物理中自由度怎么理解

流形的解释(1).谓万物受 自然 之滋育而 运动 变化其 形体 。 《易·乾》 ：“云行雨施，品物流形。” 高亨 注：“流形谓运动其形体。此二句言天有云行雨降，万物受其滋育，始能运动形体于宇宙 之间 。” 宋 苏轼 《告 文宣 王文》 ：“虽 光辉 之成彩，未离乎散聚以流形。” 清 叶廷琯 《吹网录·元氏封龙山颂》 ：“神歆感射，三灵合化，品物流形，农寔嘉谷。” (2).万物运动变化的形体。 晋 郭璞 《江赋》 ：“焕大块之流形，混万尽於一科。” 宋 文天祥 《正气歌》 ：“天地有正气，杂然赋流形。” 清 刘大櫆 《赠张絅儒序》 ：“目之所注，手之所施，怡然中理，通於万品之流形，虽 宜僚 之丸， 轮扁 之斲， 丈人 之承蜩，自以为莫余及也。” 词语分解 流的解释 流 ú 液体移动：流水。流汗。流血。流泪。流程。流泻。流质。流水不腐。汗流浃背。 随波逐流 （ 随着 波浪起伏，跟着流水漂荡，喻没有主见，随着潮流走）。 像水那样流动不定：流转（僴 ）。流通。流寇。流浪。流离 形的解释 形 í 实体：形仪（体态仪表）。形体。形貌。 形容 。形骸。形单影只。 形影相吊 。 样子：形状。形式。形态。形迹。地形。情形。 表现：形诸笔墨。喜形于色。 对照，比较： 相形见绌 。 状况，地势： 形势 。

简单来说就是同胚于一个局部有限空间~

最容易定义的流形是拓扑流形，它局部看起来象一些“普通”的欧氏空间Rn。形式化的讲，一个拓扑流形是一个局部同胚于一个欧氏空间的拓扑空间。这表示每个点有一个领域，它有一个同胚(连续双射其逆也连续)将它映射到Rn。这些同胚是流形的坐标图。通常附加的技术性假设被加在该拓扑空间上，以排除病态的情形。可以根据需要要求空间是豪斯朵夫的并且第二可数。这表示下面所述的有两个原点的直线不是拓扑流形，因为它不是豪斯朵夫的。流形在某一点的维度就是该点映射到的欧氏空间图的维度(定义中的数字n)。连通流形中的所有点有相同的维度。有些作者要求拓扑流形的所有的图映射到同一欧氏空间。这种情况下，拓扑空间有一个拓扑不变量，也就是它的维度。其他作者允许拓扑流形的不交并有不同的维度。 主条目：微分流形如果流形上的局部坐标图之间的坐标变换是光滑的，就可以在该流形上讨论方向，切空间，和可微函数。特别是，可以在微分流形上应用“微积分”。这时我们说流形上被赋予了一个微分结构。带有微分结构的流形叫做微分流形。 如果流形上的任意两个局部坐标之间的坐标变换是“分段线性函数”，那么我们称这个流形上被赋予了一个分段线性结构。被赋予分段线性结构的拓扑流形称为分段线性流形。如果流形上有微分结构，那么微分结构自然的诱导了一个分段线性结构。所以微分流形一定是分段线性流形。存在分段线性结构是比存在单纯剖分略强的条件；分段线性流形的范畴是介于拓扑流形范畴和微分流形范畴之间的一个范畴。

要在流形上研究几何，通常必须用附加的结构来装饰这些空间，例如上面的微分流形所加入的微分结构。根据所需要的不同的几何，有许多其它的可能性:·复流形: 复流形是建模在Cn上的流形，在坐标图的重叠处以全纯函数为变换函数。这些流形是复几何研究的基本对象。一个一维复流形称为黎曼曲面。·巴拿赫和Fréchet流形:要允许无穷维，可以考虑巴拿赫流形，它局部同胚于巴拿赫空间。类似的，Fréchet流形局部同胚于Fréchet space。·轨形(Orbifolds):一个轨形是流形的推广，允许某种"奇异点"在其拓扑中存在。大致来讲，它是局部看起来像一些简单空间(例如，欧氏空间)通过各种有限群的群作用的商。奇点对应于群作用的不动点，而作用必须在某种意义下相容。·代数簇和概形(Algebraic varieties and schemes):一个代数簇是几个仿射代数簇粘起来得到的，仿射代数簇是在代数封闭的域上多项式的零点集。类似的，概形是仿射概形粘起来得到的，而仿射概形是代数簇的一个推广。二者都和流形相关，但都使用层而非坐标图集来构造。

manifold 翻译为“流形”，来源于文天祥的《正气歌》: 天地有正气，杂然赋流形. 易经 《彖》 大哉乾元,万物资始,乃统天。云行雨施,品物流形。 朱东润主编《中国历代文学作品选》（上海古籍出版社）中篇第二册203页对流形的注释是：流形，各种形态，指下文宇宙间所说的一切。所以，“流形”不但包含了日文“多样体”的含义，而且更为简洁，当然符合“信达雅”的原则了。

我不太清楚你想问的是什么大概说一下微分流形的定义吧，一个拓扑空间，局部可以和欧氏空间的开子集建立一一对应，而重叠部分又是光滑的，就叫做光滑流形，就像一条鱼，它的后背不是平坦的，但我们只观察一小块儿的话，可以近似看成平坦的，也就是一片平的鱼鳞，这些鳞片重叠起来就覆盖了整个鱼，这也就是流形的思想，局部欧式化狭义微分几何一般研究3维欧式空间中的曲线或者曲面，就拿曲面来说吧（曲线也是类似的），一个曲面上可以建立曲纹坐标(u,v),曲面可以表示为(x(u,v),y(u,v),z(u,v))这本质上是2维曲面，因为只有uv两个变量，也就是建立了和2维欧式空间中开子集的同胚，所以曲面就是特殊的流形，一般来说微分流形研究的是一般的流形，微分几何中的曲线和曲面只是1维、2维流形的特例而已。我不太清楚你问的是什么，可以追加问题~

经常，拓扑流形被定义为必须是Hausdorff的，所以最一般的流形定义如下： 一个Hausdoff空间X称为n维(拓扑)流形,如果X的任一点都有一个同胚于En或En+的开邻域. 这里En+是半个n维欧式空间,规定为 En+ :={(x1,x2,...,xn) ∈ En | xn ≥ 0}. 由定义不难看出,流形是局部紧致的.但并不一定是紧致的. 所以紧致流形就是 满足紧致性的流形. 即满足它的每个开覆盖都有有限个子覆盖的流形

流形学习方法(Manifold Learning)，简称流形学习，自2000年在著名的科学杂志《Science》被首次提出以来，已成为信息科学领域的研究热点。在理论和应用上，流形学习方法都具有重要的研究意义。

流形学习空间与欧氏空间的区别与联系如下：1、流形(Manifold)是局部具有欧式空间性质的空间，包括各种纬度的曲线曲面，例如球体、弯曲的平面等。流形的局部和欧式空间是同构的。2、传统的机器学习方法中，数据点和数据点之间的距离和映射函数f都是定义在欧式空间中的，然而在实际情况中，这些数据点可能不是分布在欧式空间中的，因此传统欧式空间的度量难以用于真实世界的非线性数据，从而需要对数据的分布引入新的假设。

所谓流形简单地说，这是当地的胚胎欧氏空间HAUSDROFF空间。 连续点构成歧管可以在本地同胚于一个点，一个点是零维的欧氏空间。但目的是希望你把它作为一个歧管在您的研究，引入歧管本地可以做微积分，似乎并不感兴趣。

圆周是除欧氏空间外最简单的流形。让我们考虑二维平面内一个半径为1，圆心在原点的圆（单位圆）。若x和y是平面上的欧式坐标，那么单位圆的方程就是x^2 + y^2 = 1。 单位圆的任意一点附近的一小段都像一条线。而线是一维的图形，我们只要一个坐标就可以标记这一小段上的一个点。例如单位圆在x轴上方的半圆上的任何一点都可以用x坐标确定。所以，存在双射Xtop，它通过简单的投影到第一个坐标(x)将圆的黄色部分映射到开区间(−1, 1)：这样的一个函数称为一个局部坐标卡（local coordinate chart）。类似的，单位圆的下半圆，左半圆，右半圆上也有相应的坐标卡。这四个半圆可以覆盖整个单位圆，我们称对应的四个局部坐标卡组成这个单位圆的一个坐标图集（atlas）。 注意上部和右部的坐标卡的重叠部分。它们的交集位于圆上x和y坐标都是正的四分之一弧上。两个图χtop 和χright 将这部分双射到区间(0, 1)。这样我们有个函数T 从(0, 1)到它自己，首先取黄色图的逆到达圆上再通过绿图回到该区间:这样的函数称为变换映射（坐标变换）。从微积分的观点来看，圆的变换函数T只是开区间之间的函数，所以我们知道它意味着T是可微的。事实上，T在(0, 1)可微而且对于其他变换函数也是一样。所以，这个图集把圆圈变成可微流形。 上面这四个坐标卡和它们之间的坐标变换说明单位圆是一个流形。但在单位圆上还可以有其他的坐标卡和坐标图集。考虑坐标卡 和这里s是穿过坐标为(x,y)的可变点和固定的中心点(−1,0)的线的斜率；t是镜像对称，其中心点为(+1,0)。从s到(x,y)的逆映射为我们很容易确认x^2+y^2= 1对于所有斜率值s成立。这两个坐标卡提供了圆周的又一个图集，其变换函数为注意每个坐标卡都缺了一点，对于s是(−1,0)，对于t是(+1,0)，所以每个坐标卡不能独自覆盖整个单位圆。利用拓扑学的工具，我们可以证明没有单个的坐标卡可以覆盖整个单位圆；在这个简单的例子里，我们已经需要用到流形可以拥有多个坐标图的灵活性。 流形不必是连通的（整个只有一片），所以两个不相交的圆周也是一个拓扑流形。流形不必是闭的，所以不带两个端点的线段也是流形。流形也不必有限，所以抛物线这样的图形也是一个拓扑流形。但是，我们排除了向两个相切的圆（它们共享一点并形成8字形）的例子；切点的附近任意小的一部分都不同胚于欧式空间的任何一个开集

通俗一点就是偏离原点的一条直线或者一个平面或者一个高维空间的超平面（这个偏移量可以为0 所以线性子空间包含于线性流形）。由于它无非就是个线性空间加一个偏移量，仍然有很多很好的性质 ，所以把它拿出来取个名字研究它还有个名称叫仿射子空间 。 因为一般刚刚接触线性代数的人很难弄清楚流形是什么东西 这就有点像我和小学生介绍加法的时候叫它“整数阿贝尔群”一样。数学:数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

考虑一个拓扑流形，其坐标图映射到Rn。给定一个Rn的有序基，坐标图就给它所覆盖的流形的一片引入了一个方向，我们可以视为或者右手或者左手的。重叠的坐标图不要求在方向上一致，这给了流形一个重要的自由度。对于某些流形，譬如球面，我们可以选取一些坐标图使得重叠区域在"手性"上一致；这些流形称为"可定向"的。对于其它的流形，这不可能做到。后面这种可能性容易被忽视，因为任何在三维空间中(不自交的)嵌入的闭曲面都是可定向的。我们考虑三个例子: (1)莫比乌斯带，它是有边界的流形，(2)克莱因瓶，它在三维空间必须自交，以及(3)实射影平面，它很自然的出现在几何学中。 从圆心为原点的球面开始。穿过原点的每条直线在两个相对的点穿透球面。虽然我们不能物理上这么做，我们在数学上可以把相对点合并为同一点。这样产生的闭合曲面是实射影平面，又一个不可定向曲面。它有一些等价 的表述和构造，但是这个方法揭示了它的名字:所有给定的穿过原点的直线射影到该"平面"的一个"点"。

一般来说微分流形是大三的课。微分流形（differentiable manifold），也称为光滑流形（smooth manifold），是拓扑学和几何学中一类重要的空间，是带有微分结构的拓扑流形。 微分流形是微分几何与微分拓扑的主要研究对象，是三维欧式空间中曲线和曲面概念的推广，可以有更高的维数，而不必有距离和度量的概念。光滑函数流形M上的实数值连续函数f:M →R是一个光滑函数，如果对每一个相容的坐标卡ρ：U→M, f(ρ):U→R是一个U上的光滑函数。因为坐标卡之间的坐标变换是光滑映射，这是一个良好的定义。特别的，光滑函数可以看成一种0阶张量场。

数学上，卡拉比-丘流形（Calabi-Yau manifold，简称卡丘流形）是一个的第一陈示性类为0的紧n维Kähler 流形，也叫做卡拉比-丘n-流形。数学家卡拉比在1957年猜想所有这种流形（对于每个Kähler类）有一个里奇平直流形的度量，该猜想于1977年被丘成桐证明，成为丘定理（Yau"s theorem）。因此，卡拉比-丘流形也可定义为「紧里奇平直卡拉比流形」（compact Ricci-flat Kähler manifold）。也可以定义卡拉比-丘n流形为有一个SU(n)和乐（holonomy）的流形。再一个等价的定义是流形有一个全局非0的全纯(n,0)-形式。

不变流形，英文含义为 invariant manifold，即①不变式,不变量②不变的,无变度的,恒定的～Abelian subgroup 正规阿贝耳子群,正规交。所谓流形，即是局部具有欧几里得空间性质的空间，是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广。欧几里得空间就是最简单的流形的实例。地球表面这样的球面则是一个稍微复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。

微分流形（differentiable manifold），也称为光滑流形（smooth manifold），是拓扑学和几何学中一类重要的空间，是带有微分结构的拓扑流形。 微分流形是微分几何与微分拓扑的主要研究对象，是三维欧式空间中曲线和曲面概念的推广，可以有更高的维数，而不必有距离和度量的概念。

本文翻译自colah的博客中的文章《Neural Networks, Manifolds, and Topology》 链接：http://colah.github.io/posts/2014-03-NN-Manifolds-Topology/ 发布于2014年4月6日 关键词：拓扑，神经网络，深度学习，流形假设（manifold hypothesis） 最近，深度神经网络给人们带来很大的振奋，引起了极大的兴趣，因为其在像计算机视觉等领域中取得的突破性成果。[1] 但是，人们对其仍存在一些担忧。一个是要真正理解一个神经网络在做什么是一件十分具有挑战的事情。如果一个人将其训练得很好，它可以取得高质量的结果，但是要理解其是如何做到这一点很难。如果网络出现故障，很难了解哪里出现了问题。 虽然，总体上来说要理解深度神经网络的行为具有挑战性，但事实证明，探索低维深度神经网络要容易得多，低维深度神经网络是指每层中只有少量神经元的网络。事实上，我们可以创建可视化来完全理解这种网络的行为和训练过程。这种观点将使我们能够更深入地了解神经网络的行为，并观察到神经网络和一个称为拓扑的数学领域之间的联系。 从中可以得到许多有趣的东西，包括能够对某些特定数据集进行分类的神经网络复杂度的基本下界。让我们从一个非常简单的数据集开始，在平面上有两条曲线。网络将学习把点归类为属于一个或另一个。对于这个问题，可视化神经网络行为的明显方法 - 或者任何分类算法 - 就是简单地看一下它如何对每个可能的数据点进行分类。 我们将从最简单的神经网络类别开始，只有一个输入层和一个输出层。这样的网络只是试图通过用直线划分它们来分离这两类数据。那种网络不是很有趣。现代神经网络通常在其输入和输出之间具有多个层，称为“隐藏”层。至少有一个。和前面一样，我们可以通过查看它对域中不同点的划分来可视化该网络的行为。它使用比直线更复杂的曲线将数据分离。对于每一层，网络都会转换数据，创建一个新的表示。[2] 我们可以查看每个表示中的数据以及网络如何对它们进行分类。当我们到达最终表示时，网络将只绘制一条穿过数据的线（或者，在更高维度下，绘制一个超平面）。 在之前的可视化中，我们以“原始”表示形式查看了数据。当我们看输入层时，你可以想到这一点。现在我们将在第一层转换后查看它。你可以把它想象成我们在看隐藏层。 每个维度对应于层中神经元的发射。在上一节中概述的方法中，我们通过查看与每个层对应的表示来学习理解网络。这给了我们一个离散的表示序列。 棘手的部分是理解我们如何从一个到另一个。值得庆幸的是，神经网络层具有很好的属性，使这很容易实现。 在神经网络中使用各种不同类型的层。我们将讨论tanh（双曲正切）层作为一个具体示例。 tanh层 tanh（Wx + b） 包括： 1. 经过“权重”矩阵 W 的线性变换 2. 经过矢量 b 的平移 3. 点式地应用tanh。 我们可以将其视为一个连续的转换，如下所示：其他标准层的过程大致相同，包括仿射变换，然后逐点应用单调激活函数。 我们可以应用这种技术来理解更复杂的网络。例如，以下网络使用四个隐藏层对两个略微纠缠的螺旋进行分类。随着时间的推移，我们可以看到它从“原始”表示转变为它为了对数据进行分类而学到的更高级别的表示。虽然螺旋最初是缠绕的，但最终它们是线性可分的。另一方面，以下网络也使用多个层，无法对两个更纠缠的螺旋进行分类。 值得明确指出的是，这些任务只是有些挑战，因为我们使用的是低维神经网络。如果我们使用更广泛的网络，所有这一切都会非常容易。 （Andrej Karpathy基于ConvnetJS做了一个很好的演示，它允许您通过这种对训练的可视化来交互式地探索网络！）每一层都伸展并占据空间，但它永远不会削减，折断或折叠它。直觉上，我们可以看到它保留了拓扑属性。例如，如果一个集合之前是连通的那其之后也是连通的（反之亦然）。 像这样不会影响拓扑的变换，称为同胚。在形式上，它们是双向连续函数的双射。 定理 ：如果权重矩阵W是非奇异的，则具有 N 个输入和 N 个输出的层是同胚。 （虽然需要注意域和范围。） 证明 ：让我们一步一步考虑： 1. 假设W具有非零行列式。然后它是具有线性逆的双射线性函数。线性函数是连续的。因此，乘以 W 是同胚。 2. 平移是同胚的。 3. tanh（和sigmoid和softplus但不是ReLU）是具有连续逆的连续函数。如果我们对我们考虑的域和范围保持谨慎，它们就是双射的。逐点应用它们是同胚。 因此，如果 W 具有非零行列式，则我们的层是同胚。 ∎ 如果我们将这些层中任意多个组合在一起，这个结果就会继续存在。考虑一个二维数据集，有两个类A和B⊂R2： A={x|d(x,0)<1/3} B={x|2/3<d(x,0)<1}声明 ：如果没有具有3个或更多隐藏单位的层，神经网络就无法对此数据集进行分类，无论深度如何。 如前所述，使用S形单元或softmax层进行分类等同于尝试找到在最终表示中分离A和B的超平面（或在这种情况下为线）。由于只有两个隐藏单元，网络在拓扑上无法以这种方式分离数据，并且注定要在此数据集上失败。 在下面的可视化中，我们观察到网络训练时的隐藏表示以及分类线。正如我们所看到的那样，它正在努力学习如何做到这一点。最终，它会被拉入一个相当低效的局部最小值。 虽然，它实际上能够达到~ 80％ 的分类准确度。 这个例子只有一个隐藏层，但无论如何都会失败。 证明 ：每一层都是同胚，或者层的权重矩阵具有行列式0.如果它是一个同胚，A仍然被B包围，并且一条线不能将它们分开。 但是假设它有一个行列式为0：那么数据集会在某个轴上折叠。 由于我们处理与原始数据集同胚的某些东西，A被B包围，并且在任何轴上折叠意味着我们将有一些A和B混合的点并且变得无法区分。∎ 如果我们添加第三个隐藏单元，问题就变得微不足道了。 神经网络学习以下表示：通过这种表示，我们可以使用超平面分离数据集。 为了更好地了解正在发生的事情，让我们考虑一个更简单的1维数据集： A=[−1/3,1/3] B=[−1,−2/3]∪[2/3,1]如果不使用两个或更多隐藏单元的层，我们就无法对此数据集进行分类。 但是如果我们使用有两个单元的层，我们学会将数据表示为一条很好的曲线，允许我们用一条线来将不同的类分隔开来：发生了什么？ 一个隐藏单元在x > -1/2时学会开火，一个在x > 1/2时学会开火。当第一个开火但第二个没开火时，我们知道我们在A中。这与现实世界的数据集，比如图像数据有关吗？ 如果你真的认真对待流形假设，我认为值得考虑。 流形假设是自然数据在其嵌入空间中形成低维流形。 理论上[3]和实验上[4]都有理由认为这是真的。 如果你相信这一点，那么分类算法的任务就是从根本上分离出一堆纠结的流形。 在前面的例子中，一个类完全包围了另一个类。 然而，狗图像流形似乎不太可能被猫图像流形完全包围。 但是，正如我们将在下一节中看到的那样，还有其他更合理的拓扑情况可能仍然存在问题。另一个值得考虑的有趣数据集是两个链接的圆环， A 和 B .与我们考虑的先前数据集非常相似，如果不使用n+1维，即第4维，则无法分离此数据集。 链接是在结理论中研究的，这是一个拓扑领域。 有时当我们看到一个链接时，它是否是一个非链接（一堆东西纠结在一起，但可以通过连续变形分开）并不是很明显。如果使用仅有3个单元的层的神经网络可以对其进行分类，那么它就是非链接。 （问题：理论上，所有非链接是否都可以被只有3个单元的网络进行分类？） 从这个结的角度来看，我们对神经网络产生的连续可视化的表示不仅仅是一个很好的动画，它还是一个解开链接的过程。在拓扑中，我们将其称为原始链接和分离链接之间的环境同位素（ambient isotopy）。 形式上，流形A和B之间的环境同位素是连续函数F：[0,1]×X→Y，使得每个Ft是从X到其范围的同胚，F0是恒等函数，F1将A映射到B。也就是说，Ft连续地从A向自身映射转换到A向B映射。 定理 ：在输入和网络层表示之间存在环境同位素，如果：a） W 不是奇异的，b）我们愿意置换隐藏层中的神经元，并且c）存在多于1个隐藏单元。 证明 ：同样，我们分别考虑网络的每个阶段： 1. 最难的部分是线性变换。 为了使这成为可能，我们需要 W 有一个正的行列式。 我们的前提是它不是零，如果它是负的，我们可以通过切换两个隐藏的神经元来翻转符号，那么我们可以保证行列式是正的。 正行列式矩阵的空间是路径连通的，因此存在 p ：[ 0,1 ] →  GLn (R)5，使得  p(0) = Id  且  p(1) = W 。 我们可以用函数  x → p(t)x  连续地从恒等函数转换到 W 变换，在每个时间点 t 将 x 乘以连续转换矩阵 p(t) 。 2. 我们可以用函数 x → x + tb 不断地从恒等函数转换到b转换。 3. 通过函数： x → (1- t)x +tσ(x) ，我们可以不断地从恒等函数过渡到σ的逐点使用。∎ 我想可能有兴趣自动发现这种环境同位素并自动证明某些链接的等价性，或某些链接是可分离的。知道神经网络能否击败现有技术水平将会很有趣。 （显然确定结是否平凡是NP问题。这对神经网络来说不是好兆头。） 到目前为止我们谈到的那种链接似乎不太可能出现在现实世界的数据中，但是有更高的维度的拓展。在现实世界的数据中可能存在这样的事情似乎是合理的。 链接和结是一维流形，但我们需要4个维度才能解开所有这些。类似地，人们可能需要更高维度的空间以能够解开n维流形。所有n维流形都可以在 2n + 2 维中解开。[6] （我对结理论知之甚少，真的需要更多地了解有关维度和链接的知识。如果我们知道流形可以嵌入到n维空间中，而不是流形的维数，我们有什么限制？ ）一个神经网络要做的自然的事情，非常简单的路线，是试图将流形分开，并尽可能地拉伸缠绕的部分。 虽然这不会接近真正的解决方案，但它可以实现相对较高的分类准确度并且是诱人的局部最小值。它会在它试图拉伸的区域中表现为 非常高的衍生物 （very high derivatives）和近乎不连续性。我们知道这些事情会发生.[7] 在数据点处惩罚层的衍生物的收缩惩罚是对抗这种情况的自然方式.[8] 由于这些局部极小值从试图解决拓扑问题的角度来看是绝对无用的，拓扑问题可能提供了探索解决这些问题的良好动机。 另一方面，如果我们只关心实现良好的分类结果，似乎我们可能不在乎。如果数据流形的一小部分被另一个流形钩住，对我们来说这是一个问题吗？尽管存在这个问题，似乎我们也应该能够获得主观上来看不错的分类结果。 （我的直觉是试图欺骗这个问题是一个坏主意：很难想象它不会是一个死胡同。特别是在一个优化问题中，局部最小值是一个大问题，选择一个架构，不能真正解决问题似乎是表现不佳的秘诀。）我对标准神经网络层的思考越多 - 即是，通过仿射变换后跟一个逐点激活函数 - 我感觉更加失去理智。 很难想象这些对于操纵流形真的很有益。 或许有一种非常不同的层可以用来组成更传统的层？ 我自然想到的是学习一个矢量场，这个矢量场带有我们想要改变流形的方向：然后根据它来变形空间：人们可以在固定点学习矢量场（只需从训练集中取一些固定点作为锚点）并以某种方式进行插值。 上面的矢量场的形式如下： 其中v0和v1是向量，f0(x)和f1(x)是n维高斯。 这受到径向基函数的启发。我也开始思考线性可分性对于神经网络的需求可能是巨大的，虽然可能是不合理的。在某些方面，感觉自然要做的就是使用k近邻（k-NN）。然而，k-NN的成功在很大程度上取决于它对数据进行分类的表示，因此在k-NN能够很好地工作之前需要一个好的表示。作为第一个实验，我训练了一些MNIST网络（两层卷积网，没有丢失），达到了约1％的测试误差。然后我丢弃了最终的softmax层并使用了k-NN算法。我能够始终如一地将测试误差降低0.1-0.2％。 尽管如此，还是觉得哪里有些问题。网络仍在尝试进行线性分类，但由于我们在测试时使用k-NN，因此能够从错误中恢复一点。 由于1/距离的加权，k-NN在它所作用的表示方面是可微的。因此，我们可以直接为k-NN分类训练一个网络。这可以被认为是一种“最近邻”层，可以作为softmax的替代品。 我们不希望为每个小批量提供整个训练集，因为这在计算上非常昂贵。我认为一个很好的方法是根据小批量的其他元素的类别对小批量的每个元素进行分类，给每个元素一个权重1 /(与分类目标的距离)。[9] 遗憾的是，即使使用复杂的架构，使用k-NN也只会降低5-4％的测试错误 - 使用更简单的架构会导致更糟糕的结果。但是，我花了很少的精力去调整超参数。 尽管如此，我在美学上仍然喜欢这种方法，因为看起来我们“要求”网络做的事情要合理得多。我们希望相同流形的点比其他点更接近，而流形可以通过超平面分离。这应该对应于扩张不同类别流形之间的空间并使各个流形收缩。感觉就像简化。 数据的拓扑属性（例如链接）可能使得无法使用低维网络线性分离类，无论深度如何。即使在技术上可行的情况下，例如螺旋，这样做也是非常具有挑战性的。 为了使用神经网络准确地对数据进行分类，有时需要宽层。此外，传统的神经网络层似乎不能很好地表示对流形的重要操作；即使我们巧妙地手工设置权重，紧凑地表示我们想要的变换也是一项挑战。新的层，特别是受机器学习的流形观点驱动的，可能是有用的补充。 （这是一个正在开发的研究项目。它是作为公开进行研究的实验而发布的。我很高兴收到你对这些想法的反馈：你可以内联或最后发表评论。对于拼写错误，技术错误或你想要的澄清看到添加，我们鼓励你在github上发出pull请求。） 感谢Yoshua Bengio, Michael Nielsen, Dario Amodei, Eliana Lorch, Jacob Steinhardt, and Tamsyn Waterhouse的评论和鼓励。 1. This seems to have really kicked off with  Krizhevsky  et al. , (2012) , who put together a lot of different pieces to achieve outstanding results. Since then there"s been a lot of other exciting work. ↩ 2. These representations, hopefully, make the data “nicer” for the network to classify. There has been a lot of work exploring representations recently. Perhaps the most fascinating has been in Natural Language Processing: the representations we learn of words, called word embeddings, have interesting properties. See  Mikolov  et al.  (2013) ,  Turian  et al.  (2010) , and,  Richard Socher"s work . To give you a quick flavor, there is a  very nice visualization  associated with the Turian paper. ↩ 3. A lot of the natural transformations you might want to perform on an image, like translating or scaling an object in it, or changing the lighting, would form continuous curves in image space if you performed them continuously. ↩ 4.  Carlsson  et al.  found that local patches of images form a klein bottle. ↩ 5. GLn(R)is the set of invertible n×n matrices on the reals, formally called the  general linear group  of degree n. ↩ 6. This result is mentioned in  Wikipedia"s subsection on Isotopy versions . ↩ 7. See  Szegedy  et al. , where they are able to modify data samples and find slight modifications that cause some of the best image classification neural networks to misclasify the data. It"s quite troubling. ↩ 8. Contractive penalties were introduced in contractive autoencoders. See  Rifai  et al. (2011) . ↩ 9. I used a slightly less elegant, but roughly equivalent algorithm because it was more practical to implement in Theano: feedforward two different batches at the same time, and classify them based on each other. ↩

在拓扑学中四维是一个非常特殊的维数。譬如斯梅尔的庞加莱猜想的证明只应用于大于四维的维数，他的h-配变定理不能应用于四维流形。而弗里德曼的对四维庞加莱猜想的证明则更复杂。而且人们发现，存在四维拓扑流形，在其上不能赋予任何微分结构。而四维欧式空间是唯一一个存在怪异微分结构的欧式空间。对四维微分流形的研究中具有里程碑意义的是英国数学家西蒙·唐纳森的工作。他的想法来源于理论物理中的规范场理论。他由此定义了被称为唐纳森不变量的四维微分流形的不变量。后来物理学家赛博格和爱德华·威腾将唐纳森不变量简化为一种更易于计算的不变量，后来被称作赛博格-威腾不变量（Seiberg-Witten invariants）。这些不变量都大大推进了人们对四维微分流形的理解。而对于四维拓扑流形，许多问题还没有解决。其中最重要的是四维流形的光滑庞加莱猜测：（作为一个拓扑流形）四维球面上只存在标准的微分结构。

原诗： 天地有正气，杂然赋流形。 下则为河岳，上则为日星。 于人曰浩然，沛乎塞苍冥。 皇路当清夷，含和吐明庭。 时穷节乃见，一一垂丹青。 在齐太史简，在晋董狐笔。 在秦张良椎，在汉苏武节。 为严将军头，为嵇侍中血。 为张睢阳齿，为颜常山舌。 或为辽东帽，清操厉冰雪。 或为出师表，鬼神泣壮烈。 或为渡江楫，慷慨吞胡羯。 或为击贼笏，逆竖头破裂。 是气所磅礴，凛烈万古存。 当其贯日月，生死安足论。 地维赖以立，天柱赖以尊。 三纲实系命，道义为之根。 嗟予遘阳九，隶也实不力。 楚囚缨其冠，传车送穷北。 鼎镬甘如饴，求之不可得。 阴房阗鬼火，春院闭天黑。 牛骥同一皂，鸡栖凤凰食。 一朝蒙雾露，分作沟中瘠。 如此再寒暑，百疠自辟易。 嗟哉沮洳场，为我安乐国。 岂有他缪巧，阴阳不能贼。 顾此耿耿在，仰视浮云白。 悠悠我心悲，苍天曷有极。 哲人日已远，典刑在夙昔。 风檐展书读，古道照颜色。 译文： 天地之间正气存，赋予形体杂纷纷。地上江河与山岳，天上日月和繁星。人有正气叫浩然，充塞环宇满盈盈。生逢圣世清明年，平平和和效朝廷。国难当头见气节，永垂青史留类名。齐国太史不惧死，崔杼弑君载史籍；晋国董狐真良史，手握“书法不隐”笔；韩国张良雪国耻，椎杀秦皇遭通楫；苏武留胡十九年，终日手持汉朝节；巴郡太守老严颜，甘愿断头不妥协；晋代侍中名嵇绍，为救国君酒热血；张巡当年守雎阳，咬牙切齿讨逆贼；常山太守颜杲卿，骂敌骂断三寸舌；辽东管宁“着皂帽”，清操自励若冰雪；诸葛《出师》复汉室，鞠躬尽瘁何壮烈！祖逖渡江誓击楫，奋威慷慨吞胡羯；秀实夺笏击狂贼，贼头破裂直流血。浩然之气多磅礴，志士英名万古存。每当正气贯日月，谁把生死放在心。 地靠正气得以立，天靠正气成至尊。三纲靠此得维持，道义以此为本根。可叹我生逢乱世，竞无才力救危亡。被俘仍戴南国帽，囚车押我到北方。折磨摧残何所惧，酷刑只当饮糖浆。牢房死寂见鬼火，春来紧闭黑茫茫。老牛骏马共槽食，鸡窝里面栖凤凰。一旦染病便死亡，枯骨弃野多凄凉。如此恶境囚两载，各种毒害不能伤。牢房阴森令人哀，是我安乐之天堂。岂有智谋与巧计，能防邪毒来伤身。光明磊落忠义心，我视生死如浮云。我心悲伤悠绵绵，好似苍天哪有边？贤哲虽然已远去，榜样令我心更坚。檐心展读圣贤书，光华照彻我容颜。

拓扑流形，为最容易定义的流形，它局部看起来象一些“普通”的欧氏空间Rn。形式化的讲，一个拓扑流形是一个局部同胚于一个欧氏空间（或上半欧式空间）的拓扑空间。这表示每个点有一个邻域，它有一个同胚(连续双射其逆也连续)将它映射到Rn（Rn+）。这些同胚是流形的坐标图。

这称为Riemann度量.给出一个Riemann度量,就是给出了所有切向量的长度（和内积,当然,只有两个同一点处的切向量才有内积）；给出这种长度,有不同的给法,这就是不同的Riemann度量.能不能看成欧氏空间中的长度,要看怎么想,至于“转化”,我需要知道你想象中的转化具体是一个什么意思. 一点处的一个切向量,它所在的空间是这一点的切空间. 假如这个流形本身被放到了一个欧氏空间里,那么就可以直观的把这点处的切空间看成是这点的切平面（当然,不一定非得是个2维的面,取决于流形是多少维的）,这时候可以按照欧氏度量来定义这个切平面里向量的长度.这样就定义了一个Riemann度量.在定义这个度量的时候,我们其实用到了“把这个流形放到欧氏空间”里的这种放法,也就是用到了映射 i:M -> R^n,其中M是这个流形,i是个嵌入映射.刚才所给出的欧氏的这种度量,实际来源于R^n中向量的长度,这种度量称为由映射i诱导的度量. 一般情形是,我们往往不容易想象怎么把一个流形M放到一个欧氏空间里（尽管能放）,或者干脆不想（有时候维数比较大,即便知道怎么放到欧氏空间里,可能也并不直观）.这时候,一个切平面就是一个单独的欧氏空间,而没法把它看成某个大的欧氏空间里的一个平面或者什么的.

译者：树石 最近，由于在诸如计算机视觉领域取得了突破性成果，深层神经网络引起了广泛的关注和兴趣。 然而，该领域仍然存在一些顾虑。比如， 要了解神经网络能够做什么相当具有挑战性 。如果一个网路被训练得很好，输出高品质的结果，但了解它是如何做到的具有挑战性。如果网络出现故障，也很难理解什么地方出了错。 虽然通常理解深层神经网络的行为比较困难， 探索低维度深层神经网络相对容易的多 ——在每一层只有几个神经元的网络。事实上，我们可以通过创建可视化效果来理解网络的行为和对网络的培训。这种方法将让我们 获取对神经网络行为的深层直觉，并观察到神经网络和拓扑学之间的联系 。 另外，还探讨了一些有趣的事情，包括对某些数据集进行分类的神经网络的最低复杂性。 让我们从一个非常简单的数据集开始：在一个平面上的两条曲线。该网络将学习如何将线上的点归类为这一个还是另外一个。 将神经网络（或任何分类算法）的行为可视化，显而易见的方法是简单地看它是如何对每一个可能的数据点进行分类。 我们将先从最简单的神经网络开始，只有一个输入层和一个输出层的网络。这样的网络只是试图通过画一条线将两个类数据的分离。 诸如此类的网络不是很有趣。现代神经网络一般在输入和输出之间，具有称为“隐藏”层的多个层次。至少包含一个隐藏层。 与以前一样，我们可以通过查看它对其领域不同点进行的处理来观察这个网络的行为。数据分割通过一条曲线来完成，而不是直线。 通过神经网络的每一层，数据被转换，创建了一个新的 表示 （represention）。我们可以看一下在这些表示中的数据以及网络是如何划分他们的。当我们到达最后一层的表示时，网络只需要绘制一条线（或者，在更高维度里绘制一个超平面）。 在前面的可视化中，我们看到其“原始”表示的数据，你可以将其视为输入层。现在我们将看看经过第一层转化后，你可以认为这是我们看到了隐藏层。 每个维度对应于该层中神经元的兴奋。 在上一节中所概述的方法，我们知道通过查看每层的表示来了解网络。这给了我们一个离散的表示列表。 最棘手的部分是了解我们是如何从一个表示到另一个的。值得庆幸的是，神经网络层具有很好的性能，使这一点变得很容易。 神经网络由多种不同类型的层构成。我们将谈论一个具体的例子：双曲正切层（tanh）。一个双曲正切层tanh⁡(Wx+b)由以下组成： 我们可以观察到这是一个连续变换，具体如下： 这个故事和其它标准层大体相同，由一个映射变换之后单调激活函数的逐点应用。 我们可以用这种技术来了解更复杂的网络。例如，下面的网络划分两个被略微缠结的螺旋，使用四个隐藏层。随着时间的推移，我们可以看到它的“原始”表示转移到更高层次为了对数据进行分类。而螺旋最初是纠结的，最终他们是线性可分的。 另一方面，以下的网络，也是使用多个层，分类两个螺旋没有成功，反而更加缠结。 这里值得明确指出，这些任务将变得有些困难，如果我们使用的是低维神经网络。如果我们使用更广泛的网络，这一切都将是相当容易的。 （ Andrei Karpathy有 很好的演示 基于ConvnetJS，让您可以交互式地浏览网络，就像上面的这种可视化培训！ ） 每一层都会拉伸和挤压空间，但它永远不会切割、断裂和褶皱它。直观地说，我们可以看到它保留了拓扑性质。例如，一组数据将在转化后保持连接，如果它之前是连接的（反之亦然）。 这样的转换，不影响拓扑结构，被称为同胚。在形式上，他们是连续函数的双向映射。 定理 ：具有N个输入和N个输出的层是同胚，如果权重矩阵W是非奇异的。（虽然需要小心它的值域和范围。） 证明 ：让我们一步步考虑： 因此，如果W所有因子都是非零的，我们的层就是同胚的。∎ 这一结果始终正确，如果我们将任意多个这些层组合在一起。 考虑包含两个类的二维数据集 ![][01] [01]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?,A,B subsetmathbb{R}^2 A = {x | d(x,0) < 1/3} B = {x | 2/3 < d(x,0) < 1} 如前面提到的，用一个S形函数或SOFTMAX层分类相当于试图找到一个超平面（或在这种情况下是一条线）在最终表示中分隔A与B。只有两个隐藏层的网络对于分离这组数据在拓扑上是无能的，并注定要失败。 在下面的可视化图中，我们观察到网络训练隐藏的表示，通过试图使用一条直线来分类。我们可以看到，它在努力学习某种方式来做到这一点是不断挣扎而且困难重重。 最后，它被拉到一个相当低效的拟合。虽然它实际上能够实现〜80%分类精度。 这个例子只有一个隐藏层，但无论如何它都会失败。 证明 ：要么每层是一个同胚，要么该层的权重矩阵具有0因子。如果该层是同胚的，A被B所环绕，一个直线不能将它们分开。但是，假设它具有一个0因子：那么数据集将在某些轴上崩塌。因为我们正在处理的东西同胚于原始数据集，A被B所包围，在任一轴崩塌于意味着我们将有一些A中的点和B中的点混合，从而无法完成A与B的区分。∎ 如果我们增加第三个隐藏层，问题就变得微不足道。神经网络学习以下表示： 用这个表示，我们可以用一个超平面分开数据集。 为了更好的理解这是怎么做到的，让我们考虑一个更简单的一维数据集： ![][02] [02]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?,A=[- frac{1}{3}，,frac{1}{3}] ![][03] [03]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?,B=[-1,- frac{2}{3}]cup[frac{2}{3},1] 如果不使用两个或多个隐藏单元层，我们不能将此数据集进行分类。但是，如果我们使用一个带有两层的网络，我们就学会将数据转化成一个很好的曲线，让我们能用一条线将数据分开： 发生了什么？一个隐藏单元学习当x>-1/2时兴奋，另一个单元学习当x>1/2时兴奋。当第一个兴奋，而不是第二个时，我们知道数据属于A。 这个假说和现实世界的数据集相关吗，比如图像数据？如果你认真对待流形假说，我觉得他值得思考。 流形假说是指自然数据在它的嵌入空间构成了较低维度的数据流形。同时具有理论和实验的理由相信这一假说是真的。如果你相信这一点，那么分类算法的任务是从根本上分离一堆纠结的流形。 在前面的例子中，一个类完全被另一个类包围。然而，这似乎并不可能，比如狗的图像流形完全被猫的图像流形包围。因为我们将在下一节中看到其他更合理的拓扑情况。 另一个有趣的数据集要考虑的是两个链接的tori，A和B。 就像之前的数据集，这个数据不能被分离，如果不使用n+1维，即4个维度。 链接在结点理论（knot theory)中被讨论，拓扑学的一个领域。有时，当我们看到一个链接，并不能一眼看出它是否真正相连（一堆被缠结在一起的事情，但可以通过连续变形分开）。 如果仅仅使用3个层次的神经网络就能够对其进行分类，那么它就是一个未链接（unlink）。（问：理论上是否能将所有未链接都通过只有3个层次的网络进行分类？） 从这个结的角度看，我们通过神经网络产生的连续可视化不仅仅是一个漂亮的动画，它是解开链接的程序。在拓扑学中，我们把它称为原始链接和分离环之间一个环境同痕（an ambient isotopy)。 形式上，流形A和B之间的一个环境同痕是一个连续函数F：[0，1]× X→Y，使得每个Ft是一个从X到它自己范围的同胚，F0是一个标识函数，并F1是从A到B的一个映射。也就是，Ft是从A到自身的映射到从A到B的映射的连续转换。 定理 ：在输入和网络层之间具有环境同痕，如果： 证明 ：同样，我们分别考虑网络的每个阶段： 我想这也许是十分有趣的，通过程序自动发现这样的环境同痕并自动证明某些链接的等价性，或者某些环节是可分离的。这将很有趣知道，如果神经网络是否可以各种情况。 （显然，确定结点是否重要是一个NP，这不太适用于神经网络。） 我们已经谈到的这类链接，到目前为止似乎不太可能是现实世界的数据，但他们是更高维的生成。这似乎是合理的。 链接和结点是1维流形，但我们需要4个维度才能够解开他们。类似地，可能需要更高维度的空间，以便能够解开n维流形。所有n维流形可在2n+2维度上解开。 （我对于结点理了解不多，确实需要更多地了解维度和链接。如果我们知道一个流形可以被嵌入到n维空间，而不是流形的维度，我们有什么限制？ ） 很自然的想法，一个神经网络试图直接将流形从纠结尽可能薄的部分拉出。虽然这不会在任何情况下都是一个好的解决方案，但是大多情况它可以实现较高的分类准确率，到达一个诱人的最低点（local miminum）。 它试图拉伸具有高延展性的空间，并锐化靠近中断处。我们知道这些事情发生。压缩的处罚，在对数据点衍生层的处罚，都是很自然的做法。 由于这些局部最小点对于解决这种拓扑问题完全无用，拓扑问题值得很好的探索。 在另一方面，如果我们只关心取得了良好的分类结果，好像我们可能并不关心。如果很小的一个数据流形的点陷入另一个流形，会是一个问题吗？看起来我们应该能够得到很好的分类结果，尽管有这个问题。 （我的直觉是，像这样欺骗自己是一个坏主意：这是很难想象它不会是死路一条。特别是，针对一个局部最小很重要的优化问题，选择这种方式不能真正解决问题，这似乎是糟糕的表现。） 我越思考标准的神经网络层 - 即用映射变换后逐点激活功能 - 我就越不抱幻想。很难想象，他们能够很好地操纵流形。 也许这可能是有意义的，我们采用一个非常不同的层，而不是传统的神经网络层？ 非常自然的感觉是，通过一个矢量场的学习，我们希望流形移动方向： 然后再对他变形空间： 人们可以学会在固定点的矢量场（只是需要从训练集合选取一些固定点作为锚），并以某种方式介入。上面的矢量场的形式是： ![][04] [04]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?,F(x)= frac{v_0f_0(x)+v_1f_1(x)}{1+f_0(x)+f_1(x)} 其中，v0和v1是矢量，F0(X)和F1(X)是n维高斯函数。这一点来自于径向基函数（radial basis functions）的灵感。 我也开始觉得线性可分可能是一个巨大的，也可能不合理的，神经网络的需求。在某些方面，非常自然的会想到使用K-近邻（K-NN）。然而，K-NN的成功在很大程度上取决于它所分类的数据表示（represention），因此，人们在K-NN之前，需要一种良好的表示。 作为第一个实验中，我训练了一些MNIST网络（两层卷积网，没有下降现象）到达〜1%测试误差。然后我放弃了最后的SOFTMAX层而使用K-NN算法，我能够始终如一地降低0.1-0.2％的测试误差。 不过，这并不完全觉得是正确的事情。该网络还在试图做线性分类，但由于我们使用K-NN测试，它能够从它所犯的错误中恢复一些。 K-NN有区别于相对于它的网络层次，因为会用到（1 /距离值）加权。因此，我们可以直接训练网络K-NN分类。这可以被认为是一种“k-NN”层替SOFTMAX。 我们不希望为每个小批量数据遍历整个训练集，因为这将非常消耗计算资源。我认为一个很好的办法是根据小批次的其它元素对每个小批次的元素进行分类，赋予每一个元素（1 /从分类目标的距离）的权重。 可悲的是，即使有完善的体系结构，采用K-NN只下到5-4％检测错误 - 使用简单的架构会得到更坏的结果。不过，我已经很少把努力放在高维参数上了。 不过，我真的很喜欢这个方法，因为它好像就是我们“要求”网络运行的更加合理。我们希望在同一流形的点比其它的点更加接近，相对于由一个超平面被分离的其他流形。这相对需要拉伸不同类别流形之间的空间，同时收缩每一个流形。这感觉就像是在简化问题。 具有拓扑性质的数据，例如链接，可能导致无法使用低维网络进行线性分类，无论深度有多大。即使在技术上是可能的情况下，例如螺旋，也是非常具有挑战性的。 为了使神经网络准确的分类数据，多个层次有时是必要的 。此外，传统的神经网络层似乎并不能很好的处理流形数据；即使我们巧妙的手工设置权重，想要紧凑的表达我们想要的转换也是非常困难的。新建层次，特别使用流形相关的机器学习，可能是有用的补充。 （这是一个发展中的研究项目。相关研究信息会在网上公布。我会很高兴听听您对这些想法的反馈：您可以发表评论。对于错别字，技术错误，或任何澄清，我们鼓励你发一个请求在GitHub上。） 致谢 谢谢Yoshua Bengio，迈克尔·尼尔森，达里奥 Amodei，埃利安娜洛奇，雅各布斯坦哈特和Tamsyn Waterhouse的意见和鼓励。

参见条目：流形具体说来,设M是一个豪斯多夫拓扑空间。U是M的开集,h是U到n维欧氏空间R的开集(常取为单位球内部或立方体内部等等)上的一个同胚映射,则(U，h)称为一个坐标图,U称为其中点的一个坐标邻域。设M为开集系{Uα}所覆盖,则(Uα,hα)的集合称为M的一个坐标图册。如果M的坐标图册中任何两个坐标图都是C相关的,则称M有C微分结构,又称M为n维的C微分流形。C相关是指流形M上同一点的不同坐标之间的变换关系是C可微分的(k=0,1,…,∞或ω)，依通常记号C表示解析函数。具体来说, 如p∈Uα∩Uβ,(x,）(x)(i=1,…,n)分别是p在两个坐标图(Uα,hα)，(Uβ,hβ)下的(局部)坐标,即那么它们之间的关系式可表为而ƒ关于x（j=1,2，…，n）具有直到k次的连续导数。k=0时,M是拓扑流形；k>0时,就是微分流形；k=ω时，是解析流形。C流形又常称为光滑流形。如果微分流形M是一个仿紧或紧致拓扑空间，则称M为仿紧或紧致微分流形。如果可选取坐标图册使微分流形M中各个坐标邻域之间的坐标变换的雅可比行列式都大于零，则称这个流形是可定向的。球面是可定向的，麦比乌斯带是不可定向的。同一拓扑流形可以具有本质上不同的微分结构。米尔诺（John Milnor）首先发现作为一个拓扑流形，七维球面上可有不同于标准微分结构的怪异微分结构。后来弗里德曼（Michael Freedman）等得出如下的重要结果:四维欧氏空间中也有多种微分结构，这与其他维数的欧氏空间只有惟一的微分结构有着重大区别。

我不知道你的数学知识水平,我就从简单的几个必须的概念开始讲吧: 1、开集：设A是开集,则对A中的任意一点a,存在a的邻域o(a)包含于A. 2、微分同胚：若U、V是n维实数空间（下面我记之为R^n）中的开集,一个从U到V的可微函数h,如果从V到U的可微逆,则称h为微分同胚. 3、K维流形：R^n中的子集M称为K维流形,如果对于M中的每一点x都满足以下条件： 存在一个含x的开集U、一个R^n中的开集V和一个从U到V的微分同胚h,使得 h(U∩V)=V∩(R^k×{0})={y∈V；y^(k+1)=……=y^n=0} 4、另一种等价的定义：R^n中的子集M称为K维流形,当且仅当M中的每一个点x,下述条件成立： 存在一个包含x的开集U,一个R^k中的开集W以及一个从W到R^n的1-1可微函数f,使得： 1)f(W)=M∩U； 2)f"(y)对每个y∈W的秩为k； 3)从f(W)到W的f的逆连续. 上述条件叫通常叫“坐标条件”,这样的f叫做x周围的坐标系. 5、线性流形,即满足线性运算的流形. 例子： 1）R^n的一个开集 2）n维球面：{x∈R^(n+1):|x|=1}

我们可以在微分流形上赋予不同的几何结构（即一些特殊的张量场）。不同的几何结构就是微分几何不同的分支所研究的主要对象。 黎曼度量主条目：黎曼几何仿紧微分流形均可赋予黎曼度量（见黎曼几何），且不是惟一的。有了黎曼度量，微分流形就有了丰富的几何内容，就可以测量长度，面积，体积等几何量。近复结构和复流形参见：复流形微分流形M上的一个近复结构是M的切丛TM的一个自同构，满足J·J=-1。如果近复结构是可积的，那么我们就可以找到M上的全纯坐标卡，使得坐标变换是全纯函数。这时我们得到了一个复流形。辛流形参见：辛几何微分流形上的一个辛结构是一个非退化的闭的二次微分形式。这样的流形成为辛流形。

按照流形的定义.一般的拓扑流形不见得有光滑结构.有光滑结构的就叫做微分流形.但拓扑群一定有光滑结构.反例比如三角形是拓扑流形而不是微分流形

格拉斯曼超复数( 维向量空间) 在哈密顿之后,各种新的超复数像雨后春笋般涌现出来.事实上,就在哈密顿建立四元数时,一位德国数学家格拉斯曼(H.G.Grassmann)也在对复数作出推广.与哈密顿相比,格拉斯曼的推广更为大胆,1844年,也就是哈密顿宣布发现四元数的第2年,格拉斯曼出版了他的《线性扩张论》.但由于他把神秘的教义和本来就抽象难懂的数学内容揉合在一起,再加上语言晦涩,所以这本书影响很小.直到1862年,格拉斯曼对他的书作了修订,简化,他的理论的独创性才逐渐为人所知. 格拉斯曼实际上涉及的是 向量空间.他所说的"扩张的量"就是一种有个分量的超复数.格拉斯曼定义了两个超复数的加减法和两种乘法,一种称为内积,另一种称为外积.对于外积,没有交换律. 格拉斯曼还在1855年的一篇文章中,对超复数给出了16种不同类型的乘积.他对这些乘积作了几何解释,并给出了它们在力学,磁学和结晶学等方面的应用 . 我们在前面曾提到,将复数推广到超复数的一个重要动力是来自物理方面的需要.格拉斯曼的超复数在一定程度上满足了这种需要,但他的工作在相当长的一段时间里被人忽视了.四元数倒是立刻吸引了人们的注意力,但它却不适合物理学家的需要. 将四元数改造成物理学家所需要的工具的第一步,是由英国数学物理学家麦克斯韦(J.C.Maxwell)迈出的.他区分了四元数的数量部分和向量部分.在—个四元数 中,称 为数量部分,称 为向量部分.他说,要规定一个向量需要三个量(分量),这三个量能解释成沿三个坐标轴的长度.

卡拉比-丘流形是一个的第一陈示性类为0的紧n维K&amp;auml;hler 流形，也叫做卡拉比-丘n-流形。数学家卡拉比在1957年猜想所有这种流形有一个里奇平直流形的度量，该猜想于1977年被丘成桐证明，成为丘定理。因此，卡拉比-丘流形也可定义为「紧里奇平直卡拉比流形」。

我们可以依次进行以下三个步骤的证明：（1）该流形是拓扑等价于三维球面；（2）该流形是闭的；（3）该流形是单连通的。证明第一步，即证明该流形是拓扑等价于三维球面。根据普适性定理，任何没有边界的紧致三维流形都可以拓扑等价于三维球面。因此，只需要证明该流形没有边界并且是紧致的即可。证明第二步，即证明该流形是闭的。我们可以考虑推论，假设该流形不是闭的，则可以找到一个点在流形的外部，因为该流形是单连通的，所以我们可以通过任意一条球面上的路径将该点与流形内部的某个点连接起来（可以想象一下在球面上任意点之间总能找到一条大圆路径），从而将该流形“拉”到球面内部，这与它是单连通的矛盾。因此，该流形必须是闭的。证明第三步，即证明该流形是单连通的。由于该流形是闭的，因此根据Poincare定理，它的一级同调群H1为零。由于该流形是单连通的，因此它的基本群π1也为零。进一步根据Hurewicz定理，当流形是连通的时候，一级同调群与基本群同构，因此H1 = π1 = 0。因此，该流形是单连通的。综上所述，该流形既是闭的又是单连通的，而且拓扑等价于三维球面，因此它一定拓扑同胚于一个三维球面。

　天地有正气，杂然赋流形。下则为河岳，上则为日星。於人曰浩然，沛乎塞苍冥。　　 ——文天祥《正气歌》　　天地之间正气存，赋予形体杂纷纷。地上江河与山岳，天上日月和繁星。人有正气叫浩然，充塞环宇满盈盈。　　公孙丑问“敢问夫子恶乎长？”曰：“我知言，我善养吾浩然正气。”“敢问何谓浩然之气？”曰“难言也。其为气也，至大至刚，以直养而无害，则塞于天地之间。其为气也，配义与道；无是，馁也。是集义所生者，非义袭而取之也。行有不慊于心，则馁矣。我故曰，告子未尝知义，以其外之也。必有事焉，而勿忘，勿取长也。无若宋人然。宋人有闵其苗不长而揠之者，芒芒然归，谓其人曰：‘今日病矣！予助苗长矣！"其子超而往视之，苗则槁矣，天下不助苗长者寡矣。以为无益而舍之则，不耘苗者也；助之长者，揠苗者也——非徒无益，而又害之。”　　——《孟子公孙丑上》　　公孙丑又问：“请问先生擅长于什么呢？”　　孟子说：“我知道语言的作用，我善于修养我的浩然之气。”　　公孙丑说：“请问什么叫做浩然之气？”　　孟子说：“这很难说透，这种气，最伟大、最刚强，用正直去培养它而不损害它，那就会充满于天地之间。这种气，要配上最佳行为方式和正常的道路，如果不是，就会泄气。它是集聚最佳行为方式在心中所生起的，不是凭偶然的最佳行为方式所能获取的。行为中有不满足于心的，就会泄气。所以我说，告子不一定知道最佳的行为方式，因为他把义看作是外在的东西。如果有事情必然要发生，先不要去纠正，心里面不要忘记它，不要去助长它。千万不要象宋国人那样，宋国有个人担心他的禾苗长不快而把禾苗拔高，累了一天回家，告诉家里人说：‘今天我太担忧，所以帮助禾苗长高了。"他的儿子赶快跑去一看，禾苗都枯萎了。天下不拔苗助长的人太少了。以为没有什么益处而放弃的人，就是不锄草松土的懒汉；帮助禾苗快速成长的人，就是拔苗助长的人；他们这样做，不但没有什么好处，反而会伤害事情的发展。”

1、度规张量场定义 2、矢量空间定义“距离” ✨为什么要定义距离？因为在一般的空间不像欧氏空间拥有“自然”的距离，我们需要建立一个标准来衡量矢量空间中元素之间的距离。 ✨这里要注意，正交性是在度规以及长度定义之后才出现的概念，在还没有度规或者长度概念时，不能说“取一组正交归一的基底”。 ✨ 3、带度规的矢量空间，其度规对应的对角矩阵中1、-1个数和正交基底无关。 4、正交归一基底对应的对角矩阵分类：正定的（黎曼的）、负定的、不定的（含洛伦兹的）。 5、根据度规大小进行矢量分类 6、 型张量（度规）对对偶重新解读 7、度规张量场 8、度规场的意义——定义曲线长度 9、流形上曲线长度定义 10、类空曲线定义 11、曲线长度与其参数无关，若曲线位于坐标系 的坐标域内，线长可借助于坐标系计算 12、线长参数 ✨为什么说 的切 的长度 是 的函数？ 每一点的切矢跟点的位置有关。 13、广义黎曼空间、伪黎曼空间 14、n维欧氏空间、欧式度规模 ✨欧氏空间自然坐标基底在欧式度规模下是正交规一的 15、笛卡尔坐标系/ 直角坐标系 ✨最后一句小心！ 16、n维闵氏空间、闵氏度规 17、洛伦兹坐标系、伪笛卡尔坐标系

流形的解释(1).谓万物受 自然 之滋育而 运动 变化其 形体 。 《易·乾》 ：“云行雨施，品物流形。” 高亨 注：“流形谓运动其形体。此二句言天有云行雨降，万物受其滋育，始能运动形体于宇宙 之间 。” 宋 苏轼 《告 文宣 王文》 ：“虽 光辉 之成彩，未离乎散聚以流形。” 清 叶廷琯 《吹网录·元氏封龙山颂》 ：“神歆感射，三灵合化，品物流形，农寔嘉谷。” (2).万物运动变化的形体。 晋 郭璞 《江赋》 ：“焕大块之流形，混万尽於一科。” 宋 文天祥 《正气歌》 ：“天地有正气，杂然赋流形。” 清 刘大櫆 《赠张絅儒序》 ：“目之所注，手之所施，怡然中理，通於万品之流形，虽 宜僚 之丸， 轮扁 之斲， 丈人 之承蜩，自以为莫余及也。” 词语分解 流的解释 流 ú 液体移动：流水。流汗。流血。流泪。流程。流泻。流质。流水不腐。汗流浃背。 随波逐流 （ 随着 波浪起伏，跟着流水漂荡，喻没有主见，随着潮流走）。 像水那样流动不定：流转（僴 ）。流通。流寇。流浪。流离 形的解释 形 í 实体：形仪（体态仪表）。形体。形貌。 形容 。形骸。形单影只。 形影相吊 。 样子：形状。形式。形态。形迹。地形。情形。 表现：形诸笔墨。喜形于色。 对照，比较： 相形见绌 。 状况，地势： 形势 。

流形   [liú xíng] [流形]基本解释 1.谓万物受自然之滋育而运动变化其形体。 2.万物运动变化的形体。 [流形]详细解释 谓万物受自然之滋育而运动变化其形体。 《易·干》：“云行雨施，品物流形。” 高亨 注：“流形谓运动其形体。此二句言天有云行雨降，万物受其滋育，始能运动形体于宇宙之间。” 宋 苏轼 《告文宣王文》：“虽光辉之成彩，未离乎散聚以流形。” 清 叶廷琯 《吹网录·元氏封龙山颂》：“神歆感射，三灵合化，品物流形，农寔嘉谷。” 万物运动变化的形体。 晋 郭璞 《江赋》：“焕大块之流形，混万尽于一科。” 宋 文天祥 《正气歌》：“天地有正气，杂然赋流形。” 清 刘大櫆 《赠张䌹儒序》：“目之所注，手之所施，怡然中理，通于万品之流形，虽 宜僚 之丸， 轮扁 之斲，丈人之承蜩，自以为莫余及也。” [流形]百科解释 流形是局部具有欧几里得空间性质的空间，流形在数学中用于描述几何形体，物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。 更多→ 流形 [流形]英文翻译 manifold

manifold 翻译为“流形”，来源于文天祥的《正气歌》: 天地有正气，杂然赋流形. 易经 《彖》 大哉乾元,万物资始,乃统天。云行雨施,品物流形。 朱东润主编《中国历代文学作品选》（上海古籍出版社）中篇第二册203页对流形的注释是：流形，各种形态，指下文宇宙间所说的一切。所以，“流形”不但包含了“多样体”的含义，而且更为简洁，当然符合“信达雅”的原则了。

因以经点的直线。以经一点的直线作为平行子空间的线性流形L叫做直线，以经一点的超平面作为平行子空间的线性流形P叫做超平面。线性流形是几何学中的常用概念，即直线、二维平面、三维平面、…、n-1维平面的统称。

原诗： 天地有正气，杂然赋流形。 下则为河岳，上则为日星。 于人曰浩然，沛乎塞苍冥。 皇路当清夷，含和吐明庭。 时穷节乃见，一一垂丹青。 在齐太史简，在晋董狐笔。 在秦张良椎，在汉苏武节。 为严将军头，为嵇侍中血。 为张睢阳齿，为颜常山舌。 或为辽东帽，清操厉冰雪。 或为出师表，鬼神泣壮烈。 或为渡江楫，慷慨吞胡羯。 或为击贼笏，逆竖头破裂。 是气所磅礴，凛烈万古存。 当其贯日月，生死安足论。 地维赖以立，天柱赖以尊。 三纲实系命，道义为之根。 嗟予遘阳九，隶也实不力。 楚囚缨其冠，传车送穷北。 鼎镬甘如饴，求之不可得。 阴房阗鬼火，春院闭天黑。 牛骥同一皂，鸡栖凤凰食。 一朝蒙雾露，分作沟中瘠。 如此再寒暑，百疠自辟易。 嗟哉沮洳场，为我安乐国。 岂有他缪巧，阴阳不能贼。 顾此耿耿在，仰视浮云白。 悠悠我心悲，苍天曷有极。 哲人日已远，典刑在夙昔。 风檐展书读，古道照颜色。 译文： 天地之间正气存，赋予形体杂纷纷。地上江河与山岳，天上日月和繁星。人有正气叫浩然，充塞环宇满盈盈。生逢圣世清明年，平平和和效朝廷。国难当头见气节，永垂青史留类名。齐国太史不惧死，崔杼弑君载史籍；晋国董狐真良史，手握“书法不隐”笔；韩国张良雪国耻，椎杀秦皇遭通楫；苏武留胡十九年，终日手持汉朝节；巴郡太守老严颜，甘愿断头不妥协；晋代侍中名嵇绍，为救国君酒热血；张巡当年守雎阳，咬牙切齿讨逆贼；常山太守颜杲卿，骂敌骂断三寸舌；辽东管宁“着皂帽”，清操自励若冰雪；诸葛《出师》复汉室，鞠躬尽瘁何壮烈！祖逖渡江誓击楫，奋威慷慨吞胡羯；秀实夺笏击狂贼，贼头破裂直流血。浩然之气多磅礴，志士英名万古存。每当正气贯日月，谁把生死放在心。 地靠正气得以立，天靠正气成至尊。三纲靠此得维持，道义以此为本根。可叹我生逢乱世，竞无才力救危亡。被俘仍戴南国帽，囚车押我到北方。折磨摧残何所惧，酷刑只当饮糖浆。牢房死寂见鬼火，春来紧闭黑茫茫。老牛骏马共槽食，鸡窝里面栖凤凰。一旦染病便死亡，枯骨弃野多凄凉。如此恶境囚两载，各种毒害不能伤。牢房阴森令人哀，是我安乐之天堂。岂有智谋与巧计，能防邪毒来伤身。光明磊落忠义心，我视生死如浮云。我心悲伤悠绵绵，好似苍天哪有边？贤哲虽然已远去，榜样令我心更坚。檐心展读圣贤书，光华照彻我容颜。

天地有正气杂然赋流形的意思是天地之间有一股堂堂正气，它赋予万物而变化为各种体形。出自文天祥《正气歌》原文余囚北庭，坐一土室。室广八尺，深可四寻。单扉低小，白间短窄，污下而幽暗。当此夏日，诸气萃然：雨潦四集，浮动床几，时则为水气；涂泥半朝，蒸沤历澜，时则为土气；乍晴暴热，风道四塞，时则为日气；檐阴薪爨，助长炎虐，时则为火气；仓腐寄顿，陈陈逼人，时则为米气；骈肩杂遝，腥臊汗垢，时则为人气；或圊溷、或毁尸、或腐鼠，恶气杂出，时则为秽气。叠是数气，当之者鲜不为厉。而予以孱弱，俯仰其间，於兹二年矣，幸而无恙，是殆有养致然尔。然亦安知所养何哉？孟子曰：「吾善养吾浩然之气。」彼气有七，吾气有一，以一敌七，吾何患焉！况浩然者，乃天地之正气也，作正气歌一首。天地有正气，杂然赋流形。下则为河岳，上则为日星。於人曰浩然，沛乎塞苍冥。皇路当清夷，含和吐明庭。时穷节乃见，一一垂丹青。在齐太史简，在晋董狐笔。在秦张良椎，在汉苏武节。为严将军头，为嵇侍中血。为张睢阳齿，为颜常山舌。或为辽东帽，清操厉冰雪。或为出师表，鬼神泣壮烈。或为渡江楫，慷慨吞胡羯。或为击贼笏，逆竖头破裂。是气所磅礴，凛烈万古存。当其贯日月，生死安足论。地维赖以立，天柱赖以尊。三纲实系命，道义为之根。嗟予遘阳九，隶也实不力。楚囚缨其冠，传车送穷北。鼎镬甘如饴，求之不可得。阴房阗鬼火，春院闭天黑。牛骥同一皂，鸡栖凤凰食。一朝蒙雾露，分作沟中瘠。如此再寒暑，百疠自辟易。哀哉沮洳场，为我安乐国。岂有他缪巧，阴阳不能贼。顾此耿耿存，仰视浮云白。悠悠我心悲，苍天曷有极。哲人日已远，典刑在夙昔。风檐展书读，古道照颜色。

撰文?/ 朱???琳编辑?/ 张霖郁设计?/ 赵昊然来源?/ Electrive，作者：Carrie Hampel电池系统制造商Voltabox提出了一项新技术概念，使锂离子电池可以生产出几乎任何可以想到的自由形状。这种被称为流形设计（Flow-Shape-Design，简称FSD）的技术概念是基于固化的塑料材料来包裹电池。这种新方法背后的想法是，在模块和系统层面减轻重量的同时，为电池的成型带来灵活性，并提高成本效率。这家公司总部位于德国德尔布吕克，该公司说电池外壳的未来将不再需要由相对沉重的金属零件通过螺丝或焊接固定在一起。流形设计基于自凝固且最终尺寸稳定的塑料，这意味着给定的安装空间可以被更精确地多次使用。根据Voltabox的观点，即便是完全的新形式整合可能性也是可以想象的，比如把电池安装在车身的特定区域。电池到系统的方法，或者从最广泛的意义上说，电池到汽车的方法是可能的。该新技术定于2021年夏季上市，届时Voltabox希望开始交付自己的FSD模块和客户专用的FSD电池系统。此外，该公司还打算通过授权在选定的市场推广这项技术。为此，他们申请了多项专利，并已经对实用新型和商标实施了保护。制造商表示，有关使用该技术的讨论正在与客户逐步启动。制造商还希望从明年夏天开始向电池制造商和主机厂发放首批许可证。Voltabox相信，这项技术有潜力对整个行业产生重大影响。这种依靠固化材料的想法是从航空航天工业借鉴而来的。“该方法允许使用所有可用的电池类型。由于特殊的外壳概念和材料强烈的吸能特性，电池实际上在抗冲击和振动方面更加坚固。”根据具体的要求，通常会使用不同的材料。该公司首席财务官帕特里克?扎波尔（Patrick Zabel）说：“我们的概念创新是非凡的、具有颠覆性的，因为我们为使用锂离子电池技术的关键限制因素提供了答案，比如重量、系统价格和复杂的生产方法。”此外，个别部件数量的大量减少、低成本材料的使用和相对简单的制造过程也使其能够实现比目前市场水平更具吸引力的价格。该公司首席执行官杰根?庞佩尔（Jurgen Pampel）认为这是锂离子电池行业的一场革命：“这之所以成为可能，是因为我们对目前与电池设计相关的每一个技术假设都提出了质疑。”“这项技术的优势将使它们不仅在Voltabox的传统应用领域中能够得到发挥，特别是对于船舶、飞机和一些特定的应用，流形设计的优势都显而易见。”庞佩尔说。在艰难的一年即将结束之际，Voltabox推出了新的技术方案。面对新冠疫情，这家电池系统制造商已经在3月底兑现了其2020年的增长目标。5月，Voltabox还对2019年的财务报表进行了回顾性的“全面资产负债表调整”。Voltabox集团宣布2019年的销售额为5660万欧元（合人民币4.5亿元），远低于7000万至8000万欧元（合人民币5.5亿元至6.3亿元）的预期。本文来源于汽车之家车家号作者，不代表汽车之家的观点立场。

量子流形苦痛这样进入，1、打开崩坏3中量子流形的限时副本。2、选择副本任务中的苦痛分支即可进入。

数学知识水平有限，几个必须的概念了解一下吧但愿能帮到你:1、开集：设A是开集，则对A中的任意一点a，存在a的邻域o(a)包含于A。2、微分同胚：若U、V是n维实数空间（下面我记之为R^n）中的开集，一个从U到V的可微函数h，如果从V到U的可微逆,则称h为微分同胚。3、K维流形：R^n中的子集M称为K维流形，如果对于M中的每一点x都满足以下条件：存在一个含x的开集U、一个R^n中的开集V和一个从U到V的微分同胚h,使得h(U∩V)=V∩(R^k×{0})={y∈V；y^(k+1)=……=y^n=0}4、另一种等价的定义：R^n中的子集M称为K维流形，当且仅当M中的每一个点x,下述条件成立：存在一个包含x的开集U，一个R^k中的开集W以及一个从W到R^n的1-1可微函数f,使得：1)f(W)=M∩U；2)f"(y)对每个y∈W的秩为k；3)从f(W)到W的f的逆连续。上述条件叫通常叫“坐标条件”，这样的f叫做x周围的坐标系。5、线性流形，即满足线性运算的流形。例子：1）R^n的一个开集2）n维球面：{x∈R^(n+1):|x|=1}

1、单位圆S1和R不同胚，但是1维流形。 2、M上的标量场scalar fields 3、切向量 4、向量场/ 方向导数 X 5、切空间的基 ✨本书中“矢量空间”就是“切空间”，直接把切空间的元素用方向导数（偏导数算子）表示。而《introduction to manifolds》的思路是，先引出 切空间 ，其元素是满足现性性和莱布尼茨性质的作用在M上标量场的算子。然后引入M上光滑函数的“方向导数”，自然过渡到偏导数算子以及由 偏导数算子构成的向量空间 。最后建立切空间到偏导数算子构成的空间的 同构映射 ，使得切空间的元素可通过偏导数算子现性表示。 6、坐标变换 （✨证明，作用于M上光滑函数上，通过链式法则可推出，注意：这里包括了标量场的绝对性和取得坐标后函数的相对性） 7、曲线定义 ✨需要理解，曲线是区间到流形的映射，R -> M） 8、流形上曲线的切向量 ✨值得注意标量场和曲线的复合结果是一个一元函数 ！！！ 9、曲线的切向量和流形上一点邻域上的切空间的关系 10、矢量场 ✨矢量场实例： 11、矢量场的C^r性 矢量场作用于标量场上（M上的光滑函数）的结果未必是一个光滑函数，因此，我们需要对作用的结果进行分类。 12、特殊矢量场应用实例 13、对易子 ✨还要证明对易子是切矢量（满足线性性和莱布尼茨性） 14、对易子实例 15、积分曲线 16、光滑矢量场每一点必有对应的积分曲线 ✨证明 17、关于积分曲线延伸阅读 18、群 19、单参微分同胚群 20、对偶空间解读

你好！线性空间必须是对线性运算是封闭的，而两个可逆矩阵相加就不一定可逆。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

铸铁可分为灰口铸铁、可锻铸铁和

微分流形是在拓扑流形的基础上添加微分结构而成的。拓扑流形是一个局部欧氏空间，还是一个 Hausdorff 空间。还有些人要求拓扑流形是仿紧的或/和第二可数的。

张华的《女史箴》被收录在《昭明文选》中，唐代学者李善对其作了详细的注释，非常有利于理解。以下我在李善注释的基础上，对字意和典故再加一层白话文注释。 茫茫造化，二仪既分。 〔《淮南子》曰：大丈夫恬然无为，与造化逍遥。高诱曰：造化，天地。《周易》曰：易有太极，是生两仪。〕 造化：自然；自然的演化；这里引申为天地初生、混沌初开时的世界； 二仪既分：二仪即两仪，一般指阴阳。仪指仪容，二仪即世界的两种仪容。在中国古代创世神话中，世界的诞生（混沌初开）是一种二元对立的分离过程，轻清者上升为天，重浊者凝结为地。这一观念可衍生至男女、刚柔、春秋、日夜等等万物的诞生上。对先秦及后世哲学有很大影响。 散气流形，既陶既甄。 〔《家语》孔子曰：地载神气，流形庶物，无非教也。《汉书》董仲舒曰：泥之在钧，唯甄者之所为。如淳曰：陶人作瓦器谓之甄。〕 散气：指从某种原质中放散出来“气”； 流形：指变化、运动；也可以理解为阴阳二气形成了具体的万物； 陶：本义是采集和加工制作陶瓷用的泥土；延伸义为教育、熏陶； 甄：本义是一种工具，用来给陶土塑形的转轮，即陶轮；延伸义为造就人才。 既陶既甄：是用制陶过程比喻自然的演化，同时又强调了行教化、养德性是万物之本源。 在帝庖羲，肇经天人。 〔《周易》曰：庖牺氏之王天下也，始作八卦，以通神明之德，以类万物之情也。〕 在：到了； 庖羲：即伏羲。相传与女娲兄妹相婚，同时也是人文之祖。承接上文对“阴阳”与“教化”的创世性叙述。 肇：开始；创始； 经：治理；管理；稳定的 天人：天和人，代指一切自然界的天象和人事，暗含天人合一观念。 爰始夫妇，以及君臣。 〔《周易》曰：有天地，然后有万物；有万物，然后有男女；有男女，然后有夫妇；有夫妇，然后有父子；有父子，然后有君臣。〕 爰：于是 始：开始；起源 家道以正，王献有伦。 〔《周易》曰：家道正而天下定。《毛诗》曰：王献久塞。献与犹古字通。〕 王：君主，代指皇室。 献：李善认为同“犹”，如同、好比； 有伦：有理；有序 妇德尚柔，含章贞吉。 〔《周易》曰：坤至柔而动也刚，妻道也。又曰：含章贞吉，以时发也。〕 含章：包藏美质。含，包涵、蕴藏。章，美好。 贞：占卜；操守坚定 贞吉：占卜得到好的卦象（人能守正道而不自乱则吉）；指纯正美好 婉嫕淑慎，正位居室。 〔《汉书》曰：孝平王皇后，为人婉嫕，有节操。服虔曰：嫕音翳桑之翳。曹大家《列女传注》：婉，柔和。嫕，深邃也。《毛诗》曰：淑慎尔止。《周易》曰：女正位乎内。〕 嫕：深邃柔顺。婉嫕，温顺娴静。 慎：安静、依顺。 正位：事物的自然位置，常被儒家用来比喻“礼”，如“立天下之正位”； 居室：本义是住宅，常延伸为夫妇同居、居家生活；“广居”常被儒家用来比喻仁，如“居天下之广居”； 施衿结缡，虔恭中馈。 〔《仪礼》曰：女嫁，母施衿结悦曰：勉之敬之，夙夜无违父母之诫。《毛诗》曰：亲结其缡，九十其仪。毛苌曰：缡，妇人之帏也。缡与离古字通也。《周易》曰：在中馈，无攸遂。〕 施衿：古代嫁女的一种仪式。女子出嫁时，其母为之整衿。衿，汉服的交领。 结缡：古代嫁女的一种仪式。女子临嫁，母亲给她结上佩巾。缡，古时妇女系在身前的大佩巾。 虔恭：诚恳恭敬。虔，虔敬。恭，谦逊有礼貌。 中馈：指家中饮食相关的事宜，也可代指妻室。 肃慎尔仪，式瞻清懿。 〔《毛诗》曰：敬慎威仪。又曰：各敬尔仪。〕 肃慎：严肃谨慎。肃，认真。慎，小心。 仪：人的外表和举动。 式瞻：景慕、瞻视。式，榜样、楷模。（指百姓对统治者） 清懿：纯洁美好的德行。懿，指美好的德行。 两句活用诗经中的“敬慎威仪，维民之则”，大意是：统治者的举止行为要谨慎，因为人民会以你们此为标准。 樊姬感庄，不食鲜禽。卫女矫桓，耳忘和音。志厉义高，而二主易心。 〔《列女传》曰：楚庄樊姬者，楚庄王之夫人。庄王初即位，好狩猎毕弋，樊姬谏不止，乃不食禽兽之肉。三年，王改。又曰：齐侯卫姬者，卫侯之女，齐桓公之夫人。桓公好淫乐，卫姬为不听郑卫之声。曹大家曰：卫国作淫泆之音，卫姬疾桓公之好，是故不听，以厉桓公也。〕 矫：使弯曲的东西变直；纠正。 厉：锋利；严格。 “樊姬”句：樊姬是楚庄王的王后。楚庄王整日打猎。为了反对他这种玩物丧志的奢侈生活，樊姬连续三年不吃鲜肉。 “卫女”句：齐桓公夫人卫姬，以不听和乐的方式劝告齐桓公上进。详见《列女传》，齐桓卫姬篇。 “二主易心”句：典故中的两位君王最终都被妻子感化，有所觉悟并成就大业，名列春秋五霸。 玄熊攀槛，冯媛越进。夫岂无畏，知死不吝。 〔《汉书》曰：孝元冯昭仪，上幸虎圈斗兽。熊佚出圈，攀槛欲上殿，左右贵人、傅昭仪皆走。冯婕妤直前当熊而立，左右格杀熊。上问何故当熊？婕妤曰：猛兽得人而止，妾恐至御座，故身当之。帝嗟叹，以此倍敬重焉。〕 玄：黑。 吝：顾惜；爱惜过分。 “玄熊”句：汉元帝在虎圈观兽搏斗，妃嫔都在座奉陪。一只熊突然跑了出圈外，冯媛挡熊救驾。晚年遭傅太后诬陷，服毒自杀。 班妾有辞，割欢同辇。夫岂不怀，防微虑远。 〔《汉书》曰：成帝游於后庭，欲与班婕妤同辇载。婕妤辞曰：妾观古图画，贤圣之君，皆有名臣在侧；三代末主，乃有嬖女。今欲同辇，得无近似乎？〕 辞：推脱；责备 怀：依恋。 微：隐匿的萌芽（这里指不好的事） “班妾”句：汉成帝与班婕妤出游，邀班婕妤同銮，但却遭到班婕妤的拒绝，她说：“看古代留下的图画，圣贤之君，都有名臣在侧。夏、商、周三代的末主夏桀、商纣、周幽王，才有嬖幸的妃子在坐，最后竟然落到国亡毁身的境地，我如果和你同车出进，那就跟他们很相似了，能不令人凛然而惊吗？”汉成帝之后，王莽篡汉。 道罔隆而不杀，物无盛而不衰。 〔《长杨赋》曰：事罔隆而不杀，物靡盛而不亏。〕 罔：表否定，意为不。 隆：兴盛。 杀：凋落；衰败。 靡：表否定。 日中则昃，月满则微。 〔《周易》曰：日中则冥，月盈则蚀。《毛诗》曰：彼月而微，此日而微。郑玄曰：谓不明也。〕 昃：太阳偏西方。这里代指日落。 微：衰落；隐匿。 两句中的日月有时可以比作君主或国家，郑玄所说“谓不明也”即是言此。 崇犹尘积，替若骇机。人咸知饰其容，而莫知饰其性。 〔蔡邕《女诫》曰：夫心犹首面，一旦不脩饰，则尘垢秽之；人心不修善，则邪恶入之。人盛饰其面，而莫脩其心，惑矣。《家语》孔子曰：容不可不饰也。〕 崇：高山，可代之高贵兴盛的事物。 替：交替、衰落。 骇机：指突然触发的弩机。比喻事物突发。 咸：都。 饰：修饰 ；通“饬”，整饬、整治 。 性之不饰，或愆礼正。斧之藻之，克念作圣。 〔《法言》曰：吾未见斧藻其德，若斧藻其楶者。《尚书》曰：惟狂克念作圣。〕 愆：违背。 礼正：谓礼仪之正道。 藻：整理；修饰。 克：克制；抑制。 出其言善，千里应之。 〔《周易》子曰：君子居其室，出其言善，则千里之外应之，况其迩者乎？居其室，出其言不善，则千里之外违之，况其迩者乎？〕 苟违斯义，则同衾以疑。 〔徐干《中论》曰：苟失其心，同衾为远。〕 衾：被子，比喻夫妻同居。 夫出言如微，而荣辱由兹。 〔《周易》曰：言行，君子之枢机。枢机之发，荣辱之主。〕 微：细小；微妙 兹：此。 勿谓幽昧，灵监无象。勿谓玄漠，神听无响。无矜尔荣，天道恶盈。 〔《周易》曰：鬼神害盈而福谦。〕 幽昧：指昏暗不明。 监：观察。 象：形状、样子。 玄漠：恬静，寂静。 “勿谓”句：可能想表达天、自然、规律是无处不在、无法欺瞒、无法逃避的。 无：不要。 矜：自夸；自恃。 盈：满，引申为骄傲。 无恃尔贵，隆隆者坠。 〔杨雄《解嘲》曰：炎炎者灭，隆隆者绝。〕 恃：依赖；凭靠。 隆隆：雷鸣声，比喻显贵、发达。 坠：陨落。 鉴於小星，戒彼攸遂。 〔《毛诗序》曰：小星，惠及下也。《诗》曰：嘒彼小星，三五在东。《周易》曰：无攸遂。王弼曰：尽妇人之正义，无所必遂也。〕 鉴：借鉴。 小星：《诗经》中用来比喻职位较低的官吏。见《国风·召南·小星》。 攸：久远；长远。 遂：成功；完成。 攸遂：（追求）远大事业的成功。《周易》有“无攸遂，在中馈”，意为不要追求外部事业的成功，要先把家事处理好。 比心螽斯，则繁尔类。 〔《毛诗》曰：螽斯羽，诜诜兮。宜尔子孙，振振兮。〕 比心：比同此心。 螽斯：常称为“蝈蝈”，繁殖能力较强。在《诗经·周南》中被用作“宜子孙”的象征。 繁：繁衍。 类：族类。 驩不可以黩，宠不可以专。 〔《国语》司空季子谓文公曰：男女不相及，畏黩敬也。黩则生怨，怨乱毓灾，灾毓灭性。韦昭曰：畏亵黩其类也。《汉书》曰：孝成赵皇后入宫，宠少襄，而女弟绝幸，姊弟专宠十馀年，卒皆无子也。〕 驩：同“欢”。 黩：轻慢不敬。 宠：纵容；偏爱。 专：满；集中。 专实生慢，爱极则迁。致盈必损，理有固然。 〔《文子》老子曰：天道极即反，盈即损，日月是也。《鲁连子》谭子曰：物之必至，理固然也。〕 慢：怠慢，放纵、无节制。 盈：满。 美者自美，翩以取尤。 〔《列子》曰：杨朱过宋东，之於逆旅。逆旅人有妾二人，其一美，其一恶。恶者贵而美者贱。杨子问其故，逆旅小子对曰：其美者自美，吾不知其美也；其恶者自恶，吾不知其恶也。〕 自美：自以为美；美化自己。 翩：通“偏”，相反。 以：因此。 取：招致。 尤：过失。 冶容求好，君子所雠。 〔《周易》曰：慢藏诲盗，冶容诲淫。〕 冶容：女子修饰得很妖媚。冶，艳丽。 好：貌美。 雠：同“仇”。 结恩而绝，职此之由。 〔《汉书》曰：王立与诸刘结恩。《左氏传》范宣子数诸戎曰：言语漏泄，职汝之由。〕 结：甲骨文释义，古代婚庆仪式上，新郎用一根红绸带拉着新娘入洞房，红绸带中间穿成死疙瘩，象征彼此姻缘已牢固联接不可分解，是为结。 恩：情义；亲人。 结恩：李善所注《汉书·元后传》中的“结恩”是结下情谊的意思，但放在这里更有可能是在上述注释下比喻夫妻关系。 职：只；仅仅。 故曰翼翼矜矜，福所以兴。 〔《太公金匮》师尚父谓武王曰：舜之居人上，矜矜乎如履薄冰。汤之居人上，翼翼乎惧不敢息〕 翼翼：严肃有序的样子。 矜矜：谨慎小心的样子。“翼翼矜矜”需要联系李善注释中对圣贤的传统叙述来理解。 靖恭自思，荣显所期。 〔《毛诗》曰：靖恭尔位，好是正直。〕 靖恭：恭谨地奉守。 女史司箴，敢告庶姬。 〔毛苌《诗传》曰：古者后夫人必有女史彤管之法，女史不记其过，其罪杀。〕 女史：以知书妇女充任，负责有关后宫礼仪、书写文件等事，记载言行、规劝嫔妃是其职责之一。但关于李善注释中提到《诗经·静女》中的“彤管”一词，向来富有争议，解释颇多。 箴：劝告，劝戒；古代的一种文体，以告诫规劝为主。 庶姬：众妃嫔。庶，众多、各种。 全文 茫茫造化，两仪既分； 散气流形，既陶既甄； 在帝庖牺，肇经天人； 爱始夫妇，以及君臣； 家道以正，王猷有伦。 妇德尚柔，含章贞吉； 婉嫕淑慎，正位居室； 施衿结褵，虔恭中馈； 肃慎尔仪，式瞻清懿。 樊姬感庄，不食鲜禽； 卫女矫恒，耳忘和音； 志励义高，而二主易心。 玄熊攀槛，冯媛趋进； 夫岂无畏，知死不吝！ 班婕有辞，割驩同辇； 夫岂不怀，防微虑远。 道罔隆而不杀，物无盛而不衰； 日中则昃，月满则微； 崇犹尘积，替若骇机。 人咸知修其容，而莫知饰其性； 性之不饰，或愆礼正； 斧之藻之，克念作圣。 出其言善，千里应之，苟违斯义，同衾以疑。 夫出言如微，而荣辱由兹。 勿谓幽昧，灵监无象。 勿谓玄漠，神听无响。 无矜尔荣，天道恶盈。 无恃尔贵，隆隆者坠。 鉴于小星，戒彼攸遂。 比心螽斯，则繁尔类。 驩不可以黩，宠不可以专。 专实生慢，爱极则迁。 致盈必损，理有固然。 美者自美，翩以取尤。 冶容求好，君子所雠。 结恩而绝，职此之由。 故曰：翼翼矜矜，福所以兴。 靖恭自思，荣显所期。 女史司箴，敢告庶姬。

微分流形，变分法，自守形式，测度论，同伦。数学系的几门神课。

令 M 为一个可定向分段光滑 n 维流形，令 ω 为 M 上的 n−1 阶 C 类紧支撑微分形式。如果 ∂M 表示 M 的边界，并以 M 的方向诱导的方向为边界的方向，则 这里 dω 是 ω 的外微分, 只用流形的结构定义。这个公式被称为一般的斯托克斯公式（generalized Stokes" formula），它被认为是微积分基本定理、格林公式、高－奥公式、ℝ³ 上的斯托克斯公式的推广；后者实际上是前者的简单推论。该定理经常用于 M 是嵌入到某个定义了 ω 的更大的流形中的子流形的情形。定理可以简单的推广到分段光滑的子流形的线性组合上。斯托克斯定理表明相差一个恰当形式的闭形式在相差一个边界的链上的积分相同。这就是同调群和德拉姆上同调可以配对的基础。

如果A为二维空间中一个紧致的拓扑空间，如果每一点都是内点，那么A就是二维流形

在微分流形上还可以定义外微分形式（见外微分形式）。p次外微分形式(2)是一些微分的外积的线性组合，这些微分的外积是反对称的,即是p阶反对称协变张量,M上p次外微分形式的全体构成一个实数域上的无限维向量空间E。对外微分形式可以进行加法运算（同次外微分形式可以相加）,外积运算（p次外微分形式与q次外微分形式的外积是一个(p+q)次外微分形式），还可以进行外微分运算及积分运算。在局部坐标下，外微分运算为(3)　设ω∈E且dω =0,则称ω为闭形式。M上p次闭形式的全体构成E的一个子空间记为Z。设ω∈E,且ω=dσ(σ∈E，则称ω为正合形式。正合形式一定是闭形式。M上p次正合形式的全体也构成E的一个子空间记为B，B嶅Z。商空间 　(4)称为p次德·拉姆上同调群（de Rham cohomology group）。