算向量的好处就是，对于向量的旋转问题有比较简单的算法。根据欧拉公式复数z可以化成z=re^θ，其中r是z的模，θ是相角，也就是向量z和x轴正方向的夹角。若是把向量z逆时针转45°角度，得到的向量就可以直接表示为re^(θ-π/4)，比利用向量的夹角公式要简便许多。

a=(2,1)，b=(-3,4)(3a)·(4b)=12a·b=12(2,1)·(-3,4)=12(-6+4)=-24

向量的概念 既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。[编辑本段]向量的几何表示 具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。（AB是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个→） 有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。 有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。 相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量： 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量， 向量a、b平行，记作a//b，零向量与任意向量平行，即0//a， 在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量） 长度等于0的向量叫做零向量，记作0。 零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都垂直。 长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。[编辑本段]平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得 a=λ1i+λ2j 我们把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作 a=（x，y）， 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。 在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。 注意：平面向量的坐标与点的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的。而点的坐标是绝对的。若一向量的起点在原点，例如该向量为（1，2）那么该项两上的所有点都可以用（a，2a）表示。即，若一向量的起点在原点，那么该向量上的任意一点的横纵坐标比例关系与向量坐标的比例关系是一样的。[编辑本段]向量的运算 加法运算 向量加法的定义 已知向量a、b，在平面上任意取一点A，作AB=a，BC=b，再作向量AC，则向量AC叫做a与b的和，记做a+b，即a+b=AB+BC=AC AB＋BC＝AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。（首尾相连，连接首尾，指向终点） 已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。 对于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。 |a＋b|≤|a|＋|b|。 向量的加法满足所有的加法运算定律。 减法运算 AB-AC=CB,这种计算法则叫做向量减法的三角形法则。（共起点，连终点，方向指向被减向量） 与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量仍然是零向量。 （1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)。 数乘运算 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|＝|λ||a|，当λ > 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ < 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。 设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ + μ)a = λa + μa（3）λ(a ± b) = λa ± λb（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a)。 向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。坐标运算已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j） =(x1+x2)i+(y1+y2)j 即 a+b=（x1+x2，y1+y2）。 同理可得 a-b=（x1-x2，y1-y2）。 这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 由此可以得到： 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。 根据上面的结论又可得 若a=(x,y),则λa=(λx,λy) 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。[编辑本段]向量的数量积 已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a•b，θ是a与b的夹角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。 a•b的几何意义：数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2 向量的数量积的性质 (1)a·a=∣a∣^2≥0 (2)a·b=b·a (3)k(ab)=(ka)b=a(kb) (4)a·(b+c)=a·b+a·c (5)a·b=0<=>a⊥b （6）a=kb<=>a//b （7）e1·e2=|e1||e2|cosθ=cosθ[编辑本段]平面向量的基本定理 如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、μ，使a= λ*e1＋ μ*e2,(λ+μ=1）。[编辑本段]相关练习 1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0. 对 2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0． 错（当a⊥b时，a · b=0） 3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 错（当a和b都不为零，且a⊥b时，a · b=0） 4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0. 错（可以都不为0，当a⊥b时，a · b=0成立） 5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c 错（当b=0时） 6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立． 错（a≠0且同时垂直于b，c时也成立） 7．对任意向量 a 有a*a=∣a∣* ∣a∣ 对

向量a·向量b=| a |*| b |*cosΘΘ为两向量夹角| b |*cosΘ叫做向量b在向量a上的投影| a |*cosΘ叫做向量a在向量b上的投影扩展资料平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。18世纪，由于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的热点。哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。随后，吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受。参考资料平面向量_百度百科

OA=(0.1.1) OB=(2,0,2) OC =(1,0,1) N=(X,Y,Z)由法向量定义得: y+z=0 2x+2z=0； x+z=0所以：n=（k，k，-k）k不等于0

平面向量定义三要素是起点、方向、长度。平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。

移项：（λn-1）i=（m-λ）j两个不共线的向量要相等，除非都是零向量所以λn-1=0，m-λ=0

空间向量 空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键． 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。 以下用向量法求解的简单常识： 1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得 或对空间一定点O有 2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若： （其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面． 3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量 （k∈R）． 4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量 ． 5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取 ，求： 的问题． 6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题： ． 7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标． 首先该图形能建坐标系 如果能建 则先要会求面的法向量 求面的法向量的方法是 1。尽量在空中找到与面垂直的向量 2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z） 然后因为法向量垂直于面 所以n垂直于面内两相交直线 可列出两个方程 两个方程，三个未知数 然后根据计算方便 取z（或x或y）等于一个数 然后就求出面的一个法向量了 会求法向量后 1。二面角的求法就是求出两个面的法向量 可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积 如过在两面的同一边可以看到两向量的箭头或箭尾相交 那么二面角就是上面求的两法向量的夹角的补角 如果只能看到其中一个的箭头和另一个的箭尾相交 那么上面两向量的夹角就是所求 2。点到平面的距离就是求出该面的法向量 然后在平面上任取一点（除平面外那点在平面内的射影） 求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量记为n1 点到平面的距离就是法向量与n1的数量积的绝对值除以法向量的模即得所求

叉乘，也叫向量的外积、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b>向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。因此向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a×向量b=-向量b×向量a在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘。将向量用坐标表示（三维向量），若向量a=(a1,b1,c1)，向量b=(a2,b2,c2)，则向量a×向量b=|ijk||a1b1c1||a2b2c2|=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)（i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量）。